Диффузия лучей и волн в случайно-неоднородной среде тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Ой

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО

На правах рукописи

ГРИБОВА Евгения Зиновьевна

ДИФФУЗИЯ ЛУЧЕН И ВОЛН В СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ

01.04.03 - Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород — 1994

Работа выполнена в Нижегородской государственной архитектурно-строительной академии на кафедре физики

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор А.И. Саичев

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.И. Кляцкин доктор физико-математических наук, профессор В.Г. Гавриленко

Ведущая организация:

Научно-исследовательский радиофизический институт, Н.Новгород

Защита состоится " ^ " ^ЬаЪ^Я- ¡994 г. в часов на заседании диссертационного совета К 063.77.03 по радиофизике при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского (603600, г. Нижний Новгород, ГСП-20, пр. Гагарина, 23, корп. 4, ауд. N 202).

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета. Автореферат разослан "Я" оlcT-S.SU 1994 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

В.В. Черепенников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Знание закономерностей распространения волн в случайной среде позволяет использовать их для изучения свойств различных сред. Этот принцип реализован в большинстве радиофизических методов исследования о!сеана, земной коры, атмосферы, ионосферы, околосолнечной и космической плазмы. С другой стороны, быстрое развитие современных систем дальней радио- и лазерной связи, зондирования и локации турбулентной атмосферы и океана привело к тому, что искажения волн при их распространении стали одной из главных причин, ограничивающих технические характеристики подобных систем. Практическая важность и общефизическая значимость теории волн в случайно-неоднородных средах стимулировали быстрое развитие теоретических и экспериментальных исследований в этой области.

В широком круге задач, относящихся к данному вопросу, можно выделить достаточно важную для приложений область - исследование распространения волн в случайных средах с крупномасштабными по сравнению с длиной волны флуктуациямн показателя преломления. В этом случае нз-За концентрации рассеянного излучения в узком интервале углов вокруг первоначального направления распространения могут возникать сильные флуктуации интенсивности поля. Исследование такого распространения обычно проводится с использованием подходов, основанных либо на решении стохастического волнового уравнения тем или иным методом возмущений, либо на решении уравнений для статистических моментов поля. ,

Однако методы возмущений применимы лишь при условии малости флуктуаций амплитуды поля, а решение уравнения даже для четвертого

момента поля представляет собой сложную до сих пор до конца не решенную математическую задачу.

В тоже время задача' значительно упрощается, если пренебречь дифракцией и описывать распространение волны в геометрооптическом приближении. Нелинейность уравнений геометрической оптики существенно затрудняет их анализ. Поэтому при изучении параметров волн обычно пользуются линеаризованными уравнениями. Однако разработанные в последние десятилетня методы статистического анализа уравнений геометрической оптики позволяют проводить исследование статистических свойств волн без ограничений на размер флухтуаций интенсивности. При этом оказывается возможным детальное изучение статистики волны хак в фиксированной лучевой трубке (лагранжева статистика), так и в фиксированной точке пространства (эйлерова статистика), поэтому удается достаточно полно описать свойства волн в случайно-неоднородной среде.

Преимуществом такого подхода является то, что стохастические дифференциальные уравнения для координат геометрооптического луча, кривизны волнового фронта и якобиана преобразования эйлеровых координат луча в лагранжевы при определенных условиях можно рассматривать как уравнения дня марковских процессов и применять к изучению свойств геометрических параметров волны аппарат уравнений Фоккера-Планка. Кроме того, в рамках геометрооптического подхода удается достаточно легко моделировать слой протяженной среды системой эквидистантных фазовых экранов. Многократное повторение на ЭВМ численных экспериментов по рассеянию волны на последовательности таких экранов дает выборку случайных реализаций полей, по которой могут быть определены многие статистические характеристики излучения.

г

Таким образом, комбинированные численно-аналитические методы в рамках геометрооптического подхода являются эффективными при исследовании распространения волн в случайно-неоднородных средах. Поэтому представляется целесообразным рассмотреть с помощью этого подхода такие недостаточно изученные до сих пор вопросы, как свойства волн в области многолучевости, а также вероятностные и корреляционные свойства интенсивности волн в области сильных флуктуации.

Цель работы:

1. Исследование динамических и статистических свойств полей расходимости лучевой трубки (якобиана преобразования эйлеровых координат геометрооптического луча в лагранжезы) н кривизны волнового фронта в случайной среде с. гауссовыми дельта-коррелированными неоднородностями показателя преломления.

2. Исследование статистических свойств геометрических характеристик волны в среде: средней плотности каустик в поперечном сечении, среднего числа лучей, вероятности многолучевого распространения; изучение влияния вытянутых неоднородностей на диффузию лучей.

