Статистика узлов и случайных блужданий с топологическими ограничениями тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

?Г6 Ой ] I &ВГ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ имени Л.Д. ЛАНДАУ

На правах рукописи

НЕЧАЕВ Сергей Константинович

УДК 515.14:541.64

СТАТИСТИКА УЗЛОВ И СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ С ТОПОЛОГИЧЕСКИМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

Специальность 01.04.02 — Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА - 1996

Работа выполнена в Институте Теоретической Физики имени Л.Д. Ландау Российской Академии Наук

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук М.Д. ФРАНК-КАМЕНЕЦКИЙ Доктор физико-математических наук И.Я. ЕРУХИМОВИЧ Доктор физико-математических наук Вик.С. ДОЦЕНКО

Ведущая организация:

Объединенный Институт Ядерных Исследований—Лаборатория Теоретической Физики (Дубна)

Защита состоится " <£> " 199^ в ^ часов на заседании

Специализированного Совета Д 002.41.01 Института Теоретической Физики им. Л.Д. Ландау по адресу: пос. Черноголовка Ногинского района, Институт Физики Твердого Тела РАН, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Теоретической Физики имени Л.Д. Ландау РАН.

Автореферат разослан ¿^^

Ученый секретарь Специализированного Совета Доктор физико-математических наук

Л.А. Фальковский

Актуальность темы работы. По-видимому, не будет преувеличением сказать, что современная физика становится все более и более "математизированной". Можно по-разному относиться к этому обстоятельству, однако его нельзя не принимать во внимание. Анализируя причини такой "математизации" физики, я бы выделил две основные тенденции:

(а) Становится все труднее и труднее сформулировать принципиально повую физическую проблему, для решения которой потребовалось бы выйти за рамки уже существующих теорий. С моей точки зрения, это ведет к тому, что постепенно реальных физических проблем становится меньше, чем математических методов, предназначенных для их описания.

(б) Математическая физика, впитывал новые идеи из различных областей математики, пытается "перевести" абстрактные математические представления на физический язык. Это, порой, приводит к созданию новой системы понятий, что, в свою очередь, стимулирует поиск новых физических приложений.

Разумеется, было бы весьма самонадеянно претендовать на то, что перечисленными тенденденциями исчерпываются все причины упомянутой математизации современной физики. Более того, многие мои коллеги—физики не согласятся с моей точкой зрения. Я думаю, однако, что никто из них не будет отрицать сам факт математизации.

Проникновение новых математических идей в физику бывает довольно парадоксальным. Не секрет, что различие языков и целей физиков и математиков приводит иногда к непреодолимым коммуникационным проблемам в отношении, как самого предмета исследования, так и того, что именно следует считать результатом. Сказанное можно пояснить яа конкретном примере^—статистике случайных блужданий с зацеплениями—постоянном объекте изучения статистической физики полимеров. Начиная с ТО-ых годов, после классических работ Конвея, первый алгебраический инвариант—полином Александера—стал очень популярен в математической литературе, и, казалось бы, физики, работающие в области статистической топологии, получили гораздо более мощный топологический инвариант, чем простой ипвариант Гаусса. Тем не менее, до сих пор, в подавляющем большинстве работ по топологии полимеров, при микроскопических расчетах, авторы используют инвариант Гаусса (или его различные абелевы модификации), лишь кратко отмечая его неполноту.

Одна из причин такой инертности заключается, по-моему, в том, что математические идеи часто формулируются как "теоремы существования" и требуются значительные взаимные усилия физиков и математиков, чтобы выработать общую точку зрения и превратить "теорему существования" в реальное вычислительное средство, необходимое для решения конкретной физической задачи.

Цель, поставленная в данной работе, заключается в попытке использовать современные достижения в области алгебраической топологии и теории случайных блужданий на некоммутативных группах для последовательного и, по возможности, полного, решения старой проблемы: вычисления энтропии случайно генерированного узла и/или нефантомной ("телесной") Марковской цепи в заданном гомотопическом состоянии. Следует отметить, что изложение не является математически строгим и там, где это возможно, строгие утверждения заменены физически обоснованными соображениями. В целом, работа посвященя анализу вероятностных проблем в топологии (задачам об "энтропии случайного узла") и их приложению в статистической физике полимерных систем с топологическими ограничениями.

Научной новизной работы можно считать развитие "термодинамического формализма" в топологии, позволяющего связать построение топологических инвариантов узлов с вычислением обычных термодинамических величин (например, свободной энергии) в некоторых статистических моделях.

На защиту в качестве основных положений выносятся следующие проблемы, обсужденные и решенные в работе:

1. Вычислена вероятность того, что длиакал случайная: траектория, полностью заполняющая решетку, образует узел в заданном наперед топологическом состоянии.

Данная проблема рассмотрена с помощью алгебраических.инвариантов Кауф-фмана, и показана непосредственная связь топологической задачи с термодинамическими свойствами двумерной модели Поттса с "замороженным" или "динамическим" беспорядком в константе взаимодействия. ' '

2. Исследовано предельное поведение случайных блужданий на простейших некоммутативных группах, имеющих отношение к топологии; в контексте топологических проблем изучены также некоторые статистические свойства определенных в работе "локально свободных групп".

В частности, показана связь предельного распределения показателей Ляпунова произведения случайных матриц—генераторов "группы кос"—с асимптотикой распределения "сложности узла" (степени полиномиального инварианта узла). Установленная связь использована для вычисления энтропии узла, образованного "косой". Показано также, что "сложность" узла соответствует хорошо известному феноменологическому топологическому инварианту, "примитивному пути", часто используемому в статистике полимерных цепей с задеплениями.

