Развитие метода диффузии луча и решение некоторых задач рассеяния

Власова, Ольга Кузьминична

Развитие метода диффузии луча и решение некоторых задач рассеяния тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Власова, Ольга Кузьминична АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Развитие метода диффузии луча и решение некоторых задач рассеяния»

Автореферат диссертации на тему "Развитие метода диффузии луча и решение некоторых задач рассеяния"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

физический факультет

На правах рукописи УДК550.388.2

ВЛАСОВА Ольга Кузьминична

РАЗВИТИЕ МЕТОДА ДИФФУЗИИ ЛУЧА И РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ РАССЕЯНИЯ

(01.04.03 - радиофизика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва - 2004

Работа выполнена на физическом факультете Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научные руководители

доктор физико-математических наук,

профессор

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Л.И. Приходько

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических, профессор Ю.Н. Черкашин

кандидат физико-математических наук, доцент Б.И. Волков

Ведущая организация:

Московский физико-технический

институт

Защита диссертации с о с т о к^^^ЙЙ^) 4 г . в/с^Га сов и а заседании диссертационного Специализированного Совета Д.501.001.67 в МГУ им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, г.Москва, ГСП, Ленинские Горы, МГУ, физический факультет, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан <<

■30» лн&а^

2004г.

Ученый секретарь Специализированного Совета кандидат физико-математических

оролсв

2004-4 27904

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Исследование рассеяния волн в средах со случайными неоднородностями представляет интерес для многих областей физики, например, рассеяние электромагнитных волн в плазме, ионосфере и конденсированных средах, рассеяние звуковых волн в газах и жидкостях, включая атмосферу и морскую среду. Помимо случайных неоднородностей упомянутые выше среды содержат регулярные неоднородности, кроме того, ионосфера, например, является анизотропной средой, благодаря влиянию магнитного поля Земли. Здесь и далее мы имеем в виду неоднородности электронной концентрации в плазме, флуктуации плотности и температуры в морской воде и тропосфере.

Существует достаточно много методов исследования волн в средах со случайными неоднородностями. Нами рассмотрен и развит метод диффузии луча, когда стохастическим уравнением является уравнение луча, что само по себе подразумевает приближение геометрической оптики. Метод диффузии луча широко использовался ранее при изучении рассеяния в средах со случайными неоднородностями. Однако, как выяснилось впоследствии, применение раннего варианта этого метода не было достаточно обоснованным.

Теория броуновского движения, основанная на решении уравнения Ланжевена, равно как и современная теория дифференциальных стохастических уравнений, использует переход от динамического уравнения (уравнения Ланжевена) к уравнению Эйнштейна-Фоккера (диффузии). Понятие «уравнение Ланжевена», однако, относится не только к динамическому уравнению, описывающему движение броуновской частицы, но и предполагает ряд условий, накладываемых на случайную часть силы в данном динамическом уравнении. Таким образом, стохастическая задача полностью определена динамическим уравнением и предположениями о характере случайных воздействий, поэтому при получении уравнения Эйнштейна-Фоккера следует

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

С.Пе 09

исходить из динамических уравнений и условий, накладываемых на случайные функции, важнейшим из которых является 5 - корреляция по времени.

Впервые на это обстоятельство при решении задач рассеяния луча в средах со случайными неоднородностями обратили внимание В.И. Кляцкин и В.И. Татарский (В.И. Кляцкин, В.И. Татарский. Изв.Вузов, Радиофизика, 1971, т.4, №5, стр.707). Ими было показано, что процессы диффузии броуновской частицы и рассеяния луча в среде со случайными неоднородностями принципиально различны, если считать, что роль времени в уравнении Ланжевена играет длина дуги в уравнении луча. Процесс диффузии луча в этом случае не является марковским и не описывается уравнением Эйнштейна-Фоккера. Для перехода от уравнений луча к уравнению Эйнштейна - Фоккера требуется использовать в качестве переменной одну из координат радиус-вектора, что возможно лишь при малых отклонениях луча от нсвозмущенного направления. В этой же работе решена задача рассеяния луча в среде в среднем однородной и изотропной.

Из изложенного следует, что ряд предшествующих работ, считающих процесс диффузии луча марковским процессом, требуют уточнения или нового решения.

Заметим далее, что, например, в случае анизотропной среды уравнение луча достаточно трудно представить в виде динамического уравнения. Решение задачи в упомянутой выше работе В.И. Кляцкина и В.И. Татарского не дает метода перехода от уравнения луча к уравнению тина уравнения Ланжевена, а лишь указывает на ошибку в предыдущих исследованиях и предлагает выход для случая среды в среднем однородной и изотропной.

Цель и задачи исследования:

Целью настоящей диссертации является развитие идеи, предложенной в рассмотренной выше работе В.И. Кляцкина и В.И. Татарского, для решения диффузии луча в среде в среднем неоднородной, а также в анизотропной

случайной среде, поскольку изучение рассеяния в средах со случайными неоднородностями не ограничивается изотропной и в среднем однородной средой. В соответствии с поставленной целью было намечено решение следующих задач:

• развитие метода диффузии луча, позволяющего записать уравнения луча в виде динамических уравнений типа уравнения Ланжевена;

• решение задачи рассеяния в анизотропной среде с помощью развитого метода диффузии луча;

• исследование диффузии луча в среде с регулярным градиентом диэлектрической проницаемости.

Научная новизна работы заключается в следующем:

Развит метод диффузии луча, с помощью которого уравнение луча возможно представить в виде динамического уравнения, позволяющего перейти к уравнению Эйнштсйна-Фоккера.

