Спектр и массовый состав космических лучей в галактической среде фрактального типа тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

1. УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ КОСМИЧЕСКИХ ЛУЧЕЙ В ГАЛАКТИЧЕСКОЙ СРЕДЕ ФРАКТАЛЬНОГО ТИПА

1.1 Уравнение аномальной диффузии в модели случайных блужданий Монтролла-Вейса.

1.2 Уравнение аномальной диффузии в модели Учайкина.1,

1.3 Уравнение аномальной диффузии космических лучей.

1.4 Основные результаты главы.

2. ФУНКЦИЯ ГРИНА И КОНЦЕНТРАЦИЯ КОСМИЧЕСКИХ ЛУЧЕЙ В ГАЛАКТИЧЕСКОЙ СРЕДЕ ФРАКТАЛЬНОГО ТИПА

2.1 Функция Грина частицы в галактической среде фрактального типа

2.2 Концентрация космических лучей

2.2.1 Точечный мгновенный источник.

2.2.2 Точечный импульсный источник.

2.2.3 Концентрация космических лучей для режима диффузии с а = 1,/3 =

2.3 Уравнение супердиффузии космических лучей с учетом потерь энергии

2.4 Основные результаты главы.

3. СПЕКТР КОСМИЧЕСКИХ ЛУЧЕЙ В ГАЛАКТИЧЕСКОЙ СРЕДЕ ФРАКТАЛЬНОГО ТИПА ОТ ТОЧЕЧНОГО СТАЦИОНАРНОГО ИСТОЧНИКА

3.1 Стационарная модель аномальной диффузии без учета потерь энергии

3.2 Модификация спектра частиц при переходе от нестационарного спектра к стационарному при а = 1.

3.3 Решение стационарного уравнения супердиффузии с учетом потерь энергии.

3.4 Спектр частиц в стационарной модели аномальной диффузии с учетом энергетических потерь

3.5 Основные результаты главы.

4. СПЕКТР И МАССОВЫЙ СОСТАВ КОСМИЧЕСКИХ ЛУЧЕЙ В МОДЕЛИ АНОМАЛЬНОЙ ДИФФУЗИИ

4.1 Оценка параметров модели аномальной диффузии.

4.2 Энергетический спектр и массовый состав космических лучей.

4.3 Анизотропия космических лучей в модели аномальной диффузии

4.4 Энергетический спектр и массовый состав космических лучей в модели с двумя типами источников.

4.5 Основные результаты главы.

Актуальность темы. Проблема происхождения и ускорения космических лучей является предметом исследований в течение многих десятилетий. Ключевое место в решении этой проблемы занимает вопрос о характере распространения космических лучей в Галактике [1]. В принятом сегодня подходе прохождение космических лучей в межзвездной среде описывают в рамках нормальной (гауссовой) диффузионной модели [2-4]. В этой модели неявно предполагается, что среда, в которой происходит диффузия частиц, является квазиоднородной: неоднородной в малых масштабах и однородной - в больших. Параметром процесса случайных блужданий частиц является коэффициент диффузии D, который определяется отношением второго момента распределения пробегов частицы между неоднородностями (R2) к удвоенному среднему времени скачка (Т):

D = (1)

2 {Т) 1 }

Без учета потерь энергии и ядерных взаимодействий уравнение нормальной диффузии для концентрации космических лучей с энергией Е, создаваемой распределением источников с плотностью S(r,t,E), имеет вид [2] д N = D(E)AN(t, t, Е) + S{г, t, Е), (2) где А - оператор Лапласа. Функцией Грина этого уравнения является нормальное гауссово) распределение по переменной |r|/\jD{E)l.

Эксперименты последних лет, однако, убедительно показывают, что неоднородности в пространственном распределении вещества и магнитного поля, обуславливающие хаотическое движение космических лучей, наблюдаются на разных масштабах см., например, [4-14]). Так в [6] на основании детального анализа остатков ряда сверхновых делается вывод, что сосуществование в одном остатке сверхновой газовых компонент с сильно различающимися физическими параметрами (Те ~ (5-^106)К, пе ~ (0,1-ь103)см3) может быть понято только в рамках предположения о неоднородности невозмущенной межзвездной среды с резкими контрастами плотности. В [15,16] сделаны оценки фрактальной размерности межзвездной галактической среды.

Нерегулярность распределения вещества и, в силу связи плотности р с магнитным полем Н ос pq, q ~ (1/2 -ь 1/3) [7], магнитного поля Галактики по крайней мере в масштабах I < (100 -f-150) пк и неприменимость, строго говоря, диффузионного приближения (2) для описания распространения частиц в средах с резкими контрастами плотности [17,18] (см. также обсуждение этого вопроса в [2]) стимулируют разработку новых моделей распространения космических лучей в межзвездной среде.

Среди возможных направлений обобщения модели (2) главным является отказ от предположения о статистически однородном распределении неоднородностей. Поскольку сегодня хорошо известно, что вследствие наличия турбулентных потоков распределение вещества и магнитного поля в Галактике имеет резко неоднородный характер фрактального типа, то естественно предположение о статистической однородности распределения неоднородностей заменить на более общее утверждение о фрактальном характере их распределения. Важным следствием этого предположения является степенное распределение пробегов частиц X в среде такого типа Р{Х > х} ос х~а, х —> оо, а. < 2 (так называемые "полеты Лёви" [19]), показатель которого определяется фрактальностью среды. Имеющиеся в настоящее время экспериментальные данные позволяют предполагать, что "полеты Лёви" могут иметь важное'значение, по крайней мере, в масштабах г < 300 пк [20].

