Геометрические критические явления тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

/го/

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ им. Л. Д. ЛАНДАУ АН СССР

Иа правах рукописи

ОБУХОВ Сергей Павлович

УДК 538.975; 539.199

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

01.04.02 — теоретическая и математическая физика

Диссертация" на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в форме научного доклада

Черноголовка — 1989

Работа выполнена в Институте теоретической физики шпени Л. Д. Ландау АН СССР

Официальные оппоненты: член-корреспондент АН СССР А. М. Дыхне член-корреспондент АН СССР А. А. Овчинников доктор физико-математических наук, профессор

В. Л. Покровский

Ведущая организация:

Московский Государственный Университет, Физический факультет

Защита состоится « » 199 г.

в часов на заседании специализированного совета

Д.002.41.01 по присуждению ученой степени доктора физико-математических наук при Институте Теоретической Физики им. Л. Д, Ландау АН СССР (142432, Московская область, Ногинский район, Черноголовка, ИТФ АН СССР).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТФ АН СССР.

Диссертация разослана « » 199 г.

Ученый секретарь специализированного Совета, доктор физ.-мат. наук

В, П. Минеев

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Бурное развитие теории фазовых переходов за последние десятилетия сопровождались непрерпвным расширением области применения ее идей и методов. Наиболее плодотворным образом это сказалось на исследования целого ряда геометрических задач, которые традиционно изучались только чисто комбинаторными методами. Эти задачи часто возникают в различных областях физики твердого тела, теории полимеров, теории композиционных материалов, например, задача о возможном числе различных связных конфигураций из заданного числа элементов, задача о макроскопической связности случайных сред (задача протекания), задачи о случайных блужданиях и т.д.

Оказалось, что понятия, выработанные для описания критических явлений: параметр порядка, радиус корреляции, восприимчивость могут быть применены к чисто геометрической проблеме - задаче протекания. В 1969 году эта аналогия получила строгое обоснование, когда Кастелейн и Фортуин показали, что статистика протекания совпадает с термодинамикой S-модели (модели Потса) в предельном случае SДругая геометрическая проблема - это задача о конфигурационной статистике самонепересекающейся случайной цепочки. В 1972 году де Женн показал, что она сводится к задаче о корреляционной функции п. -компонентного магнетика в пределе /г.-* О -Примечательно, что в обоих случаях геометрическим задачам сопоставляются хорошо известные решеточные модели -но в формальном пределе, когда число компонент стремится к некоторому нефизическому значению. Тем не менее, к этим моделям непосредственно применимы метода ренорм-грушш и G -разложения. Это позволяет найти соотношения между различными критическими индексами, вычислить их в приближении среднего поля, определить высшую критическую размерность задачи,найти первые порядки разложения по £ =o(c-cl .В дальнейшем аналитическое исследование геометрических критических явлений велось по двум направлениям. Одно из них - это исследование того, чему соответствуют нефизические пределы уже известных моделей, а также конструирование гамильтонианов,

I

которые в нефизическом пределе описывают ту или иную геометрическую задачу. Второе направление, впервые развитое в ра- ' ботах автора - это описание соответствующей задачи в терминах теории вероятностей, построение рядов теории возмущений и вывод правил диаграммной техники, в рамках которой возможно суммирование этих рядов. При этом возможно исследование критического поведения без привлечения представлений о виде гамильтониана задачи. Наиболее эффективно этот подход был применен для описания процессов развивающихся во времени. Эти процессы с точки зрения пространственно-временного описания могут рассматриваться как геометрические задачи, но со специфической анизотропией, связанной с необратимостью времени - причинностью.

Основные направления исследования. В диссертации развиваются оба описанные выше подхода к решению геометрических задач. В рамках первого подхода - исследуются нефизические пределы ухе известных калибровочно-инвариантных решеточных моделей, построены гамильтонианы для расширенного описания конфигурационной статистики линейных объектов: полимеров, взаимодействующих дислокаций и фрустрационных линий, развит . полевой формализм для описания линейных структур с фиксированным внутренним беспорядком, а также для описания разветвленных полимерных структур.

В рамках второго подхода - диаграмного ставятся и исследуются пространственно-временные задачи: задача направленного протекания, задачи о случайных блужданиях, о само-' организующемся критическом процессе.

Кроме того, в диссертации рассматриваются вопросы формирования разветвленных структур и бесконечного кластера в реальных процессах, исследуется корректность используемых методов.

Научная новизна-и практическая ценность работы. В дис- , сертации разработаны и применены для решения различных конкретных задач новые методы исследования геометрических за,- .. дач. В частности:

- предложены общие принципы построения диаграмной техники для пространственно-временных задач;

- исследованы критические свойства задачи направленного протекания, неоднородных задач протекания;

- исследовано асимптотическое поведение случайных блудцаний в неоднородной среде, случайных блузданий с избеганием самопересечений;

- исследованы критические свойства самоорганизующихся критических систем;

- предложен формализм расширенного описания раствора полимеров, позволяющий исследовать свойства отдельной полимерной цепочки, находящейся в растворе других цепочек;

- исследованы критические свойства неоднородных полимерных цепочек при адсорбционном переходе и переходе клубок-глобула;

- построен теоретико-полевой формализм для описания взаимодействующих дислокаций и фрустрационных линий;

- исследованы процессы образования разветвленных структур и формирования бесконечного кластера;

- исследованы нефизические пределы решеточных калибровочных моделей ;

- предложен новый механизм Ij^. шума, обусловленного движением дислокаций и других протяженных дефектов.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на 1-1У Всесоюзном совещании "Математические методы для исследования полимеров и биополимеров" (Пущино, 1979, 1981, 1983, 1985)," на школах ЛШФ по физике конденсированного, состояния (Усть Нарва, 1979, 1981, 1987), на Совещании "Проблемы теории полимеров" (Черноголовка, 1985, 1987, 1989), на совместном семинаре ИТФ - Отдёла ядерных исследований (Юлих, 1988, Москва, 1989), на. Всесоюзной школе-семинаре по квантовой химии и статистической физике (Владивосток, 1985, 1989), на семинарах Института, теоре-

тической физики игл.Л. Д.Ландау АН СССР, на семинарах по теории полимеров (физфак МГУ), на теоретических семинарах Института Высокомолекулярных соединений, Физико-технического института и ЛШФ, на Международном Совещании Ренормгруппа-86 (Дубна, 1986), на Советско-американском симпозиуме по физике конденсированных сред (Севан, 1980), Советско-венгерских симпозиумах по физике твердого тела (Москва., 1980,1983, Будапешт, 1981, 1982), на Международных семинарах ИТФ им. Л.Д.Ландау-Нордига (Москва, 1981, 1985, Копенгаген, 1984), на летней школе "Флуктуации и структурообразование" (Корсика, 1988).

Публикации. Диссертация содержит результаты 23 научных работ, выполненных в Институте теоретической физики АН СССР и опубликованных в СССР и за рубежом. Из них 10 - выполнены с соавторами. Соответствующий список приводится в конце диссертации.

I. Задача направленного протекания [1-з]

1.1. Асимметричные задачи не сводимые к изотропноьупро-теканию. В 1957 году Боадбент и Хашерсли [Зб] на основе рассмотрения различных процессов типа смачивания пористой среда, распространения инфекции, блувдания в лабиринте, сформулировали задачу протекания. В решеточной формулировке эта задача мокет быть описана с помощью локальных вероятностей р(^^с) протекания с каздого узла решетки на соседние узлы ( - элементарные^вектора решетки). Исследовался только случай = Примером такой системы мо-

жет быть решетка, олккашие узлы которой соединены с вероятностями с) проводящими проволочками. Вблизи порога ' протекания, когда существенны только большие масштабы, эта задача мелеет быть сведена с помощью преобразования координат к изотропной задаче протекания. В дальнейшем мы будем называть этот случай "изотропным".

В этой главе мы рассмотрим более обгций случай произвольных р £ Простейшим примером такой задачи может быть решеточная модель, в которой наряду с проволочками

блияайпше соседние узлы могут быть соединены односторонними связями-диодами.

Друг™ примером такой задачи может быть задача о распространении инфекции илидокара в^лесу под действием ветра. При этом очевидно ^Р № покажем,что

эта задача таете как и изотропшя напоминает фазовый переход. Она характеризуется своишсобственными критическими индексами, которые отличны от индексов изотропной задачи. Высшая критическая размерность этой задачи с/с = 5. Свойства бесконечного кластера (Б.К.) также существенно меняются. Тогда как Б.Клзотропной задачи проводит во всех направлениях, в нашем случае протекание выше порога возможно только внутри определенного конуса направлений. Поэтому в дальнейшем ш будем называть эту задачу "задачей направленного протекания".

