Исследование методов нелинейной пространственно-временной обработки случайных полей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Московский физико-технический институт (государственный университет)

2 1 №

На правах рукописи

Быков Александр Викторович

Исследование методов нелинейной пространственно-временной обработки случайных полей

01.04.03 - радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1998

Работа выполнена в Московском физико-техническом институте и Радиотехническом институте имени академика А. Л. Минца.

Научный руководитель доктор технических наук, профессор

Шмелев А.Б.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Сосулин Ю.Г.

доктор физико-математических наук, профессор Локшин Г.Р.

Ведущая организация НИИ радиоэлектроники и лазерной техники

МГТУ им. Н. Э. Баумана

Защита состоится " ',гс><г»озЪр.я 1998 г. в 3 часов ^>0 минут в аудитории Н>с на заседании диссертационного совета К 063.91.02

Московского физико-технического института по адресу: 141700, Московская обл., г . Долгопрудный, Институтский пер. 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института.

Автореферат разослан " 2-ЗЬ " ио^ 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Коршунов С.М.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Одним из средств повышения точности, разрешающей способности и помехоустойчивости радиофизических, акустических и оптических информационно-измерительных систем является увеличение геометрических размеров приемной базы. Повышение эффективности функционирования любых крупноапертурных систем возможно только на основе использования оптимальных методов пространственно-временной обработки наблюдаемой смеси полезного сигнала, шумов и помех. Статистическое распределение наблюдаемых сигналов часто отличается от гауссовского, что приводит к нелинейным методам их оптимальной обработки. Среди задач нелинейной пространственно-временной обработки важное место занимают задачи оценивания пространственно-временных флук-туаций фазы полезного сигнала. Осуществление квазикогерентного приема сигналов, использование антенн с нежесткой конструкцией, исследование природной среды радиофизическими методами и обращение волнового фронта являются примерами практических приложений, где необходим анализ и учет случайных фазовых набегов полезного сигнала на элементах приемной апертуры. Проведенное ранее на базе марковской теории нелинейной обработки случайных полей исследование алгоритмов оценивания фазовых флуктуаций не исчерпывает данной проблемы. Во-первых, оно было выполнено с использованием предположения о бесконечных размерах приемной апертуры, что ограничивает возможность проведения машинных экспериментов и последующего практического применения. Во-вторых, оно не затрагивало вопросов численного моделирования синтезированных алгоритмов и соответствующих вычислительных экспериментов, без чего невозможна реализация и использование предлагаемых методов обработки на практике. Наконец, в-третьих, не рассматривались возможности упрощения достаточно сложных квазиоптимальных алгоритмов, требующих решения систем нелинейных дифференциальных уравнений высокой размерности, что также представляет практический интерес. Данные обстоятельства указывают на актуальность темы диссертации.

Цель работы заключается в реализации этапа компьютерного моделирования и экспериментального исследования квазиоптимальных алгоритмов пространственно-временной обработки случайных полей применительно к задачам нелинейного оценивания фазовых флуктуаций квазигармонического сигнала на фоне гауссовского шума, а также в разработке и исследовании модифицированных алгоритмов, более простых в технической реализации и мало уступающих в эффективности квазиоптимальным алгоритмам оценивания фазовых флуктуаций.

Методы исследования

В процессе исследований, предпринятых в диссертации, использованы: марковская теория нелинейной обработки случайных процессов и полей, теория матриц, теория интегральных уравнений, методы численного решения систем

дифференциальных уравнений, методы численного моделирования и обработки результатов машинного эксперимента. Научная новизна

- Разработана и реализована методика компьютерного моделирования алгоритмов нелинейного пространственно-временного оценивания фазовых флуктуа-ций сигнала, наблюдаемого на ограниченной апертуре на фоне гауссовского шума. Благодаря использованию в этой методике процедуры диагонализации корреляционных матриц удалось эффективно реализовать указанные алгоритмы средствами вычислительной техники и избежать проблем со сходимостью численных методов решения систем нелинейных уравнений высокой размерности.

- Получены точные решения уравнений для апостериорных кумулянтов второго порядка в задачах нелинейного оценивания пространственных и пространственно-временных фазовых флуктуаций сигнала на приемной апертуре конечных размеров. Это позволило корректно учесть влияние краевых эффектов на процедуру обработки наблюдаемой смеси сигнала и шума и на качество оценок фазы на апертуре. Методика построения решений существенно опирается на применение матричных диагонализующих преобразовании.

- Предложены интегральные алгоритмы оценивания пространственных и пространственно-временных фазовых флуктуаций, которые отличаются простотой технической реализации при незначительном ухудшении качества оценок. Обоснование этих алгоритмов базируется на преобразовании известных квазиоптимальных алгоритмов обработки к интегральной форме.

- На основе результатов компьютерного моделирования получено экспериментальное подтверждение основных выводов теории, проведен сравнительный анализ функционирования квазиоптимальных и интегральных алгоритмов обработки, сделаны выводы об эффективности их работы при различных значениях параметров эксперимента.

Практическая ценность Выполненное в работе компьютерное моделирование и экспериментальное исследование алгоритмов нелинейной обработки случайных полей является необходимым этапом для дальнейшего использования этих алгоритмов в крупноапертурных информационно-измерительных системах, применяемых в радиофизике, радиоастрономии, радиолокации и акустике. Результаты работы могут быть использованы для реализации квазиоптимальных методов выделения пространственно-временных фазовых флуктуаций в таких системах. Основные положения, выносимые на защиту

1. Методика компьютерного моделирования алгоритмов пространственно-временной нелинейной обработки случайных полей на основе применения диагонализующих матричных преобразований.

2. Обобщение метода диагонализующих матричных преобразований на случай сплошной приемной апертуры конечных размеров и результаты исследования на этой основе влияния краевых эффектов на работу квазиоптимальных алго-

ритмов и качество оценивания фазовых флуктуации сигнала, наблюдаемого в смеси с гауссовским шумом.

3. Интегральные алгоритмы оценивания пространственных и пространственно-временных фазовых флуктуации и их связь с квазноптимальными алгоритмами.