Так как нельзя исключать и сильную запутанность силовых линий магнитного поля в неоднородностях, вследствие чего вероятность длительного пребывания частиц в них отлична от нуля, то наделение неоднородностей свойствами "ловушек" может быть следующим направлением обобщения модели. Если случайное время пребывания частиц Т в "ловушках" описывается распределением Р{Т > £} ~ t-/3, t —>• оо, /5 < 1, то среднее время пребывания в таких ловушках, называемых нами далее "ловушками Лёви", равно бесконечности. Понятно, что нельзя исключать из рассмотрения неоднородности, среднее время пребывания космических лучей в которых конечно.

Переход от диффузии в однородной или квазиоднородной среде к диффузии в среде фрактального типа, характеризующейся наличием пустот и сгущений на разных масштабах, приводит к необходимости включения в модель распространения "полетов Лёви" и "ловушек Лёви". Сегодня установлено, что учет фрактальных свойств среды может быть осуществлен заменой операторов д/дt и лапласиана Д в уравнении нормальной диффузии операторами дробного дифференцирования по временной и пространственной переменным (см. обзоры [19,21-31]). Дробные операторы, отражающие наличие больших пробегов частиц в пустотах и длительное "застревание" частиц в неоднородностях-ловушках, делают процесс блуждания немарковским [29].

Именно такая модель фрактальных блужданий положена недавно в основу нового подхода к описанию распространения космических лучей в неоднородной галактической среде [32-39]. Поведение распределений свободных пробегов р(т,Е) и времени пребывания в неоднородностях q(t, Е) частицы с кинетической энергией Е при г —> оо, t —» оо описывались выражениями р(т,Е)~А{Е,а)\т\-а~1, 0 < а < 2, (3) q(t, Е) ~ В(Е, РУГ'3'1, 0 < (3 < 1. (4)

Первые расчеты показали, что укручение спектра всех частиц в районе ~ 3 • 106 ГэВ ("излом") можно объяснить при D ~ Е5 и S ~ Е-7(5 и 7 - константы), если предположить только степенное распределение свободных пробегов частиц (3), т.е. если включить в модель диффузии "полеты Лёви".

Целью данной работы является построение модели диффузии космических лучей в галактической среде фрактального типа, расчет энергетического спектра и массового состава космических лучей.

Решаемые задачи:

1. Построение модели диффузии космических лучей в среде фрактального типа, включающей "полеты Лёви", ловушки с конечным и бесконечным ("ловушки Лёви") временем удержания и непрерывные потери энергии частиц в ловушках.

2. Разработка метода восстановления основных параметров модели диффузии и их определение с использованием современных данных о потоках космических лучей и свойствах среды.

3. Расчет энергетического спектра космических лучей для точечного стационарного источника. Анализ применимости стационарной модели аномальной диффузии для описания наблюдаемых спектров космических лучей в районе Солнечной системы.

4. Решение нестационарного уравнения диффузии космических лучей в среде фрактального типа. Расчет спектра и массового состава космических лучей.

5. Применение теоретических результатов для анализа экспериментальных данных по спектрам первичного космического излучения, полученных в прямых измерениях и методом ШАЛ.

Научная новизна диссертационной работы:

1. Впервые для описания распространения космических лучей в галактической среде фрактального типа применена модель аномальной диффузии, включающая "полеты Лёви", "ловушки Лёви" и непрерывные потери энергии частиц в ловушках.

2. Впервые получены аналитические решения уравнений диффузии космических лучей в галактической среде фрактального типа с учетом энергетических потерь для стационарного источника.

3. Впервые показано, что модель стационарной аномальной диффузии неприменима к описанию энергетического спектра космических лучей.

4. Впервые предложен метод определения основных параметров модели диффузии космических лучей в галактической среде фрактального типа.

5. Впервые в рамках одной модели диффузии частиц получены энергетические спектры первичных ядер (p,He,CNO,Ne-Si,Fe), спектр всех частиц и массовый состав космических лучей в широком диапазоне энергий (102 -г- Ю10) ГэВ.

6. Показано, что энергетической спектр наблюдаемых в районе Солнечной системе частиц может быть представлен в виде суммы трех компонент. Первая компонента описывает вклад далеких (г > 1 кпк) старых (t > 106 лет) источников, вторая - вклад от близких молодых источников (г ~ (102 — 103) пк, t ~ (0,1 — 4) х 105 лет), последняя компонента — излучение от близких молодых источников, достигающее Земли без рассеяния.

7. Установлено, что показатель спектра генерации частиц в источнике космических лучей, согласующийся с имеющимися экспериментальными данными, равен 2.85.

8. Определен массовый состав частиц, ускоренных источниками, в галактической модели происхождения космических лучей.

Научная и практическая ценность работы состоит во включении в модель диффузии космических лучей в межзвездной галактической среде "полетов Лёви" и "ловушек Лёви", отражающих, соответственно, резко неоднородный характер распределения вещества и сильную запутанность силовых линий магнитного поля в неоднородностях; анализе поведения энергетических спектров частиц при субдиффузионном и супердиффузионном режимах; формулировке метода определения основных параметров модели. Полученные теоретические данные по спектрам основных групп ядер, массовому составу и спектру всех частиц в широком диапазоне энергий 102 Ю10 ГэВ могут быть использованы как при анализе результатов современных экспериментов, так и планирования новых.

На защиту выносятся:

1. Уравнение аномальной диффузии космических лучей в среде фрактального типа.

2. Решение уравнения аномальной диффузии в среде фрактального типа для стационарного источника. Вывод о неприменимости стационарной модели к описанию спектра космических лучей и решению проблемы источников космических лучей.