К направленному протеканию сводится ташке задача о распространении возбуждения в активной среде. Рассмотрим с1 -мерную решетку,в узлах которой находятся нейроны или нэйроноподобные автоматы. Каждый из них имеет два состояния: основное и возбужденное. Пусть нейрон, возбужденный в момент времени "Ь может в следующий момент времени ^ + I передать.возбувдение своим ближайшим соседям, каждому с вероятностью р , сам он при этом возвращается в'невозбузденное состояние. Если р мало, то возбуждение через какое-то время угаснет. Если р превышает некоторое критическое значение рс , то возбуждение начинает лавинообразно распространяться в среде. Процесс распространения возбуждения можно описать как задачу протекания на с/+1 мерной пространственно-временной решетке. При этом ближайшие соседние узлы соединены с вероятностью р связями ориентированным в направлении возрастания времени. В этом случае высшая критическая размерность пространства с/с = 4 (4-1-1).

1.2. Теория возмущений

Рассмотрим решеточную задачу, в которой наряду с двусторонними связями есть небольшое количество односторонних связей-диодов, ориентированных в одном направлении. Простейшая поправка,связанная с наличием таких связей, показана на рис.1. Здесь линии - корреляторы изотропной задачи — (в импульсном представлении

0(Ю ), стрелка

К^Г сор)

начает оператор сдвига —

— I . Учет атой и даль-нешлих поправок с двумя, треда и т.д. стрелками приводит к рис J корреляционной функции вида:

(I)

или в координатном представлении

ехрШ - [г'^щ]

Здесь - перенормированный параметр близости к точке перехода, А = йР , где а - единичный вектор, указывающий направление ориентированных связей, их концентрация. Вблизи порога протекания, при % 0 функция корреляции является сильно вытянутой и слабо убывающей в о, направлении. При этом вероятность протекания из точки I в точку 2 не равна вероятности протекания' из точки 2 в точку I: &(х) г4 £г . Характерный масштаб убывания функции корреляции в о направлении (продольный радиус корреляции) растет при О как 1„ с

= I, а в перпендикулярном направлении как с = 1/2. Таким образом, наличие даг.е малой доли направленных связей приводит к изменению класса универсальности задачи протекания.

Можно проанализировать структуру однопетлэвых поправок в диаграшой технике изотропного протекания , и сформулировать аналогичные правила для диаграмной те л шеи задачи направленного протекания. Например, по формальным правилам диаграшой техники изотропной задачи диаграмме рис.2а сопоставляется дополнительный множитель -X. Какой шожитель следует приписать аналогичной диаграмме в задаче направленного протекания рис.26? Если каждой линии диаграммы

О

а- 5 в

2-

Рис. 2.

рис.26 сопоставить коррелятор (I), то т. получил вероятность того, что из точки I в точку 2 существует одновременно два различных пути протекания 2в и 2г. Между тем. при выводе выражения (X) вклады от этих двух путей учитывались как независимые вероятности протекания из точки I в точку 2. Таким образом, в выражении (I) конфигурации вида рис.26 учтены дважды. Чтобы скомпенсировать этот излишний вклад .необходимо из затравочного выражения (I) вычесть выражение соответствующее диаграмме 26. Таким образом однопетлевой диаграмме рис.26 необходимо сопоставить дополнительный множитель -I. Аналогичным образом формулируются правила для однопетлевой поправки к тройной вершине. Заметим, что для вычисления этих поправок не требуется знания гамильтониана задачи, они получаются с помощью обычных правил теории вероятности. Приближения, сделанные при этом, эквивалентны приближению большого числа ближайших соседей (малость однопетлевых поправок).

1.3. Ренорм-группа

Знание структуры рада теории возмущений позволяет написать уравнения для основных перенормированных величин. Так для тройной вершины это уравнение графически может быть представлено так:

)>= >

Соответствующее уравнение ренорм-группы в первом порядке по имеет вид:

Здесь ^ - логарифм пространственного масштаба, , П^ -продольный и поперечный индексы аномальной размерности

Решение этого уравнения = .

С помощью этих величин можно вычислить остальные индексы задачи направленного протекания:

(3)

Б этой задаче есть еде один индекс, которому нет аналога в изотропной, задаче. Это индекс утла раствора конуса разрешенных направлений протекания выше порога протекания. Непосредственно в критической точке протекание на бесконечность возможно только в направлении направленных связей {угол равен нулю). По мере удаления от порога,

этот угол .растет как 0

1.4. Задачи протекания с беспорядком

Перколяционные модели обычно используются для описания свойств проводимости, протекания, связности в неупорядоченных системах. В этих моделях уже с самого начала заложен сильнейший локальный беспорядок (например, в задаче связей это наличие или отсутствие связей между соседними узлами решетки). Если ввести дополнительный беспорядок в такую систему (решать задачу связей на решетке с дефектами) , то это изменит только порог протекания системы, но не ее критические свойства вблизи порога.

а) Направленное протекание с беспорядком

Как было показано выше, задача направленного протекания может применяться для пространственно-временного описания случайных процессов в возбужденных средах. В реальных биологических средах, нейронных и логических сетях, которые можно описывать с помощью этой задачи, всегда присутствуют дефекты и пространственная неоднородность.

С точки зрения пространственно-временного описания системы,точечная пространственная неоднородность является неизменной на протяжении всего времени развития процесса, т.е. дефектной является целая линия X жЬ = (о,со) . Как показано в работе [24] , с помощью численного моделирования, критические индексы системы с такими дефектами существенно отличаются от индексов однородной задачи. Рассмотрим ту же простейшую модель активной среды, что и ранее, но предположим, что каждый нейрон характеризуется своей вероятностью р^ передачи возбуждения ближайшим соседям. Вероятности распределены по некоторому

случайному закону и фиксированны. Учет неоднородности распределения случайных связей можно провести в рамках диаг-рамной техники однородной задачи, обобщенной на случай системы с "примесями" [2]. На рис .За-приведена простейшая диаграмма неоднородной задачи. Здесь

аГ >

а Ъ §

Рис. 3 .

г.

пунктирной линии сопоставляется множитель S(ы) J(в импульсно-частотном представлении), вершине взаимодействия с примесью множитель S > равный дисперсии вероятностей Pi . Легко видеть, что сингулярность диаграммы-рис.3а такая яе что и диаграммы рис.26. Аналогично, поправки к тройной вершине, обусловленные примесями, напр. рис.Зй, необходимо учитывать одновременно с однопетлевн-ми поправками задачи направленного протекания. Вершина взаимодействия с примесью также перенормируется (см.рис. Зв,г). Совместные уравнения ренорм-группы для перенорш-рованных вершин ^ я 5 имеют вид:

(4)

Эти уравнения имеют устойчивую фиксированную точку

Заметим, что величина входит в уравнения ренорм-

группы только со знаком "+" и если бы коэффициенты при § 2" были несколько большими, то система уравнений была бы неустойчивой. Близость к неустойчивости сказывается в более сильной зависимости и критических индексов

10

Vi, -1+1-, te h f ^ (5)

от € по сравнению с однородной задачей. Это качественно согласуется с аномально большими значениями критических индексов полученных при магнитном моделировании, задачи с дефектами [24] при d = I+I, d - 2+1. Количественное соответствие вычисленных величин критических индексов с экспериментальными вероятно возможно только при а = 3+1.

б) Протекание в слоистых системах

Рассмотрим кратко вопрос о роли нелокального беспорядка в обычной задаче протекания с ненаправленными связями[21. Аналогом задачи с линейными дефектами, рассмотренной в разделе 1.4.а, может быть задача протекания в слоистой системе, в которой параметр р характеризующий плотность случайных связей меняется от слоя к слою. Такой тип нелокального беспорядка неизбежно долзен учитываться в моделях, описывающих проницаемость стратифицированных геологических объектов,например, месторождений нефти и газа, или в моделях, описывающих свойства слоистых композиционных материалов. Примечательно, что вблизи порога протекания основной вклад в измеряемые величины возникает не по теории возмущений а из-за экспоненциально редких областей слоистой системы,в которых оказываются радом несколько слоев с плотностью случайных связей выше средней. В работе [2] показано, что из-за этого вклада все средние измеряемые величины (например, плотность бесконечного кластера или проницаемость системы) являются бесконечно дифференцируемыми в точке'перехода.' Таким образом,это переход не второго рода, как в обычной задаче протекания, а бесконечного.