3. Исследование асимптотического поведения реализаций и вероятностных свойств интенсивности в окрестностях каустик в рамках геометрооптического подхода, а также изучение корреляционных свойств флуктуаций интенсивности с учетом дифракционного сглаживания каустических особенностей волнового поля.

3

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Получен асимптотический (на больших расстояниях вдоль луча) закон нарастания моментов модуля расходимости, на основе которого могут быть исследованы некоторые статистические свойства интенсивности и многолучевости волны.

2. Найден закон нарастания среднего числа лучен в среде. С помощью этого закона объяснен полученный численными методами асимптотический закон увеличения средней плотности каустик в поперечном сечении случайной среды.

3. Проведены расчеты, позволяющие оценить начало области, в которой необходимо учитывать многолучевость распространения волн.

4. Получена плотность вероятностей углов распространения луча в среде с вытянутыми вдоль оси распространения (не дельта-коррелированными) неоднородностямн. . '

5. Получено, что с ростом номера каустики вдоль луча бесконечные выбросы интенсивности концентрируются во все более узких интервалах продольной оси, что означает истончение каустик и увеличение размера областей, в которых поле в среднем стремится к нулю.

6. Предложен способ описания дифракционного сглаживания каустических особенностей, позволяющий вдвое снизить кратность интеграла, которым выражается корреляционная функция флуктуаций интенсивности.

7. Получено замкнутое интегральное выражение для корреляционной функции флуктуации интенсивности в фрактальной случайно-неоднородной среде

Практическая ценность. Полученные результаты представляют как чисто научный, так и практический интерес, поскольку могут быть использованы при описании свойств электромагнитных и акустических волн в случайных средах, что весьма актуально в связи с возникающими в приложениях задачами локации в турбулентной атмосфере, томографии случайно-неоднородного океана, задачами инженерной геодезии.

Апробация работы и публикации. Материалы диссертации докладывались на XI и XII Симпозиумах' по распространению лазерного излучения в атмосфере и водных средах (Томск, 1991, 1993), XVII Конференции по распространению радиоволн (Ульяновск, 1993), I Межреспубликанском симпозиуме "Оптика атмосферы и океана" (Томск, 1994), на II Международной школе-семинаре "Динамические и стохастические волновые явления" (Н. Новгород, 1994), семинарах кафедры физики НГАСА.

Материалы диссертации опубликованы в работах [1-12]. -

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы, включающего 112 наименований. Работа содержит 147 страниц текста, включая 23 рисунка и 3 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность темы диссертации, охарактеризованы методы решения задач распространения волн в случайных средах с крупномасштабными неоднородносгями, отмечены преимущества геомегрооптического подхода к решению таких задач, сформулирована цель работы и описано ее содержание.

В первой глгте указаны причины, по которым исследование свойств " экспериментально наблюдаемых параметров волны (интенсивности, среднего числа каустик и т.д.) удобно проводить, зная статистику якобиана преобразования • эйлеровых координат геометрооптического луча в лагранжевы (расходимости лучевой трубки). Затем исследованы динамические и статистические свойства полей расходимости лучевой трубки ] и кривизны волнового фронта и. Исходными являются лучевые уравнения. Из них получены стохастические дифференциальные уравнения, связывающие расходимость лучевой трубки и кривизну волнового фронта.

Статистика расходимости и связанных с ней величин исследованы в наиболее простом случае двумерной задачи (I - координата вдоль первоначального направления распространения волны, единственная поперечная коорднн'ата - х). • Двумерная модель позволяет избежать громоздких выкладок, связанных с трехмерностью реальной среды. В то же время, известно, что фокусировка лучей имеет преимущественно одномерный характер, поэтому с помощью двумерного приближения удается выявить не только качественные, но и количественные особенности поведения расходимости лучевой трубки и интенсивности волны в области, где формируются каустики и наблюдаются^ сильные флуктуации интенсивности. Кроме того, некоторые реальные среды (океан, ионосфера) являются квазислонсгымн, и анализ распространения волн в подобных случайно-неоднородных средах может быть полностью проведен в рамках двумерной модели.

В этой главе случайное поле флуктуаций показателя преломления принято гауссовым, дельта-коррелированным вдоль' продольной оси.