Исследована диффузия луча в анизотропной среде. Получено уравнение луча, с помощью которого можно решить задачу рассеяния в любой анизотропной среде. Представлены результаты рассеяния света в одноосном кристалле, а также электромагнитных волн в гиротронной случайной среде.

Решена задача рассеяния в среде в среднем неоднородной при наклонном падении луча на «линейный» слой. Показано, что уравнения луча можно записать в виде динамических уравнений типа уравнения Ланжевена, если невозмущенная траектория луча является одной из координатных линий.

Научная и практическая значимость работы:

Развитый в диссертации метод диффузии луча позволяет получить плотность вероятностей распределения направления и положения луча в анизотропной среде, в частности, в среде гиротропной, что будет

способствовать более детальному исследованию рассеяния волн, например, в ионосфере Земли.

Предложенный в работе метод позволил решить задачу рассеяния в среде с регулярным градиентом показателя преломления. Знание законов флуктуаций луча важно при изучении рассеяния электромагнитных волн в плазме и поведения звуковых волн в газах и жидкостях.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Развит метод диффузии луча, позволяющий записать уравнения луча в виде динамических стохастических уравнений, от которых возможно перейти к уравнению Эйнштейна-Фоккера.

2. С помощью развитого метода для среды в среднем анизотропной записано уравнение луча в виде динамических уравнений, при этом характеристики случайной силы позволяют перейти к уравнению диффузии.

Решение полученного уравнения Эйнштейна-Фоккера указывает на анизотропию рассеяния и обсуждается в диссертации.

3. Рассмотрена задача рассеяния в среде в среднем неоднородной, когда регулярная траектория луча не является прямой. Показано, что для решения задачи методом диффузии луча, следует перейти к такой системе координат, где невозмущенная траектория будет одной из координатных линий. Решена задача диффузии в «линейном» слое.

Степень обоснованности научных положений диссертации

Обоснованность представленных в диссертационной работе результатов определяется использованием известных результатов теории динамических стохастических уравнений, а таюке теории распространения волн.

Публикации

Основные результаты диссертации изложены в 10 опубликованных научных работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем работы составляет 97 страниц, включающих 7 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы.

Во введении сформулирована цель работы, дается краткое описание диссертации и обосновывается ее актуальность.

Первая глава посвящена обсуждению метода диффузии луча и результатов, полученных этим методом.

В первом параграфе подробно описаны результаты работ по изучению рассеяния луча в средах со случайными неоднородностями методом, основанным на предположении, что процесс рассеяния луча подобен процессу диффузии броуновской частицы.

Во втором параграфе рассмотрена работа В.М. Комиссарова (В.М. Комиссаров. Изв.вузов, Радиофизика, 1966, т.9, стр.292), в которой проводится сопоставление уравнений луча в плоскослоистой среде с уравнением Ланжевена, описывающим диффузию броуновской частицы в силовом поле. В приближении малых флуктуаций показателя преломления применяется метод последовательных приближений для исследования уравнения луча. В результате получены условия, при выполнении которых уравнения Ланжевена

и уравнения луча совпадают. К сожалению, автор сделал ошибку, отождествив время в уравнении Ланжевена и длину дуги, пройденную лучом, в уравнении луча.

В третьем параграфе на основе уже упомянутой работы В.И. Кляцкина и В.И. Татарского рассмотрена современная теория перехода от стохастического дифференциального уравнения, случайные функции которого удовлетворяют определенным требованиям, к уравнению Эйнштейна-Фоккера. В.И. Кляцкиным и В.И. Татарским показано, что уравнения луча отличаются от динамических стохастических уравнений тем, что случайная сила в уравнениях луча, в рассмативаемом случае являющаяся флуктуациями показателя преломления, не зависит от длины дуги а, пройденной лучом, в связи с чем не может удовлетворять условию 5- корреляции по а, необходимому для перехода к уравнению Эйнштейиа-Фоккера. Поэтому в этой же работе предлагается перейти от длины дуги в уравнениях луча к неременной z, вдоль которой первоначально направлен луч и от которой зависит случайная сила. Оказывается, что при таком преобразовании флуктуации направления луча должны быть малы относительно первоначального направления луча. Однако метод решения задачи рассеяния в среде в среднем однородной и изотропной, приведенный в указанной работе, не является универсальным, поскольку не позволяет решить, например, задачу рассеяния в анизотропной случайной среде, или в среде, где невозмущенная траектория луча отлична от прямой.

Во второй главе представлен развитый нами метод диффузии луча. На примере среды в среднем однородной и изотропной рассмотрен переход от уравнений луча к уравнениям типа уравнения Ланжевена. Для этого после замены длины дуги, пройденной лучом, на координату z, вдоль первоначального направления луча, используется метод последовательных приближений в предположении, что диэлектрическая проницаемость может быть представлена следующим образом:

£ = е0+а£а(г±,г),

где

Последнее предположение следует из условия малости флуктуации направления луча и условия малого радиуса корреляции неоднородностей по сравнению с расстоянием, пройденным лучом, справедливого для марковских процессов. Подставляя далее в уравнения луча решение в виде разложения по степеням и учитывая также, что получим эти уравнения с

точностью до в виде стохастических дифференциальных уравнений типа

уравнения Ланжевена:

Показано, что в изотропной среде уравнение луча для является тождеством, следующим из уравнений для и условия = 1.

Отметим, что решение уравнения Эйнштейна-Фоккера, полученного из приведенных выше уравнений луча для среды в среднем однородной и изотропной, совпадает с решениями, представленными в работах В.И. Кляцкина и В.И. Татарского (В.И. Кляцкин, В.И. Татарский, Изв.вузов, Радиофизика, 1971, т4, №5, стр.707-717), а также Е.Л. Фейнберга (Е.Л. Фейнберг. Распространение волн вдоль земной поверхности, изд-во АН СССР, М, 1961).

