Численные методы решения уравнений комплексной геометрической оптики и их применение к радиофизическим задачам тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

1. ВВЕДЕНИЕ.

2. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ КОМПЛЕКСНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ.

2.1. Уравнения комплексной геометрической оптики.

2.2. Круг задач, решаемых с помощью КТО.

2.3. Выводы к главе 2.

3. ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ КГО.

3.1. Начальные условия для комплексных лучей.

3.2. Схема решения лучевых уравнений.

3.3. Пристрелка комплексных лучей. Проблема многолучевости

3.4. Вычисление амплитуды.

3.5. Выводы к главе 3.

4. ПРИМЕНЕНИЕ КГО ДЛЯ ОПИСАНИЯ КАУСТИЧЕСКИХ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ.

4.1. Поле в области каустической тени.

4.2. Поле в окрестности каустики.

4.3. Выводы к главе 4.

5. ПРИМЕНЕНИЕ КГО ДЛЯ ОПИСАНИЯ ГАУССОВСКИХ ПУЧКОВ.

5.1. Теория возмущений для точечного источника.

5.2. Теория возмущений для гауссовских пучков.

5.3. Гауссовский пучок в однородной среде.

5.4. Прохождение гауссовских пучков через локализованные неоднородности гауссовой формы.

5.5. Отражение гауссовского пучка от линейного слоя.

5.6. Гауссовский пучок в волноводе с параболическим профилем

5.7. Выводы к главе 5.

6. СУПЕРГАУССОВСКИЕ ПУЧКИ.

6.1. Поле супергауссовского пучка в лучевых координатах.

6.2. Поле в ближней зоне.

6.3. Поле в дальней зоне.

6.4. Сравнение с дифракционной теорией.

6.5. Оценка волнового поля в центре супергауссовского пучка: сопряжение с осевым полем гауссовского пучка.

6.6. Оценка поля супергауссовского пучка методом суммирования гауссовских пучков.

6.7. Выводы к главе 6.

7. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО МАЛЫЕ РАССЕЯННЫЕ ПОЛЯ.

7.1. Проблема учета экспоненциально малых полей в плавно неоднородных средах.

7.2. Учет экспоненциально малых полей в функции Грина.

7.3. Модификация МГО с учетом экспоненциально малых рассеянных полей.

7.4. Рассеяние вперед.

7.5. Оценки рассеянного поля в ближней зоне.

7.6. Оценки рассеянного поля в дальней зоне.

7.7. Сравнение с Борновским приближением.

Оглавление

7.8. Рассеяние на плазменной неоднородности в окрестности критической частоты.я.

7.9. Выводы к главе 7.

Асимптотические методы играют важную роль в радиофизике, оптике, акустике, квантовой механике и других областях волновой теории [1,2]. Несмотря на приближенный характер асимптотических методов, область их применения достаточно широка: существует весьма обширный круг явлений, которые адекватно описываются асимптотическими методами.

Традиционная геометрическая оптика (ТГО) является, пожалуй, наиболее ярким примером успешного применения асимптотических разложений в волновой теории. Она позволяет найти простые и эффективные решения широкого спектра задач, в которых длина волны мала по сравнению с другими характерными размерами [1, 3]. Разумеется, геометрическая оптика полностью не заменяет собой волновую теорию, но она предоставляет удобный инструмент решения волновых задач (в области своей применимости), обеспечивая меньший объем вычислений, чем методы, основанные на полной волновой теории [3, 4].

Даже при выполнении необходимых условий применимости, ТГО часто дает неверные результаты. Можно перечислить основные проблемы, с которыми сталкивается ТГО, связанные с несоблюдением достаточных условий применимости. Они состоят в следующем:

1. ТГО неверно описывает волновые поля в зоне Фраунгофера по отношению к источнику, не позволяет учесть дифракционных эффектов, которые там возникают, даже в однородном пространстве. Простейшим примером может служить распространение гауссовского пучка в пустом пространстве. Если в ближней зоне, где дифракцией можно пренебречь, расхождений между точной волновой теорией и ТГО нет, то, начиная с расстояния порядка ка2, где к - волновое число, а а - начальная ширина пучка, гауссовский пучок начинает расширяться, вследствие дифракционных эффектов. Такой результат дает точная волновая теория, тогда как расчеты волнового поля пучка по методу ТГО показывают сохранение его ширины на любом расстоянии от начала распространения.

