Границы Пуассона и Мартина для двумерных случайных блужданий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

^ ^ ^ ^ Механико-математический факультет

£. На правах рукописи

УДК 519.217.7

Куркова Ирина Анатольевна

ГРАНИЦЫ ПУАССОНА И МАРТИНА ДЛЯ ДВУМЕРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ

(01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1998

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математ ческого факультета Московского государственного университета имени М.В. I. моносова

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор В.А. Малышев доктор физико-математ1гческих наук, ведущий научный сотрудник Б.М. Гуревич доктор физико-математических наук, профессор В.И. Оселедец Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ)

Зашита диссертации состоится У Ф^СС_ 199

в 16 час. 05. мин. на заседании диссертащ£бнного совета Д.053.05.04 при А сковском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119899 ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факу. тет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математическс факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан _

1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ, доктор физико-математических наук

Т.П. Лукаше

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одной из важнейших задач в исследовании транзитных цепей Маркова является нахождение границ Пуассона и Мартина. Ее гшение позволяет, с одной стороны, описать финальное поведение процесса и здличать предельные точки траекторий. С другой стороны, оно дает интеграль-эе представление всех ограниченных гармонических функций в случае грашщы уассона, и, более того, всех неотрицательных гармонических функций в случае эаницы Мартина.

Интегральное представление послужило мотивом для создания теории границ [артина в 1941 году. Мартин в [1] исследовал множество положительных реше-w. уравнения Лапласа в области евклидова пространства. Компактификация [артина была введена Дубом [2] и Хантом [3]. Это пополнение X" пространства зстояшш X транзиентной цепи в метрике, зависящей от асимптотики функции рина. Тогда граница Мартина есть дХ = Х'\Х. Эта теория получила дальней-ее развитие в работах Дынкина, например, в [4]. Интегральное представление фмонических функций вдоль ЭХ не единственно. Чтобы добиться единственно-си, надо исключить из дХ некоторые точки. Полученное множество называется эостранством выходов или минимальной границей Мартина. Для определения эаницы Пуассона к настоящему моменту накоплено много подходов; они рас-латриваются, например, в [5].

Перечислим важные работы, в которых изучаются грашщы Пуассона и Марша для случайных блуждашш на группах и графах. В [5] и [6] для блужданий 1 группах граница Пуассона связывается с энтропией. В [7] найдена минималь-1Я грашща Мартина для случайных блуждашш в Z: она состоит не более, чем з двух точек. Ней и Спицер в [8] и Сшщер в [9] нашли границу Мартина для

1. R.S. Martin. Minimal positive harmonic functions // Trans. Amer. Math, oc. 49, 137-172 (1941).

2. J. Doob. Diskrete potential theory and boundaries // J. Math. Mech. 8 (7), 53-458 (1959).

3. G.A. Hunt. Markov chains and Martin boundaries // Illinois J. Math. 4 (7), L3-340 (1960).

4. Е.Б. Дышшн. Граничная теория марковских процессов (дискретный слуга) // Успехи Мат. Наук 24 (7), 3-43 (1969).

5. V. Kaimanovich. Measure-theoretic boundaries of Markov chains, 0-2 laws and ltropy // В сборнике: Harmonic analysis and discrete potential theory, M.A. Pi-irdello (ed.), Plenum, New York, (7), 145-180 (1992).

6. V. Kaimanovich and A.M. Vershik. Random walks on discrete groups: bound-■y and entropy // Ann. Probab. XI, 457-490 (1983).

7. J.L. Doob, J.L. Snell and R.F. Williamson. Application of boundary theory i sums of independent random variables // В сборнике: Contributions to probability id statistics. Stanford University Press, Stanford, CA, (7), 182-197 (1960).

8. P. Ney and F. Spitzer. The Martin boundary for random walk // Trans. Amer. rath. Soc. 121, 116-132 (1966).

9. Ф. Сшщер. Принципы Случайного Блуждания // Мир, Москва (1969).

пространственно однородных случайных блужданий в Zd, d > 2, если экспоненциальный момент скачка за один шаг конечен. Она гомеоморфна сфере в случае ненулевого среднего скачка за один шаг и состоит из одной точки в противном случае. В обоих случаях граница Пуассона тривиальна. Гармонические функции для блужданий на нильпотентных группах проанализированы в [10]. Граница Мартина для случайных блужданий на группах с конечным числом образующих исследовалась в [11] и позже в [12]. В ряде работ компактификация Мартина сравнивается с другими возможными компактификациями пространства состояний цепи. Например, в [13] для случайных блужданий на деревьях доказывается совпадение компактификации Мартина с "компактификацией концов". В [14] для блужданий на гиперболических графах доказывается совпадение компактификации Мартина с так называемой "гиперболической компактификацией". В работе [15] компактификация Мартина сравнивается с другими для блужданий на симметрических пространствах.

Таким образом, в большинстве работ речь идет об исследовании границ для однородных блужданий на группах, деревьях, симметрических пространствах. В диссертации рассмотрены неоднородные блуждания в конусах решетки. Найдены границы Пуассона и Мартина для транзиентных случайных блужданий в плоскости Z2 с измененными скачками в конечном числе точек, в полуплоскости Z х Z+ и в четверти плоскости (Z+)2. Блуждания однородны во внутренних частях перечисленных областей, за исключением конечного числа точек, и имеют негладкие особенности на границе. Эти модели возникают во многих прикладных задачах, в частности, в теории массового обслуживания. Им посвящен ряд работ, в которых используются, главным образом, вероятностные методы. Например, в [16 получена их классификация, в [17] решается задача больших уклонений.

Для блуждания в плоскости Z2, когда скачки одинаковы во всех точках пространства, граница Мартина найдена Неем и Спицером в [8] в 1966 году. И> метод — также вероятностный. Он основан на замене меры, в точности такой же, как при решении задачи больших уклонений. Однако если мы изменим скачкЕ

10. Г.А. Маргулис. Положительные гармонические функции на нильпотентных группах // Докл. АН СССР 166 (5), 1054-1057 (1966).

11. Е.Б. Дынкин и М.В. Малютов. Случайное блуждание на группах с конечным числом образующих // Докл. АН СССР 137 (5), 1041-1045 (1961).

12. Y. Derriennic. Marche aléatoire sur le groupe libre et la frontière de Mártir // Wahrscheinlichkeitsh. verw. Geb. 32 (7), 261-276 (1961).

13. M.A. Picardello and W. Woess. Martin boundaries of random walks: ends о trees and groups // Trans. Amer. Math. Soc. 302 (7), 185-205 (1987).

14. A. Ancona. Positive harmonic functions and hyperbolicity // Potential theory surveys and problems. Lecture Notes in Math. 1344, J. Kral et al. (ed.), Springer Berlin, 1-23 (1988).

15. Y. Guivarch, L. Ji and J. Taylor. Compactifications of Symmetric Spaces /¡ Springer (1997).

16. G. Fayolle, V.A. Malyshev and M.V. Menshikov. Topics in Constructs Theory of Countable Markov Chains // Cambridge University Press (1995).

17. И.А. Игнаткж, В.А. Малышев и B.B. Щербаков. Влияние границ в зада чах о больших уклонениях // Успехи Мат. Наук 49 (2), 43-102 (1994).

:отя бы в одной точке пространства, этот метод уже не работает. Тем более, он шприменим для блужданий в полуплоскости и в четверти плоскости с линейными ¡еоднородностями. В диссертации предложен другой подход — аналитический. Эн позволяет вычислить границу Мартина в 7?, когда скачки в конечном числе точек изменены, а также решить эту задачу в Z х Z+ и в (2+)2. Этот подход состоит в комплексном анализе эллиптической кривой, определяемой производящей функцией скачков во внутренней части.