3. Изучена задача о статистике случайного блуждания в регулярной решетке топологических препятствий.

С помощью конформных методов построен полный пеабелев топологический инвариант и показано, что многие нетривиальные свойства предельного поведения броуновских траекторий с топологическими ограничениями следуют из предельных теорем для случайного блуждания па гиперболических группах.

Практическая ценность работы. Методы решения перечисленных выше модельных задачи применены при рассмотрении следующих реальных физических проблем:

- термодинамических свойств ансамблей полимерных цепей с топологическими ограничениями, а также расплавов кольцевых и линейных полимеров;

- статистических свойств так называемой "складчатой (фрактальной) глобулы", представляющей собой незаузленную кольцевую полимерную молекулу с объемными взаимодействиями;

- влиянию топологических ограничений на свойства фазовых переходов в полимерных гелях (сетках) и в пучках перепутанных "направленных полимеров".

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международных конгрессах по статистической физике STATPHYS-18 (Berlin, 1992) и STATPHYS-19 (Xiamen, 1995); на различных международных конференциях по физике неупорядоченных систем и теоретической физике полимеров (Marseille, 1992; Les Houches, 1993; Torino, 1995); на научных семинарах в Институте теоретической физики (1991-1996), нь физическом и механико-математическом факультетах МГУ (1985-1996), в ОИЯИ (Дубна, 1995-1996), в Ленинградском Отделении Математического Института и Институте Высокомолекулярных Соединений (Ленинград, 1994-1996), в центрах теоретической физики и физики полимеров Франции, Италии, Израиля, Швейцарии, Германии, Мексики и США.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 35 научных статей и одна книга.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы из 86 пазваний и содержит 200 страниц (включая 35 рисупков).

Содержание работы

Во введении обсуждена актуальность темы работы, схематически показана связь между различными проблемами, рассмотренными в диссертации (см. Таб.1) и дана краткая аннотация полученных результатов.

В Главе 1 "Диаграммы узлов как неупорядоченные спиновые системы" введены основные понятия, сделан обзор известных абелевых проблем статистической физики Марковских цепей с топологическими ограничениями, а также

Таблица 1: Схематическая связь между различными вероятностно - топологическими проблемами. В сплошных рамках - проблемы, обсужденные в диссертации; в штриховых рамках - проблемы, которые остались за пределами данного исследования. '

развиты аналитические методы вычисления энтропия узла с заданным значением

полиномиального (неабелева) топологического инварианта Джонса-Кауффмана.

1

Среди множества работ, посвященных различным аспектам теории интегрируемых систем, особое место занимают исследования, имеющие отношение к построению топологических инвариантов узлов и задештений на основе статистических свойств некоторых специальных двумерных моделей. Существует ряд прекрасных обзоров (V) и книг (3), относящихся к этой теме и, с моей точки зрения, дальнейший прогресс, связанный с физическим приложением построенных топологических инвариантов заключается не в новой интерпретации или компиляции уже полученных результатов, а в последовательном использовании уже имеющихся инвариантов в статистике цепных объектов с топологическими взаимодействиями и изучении вероятностных проблем в топологии.

lW.F.R. Jones, Pacific J. Math-, 137 (1989), 2119

2W.B.R. Lickorich., Bull. London Math. Soc., 20 (1988), 558

3L.H. Kauffman, Knots and Physics (WSPC: Singapore, 1991)

Наряду с традиционными фундаментальными проблемами топологии, например такими, как построение новых топологических инвариантов, изучение свойств расслоепий и гомотопических классов, следует отметить ряд родственных, по гораздо менее изученных задач. Прежде всего, я имею в виду вопросы, связанные с вычислением "энтропии узла". В наиболее общем виде проблема может быть сформулирована следующим образом. Пусть есть решетка Жг, вложенная в пространство Я3 и пусть Пл; есть ансамбль всех возможных замкнутых самонепересе-каюпотхся траекторий из N шагов с одной фиксированной точкой на.2э. Обозначим через ш некоторую копкретную конфигурацию (реализапию) траектории. Проблема заключается в вычислении вероятности "Рц того, что траектория и £ Пл? принадлежит некоторому заданному гомотопическому типу. Формально эта величина может быть записана следующим образом

= ^Е^Рп'М - М н

— £ Д[Ьу{гь...,г„}~ЬЧ(1-Д[г(-г,])А[г„]

{г,,...,г«}

где 1пу{ш} есть функциональное представление инварианта узла, соответствующего траектории {п ...,Гдг}; 1а V есть конкретный топологический инвариант, характеризующий гомотопический тип узла и Д(х) - дельта-функция Кронеке-ра: А(х = 0) = 1 и Д(х ф 0) = 0. Первая дельта-функция в выражении (1) "вырезает" множество траекторий с фиксированным значением топологического инварианта, в то в рема, как вторая дельта-функция обеспечивает замкнутость и самонепересекаемость траектории.

Функция распределения *Рлг{Ьге} удовлетворяет условию нормировки

£ = 1 (2) по всем гомотопическим классам

а

Определение. Энтропия заданного гомотопического состояния узла, представленного замкнутой траекторией длины N есть

5^{1пу} = 1И[Л^{1ПУ}] ' (3)

Проблемы, касающиеся определения энтропии узла неоднократно обсуждались в физической литературе. Однако до середины 80-х годов число принципиально новых аналитических результатов было незначительным, поскольку единственным интенсивно эксплуатируемым топологическим инвариантом оставался интеграл

Гаусса и его абелевы модификации. Отметим, что исключительно важную роль для развтия дальнейших теоретических исследований сыграли работы A.B. Вологодского и лр. (4,5), посвященные первому успешному использованию неабелевых алгебраических инвариантов Александера при компьютерных расчетам в статистической биофизике.