4. Результаты компьютерного моделирования, включающие экспериментальное подтверждение выводов теории о точности оценивания и влиянии краевых эффектов, а также сравнительный анализ качества квазиоптималъных и интегральных алгоритмов оценивания при различных условиях эксперимента.

Апробация работы п публикации Основные результаты работы докладывались на XXXVIII и ХЬ научных конференциях МФТИ 1994 и 1997 гг. соответственно. Тезисы ряда разделов диссертации были представлены на XXV Генеральной Ассамблее Международного Радиосоюза Ш181 (Лилль, Франция, 1996 г.). На основе материалов диссертации опубликованы 4 печатные работы.

Объем и структура работы Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и трех приложений. Общий объем работы составляет 190 страниц, включая 134 страниц машинописного текста, 38 рисунков, 2 таблицы и 16 страниц приложений. Список литературы содержит 69 наименований.

Содержание работы

Во введении дано обоснование актуальности темы диссертации, сформулированы положения, выносимые на защиту, научная новизна и практическая значимость результатов работы. Приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, описаны модельные представления, которые используются в диссертационной работе, изложено краткое содержание диссертации.

В первой главе проводится анализ известных результатов теоретического исследования задачи пространственно-временного оценивания фазовых флук-туаций полезного сигнала. В первом разделе излагается необходимое математическое описание марковского подхода к задачам нелинейного оценивания случайных полей, лежащего в основе синтеза исследуемых алгоритмов оценивания. Обзор общих соотношений и подходов дает представление об области применимости исследуемых алгоритмов и допущениях, сделанных при их выводе, и, кроме того, дает возможность проследить логику перехода от дискретного пространственного представления случайных процессов к непрерывному описанию случайных полей и наоборот, что неоднократно используется и в данной работе.

Второй и третий разделы первой главы посвящены анализу результатов теоретического рассмотрения задачи оценивания поля фазовых флуктуации, проведенного для случаев приема на непрерывную апертуру и дискретную антенную решетку.

В случае наблюдения на непрерывной апертуре £) предполагается, что смесь полезного сигнала и шума, принимаемая в точке г, имеет вид

у(!,г) = А соэ[(У/ + + п(1,г), где А и со - известные постоянные амплитуда и частота квазигармонического радиосигнала, - подлежащая оценке случайная фаза полезного сигнала,

п(1,г) - гауссовское шумовое поле, дельта-коррелированное во времени и в пространстве, то есть ') = N5(1 -1')б(г - г'). Исследование задачи оценивания ведется на основе уравнения Стратоновича для апостериорного функционала плотности вероятности, которое в гауссовском приближении разбивается на уравнение для средней апостериорной оценки фазовых искажений (искомый алгоритм обработки) ¿¡(/,г) и на уравнение для вторых апостериорных кумулянтов К(1,р1,рг)=<[^(1,р1)-^(1,р1)][^,р1)-4(1,р1)]>. Если характерный интервал временной корреляции поля значительно больше времени наблюдения, то можно пренебречь временными флуктуациями фазы, и уравнения гауссовского приближения приобретают вид

= - г)К(р, г) япИ+¡(и г)У?,

" о

где ц = ~ - отношение сигнал/шум в единицу времени на единице площади

приемной апертуры. Если время наблюдения сопоставимо по продолжительности с интервалом временной корреляции оцениваемого поля, то требуется надлежащий учет статистических свойств фазовых флуктуаций не только в пространстве, но и во времени. При априорном описании подлежащего оцениванию поля считается, что оно является гауссовским марковским процессом в гильбертовом пространстве и удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению

где гауссовское поле сторонних сил х(1,г) обладает корреляционной функцией

х(1,г)х«',П = * * (' -г'Ж' - О • Уравнения гауссовского приближения, описывающие стационарную фильтрацию поля 4(1,г) из принимаемой реализации у(!,г), имеют в данном случае вид с/£(г,р) А г

К(р„г)К(г,р2У1г = к'(Д-р2) .

При наблюдении входной реализации на линейной антенной решетке D поле y(i,r), принимаемое в / -том элементе, / = 1,..., М, может быть представлено как

у, (/) = A cos[úrf + £ (/)] + (0, где £ (/) - подлежащие оцениванию значения фазы полезного сигнала в приемных элементах, а п. (/) - взаимно-независимые гауссовские шумы наблюдения, дельта-коррелированные во времени л, (О" ДО = NS:jS(t -t').

В этом случае уравнения гауссовского приближения имеют вид двух систем взаимозависимых обыкновенных дифференциальных либо алгебраических уравнений (что равносильно двум матричным уравнениям) для средних апостериорных оценок значений фазы £ (/) и апостериорной матрицы корреляции K:¡ (0 =< [£ (/) - £ (01$ (0 - $ О)] >, которые формально могут быть получены из соответствующих уравнений для непрерывной апертуры путем замены определенных интегралов суммированием по приемным элементам. В частности, квазиоптимальный алгоритм оценивания постоянного во времени распределения фазы принимает вид

d¿ (ñ А и

-^¡Гт„ (о *пи+£ (0],

dK (I) "

где р = -^jj теперь означает отношение сигнал/шум в единицу времени на отдельном приемном элементе.

При априорном описании оцениваемых флуктуаций фазы на дискретной апертуре посредством системы стохастических уравнений

dL (()

где гауссовские сторонние воздействия x¡ (0 обладают корреляционной матрицей х, 0)х, ('') = Ki,S{t -i'), уравнения гауссовского приближения в стационарном режиме фильтрации записываются в виде d¿ (О - А Д

= 0) ~ СsitlH + 4, (01,

Обработка наблюдаемого сигнала в соответствии с записанными алгоритмами может быть реализована в аналоговом виде с помощью системы взаимосвязанных петель фазовой автоподстройки (ФАП), расположенных в приемных элементах дискретной апертуры. Апостериорные кумулянты второго порядка не только несут информацию об апостериорных характеристиках оцениваемых полей, в частности, об их пространственной корреляции на апертуре и о точности

оценивания, но и определяют существенные параметры устройств - коэффициенты усиления и взаимосвязи петель ФАП. Ранее точное решение уравнений для вторых апостериорных кумулянтов было получено на основе Фурье-преобразования только в идеализированном случае бесконечной приемной апертуры или неограниченной эквидистантной антенной решетки, тогда как в реальных условиях необходимо учитывать ограниченность размеров приемной базы и связанные с этим краевые эффекты. Для учета краевых эффектов использовались итерационные методы, которые позволяют получить лишь приближенные решения рассматриваемой задачи, причем попытки их уточнения наталкиваются на значительные трудности, в том числе вычислительного характера при расчетах на ПЭВМ. Таким образом, на этапе компьютерного моделирования и последующей практической реализации алгоритмов нелинейного оценивания поля фазовых флуктуации возникает необходимость применения других методов, устойчивых к изменению параметров задачи в широких пределах, поскольку только в этом случае возможно осуществление полноценных вычислительных экспериментов.