2. В области каустической тени ТГО вообще не позволяет вычислить волновое поле: в эту область пространства не попадает ни одного геометрического луча, и, следовательно, там не формируется волновое поле. Полная волновая теория дает в области геометрической тени отличное от нуля волновое поле. Простейшим примером может служить падение плоской волны на линейный слой. В каждую точку области света попадают два луча, соответствующие им волновые поля, интерферируя между собой, образуют осцилляции, тогда как за огибающую геометрооптических лучей (каустику), не попадает ни один луч.

3. ТГО дает бесконечно большое волновое поле на самих каустиках. В действительности, на каустиках и в их ближайшей окрестности поле конечно, что можно получить с помощью полной волновой теории.

4. В случае среды с плавно меняющейся диэлектрической проницаемостью, с помощью метода ТГО получается нулевое обратно рассеянное поле, тогда как в действительности рассеянные от плавных неоднородностей волновые поля ненулевые, хотя и экспоненциально малы. Эти экспоненциально малые поля ТГО принципиально учесть не может.

Существует возможность без использования полной волновой теории, разрабатывая различные модификации ТГО, учесть вышеперечисленные эффекты. Эти модификации, с одной стороны, основаны на обычном методе геометрической оптики (следовательно, имеют все преимущества этого метода) и, с другой стороны, получают более широкую область применения, отвоёвывая» у волновой теории все больший круг задач. В настоящее время известны некоторые модификации метода геометрической оптики. Например, существуют методы построения гауссовских пучков, позволяющие учитывать дифракционное уширение [16,17,19, 20, 21,22]. Однако, большинство из этих методов можно применять только к гауссовским пучкам и они имеют более жесткие необходимые условия применения, чем ТГО. Здесь накладываются ограничения на ширину пучка: она должна быть много меньше размеров неоднородностей среды и много больше длины волны (A,«a«L). Вообще говоря, формально ТГО должна быть применима при тех же ограничениях, но, принимая во внимание способность асимптотических методов работать на границе своей применимости, ограничение a«L для ТГО можно снять.

Среди различных расширений и обобщений ТГО, видное место занимает комплексная геометрическая оптика (КТО), которая охватывает весьма широкий круг радиофизических и оптических задач [5] и описывает ряд дифракционных по своей природе явлений [6]: КТО может применяться в задачах расчета распространения радиоволн в земной атмосфере, распространения коротких волн в волноводах с различными свойствами, в задачах диагностики плазмы коротковолновыми волновыми пучками. Попытки аналитически найти комплексные решения уравнений геометрической оптики приводят к успеху лишь для весьма ограниченного круга задач. Поэтому представляется целесообразной разработка численных методов решения уравнений комплексной геометрической оптики, которые принадлежат к классу обыкновенных дифференциальных уравнений. Численное решение уравнений КТО обещает существенно сократить время вычислений по сравнению с решением полной волновой задачи, имеющей дело с уравнениями в частных производных.

Таким образом, разработка численных методов КТО представляет собой актуальную задачу волновой физики.

Другая актуальная задача волновой физики - учет экспоненциально малых рассеянных полей в плавно неоднородной среде, которые принципиально не могут быть описаны приближением геометрической оптики.

Указанные две проблемы составляют предмет исследования диссертации. Цель работы состоит в разработке численных алгоритмов построения комплексных лучей и в применении их к решению широкого круга радиофизических задач, а также в разработке модифицированного приближения геометрической оптики, которое учитывало бы обратное рассеяние от плавных неоднородностей среды, не описываемое традиционной геометрической оптикой.

Научная новизна данной диссертации состоит, во-первых, в разработке численных алгоритмов построения комплексных лучей и определения волновых полей по методу КТО.

Вторым элементом новизны является решение ряда актуальных волновых задач радиофизики, в том числе:

• численное определение волновых полей в области каустической тени;

• численный расчет волнового поля непосредственно на неособой каустике и ее окрестности с использованием метода эталонных функций;

• численный расчет дифракционных полей гауссовских пучков в неоднородных средах;

• обнаружение эффекта смещения и асимметрии гауссовских пучков в неоднородных средах;

• разработка метода суммирования гауссовских пучков на основе численных алгоритмов КТО;

• расчет и анализ полей супергауссовских пучков.

