Диффузия лучей и частиц в случайно-неоднородных средах в лагранжевом и эйлеровом представлениях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

Грибова Евгения Зиновьевна

ДИФФУЗИЯ ЛУЧЕЙ И ЧАСТИЦ В СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ В ЛАГРАНЖЕВОМ И ЭЙЛЕРОВОМ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ

01.04.03 - радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Нижний Новгород - 2006

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении Высшего профессионального образования "Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского"

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор

Саичев Александр Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

диссертационного совета Д 212.166.07 при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 4, ауд. 201.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского.

Автореферат разослан и+а.^'щ 2006 г. Ученый секретарь диссертационного совета

Гайкович Константин Павлович

доктор физико-математических наук, профессор

Кляцкин Валерий Исаакович

доктор физико-математических наук, доцент

Урядов Валерий Павлович

Ведущая организация: Институт оптики атмосферы СО РАН

Защита диссертации состоится

саЯ 2006 г. в 45" часов на заседании

к.ф.-м.н., доцент

В.В. Черепенников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Анализ распространения волн в случайно-неоднородных средах является одной из наиболее актуальных проблем радиофизики, оптики, гидроакустики. С одной стороны, знание закономерностей распространения волн в случайной среде позволяет использовать их для изучения свойств различных сред. Этот принцип реализован в большинстве радиофизических методов исследования океана, земной коры, атмосферы, ионосферы, околосолнечной и межзвездной плазмы [1*,2*]. С другой стороны, быстрое развитие современных систем дальней радио- и лазерной связи, зондирования и локации турбулентной атмосферы и океана привело к тому, что искажения волн при их распространении стали одной из причин, ограничивающих технические характеристики подобных систем. Практическая важность и общефизическая значимость теории волн в случайно-неоднородных средах стимулировали быстрое развитие теоретических и экспериментальных исследований в этой области.

В широком круге задач, относящихся к распространению излучения в случайно-неоднородных средах, выделим достаточно важную для приложений область — исследование распространения волн в случайных средах с крупномасштабными по сравнению с длиной волны флуктуациями показателя преломления. В этом случае из-за концентрации рассеянного излучения в узком интервале углов вокруг первоначального направления распространения могут возникать сильные флуктуации интенсивности поля [2"-4*].

Важным является тот факт, что поведение волн в случайно-неоднородных средах часто сходно с поведением частиц в хаотически движущихся потоках. В частности, при движении плавучей примеси в турбулентных потоках обнаруживаются явления, родственные образованию каустических структур [5*-9*]. Аналогично сильным флуктуациям интенсивности в областях фокусировок, кластеризация примеси приводит к образованию компактных областей повышенной плотности.

Исследование распространения волн в случайно-неоднородных средах обычно проводится с использованием подходов, основанных на решении стохастического волнового уравнения тем или иным методом возмущений. Однако в случае сильных флуктуаций интенсивности расчеты по теории воз-

1

мущений в той или иной ее форме становятся непригодными. Здесь используются методы, основанные на решении уравнений для статистических моментов поля [10*, 11*]. Но решение уравнения даже для четвертого момента представляет собой сложную до сих пор до конца не решенную математическую задачу. В итоге, несмотря на то, что по теории распространения волн в случайно-неоднородных средах в настоящее время имеется огромное количество работ, свойства волн в области сильных флуктуаций интенсивности остаются недостаточно полно изучены.

В то же время задача значительно упрощается, если пренебречь дифракцией и описывать распространение волны в геометрооптическом приближении. Обратим внимание на тесную связь описания движения пассивной примеси и уравнений для лучей в случайно-неоднородных средах. Начиная с пионерской работы Тейлора [12*], общепринятым считается лагранжев подход к описанию статистики частиц примеси. Аналогичные уравнения получаются и при геометрооптическом описании распространения фиксированного луча.

Нелинейность уравнений геометрической оптики существенно затрудняет их анализ. Поэтому при изучении параметров волн обычно пользуются линеаризованными уравнениями. Однако разработанные в последние десятилетия методы статистического анализа уравнений геометрической оптики позволяют проводить исследование статистических свойств без ограничений на размер флуктуаций интенсивности. При этом оказывается возможным детальное изучение статистики волны как в фиксированной лучевой трубке (лагранжева статистика), так и в фиксированной точке пространства (эйлерова статистика), поэтому удается достаточно полно описать свойства волн в случайно-неоднородной среде.

Преимуществом геометрооптического подхода является то, что стохастические дифференциальные уравнения для координат луча (или невзаимодействующих частиц), кривизны волнового фронта и якобиана преобразования эйлеровых координат в лагранжевы при определенных условиях можно рассматривать как уравнения для марковских случайных процессов и применять к изучению свойств геометрических параметров волны (или к описанию движения частиц) аппарат уравнений Фоккера-Планка [13*]. Кроме того, в рамках геометрооптического подхода удается достаточно легко моделировать слой протяженной среды системой эквидистантных фазовых экранов

2

[14*]. Многократное повторение на ЭВМ численных экспериментов по рассеянию волны на последовательности таких экранов дает выборку случайных реализаций поля, по которой могут быть определены многие статистические характеристики излучения.

Развиваемые в работе комбинированные численно-аналитические методы в рамках геометрооптического подхода, а также аналогичное ему лагран-жево описание движения частиц в турбулентных потоках являются эффективным методом исследования распространения волн в случайно-неоднородных средах и движения гидродинамических потоков частиц в хаотически движущихся средах. Актуальность предлагаемых методов обусловлена как общетеоретическим интересом к исследованию свойств волн в области многолучевости и частиц в области многопотоковости, так и их значением в геофизических приложениях.

Целью диссертационной работы является описание свойств волн в области многолучевости, исследование с учетом дифракционных поправок вероятностных и корреляционных свойств интенсивности волн в области сильных флуктуаций, а также, с использованием аналогии между геометрооптическим подходом к описанию распространения волн и лагранжевым описанием движения частиц в турбулентных потоках, исследование движения частиц пассивной примеси в турбулентных средах и эффектов, вызванных молекулярной диффузией. Для этого в работе рассматриваются следующие конкретные задачи:

- исследование динамических и статистических свойств полей якобиана преобразования эйлеровых координат геометрооптического луча в лагранже-вы и кривизны волнового фронта;

- исследование статистики каустик в случайно-неоднородной среде;

- исследование статистики лучей в случайно-неоднородной среде;

- исследование вероятности многолучевого распространения за случайным фазовым экраном;

- исследование влияния анизотропных неоднородностей на траектории лучей в среде;

- исследование асимптотического поведения реализаций интенсивности волны;

- исследование статистических моментов и плотности вероятностей интенсивности в окрестностях каустик;

- исследование дифракционного механизма сглаживания каустических особенностей в поле интенсивности волны;

- вывод и исследование уравнений для среднего поля волны и функции когерентности в статистически анизотропной случайной среде;

- установление и исследование связи эйлеровых и лагранжевых вероятностных характеристик скорости и координат броуновской частицы, достигающей заранее заданной области пространства;

- исследование эффектов относительной молекулярной диффузии;

- исследование флуктуаций плотности сгустка частиц, первоначально находившихся в одном физически бесконечно малом объеме;

- исследование влияния инерционности частиц на возникновение многопотоковости движения в турбулентной вязкой среде;

- исследование закономерностей турбулентной диффузии частиц, движущихся в турбулентной среде под действием сил гравитации и Стокса.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработан новый метод исследования свойств волн в случайно-неоднородных средах на основе анализа статистики якобиана преобразования эйлеровых координат луча в лагранжевы. С помощью этого метода впервые:

а) получен асимптотический (на больших расстояниях вдоль луча) закон нарастания моментов модуля якобиана преобразования эйлеровых координат в лагранжевы, на основе которого исследованы некоторые статистические свойства интенсивности и многолучевости волны. В частности, найден закон нарастания среднего числа лучей в среде, с помощью которого объяснен полученный численными методами асимптотический закон увеличения средней плотности каустик в поперечном сечении случайной среды;

б) проведены расчеты, позволяющие оценить начало области, в которой необходимо учитывать многолучевость распространения волны;

в) получено, что с ростом номера каустики вдоль луча бесконечные выбросы интенсивности концентрируются во все более узких интервалах

продольной оси, что означает истончение каустик и увеличение размера областей, в которых поле в среднем стремится к нулю.

2. Впервые получена плотность вероятностей углов распространения луча в среде с вытянутыми вдоль оси распространения (не дельта-коррелированными) неоднородностями, а также выведены замкнутые уравнения для первых двух статистических моментов поля в такой среде. При анализе этих уравнений выявлен физический эффект, состоящий в появлении ракурсной чувствительности рассеянного поля в статистически анизотропной случайной среде.

3. Предложен новый способ описания дифракционного сглаживания каустических особенностей, названный с учетом аналогии между эволюцией плотности нагретого газа невзаимодействующих частиц и дифракцией монохроматических оптических волн за случайным фазовым экраном методом "теплых лучей".

4. Впервые поставлена и решена задача о вероятностном распределении скорости и координат броуновской частицы, достигающей заранее заданной области пространства (детектора) в течение определенного интервала времени. Для этого предложен подход, позволяющий связать искомые вероятностные распределения с вероятностными характеристиками традиционной начальной задачи о броуновском движении частицы.

5. При исследовании эффектов относительной молекулярной диффузии обнаружен эффект стохастической локализации сгустка примеси в турбулентной среде.

6. При изучении закономерностей диффузии инерционных частиц, движущихся в турбулентной среде под действием сил гравитации и Стокса, обнаружен физический эффект, состоящий в том, что коэффициенты диффузии в горизонтальной и вертикальной плоскостях не зависят от степени инерционности движения, а лишь от скорости свободного падения.

Достоверность результатов работы обеспечивается:

— использованием приближенных теоретических методов, область применимости которых соответствует поставленным задачам;

- применением в расчетах численных методов с известными оценками

погрешностей;

- сопоставлением результатов теоретических исследований и компьютерного моделирования;

- сравнением в случаях, где это возможно, с результатами других авторов.

Научное и практическое значение результатов работы.

Полученные результаты представляют как чисто научный, так и практический интерес. Во-первых, они могут быть использованы при описании свойств электромагнитных и акустических волн в случайных средах, что весьма актуально в связи с возникающими в приложениях задачами локации в турбулентной атмосфере, томографии случайно-неоднородного океана, задачами инженерной геодезии. Во-вторых, усиливающееся антропогенное воздействие на атмосферу и водную среду делает актуальным исследование физических закономерностей поведения частиц примеси в таких средах для решения экологических и метеорологических проблем.

Часть результатов диссертации была получена при выполнении работ, поддержанных фантами Российского фонда фундаментальных исследований (№ 95-05-14247, 95-IN-RU-723, 96-15-96722, 97-02-16521, 00-02-16167, 03-0216680), Совета по грантам Президента РФ для поддержки ведущих научных школ (№ 00-15-96619, НШ-838.2003.2), Министерства образования РФ (№ 3878, Е02-3.5-232), Международного центра фундаментальных и прикладных исследований (проект № 99-2-09), INTAS (грант № 11134).

Проведенные в работе исследования могут быть использованы в таких научных коллективах, как Институт прикладной физики РАН (Н. Новгород), Институт физики атмосферы РАН (Москва), Институт оптики атмосферы СО РАН (Томск), Научно-исследовательский радиофизический институт (Н. Новгород).

Апробация работы и публикации.

Материалы диссертации докладывались на XI и XII Симпозиумах по распространению лазерного излучения в атмосфере и водных средах (Томск, 1991, 1993), XVII Конференции по распространению радиоволн (Ульяновск, 1993), I Межреспубликанском симпозиуме "Оптика атмосферы и океана" (Томск, 1994), на II Международной школе-семинаре "Динамические и стохастические волновые явления" (Н.Новгород, 1994), Научно-технической конференции НГАСА (Н.Новгород, 1994), Trans Black Sea region symposium

6

on Applied Electromagnetism (Metsovo, Hellas, 1996), Научной конференции по радиофизике, посвященной 80-летию ННГУ (Н.Новгород, 1998), Международной Школе "Dynamical systems aspects of transport and diffusion in the atmosphère and the océan" (Борно, Швеция, 1998), Четвертой научной конференции по радиофизике (Н.Новгород, 2000), VIII Объединенном Международном Симпозиуме "Оптика атмосферы и океана. Физика атмосферы" (Иркутск, 2001), Шестой научной конференции по радиофизике (Н.Новгород, 2002), Научной конференции по радиофизике (Н.Новгород, 2004).

Полный список печатных работ автора по тематике диссертации приведен в конце автореферата.

Личный вклад соискателя.

Все работы по теме диссертации написаны при личном участии автора. Большая часть работ написана в соавторстве с А.И. Саичевым, совместно с которым сформулированы идеи решения задач о распространении световых волн в случайно-неоднородной среде. На паритетных началах построена качественная теория многолучевого распространения волн в случайно-неоднородных средах, дана теоретическая трактовка исследований статистик координат и скорости примеси в турбулентной среде. Автором проведено численно-аналитическое исследование динамических и статистических свойств якобиана преобразования эйлеровых координат в лагранжевы, на основании которого изучена статистика многолучевости и исследованы статистические свойства интенсивности волн; получены и исследованы замкнутые интегро-дифференциальные уравнения для среднего поля и функции когерентности в статистически анизотропных случайных средах; поставлена и полностью решена задача о связи эйлеровых и лагранжевых статистик броуновской частицы. При работе в других авторских коллективах вклад автора состоял в постановке и непосредственном решении задач, проведении численных экспериментов, обсуждении результатов на всех этапах.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Для реализаций поля кривизны волнового фронта в точках каустик существует мажорантная кривая, под которой с любой заданной вероятностью р< 1 лежат 100% р реализаций. Это приводит к истончению каустик и уменьшению интенсивности волны в фиксированной лучевой трубке.

7

2. В области многолучевости в случайно-неоднородной среде моменты модуля якобиана эйлеровых координат луча в лагранжевы с ростом расстояния вдоль луча растут экспоненциально. Это приводит к экспоненциальному нарастанию средней многолучевости, в результате чего нарастает среднее число каустик в единице поперечного сечения.

3. В статистически-анизотропной случайно-неоднородной среде с вытянутыми вдоль оси распространения неоднородностями:

а) плотность вероятностей углов распространения волны имеет локальный минимум в направлении большего масштаба корреляции неодно-родностей;

б) выведенные уравнения для первых двух статистических моментов поля показывают, что угловая зависимость рассеянного поля существенно зависит от параметра анизотропии. В случае слабой анизотропии необходим учет дифракции на сильно вытянутых неоднородностях и изменения силы рассеяния при малых изменениях углов распространения волны.

4. Применение предложенного в работе метода "теплых лучей" позволяет правильно учитывать дифракционное сглаживание каустических особенностей волнового поля за случайным фазовым экраном.

5. Плотность вероятностей скорости броуновской частицы, достигающей заранее заданной области пространства, удается находить с помощью плотности вероятностей скорости в фиксированный момент времени.

6. Обнаруживается эффект стохастической локализации сгустка примеси в турбулентной среде, при котором хаотическое движение среды в среднем не ускоряет разбегание частиц, а прижимает их друг к другу.

7. В турбулентной среде многопотоковость движения частиц пассивной примеси возникает тем раньше и выражена тем заметнее, чем больше коэффициент турбулентной диффузии. К аналогичному результату приводит и увеличение инерционности частицы.