Исследование проводилось как численными методами (решение уравнения Фоккера-Планка для плотности вероятностей расходимости), так

и комбинированными численно-аналитическими. Поскольку численное определение функции плотности вероятностей расходимости требует очень больших объемов памяти ЭВМ и, кроме того, вследствие накопления ошибки с увеличением расстояния С не может дать точного решения при I > 1 (I = 1 соответствует области сильных фокусировок в геометрооптнческом приближении), применены более эффективные численно-аналитические методы исследования. Они основаны на том, что поля 5(1), и(1) представляют собой квазипериодическнй процесс со случайными статистически независимыми полупериодамн - расстояниями между каустиками. Это позволяет перейти от исходной системы стохастических уравнений для .1(0, и(0 к более простым при численном решении уравнениям для введенных п этой главе (п. 1.4.2) вспомогательных функций. Численное решение полученных уравнений на одном полупериоде (то есть до точки первой каустики) позволяет, с учетом квазнпс-рнодичкоеш ДО, 1)(!), исследовать асимптотические свойства этих полей на больших расстояниях вдоль луча.

Для проверки правильности сделанных при этом предположений и для контроля точности численного решения найдено точное замкнутое уравнение для положительных четных моментов модуля расходимости и получено его асимптотическое решение на больших расстояниях вдоль луча.

В результате проведенного численно-аналитического исследования найден асимптотический закон нарастания произвольных положительных моментов модуля расходимости, а также установлены мажорантные свойства последовательности, составленной из произведений значений кривизны волнового фронта в точках каустик.

Во второй главе изучена статистика • таких экспериментально наблюдаемых геометрических параметров, как среднее число лучен, средняя

плотность каустик в поперечном сечении случайной среды, траектория лучей в среде.

Среднее число лучей на малых расстояниях (по сравнению с расстоянием между каустиками) найдено с помощью вычисленной в первой главе функции плотности вероятностей расходимости лучевой трубки, а на больших - как с помощью полученной в первой главе асимптотики нарастания лагранжева среднего модуля расходимости, так и моделированием протяженной среды эквидистантной системой случайных фазовых экранов. Этот же метод моделирования использован и для нахождения среднего числа каустик в единице поперечного сечения. Качественное объяснение характера зависимости средней плотности каустик от расстояния как в случайной среде, так и за случайным экраном дано на основе закона нарастания среднего числа лучей. При этом показано, что насыщение средней плотности каустик на большом расстоянии за фазовым экраном не противоречит экспоненциальному убыванию вероятностного распределения расстояния до первой каустики.

В этой же главе найдены вероятности трех- и пятилучевого распространения за случайным фазовым экраном. Полученный результат позволяет, во-первых, оценить область применимости однолучевого приближения, во-вторых, найти начало области многолучевости. Важность этого вопроса объясняется, с одной стороны, тем, что при многолучевом распространении существенно изменяются связи лагранжевых и эйлеровых статистических свойств случайных полей. С другой стороны, статистика многолучевости сама по себе является важной физической характеристикой волн в случайной среде.

Вероятностные свойства траектории лучей в среде определяются на основе решения: полученного в этой главе уравнения Фоккера-Планка. При

этом неоднородности ' предполагаются вытянутыми вдоль оси распространения волны. Такая ситуация характерна, например, для волн, распространяющихся в подводных звуковых каналах, поскольку известно, что океан статистически анизотропен: спектр внутренних волн (одного из основных источников флуктуации скорости звука в океанической среде) таков, что вертикальный и горизонтальный интервалы пространственной корреляции флуктуации скорости звука существенно различны: фактически горизонтальный всегда много больше вертикального.

В третьей главе анализируются вероятностные и корреляционные свойства интенсивности в окрестностях каустик. При этом поведение реализаций интенсивности и асимптотическая зависимость плотности вероятностей от величины интенсивности и от расстояния вдоль луча исследованы с помощью установленных в 1 -ой главе свойств поля кривизны волнового фронта, а моменты обратной интенсивности найдены с учетом формул связи интенсивности и расходимости из асимптотического закона нарастания моментов модуля расходимости.

Корреляционные свойства флуктуаций интенсивности рассмотрены в двух частных случаях: за случайным фазовым экраном и в фрактальной случайной среде. Для фрактальной случайно-неоднородной среды использование уравнения Фоккера-Планка для плотности вероятностей относительной диффузии лучей позволило получить замкнутое выражение для корреляционной функции флуктуаций интенсивности, а при анализе корреляционной функции флуктуаций* интенсивности за экраном использована известная аналогия между дифракцией монохроматической оптической волны за экраном ■ и поведением теплого газа невзаимодействующих частиц. Это позволило применить к анализу распространения волн метод "теплых лучен", состоящий, с одной стороны, в

учете дифракционного сглаживания каустических особенностей волнового поля, а с другой - в предположении о возможности статистического * расщепления геометрооптических и дифракционных средних. . Справедливость предложенного подхода проверена ' на примере динамического синусоидального фазового экрана.