1.5. Полность» детерминистичные системы

В работе [3] исследуется возможность применения концепции направленного протекания к системе не вероятностных, как это было ранее, а полностью детерминистических автомат

II

Такие системы (решеточные автоматы Кауфглана) интенсивно исследуются в последнее время с помощью методов численного моделирования. Рассматривается решетка, каждый узел которой может находиться в двух возможных состояниях: основном и возбужденном. Состояние узла в момент времени £ +1 однозначно определяется состоянием ближайших соседних узлов в предыдущий момент времени "¿Г . Если число блиаайпюс соседей 2 , то всего возможно //=2.г их различных состояний и, следовательно,'для каждого узла должны быть фиксированы все М различных правил,по которым он работает. Кавдое" . из правил фиксируется заранее, причем правила, по которым узел переходит в возбужденное состояние, выбираются с вероятностью р , а в невозбуяденное - с вероятностью «/ - р . В ' ходе численных экспериментов Е25-261,исследовался процесс распространения "ошибки" при работе такой детерминированной системы. Рассматривалось поведение двух идентичных систем, начальные конфигурации которых различаются только состоянием одного случайно выбранного узла'. Показано, что при малых значениях р число узлов, находящихся в'различных состояниях, остается ограниченным в ходе эволюции двух систем. Если р превышает некоторое.критическое значение р , то это число растет до тех пор, пока не становится порядка, общего числа узлов системы.

Таким образом, при р~рс происходит переход в состояние детерминированного хаоса. Можно показать, что процесс распространения "ошибки" может быть описан в терминах неоднородной задачи направленного протекания. Действительно, при однократном посещении узла априорная вероятность передачи ошибки от узла к его ближайшим соседним узлам равна £р (^-р) • То» происходит при повторном посещении того же узла,уже нельзя рассматривать как независимый процесс, он должен коррелировать с исходом первого посещения. Мерой этой корреляции является вероятность того, что яри повторном посещении все соседние узлы находятся в том же состоянии, что и при первом посещении. Это вероятность порядка.'

ДГ*. Таким образом, ДГ' играет ту-же роль, что и величина £2 в предыдущем разделе 1.4. Высшей критической размерностью пространства для задачи о распространении

12

ошибки является о(с = к . а критические индексы совпадают с индексами неоднородной задачи. Б дальнейшем ш рассмотрим также задачу о самоорганизующемся критическом процессе. По физическому смыслу эта задача близка к задаче протекания и могла бы войти в первую главу диссертации. Но при ее изложении будут использованы элементы диаграмной техники задачи о случайных блужданиях. Поэтому в целях удобства изложения мы рассмотрим ее в конце второй главы.

2. Задачи о случайных блужданиях [4-10]

2.1. Случайное блуждание с избеганием самопересече-

Сравнительно недавно, в работе Амита, Паризи и Пелити [273 было показано, что задача о случайном блуждании ,:.с избеганием пересечений не является простым синонимом задачи о самонепересекающейся цепочке. Было показано,что эта задача характеризуется своим собственным критическим поведением и более низкой критической размерности) с/с = 2. , в отличие от с1с- Ц для самонепересекающейся цепочки.Прос-тейшая решеточная формулировка задачи следующая.

Если при случайном блуждании оказывается, что один или несколько ближайших соседних узлов были пройдены ранее, то следующий шаг делается равновероятно в направлении не посещенных ранее узлов. Оказывается, что полное-тыо запретить повторное посещение уже пройденных ранее узлов нельзя, так как в этом случав возможны конфигурации пути, при которых все ближайшие соседние узлы уже пройдены ранее и следующий шаг становится невозможны;,1. Поэтому предполагается, что вероятность шага из узла ¿, в соседний узел ^ зависит от числа /?. предыдущих посещений этого узла следующим образом: *

В работе [4]для задачи о случайном блуждании с избеганием самопересечений развита диаграмная техника, в

ний

(7)

рамках которой возможно суммирование рядов теории возмущений по константе д и применение метода реноры-групш. Опишем кратко, как возникают правила диаграмной техники. Для этого предположим сначала, что при не очень большом числе шагов число самопересечений шло, и рассмотрим лишь влияние одного самопересечения на вад невозмугценной функции корреляции. Под самопересечением здесь мы будем понимать случай, когда блуждающая точка оказывается вблизи своего предыдущего пути, так что блуждание в этот мо- ' мент является не свободным, а происходит с распределением вероятностей (7). Пусть (х , X') вероятность того, что на шаге А/ путь, начинающийся из точки X » придет в точку Л . В нулевом приближении

(8)

Рассмотрим простейшую конфигурацию с одним самопересечением (рис.4,а) _

Р*9

Р-?'

Рис. 4

Вероятность того, что при блуждании мы придем в точку дг находящуюся вблизи точки Х1 , уже пройденной ранее, равна: _ _______

Р ¡^гк(9)

Здесь i\J1 , Uz - число шагов, совершенных между точками X и X, , я Хг. I О* - постоянная репетки; позднее ш _про-суммируем (9) по всем возможным /Vj и А/^ . В точке Хг. блуждание не свободно, а происходит с вероятностью (7). Средний сдвиг на этом шаге равен

a /(Х.-Хг!

и с учетом вероятности (9) всей конфигурации

<а> = а Р($,хь*г) (ю)

Разложил X1tXL) по малой разности X-f-X^n про-

суммируем по всем возможным направлениям разности Х^ -Хг. . В континуальном пределе получим

G-^-xJj-^ (ID

Таким образом, отличие пути с одним самопересечением от число свободного состоит в том, что в точзсе Xz происходит сдвиг на величину <Сд Этот сдвиг приводит к тому, что вероятность оказаться через Д/5 шагов в конечной точке изменится на величину

£G-KQ> (12)

Просуммировав поправку (12) по всем возможным положениям точки Хг. • в которой произошло самопересечение, и по всем возможным наборам Ы^ , , таким, что N ,

U = 1,2,3, получим поправку первого порядка к выражению (8) для случайного блуждания. Если перейти в импульсному представлению и сделать преобразование Лапласа по переменной :

G (ър) = Z GAP) £ сю

то окажется, что поправка к описывается диаграм-

мой рис.4,б, где линиям сопоставляются корреляционные функции (j(°) £^ pj, а вершине выражение^ ptfffi

15

Все дальнейшие поправки мокно написать в виде диаграммного ряда с вершиной вида (у^ р-Ц) (рис.4в).

В первом порядке теории возмущений для эффективной вершины возникает выражение с другой комбинацией импульсов

(Р/ р'~' ^акпм 0<5Разом, для суммирования высших по-рятосов теории возмущений необходимо написать уравнения ренорл-групш с двумя зарядами и . Кроме того ^возможен так-заряд ^ с импульсной структурой ^р, р'- .

Физический сшсл этого заряда следушпдай: при подходе к месту предыдущего прохождения, наиболее предпочтительное направление движения параллельно ( дъ < О ) или антипарал-лельно предыдущему пути.

Кроме зарядов ^ !,дг , в двумерном случае (и только в двумерном случае) возможно введение дополнительных .зарядов й<< ' К0Т0Рые описывают нарушение симметрии правых а

левых поворотов при встрече препятствия 15,С]. Б диаграммную технику эти заряда входят в комбинации Уу* 2

$$ Рул ( - актисимметршши тензор

второго ранга, л, - компоненты вектора ) или что токе

самое, в виде р'-у] дЛРТР'-у.7 • Запись

с использованием векторного произведения возможна потому,что в двумерном случае векторное произведение любых двух векторов, лежащих в плоскости, есть вектор перпендикулярный этой плоскости, т.е. может быть описано как псевдоскаляр.

В работе [6 7 получены уравнения ренорм-группы, связывающие все пять зарядов. Показано, что эти уравнения не имеют устойчивой фиксированной точки. Это означает, что любое нарушение симметрии условий правого и левого поворотов приводит к локализации случайного блуздания. Если положить д^ то мы вернемся к первоначальной задаче о блуздании с избеганием самопересечений. В этом случае у уравнений есть устойчивая фиксированная точка «• £, Вычислен индекс л ,

связывающий средний квадрат пройденного расстояния с числом шагов Пу : ? • ПРИ о( -2 <Кг>~п?лП.

Эта ассимптотика подтверждается непосредственным численным моделированием, проведенным в работе [27].

В работе 17] рассмотрена одномерная задача случайного блуждания с избеганием узлов посещенных ранее. С помощью размерных самосогласованных оценок показано, что при таком блу-' вдашш уход от исходной точки растет со временем как .