3. Метод определения коэффициента аномальной диффузии космических лучей, показателей распределения свободных пробегов частиц в галактической среде и энергетического спектра генерации частиц в источнике.

4. Результаты расчета энергетических спектров первичных ядер (p,He,CNO,Ne-Si,Fe), спектра всех частиц и массового состава космических лучей в диапазоне энергий (102 -г- Ю10) ГэВ.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на XXVII, XXVIII и XXIX Международных конференциях по космическим лучам (Гамбург, Германия, 2001; Цукуба, Япония, 2003; Пуна, Индия, 2005), 18-ом и 19-ом Европейских симпозиумах по космическим лучам (Москва, 2002; Флоренция, Италия, 2004), на 28-ой Всероссийской конференции по космическим лучам (Москва, 2004), на второй международной научно-технической конференции (Барнаул, 2001), на семинарах кафедры теоретической физики АлтГУ.

Личный вклад автора. Численное решение поставленных задач и анализ полученных результатов производились автором самостоятельно. Идея применения модели аномальной диффузии к распространению космических лучей в межзвездной галактической среде принадлежит проф. А. А. Лагутину. Определение показателя распределения пробегов частиц во фрактальной среде проведено совместно с доцентом Р.И.Райкиным.

Исследования, представленные в диссертации, поддерживались грантами программы "Университеты России" №02.01.014, №02.01.001 и грантом РФФИ №04-0216724.

Публикации. Результаты диссертации представлены в 18 печатных работах в трудах международных конференций и симпозиумов, в российских и зарубежных научных журналах [34,39-55].

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и приложения.

4.5 Основные результаты главы

1. Предложен и реализован метод определения основных параметров модели фрактальной диффузии космических лучей. Внешними параметрами метода являются экспериментальные данные о фрактальной размерности галактической среды, величине изменения показателя спектра в районе излома, энергии точки излома, а также параметры ближайших остатков сверхновых.

2. Установлено, что показатель спектра генерации частиц в источнике равен 7 « 2.85. Спектр частиц в области до излома Е <С Ек, формируемый молодыми близкими источниками, характеризуется показателем rj т 2,6, а в точке излома

C\J m m a. о

CO

EX

10'

10°

10э

10

10J

10

Grigorov ""т^йг

MSU о SOKOL i—i—i Akeno о CAPRICE (H+He) ♦

JACEE i—ж—i CASA-MIA i » i BESS (H+He) f—&—i IMAX (H+He) ш RUNJOB i x l YAKUTSK i—i AGASA i—*—i

Haverah Park н Предыдущие измерения -H -Не -CNO -Ne-Si -Fe -J

10

10

10J

10

10° E, ГэВ

10°

10'

10°

10s

Ю10 1011

Рис. 36. Сопоставление спектра всех частиц, полученного в модели аномальной диффузии для системы источников с 8(E) ~ Е~2'85 с учетом вклада ближайшей сверхновой (S(E) ~ Е~2, г = 102 пк, t = 2 • 105 лет), с экспериментальными данными (Экспериментальные данные как на рис 23) равен показателю спектра в источнике 7.

3. Показано, что спектр наблюдаемых в Солнечной системе частиц может быть представлен в виде суммы трех компонент. Первая компонента описывает вклад далеких (г > 1 кпк) старых (t > 106 лет) источников, вторая - вклад от близких молодых источников, последняя компонента — излучение от близких молодых источников, достигающее Земли без рассеяния. Согласованное описание основных закономерностей спектров и массового состава получено в рамках гипотезы о том, что далекие источники определяют поведение космических лучей в области энергий Е < 102 ГэВ, близкие — формируют излом при Е ~ 3 • 106 ГэВ, нерассеянное излучение приводит к уполаживанию спектра при Е > 5 • 109 ГэВ.

4. Состав ускоряемых источниками частиц, найденный в рамках модели аномальной диффузии по спектрам различных групп ядер в диапазоне 1-^106 ГэВ/нуклон и спектру всех частиц при Е ~ (102 -т- Ю10) ГэВ, следующий: р и 94,6%, Не и 5, 2%, CNO « 0,1%, (We - 5г) и 0, 03%, Fe и 0, 003%.

5. Тестовые расчеты анизотропии космических лучей показали, что в области энергий (102 — 105) ГэВ анизотропия практически не зависит от энергии, в области за изломом спектра (107 — 108) ГэВ наблюдается ее рост. Принимая значения 5кл ~ 5 • Ю-3 для Ей 103 - 104 ГэВ, модель дает 5 - 10~3 при Е и 108 ГэВ.

6. Показано, что включение в систему источников космических лучей с S(E) ~ Е~2,85 близкой сверхновой с S(E) ~ Е~2 и порогом обрезания Етах « 3,4 • 104 ГэВ, позволяет описать сложную структуру спектра и массового состава космических лучей в районе излома.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Установление характера распространения космических лучей высокой энергии в многомасштабной (фрактального типа) галактической среде является одной из ключевых проблем астрофизики космических лучей. В настоящее время не существует теоретического вывода уравнения диффузии космических лучей в такой среде из "первых принципов". Вместе с тем, имеющийся огромный наблюдательный материал позволяет построить феноменологическую модель с небольшим числом параметров, которым можно придать ясный физический смысл.

Развивая модель аномальной диффузии, в которой распространение частиц моделируется фрактальными блужданиями — скачкообразным случайным процессом с "полетами Лёви" и пребываниями в "ловушках Лёви", в данной работе основное внимание уделено определению параметров модели и проверке возможности согласованного описания имеющихся данных по спектрам основных групп ядер, спектру всех частиц, массовому составу и анизотропии при восстановленных параметрах. Основные результаты и выводы работы формулируются следующим образом.