Цель работы. Целью настоящей работы является вычисле1ше границ Пуас-:она и Мартина для случайных блужданий в плоскости Z2 с измененными скач-сами в конечном числе точек, в полуплоскости Z х Z+ и в четверти плоско-:ти (2+)2 с линейными неоднородностями.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Основные из шх состоят в следующем.

1) Найдена граница Пуассона для случайных блужданий в Z2 с измененными :качками в конечном числе точек, для блужданий в Z х Z+ и в во всех :лучаях, а также в некоторых случаях для блужданий в х Zm и в (2+)".

2) Найдена граница Мартина для случайных блужданий в Z2 с измененными гкачками в конечном числе точек, для блужданий в Z х Z+ и в )2 во всех :лучаях.

3) Установлена связь границы Мартина с вещественными циклами на рима-ювой поверхности, которая определяется производящей функцией скачков.

Методы исследования. Для нахождения границы Пуассона используются слассические вероятностные методы и мартингальная техника. Для нахождения границы Мартина применяются методы комплексного анализа, факты из теории шмановых поверхностей и алгебраической геометрии.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертации носят георетичесмш характер и могут быть полезны специалистам по марковским фоцессам, прежде всего по граничной теории, а также специалистам по ком-мексному анализу.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на научном :еминаре ИППИ РАН, семинаре лаборатории больших случайных систем МГУ, :еминаре по теории вероятностей и статистической физике кафедры теории ве-эоятностей МГУ.

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 3 работах, список соторых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех мав и списка литературы, содержащего 51 наименование. Общий объем диссер-гащш 97 страниц.

Содержание диссертации

Во Введении дан обзор литературы по теме диссертации, показана актуаль-гость темы.

В Разделе 0.1 Введения определены марковские цепи С\, С.1 и £з, которые гаучаются в первой и второй главе диссертации. Они являются случайными блу-кданиями соответственно в плоскости Z2, в полуплоскости Z х Z+ и в четверти 1Л0ск0сти )2 и удовлетворяют следующему условию однородности: все про-

странство их состояний может быть представлено как объединение конечног числа непересекающихся множеств ОгЗг таких, что скачки одинаковы из во состояний 5г- Другими словами,

Ра,<*+(;,.,) = Рд,/3+(.',л := (г)Ри для всех а,/3 € ¿V, ((,]') €

В соответствии с этим определением пространство состояний цепи £1 предст влено как 2'? = 5 и и 52 и ■ • • и 5П, где 51, 52,... , 5П конечны; переходш вероятности 'г'р;> обозначены через рч, ,..., соответственно. Д.

цепи ¿2 г х г+ = Б иБ', где 5 = {(:', з) : «' > 0}, 5' = {(»',0)}, вероятное: скачков соответственно р;;, р^. Для цепи £3 (2+ )2 = 5 и 5' и 5" и {(0,0) где 5 = {(¿.¿) : i > 0, j > 0}, 5' = {(¿,0) : «" > 0}, 5" = {(0,^) : ] > С переходные вероятности соответственно р'ч, р^, р°3. Введем так;

векторы среднего скачка за один шаг Е = (Ех, Еу) = (XI, , 'Р<л 52; } ■7Р1

Е' = (Е;,Е;) = Е" = (Е;',Е;О = £,,>:;). всю,

в работе мы предполагаем, что £1, £2 и £3 неприводимые, апериодические транзиентные; Е* т^ 0, Еу ^ 0; есть соскок с осей 5' и 5"; скачки ограничены более того, среди вероятностей р,; только рю, р-ю, Р01, ро-1 отличны от нуля Глава 1 диссертации посвящена границе Пуассона.

В Разделе 1.1 дано определение границы Пуассона марковской цепи. Д этого на траекториях цепи {а„}£°=0 вводится функция сдвига Т{аГ1}^=0 {а„}™=1. Множество А в пространтсве путей цепи называется инвариантны если Т-1 А = А. Инвариантные множества образуют инвариантную ст-алгебр Существует разбиение Д = {Со, С\,...} пространства путей на непересекаюш еся инвариантные множества положительной вероятности (С1, Сг,...— атом Со, если присутствует, — не атом). Нас интересует только его атомная част Фактор-пространство пространства путей по этому разбиению называется 14 шщей Пуассона. Если Д состоит из одного множества С\, то граница Пуассо тривиальна. Далее в Разделе 1.1 перечислены важнейшие утверждения относ тельно инвариантной ст-алгебры и границы Пуассона.

В Разделе 1.2 найдена граница Пуассона для цепей £1, £2 и £3. Доказа] следующие теоремы.

Теорема 1.3. Граница Пуассона цепи С\ тривиальна. Теорема 1.4. Граница Пуассона цепи £2 тривиальна. Теорема 1.5. Если для цепи £3 выполнено одно из условий:

1. Ех >0, Еу > 0;

2. ЕгСО, Еу < 0, Ех Еу — Еу Е^ > 0, Еу Е^' — Е* Е^ < 0;

3. Ех <0, Еу < 0, Ех Еу - Еу Е1 < 0, Еу Е* - Ех > 0;

4. Ех >0, Еу < 0, Ех Еу - Еу Е^ > 0;

5. Ех <0, Еу > 0, Еу Е1' - Ех Еу > 0;

то ее граница Пуассона тривиальна. Если для цепи £3

6. Ех <0, Еу < 0, Ех Еу - Еу Е1 > 0, Еу Е* - Ех Еу > 0,

то ее граница Пуассона состоит из двух точек. Одна из них совпадает почти наверное со множеством траекторий, которые бесконечно часто посещают S' = {(«,0) : i > 0}, другая — со множеством траекторий, которые бесконечно часто посещают S" = {(0, j) : j > 0}.

В Разделе 1.3 приведены обобщения на случаи большей размерности. Рассмотрим цепи £.4 и Съ, которые являются случайными блужданиями соответственно в (Z+)n и (Z+)* х Zm. Для набора Л С {1,2,...,п} [соотв. Л С {1, 2,..., к}] обозначим грань ВА = {(zi,..., хп) : х, > 0, i € Л, х; = 0, » £ Л} С (Z+)n [соотв. ВА = {(xl!...,xk,yl,...,ym) : xi > 0,i g A,xi = 0,«' £ Л} С (Z+)k х Zm.] Определим однородную марковскую цепь £4 [соотв. £5] с переходными вероятностями paj3 =p(A,ß — а). Снова предположим неприводимость и апериодичность цепей и ограниченность скачков. Обозначим через Е(а) вектор среднего скачка за один шаг в состоянии а, тогда Е(а) = Ел при a g ВА. Выберем грань ВА, Л ф {1,2, ...,п}, для £4. [соотв. В® = {(0,0,... ,0, t/1,..., t/m)} для £5]. Через точку этой грани проведем плоскость СА размерности п — |Л| [соотв. к] перпендикулярно этой грани. Введем марковскую цепь £Л [соотв. £0] с пространством состояний СА и матрицей переходных вероятностей рА^ = Ра./з+Х^-^/з Ра,у при a,ß € Сл, где суммирование осуществляется по всем 7 g (Z+)n [соотв. 7 g (Z+)* х Zm] таким, что прямая, соединяющая /3 и 7, перпендикулярна С'Л. Скажем, что грань Вл эргодична, если цепь £Л эргодична. Если это так, обозначим ее стационарные вероятности 7ГЛ(7). Введем вектор vA = (vA, v?,..., vA): положим vA = 0 при i 0 Л и vA = Y2-,ecA 7гЛ(т) ^(т) при * € Л. Для цепи £4 обозначим гргшицу грани ВЛ через дВА = {(xi,... ,ln) : х< = 0 для некоторого i 6 Л}.