В заключении сформулированы основные полученные результаты.

В приложении на основе сравнения результатов моделирования поля расходимости .1(1 ,х) методом фазовых экранов с известными точными результатами для средней плотности каустик в поперечном сечении за случайным фазовым, экраном и для среднего числа лучей за экраном .устанавливается адекватность численной модели экрана, а путем сравнения полученной . аналитически и численно зависимости среднего квадрата расходимости лучевой трубки от расстояния вдоль луча проверена точность метода фазовых экранов применительно к рассматриваемым задачам.

ц

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Исследованы динамические и статистические свойства полей расходимости лучевой трубки .ДО и кривизны волнового фронта (ДО.

При этом получено: ,

а) да? последовательности 1/|ип| (и„ равно произведению значений поля ЩО в точках каустик) существует экспоненциально спадающая мажорантная крггаая - такая целочисленная функция М(п,р), что с любой заданной вероятностью р<1 100р% реализаций последовательности 1/|и„! лежат ниже М(п,р);. . ' •

■ Ь) на большом расстоянии вдоль луча моменты модуля расходимости растут экспоненциально, и найден инкремент нарастания.

2. Найдена средняя плотность каустик в поперечном сечении случайно-неоднородной среды. В отличие от фазового экрана, за которым среднее число каустик п в единице поперечного сечения достигает постоянного насыщенного значения, в среде п растет приблизительно как I0-6 .

3. Найденный закон нарастания эйлерова среднего числа лучей в случайной среде показывает, что средняя многолучевость с ростом расстояния I растет экспоненциально с инкрементом 7=0.68.

4. С помощью найденной зависимости среднего квадрата числа лучей от расстояния за случайным фазовым экраном получены вероятности трех- и пятилучевого распространения. Проведенные расчеты, с одной стороны, позволяют оценить начало области, в которой однолучевое приближение становится неприменимым, а, с другой стороны, показывают, что многолучевость за экраном появляется намного дальше, чем начинается область сильных флуктуаций интенсивности волны.

5. Изучено влияние вытянутых вдоль оси распространения неоднородностей на траекторию лучей в среде. Получено, что плотность вероятностей утлов распространения максимальна в направлении меньшего масштаба корреляции неоднородностей.

6. Как следствие мажорантных свойств последовательности 1/|ип| получено, что . с.' ростом номера каустики п бесконечные выбросы интенсивности концентрируются во все более узких интервалах продольной оси - происходит истончение каустик и уменьшение интенсивности волны в фиксированной лучевой трубке.

7. Найденная асимптотическая зависимость плотности вероятностей интенсивности от расстояния вдоль луча показывает, что с ростом расстояния плотность вероятностей убывает экспоненциально, что также можно интерпретировать как истончение каустик, а медленная (как Н )

зависимость от интенсивности приводит к тому, что вдоль фиксированной лучевой трубки уже средняя интенсивность оказывается бесконечной.

8. На примере вычисления корреляционной функции флуктуации интенсивности за случайным фазовым экраном рассмотрен дифракционный механизм сглаживания каустических особенностей. Использование аналогии между дифракцией монохроматической оптической волны за случайным экраном и поведением теплого газа невзаимодействующих- частиц, а также гцпотезы статистического расщепления геометрооптических и дифракционных.средних позволяют вдвое снизить кратность интегралов при нахождении корреляционной функции. Полученное решение вне каустик близко к геометрооптическому, а в области фокусировок правильно учитывает дифракционное сглаживание каустических особенностей волнового поля. .

9. Найденная корреляционная функция флуктуации интенсивности в фрактальной случайно-неоднородной среде показывает, что в такой среде отсутствуют эффекты, характерные для- приближения геометрической оптики: поле интенсивности не имеет каустических особенностей, которые возникают при распространении волны в среде с дифференцируемой структурной функцией неоднородностей показателя преломления.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1-2." Е.З. Грибова, А.И'. Саичев. Газ невзаимодействующих частиц и флуктуации интенсивности волны за фазовым экраном в рамках модели • теплых лучей • /XI Всесоюзный симпозиум по распространению лазерного излучения в атмосфере и водных.средах. Томск, 1991 г. Тезисы докладов. С. 8; .

//Оптика атмосферы. 199!. Т.4. N 10. С.1044-1047.

3. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. Поведение нагретого газа частиц и дифракция

световой волны на фазовом экране в рамках модели теплых лучей //Изв.. вузов. Радиофизика. 1992. Т.35. N 11-12. С.914-927.