Несмотря на ясность геометрического образа, топологические взаимодействия с большим трудом поддаются формализованному описанию, что, прежде всего, связано с нелокальным характером топологических ограничений. Кроме того дополнительные трудности при попытке аналитического вычисления энтропии узла вызваны отсутствием аналитического представления полного топологического инварианта. Поэтому, для того, чтобы хотя бы отчасти приблизится к решению задачи об энтропии узла заданного гомотопического типа, мы заменили ее задачей о вычислении энтропии узла с заданным топологическим инвариантом. Данная проблема отличается от исходной, поскольку ни один из известных неабелевых топологических инвариантов (полиномы Джонса, Александера, HOMFLY) не являются точными. Отметим, что, по-видимому, исключение составляют инварианты Васильева, но их рассмотрение выходит за рамки данной работы. Таким образом, топологический тип узла мы характеризуем заданием соответствующего алгебраического инварианта.

В задачах об энтропии узла особо важное значение имеет ситуация, когда и является реализацией случайного процесса. Именно этому подклассу задач и уделено основное внимание в работе.

Модель, рассмотренная в Главе 1 определена следующим образом.. Возьмем квадратную решетку М, повернутую под углом тг/4 по отношению к оси х и спроецируем на нее узел К, вложенный в R3, так, чтобы: а) каждая точка пересечения диаграммы узла совпадала бы с какой-нибудь вершиной решетки, б) не было бы свободных вершин решетки—см. Рис. 1а. В каждой вершине решетки определим "проходы" и "переходы": Ь,- = ±1

а) 6,- = +1 и Ъ) У^ 6i»=-l

и выберем граничные условия таким образом, чтобы решетка как целое образовывала бы узел. Набор всех проходов и переходов вместе с граничными условиями ("решеточный узел") однозначно фиксирует топологию системы.

4Л.В. Вологодский, A.B. Дукахшш, М.Д. Франк-Камененкий, В.В. Авшелевич, ЖЭТФ, 66 (1974), 2153

5А.В. Вологодский, A.B. Лукашвн, М.Д. Фраак-Каиекецккй, ЖЭТФ, 67 (1974), 1875

Рис. 1: (а) Решеточный узел с топологическим беспорядком, реализованным 8 виде случайного распложения "проходов" и "переходов"; (б) Разложение диаграммы узла на самонепересекающиеся циклы и представление модели Поттса в-виде "бихроматжческого полинома".

Основная проблема заключается в вычислении вероятности Рл-{/[Л']} того, что среди всех возможных микрореализаций "беспорядка" {6,} найдется решеточный узел К а топологическом состоянии с заданным инвариантом Кауффмана /[ЛГ{6х1 - - - Таким образом, беспорядок, связанный со случайным независи-

мым выбором проходов и переходов в каждой вершине решетки является случайным внешним полем.

Идея одежи Т>!ч{ЛК)} содержит два последовательных шага:

(а) Топологический инвариант Кауффмана мы представляем в виде хорошо известной модели Поттса с беспорядком в константе взаимодействия;

(б) Вычисление термодинамических характеристик ансамбля узлов осуществляется в рамках стандартных методы физики неупорядоченных систем для обычпой спиновой модели Поттса.

Следуя Джонсу и Кауффману, общий способ аналитического построения алгебраического инварианта узла связан с поиском функционала }\К {6Ь..., 6^}], который бы не зависел от "формы" узла, т.е. был бы инвариантен относительно локальных деформаций траектории, называющихся "движениями Радемайстера" (Рис.2).

В работе показано, что инвариант Кауффмана (являющийся Лоравовским полиномом переменной А) регулярно изотопических узлов на решетке допускает

0

1 М

?■ 3

Рис. 2'. Движения Радемайстера.

представление в виде двумерной модели Поттса на дуальной решетке (см. Рис.16) и имеет вид

- (К(А)) = Н(А, {6*,}) грои8[?(Л), {МЬк1, А)}}

где

ЩЛ, {Ьы}) = (А2 + /ГТ^" ехр [1 п А £ 6«)

\ {«> 1

тривиальный множотсль, независящий от конфигурации спинов и

2Р^ЫА),{МЬк„А)}}:

№

(5)

(6)

И«)

статистическая сумма модели Поттса на квадратной решетке с константой взаимодействия Jk¡ и числом состояний спина !}, определенных следующим образом

Л,

:1п[-А"4*и]; ? = [А2-Г А'2)2

(7)

Переменные Ьы играют роль беспорядка на ребрах решетки С, дуальной по отношению к решетке М . Связь между Ьы и Ь,- определяется соотношением

Ьи ■

—6, если ребро (к1) вертикально 4-Ь,- если ребро (Ы) горизонтально

(8)

Разумеется, до тех пор, пока переменная А не определена и может принимать произвольные (в том числе и комплексные) значения, это соответствие достаточно формально. Однако, для некоторой области определения А данная статфизическая

интерпретация справедлива и оказывается весьма полезной. Подчеркнем также, что специфической особенностью рассматриваемой модели Поттса является наличие зависимости между температурой Т и числом состояний спина q.