1. Сформулировано уравнение аномальной диффузии, описывающее распространение космических лучей в галактической среде фрактального типа. Показано, что при диффузии частицы в среде с "ловушками Лёви" включение дополнительного изотропного рассеяния на неоднородностях, не входящих в класс "ловушек Лёви", с "полетами Лёви" между ними не влияет на пространственное положение диффундирующей частицы при х —> оо, t —» оо.

2. Получено решение уравнения для функции Грина, описывающего диффузию космических лучей в галактической среде фрактального типа с "полетами Лёви" и "ловушками Лёви". Показано, что решение выражается через плотность дробно-устойчивого распределения. Приведены выражения для супердиффузионного (а < 2, Р = 1) и субдиффузионного (а = 2, /3 < 1) режима диффузии космических лучей. Найдены решения уравнения аномальной диффузии для точечного мгновенного и точечного импульсного источников.

3. Выведены уравнения для функции Грина и концентрации в модели, в которой космические лучи, распространяясь в среде фрактального типа с "полетами Лёви", теряют энергию в ловушках с конечным средним временем удержания частиц (Р = 1). Приведены выражения для концентрации для режима потерь энергии B(R) = eR2.

4. Выполнен детальный анализ поведения энергетической зависимости концентрации космических лучей от точечного мгновенного источника. Показано, что спектр имеет излом. В точке излома R = Rk показатель спектра равен показателю спектра генерации частиц в источнике.

5. Найдено решение уравнения аномальной диффузии частиц от стационарного источника в среде фрактального типа. Анализ полученного решения позволил установить, что спектр не имеет излома; показатель спектра частиц г/ = 7 + 5 в галактической среде фрактального типа совпадает с показателем модели нормальной диффузии; стационарная модель, в отличие от нестационарной, не воспроизводит наблюдаемый спектр, имеющий излом.

6. Исследовано влияние непрерывных потерь энергии на форму спектра космических лучей от точечного стационарного источника. Показано, что при Е > 102 ГэВ влиянием потерь энергии на спектр частиц в рассматриваемой модели диффузии можно пренебречь.

7. Сделан вывод, что стационарная модель аномальной или нормальной диффузии неприменима для описания наблюдаемых спектров частиц во всем энергетическом диапазоне в силу отсутствия излома в спектре частиц в области энергий Е ~ 3 • 106 ГэВ.

8. Предложен и реализован метод определения основных параметров модели фрактальной диффузии космических лучей. Внешними параметрами метода являются экспериментальные данные о фрактальной размерности галактической среды, величине изменения показателя спектра в районе излома, энергии точки излома, а также параметры ближайших остатков сверхновых. Установлено, что показатель спектра генерации частиц в источнике равен 7 « 2.85.

9. Показано, что спектр наблюдаемых в Солнечной системе частиц может быть представлен в виде суммы трех компонент. Первая компонента описывает вклад далеких (г > 1 кпк) старых (t > 106 лет) источников, вторая - вклад от близких молодых источников, последняя компонента — излучение от близких молодых источников, достигающее Земли без рассеяния. Согласованное описание основных закономерностей спектров и массового состава получено в рамках гипотезы о том, что далекие источники определяют поведение космических лучей в области энергий Е < 102 ГэВ, близкие — формируют излом при Е ~ 3 • 106 ГэВ, нерассеянное излучение приводит к уполаживанию спектра при Е > 5 • 109 ГэВ.

10. Показано, что включение в систему источников космических лучей с S(E) ~ Е~2'85 близкой сверхновой с S(E) ~ Е~2 и порогом обрезания Етах « 3,4 ■ 104 ГэВ, позволяет описать сложную структуру спектра и массового состава космических лучей в районе излома.

Автор благодарит проф. А. А. Лагутина за многолетнее научное руководство, постановку и обсуждение представленных в диссертации задач, проф. В. В. Учайкина, доц. Р. И. Райкина, А. В. Юшкова и Д. В. Стрельникова за плодотворные обсуждения и помощь в проведении расчетов при разработке проблемы аномальной диффузии космических лучей, а также коллектив кафедры теоретической физики за дружескую и доброжелательную атмосферу.

1. Гинзбург В.Л. Какие проблемы физики и астрофизики представляются сейчас особенно важными и интересными (тридцать лет спустя, причем уже на пороге XX1.века)? // УФН. - 1999. - 169, № 4. - С. 419-442.

2. Гинзбург В.Л., Сыроватский С.И. Происхождение космических лучей. — М.: Изд-во АН СССР, 1963.

3. Птускин B.C. Перенос космических лучей в турбулентной межзвездной среде // В сб. "Проблемы теоретической физики и астрофизики". — М.: Наука— 1989. С. 463-470.

4. Березинский B.C., Буланов С.В., Гинзбург В.Л. и др. Астрофизика космических лучей. Под. ред. Гинзбурга В.Л. — Изд. 2-е.-М.: Наука, 1990.

5. Каплан СЛ., Пикельнер С.Б. Физика межзвездной среды. — М.: Наука, 1979.

6. Лозинская Т.А. Сверхновые звезды и звездный ветер: взаимодействие с газом Галактики. — М.: Наука, 1987.

7. Рузмайкин А.А., Соколов Д.Д., Шукуров A.M. Магнитные поля галактик. — М:: Наука, 1988.

8. Вайнштейн С.И., Быков A.M., Топтыгин И.Н. Турбулентность, токовые слои и ударные волны в космической плазме. — М.: Наука, 1989.