8. В области многопотоковости в турбулентной среде среднее значение обратного квадрата плотности примеси экспоненциально нарастает со временем.

9. При движении инерционных частиц, движущихся в турбулентной среде под действием сил гравитации и Стокса, дисперсия их скорости уменьшается. Однако коэффициенты диффузии в горизонтальной и верти-

кальной плоскостях не зависят от степени инерционности движения, а лишь от скорости свободного падения. С увеличением скорости падения отношение коэффициентов поперечной и продольной диффузии плавно уменьшается до 1/2.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, двух приложений и списка литературы. Объем диссертации 291 стр. текста, включая иллюстрации. Список литературы содержит 213 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во Введении обосновывается актуальность темы диссертации, обсуждается состояние проблемы, отмечаются преимущества предлагаемого в работе подхода, формулируются цель работы и положения, выносимые на защиту.

В первой главе отмечено, что, в силу аналогии между поведением оптической волны и гидродинамического потока невзаимодействующих частиц, эффективным методом исследования распространения волн в случайно-неоднородных средах с крупномасштабными неоднородностями, а также движения частиц примеси в турбулентных потоках является лагранжев подход. При этом исследование свойств экспериментально наблюдаемых параметров волны (интенсивности, среднего числа каустик и т.д.), а также изучение характеристик сгустков частиц примеси в хаотически движущихся потоках удобно проводить, зная статистику якобиана преобразования У эйлеровых координат в лагранжевы. Эта величина имеет ясный физический смысл: в задачах распространения волн якобиан естественно называть расходимостью лучевой трубки, поскольку он равен отношению сечения лучевой трубки в среде к начальному сечению, а при описании движения частиц примеси в турбулентных потоках якобиан J выражает степень сжатия (разрежения) среды. Тем не менее, в первой главе используется "волновая" терминология.

Исходными являются лучевые уравнения. Из них в п. 1.2 получены стохастические дифференциальные уравнения, связывающие расходимость J лучевой трубки и кривизну и волнового фронта. В этой главе случайное поле флуктуаций показателя преломления принято гауссовым, дельта-коррелированным вдоль продольной оси, что позволяет получить для плотности вероятностей якобиана уравнение Фоккера-Планка. Затем (п. 1.3) ис-

9

следуются динамические и статистические свойства полей расходимости лучевой трубки и кривизны волнового фронта.

Статистика якобиана преобразования координат луча и связанных с ним величин исследованы в наиболее простом случае двумерной задачи (t - координата вдоль первоначального направления распространения волны, единственная поперечная координата - х). Двумерная модель позволяет избежать громоздких выкладок, связанных с трехмерностью реальной среды. В то же время известно, что фокусировка лучей имеет преимущественно одномерный характер, поэтому с помощью двумерного приближения удается выявить не только качественные, но и количественные особенности поведения расходимости лучевой трубки и интенсивности волны в области, где формируются каустики и наблюдаются сильные флуктуации интенсивности. Кроме того, некоторые реальные среды (океан, ионосфера) являются квазислоистыми, и анализ распространения волн в подобных случайно-неоднородных средах может быть полностью проведен в рамках двумерной модели.

Исследование проведено как численными методами (решение уравнения Фоккера-Планка для плотности вероятностей якобиана, п. 1.3.1), так и комбинированными численно-аналитическими. Поскольку численное определение функции плотности вероятностей требует очень больших объемов памяти ЭВМ и, кроме того, вследствие накопления ошибки с увеличением расстояния t не может дать точного решения при / >1 (/ = 1 соответствует области сильных фокусировок в геометрооптическом приближении), применены более эффективные численно-аналитические методы исследования (п. 1.3.2 - 1.3.4). Они основаны на том, что, как установлено в п. 1.3.2, поля J(t), U(i) представляют собой квазипериодические процессы со случайными статистически независимыми полупериодами - расстояниями между каустиками. При этом показано, что статистика поля якобиана J и связанных с ним физических параметров волны (интенсивности, среднего числа лучей и т.д.) в значительной мере определяется статистическими свойствами вспомогательной последовательности, равной произведению значений кривизны волнового фронта в точках каустик. Для установления свойств этой последовательности сделан переход от исходной системы стохастических уравнений для J(t), U(t) к более простым в численном решении уравнениям для введенных в п. 1.3.2 вспомогательных функций - "уровня" и "фазы" случайных "колебаний" J(t). Численное решение полученных уравнений на одном полупериоде

10

(то есть до точки первой каустики) позволяет, с учетом квазипериодичности J(t) и U(t), исследовать асимптотические свойства этих полей на больших расстояниях вдоль луча. Так, установлено, что моменты модуля якобиана имеют квазипериодический характер, а "амплитуда колебаний" экспоненциально нарастает с расстоянием вдоль луча.

Для проверки правильности сделанных при этом предположений и для контроля точности численного решения в п. 1.3.5 найдено точное замкнутое уравнение для положительных четных моментов модуля якобиана и получено его асимптотическое решение на больших расстояниях вдоль луча.

В результате проведенного численно-аналитического исследования найден асимптотический закон нарастания произвольных положительных моментов модуля якобиана. Отмечено, что свойства последовательности, составленной из произведений'значений кривизны волнового фронта в точках каустик, принципиально важны для анализа поведения реализаций интенсивности в окрестностях каустик.

Во второй главе на основе изученных ранее общих свойств поля якобиана преобразования эйлеровых координат луча в лагранжевы исследована статистика таких экспериментально наблюдаемых геометрических параметров, как средняя плотность каустик в поперечном сечении случайной среды, среднее число лучей, траектория лучей в среде.

С формированием каустических особенностей в поле волны связан ряд интересных явлений. Например, известно, что после образования каустик возможно возникновение многолучевости. Существенную информацию о характере многолучевого распространения несет плотность вероятностного распределения каустик.

Вначале в п. 2.2.1 рассмотрена более простая задача: найдено среднее число каустик в единице поперечного сечения за случайным фазовым экраном. При этом удается получить аналитическое выражение для искомой средней плотности каустик в случаях падения на экран как плоской, так и сферической волны.

Среднее число каустик в единице поперечного сечения случайно-неоднородной среды найдено в п. 2.2.1 моделированием протяженной среды эквидистантной системой случайных фазовых экранов. В геометрооптиче-ском приближении на каждом экране угол распространения луча меняется случайным образом, а между экранами лучи распространяются прямолиней-

11

но. Для простоты рассмотрен случай, когда статистические свойства всех экранов одинаковы. При этом получено, что в то время как среднее число каустик за одним экраном достигает постоянного насыщенного значения, число каустик в поперечном сечении среды увеличивается с ростом протяженности трассы. Для объяснения поведения средней плотности каустик в случайной среде в п. 2.3.1 найден закон нарастания среднего числа лучей в среде.

В п 2.2.2 получено выражение для плотности вероятностного распределения расстояния до каустик вдоль фиксированного луча за экраном. При этом показано, что насыщение средней плотности каустик на большом расстоянии за фазовым экраном не противоречит экспоненциальному убыванию вероятностного распределения расстояния до первой каустики.

Кроме статистики каустик, при описании многолучевого распространения волн необходимо знать статистические свойства многолучевости. Законы нарастания среднего числа лучей как за случайным фазовым экраном, так и в случайной среде позволяют дать качественное объяснение характера средней плотности каустик от расстояния.

Среднее число лучей на малых расстояниях (по сравнению с расстоянием между каустиками) найдено в п. 2.3.1 с помощью вычисленной в первой главе функции плотности вероятностей расходимости лучевой трубки, а на больших - как с помощью полученной в первой главе асимптотики нарастания лагранжева среднего модуля якобиана, так и моделированием протяженной среды системой фазовых экранов. При этом получено, что в отличие от распространения волны за случайным экраном, где среднее число лучей нарастает по линейному закону, в случайной среде средняя многолучевость нарастает экспоненциально, а инкременты нарастания, найденные обоими способами, хорошо согласуются между собой. Экспоненциальный закон нарастания среднего числа лучей в случайно-неоднородной среде, с учетом линейного увеличения масштаба лучевой трубки, и объясняет характер зависимости средней плотности каустик от расстояния в среде.

В этой же главе (п. 2.3.2) найдены вероятности трех- и пятилучевого распространения за случайным фазовым экраном. Полученный результат позволяет, во-первых, оценить область применимости однолучевого приближения, а, во-вторых, найти начало области многолучевости. Актуальность исследования этого вопроса объясняется, с одной стороны, тем, что статистика многолучевости сама по себе является важной физической характеристикой

12

позволила ввести безразмерный параметр е, характеризующий соотношение двух конкурирующих механизмов: фокусировки и дифракции. Чем меньше е, тем более справедливо геометрооптическое приближение. С ростом е сглаживаются каустические особенности волнового поля подобно тому, как сглаживаются флуктуации плотности газа с ростом температуры. По этой причине метод, примененный к анализу распространения волн, назван методом "теплых лучей". Суть его состоит, с одной стороны, в учете дифракционного сглаживания каустических особенностей волнового поля, а с другой -в предположении о возможности статистического расщепления геометрооп-тических и дифракционных средних. Возможность такого расщепления обоснована тем, что дифракция имеет не столько статистический, сколько динамический характер, поскольку связана не с характером случайных неод-нородностей среды, а с принципиальным эффектом дифракционного расплы-вания на характерных неоднородностях.

В этой же главе (п. 3.6) исследовано распространение волн в статистически анизотропных средах, для которых неприменимы классические уравнения для моментных функций волн, выведенные в малоугловом приближении квазиоптики и марковском приближении. В диссертации с помощью локального метода Чернова выведены замкнутые интегро-дифференциальные уравнения для среднего поля (п. 3.6.1) и для функции когерентности (п. 3.6.2) волны в среде с вытянутыми вдоль направления распространения волны веретенообразными неоднородностями. Данная модель соответствует, например, структуре облаков с высокой степенью ледности, а также ионосферным неоднородностям в магнитном поле Земли, и результаты данной работы могут быть использованы при их дистанционном зондировании. Анализ полученных уравнений показывает, что они в случае изотропных или сплющенных вдоль оси распространения неоднородностей переходят в известные уравнения для первого и второго статистических моментов поля. В то же время для волн, распространяющихся в среде с вытянутыми неоднородностями, учтены дифракция на сильно вытянутых неоднородностях и изменение силы рассеяния при малых изменениях углов распространения волны. Выведенные уравнения впервые позволили объяснить результаты описанных в литературе экспериментов по измерению функции когерентности звуковой волны в океане, проводившиеся в конце 70-х годов XX века.

В частности, получено, что при сильной анизотропии уравнение для среднего поля по виду похоже на "классическое" уравнение в марковском приближении, однако с другим коэффициентом экстинкции — он уменьшается за счет дифракции на сильно вытянутых неоднородностях среды. Интересная особенность проявляется и в угловой зависимости диаграммы рассеяния: в направлении вытянутости неоднородностей появляется локальный минимум. Это означает, что лучи отклоняются в основном в ту сторону, где меньше характерный масштаб корреляции неоднородностей. Эффект выражен тем сильнее, чем больше параметр анизотропии. Это позволило подтвердить полученный во второй главе принципиально новый результат, состоящий в появлении ракурсной чувствительности рассеянного поля.

В четвертой главе рассматривается задача о вероятностных характеристиках скорости и координат частицы примеси в потоке газа, достигающей заранее заданной области пространства (детектора) в течение определенного интервала времени. Проведенное в этой главе исследование физических закономерностей поведения частиц в различных средах (например, оседание дымового аэрозоля в атмосфере) представляется актуальным из-за усиливающегося антропогенного воздействия на атмосферу и водную среду.

Поскольку частица участвует в броуновском движении, время достижения детектора случайно. Поставленная задача, с точки зрения гидродинамики, соответствует эйлерову подходу к описанию движения частиц примеси. В п. 4.1 отмечено, что лагранжево статистическое описание, в рамках которого определяются вероятностные свойства фиксированной частицы в текущий момент времени, оказывается проще, поскольку сводится к анализу статистических свойств хорошо изученных решений стохастических уравнений Ланжевена. Поэтому целью четвертой главы является построение эйлеровых вероятностных распределений с помощью известных лагранжевых. При решении задачи учтено, что взаимодействие частицы с потоком происходит за счет двух факторов. Первый из них - это межмолекулярные взаимодействия (за счет ударов частиц окружающей среды), которые учитываются случайной силой. В рассматриваемой задаче эта сила предполагается гауссовым случайным процессом с заданным корреляционным тензором (п. 4.2). Второй фактор, определяющий движение частицы - это регулярные силы, природа которых зависит от постановки конкретных задач. В частности, для приложений актуален случай, когда регулярная составляющая силы является результи-

16

волн в случайно-неоднородной среде. С другой стороны, при многолучевом распространении существенно изменяются связи лагранжевых и эйлеровых статистических свойств случайных полей.

Еще одна важная характеристика волн в случайно-неоднородной среде -траектория лучей. Вероятностные свойства траектории лучей в среде исследованы в п. 2.3.3. Для этого в п. 2.3.3.2 выведено уравнение Фоккера-Планка для совместной плотности вероятностей координат и угла распространения луча. При этом неоднородности среды предполагаются вытянутыми вдоль оси распространения волны. Такая ситуация характерна, например, для волн, распространяющихся в подводных звуковых каналах, поскольку известно, что океан статистически анизотропен: спектр внутренних волн (одного из основных источников флуктуаций скорости звука в океанической среде) таков, что вертикальный и горизонтальный интервалы пространственной корреляции флуктуаций скорости звука существенно различны - фактически горизонтальный всегда много больше вертикального. Далее, в п. 2.3.3.3 отмечено, что наибольший интерес представляет угловая зависимость плотности вероятностей. Численное интегрирование уравнения для этой функции показывает, что уже на малых расстояниях плотность вероятностей имеет локальный минимум в том направлении, в котором вытянуты неоднородности, т.е. лучи отклоняются в основном в ту сторону, где меньше характерный масштаб не-однородностей. Этот эффект выражен тем сильнее, чем больше отношение продольного масштаба неоднородностей к поперечному. В то же время из полученного уравнения следует, что в случае, когда неоднородности вытянуты поперек первоначального направления распространения, плотность вероятностей, наоборот, максимальна в этом направлении, и в пределе дельта-коррелированных вдоль продольной оси неоднородностей найденное решение переходит в хорошо известное малоугловое приближение. Для наглядной интерпретации поведения лучей в такой среде использована аналогия между оптическими лучами и частицами среды. Подобно тому, как броуновские частицы в среде со случайным распределением поля температур выталкиваются из более нагретых областей в менее нагретые, в результате чего концентрация примеси в среднем минимальна в областях с наибольшим коэффициентом диффузии, так и в рассматриваемой задаче о распространении волны в статистически анизотропной среде, где коэффициент диффузии лучей имеет

максимум в направлении падения волны, лучи отклоняются от этого направления, и формируется двугорбое распределение лучевой интенсивности.