2.2. Случайное блуждание в неоднородной средо

В работе Т8]показано, что разработанная выше диаграг.шая техника может быть применена для описания случайного блуждания в неоднородной среде. Предположил, что в каждом узла решетки случайным образом фиксированы вероятности перескока в ближайшие соседние узлы. При случапном^с однократны:.! посещением каждого узла эта неупорядоченность среди не сказывается на усредненных характеристиках пути. Если же в ходе случайного блуждания частица проходит через одну точку хотя бы дважды, го каждый раз она подвергается действию одного и того же фиксированного распределения вероятностей в этой точке.

Рассмотрение, аналогичное сделанному в разделе 2.1 показывает, что задача случайного блуадания в неоднородной среде соответствует частному случаю ^ , ^'Ян ~ ® В этом случае уравнения ренорм-грушш имеют устойчивую фиксированную точку = 2& . Примечательно, что при этом все сингулярные поправки к коэффициенту "диффузии взаимно сокращаются. Таким образом, среднеквадратичное смещение зависит от числа шагов случайного блуждания так же как и в однородной задаче о классической диффузии. Тем не менее, эти сингулярности могут проявляться в других измеряемых величинах, например в подвижности. Обсуздается также случай, неоднородности общего вида, при которой в каждой точке происходит нарушение симметрии правых и левых поворотов.

2.3. Блуждание в сильно неоднородной среда

В работе [8] рассмотрена задача блуждания в сильно неоднородной среде. Эта задача численно исследовалась в работе £28). При моделировании сильной неоднородности для каждого узла решетки генерировались вероятности переходов в соседние узлы:

Рч ,

где - случайные числа из интервала (0,1). При калах К

распределение слабо неоднородное, при больших /С

одна из вероятностей близка к единице, а осталь-

ные малы. В ходе численного моделирования было показано,что по мере роста АС происходит переход от чисто диффузионного решила к аномальному'режиму с Н^ . или даже ^^^ А/ . В работе Е8] показано, что переход к аномальной диффузии происходит из-за наличия в такой системе малого числа ловушек состоящих из двух расположенных рядом узлов. Из узла I частица с подавляющей вероятностью-переходит в узел 2 и наоборот. Найдено распределение вероятностей выхода из такой ловушки. Показано, что при

Кс. 6 (дая Двумерной квадратной решетки) среднее время выхода из ловушки расходится. При этом число преодоленных ловушек не пропорционально времени ~Ь- , а растет как , а среднее расстояние, пройденное за время ,

растет как ~Ь> У2* и стремится к в пределе

больших К .

В работе Г93 рассмотрена задача о рекомбинации частиц в сильно неоднородной среде под действием внешнего поля. Как показано в [29], в сильном внешнем поле происходит переход от режима классического дрейфа заряженных частиц к аномальному режиму, когда большую часть времени частицы проводят в ловушках образуемых внешним полем и неоднородностью среды. При этом зависимость числа пройденных ловушек от времени не является линейной. Существенно, что частицы разных знаков при отом находятся в разных ловушках.' Это приводит к аномальному замедлению скорости рекомбинации частиц. Получены выражения для аномальной зависимости концентрации частиц от времени в различных режимах, для двух-и трехмерной задачи.

2.4. Самоорганизующийся критический процесс

Эта модель интенсивно ксследуотся в последнее время 130-31]. Она монет быть применена для описания систем естественным образом приходящих в критическое состояние. Б ней по-видимому правильно угадан механизм генерации так назива-

Примером самоорганизующейся системы монет бить песчаная горка,на вершину которой добавляются новые песчинки. Угол наклона боковой поверхности горки при этом неизбежно становится равным критическому углу. Добавление каждой новой песчинки может вызвать сход небольшой лавинкя, причем распределение' лавш по размерам является чисто степешшм вплоть до лавин порядка размера всей система. Это и является признаком того, что система находится в критическом состоянии.Аналогичное состояние возникает при медленном двоении относительно друг друга тектонических плит, лежащее одна на другой. Если в какой-либо точке соприкосновения плит напряжение превышает некоторое критическое и происходит проскальзывание, то нагрузка немедленно перераспределяется мевду ближайшими соседними точками соприкосновения. Таким образом, наиболее вероятно, что в следующий момент времени проскальзывание произойдет именно в одной или нескольких соседних точках. Прямой численный эксперимент Г32] указывает на то, что распределение по энергии возникающих при таком движении подвижек плит совпадает с известным в геофизике эмпирическим законом Гутенберга-Рихтера [33], связывающим энергию землетрясений с их частотой.

Для аналитического описания такого процесса удобно в исходном приближении описать распространение возбуждения в напряженной среде как случайный ветвящийся процесс [10]. Этот процесс характеризуется гауссовой корреляционной функцией (8). При этом возникает вопрос о том, что происходит, если две различные ветви этого процесса проходят через одну точку. Простейший анализ показывает, что вероятность повторного прохождения лавинообразного процесса через ту же точку, ниже чем через точку не затронутую ранее этим процессом. Таким образом происходит как бы отталкивание одной

емого

шума во многих природных явлениях.

ветви процесса от точек, которые она прошла ранее и от точек, через которые ранее проста другая ветвь этого процесса (рис.5,а).

Можно провести рассмотрение, аналогичное выводу диаг-рамной техники в разделе 2.1 для задачи о блуждании с избеганием самопересечения. Тогда поправку к затравочной функции корреляции (8) из-за отталкивания можно описать с помощью диаграммы рис.5,б. Здесь линиям сопоставляются затравочные корреляционные функции (в импульсном представлении), вершине ветвления - некоторая константа Л , вершине, в которой сходятся две линии, одна из которых - линия более раннего процесса (со стрелкой), множитель Щ, х

х(9 ("¿/ . Простейшее усложнение вершины взаимодей-

ствуя показано на рис.5,в. Так же как и в задаче о случайном блуждании, при вычислении поправки рис.5в возникает выражение с другой комбинацией импульсов: (р-*^, р)§г* *-Э Кроме того, возможна ситуация, когда две раз-

личные ветви процесса возбуждения приходят в одну точку одновременно. Аналогичный случай обсуздался при рассмотрении задачи направленного протекания в разделе 1.2. Таким образом необходимо учитывать и диаграммы вида рис. 2.6 с вершиной а Все существенные диаграммы вида рис.

5в и рис. 26 логарифмически расходятся при с1с-Ц - высшей критической размерности задачи.

В работе [10] получены и решены уравнения ренорм-группы для всех трех зарядов. Вычислены критические индексы задачи.

3. Критическое поведение протяжениях линейных ^ъ^ров

3.1. Расширенное описание раствора линейных полимеров

В работе [ИЗ разработан общий формализм для описания растворов линейных полимеров. В основе формализма лежит свойство статсуммы /г -компонентного скалярного поля У} :

2«(пщп[1+1 у?2(х)+ь щ Цу, . 7 (кттх)}

(14)

быть представленной в виде суммы по всем возможным конфигурациям замкнутых и разомкнутых линий.

Здесь Х,Л' - пространственная переменная,для ближайших соседних узлов, Г7 (Х,К')~Оъо всех других случаях. Легко проверить, что (14) равно сумме по всем возможным конфигурациям из линий проходящих через узлы решетки,причем через каждый узел может проходить только одна линия (условие непересечения линий). Положив П, - О, можно исключить из этой суммы все конфигурации, содержащие замкнутые петли. Таким образом статсумма (14) может быть использована для описания равновесного раствора линейных полимеров. При этом существует взаимно однозначное соответствие между переменными модели и переменными Ст . Ср - концентрациями мономерных единиц и полимеров, описывающими раствор линейных полимеров.. В ГII] получены конкретные выражения для этого соответствия не только в критической области, но и вдали от нее. В работе Г123 подробно разобран парадокс с отрицательной продольной восприимчивостью ц- -компонентного магнетика в малых полях при [34]. Дело в том, что с помощью известных соот-

ношений эта восприимчивость связана с корреляционной функцией плотность-плотность полимерного раствора, которая не может быть отрицательной. Показано, что если воспользоваться точными соотношениями работы [II], то отрицательная восприимчивость ги = 0 модели не приводит к нефизическим результатам для раствора полимеров.

Для описания поведения выделенной (пробной) полимеркой цепочки в растворе других полимеров вводится отатсумма (14) с

21

удвоенным набором полевых переменных У} [Ш. Таким образом, задача о выделенной цепочке в полимерном растворе сво-. дится к задаче о корреляционных функциях анизотропного многоног,шонетного магнетика. Получены общие соотношения , связывающие эти две задачи. Для описания сильнофлуктурирующего раствора (большие длины полимеров, малая плотность мономерных единиц) получены уравнения ренорм-группы для перенорми-. рованных вириальных коэффициентов молекул раствора и выделенной цедочки. Рассмотрены различные предельные случаи, получено общее условие коллапса длиной молекулы находящейся в растворе молекул другого сорта. Отдельно рассмотрен двумерный случай (полимеры адсорбированные на поверхности). Показано, что даже в пределе большой плотности длинные поли-' меры не могут быть описаны в приближении среднего поля. Это связано с тем, что в двумерном случае условие непересечения полимеров является более сильным, чем в пространстве большей размерности. Так например, в ситуации, изображенной на рис.6, при с/>2 условие непересечения запрещает лишь наложение двух участков цепочки друг на друга, а при Ы=2 оно, кроме этого, запрещает проникновение в целую область А.