Теорема 1.6. Предположим, что для цепи £5 вложенная цепь С® эргодическая. Тогда граница Пуассона цепи £5 тривиальна.

Теорема 1.7. Пусть для цепи С\ грань ВА, Л ф {1,2,..., и}, эргодическая и все компоненты vA вектора vA при t g Л положительны. Тогда множество траекторий, которые лишь конечное число раз посещают дВА, имеет положительную вероятность и является атомом инвариантной и-алгебры цепи £4.

Доказательства Теорем 1.3-1.7 опираются на теорему Блэкуэлла из [18] о соответствии инвариантных множеств пространства путей марковской цепи почти замкнутым и транзиентным множествам пространства ее состояний. Для поиска почти замкнутых множеств используется стандартная вероятностная и мартин-гальная техника (в частности, функции Ляпунова из [16]).

Предмет Главы 2 — граница Мартина для цепей £1, £2 и £3.

В Разделе 2.1 дано определение границы Мартина для транзиентной марковской цепи. Пусть л-¡°Jo функция Грина, то есть среднее число посещений состояния ß = (i, j), если начальное состояние а = (¿о, Jo)- Сосредоточим эталонную меру в (0,0) и определим ядро Мартина kij (i'o, Jo) = 7r1'°JO/7r?j° • Введем метрику в пространстве состояний такую, что последовательность {/3„}^о Фундаментальна, если и только если к/э„(а) сходится при любом а. Пополнение X*

18. D. Blackwell. On transient Markov processes with a countable number of states and stationary transition probabilities // Ann. Math. Statist. 26, 654-658 (1955).

пространства состояний X в этой метрике называется компактификацией Ма; тина, дХ = X* \Х — границей Мартина. Далее рассматривается представлен! Мартина положительных гармонических функциий как интеграл по дХ от яд{ Мартина по конечной мере. Чтобы добиться единственности этого представл ния, надо исключить из дХ некоторые точки. Оставшееся множество называет« минимальной границей Мартина.

В Разделе 2.2 сформулированы полученные результаты о границе Мартш для цепей £2 и £3. Этот раздел в разбит на Разделы 2.2.1 - 2.2.7.

В Разделе 2.2.1 приведены все утверждения относительно рассматриваемь алгебраических функций и римановой поверхности, которые необходимы формулировки результатов по границе Мартина. Мы будем исследовать сл дующие случаи:

(а) Ех > О, Еу > 0; (Ъ) Е* <0, Еу < 0.

Пусть Х(у) и У(х) алгебраические функции, заданные уравнением

<2(х,у) :— ху(1 - рюх -р-юг"1 - ро\у - ро-1У-1) = 0. (

Функции У(х) и Х(у) имеют четыре точки ветвления Х2, хз, 14 и у\, у2, уз, у В случаях (а) и (Ь) они удовлетворяют неравенствам: 0 < х\ < Х2 < 1 < хз < х 0 < У1 < уг < 1 < Уз < у4- Рассмотрим риманову поверхность Б функции У(: (или Х(у)). Она имеет род 1 и значит гомеоморфна тору (рис. 2.1). Пус: :г(з), у(з) мероморфные функции на Б, определяющие накрывающие е-плоскои и у-плоскости соответственно. Иногда мы будем писать пару (г, у) для обозн чения единственной точки з 6 Б такой, что х(в) = х, у(з) = у. Множест! {в € Б : х(в) и у(з) вещественны или оо} состоит из двух непересекающихся з мкнутых аналитических кривых, гомологичных одному из элементов базиса но мальной гомологии на Б (отличному от х-1{х : |х| = 1}). На одной из этих кр вых, обозначим ее Ро, х2 < 1(5) < хз, у2 < у(в) < уз. Отметим на Ео точки ¿1, 5 в3, «4: = 13, у(«0 = \/ро-1 /Р01, х(э2) = -у/р—ю/рю, у(5г) = уз, *(зз) = х

у(«з) = у/р^Цт, ^(54) = у/р-ю/рю, у(«4) = у2• Выберем на /"о направл ние в порядке возрастания индексов в;. Везде далее мы будем рассматривав направленные отрезки [я', я"] С й в соответствии с этим выбором (рис. 2.1). Нам понадобится также анализ критических точек функции Х-г(5) — при 0 < 7 < 7Г (для 7 = л-/2 ХтМ = 1у(3)|) на Х-1^!00)- При каждом 7 [0; 7г), 7 ф 7г/4, 37г/4, функция Х-у(3) имеет четыре невырожденные критичесю точки в,-(7), I = 1,2,3,4; Х-у(^1(т)) < Хч^гЫ) < Х-г(«з(7)) < Х-г^Ы); при этс 52(7).53(7) € Я,, ^1(7)1 ^4(7) € При 7 = 7г/4,Зл-/4 эта функция имеет д] невырожденные критические точки ¿2(7) и 33(7); 52(7)^3(7) 6 ^о.

Введем функщж 5(7) на отрезке [0, 2тт]: положим 5(7) := «3(7) при 7 € [0; я 5(7) := «2(т — 7) при 7 (Е [л-;27г), з(2п) := з(0). Отметим, что в(-/) осуществляе гомеоморфизм между отрезком [0, 2тт] с отождествленными концами и кривой J на Б и, кроме того, з(0) = 51, з(тг/2) = ¿2, а(л-) = вз, з(Зл-/2) = а4. Буде обозначать для краткости 27(5(7)) через х(у) и у(з(7)) через у(7).

Пусть 7Е — угол между вектором сноса (ЕцЕу) и положительным направл нием оси абсцисс. Тогда х(уе) = 1, у(уе) = 1 и := 5(7Е) лежит на (51,52), ecJ Ех > 0, Е^ > 0, и на (53,54), если Ех < 0, Еу < 0 (рис. 2.1).

Рис. 2.1(а) Ех > О, Еу > О

Рис. 2.1(Ь) Е* < О, Еу < О

В Разделе 2.2.2 сформулирована Теорема 2.7 о границе Мартина для цепи С\. Пусть = Е Чт[х,у) Е

Теорема 2.7. Пусть для цепи С\ («,.?) € Z2. Пусть также х = гсоз(7(г)), У = гзт(7(г)) и 7(г) —> 7 при г —> оо, где 0 < 7 < 2л\ Тогда

Ьт ^(.о.л) --1 + /.оо(х(7),у(7))-"

(2)

Граница Мартина цепи С\ гомеоморфна кривой Ро на римановой поверхности Э, то есть окружности [0,2тг]. Минимальная граница Мартина с ней совпадает.

Частный случай этой теоремы, когда 51,..., 5п пусты, доказан в [8]. В Разделе 2.2.2 мы анализируем метод доказательства, предложенный п этой работе, и приходим к выводу о невозможности его обобщения, если измененить скачки хотя бы в одной точке.

Далее нам понадобятся производящие функции

Я(х,у) = - д(х,у) = у^^р'^х'у3 -

(3)

В Разделе 2.2.3 сформулирована Теорема 2.8 о границе Мартина для цепи £2, если Е* > О, Еу > 0. В этом случае с вероятностью 1 цепь посещает ось 5' лишь конечное число.