В третьей главе анализируются вероятностные и корреляционные свойства интенсивности в окрестностях каустик. Для этого прежде всего в п. 3.2 установлены мажорантные свойства последовательности, составленной из произведений значений кривизны волнового фронта в точках каустик, и выяснена связь этой последовательности с интенсивностью волны. Поведение реализаций интенсивности (п. 3.2) и асимптотическая зависимость плотности вероятностей от величины интенсивности и от расстояния вдоль луча (п. 3.4) исследованы с помощью свойств упомянутой последовательности. Моменты обратной интенсивности найдены в п. 3.3 с учетом формул связи интенсивности и якобиана преобразования эйлеровых координат луча в лагранжевы из асимптотического закона нарастания моментов модуля якобиана. Полученные при этом результаты показывают, что на больших расстояниях вдоль луча образуются локализованные области каустик, в которых флуктуации интенсивности резко возрастают. При этом квазипериодичность образования каустик, установленная в первой главе, состоит в том, что они с единичной вероятностью повторяются в каждом луче. В то же время в каждой последующей каустике бесконечный выброс интенсивности сосредоточен во все более узкой области продольной оси. Истончение каустик и возникающее вследствие этого уменьшение плотности потока энергии волны вдоль фиксированной лучевой трубки компенсируется экспоненциально нарастающей м ноголучевостью.

Неограниченный рост интенсивности в окрестностях каустик приводит к тому, что дисперсия и все высшие моменты интенсивности оказываются в приближении геометрической оптики бесконечными. В реальной среде ограничение каустических выбросов происходит за счет дифракции, поэтому в п. 3.5 на примере распространения волны за случайным фазовым экраном исследованы корреляционные свойства флуктуаций интенсивности с учетом дифракционного сглаживания. Для этого в п. 3.5.1 рассмотрена эволюция плотности нагретого газа невзаимодействующих частиц, где ограничение флуктуаций плотности в областях фокусировок происходит за счет теплового разброса скоростей. Затем в п. 3.5.2 с учетом аналогии между поведением гидродинамического потока частиц и волн за случайным фазовым экраном исследована дифракция оптической волны за экраном. Указанная аналогия

14

верхности турбулентной жидкости в канале, настолько узком, что можно пренебречь движением и диффузией поперек него.

Показано, что в системе координат, начало которой помещено в центр масс сгустка, статистические свойства плотности частиц определяются статистикой случайного расстояния от частицы до центра масс. В общем случае (при одновременном действии турбулентной и молекулярной диффузии) вначале примесь, в основном, участвует только в броуновском движении, которое приводит к расплыванию сгустка, а затем становится существенным влияние турбулентности. При этом принципиально важными для анализа поведения сгустка частиц примеси в хаотически движущемся окружающем потоке оказываются статистические свойства поля дивергенции скорости. Проведенное в п. 5.2.3 численное моделирование соответствующих стохастических уравнений, а также данное в п. 5.2.4 вероятностное описание свойств случайного расстояния от частицы до центра масс сгустка позволили обнаружить эффект стохастической локализации, при котором хаотическое движение среды не ускоряет разбегание частиц (в неподвижной среде частица хаотически отклоняется от неподвижного центра масс по классическому закону броуновского движения), а прижимает их друг к другу. В п. 5.2.5 обсуждается физический механизм эффекта стохастической локализации сгустка.

Далее (п. 5.3) комбинированными численно-аналитическими методами изучено влияние инерционности частиц на возникновение многопотоковости движения в турбулентной вязкой среде. При этом отмечено, что возникновение многопотоковости движения частиц аналогично рассмотренному во второй главе явлению многолучевости. С учетом этой аналогии анализ зависимости времени возникновения многопотоковости от коэффициента турбулентной диффузии и от инерционности частицы проведен на основе исследования свойств якобиана преобразования эйлеровых координат частиц в ла-гранжевы. При этом получено, что частица с большой массой, попадая в случайное поле скоростей, "не замечает" движения окружающей среды и практически не изменяет характер своего движения. Наоборот, более легкая частица быстрее подвергается действию окружающей примеси и оказывается "вмороженной" в среду, т.е. движется вместе с ней. В результате для частиц с большей массой многопотоковость возникает позднее. В то же время, независимо от степени инерционности частиц среднее число потоков на малых временах нарастает экспоненциально, что полностью аналогично получен-

ному в п. 2.3.1 закону нарастания среднего числа лучей в случайно-неоднородной среде.

Кроме того, знание статистики якобиана позволило исследовать эйлерову статистику обратной к ней величины — плотности сплошной среды или концентрации пассивной примеси.

Изучены закономерности турбулентной диффузии частиц, движущихся в турбулентной среде под действием сил гравитации и Стокса (п. 5.4). Типичным примером служит аэрозоль или капли дождя в турбулентной атмосфере. Для решения поставленной задачи в п. 5.4.2 в пренебрежении молекулярной диффузией выведено уравнение для совместной плотности вероятностей координат и скорости частиц и обсуждены вопросы о способах визуализации и о геометрическом смысле его решений. Далее для случая, когда корреляционная функция вихревого поля скоростей адекватна свойствам сильной турбулентности, анализируются следствия полученного уравнения применительно к статистике координат и скорости. В приближении равномерного падения (п. 5.4.3) исследовано влияние инерционности частиц на поперечную и продольную дисперсию их скорости, а также на коэффициенты диффузии в горизонтальной и вертикальной плоскостях. При слабой инерционности дисперсия продольной скорости частицы стремится к дисперсии компонент поля скорости среды. С ростом инерционности движения частицы дисперсия ее продольной скорости стремится к нулю вследствие усредняющего действия инерционности. Особенности поперечных корреляций вихревого поля скорости среды обусловливают сравнительное уменьшение поперечной дисперсии скорости, наиболее выраженное при сильно инерционном движении. Кроме того, подробно исследована зависимость дисперсии скорости частиц и коэффициентов продольной и поперечной диффузии от средней скорости падения частиц. При этом обнаружен физический эффект, состоящий в том, что, несмотря на уменьшение дисперсии скорости с ростом инерционности частиц, коэффициенты диффузии в горизонтальной и вертикальной плоскостях не зависят от степени инерционности движения. Последнее кажется парадоксальным, т.к. с ростом инерционности дисперсия скорости частиц уменьшается, что, казалось бы, должно вести к ослаблению диффузии. В п. 5.4.3.1 дано разрешение этого парадокса. В то же время установлена зависимость коэффициентов диффузии от скорости свободного падения: с увеличением скорости падения диффузия в вертикальной плоскости стано-

рующей гравитационной силы при движении в поле тяжести, кулоновской силы, действующей на заряженную частицу со стороны электрического поля Земли, а также силы вязкого трения.

Прежде всего в п. 4.2 проведено численное моделирование стохастических уравнений Ланжевена, которое дает наглядное представление о характере движения частицы, когда регулярной силой является только сила вязкого трения. При этом выяснено, что искомая плотность вероятностей скорости частицы при достижении детектора существенно зависит от соотношения между диффузией и регулярным сносом.

В рассматриваемой постановке задачи наиболее интересным представляется случай, когда детектор регистрирует скорость частиц, попадающих в него первый раз. Формально это можно учесть переменным коэффициентом диффузии (равным нулю после пересечения частицей границы детектора). В п. 4.3 поставленная задача сводится к краевой для уравнения Фоккера-Планка, не допускающей в общем случае аналитического решения. Исследована связь решения этой задачи с вероятностными характеристиками традиционной начальной задачи о броуновском движении частицы. Физический смысл отказа от граничного условия состоит в замене "поглощающего" детектора "прозрачным", на который частица может многократно попадать как извне, так и изнутри.

Для простоты вначале (п. 4.3.1) рассмотрен одномерный вариант задачи, затем проведено обобщение на более реальный трехмерный случай (п. 4.3.2). Полученные формулы связи эйлеровых и лагранжевых плотностей вероятностей являются строгими, если за время ожидания частицы детектором она успевает лишь один раз пересечь его поверхность. Однако приближенно ими можно пользоваться и тогда, когда вероятности многократных пересечений много меньше, чем вероятность первого пересечения. Из качественного анализа характера движения частицы, проведенного в п. 4.2, ясно, что при определенных соотношениях между диффузией и сносом указанный случай действительно может иметь место. Поэтому в п. 4.4 выполнен расчет вероятностей одно- и двукратного попадания частицы на детектор. При этом исследованы случаи, соответствующие различной размерности пространства, в котором движется частица. Их анализ показывает, что вероятность возвращения на детектор уменьшается с увеличением числа степеней свободы частицы (вероятность двукратного попадания при движении на плоскости примерно в

17

10 раз меньше соответствующей вероятности в одномерном случае). Кроме того, рассмотрены различные варианты формы самого детектора (например, в п. 4.3.2.1 рассмотрен безграничный плоский детектор, а в п. 4.5.3.3 — замкнутый детектор). В последнем случае (для замкнутого детектора) задача решена для источника частиц, находящегося как вне, так и внутри детектора. В результате анализа влияния различных факторов (соотношение между сносом и диффузией, форма и размеры детектора, время ожидания частиц детектором) сформулированы условия, при которых справедливы найденные связи известных лагранжевых и искомых эйлеровых плотностей вероятностей.

В п. 4.5 приведены многочисленные примеры вычисления эйлеровых распределений. В частности, в п. 4.5.1 рассмотрен конкретный численный пример поведения примеси в приземном слое атмосферы, для чего проанализировано падение частички сажи с заданной высоты на детектор, расположенный у поверхности Земли. Для каждого из исследованных случаев дана наглядная интерпретация зависимости плотности вероятностей скорости частицы от соотношения между параметрами поставленной задачи.

В пятой главе изучено движение частиц пассивной примеси в случайных гидродинамических потоках. Для геофизических проблем, где, вообще говоря, отсутствует статистический ансамбль, особенно актуальным является вопрос о связи динамики усредненных характеристик движения с его поведением в отдельных реализациях. Кроме того, лишь анализ вероятностных свойств поля плотности примеси позволяет выявить тонкую структуру реализаций поля плотности. При этом обнаруживается эффект, родственный образованию каустических структур в оптике — кластеризация плавучей примеси, когда образуются компактные области повышенной плотности, окруженные областями низкой плотности.

Применительно к поведению плавучей примеси на поверхности жидкости кластеризация в поле случайных сил рассмотрена в п. 5.2 с учетом эффектов относительной молекулярной диффузии. С этими эффектами тесно связаны флуктуации плотности сгустка частиц, первоначально находившихся в одном физически бесконечно малом объеме. Целью является установление связи между вероятностным описанием и реализациями вспомогательного случайного процесса, учитывающего расстояние между частицами. Для упрощения выкладок задача решена в одномерном случае. Наглядной моделью, соответствующей этой ситуации, является сгусток плавучих частиц на по-

18

вится сильнее, чем в горизонтальной. В п. 5.4.3.2 показано, что предельное отношение коэффициентов поперечной и продольной диффузии, равное 1/2, есть универсальная константа, не зависящая от спектрально-корреляционных свойств поля скорости среды. В п. 5.4.4 найдены условия применимости диффузионного уравнения.

В заключении сформулированы основные полученные результаты. В Приложении 1 на основе сравнения результатов моделирования поля якобиана У(/) методом фазовых экранов с известными точными решениями для средней плотности каустик в поперечном сечении за случайным фазовым экраном и для среднего числа лучей за экраном устанавливается адекватность численной модели экрана. Путем сравнения полученной аналитически и численно зависимости среднего квадрата якобиана от расстояния вдоль луча проверена точность метода фазовых экранов применительно к задачам, рассматриваемым во второй главе.

В Приложении 2 на примере динамического синусоидального фазового экрана проверена справедливость предложенного в третьей главе подхода к анализу дифракционного сглаживания каустических особенностей волнового поля (метод "теплых лучей"), основанного на аналогии между эволюцией плотности нагретого газа невзаимодействующих частиц и дифракцией монохроматических оптических волн, прошедших случайный фазовый экран.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. В рамках предлагаемого нового метода исследования свойств волн в случайно-неоднородных средах, основанного на анализе статистики якобиана преобразования эйлеровых координат луча в лагранжевы, изучены динамические и статистические свойства полей якобиана У(Г) и поля (Д/) = «¿//с/л Первое из этих полей, называемое расходимостью, в задачах распространения волн равно отношению сечения лучевой трубки в среде к начальному сечению, а при анализе диффузии частиц в турбулентных средах - это количественная мера степени сжатия физически бесконечно малого объема жидкой частицы. Второе поле — это кривизна волнового фронта. При этом получено:

а) аналогично известным свойствам реализации процесса J 2(/), для последовательности У\ип\ (где 11л равно произведению значений поля 1/(1)

в точках каустик) существует экспоненциально спадающая мажорантная кривая - такая целочисленная функция М(п, р), что с любой заданной вероятностью р< 1 100 р% реализаций последовательности l/|t/„| лежат ниже М{п, р);

б) на большом расстоянии моменты модуля якобиана растут экспоненциально, и найден инкремент нарастания как для лучей в случайной среде, так и для инертных частиц в хаотически движущемся потоке.

2. На основе изученных свойств якобиана преобразования эйлеровых координат луча в лагранжевы проведен анализ статистики геометрических характеристик волн:

а) найдена средняя плотность каустик в поперечном сечении случайно-неоднородной среды. В отличие от фазового экрана, за которым среднее число каустик и в единице поперечного сечения достигает постоянного насыщенного значения, в среде п растет с расстоянием как t06;

б) найден закон нарастания эйлерова среднего числа лучей в случайной среде, который показывает, что средняя многолучевость с ростом расстояния t растет экспоненциально. На малых расстояниях инкремент нарастания у = 0.11, а на больших у = 0.68. Аналогично этому по экспоненциальному закону нарастает и средняя многопотоковость в турбулентной вязкой среде. При этом инкремент нарастания оказывается больше для менее инерционных частиц;

в) с помощью найденной зависимости среднего квадрата числа лучей от расстояния за случайным фазовым экраном получены вероятности трехи пятилучевого распространения. Проведенные расчеты, с одной стороны, позволяют оценить начало области, в которой однолучевое приближение становится неприменимым, а, с другой стороны, показывают, что многолучевость за экраном появляется намного дальше, чем начинается область сильных флуктуаций интенсивности волны.

3. Изучено влияние вытянутых вдоль оси распространения неоднородно-стей на траекторию лучей в среде. Выявлен физический эффект, состоящий в появлении ракурсной чувствительности рассеянного поля: плотность вероятностей углов распространения имеет локальный минимум в направлении наибольшего масштаба корреляции неоднородностей. К аналогичному выводу приводит анализ полученных в работе уравнений

для среднего поля и функции когерентности волны в статистически анизотропной случайной среде: угловая зависимость рассеянного поля существенно зависит от параметра анизотропии. В случае слабой анизотропии необходим учет дифракции на сильно вытянутых неоднородно-стях и изменения силы рассеяния при малых изменениях углов распространения волны.

4. Как следствие мажорантных свойств последовательности \/\и„\ получено, что с ростом номера каустики п бесконечные выбросы интенсивности концентрируются во все более узких интервалах продольной оси -происходит истончение каустик и уменьшение интенсивности волны в фиксированной лучевой трубке.

5. Найденная асимптотическая зависимость плотности вероятностей интенсивности от расстояния вдоль луча показывает, что с ростом расстояния плотность вероятностей убывает экспоненциально, что также

\ можно интерпретировать как истончение каустик, а медленная (как Г2) зависимость от интенсивности приводит к тому, что вдоль фиксированной лучевой трубки уже средняя интенсивность оказывается бесконечной.