Наконец, третьим элементом новизны является разработка модифицированного приближения геометрической оптики, позволяющего вычислять экспоненциально малые рассеянные поля в плавно неоднородных средах.

Научная и практическая ценность

Результаты диссертации могут использоваться в расчетах распространения и дифракции радиоволн в атмосфере Земли и других планет, в неоднородной плазме и некоторых других областях, обеспечивая быстро сходящиеся численные алгоритмы расчета волновых полей с учетом дифракционных эффектов.

Степень достоверности полученных результатов

Результаты, полученные в диссертации, сравнивались с результатами аналитических и численных исследований других авторов. Выявленное очень хорошее соответствие свидетельствует о достоверности полученных результатов.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Численный алгоритм построения комплексных лучей, который включает процедуру пристрелки комплексных лучей с последующим вычислением фазы и амплитуды волнового поля.

2. Численные процедуры комплексной геометрической оптики для вычисления волновых полей в области каустической тени и непосредственно на самих каустиках (с привлечением метода эталонных интегралов), для вычисления полей гауссовских и супергауссовских пучков в неоднородных средах и для вычисления полей по методу суммирования гауссовских пучков.

3. Упрощенная процедура пристрелки комплексных лучей с использованием теории возмущений.

4. Модифицированное приближение геометрической оптики, которое учитывает экспоненциально малые рассеянные поля.

Апробация результатов

Результаты, включенные в диссертацию, докладывались и обсуждались на нескольких отечественных и международных конференциях, в том числе:

• "Day on Diffraction'2000", International seminar, Saint Petersburg, May 29 - June 1, 2000;

• "Modern trends in computational physics", Second International Conference, Dubna, July 24-29, 2000;

• VII Всероссийская школа-семинар "Волновые явления в неоднородных средах", МГУ, Можайск, Московская обл., 22-27 мая, 2000;

• 55-я научная конференция, посвященная Дню Радио, Москва, 17-19 Мая, 2000;

• Progress In Electromagnetic Research Symposium (PIERS 2000), Cambridge, Massachusetts, USA, July 5-14, 2000;

• VII Всероссийская школа-семинар «Физика и применение микроволн», МГУ, Пансионат «Университетский», Московская обл., 26-31 мая, 2001;

• "Day on Diffraction'2001", International seminar, Saint Petersburg, May 29 - June 1, 2001;

• "Plasma'2001", Warsaw, Poland, September 19-21, 2001;

• 28th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics, Conference of European Physical Society, Madeira, Portugal, June 18-22, 2001.

Кроме того, результаты работы докладывались на Московском электродинамическом семинаре в ИРЭ РАН, на семинарах ИКИ РАН, а также на семинаре «Компьютерная математика в образовании инженеров» в Московском энергетическом институте.

Содержание работы

Диссертация включает в себя введение, шесть глав и заключение, содержит 96 страниц машинописного текста и 18 рисунков. Библиография включает 53 наименования.

Основные результаты работы можно сформулировать следующим образом:

1. Впервые разработан и реализован в виде компьютерной программы алгоритм построения комплексных лучей, представляющий собой численную реализацию метода комплексной геометрической оптики. Этот алгоритм обладает большим быстродействием, чем алгоритмы, основанные на решении параболического уравнения в частных производных, поскольку КТО, подобно традиционной геометрической оптике, основана на решении обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. На основе предложенного алгоритма решен ряд задач распространения и дифракции волн, которые с трудом поддаются решению существующими методами, в том числе:

• вычисление волнового поля в области каустической тени неособой каустики;

• определение волнового поля непосредственно на каустике с применением метода эталонных функций и результатов КТО;

• расчет фокусировки, рефракции и дифракции гауссовских пучков в неоднородных средах;

• выявление эффекта смещения и асимметрии гауссовских пучков в неоднородных средах;

• модификация метода суммирования гауссовских пучков на основе алгоритмов КТО, в частности, определение дифракционного поля супергауссовского пучка путем разложения супергауссовского пучка на совокупность гауссовских пучков.