Вторая глава посвящена обоснованию такого устойчивого метода, расчету и исследованию на его основе апостериорных функций и матриц пространственной корреляции поля фазовых флукгуаций квазигармонического сигнала, наблюдаемого на фоне гауссовского шума на линейной апертуре конечных размеров. Предлагаемая методика описана сначала применительно к случаю, когда прием сигнала производится на дискретную антенн}то решетку, то есть применительно к нелинейным матричным уравнениям, а затем обобщена на непрерывную приемную апертуру, когда соответствующие уравнения становятся интегральными. Методика основана на применении к уравнениям гауссовского приближения для апостериорных матриц корреляции фазы и их начальным условиям неособого матричного преобразования, которое приводит матрицу корреляции оцениваемого поля в новом базисе к диагональному виду.

В случае приема на дискретную антенную решетку конечных размеров это преобразование имеет вид

где знак * обозначает комплексное сопряжение. Поиск такого матричного преобразования осуществляется стандартными методами вычисления собственных чисел и собственных векторов априорной матрицы корреляции фазы.

При нестационарном оценивании применение диагонализующего преобразования приводит к тому, что исследуемое матричное уравнение переходит в систему взаимонезависимых обыкновенных дифференциальных уравнений для собственных значений апостериорной корреляционной матрицы. Решение этой системы и возврат к исходному базису с помощью обратного преобразования дают следующее выражение для апостериорной матрицы корреляции фазы

где Л/ - собственные значения априорной матрицы пространственной корреляции поля 4(1,г).

При стационарной фильтрации днагонализующее преобразование приводит к системе независимых алгебраических уравнений, в результате решения которой и перехода к исходному базису получаем

1=1 и

П-

г

Отметим, что, в отличие от итерационных методов, данный подход приводит к точным решениям в виде конечных сумм. В тех случаях, когда удается осуществить суммирование в явном виде, он позволяет получить замкнутое аналитическое решение рассматриваемых уравнений, что проиллюстрировано на примере системы с двумя приемными пунктами. Полученные решения позволили провести строгий учет влияния ограниченности размеров приемной антенны и возникающих краевых эффектов на алгоритмы и качество пространственно-временной обработки. Качественно это влияние проявляется в нарушении однородности поля фазовых флуктуации и в увеличении погрешности оценок фазы вблизи краев приемной апертуры. Кроме того, численное решение уравнений предлагаемым методом не вызывает сложностей со сходимостью и поэтому служит в последующих главах основой для компьютерного моделирования и анализа рассматриваемых алгоритмов пространственно-временной обработки на ПЭВМ. На рис. 1 представлены графики дисперсии a2pi(;') = К„ нестационарной оценки (рис. 1.А) и стационарной фильтрации (рис. 1.В) фазы, полученные на ПЭВМ с помощью метода диагонализации для экспоненциального закона пространственной корреляции фазовых флуктуаций кЦ = ст* ехр(-а|Д/^ |) для 10-элементной антенной решетки (М = 10, i,j=l,...,M)

А) .1 В)

Рис. 2.

при различных значениях параметров 0 = <у)¡л или 9 ■■

а, /и

. Значение параметра

а характеризует априорный радиус корреляции г( = а'1, который выбран равным размеру антенны О. Об апостериорной пространственной матрице корреляции можно судить по трехмерному изображению матрицы К^, показанному на рис. 2 при значениях параметров в - 0.5 (рис. 2.А) и 9 = 0.5 (рис. 2.В). Отметим, что описанная выше методика расчета апостериорных корреляционных характеристик поля фазовых флуктуации применима не только к эквидистантной, но и к неэквидистантной линейной антенной решетке.

В случае наблюдения сигнала на непрерывной приемной апертуре конечного размера обобщение метода диагонализации на решение нелинейных ин-тегро-дифференциальных уравнений, описывающих вторые кумулянты апостериорного распределения -фазовых флуктуации, основано на применении интегрального преобразования

о с

К'«,Л = \\т\х,,)К(х,у)Цу,])с1х<1у .

о о

Выражения для Т(х,<), / = 1,2,... находятся из решения задачи на собственные значения и собственные функции априорной функции пространственной корреляции фазовых флуктуации \к((х,г)Т(2,г)ск = Х((1)Т(х,1). Можно показать, что для

о

любой непрерывной эрмитовой функции к((х,у) такой набор ортонормирован-ных собственных функций Т(х,г) существует всегда. Обратное преобразование имеет вид бесконечной суммы

что обусловлено дискретностью спектра собственных значений эрмитовых непрерывных ядер на конечном интервале. Аналогично матричному случаю, при-= менение диагонализующего преобразования к исследуемым интегральным уравнениям приводит к тому, что данные уравнения переходят в систему взаимонезависимых обыкновенных дифференциальных или алгебраических уравнений для собственных значений апостериорной функции корреляции. В случае нестационарного оценивания решение указанных уравнений и применение обратного преобразования приводят к следующему выражению для апостериорной функции корреляции

Можно показать, что этот ряд равномерно сходится, и любые решения исследуемого уравнения допускают представление в таком виде. Для случая стационарной фильтрации соответствующее решение имеет вид

*(*.>) = 2 /У

2М{(0 1+--1

Т'(у,0.