Предложенный в диссертации метод перехода от уравнений луча к уравнениям типа уравнения Ланжевена позволяет осуществить аналогичный переход не только для среды в среднем однородной и изотропной, но и в анизотропной среде, и в среде с регулярной рефракцией.

В третьей главе на основе метода, описанного во второй главе диссертации, исследуется диффузия луча в анизотропной среде. .

Первый параграф посвящен выводу уравнения луча из принципа Ферма, при этом осуществляется требуемый переход от <г к z.

Во втором параграфе переходим от уравнений луча к приближенным уравнениям луча, отвечающим требованиям уравнения Ланжевена. Для этого предполагаем, что рассеяние вызвано малыми флуктуациями электронной концентрации К:

К = К^+аКа,

или, например, рассеяние света в одноосном кристалле есть результат малых флуктуации компонент тензора диэлектрической проницаемости вдоль и поперек оптической оси, являющихся в свою очередь следствием флуктуации электронной концентрации:

Следуя далее методу решения, развитому во второй главе, и представляя показатель преломления вдоль луча следующим образом:

^ = а), Щг±(2, а), г, а]},

получим в результате уравнения луча в анизотропной среде в виде:

_2!

сЬ

-сЛа ~идМоКа_ д2м дКач VК8К Эх дКдБх дг

При определенных требованиях к случайным воздействиям от этих уравнений можно перейти к уравнению Эйнштейна-Фоккера. В последнем уравнении

- определяются производными

В третьем параграфе этой главы в качестве примера рассмотрена диффузия света в одноосном кристалле, поскольку в этом случае известно выражение для показателя преломления вдоль луча :

где -косинус угла между лучом и оптической осью, заданной

направлением

В результате развитого метода диффузии луча получаем уравнение Эйнштейна-Фоккера, решением которого будет следующее распределение:

где

соответстенно

синус и косинус угла между лучом и оптической осью в среде без флуктуации, е'и -дисперсия флуктуаций соответствующей диэлектрической проницаемости,

— = р(г)-нормированный коэффициент корреляции изомерных

флуктуаций той же диэлектрической проницаемости, кроме того, предполагаем, что

Из приведенного решения следует, что рассеяние будет анизотропным даже при изотропии функции корреляции рассеивающих неоднородностей. Степень анизотропии характеризуется отношением квадратов показателей преломления вдоль луча в среде без флуктуации обыкновенной и необыкновенной волн. Далее в этом параграфе исследуется рассеяние необыкновенной волны в положительном и отрицательном кристаллах.

В четвертом параграфе рассматривается рассеяние в гиротропной случайной среде. Здесь уравнения луча совпадают с соответствующими уравнениями для одноосного кристалла, однако, коэффициенты, характеризующие рассеяние, различны. Изучается рассеяние обыкновенной и необыкновенной волн.

В четвертой главе рассмотрена диффузия луча в «линейном» слое. Поскольку траектория луча в среде с регулярным градиентом показателя преломления отлична от прямой, то переход от длины дуги в уравнениях луча к одной из координат радиус-вектора г, от которой зависит показатель преломления, затруднителен. Трудность вызвана тем обстоятельством, что координата радиус-вектора, которой следует заменить длину дуги, должна указывать положение луча, находящегося приблизительно на невозмущенной траектории, то есть невозмущенная траектория должна быть одной из координатных линий.

В первом параграфе этой главы предлагается рассмотреть наклонное падение на слой, регулярный показатель преломления которого имеет вид:

где - характеризует размер слоя.

образом, чтобы координатная линия, полученная при пересечении двух координатных поверхностей т2 = гЦ, х = 0, описывала невозмущенную траекторию. Тогда координата а будет указывать положение луча на невозмущенной траектории.

Во втором параграфе записываем уравнения луча в системе координат параболического цилиндра.

£=£р+аеа,

при этом следует учесть, что В результате получаем уравнения луча

с точностью в виде динамических уравнений, от которых уже можно

перейти к уравнению Эйнштейна-Фоккера при определенных требованиях к случайной силе.

Вывод и решение уравнения Эйнштейна-Фоккера, описывающего диффузию луча в «линейном» слое со случайными неоднородностями представлен в четвертом параграфе.

Пятый параграф посвящен обсуждению решения уравнения Эйнштейна-Фоккера и условий его применимости. Ввиду весьма громоздкого вида уравнения и его решения мы не приводим их в настоящем реферате. Укажем лишь на границы применимости развитого здесь метода диффузии луча в «линейном» слое. Помимо условия, ограничивающего флуктуации показателя преломления, получены неравенства:

г0«Д/0«2г0^5°,

где г„ -радиус корреляции неоднородностей, Д/0-отрезки длины, проходимые лучом и отсчитываемые вдоль невозмущенной траектории, <9° -угол падения луча на слой, являющиеся условием того, что процесс диффузии луча, записанный с помощью динамических уравнений, является марковским процессом.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ДИССЕРТАЦИИ

Развитие метода диффузии луча, предложенное в диссертации позволяет перейти от лучевых уравнений к динамическим стохастическим уравнениям типа уравнения Ланжевена и уравнению Эйнштейна-Фоккера, что дало возможность впервые решить ряд задач рассеяния и уточнить полученные ранее результаты.

Основные результаты работы состоят в следующем:

1.Развит метод диффузии луча, позволяющий перейти от уравнений луча к уравнению Эйнштейна-Фоккера, решение которого определяет плотность вероятности состояния положения и направления луча в данной точке траектории.