Лемма 2.6. Пусть Ех > 0, Еу > 0. Система уравнений

<5(х,у) = о д(х,у) = 0

(4)

имеет решение (х', у'), удовлетворяющее неравенствам 1 < х' < хз и ро-1 /ро1 < у' < \/ро-г/ро1, если и только если <7(2:3, \Zpo-iJpoi) > 0.

Система (4) имеет решение (х", у"), удовлетворяющее неравенствам Х2 < х" < 1 и р0-1/р01 < у" < \/ро-1/ро1, если и только если д(х2, у/Р0-1/Р01) > 0. Это решение единственно.

При q(xз, y/po-i/poi) > 0 и q(x2, \/po-i/poi) > О введем углы 7', 7" :

х(у') = х' у(у') = Po-i/(poiy') т' € (0; тг); (

x(l") = x" y(~t") = Po-i/(poi у") 7"e(0;r). (I

В явном виде: tg7' = (p0-i/y' - poiy')(piox' — р-ю/х')-1 [соотв. tg7" (po-i/y" — poi/y")(piox" - po-i/x")-1]. Кроме того, верно 0 < 7' < 7Е < 7" < и 3(7') = O',po-i/(poiy')) € (si,Se), 5(7") = (г", Po-i/(poiy")) € (sB,a. (рис. 2.1(а)).

Теорема 2.8. Пусть для цепи С? Ех > О, Еу > 0. Пусть (i,j) G Z+ х ! i = rcos(7(r)), j = rsin(7(r)) и 7(r) 7 при r —> оо, где 0 < 7 < 7г.

1. Если q(x3, y^po-i/poi) < 0, g(i2, \/po-i/poi) < 0, то <9лл любого 7 g [0,7г

Um ky(io.io) = [^°(7)!/0(т)д(г(7)> Po-i/(Pûiy(7))) С

гчм L v

- л>(7) (po-i/(poiy(7)))JO ç(s(7), y{~ti) ] x [9(^(7). po-i/(poiу(т))) -д(Ф), у{уУ) ]

Граница Мартина гомеоморфна отрезку [si,s3] на Fo, то есть дуге [0, : (рис. 2.3(а)). Минимальная граница Мартина с ней совпадает.

2. Если q(x3, x/po-i/poi) > 0, q(x2, \/po-i/poi) < 0, ваедел пару (г',у') г Лемме 2.6 и угол 7' согласно (5). /7ри 7 £ [0,7']

Um k,j(to,io) = {х'У°(у'У°. (!

Г-ЮО

При 7 S (7', 7г] асилптотика л<?ра Мартина определяется по формуле (7 Граница Мартина гомеоморфна отрезку [3(7'), 5з] на Fo, то есть дуге [7',: (рис. 2.3(Ь)). Минимальная граница Мартина с ней совпадает.

3. Если q(x3, -y/po-i/poi) < 0, q{x2, y/po-i/poi) > 0, ваедел пару (x", y") r Лемме 2.6 и угол y" согласно (6). При 7 g [7", 7r]

lim ky(to,jo) = (*")io(v")io- 0

r-+oo

Яри 7 G [0,7") асимптотика л<?ра Мартина определяется по формуле (7 Граница Мартина гомеоморфна отрезку [si,s(7")] на Fo, то есть дуге [0,7' (рис. 2.3(с)). Минимальная граница Мартина с ней совпадает.

4. £сли д(хз, vpo-i/poi) > 0, д(х2, л/po-i/poi) > 0, ооедем пары (х',у и (х",у") по Лемме 2.6 и узлы 7', 7" согласно (5), (6). Асимпотика ядра Mai тина определяется по формуле (8) при 7 6 [0, 7'], по формуле (7) при 7 € (7 ,7' и по формуле (9) при 7 Ç [7"i'r]- Граница Мартина гомеоморфна отрез» [s(7'), 5(7")] на Fo, то есть дуге [7', 7"] (рис. 2.3(d)). Минимальная граница Ма\ тина с ней совпадает.

Рис. 2.3(а) Рис. 2.3(Ь) Рис. 2.3(с) Рис. 2.3(d)

В Разделе 2.2.4 сформулирована Теорема 2.9 о границе Мартина для цепи Сг при условиях Ех < О, Еу < 0. Для транзиентности цепи к этим условиям надо добавить Ех Еу — Еу Ех 0. В этом случае с вероятностью 1 цепь посещает Б' бесконечное число раз. Пусть, например, Ех Еу — Еу Ег > 0.

Зафиксируем угол € (0, тг), удовлетворяющий соотношениям х{-/%) = 1, у(7е) = Ро-1/роь Отметим, что 7в = 7в — т/2. Кроме того, тг/2 < < тт и «Б := з(7е) = (1.Р0-1/Р01) € (52,5з) (рис, 2.1(Ь)).

Лемма 2.7. Пусть Е* < 0, Еу < 0, Ех Еу — Еу Ех > 0. Система уравнений (4) имеет решение (х',у'), удовлетворяющее неравенствам хг < х' < 1 и 1 < у' < \fpo-\Jpo\, если и только если д(х2, \Jpo-i/ро1) > 0. Это решение единственно.

Если \/ро-1/ро1) > 0, введем угол у' € (0,7г) такой, что 1(7') = х', УЬ') = Р0-1/(Р01у')- В явном виде: tg7' = (ро_1/у'-р01у')(рюх'- ро-1/х')-1. Кроме того, тг/2 < 7е < 7' < ^ и «(7') = (х',р0-1/(рогу')) € (яе,5з) С (з2,я3) (рис. 2.1(Ь)).

Теорема 2.9. Пусть для цепи Сг Ех < 0, Еу < 0, Ех Еу — Еу Ех > 0. Пусть также (¿, 3) х х = гсоз(7(г)), 3 = гбн1(7(г)) и ~{(г) —> 7 при г —оо, где

0 < 7 < 7Г.

1. Если д(х2, л/ро-1/роО < 0, то при 7 £ [0, 7е]

Ит ко(1"о,7о) = 1. (Ю)

г-+оо

При 7 € (7е,зг] асимптотика ядра Мартина определяется по формуле (7). Граница Мартина гомеоморфна отрезку [зе.^з] «а Ро, то есть дуге [7^, тг]. Минимальная граница Мартина с ней совпадает.

2. Если д(х2, \Jpo-\Ipoi) > 0, введем пару (х',у') по Лемме 2.7 и угол 7'. Асимптотика ядра Мартина определяется по формуле (10) при 7 € [0,7е]> по формуле (7) при 7 € (7в|7') и п0 формуле (8) при 7 € [-у', 7г]. Граница Мартина гомеоморфна отрезку 5(7')] на Ро, то есть дуге [7^, 7']. Минимальная граница Мартина с ней совпадает.

В Разделе 2.2.5 сформулирована Теорема 2.10 о границе Мартина для цепи Сз, если Ех > 0, Еу > 0. При этом условии цепь уходит на бесконечность по внутренней части, с вероятностью 1 посещая 5' и 5" и {(0,0)} конечное число раз.

Лемма 2.8. Пусть Ех > 0, Еу > 0. Система уравнений (4) имеет решение {х',у), удовлетворяющее неравенствам 1 < х' < хз и Р0-1/Р01 < у < \/ро-х]ро\, если и только если д(хз, \fpo-\Jpo\) > 0. Система уравнений

0(*>У) = 0 , ,

д(х,у) = 0 ^

имеет решение (х",у"), удовлетворяющее неравенствам 1 < у" < уз и р-ю/рю < х" < у/Р—ю/рю, если и только если д(у/р-ю/рю,Уз) > 0. Это решение единственно.