При экспоненциальной априорной функции корреляции к((р) = а* ехр(-а|р|) получены явные выражения для указанных билинейных рядов. На ряде частных примеров показано соответствие решений, полученных на основе метода диаго-нализации, результатам, известным ранее. Это соответствие подтверждено не только на основе расчетов на ПЭВМ, но в некоторых случаях и путем аналитических преобразований конечных выражений. На рис. 3 изображены вычисленные на ПЭВМ зависимости среднего квадрата погрешности оценок фазы сг^(х) = К(х,х) от положения точки х на приемной апертуре при экспоненциаль-

но

В)

1

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

г = 10 г - 20

г - 50 г = 100

ном законе пространственной корреляции оцениваемого поля для случаев нестационарного оценивания (рис. З.А) и стационарной фильтрации (рис. З.В) при

о}^ о] ц 1

различных значениях параметров г= ^ или /? = —— (значение а = —).

В третьей главе проводится компьютерное моделирование и экспериментальное исследование квазиоптимальных нелинейных алгоритмов оценивания пространственных и пространственно-временных фазовых флуктуаций. Эти алгоритмы обработки отличаются повышенной сложностью по сравнению с соответствующими алгоритмами чисто временной обработки, не учитывающей пространственных флуктуаций полезного сигнала и шума. Их аналоговое моделирование в виде взаимосвязанных петель ФАП сопряжено с большими материальными затратами и трудоемкостью. Кроме того, теория таких коллективных систем ФАП пока не разработана. Это свидетельствует о целесообразности моделирования практической реализации указанных алгоритмов в цифровом виде на базе современной вычислительной техники. Кроме того, цифровая обработка обладает необходимой гибкостью при варьировании априорных данных и параметров задачи.

Задача компьютерного моделирования разбивается на четыре связанных между собой этапа.

1. Моделирование подлежащего оценке априорного распределения фазы (для алгоритма нестационарного оценивания) или пространственно-временного поля фазовых флуктуаций £ (0 (для алгоритма фильтрации в стационарном случае). В качестве модели коррелированных пространственных фазовых флуктуации взята совокупность величин образованная по правилу

м " I_

4, = И С* V,, где коэффициенты Сч определяются по формуле С^ = £ Та у А/ Тц , а »•1 1=1

V,,..., уи - взаимно независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними значениями и единичными дисперсиями. Для моделирования эволюции этого поля в дискретном времени использована разностная схема £ (/ +1) = е',ь ^ (У) + х, (0, гДе совокупность случайных гауссовских величин £ (/)

образована по формуле х, С) = у ^ с 2,л) 2 Сл ук, ук = уА/, / - номер отсчета по времени, а А(- интервал временной дискретизации.

2. Формирование принимаемой смеси полезного сигнала и шума у, (/). В качестве отсчетов величин, входящих в у, (/), использованы их значения, усредненные по временному интервалу дискретизации [/А/, (/ + 1)Дг].

3. Вычисление апостериорной матрицы корреляции фазы Кь, элементы которой входят в исследуемые алгоритмы пространственно-временной обработки в качестве коэффициентов. Эти расчеты были реализованы на ПЭВМ с использованием описанной выше методики диагонализации матриц.

4. Построение цифровой модели работы исследуемых алгоритмов нелинейной обработки сигналов, в том числе, конструирование разностных схем численного интегрирования. Проведены исследование и сравнительный анализ двух схем численного интегрирования, имеющих первый и второй порядки точности аппроксимации.

Показано, что для численного моделирования алгоритма оценки постоянного во времени распределения фазовых флуктуации необходимо задание двух параметров - отношения сигнал/шум на элементе приемной апертуры за интервал временной дискретизации /-/Л = рМ и априорной дисперсии фазовых флук-

туаций ст{2, а также эрмитовой матрицы коэффициентов корреляции И = —у с

ai

единичными диагональными элементами, Для моделирования алгоритма стационарной фильтрации требуется задание значений , а2(, матрицы г*, а также ук = уА1 - величины, обратной числу дискретных измерений за время автокорреляции поля фазовых флуктуации.

Статистическая обработка результатов проведенного моделирования подтвердила правильность теоретических выводов в отношении точности квазиоптимальных пространственно-временных оценок фазы и влияния краевых эффектов. На рис. 4 представлено сравнение экспериментальных распределений среднего квадрата погрешности оценки фазы на антенной решетке (дискретные измерения) с теоретическими зависимостями (непрерывные кривые) для нестационарного оценивания (рис. 4.А) и стационарной фильтрации (рис. 4.В) при экспоненциальном априорном законе пространственной корреляции

Л)

В)

1

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

Рис. 5.

(значения = 0,5, =0.2, М =10, / = 20, /д =0.05; усреднение проводи-

лось по 50000 случайных реализаций). На рис. 5 приводится сопоставление экспериментальных данных об эволюции дисперсии оценки фазы, усредненной на антенной решетке, при изменении параметров / или с теоретическими зависимостями при нестационарном оценивании (рис. 5.А) и стационарной фильтрации (рис. 5.В) для экспоненциального априорного закона пространственной

корреляции (значения « = а( = 05. =0.2, М = 10; усреднение проводилось

по 10 приемным элементам для 5000 случайных реализаций). Результаты моделирования позволяют также сделать вывод о справедливости исследуемых алгоритмов гауссовского приближения при меньших значениях отношения сигнал/шум в пространственно-временной области корреляции оцениваемого поля, чем это следует из общей теории нелинейного оценивания. Получены выражения для областей устойчивости предложенных разностных схем и оценок погрешности аппроксимации соответствующих методов численного интегрирования. Установлены ограничения на численные значения некоторых параметров эксперимента. Показано, что при выполнении неравенства < 1 устойчивость явных разностных схем численного интегрирования квазиоптимальных алгоритмов оценивания и снижение погрешностей аппроксимации могут быть всегда достигнуты путем со1фащения интервала временной дискретизации Д/.