6. На примере вычисления корреляционной функции флуктуаций интенсивности за случайным фазовым экраном рассмотрен дифракционный механизм сглаживания каустических особенностей волнового поля. Предложенный в диссертации метод "теплых лучей" (использование аналогии между дифракцией монохроматической оптической волны за случайным экраном и поведением теплого газа невзаимодействующих частиц, а также гипотезы о возможности статистического расщепления геометрооптических и дифракционных средних) позволяет намного упростить вычисления при нахождении корреляционной функции. Полученное решение вне каустик близко к геометрооптическому, а в области фокусировок правильно учитывает дифракционное сглаживание каустических особенностей.

7. Поставлена и решена задача о вероятностных характеристиках скорости и координат броуновской частицы, достигающей заранее заданной области пространства (детектора) в течение определенного интервала времени. Для этого предложен подход, позволяющий связать искомое веро-

ятностное распределение с вероятностными характеристиками традиционной начальной задачи о броуновском движении частицы. Проведенный анализ влияния различных факторов (соотношение между сносом и диффузией, размеры детектора) позволил указать условия, при которых справедливы найденные связи плотностей вероятностей.

8. При исследовании эффектов относительной молекулярной диффузии установлено, что средний квадрат эффективной ширины сгустка примеси пропорционален квадрату степени сжатия среды ./(*) и поэтому повторяет свойства этого процесса. Как следствие мажорантных свойств процесса ./(г) обнаруживается эффект стохастической локализации сгустка, при котором хаотическое движение среды в среднем не ускоряет разбегание частиц, а прижимает их друг к другу. Эффект локализации порожден тем, что сгусток чаще сжимается случайно движущейся средой, чем растягивается за счет броуновского расталкивания. В то же время моменты степени сжатия среды экспоненциально растут с течением времени, что является следствием громадных выбросов в некоторых реализациях.

9. На основе исследования статистики якобиана преобразования эйлеровых координат частиц пассивной примеси в лагранжевы изучен характер движения частиц примеси в вязкой турбулентной среде с учетом их инерционности. При этом установлено:

а) многопотоковость движения возникает тем раньше и выражена тем заметнее, чем меньше инертная масса частицы. К аналогичному результату приводит и увеличение коэффициента турбулентной диффузии;

б) среднее значение обратного квадрата плотности сплошной среды или концентрации пассивной примеси экспоненциально нарастает со временем, при этом инкремент оказывается больше для менее инертных частиц.

10. Изучены закономерности турбулентной диффузии частиц, движущихся в турбулентной среде под действием сил гравитации и Стокса. Обнаружен физический эффект, состоящий в том, что, несмотря на усредняющее действие инерционности и, как следствие этого, уменьшение дисперсии скорости, коэффициенты диффузии в горизонтальной и вертикальной плоскостях не зависят от степени инерционности движения, а лишь от скорости свободного падения. С увеличением скорости падения отношение коэффициентов поперечной и продольной диффузии плавно уменьшается до 1/2.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1*. Е.А. Бенедиктов, Г.Г. Гетманцев, Л.В. Гришкевич, Л.М. Ерухимов, Н.А. Митяков. Некоторые результаты ионосферных исследований в НИРФИ с 1957 по 1967 г. //Изв. вузов. Радиофизика. 1968. Т. 11. № 2. С. 169-190.

2*. Н.А. Лотова. Современные представления о спектре неоднородностей межпланетной плазмы //УФН. 1975. Т. 115. № 4. С. 603-620.

з*. S.M. Flatte. Wave propagation through random media: Contribution from ocean acoustic //Proc. IEEE. 1983. V. 71. P. 1267-1294.

4*. A.C. Гурвич, А.И Кон, В.Л. Миронов, С.С. Хмелевцов. Лазерное излучение в турбулентной атмосфере. М.: Наука, 1976. 280 с.

5*. A.I. Saichev, W.A. Woyczynski. Distribution of passive tracers in randomly moving media /Stochastic Models in Geosystems. The IMA volumes in mathematics and its applications. V.85. Springer-Verlag, NY. 1996. P. 359-399.

б*. В.И. Кляцкин, А.И. Саичев. К статистической теории плавучей примеси в случайном поле скоростей //ЖЭТФ. 1997. Т. 111. № 4. С. 1297-1313.

7*. A.I. Saichev, I.S. Zhukova. The arising and evolution of the passive tracer clusters in compressible random media /Lecture Notes in Physics. V. 511. Springer-Verlag, NY. 1998. P. 353-371.

8*. В.И. Кляцкин. Динамика стохастических систем. М.: Физматлит, 2002. 239 с.

9*. В.И. Кляцкин. Кластеризация и диффузия частиц и плотности пассивной примеси в случайных гидродинамических потоках. //УФН. 2003. Т. 173. № 7. С. 689-710.

10*. С.М. Рытов, Ю.А. Кравцов, В.И. Татарский. Введенйе в статистическую радиофизику. М.: Наука, 1978. Ч. 2. 463 с.

п*. В.И. Татарский. Распространение волн в турбулентной атмосфере. М.: Наука, 1967. 548 с.

12*. G.I. Taylor. Diffusion by continuous movements //Proc. London Math. Soc. Ser. 2. 1921. V. 20. P. 196.

13*. A.H. Малахов, А.И. Саичев. О некоторых статистических свойствах случайных волн, рассматриваемых в приближении геометрической оптики //Изв. вузов. Радиофизика. 1974. Т. 17. № 12. С. 1817-11826.

14*. J.A. Ratcliffe. Some aspects of diffraction theory and their application to the ionosphere//Rep. Progr. Phys. 1956. V. 19. P. 188-267.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. Газ невзаимодействующих частиц и флуктуации интенсивности волны за фазовым экраном в рамках модели теплых лучей /XI Всесоюзный симпозиум по распространению лазерного излучения в атмосфере и водных средах. Томск, 1991 г. Тезисы докладов. С.8.

2. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. Газ невзаимодействующих частиц и флуктуации интенсивности волны за фазовым экраном в рамках модели теплых лучей//Оптика атмосферы. 1991. Т.4. № 10. С. 1044-1047.

3. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. Поведение нагретого газа частиц и дифракция световой волны на фазовом экране в рамках модели теплых лучей //Изв. вузов. Радиофизика. 1992. Т.35.№ 11-12. С.914-927.

4. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. Корреляционная функция флуктуаций интенсивности в фрактальной случайно-неоднородной среде //Изв. вузов. Радиофизика. 1993. Т.36. № 6. С.493-497.

5. Е.З. Грибова. Вероятность многолучевого распространения оптических волн за случайным фазовым экраном //Оптика атмосферы и океана. 1993. Т.6. № 1. С.57-61.

6. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. Нахождение некоторых статистических характеристик оптической волны в случайно-неоднородной среде /XVII Конференции по распространению радиоволн. Ульяновск, 1993 г. Тезисы докладов. Секции 3,4,5. С.44.

7. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. Среднее число каустик оптической волны за случайным фазовым экраном /XVII Конференции по распространению радиоволн. Ульяновск, 1993 г. Тезисы докладов. Секции 3,4,5. С.45.

8. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. Среднее число и вероятностное распределение каустик оптической волны за случайным фазовым экраном /ХП Межреспубликанский симп. по распространению лазерного излучения в атмосфере и водных средах. Томск, 1993 г. Тезисы докладов. С. 12.

9. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. Среднее число каустик оптической волны в случайной среде /XII Межреспубликанский симп. по распространению лазерного излучения в атмосфере и водных средах. Томск, 1993 г. Тезисы докладов. С. 13.

10. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. О диффузии лучей в среде с вытянутыми случайными неоднородностями //Акустический журнал. 1993. Т.39. № 6. С.1050-1058.

11. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. Расчет характеристик многолучевого распространения волн в случайной среде методом фазовых экранов //РЭ. 1994. Т.39. № 2. С. 193-199.

12. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. О статистике расходимости лучевой трубки и многолучевости распространения волн в случайно-неоднородной среде //Изв. вузов. Радиофизика. 1994. Т.37. № 3. С.323-329.

13. Е.З. Грибова, А.И. Саичев Среднее число и вероятностное распределение каустик в случайно-неоднородной среде и за случайным фазовым экраном//Изв. вузов. Радиофизика. 1994. Т.37. №4. С.471-478.

14. Е.З. Грибова. Вероятностные свойства интенсивности оптических волн в случайно-неоднородной среде /Тез. докл. Научн.-техн. конференции проф.-преп. состава, аспирантов и студентов НГАСА. Н.Новгород. 1994. Ч.1.С.47.

15. E.Z. Gribova, A.I. Saichev. On diffusion of rays in underwater sound channel ill International Scientific School-Seminar "Dynamic and Stochastic Wave Phenomena". N.Novgorod, 1994. Abstracts. P.68-69.

16. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. Хаотическая фокусировка лучевых трубок в случайно-неоднородной среде //Акустический журнал. 1995. Т.41. № 1. С.77-82.

17. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. Вычисление моментов расходимости лучевой трубки в случайно-неоднородной среде //РЭ. 1995. Т.40. № 9. С. 1329-1336.

18. E.Z. Gribova, A.I. Saichev. On application of "warm rays" method for diffraction of waves description in randomly inhomogeneous atmosphere /Trans Black Sea region simp, on applied electromagnetism. Metsovo, Hellas, 1996. Athens: NTUA Press, 1996. ANPR 10.

19. E.Z. Gribova, A.I. Saichev. On multipath wave propagation in random media /Trans Black Sea region simp, on applied electromagnetism. Metsovo, Hellas, 1996. Athens: NTUA Press, 1996. ANPR 11.

20. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. О детектировании броуновских частиц //Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 1997. Т.ЗЗ. № 5. С.654-661.

21. E.Z. Gribova, A.I. Saichev. Application of "warm rays" method in description of wave diffraction in randomly inhomogeneous atmosphere /J. of Applied Electromagnetism. 1997. V. 1. № 2. P.39-48.

22. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. О возможности построения некоторых вероятностных характеристик движения регистрируемой детектором бро-

уновской частицы /Труды научной конференции по радиофизике, посвященной 80-летию Нижегородского гос. Ун-та им. Н.И. Лобачевского 7 мая 1998 г. Ред. Якимов A.B. Нижний Новгород: ТАЛАМ, 1998. С.68.

23. Е.З. Грибова, A.A. Никитина. О движении частиц пассивной примеси в потоке газа /Труды научной конференции по радиофизике, посвященной 80-летию Нижегородского гос. Ун-та им. Н.И. Лобачевского 7 мая 1998 г. Ред. Якимов A.B. Нижний Новгород: ТАЛАМ, 1998. С.70.

24. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. Построение вероятностного распределения скоростей регистрируемой детектором броуновской частицы //Изв. вузов. Радиофизика. 1998. Т.41.№ 10. С.1301-1313.

25. Е.З. Грибова, И.С. Жукова, А.И. Саичев, W.A. Woyczyñski. Относительная молекулярная диффузия //Изв. вузов. Радиофизика. 2000. Т.43. № 5. С.456-467.

26. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. О связи эйлеровой и лагранжевой статистик броуновской частицы //ЖТФ. 2000. Т. 70. № 9. С. 1-6.

27. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. Угловое распределение лучевой интенсивности в статистически анизотропных случайных средах /Труды (четвертой) научной конференции по радиофизике 5 мая 2000 г. Ред. Якимов A.B. Нижний Новгород: ТАЛАМ, 2000. С.201-202.

28. Е.З. Грибова, И.С. Жукова, А.И. Саичев. Эффект локализации примеси в турбулентном потоке /Труды (четвертой) научной конференции по радиофизике 5 мая 2000 г. Ред. Якимов A.B. Нижний Новгород: ТАЛАМ,

2000. С.215-216.

29. A.I. Saichev, V.G. Gavrilenko, E.Z. Gribova, A.V. Aistov. Some features of light propagation in statistically anisotropic random media //Selected Research Papers on Wave Propagation in the Atmosphere and Adaptive Optics, Vladimir P. Lukin, Editor, Proceedings of SPIE. 2000. V.4338. P.17-26.

30. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. Уравнение для среднего поля волны в статистически анизотропной случайной среде /Оптика атмосферы и океана. Физика атмосферы. VIII Объединенный Междунар. Симпозиум. Иркутск, 2001. С.122-123.

31. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. Уравнение для среднего поля волны в статистически анизотропной случайной среде //Оптика атмосферы и океана.

2001.Т.14.№10. С. 890-893.

32. А.И. Саичев, С.А. Лапинова, Е.З. Грибова, И.С. Жукова. Исследование диффузионного уравнения примеси в турбулентной среде в приближении

свободного падения /Труды (шестой) научной конференции по радиофизике, посвященной 100-летию со дня рождения М.Т.Греховой. 7 мая 2002 г. Ред. Якимов А .В. Нижний Новгород: ТАЛАМ, 2002. С.310-311.

33. Е.З. Грибова. Диффузия инертных частиц в турбулентной вязкой среде //Изв. вузов. Радиофизика. 2003. Т.46. № 2. С. 162-166.

34. Е.З. Грибова, И.С. Жукова, А.И. Саичев, Т. Эльперин. Особенности диффузии падающей частицы //ЖЭТФ. 2003. Т.123. № 3. С.543-551.

35. Е.З. Грибова. Некоторые особенности построения вероятностного распределения скоростей броуновской частицы, регистрируемой замкнутым детектором /Труды (восьмой) научной конференции по радиофизике. Ред. Якимов А.В. Нижний Новгород: ТАЛАМ, 2004. С.128-129.

36. Е.З. Грибова. Вероятностное распределение скоростей броуновской частицы, регистрируемой замкнутым детектором //Изв. вузов. Радиофизика. 2005. Т.48. № 1. С.86-93.

ОГЛАВЛЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение.

Глава 1. ЛУЧЕВОЕ ОПИСАНИЕ СВОЙСТВ ОПТИЧЕСКИХ ВОЛН В СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ: СТАТИСТИКА ЯКОБИАНА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭЙЛЕРОВЫХ КООРДИНАТ В ЛАГРАНЖЕВЫ.

1.1. Введение.

1.2. Лагранжевы и эйлеровы координаты луча. Стохастические уравнения для якобиана преобразования.

1.3. Численно-аналитическое исследование статистических свойств якобиана преобразования эйлеровых координат луча в лагранжевы и кривизны волнового фронта.

1.3.1. Численное исследование свойств плотности вероятностей якобиана.

1.3.2. Установление общих свойств полей якобиана и кривизны волнового фронта.

1.3.3. Вывод и численное моделирование стохастических уравнений.

1.3.4. Аналитическое исследование.

1.3.5. Статистические моменты модуля якобиана.

1.4. Результаты первой главы.

Глава 2. СТАТИСТИКА НАБЛЮДАЕМЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВОЛН ЗА СЛУЧАЙНЫМ ФАЗОВЫМ ЭКРАНОМ И В СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ.

2.1. Введение.

2.2. Статистика каустик.

2.2.1. Средняя плотность каустик за случайным фазовым экраном и в случайно-неоднородной среде.

2.2.2. Вероятностное распределение расстояний до каустик.

2.3. Статистика лучей.

2.3.1. Среднее число лучей.

2.3.2. Вероятность многолучевого распространения за случайным фазовым экраном.

2.3.3. Влияние неоднородностей среды на траекторию лучей.