Связь между инвариантами регулярно- и амбиентно изотопических узлов такова

ДК] = ехр { 3 In ¡-Л) ¿2 ) iK ({ЬыМ)> (9)

\ W 1

Методы решения и результаты. В работе рассмотрена ситуация, когда переменные 6,- распределены случайно и независимо с плотностью распределения

= + +¿(6,-1)] (ю)

Физически такая модель отвечает статистике длинной полимерной цепи, заключенной в узкую полость, в связи с чем все узлы можно считать регулярно изотопическими.

При оценки величины "Рн{/[К]} мы использовали следующую цепочку неравенств

В частности, веротность Т>а случайной реализации тривиального узла среди всех возможных оценена как

•Ьоо

-Ро(т < /¿(11! А'{\}(А*)) Я{Ь}0{Ь} < - / {[^{Ь}(Л')Р)¿У {")

—оо

где (...) означает усреднение типа J., .С?{6}.£){6}.

В результате, топологическая проблема сведена к задаче об усреднении моментов статистической суммы по реализациям беспорядка на решетке, т.е. типичной задаче теории спиновых стекол и других неупорядоченных систем с замороженным беспорядком. Талсое усреднение может быть осуществлено с помощью метода

реплик. Вычисление средних моментов статистической суммы в термодинамическом пределе в рамках модели среднего поля для спинового стекла Поттса дало следующую оценку сверху для доли тривиальных узлов

Р0(Л?) < схр(—Л'/Ао); N0 и 1 (12)

(напомним, что N - число вершин решетки, т.е. число пересечений на диаграмме узла.)

В Главе 2 "Случайное блуждание на локальных некоммутативных группах" продолжено изучение вероятностных проблем в теории узлов, однако основное внимание уделено исследованию корреляций в Марковских цепях, вызванных топологическими взаимодействиями.

В наиболее общем виде данная проблема может быть сформулирована следующим образом. Пусть есть дискретная группа <?„ с конечным числом образующих {#1,... и пусть V - однородное распределение на множестве {гъ---.5п-1,5Г\--->лГ-1}- Для удобства положим, что к, - д, для ] - г и А,- = з"1 для ] — ! + п — 1; |/(Аг) = ^^ для любого 3. Рассмотрим (правостороннее) случайное блуждание (случайное слово) на <7„ с переходной вероятностью

{£«}, = е е 9п и РгоЬ(£, = = у) = = Это означает, что

с вероятностью мы добавляем элемент к слову Лл'--, = Лаа... справа6

Случайное слово IV, составленное из N букв, выбранных независимо с равномерной плотностью вероятности V. — нз множества {ди - ■■ ■ • • > <?п-1} называется "броуновским мостом" (ББ) длины N на группе бп если кратчайшее несократимое (примитивное) подслово7 слова № тождественно единичному (имеет нулевую длину).

В данной главе рассмотрены следующие конкретные вопросы:

1. Какова вероятность Р(№) образования броуновского моста на группе <?„■

2. Какова условная вероятность Р{(1,тп\Щ того, что подслово И", состоящее из ш первых букв ^-буквенного слова й-' имеет примитивную длину к, если слово IV как целок является броуновским мостом на группе {?„.

5Аналогично можно строить и левосторонние Марховсою цепи.

7Длиной слова У/ называете» общее число использованных букв, в то время, как длиной примитивного слова называется подсяово, полученное после всех возможнах сокращений слова V/ с помощью групповых соотношений.

гае Yli=i Kl = f1 im< О V г; 1 < j < /î) и последовательность генераторов fa, для всех /0, имеет нормальный порядок.

Число различных примитивных слов Wv длины fi в группе CFn+i(2) дается формулой

вд = £ад £' д[ЁМ-Л (17)

»=1 {m,,...,m,} L.=l

где lin(s) = vin |тп| voui, матрица Г„ и вектора vout и voul определены следующим образом:

Гп =

h h Л-1 fn

Л 0 1 i 1

h 1 0 i 1

fn-X 0 0 0 1

fn 0 0 1 0

, = ( 1 i 1 ... 1 ) vout =

! 1 M 1 1

V i J

(18)

В пределе п > 1 при ц > 1 формула (17) дает искомое выражение (15). РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. Предельная плотность распределения примитивного пути длины ¡1 для случайного блуждания из N шагов на группе есть

Пь**)--

N3/1 1

2 y/TÏ^N

ехр

7JV

(Щ

{ 2N)

(п =

з) >i)

(19)

Рассмотрим теперь диаграмму узла К а общем положении на плоскости я пусть ЦК] есть полиномиальный топологический инвариант К. Одна из возможностей построения инварианта Александера из матричного представления группы кос может быть осуществлена следующим образом. В представлении Магнуса образующие группы кос имеют вид

( 1 О

О

• j ая строка; А ■■

( 1 t \0

(Л i i

(20)

/

О

о

о

Полином Александера. узла, представленного замкнутой косой W — П/U <Vi Длины N есть

N

(1 + i 4- ia 4- - - - + i""1) V(i){A} = det П<Ч~е ' (21)

где j пробегает значения "вдоль косы", а а = {1,... ,п — 1,п,... ,2« — 2} нумерует генераторы, упорядоченные следующим образом {с\,... ,<7„_i,crf1,... ,0^-1}-

Следует подчеркнуть, что хотя в общем случае длина ц неприводимого слова не является топологическим инвариантом, тем не менее, примитивное слово может быть использовано как хорошо определенная характеристика сложности узла. В частности, топологический смысл примитивпго слова может быть выражен в следующем необходимом условии: если примитивное слово некоторой косы из п нитей тождественно единичному слову (имеет нулевую длину), то коса принадлежит тривиальному классу и соответствующий узел однозначно представляется набором п независимых и незацепленяых тривиальных петель.