Наряду с подтверждением работоспособности и эффективности квазиоптимальных алгоритмов проведенное моделирование показало целесообразность их модификации и поиска альтернативных алгоритмов пространственно-временной обработки, которые при практической реализации требовали бы меньших ограничений на условия эксперимента.

Четвертая глава посвящена синтезу и экспериментальному исследованию именно таких альтернативных алгоритмов. Синтез проведен путем пространственно-временного обобщения известного интегрального алгоритма

оценки фазы полезного сигнала на единичном приемном элементе. Синтезированный интегральный алгоритм оценки пространственного распределения фазы на непрерывной приемной апертуре конечных размеров имеет вид

40, р) = -агсщ

\к(р,г)\у,(т,г)с1тс1г

г®---

I >

\к{р,Г)\ус(т,г)<1тс1г

где К(р,г) - апостериорная функция корреляции, получаемая из соответствующего уравнения гауссовского приближения, уЛ',П = )'(.<,?)$ «п а>/, уА'^) ~ у(1,г)со$ю1 - квадратурные составляющие принимаемой реализации. При стационарной фильтрации соответствующий интегральный алгоритм описывается формулой

4(1, р) = -агсщБ--f-,

¡К{р,г)]е^'->ус(т,г)с1гс1г

О -во

где тр'(р,,р2) +—\к(рх,г)к.(г,рг)(1г - величина, обратная характерному МЛ,Р2)Ь

времени взаимной апостериорной корреляции фазовых флуктуации в точках р, и рг. Распространение полученных результатов на случай дискретной антенной решетки производится аналогично проведению соответствующего перехода для квазиоптимальных алгоритмов оценивания.

Статистическая обработка результатов численных экспериментов показала, что для многих практически важных случаев интегральные алгоритмы дают оценку поля фазовых флуктуаций, сопоставимую по точности с результатами квазиоптимальных методов оценивания. Показано, что условиями применимости интегральных алгоритмов оценивания являются требования достаточно высокой точности оценивания и малости величины априорной дисперсии фазовых флуктуаций < 1. Представление алгоритмов в виде конечных формул, а не дифференциальных уравнений позволяет существенно упростить задачи программирования и сократить затраты вычислительного времени при их цифровой реализации по сравненшо с квазиоптимальными алгоритмами, использующими разностные схемы численного интегрирования. При численном моделировании интегральных алгоритмов практически не возникает проблем с устойчивостью, присущих большинству разностных схем численного интегрирования. Эти алгоритмы не нуждаются в задании априорных сведений о распределении фазовых оценок, которые используются в качестве начальных условий для квазиоптимальных алгоритмов, и требуют существенно меньших ограничений на значения параметров эксперимента. Наряду с этим, интегральные алгоритмы учитывают априорные данные о пространственной корреляции фазовых флуктуаций на апертуре, что выгодно отличает их от соответствующих алгоритмов,

полученных по критерию максимального правдоподобия. Последние совпадают с интегральными алгоритмами при K(p,r) = 1 и не учитывают, таким образом, априорных сведений, важных для пространственной обработки.

На основе проведенных аналитических исследований и статистической обработки данных численного эксперимента выработаны следующие критерии, позволяющие для каждого конкретного случая сделать выбор в пользу квазиоптимальных или интегральных методик оценивания.

- Для нестационарного оценивания при небольшой точности < 20, М. - число приемных элементов, находящихся в области пространственной корреляции фазы полезного сигнала), когда интегральный алгоритм обладает значительной погрешностью, предпочтение следует отдать квазиоптимальным методикам, которые позволяют достичь большей точности оценивания за счет использования информации об априорном значении фаз на приемной апертуре. При большой величине отношения сигнал/шум, когда разностные схемы численного интегрирования для квазиоптимального алгоритма расходятся (начиная с <j]nhMt «5), следует использовать интегральные алгоритмы, не имеющие сложностей со сходимостью при любых значениях отношения сигнал/шум. При

20 г ,, с

промежуточных значениях параметра — <сг^дЛ/{ <5 использование квазиоптимальных и интегральных методик оценивания приводит к практически равнозначным результатам.

- Для стационарной фильтрации с небольшой точностью оценивания

(

Уь

: 20) следует использовать квазиоптимальные методики. При большой

величине отношения сигнал/шум (начиная с «2) предпочтение следу-

ет отдать интегральному алгоритму, обладающему значительно меньшими

А)

В)

4

3 2

I '

Мь

Ms

ограничениями по величине отношения сигнал/шум. На рис. 6 приведено экспериментальное сравнение областей применимости квазиоптималыюго (жирные линии) и интегрального (тонкие линии) алгоритмов нестационарного оценивания (рис. 6.А) и стационарной фильтрации (рис. 6.В) по параметру в случае экспоненциальной функции априорной корреляции фазы (значения

1 <72 ,

1 •у ^ ~ , , _ л _„ experiment

а = —, а; =0.5, М= 10, ^¿=0.1; усреднение величины -— проводилось по

D . аг>

5000 случайных реализаций в 10 приемных элементах).

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

В приложениях приводятся тексты программ для ПЭВМ на языке Си, которые осуществляют вычисление корреляционных функций и матриц на основе формул, полученных в работе, а также моделирование работы исследуемых алгоритмов оценивания поля фазовых флуктуации полезного сигнала.

Основные результаты работы

1.-Получены точные решения нелинейных матричных уравнений, описывающих в гауссовском приближении поведение апостериорных матриц корреляции фазы полезного сигнала для задач нестационарного оценивания и стационарной фильтрации при приеме на дискретную антенную решетку конечных размеров. Решение основано на применении диагонализующего матричного преобразования, которое находится стандартными численными методами поиска собственных чисел и собственных векторов априорной матрицы корреляции фазы. Данная методика дает возможность получить точное аналитическое решение названных уравнений в удобной для практического применения форме, что проиллюстрировано на некоторых частных примерах. Она позволила избежать проблем со сходимостью при компьютерном моделировании, присущих известным подходам к решению на основе методов возмущений и итераций, в широком диапазоне значений параметров задачи, в частности, при произвольных значениях отношения сигнал/шум.