2.С помощью предложенного метода записано уравнение луча для среды в среднем анизотропной в виде стохастических динамических уравнений, характеристики случайной силы которых позволяют перейти к уравнению диффузии.

3.Решена задача диффузии света в одноосном кристалле. Из решения следует, что рассеяние в одноосном кристалле будет анизотропным даже при изотропии функции корреляции рассеивающих неоднородностей. Для положительного кристалла рассеяние в плоскости главного сечения превосходит рассеяние в

перпендикулярном направлении, для кристалла отрицательного - рассеяние в плоскости главного сечения будет слабее, чем в перпендикулярной плоскости. Рассеяние луча изотропно, если первоначальное направление луча совпадает с направлением оптической оси. Рассеяние нормали отличается от рассеяния луча тем, что рассеяние в главной плоскости всегда меньше, чем в перпендикулярном направлении. Кроме того, рассеяние нормали изотропно, если первоначальное направление нормали перпендикулярно к оптической оси.

4.Предложенный метод позволил изучить особенности рассеяния в магнитоактивной среде. Установлены различия в рассеянии обыкновенной и необыкновенной волн.

5.Показано, что для решения задач рассеяния в среде в среднем неоднородной развитым в диссертации методом диффузии луча, следует перейти к такой системе координат, где невозмущенная траектория будет одной из координатных линий. Решена задача диффузии в «линейном» слое. Из решения уравнения Эйнштейна-Фоккера найдены законы рассеяния направления и смещения луча относительно невозмущенной траектории. Характеристики рассеяния могут быть вычислены в любой точке траектории.

Основное содержание работы изложено в следующих публикациях:

1.В.Д. Гусев, O.K. Власова. Флуктуации направления распространения электромагнитных волн в турбулентной гиротропной среде. Геомагнетизм и аэрономия, 1969, т.9, №5, стр.828.

2.В.Д. Гусев, O.K. Власова. Статистика лучей в однородной изотропной турбулентной среде с эллипсоидальными неоднородностями. Геомагнетизм и аэрономия, 1971, т. 11, №3, стр.453.

3.В.Д. Гусев, O.K. Власова. Статистика лучей в однородной гиротропной среде с эллипсоидальными неоднородностями. Геомагнетизм и аэрономия, 1971, т.П, №4, стр.709.

4.O.K. Власова, Т.А. Гайлит, Л.И. Приходько. Законы распределения углов рассеяния при отражении радиоволн от ионосферы в дальней зоне, 10 Всесоюзная конференция по распространению радиоволн, Иркутск, 1972. Тезисы докладов, стр. 379.

5.О.К. Власова, Т.А. Гайлит, В.Д. Гусев. Углы рассеяния при отражении радиоволн от ионосферы, 10 Всесоюзная конференция по распространению радиоволн, Иркутск, 1972. Тезисы докладов, стр.383.

6.О.К. Власова, Т.А. Гайлит, В.Д. Гусев, Л.И. Приходько. Угол рассеяния при отражении радиоволн от ионосферы, Геомагнетизм и аэрономия, 1974, т. 14, №2, стр.256.

7.В.Д. Гусев, O.K. Власова. Диффузия луча в «линейном» ионосферном слое. Вестник МГУ, сер.З. Физика. Астрономия, 1984, т.25, №5, стр.74.

8.В.Д. Гусев, O.K. Власова. Рассеяние луча в гиротропной среде. Геомагнетизм и аэрономия, 1985, т.25, №5, стр.764.

9.О.К. Власова. Диффузия луча в гиротропной среде. 15 Всесоюзная научная сессия, посвященная Дню радио, Москва, 1985. Тезисы докладов, часть 1, стр.99.

10.В.Д. Гусев, O.K. Власова. Диффузия лучей в анизотропной среде. Вестник МГУ, сер.З. Физика. Астрономия. 1997, №1, стр.24.

Подписано в печать 29.01.2004 Формат 60x88 1/16. Объем 1.25 п.л. Тираж 100 экз. Заказ №18 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119992 г.Москва, Ленинские горы, д. 1 Главное здание МГУ, к. 102

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Власова, Ольга Кузьминична

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА

МЕТОД ДИФФУЗИИ ЛУЧА

1.1 История возникновения метода и основные результаты, полученные в предположении, что процесс рассеяния луча - марковский процесс.

1.2 Попытка обосновать запись уравнения Эйнштейна -Фоккера для диффузии луча, основанная на сопоставлении уравнения Ланжевена и уравнения луча.

1.3 Теория перехода от уравнений луча к уравнению Эйнштейна-Фоккера.

ГЛАВА

РАЗВИТИЕ МЕТОДА ДИФФУЗИИ ЛУЧА

ГЛАВА

ДИФФУЗИЯ ЛУЧА В АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ

3.1 Уравнения луча в анизотропной среде.

3.2 Представление уравнений луча в виде уравнений Ланжевена.

3.3 Диффузия луча в одноосном кристалле.

3.4 Рассеяние в гиротропной среде.

ГЛАВА

ДИФФУЗИЯ ЛУЧА В «ЛИНЕЙНОМ» СЛОЕ

4.1 Постановка задачи.

4.2 Уравнения луча в системе координат параболического цилиндра.