выделенным тем, что в этой размерности простейшие поправки от поперечных флуктуации параметра порядка расходятся. Систематический учет возникающих в двумерном случае логарифмических перенормировок для произвольного п -компонентного магнетика впервые был проделан Поляковым Г35]. Имея в виду, что эта процедура формально применима и при П. = 0, можно получить соответствующие результаты и для раствора долиме-

ров. Для среднего расстояния. ме:зду концами полимерной.цепочки получено выражение

САУСС (15)

Здесь расстояние между концами полимерной цепочки,

рассчитанное в приближении среднего поля, - средняя длина полимеров в растворе, А - численный коэффициент. В двумерном случае также возможно применение описанной выше процедуры с удвоением числа компонент. Это позволяет получить для размера пробной цепочки длины :

Если длина пробной цепочки , то ее описание сводит-

ся к задаче об одиночной полимерной цепи без самопересечений.

3.2. Дислокационное плавление кристалла

В работе ГШ построена полевая модель для описания дислокационного механизма плавления кристалла. В этой модели плавление кристалла связано с появлением дислокации бесконечной длины, разрушающей трансляционный дальний порядок. Поскольку в общем случае каждая дислокация характеризуется трехкомпонентным вектором Бюргерса, то для их описания вводятся три комплексных поля и соответствующая статсумма вида (14) вблизи точки перехода может быть представлена в виде;

2> ¡ПЩ ЪУ2*гхр[-н{ П, У?}],

* < 7 (17)

Здесь

Г-г Л

(2 - число ближайших соседей) - параметр близости к точке перехода, величина порядка обратной средней длины дислокаций.

Для описания взаимодействия дислокаций через деформацию ре-, шеткп использована аналогия между теорией дислокаций и магнитостатикой. Так например, сила действующая на дислокацию равна:

JF .(Щ ш

Здесь d-í - элемент длины дислокаций с вектором Бюргерса $ , £ - тензор напряжений. Сравнивая (18) с аналогичным выражением для силы, действующей на элемент тока ш видим, что для трех различных ориентация вектора Бюргерса V¿ J- £ ~ 1.2,3) можно ввести три различных магнитных поля H¿, таких, что ^z сила, действующая на

дислокащдо с вектором Бюргерса есть просто с( r¿ =

-\dt * Hél • Условие равновесия деформированного тела в теории упругости имеет вид у^<¿^¿.'0 или V \r\g~0, т.е.

H¿ можно представить как ротор от вектор-потенциала . Таким образом взаимодействие дислокаций со средой можно учесть, вводя для^каждого поля свой калибровочный век-

тор-полтенциал А^ :

Н -1 и, c/(v-LAé)Yel\^ (19)

Каждый из гамильтонианов H¿ описывает взаимодействие системы сохраняющихся токов с вектором Бюргерса fíg с полем деформации решетки. Энергия деформации изотропного тела равна: "

где jif - модуль сдвига, - коэффициент Пуассона. Подставив Gse^^^V^Aj; в (20), получаем полное описание^си-стемы взаимодействующих дислокаций в терминах полей A¿ . В этой модели появление дислокаций бесконечной длины (плавление) соответствует переходу от КУ3} = 0 к ¿ 0. Показано, что незамкнутые дислокационные токи приводят к экранировке взаимодействия (обращению. в ноль эффективной

24

упругости на больших масштаба^. Это в свою очередь приводит к появлению члена вица у у | 3 в функционале для свободной энергии системы Таким образом, переход от <У)> = 0 к £ 0 происходит скачком с образованием конечной плотности незамкнутых дислокационных линий (переход I рода). Получено выражение для скрытой теплоты плавления в точке перехода.

3.3. Фрустрационные линии в неупорядоченных пленарных магнетиках

В работе С14] модель, аналогичная рассмотренной выше, применима для описания топологического перехода в XV модели спинового стекла. Трехмерная модель пленарного магнетика со случайным знаком константы обмена между ближайшими соседними спинами обладает замечательным свойством - она допускает однозначное сведение к упорядоченному магнетику со случайно расположенными фрустрационными линиями. На рис. 7 приведен

\ \ / I

* \й/ / * /

/ / \ / Г\ \

Рис. 7.

пример решетки с одной антиферомагнитной связью (обозначена крестом). Предполагается, что магнитная анизотропия такова, что все спины ориентированы в плоскости рисунка. При этом возможны две равновесные конфигурации спинов а и б.' Обе эти конфигурации могут быть представлены как результат взаимодействия спинов решетки с фиктивным током (показан стрелкой) протекающим по плакету, дуальному антиферомагнитной связи. Такое же сведение возможно и в более сложных случаях. В каждой замкнутой фрустрационной линии возможны два различных направления тока и система, содержащая ./V* фрустрационных петель, может находиться в 2*У'Раэлггг!ШХ со~ стояниях. Полная энергия каждого из таких состояний опрело-

25

ляется формулой взаимодействия токов:

в статсумму входит суммирование по всем различным направлениям токов:

г=Г€-"и/т

№

Существенно, что терлодинамическое усреднение по направлению токов производится при фиксированной случайной конфигурации фрустрационных петель. Усреднение по всем возможным конфигурациям фрустрационных петель производится только после вычи-» сления свободной энергии: КРУ-К^^ В этом заключается существенное отличие этой задачи от задачи предыдущего раздела, в которой суммирование по всем возможным конфигурациям петель и направлениям тока (вектора Бюргерса) производилось одновременно. Трудность, связанную с необходимостью усреднения логарифма., можно избежать, воспользовавшись методом реплик 138]. Этот метод основан на простом тождестве:

В нашей задаче 2;Н - статсумма системы фрустрационных петель с п -независимыми токами на каждой петле. Каждый ток с номером например взаимодействует только с -ыми токами других петель. Для описания такой системы можно ввести у сложенное спинорное поле у? <5 и /Ь не_ зависимых калибровочных полей Д^ • Гамильтониан такой сис-теш можно записать в виде:

Н =£/ЛШу

1 (21>

Здесь \ ¿л - матрица

переставляющая йомпоненты спинора У^^г^'" и

В работе [14] вычислены корреляционные функции такой системы. Показано, что с увеличением плотности антиферромапшт-ных связей растет средняя длина фрустрационных петель и при некоторой критической концентрации связей происходит топологический переход с образованием незамкнутых (бесконечны:!;) фрустрационных линий. Показано, что статистика фрустрационных линий при зтом описывается критическими индексами трехмерной модели Изинга. Вычислены корреляторы фрустрационных токов. Показано, что в точке перехода в них появляется дальнодейст-вутощая составляющая, что является признаком перехода в фазу спинового стекла. Построена диаграмма состояний системы.

3.4. шум обусловленный движением дислокаций

В работе Г151 рассмотрен дислокационный механизм генерации токового шума, спектральная плотность которого растет с понижением частоты примерно как (^/-С шума). Этот шум экспериментально наблюдается в необычайно широком классе объектов и может видимо считаться универсальным свойством проводников (см. обзор [37]). Более того, экспериментальные исследования последних лет показали, что аналогичный спектр флуктуации, связанных с откликом на внешнее возбуждение, наблюдается практически в любой реальной неупорядоченной системе. В настоящее время принято считать, что не существует единого микроскопического механизма, приводящего к возникновении 4 шума. Можно выделить два различных подхода, применимых к разным системам. Первый связывает -4 шум с маргинальным (критическим) состоянием,' в которое система неизбежно приходит под действием внешних факторов. В этом самоорганизующемся критическом состоянии (см.раздел 2.4) степенное поведение временных корреляторов от микроскопических до макроскопических масштабов является естественным следствием критичности системы. Второй подход связан с поиском в исследуемых системах термоактивированных процессов с экспоненциально широким набором времен релаксации.