4. Е.З.. Грибова, А.И. Саичев. Корреляционная функция флуктуаций интенсивности в фрактальной случайно-неоднородной среде //Изв. вузов. Радиофизика. 1993. Т.36. N б. С.493-497.

5. Е.З. Грибова. Вероятность многолучевого распространения оптических

волн за случайным фазовым экраном //Оптика атмосферы н океана.

1993. Т.6. N 1. С.57-61.

6. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. Нахождение некоторых статистических

характеристик оптической волны в случайно-неоднорЪдной среде /XVII Конф. по распространению радиоволн. Ульяновск, 1993 г. Тезисы докладов. Секции 3,4,5. С.44.

7. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. Среднее число каустик оптической волны за

случайным фазовым экраном /Гам же. С.45. . •

8. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. Расчет характеристик многолучевого распространения волн в случайной среде методом фазовых экранов //РЭ.

1994. Т.38. N 2. С. 193-199.

9. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. Среднее число и вероятностное распределение

каустик, оптической волны за случайным фазовым экраном /XII , Межреспубликанский симп. по распространению лазерного излучения в атмосфере и водных средах. Томск, 1993 г. Тезисы докладов. С. 12.

10. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. Среднее число каустик оптической волны в ' случайной среде /Там же. С. 13.

11. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. О диффузии лучей в среде с вытянутыми случайными неоднородностями //Акустический журнал. 1993. Т.39. N 6. С.1050-1058.

12: E.Z. Gribova, A.I. Saichev. On diflusion of rays in underwater sound Channel /II Internatiorfal Scientific School-Seminar "Dynamic and Stochastic Wave Phenomena'.N. Növgorod,.1994. Abstracts. P. 68.

ОГЛАВЛЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

«

Введение.

. Глава 1. СТАТИСТИКА РАСХОДИМОСТИ ЛУЧЕВОЙ ТРУБКИ

1.1. Введение. •

1.2.' Стохастические уравнения для.расходимосги.

1.3. Численное исследование плотности вероятностей расходимости в

случайной среде. ь

1.4. Численно-аналитическое исследование статистики расходимости.

1.4.1. Общие свойства полей расходимости и кривизны волнового фронта. .1.4.2. Численное моделирование стохастических уравнений.

1.4.3. Аналитическое исследование. Уравнение Фоккера-Планка.

1.4.4. Статистические моменты модуля расходимости.

1.4.4.1. Асимптотика моментов модуля расходимости на больших расстояниях.

1.4:4.2. Вывод замкнутого уравнения для положительных четных моментов расходимости. ^

1.5. Динамика реализаций поля кривизны волнового фронта. I j6. Результаты первой главы. • •

Глава 2. СТАТИСТИКА НАБЛЮДАЕМЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВОЛНЫ ЗА СЛУЧАЙНЫМ ФАЗОВЫМ ЭКРАНОМ И В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ

2.1. Введение.

2.2. Статистика каустик.

2.2.1. Средняя плотность каустик за экраном.

2.2.2. Вероятностное распределение расстояний до каустик за экраном.

2.2.3. Уравнения для средней плотности каустик в случайно-неоднородной

среде.

2.2.4. Средняя плотность каустик в среде (моделирование методом фазовых

экранов).

2.3. Статистика лучей.

2.3.1. Закон нарастания среднего числа лучей в случайно-неоднородной

среде.

2.3.2. Среднее число лучей в среде (моделирование методом фазовых

экранов).

2.3.3. Вероятность многолучевого распространения за случайным фазовым

экраном.

■ 2.4. Влияние неоднородностей среды на траекторию лучей. 2.5. Результаты второй главы. •

Глава 3. СТАТИСТИКА ИНТЕНСИВНОСТИ ВОЛНЫ

3.1. Введение.

3.2. Поведение реализаций интенсивности в случайной среде.

3.3. Моменты интенсивности.

ЗА Вероятностные свойства интенсивности.

3.4.1. Асимптотическая зависимость от интенсивности.

3.4.2. Асимптотическая зависимость от расстояния вдоль луча. •

3.5. Корреляционные свойства флуктуации интенсивности.

3.5.1. Флуктуации интенсивности за случайным фазовым экраном.

3.5.1.1. Флуктуации плотности гидродинамического потока частиц.

3.5.1.2. Дифракционное сглаживание каустических особенностей в поле интенсивности волны.

3.5.1.3. Проверка адекватности модели "теплых лучей".

3.5.2. Флуктуации интенсивности в фрактальной случайной среде.

3.6. Результаты третьей главы. <Заключение. • " Приложение

A. Проверка адекватности численной модели ^фазового экрана.

B. Точность моделирования случайной среды системой фазовых экранов. Литература. .