4.3 Преобразование уравнений луча к уравнениям типа уравнения Ланжевена

4.4 Вывод и решение уравнения Эйнштейна-Фоккера, описывающего диффузию луча в «линейном» слое со случайными неоднородностями. 4.5 Обсуждение решения уравнения Эйнштейна-Фоккера

Введение диссертация по физике, на тему "Развитие метода диффузии луча и решение некоторых задач рассеяния"

Исследование рассеяния волн в средах со случайными неоднородностями представляет интерес для многих областей физики, например, рассеяние электромагнитных волн в плазме, ионосфере и конденсированных средах, рассеяние звуковых волн в газах и жидкостях, включая атмосферу и морскую среду. Помимо случайных неоднородностей, упомянутые выше среды содержат регулярные неоднородности, кроме того, ионосфера, например, является анизотропной средой, благодаря влиянию магнитного поля Земли. Здесь и далее мы имеем в виду неоднородности электронной концентрации в плазме, флуктуации плотности и температуры в морской воде и тропосфере.

Существует достаточно много методов исследования волн в средах со случайными неоднородностями. Нами рассмотрен и развит метод диффузии луча, когда стохастическим уравнением является уравнение луча, что само по себе подразумевает приближение геометрической оптики. Метод диффузии луча широко использовался ранее при изучения рассеяния в средах со случайными неоднородностями. Однако, как выяснилось впоследствии, применение раннего варианта этого метода не было достаточно обоснованным.

Развитие теории броуновского движения и видимая аналогия между процессами диффузии броуновской частицы и рассеяния луча в среде со случайными неоднородностями позволили использовать достижения теории броуновского движения для исследования статистики луча.

Теория броуновского движения исходит из динамического уравнения du где и-скорость броуновской частицы.

Правая часть уравнения, представляющая силу, действующую на частицу, разделена на две части: детерминированную силу трения и случайную силу, являющуюся результатом большого числа толчков молекул жидкости или газа, в которой находится броуновская частица. Если случайная часть силы A(t) удовлетворяет следующим требованиям:

1)3(0=o,

2) A(t) - не зависит от й,

3) A(t)~ изменяется гораздо быстрее, чем изменяется й , то это уравнение называется уравнением Ланжевена.

Третье условие является основополагающим в теории броуновского движения, так как позволяет ввести интервал времени At, в течение которого изменение й будет весьма малым, в то время как за тот же интервал времени A(t) испытает несколько флуктуаций. Другими словами, можно сказать, что хотя u(t) и U(t + At) практически не отличаются друг от друга, все же между A(t) и A(t + At) не существует корреляции, при этом интервал At гораздо меньше всего времени исследования. В этом случае из уравнения Ланжевена можно получить, например, вероятность распределения W(u,t\u0,ta = 0). С другой стороны, можно определить функцию распределения W(u,t + At) из распределения W(u,t), если известна вероятность перехода \//(й;Ай), то есть вероятность того, что и испытывает приращение Ай за время At:

- Au,t)if/(u - Am; Au)d(Au).

Случайные процессы, удовлетворяющие последнему соотношению, называются марковскими процессами, для функции распределения вероятности которых справедливо уравнение Эйнштейна-Фоккера (диффузии). Действительно, если в последнем соотношении за вероятность перехода принять ту функцию, которая следует из уравнения Ланжевена и разложить левую и правую части в ряд Тейлора по малым величинам At и

Aui, то получим уравнение Эйнштейна-Фоккера, причем функция распределения W(u,t;u0,tQ= 0), следующая из решения уравнения Ланжевена, оказывается фундаментальным решением уравнения Эйнштейна-Фоккера.

Таким образом, стохастическая задача полностью определяется динамическим уравнением и предположениями о характере случайных воздействий (уравнение Ланжевена), поэтому при получении уравнения Эйнштейна-Фоккера следует исходить из динамических уравнений и условий, накладываемых на случайные функции, важнейшим из которых является д - корреляция по времени.

В приближении геометрической оптики уравнения, описывающие направления касательного к лучу единичного вектора S, кажутся аналогичными уравнению Ланжевена: где сг- длина пути, пройденного лучом, tj = In п,п- показатель преломления среды.

Однако эта аналогия не является полной в связи с тем, что случайная сила в уравнении луча является функцией показателя преломления, который, в свою очередь, есть функция радиус-вектора г , а не сг, как того требует уравнение Ланжевена. Более того, третье условие, наложенное на случайную силу, в данном случае не справедливо совсем, поскольку требует S - корреляции случайной силы, или очень малого радиуса корреляции, но показатель преломления не зависит от длины дуги, пройденной лучом, то есть имеет бесконечный радиус корреляции по сг. В.И. Кляцкин и В.И. Татарский, впервые сформулировавшие эту проблему (Кляцкин, Татарский 1971), предложили перейти от переменной сг к координате z, направление которой соответствует первоначальному направлению луча, с помощью соотношения dz g da и искать решение ищется в виде SL(z), где .

Тогда уравнения луча преобразуются следующим образом: = 7)]

Очевидно, что последнее уравнение справедливо лишь вдали от точки поворота луча. Полагая далее, что отклонение направления луча от первоначального направления мало, авторы получают приближенные уравнения, которые позволяют решить задачу диффузии луча в среде в среднем однородной и изотропной. Однако решение задачи в работе В.И. Кляцкина и В.И. Татарского (Кляцкин, Татарский 1971) не дает метода перехода от уравнения луча к уравнению типа уравнения Ланжевена, а лишь указывает на ошибку в предыдущих исследованиях и предлагает решение для случая среды в среднем однородной и изотропной.

Поскольку исследования рассеяния в средах со случайными неоднородностями не ограничиваются случаем изотропной и в среднем однородной среды, то целью настоящей работы явилось развитие метода диффузии луча для среды в среднем неоднородной, а также для анизотропой случайной среды. В соответствии с поставленной целью было намечено решение следующих задач:

• решение задачи рассеяния в анизотропной среде с помощью развитого метода диффузии луча;

• исследование диффузии луча в среде с регулярным градиентом диэлектрической проницаемости.