В работе изучено предельное поведение некоторых свойств инвариантов узлов и зацеплений в ситуации, когда длина косы "растет". В этом случае можно ввести понятие "сложности узла", являющегося более простой (однако более грубой) характеристикой, чем соответствующий алгебраический инвариант.

Сложностью узла называется степень алгебраического полинома (Александера, Jones, HOMFLY)

(22)

|i|-oo И |i|

По определению, сложность узла принимает одно и то же значение для топологически различных узлов, отвечающих полиномиальным инвариантам одной степени, тем не менее сложность узла имеет ряд существенных преимуществ по сравнению с соответствующими алгебраическими инвариантами:

а) Одао и то же значение т/ характеризует достаточно узкий класс "топологически близких" узлов, что позволяет ввести сглаженную функцию распределения для величины г) ',

б) Сложность узла v корректно описывает предельные случаи: т) = 0 соответствует "слабо заузленным" траекториям, в то время, как 7) ~ N отвечает случаю "сильно заузленных" траекторий;

в) Сложность узла сохраняет все веабелевы свойства полиномиальных инвариантов и имеет прозрачную физическую интерпретацию, соответствуя длине при-^ митивного слова в матричном представлении образующих группы кос.

Результаты данной Главы позволяют сделать следующие выводы:

(1) Сложность г) узла, представленного косой Вп длины N 1 с равномерным распределением на множестве образующих, имеет следующее предельное распределение

где а(п), /3(п), 6(п) некоторые численные константы, зависящие только от п.

(2) Сложность узла у в ансамбле броуновских мостов на локально-свободной группе и группе кос имеет Гауссово распределение с моментами

(3) Показана тесная связь специфических топологических проблем, рассмотренных выше со следующими общими задачами теории вероятности:

(а) Исследование предельных свойств показателей Ляпунова для случайных блужданий в пространстве унимодуляряых матриц размерности 2x2 при условии броуновского моста;

(б) Изучение предельного распределения для случайных блужданий в пространстве постоянной отрицательной кривизны (плоскости и пространстве Лобачевского) при условии броуновского моста.

Решение всех перичисленных выше задач позволило сформулировать общий вывод данной Главы: при условии "броуновского моста" для случайного блуждания на гиперболической группе, соответствующее предельное распределение удовлетворяет обычной центральной предельной теореме. Иными словами, условие броуновского моста делает метрику соответствующего пространства эффективно плоской, "убивая" кривизн}'. Данный результат нашел многочисленные физические приложения при описании статистических свойств полимерных систем с топологическими взаимодействиями (см. Главу 4).

Глава 3 "Конформные методы в статистике случайных блужданий с 1 зацеплениями" посвящена исследованию статистических свойств и аналитическому построению точного топологического инаврианта Марковской цепи в регулярной решетке топологических препятствий (см. Рис.4а).

Последние годы были отмечены значительными достижениями в области построения алгебраических инвариантов узлов и зацеплений и их связи с топологической и конформной теорией поля (см, например, работы 8,э). Однако, несмотря на

SA.M. Polyalov, Mod. Phys. Lett. (A), 3 (1988), 325

8E. Witten, Comm. Math. Phys., 121 (1989), 351

(23)

(24)

-о

(а)

л 0а д-

1 х

(б)

X,

> <7

(а)

©

Рис. -1: (а,) Случайная траектория а регулярной решетке препятствий; (б)-(в) Последовательные конформные отображения, приводящие к универсальной накрывающей свободной группы.

развитие общих концепций, их применение в таких областях математики и физики, как теория вероятностей и статистика длинных цепных молекул, остается весьма ограниченным. В связи с этим, в данной Главе конформные методы явно использованы для построения инвариантов, характеризующих топологию Марковской цепи по отношению к периодической решетке препятствий на плоскости. Следует также отметить, что одним из существенных обстоятельств, стимулировавших данное исследование послужил тот факт, что обсуждаемые проблемы можно рассматривать как первый шаг в построении гармонического анализа на многосвязных многообразиях (например, пространстве Тейхмюллера), что в свою очередь, связано с изучением спектральных свойств оператора Бельтрами-Лапяаса на римановых поверхностях. V

В частности, в рамках аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений показана простая геометрическая связь между построением не-абелевых топологических инвариантов для траектории на дважды проколотой плоскости со свойствами монодромии четырехточечной корреляционной функции конформной теории поля с центральным зарядом С = —2, а также найден явный аналитический вид комплексного потенциала обобщающего вектор-

потенциал двух соленоидальных магнитных полей А(г) па неабелев случай:

A{z) я +

Z — Z\ Z — Z2

где

А(г) = *х Е т;—^ = (0,0,1) ,= {1,2} 1Г ГЯ

~ 2(г - 1) F&Z) F7(Z)) ~ 22 -j 1

J ./n-TiVl _ J

I 1 - 2 1 /У_ 2

1 0

Подходы, развитые в данной Главе были применены при изучении статистики стягиваемых случайных блуждчний в бесконечной двумерной периодической решетке препятствий.

Пусть на комплексной плоскости w = u-f iv задана регулярная треугольная решетка выколотых точек и пусть с - расстояние между особыми точками/Введем функцию распределения Р(too, w, X|hom), определяющую вероятность того, что все траектории случайного блуждания длины L = Na с концами в точках w0 и w принадлежат одному и тому же гомотопическому классу (т.е. имеют одно и то же топологическое состояние по отношению к решетке выколотых точек), характеризуемое топологическим инвариантом horn.