2. Проведено обобщение методики диагонализующего преобразования на случай наблюдения сигнала на непрерывной приемной апертуре конечного размера, когда соответствующие уравнения для функции корреляции становятся интегральными. Предложен подход к решению этих уравнений, основанный на применении к ним интегрального диагонализующего преобразования, являющегося непрерывным аналогом матричного диагонализующего преобразования. Получено решение названных уравнений в виде равномерно сходящегося билинейного ряда по собственным функциям априорной функции корреляции. Для случая экспоненциальной априорной функции корреляции проведено вычисление членов этого ряда в явном виде. Указано на возможность применения мето-

дики диагонализации для решения более широкого класса нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, встречающихся в задачах математической физики.

3. Аналитически и численно проанализировано влияние конечных размеров приемной апертуры на функционирование квазиоптимальных алгоритмов оценивания поля фазовых флуктуации полезного сигнала. Это влияние проявляется на краях апертуры в пределах области апостериорной корреляции фазовых флуктуаций, что выражается в нарушении однородности корреляционной функции и в увеличении среднего квадрата погрешности оценок в указанных областях приемной апертуры. Физически это связано с тем, что в формировании оценок на краях апертуры принимает участие меньше приемных элементов, чем в центре. Если размеры антенны сравнимы с радиусом корреляции оцениваемого поля, то влияние краевых эффектов антенны становится заметным и в ее центре.

4. Разработана методика компьютерного моделирования квазиоптимальных алгоритмов нелинейного оценивания поля фазовых флуктуаций квазигармонического сигнала, наблюдаемого на фоне гауссовского шума. Методика реализована в пакете прикладных программ, позволяющих осуществлять компьютерные эксперименты. Проведено аналитическое и цифровое исследование устойчивости и точности аппроксимации различных разностных схем численного моделирования рассматриваемых алгоритмов. Статистическая обработка данных вычислительного эксперимента позволила подтвердить правильность выводов марковской теории нелинейной фильтрации в отношении точности оценок фазы и влияния краевых эффектов. Выявлены ограничения, налагаемые на значения некоторых параметров эксперимента.

5. Произведены синтез и исследование более удобных с точки зрения практической реализации интегральных пространственно-временных алгоритмов нестационарного оценивания и стационарной фильтрации фазовых флуктуаций сигнала на приемной апертуре. Полученные алгоритмы по качеству сопоставимы с квазиоптимальными алгоритмами, но требуют меньших вычислительных затрат при реализации в цифровом виде и обладают при этом значительно более широким диапазоном работоспособности при изменении априорных данных и условий эксперимента. Получены критерии, позволяющие осуществлять выбор в пользу квазиоптимальных или интегральных методик оценивания в зависимости от условий эксперимента.

Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях:

1. Быков А.В. Подход к точному решению интегрального уравнения для функции корреляции нелинейной оценки поля фазовых флуктуаций на ограниченной апертуре//Проблемы распространения и дифракции электромагнитных волн. Междувед. сб. - М.: МФТИ, 1995. - С. 91-96.

2. Bykov A.V. Non-linear Estimation of Phase Fluctuations on the Finite Size Aperture//XXVth General Assembly of the International Union of Radio Science (URSI), Lille, France. - Abstracts, 1996. - P. 666.

3. Быков A.B. Решение уравнения для апостериорных корреляционных матриц в задаче оценки поля фазовых флуктуации на ограниченной антенной решет-ке//Радиофизические методы обработки сигналов. Междувед. сб. - М.: МФТИ, 1996.-С. 136-141.

4. Быков А.В. Пространственно-временная оценка фазовых флуктуаций сигнала на антенной решетке конечного размера//Современные проблемы фундаментальной и прикладной физики и математики. Тезисы докладов XL Юбилейной научной конференции МФТИ. - М.: МФТИ, 1997. - С. 16.

Подписано к печати 13-1 1.98 Тираж loo Заказ i "И 3/02_

ООО "Трансмарк", Москва, Ленинградский пр-т, 80/5

£

Физико-да

На правах рукописи

Быков Александр Викторович

Исследование методов нелинейной пространственно-временной обработки случайных полей

01.04.03 - радиофизика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель Д.т.н. профессор Шмелев А.Б.

Москва - 1998

Оглавление

Введение..........................................................3

Глава 1. Основные результаты теоретического исследования задачи оценивания поля фазовых флуктуаций полезного сигнала........................21

1.1 Уравнения нелинейной фильтрации случайных процессов и полей..... 21

1.2 Выделение пространственно-временных флуктуаций фазы на сплошной апертуре......................................................28

1.3 Оценка фазы на дискретной антенной решетке......................37

Глава 2. Апостериорные характеристики поля фазовых флуктуаций на приемной апертуре конечных размеров.................................45

2.1 Вычисление апостериорной корреляционной матрицы фазовых флуктуаций на линейной антенной решетке.........................45

2.2 Апостериорная корреляция фазы полезного сигнала при двухпози-ционном приеме...............................................63

3.3 Точное решение интегральных уравнений для апостериорной

функции корреляции фазы на ограниченной непрерывной апертуре.....69

Глава 3. Численное моделирование нелинейных алгоритмов оптимального оценивания фазовых флуктуаций......................................86

3.1 Цели и этапы компьютерного моделирования.......................86

3.2 Оценка пространственного распределения фазы.....................88

3.3 Стационарная фильтрация поля фазовых флуктуаций.................108

Глава 4. Интегральные алгоритмы пространственно-временного оценивания фазы полезного сигнала..............................................126

4.1 Предпосылки синтеза новых алгоритмов оценки поля фазовых флуктуаций .......................................................126

4.2 Выделение постоянного во времени распределения фазы полезного сигнала...................................................... 130

4.3 Фильтрация поля стационарных фазовых флуктуаций................141

4.4 Сравнительный анализ квазиоптимальных и интегральных алгоритмов оценивания...................................................152

Заключение........................................................166

Список литературы.................................................169

Приложение 1......................................................175

Приложение 2......................................................178

Приложение 3......................................................185

Введение

Статистическая теория обработки случайных полей, флуктуирующих как во времени, так и по пространственным координатам, находит в последнее время все большее применение в разнообразных системах приема и обработки информации. С одной стороны, это определяется невозможностью существенного улучшение характеристик качества обработки и помехоустойчивости таких систем только за счет увеличения геометрических размеров приемной базы без проведения надлежащей пространственно-временной обработки наблюдаемой смеси полезных сигналов, шумов и помех. С другой стороны, современный уровень развития антенных и вычислительных технологий уже позволяет осуществить функционирование соответствующих алгоритмов в режиме реального времени для многих практически важных случаев.