9. Бочкарев Н.Г. Локальное межзвездное пространство. — М.: Наука, 1990.

10. Burlaga L. F. Multifractal structure of the interplanetary magnetic field Voyager 2 observations near 25 AU, 1987-1988 // Geophys. Res. Lett. - 1991. - 18. -Pp. 69-72.

11. Burlaga L. F. Multifractal structure of speed fluctuations in recurrent streams at 1 AU and near 6 AU // Geophys. Res. Lett. 1991. - 18. - Pp. 1651-1654.

12. Falgarone E., Phillips T.G., Walker C.K. The edges of molecular clouds: fractal boundaries and density structure // ApJ. 1991. - 378. - Pp. 186-201.

13. Молчанов СЛ., Рузмайкин A.A., Соколов Д.Д. Магнитная перемежаемость/ В сб. Нелинейные волны: физика и астрофизика. — М.: Наука, 1993. — С. 47-53.

14. Elmegreen В. G., Falgarone Е. A fractal origin for the mass spectrum of interstellar clouds //ApJ. 1996. - 471. - Pp. 816-821.

15. Chappell D., Scalo J. Multifractal scaling, geometrical diversity, and hierarchical structure in the cool interstellar medium // ApJ. — 2001. — 551, no. 6. — Pp. 712-729.

16. Combes F. Astrophysical Fractals: Interstellar Medium and Galaxies. The Chaotic Universe // Proc. of the Second ICRA Network Workshop, Advanced Series in Astrophysics and Cosmology. — 2000. — 10. — P. 143.

17. Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов. — М.: Атомиздат, 1960.

18. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. — М.: Наука, 1972.

19. Bouchaud J., Georges A. Anomalous diffusion in disordered media: Statistical mechanisms, models and physical applications // Phys. Rep. — 1990. — 195. Pp. 127-293.

20. Elmegreen B.G. Diffuse Ha in a fractal interstellar medium // Publ. Astron. Soc. Aust. 1998. - 15. - Pp. 74-78.

21. Isichenko M.B. Percolation, statistical topography, and transport in random media // Rev. Mod. Phys. 1992. - 64. - Pp. 961-1043.

22. Shlesinger M.F., Zaslavsky G.M., Klafter J. Strange kinetics // Nature. — 1993.- 363. Pp. 31-37.

23. Чукбар К.В. Стохастический перенос и дробные производные // ЖЭТФ. — 1995. 108. - С. 1875-1884.

24. Klafter J., Shlesinger M.F., Zumofen G. Beyond Brownian motion // Phys. Today.- 1996. 49. - Pp. 33-39.

25. Uchaikln V.V., Zolotarev V.M. Chance and Stability. — VSP, Netherlands, Utrecht, 1999.

26. Metzler R., Klafter J. The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach // Phys. Rep. 2000. - 339. - Pp. 1-77.

27. Applications of fractional calculus / Ed. by R. Hilfer. — Singapore: Word Scientific, 2000.

28. Забурдаев В.Ю., Чукбар К.В. Ускоренная супердиффузия и конечная скорость полетов Леви // ЖЭТФ. 2002. - 121, № 2. - С. 299-307.

29. Учайкин В.В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы // УФН. 2003. - 173, № 8. - С. 847-876.

30. Учайкин В.В. Аномальная диффузия и дробно-устойчивые распределения // ЖЭТФ. 2003. - 124. - С. 903-920.

31. Саичев А.И., Уткин С.Г. Случайные блуждания с промежуточной аномально-диффузионной ассимптотикой // ЖЭТФ. — 2004. — 126, по. 2.

32. Лагутин А.А., Никулин Ю.А., Учайкин В.В. Излом в спектре космических лучей как следствие фрактальности магнитного поля Галактики. — Препринт АГУ. №4. - Барнаул. - 2000.

33. Lagutin A.A., Nikulin Yu.A., Uchaikin V. V. The knee in the primary cosmic ray spectrum as consequence of the anomalous diffusion of the particles in the fractal interstellar medium // Nucl. Phys. В (Proc. Suppl.). — 2001. — 97. — Pp. 267-270.

34. Lagutin A.A., Strelnikov D.V., Tyumentsev A.G. Mass composition of cosmic rays in. anomalous diffusion model: comparison with experiment // Proc. of the 27th ICRC (Hamburg, 2001). 2001. - 5. - Pp. 1896-1899. - astro-ph/0107231.

35. Lagutin A.A., Uchaikin V.V Fractional diffusion of cosmic rays // Proc. of the 27th ICRC (Hamburg, 2001). 2001. - 5. - Pp. 1896-1899. - astro-ph/0107230.

36. Lagutin A.A. Anomalous diffusion of the cosmic rays in the fractal Galaxy 11 Problems of atomic science and tecnology. — 2001. — no. 6(2). — Pp. 214-217.

37. Lagutin A.A., Uchaikin V.V. Anomalous diffusion equation: Application to cosmic ray transport // Nucl. Instrum. Meth. 2003. - B201. - Pp. 212-216.

38. Erlykin A. D., Lagutin A. A., Wolfendale A. W. Properties of the interstellar medium and the propagation of cosmic rays in the Galaxy // Astropart. Phys. — 2003. 19. - Pp. 351-362.

39. Лагутин А.А., Тюменцев А.Г. Энергетические спектры космических лучей в галактической среде фрактального типа // Изв. РАН. Сер. физ. — 2003. — 67, № 4. С. 439-442.

40. Lagutin A.A., Makarou V.V., Tyumentsev A.G. Anomalous diffusion of the cosmic rays: steady-state solution // Proc. of the 27th ICRC (Hamburg, 2001). 2001. - 5. - Pp. 1889-1891. - astro-ph/0107253.