Фукшишя P{wQ,w, Ljkom) удовлетворяет следующему диффузионному уравнению: .

~AwP(w,L\hom) = —P(w,L\bom) ' (25)

с начальным условием и нормировкой

P{w, L = Ojbom) = ¿(г0);

Однако до тех пор, пока топологический инвариант horn не определен аналитически, уравнение (25) является лишь символической записью. (

Воспользуемся конформными методами для того, чтобы найти асимптотическое решение уравнения (25) при L а. В частности, мы интересуемся плотностью вероятности того, что замкнутая траектория длины L окажется стягиваемой яа плоскости го.

Построим для мяогосвязной комплексной плоскости ш универсальную накрывающую С = С(ш); С = £+»? (см Рис.4б,в), не содержащую ви одной точки ветвления внутри области определения. Пользуясь свойством конформной инвариантности броуновского блуждания, новый процесс на накрывающей будет также случайным, однако в "новом времени", зависящим от метрики. Можно показать, что группа преобразований универсальной накрывающей является свободной группой Га, которая, в свою очередь, есть гиперболическая дискретная подгруппа группы движения плоскости Лобачевского ю. Верняя полуплоскость является объединением бесконечного количества листов Римановой поверхности, соответствующих расслоению над и>; каждый лист имеет вид кругового треугольника с нулевыми углами.

Конформный метод дает хорошо определенный топологический инвариант— неевклидово расстояние между начальной и конечной точками траектории на универсальной накрывающей. Таким образом, уравнение диффузии для функции

распределения на накрывающей имеет вид

=К(с)|3 (26)

где мы учли, что при конформном отображении оператор Лапласа преобразуется следующим образом:

дш =

2

мог

Якобиан отображения |га'((")|2 для группы Г2 можно определить пользуясь свойствами ^-функций Якоби

И011 = с,л' Л = 7Г7Г7Т (27)

" 13'з)

где

И

п=О

е"С) = 2с'?( йш(2п + 1)Х (28)

Осуществив конформное отображение верхней полуплоскости внутрь единичного круга

= (29)

"Группа Г г есть свободная подгруппа группы Р5Х(2, Ж ) и имеет топологию дерева Кейли.

получим следующее выражение для якобиана

Ф) = К(С)|г = К Л' (зо)

где С — г е"Л Выигрыш от такого преобразования становится ясным, если провести усреднение функции д{г,ф) по углу ф. Численное интегрирование дает:

Г (31)

Таким образом, можно увидеть, что для г —» 1 процесс управляется оператором Лапласа на поверхности постоянной отрицательной кривизны—плоскости Лобачевского. Представление плоскости Лобачевского внутри единичного круга известно как модель Пуанкаре. Произведя замену переменных = 1п -—мы приходим

1 — г

к хорошо изученной задаче о диффузии на З-исевдосфере. Соответствующая функция распределения Р(ц, Ь) имеет вид

Физический смысл длины геодезической на 3-псевдосфере следующий: ¡1 совпадает с длиной примитивного пути в решетке топологических препятствий, т.е. с длиной дути, которая остается после всех топологически разрешенных сокращений траектории в решетке препятствий. Таким образом, р может рассматриваться как топологический инвариант, гораздо более сильный, чем Гауссов интеграл; тем не менее, ¡1 не является полным топологическим инвариантом, за исключением одной точки ^ = 0, где ¡1 точно отвечает путям, принадлежащим тривиальному гомотопическому классу.

Вопросы, рассмотренные в данной Главе непосредственно связаны с проблемами, обсуждавшимися в Главах 1 и 2: (а) случайное блуждание на универсальной накрывающей, построенной для периодической решетки препятствий, сводится к случайному блужданию на гиперболическом многообразии; (б) сложность узла пропорциональна длине кратчайшего слова, записанного в терминах генераторов группы кос, т.е. также пропорциональна длине геодезической » пространстве постоянной отрицательной кривизны.

Глава 4. Физические приложения.

Топологические взаимодействия существенно модифицируют термодинамические свойства статистических систем, состоящих из линейных цешшх объектов

19

!

независимо от их физической природы. Топологические проблемы неоднократно обсуждались в контекстс квантовой теории поля, двумерной гравитации, статистики вихревых пиний в сверхпроводниках, квантового эффекта Холла, термодинамических свойств зацепленных полимерных молекул и т.д. Современные методы теоретической физики позволяют достаточно полно описыветь влияние зацеплений на физические свойства каждой из перечисленных систем, однако остаются совершенно неясными следующие вопросы:

1. Как модифицируются термодинамические свойства линейных Марковских цепей с зацеплениями при изменении их взаимного топологического состояния?

2. Как могут быть использованы результаты, полученные в статистической топологии для построения флуктуационной теории (типа Гинзбурга-Ландау), описывающей поведение цепных линейных объектов с топологическими взаимодействиями?

Сформулированный круг вопросов имеет, по-видимому, наиболее наглядное , и физически значимое приложение в статистической физике полимерных цепей. Отметим, что в данной главе рассмотрен рад общих статистико-топологяческих проблем, использующих представление о полимерной цепи как о траектории случайного блуждания с объемными и топологическими взаимодействиями. При этом мы не рассматриваем связь топологии с конкретным микроскопическим (химическим) строением полимера.