Первая глава посвящена обсуждению метода диффузии луча и результатов, полученных этим методом.

Во втором параграфе рассмотрена работа В.М. Комиссарова (Комиссаров, 1966), в которой проводится сопоставление уравнения луча в плоскослоистой среде с уравнением Ланжевена, описывающем диффузию броуновской частицы в силовом поле. В приближении малых флуктуаций показателя преломления применяется метод последовательных приближений для исследования уравнения луча. В результате получены условия, при выполнении которых уравнение Ланжевена и уравнение луча совпадают. К сожалению, автор приписывает роль времени в уравнении Ланжевена длине дуги, пройденной лучом в уравнении луча.

В третьем параграфе на основе работы В.И. Кляцкина и В.И. Татарского (Кляцкин, Татарский, 1971), рассмотрена современная теория перехода от стохастического дифференциального уравнения, случайные функции которого удовлетворяют определенным требованиям, к уравнению Эйнштейна-Фоккера. В.И. Кляцкиным и В.И. Татарским показано, что уравнения луча отличнаются от динамических стохастических уравнений тем, что случайная сила в уравнении луча, в рассматриваемом случае являющаяся флуктуациями показателя преломления, не зависит от длины дуги а, пройденной лучом, в связи с чем не может удовлятворять условию 5 -корреляции по а, необходимому для перехода к уравнению Эйнштейна-Фоккера. Поэтому в этой же работе предлагается перейти от длины дуги в уравнении луча к переменной z, вдоль которой первоначально направлен луч и от которой зависит случайная сила. Оказывается, что при таком преобразовании флуктуации направления луча должны быть малы относительно первоначального направления луча. Однако метод решения задачи рассеяния в среде в среднем однородной и изотропной, приведенный в указанной работе, не является универсальным, поскольку не позволяет решить, например, задачу рассеяния а анизотропной случайной среде, или в среде, где невозмущенная траектория луча отлична от прямой.

Последнее предположение следует из условия малости флуктуаций направления луча и условия малого радиуса корреляции неоднородностей по сравнению с расстоянием, пройденным лучом, справедливого для марковских процессов. Подставляя далее в уравнения луча решение в виде разложения по «и учитывая также, что n = yje{r,a), получим эти уравнения с точностью до 0{аг) в виде стохастических дифференциальных уравнений типа уравнения Ланжевена: dz м- 1 dz

Показано, что в изотропной среде уравнение луча для Sz является тождеством, следующим из уравнений для Sx, Sy и того, что =1.

Отметим, что решение уравнения Эйнштейна-Фоккера, полученного из приведенных выше уравнений луча для среды в среднем однородной и изотропной, совпадает с решениями, приведенным в работах В.И. Кляцкина и В.И. Татарского (Кляцкин, Татарский 1971), а также Е.Л. Фейнберга (Фейнберг 1961).

Предложенный в диссертации метод перехода от уравнения луча к уравнению типа уравнения Ланжевена позволяет осуществить аналогичный переход не только для среды в среднем однородной и изотропной, но и в анизотропной среде, и в среде с регулярной рефракцией.

В третьей главе на основе метода, описанного во второй главе диссертации, исследуется диффузия луча в анизотропной среде.

Первый параграф посвящен выводу уравнения луча из принципа Ферма, при этом осуществляется требуемый переход от ст кг.

К = К0 + аКа(г), или, например, рассеяние света в одноосном кристалле есть результат малых флуктуаций диэлектрических проницаемостей вдоль и поперек оптической оси, являющихся в свою очередь следствием флуктуаций электронной концентрации: s^e^+as^if)'

Следуя далее методу решения, развитому во второй главе, и представляя показатель преломления вдоль луча следующим образом: ju = ju{SL(z,a),K[r^z,a),z,a]}, получим в результате уравнения луча в анизотропной среде

-\(д/лдКа ay дка dz дк dxk dKdSx, dz '

При определенных требованиях к случайным воздействиям от этих уравнений можно перейти к уравнению Эйнштейна-Фоккера. В последнем уравнении SX] =SX, SXz =Sy, aik~x -определяются производными ds.ds,'

W(r±,S±,z-,r1=S±=0,z = 0) = ,2

ЗА2

4tt2D2Z4 х ехр

Dza

Si + Si - \ (Sxx + syy % + j, (x2 + y1 ^f)

S' l

1 Mo

2 gl qI где A = £e^15 ^о=л/^±оСо+4^0' 2(Si + Cjqx), S0,C0 - соответственно

Mo v Mo синус и косинус угла между лучом и оптической осью в среде без флуктуаций, s2a - дисперсия флуктуаций соответствующей диэлектрической

1 00 1 d проницаемости, —= [---р(г) - нормированный коэффициент корреляции изомерных флуктуаций той же диэлектрической проницаемости, кроме того, предполагаем, что eLa = qz - const.

Из приведенного решения следует, что рассеяние будет анизотропным даже при изотропии функции корреляции рассеивающих неоднородностей. Степень анизотропии характеризуется отношением квадратов показателей преломления вдоль луча в среде без флуктуаций обыкновенной и необыкновенной волн. Далее в этом параграфе исследуется рассеяние необыкновенной волны в положительном и отрицательном кристаллах.

В четвертом параграфе рассматривается рассеяние в гиротропной случайной среде. Здесь уравнения луча совпадают с соответствующими уравнениями для одноосного кристалла, однако коэффициенты, характеризующие рассеяние, различны. Изучается рассеяние обыкновенной и необыкновенной волн.