В работе £151 показано, что экспоненциально широкий спектр времен релаксации неизбежно возникает при взаимодействии протяженных дефектов-дислокаций и точечных дефектов. Причиной этого является широкий разброс энергий активации, соответствующих переходам отдельных участков дислокации между равновесными (метастабильными) положениями. Характерная энергия пиннинга при этом связана с длиной флуктуирующего участка дислокации и растет вместе с ней. Движение дислокации в плоскости скольжения приводит к изменению взаимного расположения примесей находящихся вблизи этой плоскости. При этом изменяется и сопротивле- • ние всего образца. Сделанные количественные оценки для амплитуды -1 шума индуцированного движением дислокаций в массивных металлических образцах и тонких металлических пленках согласуются с экспериментальными данными. Показано, что в широком температурном интервале амплитуда 1 шума не зависит от температуры а от концентрации примесей, что также наблюдается в эксперименте. Обсуждается механизм генерации 4 /^ шума связанного с движением других протяженных дефектов - доменных стенок в магнетиках, межзерендах границ и т.д.

4. Конфигурационная статистика случайной гетеропо-ллмерной цепочки Г16-17]

В этой главе рассматривается статистика полимерной цепочки, состоящей из случайной последовательности мономеров разных сортов. Рассматривается два вида переходов, в которых может проявиться неупорядоченность цепочки: переход клубок-глобула и адсорбционный переход. Это основные типы конформационных переходов и с ними связаны многие аспекты функционирования полимеров в живых организмах, многочисленные технологические применения, на них основаны многие хроматографические методы исследования полимеров.

Существует большое количество работ по теории адсорбции (см.обзор [39] и по теории перехода клубок-глобула (см.обзоры [40,41]), но они ограничиваются рассмотрением так называемых однородных линейных полимеров. Это

полимеры, состоящие из мономеров одного сорта, либо из многократно повторенной последовательности мономеров ' разных

сортов, например А-В-С -А-В-С-Л-В-С-... . Между

тем громадное большинство полимеров в природе - молекулы ДОС и белковые молекулы - являются апериодическими.Корреляционный анализ таких последовательностей не позволяет выде-: лить в них какой-либо крупномасштабной закономерности. Это означает, что знание /г первых членов не позволит предсказать ги + 1. -й, т.е. со статистической точки зрения, такие последовательности можно считать реализацией случайного процесса.

Возникает вопрос, происходят ли фазовые переходы клубок-глобула и адсорбции так же, как и для некоторого однородного полимера с усредненными характеристиками, или же для каждой случайной полимерной последовательности возникают свои индивидуальные отличия, не исчезающие при Ы-*'<>=>.

4.1. . Переход клубок-глобула

В работе П6] рассмотрена задача о переходе клубок-глобула неоднородной цепочки. Предполагается, что мономеры разных сортов характеризуются разными константами двухчас-. тичного взаимодействия. В точке перехода среднее значение константы двухчастичного взаимодействия обращается в ноль, при этом мономеры разных сортов притягиваются либо отталкиваются друг от друга. С помощью простых,оценок проведенных методом Флори показано, что критической размерностью пространства для этой задачи является с(е. = 3. При г/ > 3 происходит самоусреднение геометрических и термодинамических характеристик случайного гетерополимера при ДТ-*«®. При

3 разброс свободной энергии из-за неупорядоченности цепочки сравним с вкладом в свободную энергию от объемных взаимодействий и от конфигурационной энтропии. Построен формализм основанный на использовании метода функционального интегрирования в конформационном пространстве Г42] и метода реплик [ 38]. Этот формализм позволяет при укрупнении масштаба рассмотрения производить систематические перенормировки величин характеризующих полимерную цепочку. Кроме

обычных величин двух- и трехчастичного взаимодействия, используемых при описании полимеркой цепочки,в теории появляется дополнительный заряд - дисперсия двухчастичного взаимодействия. Получены и решены совместные уравнения ренорм-группы. Показано, что при 3 всегда существует масштаб, на котором перенормированный разброс взаимодействия становится порядка единицы ( КТ). Тем не менее, при некоторых соотношениях между затравочными значениями констант этот масштаб монет быть недостияичо большим. Получены выражения для дисперсии наблюдаемых размеров полимерных молекул с разными случайными последовательностями мономеров. Показано, что относительный разброс наблюдаемых величин может быть порядка, единицы.

4.2. Адсорбционный переход

В работе [17] рассмотрена задача об адсорбции неоднородной полимерной цепочки на поверхность. Предполагается, что неоднородность полимера проявляется в разбросе констант взаимодействия мономеров цепочки с адсорбирующей поверхностью. Это приводит к разбросу величин характеризующих полимерные цепочки с разными последовательностями мономеров. Приводятся размерные оценки для разброса энергии взаимодействия всего полимерного клубка с областью адсорбции, пространственная размерность которой равна с/' ( (&' = = 2 - поверхность, с/' = I - линия, й" = 0 - точка). Показано, что при с{'<. 2. относительный разброс энергии взаимодействия стремится к нулю при N . При с{' = 2 разброс энергии взаимодействия становится порядка ее самой. В теории возмущений при с( ~ 2 возникают расходящиеся логарифмические поправки. Для их систематического учета получено рекурентное уравнение. Это уравнение связывает вероятность адсорбции п- -го мономера вероятностями адсорбции предыдущих мономеров (предполагается, что первый мономер закреплен на адсорбирующей поверхности) :

Здесь Щу. - случайная переменная с ~А .

С помощью (22) вычислена функция распределения для вероятности адсорбции и- -го мономера и ее высшие моменты при П < • Оказалось возможным проанализировать поведение

рекурсионного уравнения при длинах больших чем 1/л ' ,что невозможно сделать в рамках обычного ренормгругаювого подхода. Показано, что при л » е,/Л происходит переход к универсальному ассимптотическому режиму. Вычислены средние от наблюдаемых величин - момента <Нг> , <ч2<'> расстояния Е ¡ъ -го мономэра от адсорбирующей поверхности. Вычислены также их дисперсии. Все эти величины являются универсальными, т.е. не зависят от величины разброса энергии взаимодействия Д . Вычислены также изменения наблюдаемых величин, связанные о заменой одного единственного мономора цепочки на мономер другого сорта, и с взаимной перестановкой двух мономеров цепочки. Показано, что в аосимггаотическом режиме изменение наблюдаемых величия является аномально большим и не зависит от Д. ,т.е. также является универсальным. Рассмотрен случай адсорбции на произвольной шероховатой поверхности, которая на микра скопических масштабах' может иметь фрактальную размерность о(' большую чем 2. В этом • случае логарифмические расходимости сменяются степенными: ¿г./7->(ле-1)М • (1+£/д),/*> где в и при-

менимы все основные результаты предыдущего рассмотрения.Рассмотрен эффект от объемных взаимодействий мономеров цепочки. Показано, что в хорошем растворителе учет объемных взаимодействий эквивалентен сдвигу величины фрактальной размерности на величину , где У3 - критический индекс, связывающий ширину области адсорбционного перехода с длиной полимера. В 0 -растворителе ситуация более сложная. Необходимо учитывать дисперсию объемных взаимодействий (см.4.1) и корреляции между объемными и адсорбционными свойствами мономеров. Показано, что в этом случае полные уравнения ренорм-группы должны включать пять различных зарядов.

5. Разветвленные структуры: процессы формирования и свойства Г18-23]

5.1. Необратимая агрегация

В работе Г18] исследуется структура кластеров, образовавшихся в результате процесса необратимой агрегации. Отвлекаясь от конкретных частных случаев, таких как реакция необратимой полимеризации с образованием геля, коагуляция частичек копоти и др., можно рассмотреть этот процесс в наиболее общей постановке: первоначально в пространстве находятся частички единичного размера, которые диффундируют и, если сталкиваются,то необратимо слипаются. Возникающие кластеры также диффундируют как жесткое целое и слипаются если соприкасаются хотя бы в одной точке и т.д. Мошо показать, что в пространстве достаточно высокой размерности при столкновении двух кластеров произвольная точка одного из них может коснуться произвольной точки другого с вероятностью не зависящей от расположения этих точек на кластерах. Образующиеся в этом случае структуры совпадают со структурами возникающими в результате случайно ветвящегося процесса. Зная, какие возникают кластеры в процессе агрегации можно оценить высшую критическую размерность, выше которой возможно взаимное проникновение кластеров. Показано, что эта размерность достаточно высокая: = 10 в случае диффузионных траекторий,движения кластеров, и ¿ = 9 в случае линейных траекторий. Форму кластеров в пространстве низшей размерности можно оценить, исходя из самосогласованной оценки близкой к методу Флори для размера и "прозрачности" кластеров.

Для величин фрактальной размерности кластеров, возникающих в процессе агрегации получены следующие оценки:

Примечательно, что эти оценки только на 10$ меньше величин, полученных в результате численного моделирования в пространстве размерности 2-6 [43].