При g(x3, \/po-i/poi) > 0 и g(\/p-io/pio, Уз) > 0 введем углы 7', 7":

*(?') = y(7')=Po-i/(poiy') 7' € (0; т/2), (12

x(l")= рю/(р-юх") у(7") = у" 7" € (0; т/2). (13

В явном виде: tg7* = (po-i/y' -poiy'){piox' -р_ю/х')-1 [соотв. tg7" = (poiy" — po-i/y")(p-io/x" — Рюх")-1]. Кроме того, верно 0 < 7' < 7с < 7" < 7г/ и s(7') = (x',p0-i/(poiy')) € (sbsE), 3(7") = (р-ю/(рюх"), у") 6 (se,s2 (рис. 2.1(a)).

Теорема 2.10. Пусть для цепи £3 Е* > 0, Еу > 0 .

1. Если q(x 3, y/pa-i /poi) < 0, q{\Jp-io/pw, Уз) < 0, граница Мартина гс меоморфна отрезку [si,s2] на Fo, но есть ¿узе [0, т/2]. Минимальная границ Мартина с ней совпадает.

2. Если <j(x3, \/po-i/poi) > 0, <T(\/p-io/pio, Уз) < 0, введел пару (х',у') п Лемме 2.8 и угол 7' согласно (12). Тогда граница Мартина гомеоморфна отрезк [5(7'), S2] на Fo, то есть дуге [7', т/2]. Минимальная граница Мартина с не совпадает. ___

3. Если q(x3, v^po-i/poi) < 0, g(i/p_io/pio, уз) > 0, веедел пару (х",у") п Лемме 2.8 и угол 7" согласно (13). Тогда граница Мартина гомеоморфна on резку [si,s(7")] на Fo, то есть дуге [0,7"]. Минимальная граница Мартина ней совпадает. ___

4. Если д(хз, \/po-i/poi) > 0, <j(\/p-io/pio, Уз) > 0, введем пары (х',у' и (х",у") по Лемме 2.8 и углы 7', 7" согласно (12), (13). Тогда граница Map тина гомеоморфна отрезку [3(7'), 5(7")] на Fo, то есть дуге [7', 7"]. Минималг ная граница Мартина с ней совпадает.

В формулировке этой теоремы в диссертации для каждого 7 € [0; т] найде также lim kij(io,jo), если i = rcos(7(r)), j — rsin(7(r)) и 7(f) —>• 7 при г —)• oo.

г-foo

В Разделе 2.2.6 сформулирована Теорема 2.11 о границе Мартина для цепи £; если Ei < 0, Еу < О, Ех Еу — Еу Ei > 0, Еу Е" — Е* Еу < 0. При этих условия цепь уходит на бесконечность по оси S', то есть с вероятностью 1 посещав бесконечное число раз S' и лишь конечное число раз S".

Лемма 2.0. Пусть Ех < 0, Еу < О, Ех Е'у -ЕУЕ'Х > 0, Еу Е"- Ех Еу < 0. Систем уравнений (11) имеет решение (х', у'), удовлетворяющее неравенствам хг < х' ■ 1 и 1 < у' < po-i/poi, если и только если g(l,po-i/poi) > 0. Это решет единственно.

Если g(l,po-i/poi) > 0, введем угол 70 € (0, т/2) такой, что выполнен (p_io/(piox')) 870у' = po-i/poi- Введем также производящие функции

оо со

*ioJ°{x) = Y/n\°0>°xi~1 при М < 1, F°J°(y) = X^/V"1 при \У\ < 1. (1< ¿=1 j=l

Теорема 2.11. Пусть для цепи £3 Еу Е" — Ех Еу < 0. Пусть также (г, ]) и 7(г) —7 при г -> оо, где 0 < 7 < т/2.

Ех < 0, Еу < 0, ЕхЕ^-ЕуЕ; > ( € (Z+)2, I = rcos(7(r)), j = rsin(7(r^

1. Если д(1,ро-1/ро1) < 0, то для любого 7 € [О, тг/2] выполнено (10). Граница гартина тривиальна.

2. Если д(1,р_ю/рю) > 0, введем пару (г', у') по Лемме 2.9 и угол 70. Приу£ ,70) асимптотика ядра Мартина задается формулой (10). При 7 € (7о,7г/2]

?е С(м) = (х')'(у'У + «<.(*', + д(*',у>"(0- При 7 = То

С1 С(1о,7о) + С2 (р-юДрюя'))'

С1С(0,0) + С2 (р-ю/(р10*'))

kú(«'o.io) ~ -тг^т:——---\jctg70 • (16)

Минилальнал граница Мартина состоит из двух точек. Эти точки опре-гляются формулами (10) и (15).

Наконец, в Разделе 2.2.7 сформулирована Теорема 2.12 о границе Мартина м цепи £3, если Е* < О, E¡, < О, Ех EJ, — Еа Е'х > 0, ЕуЕх-ЕхЕу > 0. При гих условиях цепь уходит на бесконечность по каждой из осей с положительной :р оятноятыо.

!емма 2.10. Пусть для £3 Ех <0,ЕУ< 0, Ех Е'у - Еу Е^ > 0, Еу Ех - Ех Еу > 0. огда существуют константы C(io,jo) " C(io,jo) такие, что

C(ioJo) при i -)• 00, C(io,jo) при j -> 00.

Введем теперь угол 70 € (0, л-/2) такой, что (рю/р-ю)"*"'0 = poi/po-i-

еорема 2.12. Пусть для цепи £3 Е* < О, Еу < 0, Ех Еу — Еу Е* > 0, уЕ'х — ЕхЕу > 0. Пусть также (i,j) 6 (Z+)2, i = rcos(7(r)), j — rsin(7(r)), (г) 7 при г -)■ oo, 0 < 7 < i: 12. При j € [0,70)

pu 7 e (70, ff/2]

lim k,j(i'o, jo) = (18)

C(0,0)

de константы C(io,jo) « C(io,jo) определены в Лемме 2.10. При 7 = 70

k- (I0 jo) ~ Cl (7('0'j°) + °2 Jo)(P^/P-'°)Í"yct8"yo (19)

' Ci C(0,0) + C2 C(0,0)(pio/p-io)'--,cts'ro

Гини-иальнал граница Мартина гомеоморфна двум точкам. Эти точки опреде-яются формулами (17) и (18).

В Разделе 2.3 доказываются все результаты, сформулированные в Разделе 2.2. Разделе 2.3.1 доказаны все необходимые утверждения относительно алгебра-ческих функций и римановой поверхности. В Разделах 2.3.2-2.3.7 доказаны

результаты Разделов 2.2.2-2.2.7 соответственно. Приведем общую схему доказательств Теорем 2.7-2.12.

Чтобы найти границу Мартина, мы вычислим асимптотику функции Грина 7T1'°J0, если 1 = rcos(7(r)), j = rsin(7(r)), у(г) —> 7 при г —)• oo. Затем, по определению ядра Мартина, для каждого 7 получим lim к.Дго, jo) = lim

Г-+ОО Г-ЮО

Сначала выводится функциональное уравнение для производящих функций 7r°j0. В четверти плоскости, например, оно имеет вид:

Q(x, у)П'°'°(х, у) = д(х, + ч(*, у)* °J°M + <?о(х, уКГ + *'V° (20]

где |х|,|у| < 1, (io,jo) начальное состояние, n,0j0(x, у) = 7Г!°;°Х'-1У,_1

до(х,у) = EijPb^V ~ остальные функции определены в (1), (3) и (14). Этс уравнение аналогично уравнению для стационарных вероятностей в эргодиче-ском случае, которое исследовалось в [19].