2.3.3.1. Постановка задачи.

2.3.3.2. Вывод уравнения диффузии лучей.

2.3.3.3. Плотность вероятностей угла распространения луча.

2.4. Результаты второй главы.

Глава 3. СВОЙСТВА ИНТЕНСИВНОСТИ ВОЛН В СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ.

3.1. Введение.

3.2. Динамика реализаций интенсивности.

3.3. Статистические моменты интенсивности.

3.4. Вероятностные свойства интенсивности.

3.5. Корреляционные свойства флуктуаций интенсивности.

3.5.1. Связь между эволюцией плотности гидродинамического потока частиц и дифракцией волн за случайным фазовым экраном.

3.5.2. Дифракционное сглаживание каустических особенностей в поле волны за случайным фазовым экраном.

3.6. Распространение волн в статистически анизотропной случайной среде.

3.6.1. Среднее поле волны.

3.6.2. Уравнение для функции когерентности.

3.7. Результаты третьей главы.

Глава 4. ДИФФУЗИЯ БРОУНОВСКИХ ЧАСТИЦ.

4.1. Введение.

4.2. Связь эйлеровой и лагранжевой статистик броуновской частицы.

4.3. Переход от граничной задачи к задаче Коши.

4.3.1. Одномерный случай.

4.3.2. Трехмерный случай.

4.3.2.1. Плоский детектор.

4.3.2.2. Детектор произвольной формы.

4.4. Анализ зависимости решения от параметров задачи.

4.5. Некоторые примеры вычисления эйлеровых распределений.

4.5.1. Одномерный случай.

4.5.2. Двумерный случай.

4.5.3. Трехмерный случай.

4.5.3.1. Безграничный плоский детектор.

4.5.3.2. Ограниченный детектор.

4.5.3.3. Замкнутый детектор.

4.6. Результаты четвертой главы.

Глава 5. ДИФФУЗИЯ ЧАСТИЦ В ТУРБУЛЕНТНЫХ СРЕДАХ.

5.1. Введение.

5.2. Относительная молекулярная диффузия.

5.2.1. Постановка задачи.

5.2.2. Анализ и решение стохастических уравнений.

5.2.3. Численное моделирование.

5.2.4. Вероятностное описание.

5.2.5. Статистика плотности пассивной примеси.

5.3. Диффузия инертных частиц в турбулентной вязкой среде.

5.4. Особенности диффузии падающей частицы.

5.4.1. Законы движения частиц.

5.4.2. Вывод уравнения диффузии.

5.4.3. Приближение равномерного падения.

5.4.3.1. Продольная диффузия.

5.4.3.2. Поперечная диффузия.

5.4.4. Условия применимости диффузионного уравнения.

5.5. Результаты пятой главы. Заключение.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Проверка адекватности численной модели фазового экрана. ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Проверка адекватности модели "теплых лучей". Литература.

Евгения Зиновьевна Грибова

ДИФФУЗИЯ ЛУЧЕЙ И ЧАСТИЦ В СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ В ЛАГРАНЖЕВОМ И ЭЙЛЕРОВОМ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 8.02.2006. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 2,0. Заказ № 217. Тираж 100 экз.

Отпечатано в типографии Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского с готового оригинал-макета 603600, г. Нижний Новгород, ул. Большая Покровская, 37 Лицензия ПД № 18-0099 от 14.05.01

Ввеление

Глава 1. ЛУЧЕВОЕ ОПИСАНИЕ СВОЙСТВ ОПТИЧЕСКИХ ВОЛН В СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ: СТАТИСТИКА ЯКОБИАНА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭЙЛЕРОВЫХ КООРДИНАТ В ЛАГРАНЖЕВЫ.

1.2. Лагранжевы и эйлеровы координаты луча. Стохастические уравнения

1.3. Численно-аналитическое исследование статистических свойств якобиана преобразования эйлеровых координат луча в лагранжевы и кривизны волнового фронта.

1.3.1. Численное исследование свойств плотности вероятностей якобиана.

1.3.2. Установление общих свойств полей якобиана и кривизны волнового фронта.

1.3.3. Вывод и численное моделирование стохастических уравнений.

1.3.4. Аналитическое исследование.

1.3.5. Статистические моменты модуля якобиана.

1.4. Результаты первой главы.

Глава 2. СТАТИСТИКА НАБЛЮДАЕМЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВОЛН ЗА СЛУЧАЙНЫМ ФАЗОВЫМ ЭКРАНОМ И В СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ.

для якобиана преобразования

24

2.1. Введение

51

2.2. Статистика каустик.

2.2.1. Средняя плотность каустик за случайным фазовым экраном и в случайно-неоднородной среде

53

2.2.2. Вероятностное распределение расстояний до каустик

65

2.3. Статистика лучей.

2.3.1. Среднее число лучей.70

2.3.2. Вероятность многолучевого распространения за случайным фазовым экраном.74

2.3.3. Влияние неоднородностей среды на траекторию лучей.79

2.3.3.1. Постановка задачи.80

2.3.3.2. Вывод уравнения диффузии лучей.81

2.3.3.3. Плотность вероятностей угла распространения луча.88

2.4. Результаты второй главы.93

Глава 3. СВОЙСТВА ИНТЕНСИВНОСТИ ВОЛН В СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ.

3.1. Введение.96

3.2. Динамика реализаций интенсивности.98

3.3. Статистические моменты интенсивности.99

3.4. Вероятностные свойства интенсивности.102

3.5. Корреляционные свойства флуктуаций интенсивности.104

3.5.1. Связь между эволюцией плотности гидродинамического потока частиц и дифракцией волн за случайным фазовым экраном.104

3.5.2. Дифракционное сглаживание каустических особенностей в поле волны за случайным фазовым экраном.112

3.6. Распространение волн в статистически анизотропной случайной среде.120

3.6.1. Среднее поле волны.123

3.6.2. Уравнение для функции когерентности.130

3.7. Результаты третьей главы.145

Глава 4. ДИФФУЗИЯ БРОУНОВСКИХ ЧАСТИЦ.

4.1. Введение.147

4.2. Связь эйлеровой и лагранжевой статистик броуновской частицы.148

4.3. Переход от граничной задачи к задаче Коши.150

4.3.1. Одномерный случай.153

4.3.2. Трехмерный случай.

4.3.2.1. Плоский детектор.156

4.3.2.2. Дегектор произвольной формы.160

4.4. Анализ зависимости решения от параметров задачи.164

4.5. Некоторые примеры вычисления эйлеровых распределений.

4.5.1. Одномерный случай.174

4.5.2. Двумерный случай.181

4.5.3. Трехмерный случай.

4.5.3.1. Безграничный плоский детектор.184

4.5.3.2. Ограниченный детектор.191

4.5.3.3. Замкнутый детектор.196

4.6. Результаты четвертой главы.204

Глава 5. ДИФФУЗИЯ ЧАСТИЦ В ТУРБУЛЕНТНЫХ СРЕДАХ.

5.1. Введение.208

5.2. Относительная молекулярная диффузия.209

5.2.1. Постановка задачи.209

5.2.2. Анализ и решение стохастических уравнений.211

5.2.3. Численное моделирование.214

5.2.4. Вероятностное описание.219

5.2.5. Статистика плотности пассивной примеси.226

5.3. Диффузия инертных частиц в турбулентной вязкой среде.229

5.4. Особенности диффузии падающей частицы.241

5.4.1. Законы движения частиц.241

5.4.2. Вывод уравнения диффузии.243

5.4.3. Приближение равномерного падения.248

5.4.3.1. Продольная диффузия.249

5.4.3.2. Поперечная диффузия.255

5.4.4. Условия применимости диффузионного уравнения.260

5.5. Результаты пятой главы.261

Заключение.264

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Проверка адекватности численной модели фазового экрана.268

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Проверка адекватности модели "теплых лучей".272

Литература.275

Введение

Анализ распространения волн в случайно-неоднородных средах является одной из наиболее актуальных проблем радиофизики, оптики, гидроакустики. С одной стороны, знание закономерностей распространения волн в случайной среде позволяет использовать их для изучения свойств различных сред. Этот принцип реализован в большинстве радиофизических методов исследования океана, земной коры, атмосферы, ионосферы, околосолнечной и межзвездной плазмы. В частности, применительно к ионосфере основным источником информации о неодпородностях ее структуры является изучение свойств электромагнитного поля, принятого на Земле [1-4]. С другой стороны, быстрое развитие современных систем дальней радио- и лазерной связи, зондирования и локации турбулентной атмосферы и океана привело к тому, что искажения волн при их распространении стали одной из причин, ограничивающих технические характеристики подобных систем.

Хотя первым, кто обратил внимание на то, что атмосфера, через которую проходит свет от звезд, находится в непрерывном случайном блуждании, был, видимо, Ньютон (см., например, [5], а также ссылки в обзоре [6]), современная теория распространения волн в случайных средах начала формироваться па рубеже 40-х - 50-х годов XX века [7,8]. Отметим, что примерно тогда же была опубликована работа [9], в которой впервые были учтены дифракционные эффекты при распространении воли в рамках теории возмущений. В дальнейшем практическая важность и общефизическая значимость теории волн в случайно-неоднородных средах стимулировали быстрое развитие теоретических и экспериментальных исследований в этой области. Следует подчеркнуть сходство физических явлений, имеющих место при распространении воли различной природы (электромагнитных, плазменных, акустических, гравитационных). Поэтому, несмотря на специфику волновых процессов в различных областях физики, методы решения задач о распространении волн в случайно-неоднородной среде во многих случаях оказываются аналогичными. Результаты исследований свойств воли различной природы в случайно-неоднородных средах довольно полно представлены в монографиях [10 - 23] и обзорах [6,24 - 31].

Обратим внимание на то, что поведение волн в случайно-неоднородных средах часто сходно с поведением частиц в хаотически движущихся потоках. Например, при регистрации углов прихода и интенсивности можно увидеть такие эффекты, как укручение профиля углов наклона вплоть до появления неоднозначностей, физически соответствующих многолучевым режимам распространения, и возникновение локальных областей повышенной интенсивности. Действительно, результаты численного моделирования флуктуации интенсивности оптической волны, прошедшей слой случайно-неоднородной среды [32], также как и непосредственная экспериментальная регистрация флуктуации интенсивности оптической волны в турбулентной атмосфере [19], показывают, что формирующиеся области повышенной интенсивности существенно анизотропны и образуют ячеисто-сетчатую структуру. Но такие же структуры возникают и при развитии 1равитациопной неустойчивости холодного газа [33]: области повышенной плотности здесь также резко анизотропны.

В широком круге задач, относящихся к распространению излучения в случайно-неоднородных средах, выделим достаточно важную для приложений область - исследование распространения волн в случайных средах с крупномасштабными по сравнению с длиной волны флуктуациями показателя преломления. Простейшую модель переноса излучения в среде с крупномасштабными неоднородностями можно представить на примере оптических волн - как прохождение светового потока через множество хаотически расположенных прозрачных липзоподобных образований разной оптической силы и размеров [12]. В итоге световой поток в плоскости приема имеет случайное распределение интенсивности. В этом случае, как известно, из-за многократного рассеяния вперед могут возникать сильные флуктуации интенсивности поля. Сильные флуктуации интенсивности наблюдаются, например, при распространении радиоволн через ионосферу, солнечную корону или межзвездную среду [4,34], при распространении света в турбулентной атмосфере [11,12,15-17,35], распространении звуковых волн в океане [6,23,36].

Заметим, что родственные образованию каустических структур явления обнаруживаются и при движении плавучей примеси в турбулентных потоках [37-39]. Аналогично сильным флуктуациям интенсивности в областях фокусировок, кластеризация примеси приводит к образованию компактных областей повышенной плотности. Сходный пример можно указать и в астрофизике [38,4043] - это возникновение крупномасштабной структуры распределения вещества во Вселенной, когда формируются области повышенной плотноети, образующие ячеисто-сетчатую структуру, причем с течением времени все вещество стекается в узлы ячеек.

Отметим и различие. Оно заключается в многообразии механизмов кластеризации поля плотности плавучей пассивной примеси или самих частиц. В задачах распространения волн аналогичный эффект формирования каустических структур и образования областей сильных флуктуаций интенсивности обусловлен единственным механизмом: случайными фокусировками волн в среде с крупномасштабными по сравнению с длиной волны неоднородностями, т.е. линзовым действием крупных неоднородностей. В то же время установлено (см., например, [39,44]), что главный механизм аналогичного явления кластеризации поля плотности плавучей пассивной примеси или самих частиц связан с наличием дивергентной компоненты поля скорости среды, возникающей при инерционном движении частиц [45,46]. Физика процесса состоит в следующем: инертность заставляет частицы в турбулентном вихре дрейфовать к границам областей между вихрями (области с уменьшающейся скоростью турбулентного потока жидкости и максимумом давления жидкости). Поэтому в областях с максимальным давлением происходит накопление частиц, а из областей пониженного давления они уходят. Этот механизм действует в широкой области масштабов. На больших масштабах турбулентная диффузия приводит к релаксации флуктуаций концентрации частиц. Однако на масштабах, где турбулентная диффузия порядка молекулярной, релаксация очень слаба. Таким образом, флуктуации концентрации локализованы на малых масштабах.

Однако, в связи с большим числом параметров, обусловливающих движение частиц примеси, здесь возможны и другие механизмы локализации. Так, в [47] исследовалось явление турбулентной термодиффузии: в турбулентном потоке с ненулевым средним градиента температуры происходит увеличение концентрации частиц в областях минимума средней температуры. Аналогичное явлеиие турбулентной бародиффузии [48] вызывает дополнительный поток частиц примеси в сторону максимума среднего давления в жидкости.

Исследования распространения воли в случайно-неоднородных средах ' при условии малости флуктуации амплитуды поля проводятся с использованием подходов, основанных на решении стохастического волнового уравнения тем или иным методом возмущений [19,20,35]. В случае сильных флуктуаций интенсивности расчеты по теории возмущеиий в той или иной ее форме становятся непригодными. Здесь используются методы, основанные па решении уравнений для статистических моментов поля [12,19,35]. Кроме того, развиваются методы анализа каустической структуры волнового поля в случайно-неоднородной среде на основе идеологии статистической топографии [49]. Заметим, что эта идеология полностью переносится и на описание поведения плавучей примеси в случайном поле скоростей [37].

Решающий вклад в теорию волн в случайно-неоднородной среде внесли Леонтович и Фок [50], которые ввели метод параболического уравнения для описания волн, сосредоточенных в области малых углов вокруг первоначального направления распространения. Во многих последующих работах это уравнение служит в качестве отправной точки [13,16,19]. В частности, из параболического уравнения следуют уравнения для статистических моментов поля. Наибольший практический интерес представляет четвертый момент, т.к. он позволяет исследовать флуктуации интенсивности (их относительную дисперсию, коэффициент пространственной корреляции) и характеристики случайных смещений пучков и изображений источников. Несмотря на то, что уравнение для статистических моментов произвольного порядка различными методами было получено еще в 60-х годах XX века [51,52], решение уравнения даже для четвертого момента представляет собой сложную математическую задачу. Впервые асимптотическое решение для сильных флуктуаций интенсивности неограниченной плоской и сферической волн было получено в работах [53,54]. В дальнейшем различные методы решения этого уравнения для плоской волны в случайной среде и за случайным фазовым экраном рассматривались в [55-57]. Кроме того, в работах [58,59] построено асимптотическое решение в другом предельном случае - слабых флуктуации интенсивности, а в [60] найдены моменты интенсивности произвольного порядка в области насыщения флуктуации.