Глава 8. Заключение 91

В целом, можно утверждать, что с развитием численных алгоритмов, предложенных в данной работе, КТО имеет шанс превратиться из интеллектуальной забавы в эффективный инструмент решения дифракционных задач неоднородных средах. 3. Построено модифицированное приближение геометрической оптики, которое учитывает, в отличие от традиционной геометрической оптики, экспоненциально малые волновые поля, рассеянные на гладких неоднородностях среды.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Юрию Александровичу Кравцову за внимательное руководство.

8. Заключение

1. М. Борн, Э. Вольф Основы оптики. М.Наука, 1970.

2. В.М. Бабич, B.C. Булдырев. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972.

3. Ю.А. Кравцов, Ю.И. Орлов. Геометрическая оптика неоднородных сред. -М.: Наука, 1980.

4. Лучевое приближение и вопросы распространения радиоволн. М.: Наука, 1971.

5. Yu. A. Kravtsov, G.W. Forbes, A. A. Asatryan. Theory and applications of complex rays. Progress in Optics, Elseview, Amsterdam, 39. 1999. 1-62.

6. Yu.A.Kravtsov, Yu.I Orlov. Caustics, Catastrophes and Wave Fields. 2nd Ed. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 1998.

7. Ю.А. Кравцов, Ю.И. Орлов. Каустики, катастрофы и волновые поля. УФН, 1983.141(4). С. 591-627.

8. D. Ludwig. Uniform Asymptotic Expansions for Wave Propagation and Diffraction Problems. SIAM Review, 3(12). 1970. p.325.

9. R.M. Lewis, N. Bleistien, D. Ludwig. Uniform Asymptotic Theory of Creeping Waves. -Comm. Pure Appl. Math. 2(20) 1967. p.295.

10. T.C. Керблай, E.M. Ковалевская. О траекториях коротких радиоволн в ионосфере. М.: Наука, 1974.

11. И. В.Ю. Ким, JI.H. Солодовникова, Л.Д. Шоя. Метод расчета траекторных характеристик радиоволн в ионосфере. В сб.: Распространение декаметровых радиоволн. -М.: Наука, 1978, с.56.

12. Я.Л. Альперт. Распространение радиоволн и ионосфере. М.: Изд. АН СССР, 1960.

13. К. Дэвис. Радиоволны в ионосфере. М.: Мир, 1973.

14. М.П. Кияновский. Метод расчета характеристик KB радиотрасс для двумерной модели ионосферы. В сб.: Исследования по геомагнетизму, аэрономии и физике солнца. - М.: Наука, 1972, вып. 25, с. 87.

15. J.V. Keller and W. Streifer. Complex rays with an application to Gaussian beams, J.Opt.Soc.Am. 61(1), 1971, 40-43.

16. O. Maj, M. Bornatici, G.V. Pereverzev, E. Poli. Theory of Fusion Plasmas, Bologna, SIF, 2000, P.445.

17. E. Poli, G.V. Pereverzev, A.G. Peeters. Phys. Plasmas, 1999. 6(1). P.5.

18. E.Mazzucato, Phys. Fluids В 1,1989, P.1855.

19. Смирнов А.И. Дифракция электромагнитных волн в неоднородных нелинейных средах. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Нижний Новгород, 1997.

20. Г.В. Пермитин, А.И. Смирнов. Квазиоптика плавно неоднородных изотропных сред. ЖЭТФ, 3(109), 1996, С.736-751.

21. А.И. Смирнов, Г.М. Фрайман. Проникновение интенсивных волновых пучков в плотную плазму. Тезисы докладов 9го всесоюзного симпозиума по дифракции и распространению волн. Тбилиси, 1985. Т.2. С. 471-473.

22. V.A. Baranov, A.L. Karpenko and A.V. Popov. Evolution of Gaussian beams in the nonuniform Ears-ionosphere waveguide. Radio Science, 2(27), 1992, p.307-314.

23. Ю.А. Кравцов. Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1967. Т.10. № 9-10. С.1283-1304.

24. В.П. Маслов, М.В. Федорюк. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.: Наука. 1976.