Тогда можно представить как двойной интеграл по контуру |х|, |у| = 1—е от правой части (20), деленной на (2iri)~2x't/Q(x,y). Мы преобразуем этот интеграл в сумму одномерных интегралов на римановой поверхности S по циклаи х-1{|х| = 1} и у-1{|у| = 1}. Подынтегральные выражения имеют классический характер для применения метода перевала. Мы доказываем, что цикл на £ можно деформировать так, чтобы он проходил через точку перевала 3(7), а i остальном лежал ниже ее уровня. Это делается с помощью исследования множе ства "вещественных точек" S и структурной устойчивости линий уровня анализируемых функций. Отметим, что подынтегальное выражение содержит 7r'°-"J(s и ir'o3a(s). Первоначально эти функции определены лишь в некоторых областях £ как 7r'OJa(s) := л'а3а (x(s)), 7r'0J0(s) := 7r'ojo(y(s)). В каждом случае мы меро морфно продолжаем их на всю S, опираясь на функциональное уравнение (20) При этом продолжении к'0j0(s) = 7r'0J0(s'), если x(s) = x(s'), и тт'0-"1^) = к,°J°(s") если у(s) = y(s'). При деформации контура интегрирования могут встретиться полюса функций ff'0j0(s) и 7r'a3o(s). В этом случае асимптотика тт]°30 определи ется самым "низким" полюсом. Мы доказываем, что этот полюс всегда лежи: на Fo- В противном случае асимптотика определяется вкладом точки пере вала s(j). Заметим, что полюса подынтегральных функций возможны только i точках 5, в которых g(x(s),p0-i/(poiy(s))) = 0 или g(p_io/(piox(s)), y(s)) = 0. (I частности, s(7'), 5(7") и -s^e), введенные в Разделах 2.2.3-2.2.5, являютя полю сами.)

Основной вклад в грашщу Мартина вносят точки перевала: при различны; углах 7, при которых асимптотика 7rl'°Jo задается точкой перевала, мы получил различные точки границы Мартина, как, например, в (7). Полюса, напротив мало влияют на границу Мартина: все углы 7, для которых асимптотика ~'l°J' определяется заданным полюсом, добавляют одну и ту же точку границы, как например, в (8), (9) или (10).

19. В.А. Малышев. Асимптотическое поведение стационарных вероятностей для двумерных положительных случайных блужданий // Сиб. Мат. Журнал. 1' (1), 156-169 (1973).

В Главе 3 диссертации рассмотрена бесконечночастичная модель на полупрямой. Мы вычисляем скорость сходимости к одной из точек границы Пуассона. Разобьем полупрямую [0, оо) на единичные отрезки. На каждый отрезок поступает пуассоновский поток частиц с интенсивностью А и равномерно распределяется по нему. Все потоки взаимно независимы. (Очевидно, такое разбиение полупрямой условно: модель не изменится, если мы рассмотрим отрезки длины 5 > О и пуассоновские потоки с интенсивностью А8.) По полупрямой в положительном направлении с единичной скоростью движется обслуживающее устройство (прибор). Перед каждой встретившейся частицей оно останавливается и обслуживает ее. Времена обслуживания распределены экспоненциально с параметром /л, взаимно независимы и не зависят от входного потока. В начальный момент обслуживающее устройство находится в нуле. Мы исследуем положение прибора в момент времени Т. Обозначим его У (Г). Основной результат сформулирован в Теореме 3.1 и состоит в следующем:

1лп -Ц-г. = - п.н.

Г-+оо 1п 1 А

Автор благодарит своего научного руководителя доктора физико-математических наук профессора В.А. Малышева за постановку задач, обсуждения и постоянное внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации

1) LA. Kurkova, V.A. Malyshev. Martin boundary and elliptic curves // Markov Processes and Related Fields том 4, N2, 203-272 (1998).

В этой работе И.А. Курковой принадлежат разделы 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6; остальные разделы принадлежат В.А. Малышеву.

2) И. А. Курков а. Процесс последовательной очистки // Фундаментальная и Прикладная Математика том 2, выпуск 2, 619-624 (1996).

3) И.А. Куркова. Инвариантные множества и граница Пуассона для случайных блуждашш на решетке // Деп. ВИНИТИ, N2860-B98, 15 стр., от 28.09.98.

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

Куркова Ирина Анатольевна

ГРАНИЦЫ ПУАССОНА И МАРТИНА ДЛЯ ДВУМЕРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ

(01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика)

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор В.А. Малышев

МОСКВА, 1998

Оглавление

Введение 3

0.1. Случайные блуждания в Ъ\ Ъ л (г+)2..................7

1. Граница Пуассона 10

1.1. Основные определения ........ ..........................10

1.2. Граница Пуассона для случайных блужданий в г2,

и (г+)2 ............................................................12

1.3. Обобщения для случайных блужданий в {Ъ+)к xZraи (2+)п 19

2. Граница Мартина 21

2.1. Основные определения ..........................................21

2.2. Результаты........................................................24

2.2.1. Необходимые утверждения..............................24

2.2.2. Случайное блуждание в Т?..............................27

2.2.3. Случайное блуждание в Ъ х Ъ+\ Ех > О, Еу > 0 ... 29

2.2.4. Случайное блуждание в Z х Е^ < О, Еу < 0 ... 32

2.2.5. Случайное блуждание в (2+)2: Еж > О, Еу > 0 .... 33

2.2.6. Случайное блуждание в (%+)2: Еж < О, Еу < 0, уход

на бесконечность по одной оси..........................37

2.2.7. Случайное блуждание в (Я+)2: Ех < д^^^Ь^ход

на бесконечность по двум осям . . . '.Г- ••• •'• • • 38

2.3. Доказательства ..................................................40

2.3.1. Общая схема доказательств ............................40

2.3.2. Случай Ъ2..................................................47

2.3.3. Случай Ъ х Ех > О, Еу > 0..........................53

2.3.4. Случай г+ х Ъ: Ех < О, Еу < 0..........................67

2.3.5. Случай (г+)2: Ех > О, Еу > 0............................73

2.3.6. Случай Ех < 0, Еу < 0, уход на бесконечность по одной оси ......................................81

2.3.7. Случай (г+)2: Ех < 0, Еу < 0, уход на бесконечность по двум осям......................................86

3. Скорость сходимости к границе 89

3.1. Бесконечночастичная модель и результат..........89

3.2. Доказательство ..................................................90

Литература 93

Введение

Одной из важнейших задач в исследовании транзиентных цепей Маркова является нахождение границ Пуассона и Мартина. С одной стороны, ее решение позволяет описать "финальное поведение" процесса и "различать" "предельные точки" траекторий. С другой стороны, оно дает интегральное представление всех ограниченных гармонических функций в случае границы Пуассона, и, более того, всех неотрицательных гармонических функций в случае границы Мартина.

Интегральное представление послужило мотивом для создания теории границ Мартина в 1941 году. Мартин в [43] исследовал множество положительных решений уравнения Лапласа в области евклидова пространства.

Компактификация Мартина была введена Дубом [27] и Хантом [35]. Это пополнение X* пространства состояний X транзиентной цепи в метрике, зависящей от асимптотики функции Грина. Тогда граница Мартина есть дХ = Х*/Х. Дуб в [27] дал вероятностную интерпретацию результатов Мартина: непосредственные выводы относились к вине-ровскому процессу, но Дуб показал возможность их распространения на счетные дискретные цепи. В его работе сначала невероятностными методами вводится интегральное представление гармонических функций, а затем из него вытекает теорема о финальном поведении траекторий. Новый подход был предложен Хантом в [35]: сначала из вероятностных соображений доказывается теорема о финальном поведении, а после этого, с помощью /г-процесса, выводится интегральное представление. Эта теория получила дальнейшее развитие в работе Дынкина [2].