41. Lagutin A.A., Strelnikov D.V., Tyumentsev A.G. Propagation of cosmic rays in the fractal interstellar medium // Труды второй международной научно-технической конференции (Барнаул, 2001). 2001. - Pp. 246-250.

42. Lagutin A.A., Tyumentsev A.G. Energy spectra of cosmic rays in the fractal galactic medium // Proc. of 18th European cosmic rays symposium (Moscow, 2002).- 2002. P. 46.

43. Lagutin A.A., Raikin R.I, Stanovkina N.V., Misaki A., Tyumentsev A.G. Mass composition of the primary cosmic rays in the energy region 1014 4- 102° eV in anomalous diffusion model // Proc. of the 28th ICRC (Tsukuba, 2003). 2003.- Pp. 675-678.

44. Лагутин А.А., Райкин P.M., Становкина H.B., Тюменцев А.Г. Массовый состав первичного космического излучения в диапазоне энергий 1014 Ю20 эВ в модели аномальной диффузии // Изв. АГУ. — 2003. — № 1(27). — С. 82-85.

45. Лагутин А. А., Тюменцев А. Г. Спектр, массовый состав и анизотропия космических лучей во фрактальной Галактике // Изв. АГУ. — 2004. — № 5(35).- С. 4-21.

46. Лагутин А.А., Тюменцев А.Г. Спектр электронов в Галактике // Изв. АГУ. — 2004. № 5(35). - С. 22-26.

47. Лагутин А.А., Райкин Р.И., Тюменцев А.Г. Распределение первого пробега в галактической среде фрактального типа // Изв. АГУ. — 2004. — № 5(35). — С. 27-31.

48. Лагутин А. А., Тюменцев А. Г., Юшков А. В. О причинах возникновения дефицита расчетного потока мюонов на уровне моря для Е/л > 100 ГэВ // Изв. АГУ. 2004. - № 5(35). - С. 32-43.

49. Lagutin A. A., Tyumentsev A. G., Yushkov A. V. Energy spectra and mass composition of cosmic rays in the fractal-like galactic medium // Изв. АГУ. —2004. № 5(35). - С. 96-98.

50. Лагутин А. А., Кулеш И.Н., Тюменцев А. Г. Распределение космических лучей по времени блуждания в модели аномальной диффузии // Труды 28 Всероссийской конференции по космическим лучам (Москва, 2004). — 2004. — С. 43.

51. Lagutin A. A., Tyumentsev A. G., Yushkov А. V. On inconsistency of experimental data on primary nuclei spectra with sea level muon intensity measurements // J.

52. Phys. 2004. - G30. - Pp. 573-596. - hep-ph/0402070.

53. Лагутин А. А., Тюменцев А. Г., Юшков А. В. О несогласованности экспериментальных данных по спектрам первичных ядер с измерениями интенсивности мюонов на уровне моря // Изв. РАН. Сер. физ. — 2005. — 69, № 3. — С. 321— 323.

54. Lagutin A.A., Raikin R.I., Tyumentsev A.G., Yushkov A.V. Cosmic rays transport in the fractal-like galactic medium // Proc. of the 29th ICRC (Puna, 2005). —2005. 1. - P. 50.

55. Lagutin A.A., Tyumentsev A.G., Yushkov A.V. Primary proton spectrum in the energy range 5 — 103 TeV from the sea level muon spectrum // Proc. of the 29th ICRC (Puna, 2005). 2005. - 1. - P. 21.

56. Chappell DScalo J. Multifractal scaling, geometrical diversity, and hierarchical structure in the cool interstellar medium // ApJ. — 2001. — 551. — Pp. 712-729.

57. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск: Наука и техника, 1987.

58. Montroll Е. W., Weiss G.H. Random walks on lattices. II11I. Math.Phys. 1965. - 6, no. 2. - Pp. 167-181.

59. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. — М.: Мир, 1967.

60. Uchaikin V. V. Montroll-Weiss problem, fractional equations, and stable distributions // Intern. J. of Theor. Phys. 2000. - 39, no. 8. - Pp. 2087-2105.

61. Учайкин В.В. Субдиффузия и устойчивые законы // ЖЭТФ. — 1999. — 115. — С. 2113-2123.

62. Chuvilgin L.G., Ptuskin К5. Anomalous diffusion of cosmic rays across the magnetic field // A&A. 1993. - 297. - Pp. 278-297.

63. Дорман JI.И. Экспериментальные и теоретические основы астрофизики космических лучей. — М.: Наука, 1975.

64. Топтыгин И.Н. Космические лучи в межпланетных магнитных полях. — М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы, 1983.

65. Золотарев В.М. Одномерные устойчивые распределения. — М.: Наука, 1983.

66. Amenomori М., Ayabe S., Cui S. W. et at. Primary proton spectrum in the knee region observed by the Tibet hybrid experiment j I Proc. of the 28rd ICRC (Tsukuba, 2003). 2003. - Pp. 107-110.

67. Сыроватский С.И. Распределение релятивистских электронов в Галактике и спектр синхротронного радиоизлучения // Астрон. журн. — 1959. — 36. — С. 17-28.

68. Ragot В. R., Kirk J. К. Anomalous transport of cosmic ray electrons // Astron. Astrophys. 1997. - 327. - Pp. 432-440.

69. Блюмен И.Б.Г.М., Догель В.А., Дорман В.Л., Птускин B.C. Конвективно-диффузионная модель распространения протонно-ядерной компоненты космических лучей в Галактике // Изв. АН СССР, сер. физ. — 1991. — 55, № 10. — С. 2052-2055.