Несмотря па то, что по теории распространения волн в случайно-неоднородных средах в настоящее время имеется огромное количество работ, до сих пор свойства волн в области сильных флуктуаций интенсивности остаются недостаточно полно изучены. В ряде работ [61-63] проводилось исследование интенсивности вблизи каустик. При этом, как правило, возникала необходимость в громоздких численных расчетах. В то же время известна аналогия [64,65] между задачами о распространении волн в случайной среде и о флуктуациях поля за случайным фазовым экраном. Экран со случайно изменяющейся фазой, который вносит в падающую волну только пространственно-случайные возмущения, является простейшей рассеивающей системой физической оптики. Последующее распространение волны за экраном приводит к развитию флуктуаций амплитуды, которые в оптических экспериментах проявляются в виде сложного распределения светлых и темных областей на экране, поставленном на пути рассеянного света [66]. Случайный фазовый экран может быть использован в качестве модели шероховатых поверхностей, тонких рассеивающих слоев, а в некоторых случаях и более протяженных областей с изменяющимся показателем преломления. Хаотический фазовый экран является хорошей моделью ионосферы [25,67] или межпланетной плазмы [4,34,67] со случайными неодиородностями, а расчет флуктуаций интенсивности за фазовым экраном, хотя и сводится к вычислению восьмикратного интеграла [68], оказывается намного более простой задачей.

Возможность точного решения задачи для случайного экрана и развитие вычислительной техники подсказали один из возможных путей анализа свойств волн в случайной среде - па основе параболического уравнения для комплексной амплитуды поля примерно с середины 50-х годов XX века начали развиваться методы статистического моделирования распространения волн в случайно-неоднородных средах. Моделью среды при этом является набор статистически независимых плоских экранов со случайными двумерными полями коэффициентов пропускания и набега фазы, между которыми волна испытывает только дифракцию. Многократное повторение численных экспериментов по рассеянию волны па последовательности этих экранов дает выборку случайных реализаций нолей, по которой могут быть определены искомые статистические характеристики излучения.

Впервые метод фазовых экранов для расчета распространения электромагнитных волн был применен в работе [69], однако преимущества этого метода в полной мере проявляются лишь при использовании достаточно мощной вычислительной техники. Например, в [70] функции корреляции, записанные с учетом пересчета поля с экрана на экран, оценивались аналитически, что возможно только в предельном случае сильных флуктуаций фазы и гауссова экрана. В дальнейшем с помощью методов статистического моделирования решались намного более сложные задачи [71-73]. Так, в [73] описана построенная на основе метода фазовых экранов модель экваториального ионосферного возмущения, которая включает в себя как детерминированную часть, учитывающую плазменную неоднородность и изменение фонового уровня ионизации с высотой, так и случайную часть, которая характеризуется пространственной спектральной плотностью степенного вида. Как показано в [74,75], метод статистического моделирования позволяет получать результаты, хорошо согласующиеся с аналитическими расчетами, выполненными методами геометрической оптики [19,20,76] и плавных возмущений в предельном случае слабых флуктуаций интенсивности. По-видимому, наиболее полно возможности метода фазовых экранов использованы в [32], где представлено полученное численными методами изображение поля интенсивности в плоскости наблюдения. В этой работе моделировался характерный для турбулентной атмосферы степенной закон спектра флуктуаций показателя преломления и исследовалось влияние внутреннего и внешнего масштабов на спектр интенсивности и на максимум интенсивности волнового поля, однако лишь применение суперкомпьютера CRAY ХМ-Р сделало возможным такое моделирование.

Недостатком методов численного моделирования является, с одной стороны, использование определенных приближений при построении модели среды, а с другой - достаточно высокие требования к возможностям вычислительной техники для получения надежных результатов. Кроме того, при использовании численных методов обычно бывает трудно проследить зависимость решения от параметров задачи. Поэтому более удобными являются аналитические или комбииированиые численно-аналитические методы. Один из таких методов - гео-метрооптическое описание распространения воли.

Заметим, что более пятидесяти лет назад была предпринята попытка [9] учета дифракционных эффектов при распространении волны в случайной среде в рамках теории возмущений. Методика, предложенная в этой работе A.M. Обухова, существенно дополняла и уточняла исследования, проводившиеся в рамках геометрической оптики. Тем не менее, разработанные в [77-79] усовершенствования метода геометрической оптики делают его мощным инструментом для исследования многих важных характеристик волн в случайных средах. В частности, известно, что к изучению статистических свойств амплитуды и фазы аппарат уравнений Фоккера-Планка, позволяющий от исходного стохастического уравнения для марковского процесса перейти к уравнению для его плотности вероятности, неприменим [78]. Это обусловлено тем, что флуктуации амплитуды и фазы не являются конечномерными марковскими. В то же время, из уравнений геометрической оптики, описывающих распространение волны в малоугловом диффузионном приближении, достаточно просто получаются уравнения для различных вероятностных характеристик параметров волны. Например, в работах [77,78] выведены замкнутые кинетические уравнения для конечномерных функций плотности вероятностей световой волны, которые можно рассматривать как естественное обобщение уравнений Фоккера-Планка. Как и уравнения для статистических моментов поля, а также уравнения Фоккера-Планка, они справедливы тогда, когда продольные масштабы случайных неоднородностей среды много меньше продольных масштабов флуктуаций амплитуды и фазы. С помощью этих уравнений находятся, в частности, корреляция между квадратом фазы и интенсивностью и пространственный спектр интенсивности. Некоторые из полученных в работе [78] уравнений интерпретируются как уравнения для вероятностного распределения координат и углов прихода светового луча.

Обратим внимание на тесную связь описания движения пассивной примеси и уравнений для лучей в случайно-неоднородных средах. Начиная с пионерской работы Тейлора [80], общепринятым считается лаграпжев подход к описанию статистики частиц примеси [37,38,40,81-83]. Но аналогичные уравнения нетрудно получить и при геометрооптическом описании, если следить за распространением фиксированного луча. Так, в [40,83] установлено, что в приближении геометрической оптики эволюция углов прихода волнового фронта (градиента фазы) в двумерной однородной среде сводится к уравнению Римаиа, которое описывает также и поле скорости гидродинамического потока невзаимодействующих частиц. Уравнение для интенсивности волны совпадает с уравнением непрерывности для плотности потока невзаимодействующих частиц. В геометрической оптике роль траекторий частиц играют лучи, а роль лагранжевых координат частиц - координаты точек выхода лучей из начальной плоскости. Заметим, что в задачах гидродинамики невзаимодействующих частиц лагранжево описание часто оказывается существенно проще с математической точки зрения, тогда как экспериментаторы чаще имеют дело с эйлеровыми (измеряемыми в фиксированных областях пространства) характеристиками волн или частиц примеси. Однако развитый в [40,83] математический аппарат связи лагранжева и эйлерова описания случайных полей позволяет получить полное статистическое описание.

Но если между каустиками распространение волны хорошо описывается уравнениями геометрической оптики, которые аналогичны уравнениям турбулентной диффузии в лагранжевом представлении, то в областях каустик необходимо учитывать дифракционные эффекты. Известно, что ограничение каустических выбросов в случайно-неоднородной среде происходит за счет дифракции, которая сглаживает каустические особенности еще до того, как флуктуации интенсивности достигнут максимального (в геометрооптическом приближении -бесконечного) значения. Аналогичное явление, ограничивающее флуктуации поля плотности примеси в областях кластеризации - это молекулярная диффузия, т.е. тепловой разброс скоростей частиц. Поэтому на более поздних этапах развития диффузии, когда возникают компактные области повышенной концентрации примеси, необходим учет и молекулярной диффузии [84,85]. Исследование взаимного влияния турбулентной и молекулярной диффузии проводилось, например, в [86,87]. При этом в [87] отмечено, что влияние молекулярной диффузии сводится лишь к ослаблению турбулентной диффузии (в этом случае действие молекулярной диффузии как раз и аналогично дифракционному сглаживанию выбросов интенсивности волнового поля). Однако в более поздней работе

86] было получено, что наличие областей с отрицательными значениями корреляции между молекулярной и турбулентной диффузией может приводить и к усилению последней. В этом, очевидно, состоит принципиальное отличие в поведении волн и частиц, которому есть простое объяснение: дифракция имеет не столько статистический, сколько динамический характер, поскольку связана не с характером случайных неодиородностей среды, а с принципиальным эффектом дифракционного расплывания па характерных неодпородностях.

Ниже будет показано, что предлагаемый в работе гсометрооптический подход к описанию распространения воли, основанный на анализе статистики якобиана преобразования эйлеровых координат луча в лаграпжевы, а также аналогичное ему лагранжево описание движения частиц в турбулентных потоках является эффективным методом исследования распространения волн в случайно-неоднородных средах и движения гидродинамических потоков частиц в хаотически движущихся средах. Поэтому с его помощью целесообразно рассматривать такие недостаточно изученные вопросы, как свойства воли в области мно-голучевости, а также, с учетом дифракционных поправок, вероятностные и корреляционные свойства интенсивности волн в области сильных флуктуаций. С использованием отмеченных выше аналогий удается также исследовать движение частиц пассивной примеси в турбулентных средах и эффекты, вызванные молекулярной диффузией.

В работе рассматриваются следующие конкретные задачи:

1) исследование динамических и статистических свойств полей якобиана преобразования эйлеровых координат геометрооптического луча в лаграпжевы и кривизны волнового фронта;

2) исследование статистики каустик в случайно-неоднородной среде;

3) исследование статистики лучей в случайно-неоднородной среде;

4) исследование вероятности многолучевого распространения за случайным фазовым экраном;

5) исследование влияния анизотропных пеодпородностей на траектории лучей в среде;

6) исследование асимптотического поведения реализаций интенсивности волны;

7) исследование статистических моментов и плотпости вероятностей интенсивности в окрестностях каустик;

8) исследование дифракционного механизма сглаживания каустических особенностей в поле интенсивности волны;

9) вывод и исследование уравнений для среднего поля волны и функции когерентности в статистически анизотропной случайной среде;

10) установление и исследование связи эйлеровых и лагранжевых вероятностных характеристик скорости и координат броуновской частицы, достигающей заранее заданной области пространства;

11) исследование эффектов относительной молекулярной диффузии;

12) исследование флуктуаций плотности сгустка частиц, первоначально находившихся в одном физически бесконечно малом объеме;

13) исследование влияния инерционности частиц на возникновение многопотоковости движения в турбулентной вязкой среде;

14) исследование закономерностей турбулентной диффузии частиц, движущихся в турбулентной среде под действием сил гравитации и Стокса.

В основе диссертации лежат работы [88-123].

Полученные в диссертации физические результаты представляют как чисто научный, так и практический интерес. Во-первых, они могут быть использованы при описании свойств оптических и акустических волн в случайных средах, что весьма актуально в связи с возникающими в приложениях задачами локации в турбулентной атмосфере, томографии случайно-неоднородного океана, задачами инженерной геодезии. Во-вторых, усиливающееся антропогенное воздействие па атмосферу и водную среду делает актуальным исследование физических закономерностей поведения частиц (например, оседание дымового аэрозоля) и пассивной примеси для решения экологических и метеорологических проблем.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения. В первой главе отмечены причины, по которым исследование свойств экспериментально наблюдаемых характеристик волны (интенсивности, среднего числа каустик и т.д.) удобно проводить с помощью статистики якобиана преобразования J эйлеровых координат геометрооптического луча в лагранжевы. За

Заключение

Сформулируем кратко основные полученные результаты.

1. В рамках предлагаемого нового метода исследования свойств волн в случайно-неоднородных средах, основанного па анализе статистики якобиана преобразования эйлеровых координат луча в лагранжевы, изучены динамические и статистические свойства полей якобиана J(t) и поля U(t) = dJ/dt. Первое из этих полей, называемое расходимостью, в задачах распространения воли равно отношению сечения лучевой трубки в среде к начальному сечению, а при анализе диффузии частиц в турбулентных средах - это количественная мера степени сжатия физически бесконечно малого объема жидкой частицы. Второе поле-это кривизна волнового фронта. При этом получено: а) аналогично известным свойствам реализации процесса J2(1), для последовательности \J\lJ„\ (где U„ равно произведению значений поля U{i) в точках каустик) существует экспоненциально спадающая мажорантная кривая - такая целочисленная функция М(п, р), что с любой заданной вероятностью р< 1 100 р% реализаций последовательности l/|t/„| лежат ниже М(п,р); б) па большом расстоянии моменты модуля якобиана растут экспоненциально, и найден инкремент нарастания как для лучей в случайной срсдс, так и для инертных частиц в хаотически движущемся потоке.

2. 11а основе изученных свойств якобиана преобразования эйлеровых координат луча в лагранжевы проведен анализ статистики геометрических характеристик волн: а) найдена средняя плотность каустик в поперечном ссчепии случайпо-исодиородпой среды. В отличие от фазового экрана, за которым среднее число каустик п в единице поперечного сечения достигает постоянного насыщенного значения, в среде п растет с расстоянием как t0 6; б) найден закон нарастания эйлерова среднего числа лучей в случайной среде, который показывает, что средняя мпоголучевость с ростом расстояния t растет экспоненциально. Па малых расстояниях инкремент нарастания у = 0.11, а па больших у = 0.68. Аналогично этому по экспоиепцнальному закону нарастает и средняя многопотоковость в турбулентной вязкой среде. При этом инкремент нарастания оказывается больше для менее инерционных частиц; в) с помощью найденной зависимости среднего квадрата числа лучей от расстояния за случайным фазовым экраном получены вероятности трех- и иятилучевого распространения. Проведенные расчеты, с одной стороны, позволяют оценить начало области, в которой одполучевое приближение становится неприменимым, а, с друг ой стороны, показывают, что мпого-лучевость за экраном появляется намного дальше, чем начинается область сильных флуктуаций интенсивности волны.

3. Изучено влияние вытянутых вдоль оси распространения псодпородностей па траекторию лучей в среде. Выявлен физический эффект, состоящий в появлении ракурсной чувствительности рассеянного поля: плотность вероятностей углов распространения имеет локальный минимум в направлении наибольшего масштаба корреляции пеоднородпостей. К аналогичному выводу приводит анализ полученных в работе уравнений для среднего поля и функции когерентности волны в статистически анизотропной случайной среде: угловая зависимость рассеянного ноля существенно зависит от параметра анизотропии. В случае слабой анизотропии необходим учет дифракции на сильно вытянутых пеодпородпостях и изменения силы рассеяния при малых изменениях углов распространения волны.

4. Как следствие мажорантных свойств последовательности \/\Un\ получено, что с ростом номера каустики п бесконечные выбросы интенсивности концентрируются во все более узких интервалах продольной оси - происходит истончение каустик и уменьшение интенсивности волны в фиксированной лучевой трубке.

5. Найденная асимптотическая зависимость плотности вероятностей интенсивности от расстояния вдоль луча показывает, что с ростом расстояния плотность вероятностей убывает экспоненциально, что также можно интерпретировать как истончение каустик, а медленная (как Г2) зависимость от интенсивности приводит к тому, что вдоль фиксированной лучевой трубки уже средняя интенсивность оказывается бесконечной.