В четвертой главе рассмотрена диффузия луча в «линейном» слое. Поскольку траектория луча в среде с регулярным градиентом показателя преломления отлична от прямой, то переход от длины дуги в уравнениях луча к одной из координат радиус-вектора f, от которой зависит показатель преломления, затруднителен. Трудность вызвана тем обстоятельством, что координата радиус-вектора, которой следует заменить длину дуги, должна указывать положение луча, находящегося приблизительно на невозмущенной траектории, то есть невозмущенная траектория дожна быть одной из координатных линий.

В первом параграфе этой главы предлагается рассмотреть наклонное падение на слой, регулярный показатель преломления которого имеет вид: где z0 = const - характеризует размер слоя.

Невозмущенная траектория луча в этом случае является параболой. Переходя далее к декартовым координатам, начало которых находится в фокусе данной параболы, вводим систему координат параболического цилиндра х, г, <т таким образом, чтобы координатная линия, полученная при пересечении двух координатных поверхностей т2=т*,х = 0 описывала невозмущенную траекторию. Тогда координата сг будет указывать положение луча на невозмущенной траектории.

Во втором параграфе записываем уравнения луча в системе координат параболического цилиндра.

В третьем параграфе преобразуем уравнения луча к уравнениям типа уравнений Ланжевена. Для этого переходим в уравнениях луча от дифференцирования по длине дуги к дифференцированию по одной из координат системы параболического цилиндра <т, указывающей положение луча на невозмущенной траектории. Затем применяем метод последовательных приближений, предполагая, что флуктуации диэлектрической проницаемости малы относительно величины регулярной диэлектрической проницаемости: при этом следует учесть, что ер=е (а). В результате получаем уравнения луча с точностью 0(аг) в виде динамических уравнений, от которых уже можно перейти к уравнению Эйнштейна-Фоккера при определенных требованиях к случайной силе: s = £р + а£{ f 1 Л dsa ^ Т0 с л

Точка означает дифференцирование по а, пй= yjs^ = (у[£^)а=0.

Вывод и решение уравнения Эйнштейна-Фоккера, описывающего диффузию луча в «линейном» слое со случайными неоднородностями, представлен в четвертом параграфе.

Пятый параграф посвящен обсуждению решения уравнения Эйнштейна-Фоккера и условий его применимости. Ввиду громоздкого вида уравнения и его решения мы не приводим их в настоящем введении, однако укажем на границы применимости развитого здесь метода диффузии луча в «линейном» слое. Помимо условия, ограничивающего флуктуации показателя преломления, получено условие: r0«A/0«2z0^,90, где г0 - радиус корреляции неоднородностей, Д/0 - отрезки длины, проходимые лучом и отсчитываемые вдоль невозмущенной траектории, 3° - угол падения луча на слой, являющиеся условием того, что процесс диффузии луча, записанный с помощью динамических уравнений, приведенных выше, является марковским процессом.

В заключении сформулированы научные достижения и выводы диссертации. т

Заключение диссертации по теме "Радиофизика"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Развитие метода диффузии луча, предложенное в диссертации, позволяет перейти от лучевых уравнений к динамическим стохастическим уравнениям типа уравнения Ланжевена и уравнению Эйнштейна-Фоккера, что дало возможность впервые решить ряд задач рассеяния и уточнить полученные ранее результаты.

С помощью предложенного метода записано уравнение луча для среды в среднем анизотропной в виде стохастических динамических уравнений, характеристики случайной силы которых позволяют перейти к уравнению диффузии.

Решена задача диффузии света в одноосном кристалле. Из решения следует, что рассеяние в одноосном кристалле будет анизотропным даже при изометрии функции корреляции рассеивающих неоднородностей. Для положительного кристалла рассеяние в плоскости главного сечения превосходит рассеяние в перпендикуляром направлении, для кристалла отрицательного - рассеяние в плоскости главного сечения будет слабее, чем в перпендикулярной плоскости. Рассеяние луча изотропно, если первоначальное направление луча совпадает с направлением оптической оси. Рассеяние нормали отличается от рассеяния луча тем, что рассеяние в главной плоскости всегда меньше, чем в перпендикулярном направлении. Кроме того, рассеяние нормали изотропно, если первоначальное направление нормали перпендикулярно к оптической оси.

Предложенный метод позволил изучить особенности рассеяния в магнитоактивной среде. Установлены различия в рассеянии обыкновенной и необыкновенной волн.

Показано, что для решения задач рассеяния в среде в среднем неоднородной развитым в диссертации методом диффузии луча, следует перейти к такой системе координат, где невозмущенная траектория будет одной из координатных линий. Решена задача диффузии в «линейном» слое. Из решения уравнения Эйнштейна-Фоккера найдены законы рассеяния направления и смещения луча относительно невозмущенной траектории. Характеристики рассеяния могут быть вычислены в любой точке траектории.

Автор выражает искреннюю признательность своему покойному руководителю Виктору Дмитриевичу Гусеву, роль которого в написании диссертации трудно переоценить. Автор также благодарен своему второму научному руководителю Лидии Ивановне Приходько за ценные советы и многочисленные обсуждения диссертации, Владимиру Григорьевичу Еленскому, Александру Георгиевичу Вологдину и Николаю Васильевичу Карабанову за большую помощь при подготовке диссертации к защите.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Власова, Ольга Кузьминична, Москва

1. Борн М., Вольф Э., Основы оптики, Изд-во «Наука», Москва, 1973.

2. Ван Кампен Н.Г., Стохастические процессы в физике и химии, Изд-во1. Высшая школа» М., 1990.

3. Власова O.K., Гайлит Т.А., Гусев В.Д., Приходько Л.И., Угол рассеяния при отражении радиоволн от ионосферы, Геомагнетизм и аэрономия, 1974, т. 14, №2, стр.256-260.