70. Зиракашвили ВН., Клепая Е.Г., Птускин B.C. Диффузия космических лучей высокой энергии в Галактике // Изв. АН СССР, сер. физ. — 1991. — 55, № 10.- С. 2049-2051.

71. Ptuskin V.S., Rogovaya S.I., Zirakashvili V.N. et al. Diffusion and drift of'very high energy cosmic rays in galactic magnetic fields // Astron. Astrophys. — 1993.- 268. Pp. 726-735.

72. Kalmykov N.N., Pavlov A.I. The cosmic ray diffusion in Galactic magnetic fields and the problem of the "knee" in PCR energy spectrum at energy ~ 3 • 1015eV // Proc. of the 24th ICRC (Roma, 1995). 1995. - 4. - Pp. 293-296.

73. Nagano M., Teshima M., Matsubara Y. et al. Energy spectrum of primary cosmic rays above 1017-° eV determined from extensive air shower experiments at Akeno // /. Phys. G: Nucl. Phys. 1992. - 18. - Pp. 423-442.

74. Horandel I. R. On the knee in the energy spectrum of cosmic rays // Astropart. Phys. 2003. - 19. - Pp. 193-220.

75. Учайкин В.В., Коробко Д.А., Гисмятов И.Ф. Модифицированные алгоритм ' Мандельброта моделирования распределения галактик в модели фрактальноготипа Ц Изв. вузов. Физика. — 1997. — 8. — С. 7-12.

76. Коробко Д.А. Моделирование многократного рассеяния в среде фрактального типа. — Ульяновск, 1999. — С. 22. — Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук.

77. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: Институт компьютерных исследований, 2002.

78. Зельдович Я.Б., Соколов Д.Д. Фрактали, подобие, промежуточная асимптотика // УФН. 1985. - 146. - С. 493-506.

79. Isliker Н., Vlahos L. Random walk through fractal environments // Phys. Rev. E.- 2003. 67, no. 2. - Pp. 26413-26434. - physics/0211113.

80. Cadavid A. C., Lawrence J. K., Ruzmaikin A. A. Anomalous diffusion of solar magnetic elements // ApJ. 1999. - 521. - Pp. 844-850.

81. Бережко E. Г., Елшин В. К., Ксенофнтов Л. Т. Ускорение космических лучей в остатках сверхновых // ЖЭТФ. — 1996. — 109. — С. 3-43.

82. Бережко Е. Г., Ксенофнтов Л. Т. Состав космических лучей, ускоренных в остатках сверхновых // ЖЭТФ. 1999. - 116. - С. 737-759.

83. Nishimura J., Kobayashi Т., Komori Y. et al. Observation of primary electron spectrum and its astrophysical significance j I Proc. of the 25th ICRC (Durban, 1997). 1997. - 4. - Pp. 233-236.

84. Kobayashi Т., Nishimura J., Komori Y., Yoshida K. Vela as the most likely source for the primary electrons in TeV region // Adv. Space Res. — 2001. — 27. — Pp. 653-658.

85. Erlykin A. D., Wolfendale A. W. High energy cosmic ray spectroscopy. III. Further analyses // Astropart. Phys. 1998. - 8. - Pp. 265-281.

86. Erlykin A. D., Wolfendale A. W. Supernova remnants and the origin of the cosmic radiation: I. SNR acceleration models and their predictions // /. Phys. G Nucl. Phys. 2001. - 27. - Pp. 941-958.

87. Gleeson L.J., Axford W.I. Solar modulation of galactic cosmic rays // ApJ. — 1968.- 154. Pp. 1011-1025.

88. Boezio M., Carlson P., Francke T. et al. The cosmic-ray proton and helium spectra between 0.4 and 200 GV // ApJ. 1999. - 518. - Pp. 457-472.

89. Mean W., Hof M., Reimer 0. et al. The absolute flux of protons and helium at the top of the atmosphere using IMAX // ApJ. 2000. - 533. - Pp. 281-297.

90. Ryan M.J., Ormes J.F., Balasubrahmanyan V.K. Cosmic-ray proton and helium spectra above 50 GeV 11 Phys. Rev. Lett. 1972. - 28. - Pp. 985-988.

91. Juliusson E. Charge composition and energy spectra of cosmic-ray nuclei at energies above 20 GeV per nucleon // ApJ. 1974. - 191. - Pp. 331-348.

92. Lezniak J.A., Webber W.R. The charge composition and energy spectra of cosmic-ray nuclei from 3000 MeV per nucleon to 50 GeV per nucleon // ApJ. — 1978. — 223. Pp. 676-696.

93. Simon M., Spiegelhauer H., Schmidt W. К. H. Energy spectra of cosmic-ray nuclei to above 100 GeV per nucleon // ApJ. 1980. - 239. - Pp. 712-724.

94. Minagawa G. The abundances and energy spectra of cosmic ray iron and nickel at energies from 1 to 10 GeV per AMU // ApJ. 1981. - 248. - Pp. 847-855.

95. Engelmann J. J., Ferrando P., Soutoul A. et al. Charge composition and energy spectra of cosmic-ray nuclei for elements from Be to N1 — results from HEAO-3-C2 // A & A. 1990. - 233. - Pp. 96-111.

96. Muller D., Swordy S.P., Meyer P. et al. Energy spectra and composition of primary cosmic rays 11 ApJ. 1991. - 374. - Pp. 356-365.

97. Swordy S.P., L'Heureux J., Meyer P., Muller D. Elemental abundances in the local cosmic rays at high energies j I ApJ. — 1993. — 403, no. 2. — Pp. 658-662.