6. Па примере вычисления корреляционной функции флуктуаций интенсивности за случайным фазовым экраном рассмотрен дифракционный механизм сглаживания каустических особенностей волнового поля. Предложенный в диссертации метод "теплых лучей" (использование аналогии между дифракцией монохроматической оптической волны за случайным экраном и поведением теплого газа невзаимодействующих частиц, а также гипотезы о возможности статистического расщепления геомегрооптических и дифракционных средних) позволяет намного упростить вычисления при нахождении корреляционной функции. Полученное решение вне каустик близко к гео-метрооптическому, а в области фокусировок правильно учитывает дифракционное сглаживание каустических особенностей.

7. Поставлена и решена задача о вероятностных характеристиках скорости и координат броуновской частицы, достигающей заранее заданной области пространства (детектора) в течение определенного интервала времени. Для этого предложен подход, позволяющий связать искомое вероятностное распределение с вероятностными характеристиками традиционной начальной задачи о броуновском движении частицы. Проведенный анализ влияния различных факгоров (соотношение между сносом и диффузией, размеры детектора) позволил указать условия, при которых справедливы найденные связи плотностей вероятностей.

8. При исследовании эффектов относительной молекулярной диффузии установлено, что средний квадрат эффективной ширины сгустка примеси пропорционален квадрату степени сжатия среды J(t) и поэтому повторяет свойства этого процесса. Как следствие мажорантных свойств процесса J(t) обнаруживается эффект стохастической локализации сгустка, при котором хаотическое движение среды в среднем не ускоряет разбегаипс частиц, а прижимает их друг к другу. Эффект локализации порожден тем, что сгусток чаще сжимается случайно движущейся средой, чем растягивается за счет броуновского расталкивания. В то же время моменты степени сжатия среды экспоненциально растут с течением времени, что является следствием громадных выбросов в некоторых реализациях.

9. На основе исследования статистики якобиана преобразования эйлеровых координат частиц пассивной примеси в лаграпжевы изучен характер движения частиц примеси в вязкой турбулентной среде с учетом их инерционности. При этом установлено: а) многопотоковость движения возникает тем раньше и выражена тем заметнее, чем меньше инертная масса частицы. К аналогичному результату приводит и увеличение коэффициента турбулентной диффузии; б) среднее значение обратного квадрата плотности сплошной среды или концентрации пассивной примеси экспоненциально нарастает со временем, при этом инкремент оказывается больше для менее инертных частиц.

10. Изучены закономерности турбулентной диффузии частиц, движущихся в турбулентной среде под действием сил гравитации и Стокса. Обнаружен физический эффект, состоящий в том, что, несмотря на усредняющее действие инерционности и, как следствие этого, уменьшение дисперсии скорости, коэффициенты диффузии в горизонтальной и вертикальной плоскостях пе зависят от степени инерционности движения, а лишь от скорости свободного падения. С увеличением скорости падения отношение коэффициентов поперечной и продольной диффузии плавно уменьшается до 1/2.

1. В.А. Бенедиктов, Г.Г. Гстманцев, Л.В. Гришкевич, Л.М. Ерухимов, Н.А. Ми-тяков. Некоторые результаты ионосферных исследовании в НИРФИ с 1957 по 1967 г. //Изв. вузов. Радиофизика. 1968. Т. 11. № 2. С. 169-190.

2. С.М. Голынский, В.Д. Гусев. Нормализация флуктуациопиой компоненты рассеянного поля в дальней зоне. //РЭ. 1978. Т. 23. № 10. С. 2053-2059.

3. В.Д. Гусев, С.М. Голынский, И.Ю. Жидовлепко. О распределении рассеянного поля в дальней зоне. Численный эксперимент. //РЭ. 1983. Т. 28. № 3. С. 596-598.

4. Н.А. Лотова. Современные представления о спектре пеодпородпостей межпланетной плазмы //УФН. 1975. Т. 115. № 4. С. 603-620.

5. И. Ныотон. Оптика. М.: Гостехиздат, 1954. 368 с.

6. S.M. Flalte. Wave propagation through random media: Contribution from occan acoustic //Proc. ШЕЕ. 1983. V. 71. P. 1267-1294.

7. P.O. Bergmann. Propagation of radiation in a medium with random inhomogenei-ties. //Phys. Rev. 1946. V. 70. P. 486.

8. D. Mintzer. Wave propagation in a randomly inhomogencous medium. //JASA. 1953. V. 25. P. 922-927.

9. A.M. Обухов. О влиянии слабых пеодпородпостей атмосферы па распространение звука и света//Изв. АН СССР. Сер. Геофиз. 1953. № 2. С. 155-165.

10. К.С. Гочелашвили, В.И. Шишов. Волны в случайно-неоднородных средах. /Итоги пауки и техники. Сер. Радиофизика. Физические основы электроники.I

11. Акустика. Т. 1. Под ред. П.Д. Устинова. М.: Изд-во ВИНИТИ, 1981.

12. А.С. Гурвич, А.И Коп, B.JI. Миронов, С.С. Хмслевцов. Лазерное излучение в турбулентной атмосфере. М.: Паука, 1976. 280 с.

13. В.Е. Зуев, В.А. Банах, В.В. Покасов. Оптика турбулентной атмосферы. Л.: Гндрометеоиздаг, 1988. 272 с.

14. А. Иснмару. Распространение и рассеяние воли в случайно-неоднородных средах. Т.2. М.: Мир, 1981.317с.

15. В.И. Кляцкин. Стохастические уравнения и волны в случайпо-пеодпородпых средах. М.: Наука, 1980. 366 с.15. 10.А. Кравцов, З.И. Фейзулии, А. Г. Виноградов. Прохождение радиоволн через атмосферу Земли. М.: Радио и связь, 1983, 224 с.

16. B.JI. Миронов. Распространение лазерного пучка в турбулентной атмосфере. Новосибирск: Наука, 1981. 246 с.

17. В.М. Орлов, И.В. Самохвалов, Г.Г. Матвиенко, МЛ. Белов, А.П. Кожевников. Элементы теории светорассеяния и оптическая локация. Новосибирск: Паука, 1982.225 с.

18. С.М. Рытов. Введение в статистическую радиофизику. М.: Паука, 1976. Ч. 1. 494 с.

19. С.М. Рытов, Ю.А. Кравцов, В.И. Татарский. Введение в статистическую радиофизику. М.: Наука, 1978. Ч. 2. 463 с.

20. В.И. Татарский. Распространение волн в турбулентной атмосфере. М.: Паука, 1967. 548 с.

21. ПЛ. Фейиберг. Распространение радиоволн вдоль земной поверхности. М.: Наука, 1961. 547 с.

22. JI.A. Чернов. Волны в случайпо-пеодиородпых средах. М.: Наука, 1975. 174 с.

23. Распространение звука во флуктуирующем океане /Под ред. С. Флатге. М.: Мир, 1982.336 с.

24. IO.II. Барабапеиков, Ю.А. Кравцов, С.М. Рытов, В.И. Татарский. Состояние теории распространения воли в случайно-неоднородной среде. //УФН. 1970. Т. 102. № 1.С. 3-42.

25. Ю.А. Кравцов, С.М. Рытов, В.И. Татарский. Статистические проблемы в теории дифракции //УФН. 1975. Т. 115. № 2. С. 239-262.

26. Ю.А. Кравцов, А.И. Санчев. Эффекты двухкратного прохождения в случайно-неоднородных средах. //УФН. 1982. Т. 137. № 3. С. 501-527.

27. M.J. Beran, J. Oz-Vogt. Imaging through turbulence in the atmosphere /Progress in Optics, ed. П. Wolf. Amsterdam: North-Holland. 1994. Vol. XXXIII. P. 321.

28. M.I. Charnotskii, J. Gozani, V.I. Tatarskii, V.U. Zavorotny. Wave propagation theories in random media based on the path-integral approach /Progress in Optics, cd. П. Wolf. Amsterdam: North-Holland. 1993. Vol. XXXII. P. 203.

29. Yu.A. Kravtsov. Propagation of electromagnetic waves through a turbulent atmosphere //Rep. Progr. Phys. 1992. P. 39-112.

30. V.I. Tatarskii, V.U. Zavorotny. Strong fluctuations in light propagation in a randomly inhomogcncous medium /Progress in Optics, ed. E. Wolf. Amsterdam: North-Holland. 1980. Vol. XV111. P. 204.

31. J.M. Martin, S.M. Flatte. Intensity images and statistics from numerical simulation of wave propagation in 3-D random media //Appl. Optics. 1988. V. 27. № 11. P. 2111-2126.

32. A.L. Melott, S.F. Shandarin. Gravitational instability with high resolution. //Astrophys. J. 1989. V. 242. P. 200.

33. П.Е. Salpeter. Interplanetary Scintillations. I. Theory //Astrophys. J. 1967. V. 147. № 2. P. 433-448.

34. Распространение лазерного пучка в атмосфере. Проблемы прикладной физики /Под ред. Д. Стробепа. М.: Мир, 1981. 416 с.

35. V.A. Kulkarny, B.S. White. Focusing of waves in turbulent inhomogencous media //Phys. Fluids. 1982. V. 25. № 10. P. 1770-1784.

36. В.И. Кляцкии, А.И. Саичев. К статистической теории плавучей примеси в случайном поле скоростей//ЖЭТФ. 1997. Т. 111. №4. С. 1297-1313.

37. A.I. Saichev, W.A. Woyczynski. Distribution of passive tracers in randomly moving media /Stochastic Models in Gcosystems. The IMA volumes in mathematics and its applications. V.85. Springer-Vcrlag, NY. 1996. P. 359-399.

38. A.I. Saichev, I.S. Zhukova. The arising and evolution of the passive tracer dusters in compressible random media /Lecture Notes in Physics. V. 511. Springcr-Vcrlag, NY. 1998. P. 353-371.

39. C.H. Гурбатов, A.H. Малахов, А.И. Саичев. Нелинейные случайные волны в средах без дисперсии. М.: Наука, 1990. 216 с.

40. S.F. Shandarin, Ya.B. Zeldovich. Turbulence, intermittency, structures in a self-gravitating medium: the large scale structure of the Universe //Rev. Modern Phys. 1989. V.61.P. 185-220.

41. S.F. Shandarin, U.S. Sathyaprakash. Modeling gravitational clustering without computing gravitational force //Astrophys. J. 1996. V. 467. P. 125-128.

42. D.Y. Weinberg, J.R. Gunn. Large scale structures and the adhesion approximation //Monthly Not. Royal Astron. Soc.1990. V. 247. P. 260-286.

43. T. Elpcrin, N. Klccorin, I. Rogachcvskii. Dynamics of the passive scalar in compressible turbulent flow: Large-scale patterns and small-scale fluctuations //Phys. Rev. E. 1995. V. 52. № 3. P. 2617-2634.

44. T. Elpcrin, N. Klccorin, I. Rogachevskii. Self-Excitation of Fluctuations of Inertial Particle Concentration Turbulent Fluid Flow //Phys. Rev. Letters. 1996. V. 77. № 27. P. 5373-5376.

45. M.R. Maxey. The gravitational settling of aerosol particles in homogeneous turbulence and random flow fields//J. Fluid Mech. 1987. V. 174. P. 441-465.

46. T. Elpcrin, N. Klecorin, I. Rogachcvskii. Turbulent thermal diffusion of small inertial particles //Phys. Rev. Letters. 1996. V. 76. № 2. P. 224-227.

47. T. Elperin, N. Kleeorin, 1. Rogachcvskii. Turbulent barodiflusion, turbulent thermal diffusion, and large-scale instability in gases//Phys. Rev. E. 1997. V. 55. № 3. P. 2713-2721.

48. В.И. Кляцкии, И.Г. Якушкип. К статистической теории распространения оптического излучения в случайных средах //ЖЭТФ. 1997. Т. 111. № 6. С. 20442059.

49. М.А. Леонтович, В.А. Фок. Решение задачи распространения электромагнитных воли вдоль земной поверхности методом параболического уравнения //ЖЭТФ. 1946. Т. 16. № 7. С. 557-573.

50. M.J. Beran. Propagation of the mutual cohcrcncc function through random media //JOSA. 1966. V. 56. № 10. P. 1475-1480.

51. M.J. Beran, T.J. Ho. Propagation of the fourth-order coherence function in a random medium (a nonperturbative formulation) //JOSA. 1969. V. 59. № 9. P. 11341138.

52. К.С. Гочслашвили, В.И. Шишов. Насыщение флуктуации интенсивности лазерного излучения в турбулентной среде //ЖЭТФ. 1974. Т. 66. № 4. С. 12371247.

53. К.С. Гочелашвнлн, В.Г. Певгов, В.И. Шишов. Пасыщспие флуктуацнй интенсивности лазерного излучения па больших дистанциях в турбулентной среде (фраупгоферова зона передатчика) //КЭ. 1974. Т. 1. № 5. С. 1156-1165.

54. В.У. Заворотпый, В.И. Кляцкип, В.И. Татарский. Сильные флуктуации интенсивности электромагнитных воли в случайпо-нсодпородпых средах //ЖЭТФ. 1977. Т. 73. № 2(8). С. 481-497.

55. Г.И. Марчук, Г.А. Михайлов, М.А. Назарлиев и др. Метод Монте-Карло в атмосферной оптике. Новосибирск: Наука, 1976. 284 с.

56. R.L. Fantc. Elcctric Held spectrum and intensity covariance of a wave in a random medium //Radio Sci. 1975. V. 10. № 1. P. 77-85.

57. B.A. Банах, В.Л. Миронов. Фазовое приближение метода Гюйгенса-Кирхгофа в задачах распространения воли в случайно-неоднородной среде //Распространение" оптических воли в случайио-псодиородиой атмосфере. Новосибирск: Наука, 1979. С. 3-22.

58. И.Г. Якушкип. Флуктуации интенсивности при малоугловом рассеянии волновых полей //Изв. вузов. Радиофизика. 1985. Т. 28. № 5. С. 535-565.

59. И.Г. Якушкип. Моменты интенсивности поля, распространяющегося в случайно-неоднородной срсде, в области насыщения флуктуаций //Изв. вузов. Радиофизика. 1978. Т. 21. № 8. С. 1194-1201.

60. M.J. Bcran, A.M. Whitman, S. Frankenthal. Scattering calculations using the characteristic rays of the coherence function //JASA. 1982. V. 71. P. 1124-1130.

61. C. Macaskill, B.J. Uscinski, N. Frccdman. Acoustic propagation in the upper sound channel //JASA. 1982. V. 72. P. 1544-1555.

62. R. Mazur, M.J. Bcran. Intensity correlations in a random medium in the neighborhood of a caustic //JASA. 1982. V. 72. P. 1269-1275.

63. A.M. Прохоров, В.Ф. Бункип, К.С. Гочелашвили, В.И. Шишов. Распространение лазерного излучения в случайно-неоднородных средах //УФП. 1974. Т. 114. №3. С. 415-456.

64. И.Г. Якушкин. Флуктуации интенсивности ноля плоской волны за хаотическим фазовым экраном //Изв. вузов. Радиофизика. 1974. Т. 17. № 9. С. 13501356.

65. Э. Джсйкмеи. Рассеяние па фракталах /Фракталы в физике. Труды VI Меж-дупар. симпозиума по фракталам в физике. М.: Мир, 1988. С. 82-90.