Настоящая работа посвящена реализации этапа компьютерного моделирования и экспериментального исследования квазиоптимальных алгоритмов пространственно-временной обработки случайных полей применительно к задачам нелинейного оценивания фазовых флуктуаций квазигармонического сигнала на фоне гауссовского шума, а также в разработке и исследовании модифицированных алгоритмов, более простых в технической реализации и мало уступающих в эффективности квазиоптимальным алгоритмам оценивания фазовых флуктуаций.

Постановка задач, связанных с оценкой поля фазовых флуктуаций полезного сигнала и исследованием соответствующих алгоритмов обработки, продиктована актуальными проблемами развития радиофизики и смежных с ней наук. В настоящее время решение таких задач представляет значительный интерес как для непосредственного применения на практике, так и для методического развития теории нелинейной обработки случайных полей в целом.

С практической точки зрения алгоритмы оптимальной оценки пространственно-временного распределения фазы полезного сигнала представляют не только самостоятельную ценность, но и могут использоваться в качестве источников данных в составе более сложных методов обработки случайных полей.

Как известно, когерентный прием сигналов крупноапертурными системами позволяет добиться значительного улучшения показателей точности, разрешающей способности и помехоустойчивости [1-6]. К сожалению, попытки реализации потенциальных возможностей таких систем по проведению когерентной обработки наталкиваются на существенное ограничение, вызванное фазовыми искажениями волнового фронта [7-11]. Для точечного источника эти искажения обусловливаются наличием случайно-неоднородной среды на пути распространения волн. Например, разность фаз сигнала от навигационного ИСЗ на частоте 150 Мгц, вызванная искажением фронта радиоволны магнитной бурей в ионосфере, может достигать на 90-метровой антенне величины 90-100 градусов [12]. Оценивание флуктуаций фазы полезного сигнала на всей совокупности приемных элементов позволяет произвести компенсацию таких искажений волнового фронта и осуществить квазикогерентный прием полезного сигнала путем введения соответствующих фазовых поправок. Внешние и внутренние шумы наблюдения, неизбежно присутствующие в любых измерительных системах, делают невозможным точное измерение фазы полезного сигнала. Поэтому качество такой компенсации непосредственно зависит от точности, которую обеспечивают используемые алгоритмы оценки поля фазовых флуктуаций полезного сигнала, наблюдаемого на фоне шумов и помех различной природы.

При источнике сигнала, имеющем конечные размеры, искажения волнового фронта определяются как свойствами среды распространения, так и структурой самого источника. Для ряда случаев [13] учет априорной информации об источнике позволяет описывать искажения, связанные с его геометрической

формой, как случайные поля, меняющиеся от реализации к реализации. Оценивание и компенсация фазовых искажений, возникающих в таком случае, также требуют применения методов статистической обработки.

В теории локации флуктуации фазы, связанные только со средой распространения волн, могут быть выделены путем осуществления многократного переизлучения отраженного от цели сигнала с обращением волнового фронта, что позволяет произвести формирование опорного точечного источника [7, 8]. Вычисление текущей пространственно-временной оценки фазы полезного сигнала в каждом приемном элементе антенны необходимо и для осуществления обращения волнового фронта оптимальным образом. Проблема анализа и последующего учета фазовых набегов возникает в процессе юстировки стационарных антенных систем по сигналам эталонных источников, а также при использовании приемных апертур с нежесткой конструкцией, таких как космические или гидроакустические. Применение радиофизических методов для изучения природной среды также ставит задачи оценивания пространственного распределения фазы полезного сигнала на больших приемных апертурах.

Ряд исследований [14] указывает на принципиальные различия в той роли, которую играют спектральная амплитуда и фаза в Фурье представлении процессов и полей. Большинство ключевых свойств сигнала сохраняются и в отсутствии полной информации о его спектральной амплитуде. Более того, при выполнении некоторых условий, например, в случае ограниченной протяженности сигнала по времени и пространству, информация о Фурье-фазе такого сигнала оказывается достаточной для его восстановления с точностью до нормировочного множителя. Процедура такого восстановления, получившая название фазового Фурье-синтеза, является наглядным примером использования методик оценки поля фазовых флуктуаций в составе более сложных алгоритмов обработки.

Изначально теория оптимальной обработки случайных процессов и полей возникла при рассмотрении радиофизических задач и получила свое наибольшее развитие применительно к системам локации и связи, которые по сути также можно отнести к радиофизическим системам. Проблемы оптимального выделения полезной информации из принимаемой смеси сигнала, шумов и помех до сих пор не потеряли своей актуальности. Именно в радиофизических системах, как правило, приходится в максимальной степени учитывать возмущающие факторы различной природы. Для определенности в настоящей работе будет преимущественно использоваться радиофизическая терминология, хотя результаты проведенных исследований могут быть использованы также в других областях физики, в частности, в акустике и оптике.

В первых работах [15-17], посвященных синтезу алгоритмов оптимального обнаружения случайных полей и оцениванию их параметров, априори предполагалось, что наблюдаемые поля имеют гауссовское распределение. В настоящее время теория обработки гауссовских случайных полей разработана наиболее полно (см., например, [18-23] и цитированную там литературу). На практике часто приходится иметь дело с негауссовскими случайными процессами и полями, что существенно ограничивает возможности применения алгоритмов, синтезированных на основе гауссовской теории.