98. Ivanenko I.P., Shestoperov V.Ya., Chikova L.O. et al. Energy spectra of cosmic rays above 2 TeV as measured by the "SOKOL" apparatus // Proc. of the 23rd ICRC (Calgary, 1993). 1993. - 2. - Pp. 17-20.

99. Zatsepln V.I., Zamchalova E.A., Varkovitskaya A.Ya. et al. Energy spectra of primary protons and other nuclei in energy region 10-100 TeV/nucleus // Proc. of the 23rd ICRC (Calgary) 1993. 1993. - 2. - Pp. 13-16.

100. Wiebel B. Chemical composition in high energy cosmic rays. — Bergische Univer-sitat Gesamthochschule Wuppertal, 1994. - D-42097.

101. Asaklmory K., Burnett Т.Н., Cherry M.L. et al. Cosmic-ray proton and helium spectra: results from the JACEE experiment 11 ApJ. 1998. - 502. - Pp. 278283.

102. Boezlo M., Carlson P., Francke T. et.al. The cosmic-ray proton and helium spectra between 0.4 and 200 GV // ApJ. 1999. - 518. - Pp. 457-472.

103. Alcaraz J., Alpat В., Ambrosi G. et al. Cosmic protons // Phys. Lett. B. — 2000. 490. - Pp. 27-35.

104. Sanuki Т., Motoki M., Matsumoto H. et al. Precise measurements of cosmic-ray proton and helium spectra with the BESS spectrometer // ApJ. — 2000. — 545, no. 2. Pp. 1135-1142. - astro-ph/0002481.

105. Апанасенко А.В., Ватанабе 3., Галкин В.И. et al. Исследование первичных космических лучей высоких энергий в российско-японском баллонном эксперименте RUNJOB // Изв. РАН. Сер. физ. 2001. - 65, по. 3. -Pp. 433-466.

106. Seo E.S., Ormes J.F., Streltmatter R.E. et al. Measurement of cosmic-ray proton and helium spectra during the 1987 solar minimum // ApJ. — 1991. — 378. — Pp. 763-772.

107. Григоров Л.Н., Нестеров В.Е., Рапопорт И.Д. и др. Изучение энергетического спектра первичных частиц космических лучей высокой и сверхвысокой энергий на космических станциях "Протон" // ЯФ. — 1970. — 11. — С. 1058-1069.

108. Fomin Yu.A., Khristiansen G.B., Kulikov G.V. et al. Energy spectrum of cosmic rays at energies of 5 ■ 1015 5 • 1017 eV // Proc. of the 22nd ICRC (Durban, 1991).- 1991. 2. - Pp. 85-88.

109. Yoshlda S., Hayashida N., Honda K. et al. The cosmic ray energy spectrum above 3 • 1018 eV measured by the Akeno giant air shower array // Astropart. Phys. — 1995. 3. - Pp. 105-123.

110. Glasmacher M.A.K., Cataneze M.A., Chantell M.C. et al. The cosmic ray energy spectrum from 1014 to 1016 eV // Proc. of the 26th ICRC (Salt Lake City, 1999).- 1999. 3. - Pp. 199-202.

111. Cronin J.U. Ultra high energy cosmic rays // Nucl. Phys. B. (Proc. Suppl.). — 2001. 97. - Pp. 3-9.

112. Linsley J. Spectra, anisotropies and composition of cosmic rays above 1000 GeV // Proc. of the 18th ICRC (Bangalore, 1983). 1983. - 12. - Pp. 135-191.

113. Shlbata T. Energy spectrum and primary composition from direct measurments // Nucl. Phys. B. — 1999. — 75.

114. Dorman L.I., Ghosh A., Ptuskin l/.S. Diffusion of the Galactic cosmic rays in the vicinity of the solar system // Astrophys. and Space Sci. — 1985. — 109. — Pp. 87-97.

115. Clay R.W., Smith A.G.K. Cosmic Ray Anisotropies and Auger // Extremely high energy cosmic rays: astrophysics and future observatories (Tokyo, 1996). — 1996.- Pp. 104-124.

116. Aglietta M., Alessandro В., Antonioli P. et al. The cosmic ray anisotropy between 1014 and 1015 ev // Proc. of the 28th ICRC (Tsukuba, 2003). 2003. -P. 183-186.

117. Erlykin A. D., Wolfendale A. W. Structure in the cosmic ray spectrum: An update ///. Phys. 2001. - G27. - Pp. 1005-1030.

118. Шаулов С.Б. Состав космических лучей в области "колена" и вклад близкого молодого источника. — Препринт ФИАН. — №8. — Москва. — 1999.

119. Erlykin A. D., Wolfendale A. W. The origin of the knee in the cosmic-ray energy spectrum. 2001. - astro-ph/0103477.

120. Erlykin A. D., Wolfendale A. W. Single source of cosmic rays in the range 1015 -1016 eV // Journal of Phis. G: Nucl. and part. phys. 1997. - 23. - Pp. 979989.

121. Erlykin A. D., Wolfendale A. W. High-energy cosmic gamma rays from the 'single source' 11 J. Phys. 2003. - G29. - Pp. 709-718. - astro-ph/0302380.

122. Бережко E. Г., Крымский Г. Ф. Ускорение космических лучей ударными волнами // УФН. 1988. - 154. - С. 49-91.

123. Аммосов А. Е., Бережко Е. Г., Елшин В. К. Спектр космических лучей, ускоренных ударной волной от сверхновой // Астроном, журнал. — 1990. — 67. С. 572-581.

124. Золотарев В.М. Устойчивые законы и их применения. — М.: Знание, 1984.