4. Гардинер К.В., Стохастические методы в естественных науках, Изд-во «Мир», М„ 1986.

5. Гинзбург В.Л., Распространение электромагнитных волн в плазме, Изд-во «Наука», М., 1967.

6. Голынский С.М., Статистика лучей в неоднородных средах. Кандидатская диссертация, МГУ, М.,1976.

7. Голынский С.М., Гусев В.Д., Статистика лучей в среде с эллипсоидальными неоднородностями и регулярной рефракцией, Геомагнетизм и аэрономия, 1976, т. 16, №6, стр.1026-1031.

8. Гусев В.Д., Рассеяние волн в неоднородном турбулентном слое в геометрико-оптическом приближении, Радиотехника и электроника, 1973, т.18, № 12, стр. 2487-2492.

9. Гусев В.Д., Влияние неоднородностей ионосферы на распространение радиоволн, Докторская диссертация, МГУ, М.,1976.

10. Гусев В.Д., Власова O.K., Флуктуации направления распространения электромагнитных волн в турбулентной гиротропной среде, Геомагнетизм и аэрономия, 1969, т.9, №5, стр.828-833.

11. Гусев В.Д., Власова O.K., Статистика лучей в однородной изотропной турбулентной среде с эллипсоидальными неоднородностями, Геомагнетизм и аэрономия, 1971, т.11, №3, стр.453-457.

12. Гусев В.Д., Власова O.K., Статистика лучей в однородной гиротропной среде с эллипсоидальными неоднородностями, Геомагнетизм и аэрономия, 1971, т. 11, №4.стр.709-710.

13. Гусев В.Д., Власова O.K., Диффузия луча в «линейном» слое, Вестник МГУ, сер. Физика. Астрономия, 1984, т.25, №5, стр74-81.

14. Гусев В.Д.,Власова O.K., Рассеяние луча в гиротропной среде, Геомагнетизм и аэрономия, 1985, т.25, №5, стр.764-767.

15. Кляцкин В.И., Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами, Изд-во «Наука», М., 1975. Кляцкин В.И., Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах, Изд-во «Наука», М., 1980.

16. Комиссаров В.М., Статистика лучей в плоскослоистой среде со случайной неоднородностью, Изв.вузов, Радиофизика, 1966, т.9, №2, стр.292-301. Корн Г. и Корн Т., Справочник по математике для научных работников и инженеров, Изд-во «Наука», М., 1973.

17. Кочин Н.Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, Изд-во АН СССР, М., 1961.

18. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И., Геометрическая оптика неоднородных сред, Изд-во «Наука», М., 1980.

19. Рыжов Ю.А., О стохастическом описании динамических систем, находящихся под действием случайных сил, Изв.вузов. Радиофизика, 1974, т. 19,№7, стр.1001-1014.

20. Рытов С.М., Некоторые теоремы о групповой скорости электромагнитных волн, ЖЭТФ, 1947, т. 17, стр.930.

21. Рытов С.М., Введение в статистическую радиофизику, Изд-во «Наука», М., 1966.

22. Стратонович Р.Л., Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике, Изд-во «Советское радио», М.,1961.

23. Татарский В.И., О критерии применимости геометрической оптики в задачах о распространении волн в среде со слабыми неоднородностями коэффициента преломления, ЖЭТФ, 1953, т.25, вып. 1(7), стр.84-86.

24. Тихонов В.И., О вычислении коэффициентов сноса и диффузии для марковских процессов, Радиотехника и электроника, 1970, т.15, №7, стр. 1440-1445.

25. Фейнберг E.JI., Распространение радиоволн вдоль земной поверхности, Изд-во АН СССР, М„ 1961.

26. Франк Ф., Мизес Р., Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. Часть вторая. ОНТИ. Главная редакция общетехнической литературы, Л.,М.,1937.

27. Харанен В.Я., О распространении звука в среде со случайными флуктуациями показателя преломления, Доклады АН СССР, 1953, т.88, №2, стр.253-256.

28. Чандрасекар С., Стохастические проблемы в физике и астрономии, Изд-во иностранной литературы, Москва, 1947.

29. Чернов JI.A., Распространение звука в статистически-неоднородной среде, ЖЭТФ, 1953, т.24, вып.2, стр.210-213.

30. Чернов J1.A., Распространение волн в среде со случайными неднородностями, изд. АН СССР, М., 1958.

31. Чернов JI.A., Волны в случайно-неоднородных средах, Изд-во «Наука», М., 1975.

32. АГрег! Ya.L., The near-Earth and interplanetary plasma, 1981, vol.1, Cambridge University Press.

33. Chandrasekhar S., Stochastic Problems in Physics and Astronomy, Reviews of Modern Physics, v. 15, N1, p.l

34. Cornbleet S., Microwave and Geometrical Optics, Academic Press, 1944, p.231. Furutsu K., On the Statistical Theory of Electromagnetic Waves in a Fluctuating Medium (1). Jornal of Research NBS, D. Radio Propagation, 1963. V.67D, N3, p.303-323.

35. Keller J.B., Wave propagation in random media, Proc.Symp.Appl.Math., 1962, v.13, p.227-246, Amer.Math.Soc.,Providence.

36. So K.C., Yen K.C., Generalized Stochastic Equations, J.Phys.A (Proc.Phys.Soc.), 1968, ser.2, v.l, p.447-454.

37. Yen K.C, Liu C.H., Displacement of Rays in a Turbulent Medium, IEEE Transaction on Antennas and Propagation, 1968, v.AP-16, N6, pp.678-683.