L

В работе [19] исследуется применимость теории Флори для задач физики полимеров. Производится сравнение теории Флори с последовательной теорией возмущений. Показано, что приближение Флори эквивалентно теории возмущений, в которой усреднение происходит по ансамблю растянутых конфигураций. Сделана оценка точности вычисления индексов в приближении Флори. Показано,что эта величина порядка =10 -10"^ (для задачи о самонепе-

ресекающейся цепочки).

В работе С 20] рассматривается задача об агрегации (с образованием бесконечного кластера) случайно ориентированных стержней. Эта задача часто встречается в теории композиционных материалов, когда требуется оценить электропроводность системы проводящих волокон помещенных в изолирующую, матрицу. Обычно предполагается, что стержни случайным образом расположены в среде. Показано [20], что такой "терлодинамический" подход неприменим ко многим реальным задачам, поскольку стержни -это вполне макроскопические объекты и из-за несовпадения их удельного веса и веса среды выпадают в осадок либо всплывают. Приготовить такую систему без перемешивания невозможно.Способ перемешивания и определяет функции корреляции в-"замороженной" системе. Рассмотрен режим крупномасштабного перемешивания, при котором движение стержня относительно частиц потока. и других стержней является чисто продольным. При этом вероятность зацепления за друтие стержни мала. В этом случае перколяционный порог достигается при концентрации стержней порядка

/с (24)

где' V* - объем одного стержня, а ск^б./Ь - отношение толщины стержня к его длине. 'Возможен также режим перемешивания масштаб которого сравним с длиной стержней. Тогда возможно поперечное движение стержня относительно потока, и других стержней. При этом вероятность зацепления за другие стержни увеличивается в оС1 раз. Для порога протекания получена оценка ■

Л' <25'

33

р

Т.к. типичное значение оС в реальных системах 10-10 [44] величина порога протекания в этих системах может меняться в широких пределах в зависимости от способа их приготовления.

5.2. Радикально индуцируемая полимеризация

В работе [21] исследуется процесс образования бесконечного кластера в ходе радикально индуцируемой полимеризации. Рассматривалась упрощенная модель случайно размещенных в узлах решетки би- и тетрафункциональных мономеров. В начальный момент времени генерировались активные центры - радикалы. В дальнейшем каждый из них образует химическую связь с соседними би- и тетрафункционалышми мономерами, при этом происходит перемещение активного центра на этот мономер. Таким образом, каждый активный центр дает начало росту линейной полимерной цепочки. При этом возможно образование связи между активными центрами одной цепочки и не полностью прореагировавшим мономером другой, приводящее к слипанию отдельных полимерных цепочек между собой и, в конечном счете, к образованию геля. Результаты численного моделирования позволили сделать вывод о том, что этот процесс не находится в классе универсальности задачи протекавши [45,46].

Предложена качественная картина этого процесса, основанная на представлении о растущих полимерных клубках, образуемых отдельными полимерными цепочками. Показано, что в зависимости от соотношения между концентрациями би- и тетрафункциональных мономеров химическая связь между клубками возникает либо в режиме их касания (при большой концентрации тетрафункциональных мономеров), либо в режиме их сильного перекрывания. При этом возможны два различных типа критического поведения: перколяционный и описываемый теорией Флори-Штокмайера - теорией среднего поля. Построена фазовая диаграмма гелеобразующей системы. Она позволяет проинтерпретировать результаты численного моделирования и реальных экспериментов [45-47],

5.3. Описание разветвленных : структур с помощью

полевого формализма

В работе [22] исследуется геометрический смысл формального предела , 0 . 5 - компонентной калибровочно инвариантной модели Поттса. Показано, что трехмерная задача в

34

пределе 5 ->■ 4 является дуальной обычной задаче связей теории протекания. Наличию (отсутствию) каждой связи в задаче протекания в нашем случае соответствует отсутствие (наличие) элементарного плакета на дуальной решетке, перпендикулярного данной связи. Отсутствию (наличию) пути протекания сквозь всю'решетку соответствует наличие (отсутствие) непроницаемой стенки из пла-кетов разделяющей решеточную систему. Предел $ 0 соответствует задаче о случайно расположенных плакетах, но с запретом образования из них замкнутых поверхностей. Сконструирован гамильтониан формально описывающий самонепересекащуюся поверхность натянутую на заданный контур. Обсуждаются ассимптотичес-кие свойства статсуммы такой модели.

В работе [23] разработан полевой формализм для описания разветвленных структур возникающих-при полимеризации мономеров типа ДВ^. При этом предполагается, что возможны только реакции полимеризации между А и В единицами разных мономеров. Построено теоретико-половое описание системы с помощью статсуммы соответствующей большому каноническому ансамблю всех возможных разветвленных полимеров с параметрами, контролирующими число мономерных единиц, связей, свободных концов и число псшшэров. В пренебрежении эффектами исключенного объема теория среднего поля дает результаты соответствующие результатам полученным с помощью комбинаторного анализа. Показано, что в присутствии объемных эффектов переход золь-гель в такой системе отсутствует. В разбавленном пределе критические свойства большинства полимеров описаны о помощью результатов точно решаемой задачи о решеточных зверях Г 48].

В Ы.В О Д Ы

I. Сделано обобщение задачи протекание на случайные системы без центра инверсии. Показано, что при этом возникает задача (задача направленного протекания) отличная от задачи изотропного протекания. Построена диаграмная техника, • теория среднего поля, определена высшая критическая размерность, получены и решены уравнения ренорм-группы, в первом порядке по € вычислены . критические индексы задачи. Исследована структура бесконечного кластера. Исследовано влияние неоднородности на

35

критические свойства задачи направленного протекания. Получены выражения для критических индексов неоднородной задачи. Поставлена и исследована задача слоистого протекания. Показана применимость неоднородной задачи направленного протекания для описания процесса распространения ошибки в системе детерминированных автоматов. Построена диагр&мная техника для задачи о самоорганизующемся критическом процессе. Определена высшая критическая размерность задачи, получены уравнения ренорм-группы и выражения для критических индексов.

2. Построена диаграмная техника для задачи о блуждании с избеганием самопересечений. Вычислены критические индексы этой задачи. Поставлена и исследована обобщенная задача блуждания со скалярными и псевдоскалярными зарядами. Показано, что полученные результаты применимы к задаче о блуждании в случайной среде. Исследован случай сильной неоднородности. Рассмотрена задача о рекомбинации заряженных частиц в неоднородной среде под действием внешнего поля. Получены аномальные ассимтотические зависимости концентраций частиц от времени.

3. В рамках аналогии полимер-магнетик получен формализм, позволяющий описать поведение пробной полимерной цепи в растворе других цепей. Получены общие формулы, связывающие полимерные и магнитные задачи. Получены уравнения ренорм-группы, описывающие флухтуационные перенормировки вторых вириальных коэффициентов выделенной цепочки и молекул раствора. Получено в общем виде условие коллапса полимерной цепи в растворе других цепей. Исследованы специфические логарифмические поправки для случая двумерного раствора полимеров большой плотности.

4. Построен теоретико-полевой формализм для описания системы взаимодействующих дислокаций в кристалле. Исследован процесс плавления кристалла, связанный с появлением бесконечно длинных дислокаций. Показано, что этот переход является переходом 1-го рода, вычислена теплота плавления. Аналогичный формализм разработан для описания фиксированной случайной системы взаимодействующих фрустрационных петель в ХУ-

магнетике. Вычислены корреляционные функции системы. Получена диаграмма состояний системы. Исследован переход связанный с появлением фрустрационной линии бесконечной длины.

5. Предложен механизм генерации токового шума движением дислокаций в поле примесей, Получены оценки для амплитуды шума согласующиеся с экспериментальными результатами.

6. Поставлены задачи о конфигурационной статистике случайной гетерополимерной цепи. Исследован переход клубок-глобула. Показано, что в точке перехода относительный разброс измеряемых величин для цепочек с разными последовательностями мономеров может быть порядка единицы. Рассмотрен адсорбционный переход гетерополимерной цепочки. Для адсорбционного перехода вычислены ассимптотические универсальные значения измеряемых величин и их разброс.

7. Исследован процесс необратимой агрегации типа кластер-кластер. Определена высшая критическая размерность задачи, с помощью модифицированного приближения Флори сделана оценка для индекса фрактальной размерности образующихся кластеров. Исследована применимость приближения Флори для полимерных задач. Получена оценка его точности. Исследован процесс агрегации длинных проводящих стержней в изолирующей среде с образованием проводящего бесконечного кластера. Получены оценки на критическую концентрацию стержней при различных режимах перемешивания системы.