25. JI.M. Бреховских. Волны в слоистых средах. 2-е изд. - М.: Наука, 1973.

26. В.А. Фок. Дифракция радиоволн вокруг земной поверхности. М.: Изд-во АН СССР, 1946.

27. Р.П. Федоренко. Введение в вычислительную физику. М.: МФТИ, 1994.

28. B.JI. Загускин. Справочник по численным методам решения уравнений. -М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960.

29. И.И. Привалов. Введение в теорию функций комплексного переменного. -М.: Наука, 1977.

30. Р.А. Егорченков, Ю.А. Кравцов. Численная реализация метода комплексной геометрической оптики. Изв. ВУЗов. Радиофизика, 2000. 43(7). 630-637

31. R.A. Egorchenkov. Wave field in inhomogeneous media numerically calculated on the basis of complex geometrical optics. Physics of vibrations, 2000, 8(2) 122-127.

32. R.A. Egorchenkov, Yu. A. Kravtsov. Complex ray tracing algorithms with application to optical problems. Journal of the Optical Society of America A. 18(3) 2001, 650-656.

33. Ю.А. Кравцов, З.И. Фейзулин. О решении лучевых уравнений методом возмущений. Радиотехника и электроника. 16(2). 1971. С. 1777.

34. В.А. Баранов, Ю.А. Кравцов. Метод возмущений для лучей в неоднородной среде. Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1975.18(1). С.52

35. Р.А. Егорченков, Ю.А. Кравцов. Описание дифракции супергауссовских пучков на основе комплексной геометрической оптики. Изв. ВУЗов. Радиофизика, 2000. 43(10), 888-894.

36. Р.А. Егорченков, Ю.А Кравцов. Модифицированное приближение геометрической оптики: учет экспоненциально малых рассеянных полей. Изв. ВУЗов. Радиофизика, 2000. 43(2). 106-114.

37. И.С. Грандштейн, И.М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963.

38. Н.Г. Де Брёйн. Асимптотические методы в анализе. М.: Издательство иностранной литературы, 1961.

39. А. Эрдейи. Асимптотические разложения. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962.

40. А.А. Асатрян, Ю.А. Кравцов. Локализация комплексных лучей при помощи гауссовских пучков и пределы применимости комплексной геометрической оптики. Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1988. 31(9) С.1053-1058.

41. Yu. A. Kravtsov. Rays and caustics as physical objects. Progress in Optics (E. Wolf Ed.) 1988, 26, Amsterdam: North Holland, p. 227-348.

42. V.M. Babich, M.M. Popov Method of Gaussian beam summing (review), Radiophis. Quantum Electron. 39, 1447-1466

43. В.А. Еременко, Ю.Н. Черкашин. Развитие принципа Гюйгенса для плавно неоднородных сред. В сб.: Распространение радиоволн в ионосфере. М.:ИЗМИРАН, 1992.

44. Р.А. Debye. note to Sommerfeld A., Runge J.:Anwendung der Vektorrechnung auf die Grundlagen der Geometrischen Optik: 35, 277 (1911).

45. C.M. Рытов. О переходе от волновой к геометрической оптике. ДАН СССР. 1938.18(2).С.263.

46. С.М. Рытов. Изв. АН СССР, отд. Матем. и естеств. Наук, №2. С.233. 1937.1. Литература 96

47. F.N. Northover. Sufficiency condition for the validity of the WKB approximation. Journal of Mathematical Physics 1969.10(4). 715.

48. Ю.А. Кравцов, Ю.И. Орлов. О границах применимости метода геометрической оптики. Лекции на V Всесоюзной школе по дифракции и распространению волн (Челябинск 1979). В сб.: Современные проблемы распространения и рассеяния волн. М.: ИРЭ АН СССР, 1979.

49. С.М. Рытов, Ю.А. Кравцов, В.И. Татарский. Введение в статистическую радиофизику. Часть II. М.: Наука. 1978.

50. Л. Фелсен, Н. Маркувиц. Излучение и рассеяние волн. т. 1,2. М.: Мир, 1978.

51. Р. Ньютон. Теория рассеяния волн и частиц. М.: Мир, 1969.

52. В Л. Гинзбург. Распространение электромагнитных волн в плазме. 2-е изд. - М.: Наука, 1967.