Часто негауссовость обусловливается самой природой возникновения случайного поля. Классическим примером в данном случае служат поля импульсных помех, порождаемых кратковременными воздействиями сторонних сил на динамические системы [24, 25]. Для таких полей, чем ниже частота повторения импульсов, тем заметнее проявляется свойство негауссовости [26]. Подобные помехи могут создаваться как электрическими разрядами разного происхождения, так и активными системами радиопротиводействия. Негауссовость появляется и в том случае, когда наблюдаемая реализация нелинейно зависит от оцениваемых параметров, которые сами могут быть распределены по

гауссовскому закону [26-28]. Подобная ситуация реализуется в радиосвязи при применении частотной или фазовой модуляции для передачи полезного сообщения. Она имеет место и в задачах оценивания фазовых флуктуаций, которые рассматриваются в данной работе.

Как известно, принципиальной особенностью оптимальной обработки не-гауссовских сигналов является ее нелинейность. Аппарат условных марковских процессов является удобным и широко используемым инструментом при решении различных задач, связанных с нелинейным оцениванием. Основы данной теории были разработаны Р. Л. Стратоновичем при исследовании задач обработки случайных процессов, флуктуирующих только по времени [29-32]. В работах [33-37] приводится наиболее полное изложение теории нелинейной марковской фильтрации, применительно к задачам оптимизации нелинейной обработки как одномерных, так и многомерных случайных процессов. Теория обработки негауссовских случайных полей, используемая в диссертации, построена на основе предельного перехода от теории многомерного марковского процесса при устремлении его размерности в бесконечность [38-41]. При таком обобщении случайные поля, флуктуирующие как во времени, так и по пространственным координатам, описываются как процессы со значениями в гильбертовом пространстве, пространственные координаты выступают в качестве параметров, от которых зависят исследуемые поля, а выражения для плотностей вероятности имеют вид функционалов, зависящих от реализации случайного поля. Свойство марковости и причинность для таких полей сохраняются только по времени.

В литературе [42-44] описываются различные способы вывода уравнения для апостериорного функционала плотности вероятности, которое является обобщением уравнения Стратоновича [33] для апостериорной функции плотности вероятности. Уравнения гауссовского приближения для средних апостериорных оценок и вторых кумулянтов, лежащие в основе исследуемых алгоритмов

квазиоптимальной обработки, получены в работе [45]. Возможен и другой способ описания марковских полей, при котором предполагается, что причинность и свойство марковости у исследуемых полей имеются как по временным, так и по пространственным измерениям [46, 47]. Однако, нетипичность такого предположения для большинства реальных стохастических систем существенно ограничивает область практического применения подобных математических моделей, которые так и не получили широкого распространения.

Следует отметить, что, хотя задачам оптимального оценивания пространственно-временного распределения фазы полезного сигнала был посвящен ряд публикаций, это направление работ нельзя считать завершенным.

Во-первых, задача фильтрации фазовых флуктуаций, как правило, рассматривалась для упрощенного случая бесконечной приемной апертуры, тогда как в реальных условиях область корреляции поля фазовых флуктуации нередко бывает сопоставима с геометрическими размерами приемной апертуры, что приводит к необходимости осуществления корректного учета ограниченности апертуры и связанных с этим краевых эффектов. Поэтому, если при проведении аналитических исследований можно было пользоваться идеализацией бесконечной апертуры, то при компьютерном моделировании, как и при последующей практической реализации, необходим надлежащий учет конечных размеров приемной апертуры. В свою очередь, численное решение систем нелинейных уравнений, описывающих алгоритмы обработки с учетом краевых эффектов, требует использования методов, устойчивых к изменению параметров задачи в достаточно широких пределах. Осуществление полноценных машинных экспериментов возможно только на основе таких методов. Методики численного решения этих систем, предложенные ранее [43, 44], на практике позволяют получить лишь качественные оценки влияния краевых эффектов. В литературе приводятся аналитические выражения для алгоритмов обработки, полученных только как "первое приближение" решений на основе приближенных методов.

Попытки уточнения таких алгоритмов наталкиваются на существенные трудности вычислительного характера как при исследовании методами математического анализа, так и при моделировании на ПЭВМ. Более того, учет ограниченности размеров приемной апертуры, как правило, проводился в предположении либо о малости краевых эффектов, либо о некоторых ограничениях, налагаемых на отдельные параметры задачи, например, на такие как отношение сигнал/шум и априорная дисперсия флуктуаций фазы. Подобные допущения сужают область практической применимости методик, описанных в литературе к настоящему времени. Результаты теоретического исследования задачи оценивания поля фазовых флуктуаций полезного сигнала анализируются в первой главе данной диссертации. Вторая глава диссертации посвящена исследованию квазиоптимальных алгоритмов оценивания поля фазовых флуктуаций на ограниченной приемной апертуре с помощью новой методики, позволяющей произвести строгий учет конечности ее размеров при различных условиях эксперимента.

Во-вторых, синтезированные в рамках марковской теории алгоритмы нелинейной пространственно-временной обработки, в том числе алгоритмы нелинейной оценки поля фазовых флуктуаций полезного сигнала на приемной апертуре, отличаются повышенной сложностью по сравнению с соответствующими алгоритмами чисто временной обработки. Их практическую реализацию целесообразно поэтому осуществлять в цифровом виде на базе современной вычислительной техники, бурное развитие которой в настоящее время позволяет рассчитывать на проведение обработки сигналов в многоэлементных антенных системах в режиме реального времени. Кроме того, цифровая обработка обладает необходимой гибкостью при варьировании априорных данных и параметров задачи. Необходимым важным этапом внедрения указанных алгоритмов в действующие и перспективные информационно-измерительные радиофизические системы является цифровое моделирование и проведение машинных экс-

периментов. Цель этого этапа исследований заключается в разработке и отладке соответствующих программ для ЭВМ, анализе работоспособности и качества работы синтезированных алгоритмов, их устойчивости к априорным данным и параметрам, а также в сравнении с результатами теории. В отличие от алгоритмов временной обработки сигналов, алгоритмы пространственно-временной нелинейной обработки и, в том числе алгоритмы оценивания поля фазовых флуктуаций, ранее не проходили указанного этапа исследований. В частности, в известной нам литературе отсутствуют данные о статистической обработке результатов функционирования алгоритмов по достаточно большому числу априорных реализаций, которы