8.Построен теоретико-полевой формализм для описания разветвленных полимеров, образующихся при полимеризации мономерных единиц вида АВ2 с образованием связей А.-В между разными мономерами. Исследован вопрос о том, каким геометрическим задачам соответствуют нефизические пределы калибровочно-лнвари-антной модели Потса. Построена модель описывающая самонепересекающуюся поверхность натянутую на замкнутый контур.

ЛИТЕРАТУРА

1. Obukhov S.P. The problem of directed percolation, Phyai-ca A, 1980, 101, p.145-155.

2. Обухов С.П. Перколяционные модели с беспорядком. Письма ■ в ЖЭТФ, 1987, т.45, 1* 3, с. 139-142.

3. Obukhov S.P., Stauffer D. Upper critical dimension of K&Uf-fman cellular automata. J. of Phys.A: Math.Gen., 19S9, v.22, P.1715-171S.

4. Obukhov S.P., Peliti 1. Renormalisation of the "true" self-avoiding walk. J. Phys. A: Math.Gen., 1983, v. 16, p. L147-L151.

5. Bulgadaev S.A., Obukhov S.P. The two-dimentional "true"

aelf-avoiding vmlk with pseudoscalar charges. Phys.Lett.A,

1983, v.98, p.399-402.

6. Булгадаев С.А., Обухов С.П. Обобщенная задача блуждания

с избеганием самопересечении. КЭТФ, 1984, й5, с.1961-1968.

7. Obukhov S.P. The nontriviality of the one-dimensional problem of a "true" self-avoiding walk. J. Phys.A: Math.Gen.,

1984, v.17, p.I>7-18.

8. Обухов С.П. Случайное блуждание в неоднородной среде. Письма в ЖЭТФ, 1984, т.39, с.21-23.

9. Obukhov S.P. Recombination processes in disordered media with external field. J. of Phys.A: Kath-Gen., 1989, v.22, L497-I450.

10. Obukhov S.P. The upper critical dimension and £ «expansion for self-organized critical phenomena, in Random Fluctuations and Pattern Growth: Experiments and Models, eds. H.E.Stanley and N.Ostrowsky Kluwer Academia, London, 1988, p. 336-339.

11. Никомаров E.C., Обухов С.П. Расширенное описание раствора линейных полимеров с помощью анологии полимер-магнетик. ЖЭТФ, 1981, т.80, № 2, с.145-155.

12. Obukhov S.P. The negative susceptibility of the n>=0 vector aodel and polymer statistics. J.Phys. A: Math.Gen», 1982, • v«15, p.Ii211-1214.

13. Обухов С.П. Дислокационный механизм плавления кристалла. ЖЭТФ, 1982, Т.83, JS 5, с.1978-1984.

14. Дзялошинский й.Е., Обухов С.П. Топологический фазовый переход в ХУ-модели спинового стекла. ЖЭТФ, 1982, т.83, №2, с.813-832.

15. Винокур В.М., Обухов С.П. -шум связанный с движением дислокаций и межзеренных границ. ЮТФ, 1989, т.95, М,

с. 223-233.

16. Obukhov S.P. Configurâtional statistics of a disordered polymer chain . J.Phys. A: Math.Gen.,1986, v.19, p.3655-Збб4.

17. Обухов С.П. Об адсорбции на поверхность случайной гетеро-полимерной цепочки. ЖЭТФ, 1987, т.93, с.1973-1985.

18. Обухов С.П. Фрактальная размерность кластеров, образовавшихся в результате процессов агрегации, ЖЭТФ, 1984, т.87, № 6, с.2024-2029.

19. Obukhov S.P. The efficiency of the Fiory approximation. J. Phys.A: Math.Gen., 1984, v.17, p.L965-L969.

20. Obukhov S.P. Percolation in a system of randomly distributed sticks. J. of ïhys. A: Math.Gen., 1988, v.21, p.3975-

- 3978.

21. Лубашевский И.A., Обухов С.П. Возможные режимы гелеобра-зования в радикальной разветвленной йостполимеризации. Высокотемпературные соединения, 1986, т.ХХУШ А, № 12,с.2525-2531.

22. Kazakov V.A., Obukhov S.P. Random surfaces and gauge Potts models. Landau Institute preprint 1981-1, p.1-11, Chernogo-lovka, 1981.

23. Lubensky Г.С., Isaacson J., Obukhov S.P. Field theory for AHB2 branched polymers. J. Physique 1981, v.42, p.1591-16O1.

24. Koest A. Phys. Rev. Lett., 1986, ¿2, p.90.

25. Kauffman S.A. J. ïheor. Biol., 1969, 22, p.437.

26. Dérida B. and Рошеам. Y. Buxophys. Lett. 1986, 1_» P»45.

27. Amit B.J., Pariai G. and. Peliti L. Phys.Rev. B, 1983, 21, p. 1635.

28. tiarinari E.,. Pari3i G., Ruelle D. , Windey P. Phys.Rev. Lett., 1983, 50, p.1223.

29. Dhar D., J. of Phys. A: Math. Gen., 1984, 1257.

30. Bak P., Tang C. and Wieaenfeld K. Phys. Rev. Lett.,1987, 59, P-381; Phy3. Rev. A, 1988, ¿8, p.364.

31. Tang C. and Bak P. Phys.Rev. Lett., 1988, 60, 2347.

32. Bak P. and Tang C. Earthquakes as a Self-Organised Critical Phenomena, preprint BNL-43, 1989.

33. Gutenberg В., and Richter C.F. Ann. di Geofis.,1956, 9, p. 1.

34. Ыооге M.A. and Wilson C.A. J. of Phys. A: Math. Gen.,1980, 12. Р-З501.

35. Polyakov A.M. Physics Letters 1975, 59B, p.79.

36. Broadbent S.R., Hamnersley J.IvI. Proc. Camb. Phil.Soo., 1957, 51, p.627.

37. Коган Ш.М. УФН, 1985, т.145, с.285.

38. Edwards S.P., Anderson P.W. J.Phys. F, 1975, 7, p.965.

39. Binder К» Phase Transitions and Critical Phenomena. Ed. by C.Domb and J.L.Lebowitz (Academic, New York) v.10, 1983.

40. Лифшиц И.М., Гросберг А.Ю., Хохлов А.Р. УФН, 1979, т.127, с.353.

41. Grosberg A.Yu., Khokhlov A.R. Problems in Solid State Physics, Moscow: Mir, 1984.

42. Edwards S.F. Proc. Phys. Soc. 1966, 88, p.266.

43» Meakin P. Off Lattice Simulations of Cluster-Cluster Aggregation in Dimensions 2-6, Preprint, Central Research and Development E.I. du Pont de Nemours.

44. Carmona P., Barreau P., Delhaes P., and Canef R. J.Physique Lett., 1980, 41> p.L531.

45. Stauffer D., Coniglio A., Adam M. Advances Polymer Sci.,

1983, v.44, p. ЮЗ.

46. Bansil R., Gupta M.K. Ferroelectrics, 1980,v.12, p.125.

47. Bansil R,, Herrmann H.J., Stauffer D. Macromolecules,

1984, v.17, p.998.

48. Paris! G. and Sourl.as N. Phys. Rev. Lett., 1981, 46, p.871.

ОГЛАВЛЕНИЕ Стр.

Введение.................................................. I

1. Задача направленного протекания

1.1. Асимметричные задачи не сводимые к изотропному протеканию.......................................... 4

1.2. Теория возмущений.................................... в

1.3. Ренорд-группа........................................ 8

1.4. Задачи протекания с беспорядком.................... 9

а) Направленное протекание с беспорядком.............9

б) Протекание в слоистых системах.................... II

2. Задачи о случайных блужданиях

2.1. Случайное блуждание с избеганием самопересечений.....13

2.2. Случайное блуждание в неоднородной среде............. 17

2.3. Блуждание в сильно неоднородной среде..»............. 17

2.4. Самоорганизующийся критический процесс............19 •

3. Критическое поведение протяженных линейных объектов

3.1. Расширенное описание раствора линейных полимеров...... 21

3.2. Дислокационное плавление кристалла................... 23

3.3. Фрустрационные линии в неупорядоченных

планарных магнетиках................................. 25

3.4. шум, обусловленный движением дислокаций........ 27

4. Конфигурационная статистика случайное полимерной цепочки...............................■................. 28

4.1. Переход клубок-глобула............................... 29

4.2, Адсорбционный переход................................ 30

5. Разветвленные структуры: процессы формирования и свойства

5.1.Необратимая агрегация................................. 32

5.2. Радикально индуцируемая полимеризация................34

5.3. Описание разветвленных структур с помощью

полевого формализма.................................. 34

Вывода.................................................... 35

Литература................................................ 38 .