Интегральное представление гармонических функций вдоль дХ не единственно. Чтобы добиться единственности, надо исключить из дХ некоторые точки. Полученное множество называется в [2] пространством выходов, или в других работах [38, 49, 51] — минимальной границей Мартина.

Для определении границы Пуассона в настоящий момент существует много подходов, они изложены в [31, 36, 37, 50].

Перечислим работы, в которых были исследованы границы Пуассона и Мартина для случайных блужданий на графах и группах. В [28] найдена минимальная граница Мартина для случайных блужданий в Ъ\ она состоит не более, чем из двух точек. Однако неминимальная граница может быть шире, как показывает пример в [19], § 7. Анализ гармонических функций для случайных блужданий размерности А > 1 был начат в [34] и [20]. Ней и Спицер в [44] и Спицер в [11] нашли границу Мартина для пространственно одонородных случайных блужданий в

¿> 2, если экспоненциальный момент скачка за один шаг конечен. В [44] рассмотрен случай, когда средний скачок за один шаг отличен от нуля: доказано, что граница Мартина гомеоморфна сфере. В [11] рассмотрен случай нулевого среднего скачка: граница Мартина тогда состоит из одной точки. В обоих перечисленных случаях граница Пуассона тривиальна, что доказано, например, в [17]. В работе [16] эти результаты обобщаются на случай Р1А Гармонические функции для блужданий на нильпотентных группах исследованы в [9]. Граница Мартина для случайных блужданий на свободных группах была определена в [3] и позже изучалась в [24].

Отметим также, что в некоторых работах решается обратная задача: нахождение цепи, для которой заданное множество является границей Мартина. Так, например, в [23] определяется цепь, для которой границей Мартина является ковер Серпинского.

В ряде работ компактификация Мартина сравнивается с другими возможными компактификациями пространства. Для случайных блужданий на деревьях вводится компактификацию концов. Пути, имеющие лишь конечное число различных вершин, объявляются эквивалентными. Классы эквивалентности называются концами. Они пополняют пространство вершин в некоторой метрике. В [18, 19, 46] доказывается совпадение компактификации Мартина с компактификацией концов при некоторых наложенных условиях. В [32] рассматриваются гиперболические графы и их возможная компактификация, называемая гиперболической. В [15] доказывается ее совпадение с компактификацией Мартина. Работа [33] посвящена возможным пополнениям симметричных пространств и их взаимосвязи. В ней, в частности, подробно изучается компактификация Мартина для случайных блужданий на симметричных пространствах.

В [47] исследуется граница Мартина декартова произведения двух марковских цепей. Декартово произведение позволяет построить простые примеры, в которых граница Мартина шире минимальной границы, как, например, в [48]

Наконец, необходимо отметить работы [26] и [36], в которых речь идет о связи границы Пуассона с энтропией. В частности, для случайного блуждания на группе с конечной энтропией и неприводимой мерой граница Пуассона тривиальна, если и только если энтропия равна нулю. Этот результат доказан в [5, 25, 36]. Другие критерии тривиальности границы Пуассона и многочисленные примеры приведены в [37].

Мы видим, что в большинстве работ речь идет об исследовании границ для однородных блужданий на группах, деревьях, симметрических пространствах. Мы рассматриваем неоднородные блуждания в кону-

сах решетки. В данной работе найдены границы Пуассона и Мартина для транзиентных случайных блужданий в плоскости в полуплоскости Ъ х Х+ и в четверти плоскости (2+)2. Случайные блуждания удовлетворяют следующему условию однородности: все пространство состояний X может быть разбито на конечное число непересекающихся множеств X = и Бг таких, что для любого г и любых а,(3 £ Бг выполнено равенство переходных вероятностей: = рр,13+(г,з)- Другими словами, скачки одинаковы из всех состояний множества Бг. В соответствии с этим определением, мы разбиваем плоскость 1? на множество Б и набор конечных множеств Б1, Б2,..., Бп) полуплоскость Ъ х — на внутреннюю часть 51 = {(ь^) : ,7 > 1} и границу Б' = {(г,0)}, четверть плоскости (Ъ+)2 — на внутреннюю часть Б = {(г,^) : г,] > 1}, оси Б' = {(¿,0) : г' > 1}, Б" = {(0,^) : з > 1} и {(0,0)}. Предполагается, что векторы среднего скачка за один шаг во внутренней части ненулевые. Эти модели возникают во многих прикладных задачах, в частности, в теории массового обслуживания. Например, простейшая нетривиальная задача массового обслуживания может быть описана как случайное блуждание в четверти плоскости. Анализу этих моделей посвящен ряд работ: в [29] приведена их классификация, даны необходимые и достаточные условия на векторы среднего скачка за один шаг для эргодичности, нулевой возвратности, транзиентности; в [4] решена задача больших уклонений; в [42] найдена существенная скорость сходимости. Во всех перечисленных работах используются вероятностные методый.

Отметим, что для транзиентных блужданий в полуплоскости и в четверти плоскости выделяются качественно различные случаи. Пусть Е = (Ег,Еу), Е' = (Е^,, Еу) и Е" = (Е",Е^') векторы среднего скачка за один шаг из какого-нибудь состояния соответственно во внутренней части, в области Б' и в области Б". Тогда в Ъ х при Еу > 0 [соотв. в (2+)2 при Еж, Еу > 0] почти все траектории уходят на бесконечность по внутренней части, то есть лишь конечное число раз посещая: Б' [соотв. 5' и Б" и (0,0)]. При Е „ < 0, Ех Е'у -ЕУЕ'Х ф Ъ ъ Ъ х почти все траектории уходят в бесконечность по границе, то есть посещают Б' бесконечное число раз. В ^+)2, если Е^ > 0, Еу < 0, Ех Е^ — Е^ Е'х > 0 или Ех < 0, Еу < 0, Ех Е'у -ЕУЕ'Х> 0, Еу Е" - Ех < 0 [соотв. Ех < 0, Еу > 0, Еу - Еж Е;' > 0 или Еж < 0, Е„ < 0, Еу Е" - Ех Е£ > 0, Еж Е'у - Е„ Е^ < 0], почти все траектории посещают бесконечно часто Б' и лишь конечное число раз Б", другими словами, уходят в бесконечность по оси Б' [соотв. 5"']. Наконец, в случае Е^ < 0, Еу < 0, Ех Е^ — Е^ Е^ > 0, Еу Е" — Е^ Еу > 0 уход в бесконечночть возможен по каждой из двух осей с положительной вероятностью. Эти результаты следуют из [29].