Для физика полимерные системы представляют интерес по многим причинам. Объединение мономеров в цепные молекулы принципиальным образом меняет все статистические и динамические свойства рассматриваемых систем, в результате чего флуктуации полимеров определяются гораздо большими пространственно-временными масштабами, чем систем "разорванных звеньев". Это позволяет применять как к ансамблю полимерных цепей, так и к отдельной макромолекуле общие методы теоретической физики, такие, как теорию возмущений, методы ре-нормгруппы, конформные методы я т.д. По-видимому, наибольший прогресс в теоретическом описании полимерных систем связан именно с успешным комбинированием общих методов физики твердого тела с методами, явно учитывающими цепное строение макромолекул (линейную память).

Современные методы исследования статистических свойств полимерных систем с топологическими взаимодействиями в значительной степени основаны на модели "полимерная цепь в решетке препятствий" (ПЦРП) (двумерный случай изображен на Рис.4а), соединившей простоту геометрического образа с возможностью микроскопического изучения влияния некоммутативного характера зацеплений на термодинамические свойства рассматриваемых систем. Таким образом,

модель ПЦРП является в настоящее время общепризнанным базисом для среднепо-левых теорий, описывающих термодинамические свойства ансамблей полимерных цепей с топологическими ограничениями. В этих теориях обычно предполагается, что решетка препятствий моделирует зацепление "пробной" макромолекулы за другие цепи системы ("среды"). Пренебрегая флуктуациями среды, а также топологическими ограничениями, которые выделенная цепь создает сама для себя, мы теряем информацию о корреляциях пробной цепи и среды, однако даже в таком простейшем случае можем получить нетривиальные выводы о статистике пробной макромолекулы. Некоторые из полученных результатов перечислены ниже.

1. Представление о складчатой (фрактальной) глобуле в статистике сколлапсированных незаузленных полимерных цепей. Рассмотрим замкнутую самонепересекающуюся полимерную цепь длины L ~ Na в тривиальном топологическом состоянии. После понижения температуры ниже 0-точки, становится выгодным образование термодинамически устойчивого конденсированного (глобулярного) состояния. Предполагая, что глобула описывается в рамках вири-ального разложения11, введем В = < 0 и С — const > 0. В дополнение к стандартным объемным взаимодействиям, следует принять во внимание нелокальные топологические взаимодействия, приводящие к дополнительному эффективному отталкиванию между частями макромолекулы.

В работе доказано, что условие тривиальности топологического состояния макромолекулы меня/ет фрактальную размерность линчи, представляющей траекторию цепи, что приводит к новым термодинамическим свойствам конденсированной макромолекулы, существенно отличающимся от свойств обычной "глобулы Лифитца".

Хорошо известно, что ниже 0-точки существует критический (зависящий от температуры и энергии объемных взаимодействий) масштаб, g*, такой, что если длина цепи превосходит д", то цепь колладсирует. Для достаточно длинных цепей эти <7*-зветше участки можно рассматривать как блочные мономеры (складки минимального масштаба). Рассмотрим теперь участок цепи, содержащий несколько блочных мономеров. Этот участок, коллапсируя, образует складку нового масштаба (при условии, что другие участки макромолекулы не перепутываются с ним) и т.д. Процесс заканчивается, когда все мономеры цепи окалываются в одной складке наибольшего масштаба (см. Рис.5а-г). Описанная процедура напоминает построение кривой Пеано в пространстве с фрактальной размерностью Df = 3.

Специфической особенностью складчатой глобулы является то, что на всех масштбах начинал с д' и вплоть до максимального участки цепи не перепутаны

U1.M. Kfshits, A.Yu. Grosbetg, A.R. Khokhlov, Rev. Mod. Phys., 50 (1978), 683

Рис. 5: Последовательные этапы формирования складчатой (фрактальной глобулы).

друг с другом и плотно заполняют предоставленный им объем, т.е. сколлалсирова-вы "сами в себе". Можно было бы предположить, что пространственные флуктуации разрушают такую термодинамически невыгодную масштабно-инвариантную структуру, однако, основывало, на модели ПЦРП удалось показать, что если длина цепи в складке произвольного масштаба превосходят Л^ то складки не перемешиваются, оставаясь сегрегированными в пространстве - феноменологический параметр, имеющий смысл типичной длины между соседними по цепи зацеплениями, Яе ~ 30 4-300).

Таким образом, условие тривиальности топологии цепи в конденсированном состоянии приводит к тому, что на всех масштабах топологическое состояние участков цени близко к тривиальному и. Данный результат согласуется с выводами Главы 2 о типичной сложности участка траектории для броуновского моста (тривиального узла).

12Разумеется, строго о топологий участка аеии говорить вельзя, однако можно ввести понятие квазиузла в использовать результаты Главы 2.

г

3. Введено понятие "сложности узла" и показана связь предельного распределения показателей Ляпунова произведения случайных матриц—генераторов группы кос—-с асимптотикой распределения "сложности узла". Изучены статистические и топологические свойства броуновского моста на гиперболических группах и пространствах постоянной отрицательной кривизны. Показано, что при условии броуновского моста соответствующая функция распределения удовлетворяет центральной предельной теореме с нулевым первым моментом, отвечая блужданию в "эффективно плоском" пространстве.

4. С помощью конформных методов построен полный неабелев топологический инвариант для траекторий в регулярной решетке топологических препятствий и изучена статистика случайных путей с топологическими ограничениями.