Остановимся на однородном блуждании в плоскости. Рассмотрим частный случай, когда 5"1, Я2,..., Бп пусты, то есть скачки одинаковы во всех точках пространства. В этом случае граница Мартина найдена в уже упомянутой работе [44]. В ней рассмотрена асимптотика функции Грина вдоль траекторий, которые стремятся к прямолинейным лучам, выходящим из начала координат. Если направление луча совпадает с направлением вектора среднего скачка, то требуемая асимптотика вычисляется с помощью локальной центральной предельной теоремы. В противном случае делается замена меры так, чтобы заданный луч совпал с направлением вектора среднего скачка в новой мере. (Точно такая же замена меры делается для решения задачи больших уклонений. Однако проблема взаимосвязи границы Мартина и больших уклонений остается открытой.) Тогда, следуя предыдущему случаю, можно найти асимптотику функции Грина в новой мере. Наконец, полная пространственная однородность, позволяет связать простым соотношением функцию Грина в исходной мере с функцией в новой мере. Таким образом, требуемая асимптотика может быть найдена вдоль всех лучей. По результатам легко видеть, что граница Мартина гомеомрофна сфере. Метод, предложенный в [44], применим лишь в случае полной пространственной однородности. Если мы изменим скачки хотя бы в одной точке — этот метод уже не работает, поскольку невозможно связать функцию Грина в старой и новой мере. Тем более, этот метод неприменим для случайных блужданий в полуплоскости и четверти плоскости. В настоящей работе мы также находим асимптотику функции Грина вдоль лучей. Но для этого используем другой подход. Он позволяет вычислить границу Мартина для пространственно однородных случайных блужданий в Ъ2, где скачки в конечном числе точек изменены (б'1,..., 5'п не пусты), а также в Ъ+ х Ъ и Этот подход состоит в комплексном ана-

лизе алгебраической (эллиптической) кривой, задаваемой производящей функцией скачков во внутренней части. Он был разработан Малышевым в [6, 7, 8] для исследования асимптотики стационарных вероятностей эргодического случайного блуждания в (Ъ+)2. Заметим, что мы используем аналитические методы не в полной мере: нам не требуются решения функциональных уравнений в явном виде, а лишь возможность их аналитически продолжить. Граница Мартина в каждом случае го-меоморфна некоторому подмножеству "вещественных" точек эллиптической кривой.

Для нахождения границы Пуассона мы ограничиваемся вероятностными методами. При этом мы опираемся на работу [17], в которой структура инвариантной <т-алгебры марковской цепи описана с помощью почти замкнутых множеств пространства ее состояний. Для выде-

ления почти замкнутых множеств используется метод пробных функций (функций Ляпунова) из [29].

В Разделе 0.1 Введения определены рассматриваемые двумерные случайные блуждания, перечислены все наложенные на них условия.

Глава 1 посвящена границе Пуассона. В Разделе 1.1 дано ее определение и сформулированы необходимые утверждения. В Разделе 1.2 найдена граница Пуассона для двумерных случайных блужданий. Исследованы все качественно различные случаи. В большинстве из них граница Пуассона тривиальна. В четверти плоскости, в случае ухода на бесконечность по каждой из осей с положительной вероятностью, она состоит из двух точек. В Разделе 1.3 приведены некоторые обобщения полученных результатов на случаи большей размерности.

В Главе 2 найдена граница Мартина для случайных блужданий в плоскости, в полуплоскости и четверти плоскости. В Разделе 2.1 дано ее определение и перечислены важнейшие связанные с ней утверждения. В Разделе 2.2 сформулированы полученные результаты. При этом в Разделе 2.2.1 мы приводим все определения и утверждения относительно эллиптической кривой, необходимые для представления результатов. Далее в Разделах 2.2.2-2.2.7 сформулированы теоремы о границе Мартина соответственно для случайных блужданий в 7? с измененными скачками в конечном числе точек, в Z х Z+ с уходом на бесконечность по внутренней части и с уходом на бесконечность по оси, в (2+)2 с уходом на бесконечность по внутренней части, по одной оси и по двум осям. В Разделе 2.3 даны доказательства. В Разделе 2.3.1 описана их общая структура. Кроме того, в Разделе 2.2.2, в качестве примера, проанализирован результат работы [44].

В Главе 3 рассмотрена некоторая бесконечночастичная система на непрерывном пространстве состояний и ее асимптотическое поведение. Основной упор сделан на вычисление скорости сходимости к одной из точек границы Пуассона.

В заключение, отметим, что возможно применение разработанного во второй главе аналитического подхода к случайным блужданиям с более общими условиями на скачки. Граница Мартина снова го-меоморфна некоторому подмножеству соответствующей эллиптической кривой. Этот метод может быть также использован для вычисления границ входа и выхода возвратных цепей, которые определены в [38, 39, 45].

0.1. Случайные блуждания в Ъ\ Ъ х Z+ и (2+)2

В главах 1 и 2 мы будем рассматривать счетные марковские цепи £1, £2 и £3, которые являются однородными случайными блужданиями

в плоскости, полуплоскости и четверти плоскости соответственно. Другими словами, их пространства состояний:

22 = {(»\Л ЬЗ Целые}, х Ъ = {(г,^), целые, 3 > 0}, (г+)2 = {(¿,Я, 1,3 целые, %,з > 0}.

Блуждания максимально пространственно однородны. Это свойство означает, что пространство состояний может быть представлено как объединение конечного числа непересекающихся множеств:

—и^

г

таких, что для любого г и любых состояний а, (3 € 5Г выполнено следующее равенство для переходных вероятностей:

Рр,!3+{%,3) ~ Ра,а+(г,з)-

Вероятности скачков а £ ,5'Г) обозначим через ^р^.

Пространство состояний цепи С\ есть объединение

т=1

где множества

конечны. Переходные вероятности ^р^ обозначим через р^ и ^р^, ^Ргл • • •, ^Рц соответственно.

Пространство состояний цепи £2 есть объединение двух множеств:

Х+хХ = Б и 5',

где

Я =

5" = {(¿,0)}.

Вероятности скачков для множеств 3 и 5'' обозначим через и р'г] соответственно.

Пространство состояний цепи £3 есть объединение четырех множеств:

(2+)2 = 5и5"и5"и{(0,0)},

где

5 = {(г,Я:г",у >0}, 5' = {(г, 0) : г > 0},

5"' = {(0,Я^'>0}.

Вероятности скачков ^р^ обозначим соответственно через рг1, р'- ■, р"

ир?,-.

Предположим, что цепи £1, £2, £з неприводимые и апериодические и их скачки ограничены:

Ра,р ф о, только при - 1 < ((3 - а)к < 1,

где (/? — а)к — к-ая координата вектора (/? — а), А; = 1,2. Кроме того, вероятности рю, Р-нь Рог и ро_1 отличны от нуля для класса Зг = ,5' и все другие вероятности скачков для этого класса равны нулю. Пусть также есть соскок с границ: ]С»Ра > 0, Е^-р'/, > 0.

Зафиксируем начальное состояние всех цепей в (0,0). Введем векторы среднего сноса:

Е = (Ех,Еу) =

Е' = (Е^еу =

1,3

Е" = = (Е^яЕл^).

1,3 1,3

Мы будем рассматривать случай, когда Ех ф 0 и Еу ф 0 для £1, £2 и £3. Это влечет транзиентность цепи £1. Нам интересны только транзиент-ные цепи. В противном случае все гармонические функции постоянны и границы Мартина и Пуассона тривиальны. Приведем необходимые и достаточные условия транзиентности цепей £2 и £3 при этом условии. Они доказаны в [29].

Теорема 0.1. Пусть Ех ф 0, Еу ф 0. Цепь £2 транзиентиа, если и только если выполнено одно из условий

1. Еу > 0;

2. Е*<0, Ех Е'у — ЕуЕ'хф 0.

Теорема 0.2. Пусть Ех ф 0, Еу ф 0. Цепь £3 транзиентиа, если и

только если выполнено

одно

из условии

1. Ех > о, Еу >0;

2. Ех <0, Еу <0, Ех Е;- ЕуЕ^ > 0, Еу Е"- X Ех Е" у <0;

3. Ех <0, Еу <0, Ех е;- ЕуЕ; 1Л Еу Е"- X Ех Е" у >0;

4. Ех >0, Еу