5. Построена теория сильного коллапса кольцевой полимерной цепи в тривиальном толпологическом состоянии. Введено понятие "фрактальной" глобулы. На основе данного представления изучены термодинамических свойства ансамблей полимерных цепей с топологическими ограничениями, а также расплавов кольцевых и линейных полимеров.

6. Построена теория среднего поля, учитывающая влияние топологических ограничений на свойства фазовых переходов в полимерных гелях (сетках) и в пучках перепутанных "направленных полимеров".

Список основных работ по теме диссертации Статьи

1. A.R-Khokhlov, S.K.Nechaev, Polymer chain in an array of obstacles, Phys.Lett., 112-A (1985), 156-160.

2. C.K. Нечаев, A.P. Хохлов, Высокоэластичность полимерных цепей с топологическими ограничениями, Высокомолек, Соед., 29-Б, (1987), 533-536

3. S.K. Nechaev, A.N. Semenov, M.K. Koleva, Dynamics of polymer chain in ад array of obstacles, Physica, 140-A (1987), 506-520

4. A.Yu. Grosberg, S.K. Nechaev, E.I. Shakhnovich, Влияние топологии на свойства коллапса гомополимера и самоорганизацию биополимеров, Биофизика, 33 (1988), 247-253

5. A.Yu. Grosberg, S.K. Nechaev, E.I. Shakhnovich, The role of topálogical constraints in the kinetics of collapse of macromolecules, J. de Physique, 49 (1988), 2095-2100

6. S.K. Nechaev, Topological properties of a 2D-polymer chain in the lattice of obstacles, J. Phys. (A): Math. Gen., 21 (1988), 3659-3671

7. S.K. Nechaev, Statistics of 3D-dynamically rebuilt trees near the uncrossible wall, Euiophys, Lett., 10 (1989), 317-322

8. A.Yu. Grosberg, D.V. Kuznetsov, S.K. Nechaev, Static and dynamic structures of polymers and their possible applications in biocybernetics, Studia Biophysica, 132 (1989), 25-34

9. C.K. Нечаев, A.P. Хохлов, Кольцевые и линейные цепи вблизи поверхности геля, Высокомолек. Соед,, 31-В (1990), 705-708

10. Я.И. Коган, С.К. Нечаев, Д.В. Хвещеяко, Вихри в двумерном нематике, ЖЭТФ, 98 (1990), 1505-1511

11. S.K. Nechaev, Ya.G. Sinai, Limiting-type theorem for conditional distributions of products of independent unimodular 2x2 matrices, Bol. Soc. Bras. Mat., 21 (1991), 121-132

12. L.B. Koralov, S.K. Nechaev, Ya.G. Sinai, Limiting probability distribution for a random walk with topological constraints, Chaos, 1 (1991), 131-134

13. A.Yu. Grosberg, S.K. Nechaev, Topological constraints in strong gel collapse, Macromolecules, 24 (1991), 2789-2793

14. A.Yu. Grosberg, S.K.' Nechaev, Algebraic invariants of knots and disordered Potts model, J. Phys. (A): Math. Gen., 25 (1992), 4659-4672

15. A.Yu. Grosberg, S.K. Nechaev, Averaged Kauffmann invariant and quasiknot concept for linear polymers, Europhus. Lett., 20 (1992), 613-619

16. C.K. Нечаев, Я.Г. Синай, Предельное поведение двумерных случайных блуждании с топологическими ограничениями, Теория Вероятностей и ее Применения, 38 (1993), 331-344

17. S.K. Nechaev, V.G. Rostiashvili, Polymer chain in a random array of topological obstacles: I. Collapse of loops, J. de Physique II, 3 (1993), 91-104

18. V.G. Rostiashvili, S.K. Nechaev, T.A. Vilgis, Polymer chain in a random array of topological obstacles: II. Classification of complex loops, Phys. Rev. (E), 48 (1993), 3314-3321

19. S.K. Nechaev, A.Yu. Grosberg, Entropy of knots and statistics of random walks, in Proceedings of the conference "Soft Order in Physical Systems", Les Houches (France), Plenum Press Publishing, 1993

20. S.K. Nechaev, A.M. Vershik, Random walks on multiconnected manifolds and conformal field theory, J. Phys. (A); Math. Gen., 27 (1994), 2289-2298

21. S.K. Nechaev, Nematic phase transition in entangled directed polymers, Письма в ЖЭТФ, 60 (1994), 277-284

22. S.K. Nechaev, A.Yu. Grosberg, A.M. VersMk, Random walks on braid groups: Brownian bridges, complexity and statistics, J. Phys. (A): Math. Gen., 29 (1996), 2411-2433

23. A.R. Khokhlov, S.K. Nechaev, Topologically driven compatibility enhancement in the mixtures of rings and linear chains, J.de Physique II, (1996), принята к печати

24. J. Desbois, S.K. Nechaev, Statistical mechanics of braided Markov chains: I. Analytic methods and numerical simulations, J. Stat. Phys., послано в печать

Обзоры

25. S.K. Nechaev, Overview of polymer topology, Int. J. Mod. Phys. (В), 4-B (1990), 1809-1847

26. A.Yu. Grosberg, S.K. Nechaev, Polymer topology, Adv. Polym. Sci., 106, 1-30, in "Polymer Characteristics", (Springer, 1993)

27. S.K. Nechaev, A.Yu. Grosberg, Topologcal problems in statistical physics of polymers, in Mathematical methods in contemporary chemistry, (Gordon & Breach,

Книга

28. S.K. Nechaev, Statistics of Knots and Entangled. Random Walks, (WSPC: Singapore, 1996)

1996)