66. J.A. Ratcliffc. Some aspects of diffraction theory and their application to the ionosphere //Rep. Progr. Phys. 1956. V. 19. P. 188-267.

67. Jl.M. Ерухимов, C.II. Матюгип, В.П. Урядов. 1С вопросу о распространении радиоволн в ионосферном волновом канале//Изв. вузов. Радиофизика. 1975. Т. 18. №9. С. 1297-1304.

68. В.П. Кандидов, В.И. Леденев. Численное моделирование случайного ноля диэлектрической проницаемости турбулентной атмосферы //Вести. МГУ. Физика, астрономия. 1982. Т. 23. № 1. С. 3-8.

69. C.L. Rino. Numerical computations for a onc-dimensional power-law phase screen //Radio Sci. 1980. V. 15.№ 1. P. 41-47.

70. A.W. Wernik, C.H. Liu, K.C. Yell. Model computations of radio wave scintillation causcd by equatorial ionospheric bubbles //Radio Sci. 1980. V. 15. № 3. P. 559572.

71. В.П. Кандидов, В.И. Леденев. О применении метода статистических испытаний к исследованию распространения волнового пучка в случайно-неоднородной среде //Изв. вузов. Радиофизика. 1981. Т. 24. № 4. С. 438-442.

72. R. Buckley. Diffraction by a random phase-changing screen: A numerical experiment //J. Atmos. Terr. Phys. 1975. V. 37. P. 1431-1446.

73. Ю.А. Кравцов, Ю.И. Орлов. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука, 1980.304 с.

74. А.II. Малахов, А.И. Саичсв. Кинетическое уравнение для световой волны. Флуктуации интенсивности //ЖЭТФ. 1974. Т. 67. № 6(12). С. 2080-2086.

75. A.M. Малахов, А.И. Саичев. О некоторых статистических свойствах случайных воли, рассматриваемых в приближении геометрической оптики //Изв. вузов. Радиофизика. 1974. Т. 17. № 12. С. 1817-11826.

76. А.И. Малахов, А.И. Саичев. О лаграпжевом и эйлеровом описании статистических свойств свеговых воли //Изв. вузов. Радиофизика. 1976. Т. 19. № 9. С. 1368-1377.

77. G.l. Taylor. Diffusion by continuous movements //Proc. London Math. Soc. Scr. 2. 1921. V. 20. P. 196.

78. И.С. Жукова, А.И. Саичев. Свойства сгустков примеси в турбулентной среде //ИММ. 2004. Т. 68. Вып. 2. С. 339-347.

79. В.И. Кляцкип. Стохастические уравнения глазами физика. М.: Физматлит, 2001.527 с.

80. S.N. Gurbatov, A.N. Malakhov, A.I. Saichev. Nonlinear random waves and turbulence in nondispersive media: waves, rays and particles. Manchester and New York: Manchester University Press, 1991. 308 p.

81. О.Г. Бакунин. Корреляционные и перколяциоипые свойства турбулентной диффузии //УФН. 2003. Т. 173. № 7. С. 757-768.

82. В.И. Кляцкип. Кластеризация и диффузия частиц и плотности пассивной примеси в случайных гидродинамических потоках. //УФП. 2003. Т. 173. № 7. С. 689-710.

83. A. Mazzino, М. Vergassola. Interference between turbulent and molecular diffusion //Europhys. Lett. 1997. V. 37. № 8. P. 535-540.

84. P.G. Saffman. On the effect of the molecular diffusivity in turbulent diffusion Hi. Fluid Mech. I960. V. 8. P. 273-283.

85. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. Газ невзаимодействующих частиц и флуктуации интенсивности волны за фазовым экраном в рамках модели теплых лучей //Оптика атмосферы. 1991. Т. 4. № 10. С. 1044-1047.

86. Н.З. Грибова, А.И. Саичев. Поведение нагретого газа частиц и дифракция световой волны на фазовом экране в рамках модели теплых лучей //Изв. вузов. Радиофизика. 1992. Т. 35. № 11-12. С. 914-927.

87. П.З. Грибова, А.И. Саичев. Корреляционная функция флуктуации интенсивности в фрактальной случайно-неоднородной среде //Изв. вузов. Радиофизика. 1993. Т. 36. № 6. С. 493-497.

88. Н.З. Грибова. Вероятность многолучевого распространения оптических волн за случайным фазовым экраном //Оптика атмосферы и океана. 1993. Т. 6. №1.С. 57-61.

89. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. Нахождение некоторых статистических характеристик оптической волны в случайно-неоднородной среде /XVII Конф. по распространению радиоволн. Ульяновск, 1993 г. Тезисы докладов. Секции 3,4,5. С. 44.

90. П.З. Грибова, А.И. Саичев. Среднее число каустик оптической волны за случайным фазовым экраном /Там же. С. 45.

91. П.З. Грибова, А.И. Саичев. Среднее число каустик оптической волны в случайной среде / Там же. С. 13.

92. П.З. Грибова, А.И. Саичев. О диффузии лучей в среде с вытянутыми случайными пеодпородпосгями //Акустический журнал. 1993. Т. 39. № 6. С. 10501058.

93. Н.З. Прибова, А.И. Саичев. Расчет характеристик многолучевого распространения волн в случайной среде методом фазовых экранов //РЭ. 1994. Т. 39. №2. С. 193-199.

94. Н.З. Грибова, А.И. Саичев. О статистике расходимости лучевой трубки и многолучсвости распространения волн в случайно-неоднородной среде //Изв. вузов. Радиофизика. 1994. Т. 37. № 3. С. 323-329.

95. Е.З. Грибова, А.И. Саичев Среднее число и вероятностное распределение каустик в случайно-неоднородной срсдс и за случайным фазовым экраном //Изв. вузов. Радиофизика. 1994. Т. 37. №4. С. 471-478.

96. Е.З. Грибова. Вероятностные свойства интенсивности оптических воли в случайно-неоднородной среде /Тез. докл. Научп.-техи. копф. проф.-преп. состава, аспирантов и студентов НГАСА. Н.Новгород. 1994. Ч. 1. С. 47.

97. E.Z. Gribova, A.I. Saichev. On diffusion of rays in underwater sound channel /II International Scientific School-Seminar "Dynamic and Stochastic Wave Phenomena". N.Novgorod, 1994. Abstracts. P. 68-69.

98. П.З. Грибова, А.И. Саичев. Хаотическая фокусировка лучевых трубок в случайно-неоднородной среде //Акустический журнал. 1995. Т. 41. № 1. С. 77-82.

99. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. Вычисление моментов расходимости лучевой трубки в случайно-неоднородной среде //РЭ. 1995. Т. 40. № 9. С. 1329-1336.

100. E.Z. Gribova, A.I. Saichev. On multipath wave propagation in random media /Trans Black Sea region simp, on applied clectromagnctism. Metsovo, Hellas, 1996. Athens: NTUA Press, 1996. ANPR 11.

101. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. О детектировании броуновских частиц //Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 1997. Т. 33. № 5. С. 654-661.

102. E.Z. Gribova, АЛ. Saichcv. Application of "warm rays" method in description of wave diffraction in randomly inhomogeneous atmosphere /J. of Applied Elcc-tromagnctism. 1997. V. 1. № 2. P. 39-48.

103. Е.З. Грибова, А.А. Никитина. О движении частиц пассивной примеси в потоке газа /Там же. С. 70.

104. Е.З. Грибова, Л.И. Саичев. Построение вероятностного распределения скоростей регистрируемой детектором броуновской частицы //Изв. вузов. Радиофизика. 1998. Т. 41. № 10. С. 1301-1313.

105. Е.З. Грибова, И.С. Жукова, А.И. Саичев, W.A. Woyczyriski. Относительная молекулярная диффузия //Изв. вузов. Радиофизика. 2000. Т. 43. № 5. С. 456467.

106. Н.З. Грибова, А.И. Саичев. О связи эйлеровой и лаграпжевой статистик броуновской частицы //ЖТФ. 2000. Т. 70. № 9. С. 1-6.

107. Н.З. Грибова, А.И. Саичев. Угловое распределение лучевой интенсивности в статистически анизотропных случайных средах /Груды четвертой научной конф. но радиофизике 5 мая 2000 г. Н.Новгород, 2000. С. 201-202.

108. Е.З. Грибова, И.С. Жукова, А.И. Саичев. Эффект локализации примеси в турбулентном потоке /Там же. С. 215-216.

109. E.3. Грибова, А.И. Саичев. Уравнение для среднего поля волны в статистически анизотропной случайной среде /Оптика атмосферы и океана. Физика атмосферы. VIII Объединенный Междупар. Симпозиум. Иркутск, 2001. С. 122-123.

110. Е.З. Грибова, А.И. Саичев. Уравнение для среднего поля волны в статистически анизотропной случайной среде //Оптика атмосферы и океана. 2001. Т. 14. № 10. С. 890-893.

111. А.И. Саичев, С.А. Лаиинова, Е.З. Грибова, И.С. Жукова. Исследование диффузионного уравнения примеси в турбулентной среде в приближении свободного падения /Труды шестой научной конф. по радиофизике 2002 г. II.Новгород, 2002. С. 310-311.

112. Е.З. Грибова. Диффузия инертных частиц в турбулентной вязкой среде //Изв. вузов. Радиофизика. 2003. Т. 46. № 2. С. 162-166.

113. Е.З. Грибова, И.С. Жукова, А.И. Саичев, Т. Эльгтсрин. Особенности диффузии падающей частицы //ЖЭТФ. 2003. Т. 123. № 3. С. 543-551.

114. Е.З. Грибова. Некоторые особенности построения вероятностного распределения скоростей броуновской частицы, регистрируемой замкнутым детектором / Груды Научной конф. по радиофизике. ИНГУ, 2004. С. 128-129.

115. Н.З. Грибова. Вероятностное распределение скоростей броуновской частицы, регистрируемой замкнутым детектором //Изв. вузов. Радиофизика. 2005. Т. 48. № 1.С. 86-93.

116. С. Чаидрасекар. Стохастические проблемы в физике и астрономии. М.: Иностранная литература. 1947. 168 с.

117. Л.В. Крупник, С.Н. Молодцов, Л.И. Саичев. О флуктуациях фазы, углов прихода и частотной корреляции сферических воли в случайно-неоднородной среде //Изв. вузов. Радиофизика. 1979. Т. 22. № 12. С. 14721479.

118. А.И. Малахов, С.П. Молодцов, А.И. Саичев. К гипотезе о логарифмически нормальном законе распределения флуктуаций амплитуды световой волны, распространяющейся в случайно-неоднородной среде //Изв. вузов. Радиофизика. 1977. Т. 20. №2. С. 250-259.

119. С.Н. Молодцов, А.И. Саичев. О флуктуациях фазы волны в области сильных мерцаний //Изв. вузов. Радиофизика. 1977. Т. 20. № 5. С. 726-733.

120. С.Н. Молодцов, А.И. Саичев. К вопросу о частотной корреляции воли в среде с крупномасштабными случайными неоднородностями //Изв. вузов. Радиофизика. 1977. Т. 20. № 8. С. 1244-1246.

121. А.II. Малахов, А.И. Саичев. О вероятностном описании случайных полей, удовлетворяющих простейшим уравнениям гидродинамического типа //ЖЭТФ. 1974. Т. 67. № 3(9). С. 940-950.

122. В.И. Кляцкип. Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами. М.: Наука, 1975. 239 с.

123. B.S. White. The Stochastic Caustic //SIAM J. Appl. Math. 1984. V. 44. № 1. P. 127-149.

124. V.I. Klyatskin. Caustics in random media //Waves in random media.1993. V. 3. P. 93-100.

125. A.A. Самарский, А.В. Гулип. Численные методы. М.: Паука, 1989, 432 с.

126. Л .С. 11оптряпш. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: 11аука, 1982.332 с.

127. Справочник но теории вероятностей и математической статистике. М.: Паука, 1985.640 с.136. 13.И. Кляцкип, Л.И. Саичев. Статистическая и динамическая локализация плоских волн в хаотически слоистых средах //УФИ. 1992. Т. 162. № 3. С. 161-194.

128. А.П. Мишина, И.В. Проскуряков. Высшая алгебра. СМК. М.: ГИФМЛ, 1962.300 с.

129. Г. Корн, Т. Кори. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973. 832 с.

130. С.М. Голынский. Определение наиболее вероятных характеристик в задачах распространения воли в случайно-неоднородных средах //РЭ. 1987. Т. 32. №2. С. 437-439.

131. С.М. Голынский. Статистика лучей в среде с пространственно-временными псодпородностями //Геомагнетизм и аэрономия. 1987. Т. 27. № 1.С. 46-52.

132. В.А. Алимов, Л.М. Ерухимов. К вопросу о глубоких замираниях KB сиг-палов //Изв. вузов. Радиофизика. 1975. Т. 18. № 7. С. 948-957.

133. II.Г. Денисов. О дифракции воли па хаотическом экране //Изв. вузов. Радиофизика. 1961. Т. 4. № 4. С. 630-638.

134. В.И. Кляцкип. О применимости приближения марковского случайного процесса в задачах, связанных с распространением света в среде со случайными псодпородностями //ЖЭТФ. 1969. Т. 57. № 3(9). С. 952-958.

135. Д.Л. Пени. Расчет временных характеристик стохастических волн методом фазовых экранов //ТИИЭР. 1983. Т. 71. № 6. С. 40-58.

136. JI.M. Ерухимов, В.П. Урядов. О частотной корреляции флуктуаций радиоволн за п хаотическими экранами //Изв. вузов. Радиофизика. 1968. Т. 11. № 12. С. 1852-1863.

137. Ь.Н. Гершман, JI.M. Ерухимов, Ю.И. Яшин. Волновые явления в ионосферной и космической плазме. М.: Паука, 1984.

138. А.В. Гуревич, Е.Е. Цедилина. Сверхдальнее распространение коротких радиоволн. М.: Паука, 1979.

139. А.Г. Петрушин. Рассеяние и поглощение оптического излучения в кристаллической облачной срсдс. Проблемы физики облаков /Под ред. Л.П. Семенова. С.-Пб.: Гидромегеоиздат, 1998. С. 118-149.

140. Г.А. Абакумов, С.Н. Мсисов, А.В. Семенов. О причинах флуктуаций показателя преломления в фотополимерпых голограммах //Оптика и спектроскопия. 1999. Т. 86. № 6. С. 1029-1032.

141. В.Е. Эскип. Рассеяние света растворами полимеров и свойства макромолекул. Л-д: Паука, 1986.

142. М.Ф. Гребепкин, А.В. Иващепко. Жидкокристаллические материалы. М., 1981.288 с.

143. G.H. Brown, J.J. Wolken. Liquid Crystals and Biological Structures. New York, 1979.

144. АЛ. Вировлянский, А.И. Саичев, M.M Славянский. Момситпые функции воли, распространяющихся в волноводах с вытянутыми случайными псодпо-родпостями показателя преломления //Изв. вузов. Радиофизика. 1985. Т. 28. №9. С. 1149-1159.

145. А.В. Аистов, В.Г. Гаврилсико. Особенности рассеяния света при распространении в хаотической срсдс вдоль вытянутых неоднородное!ей //Оптика и спектроскопия. 1997. Т. 83. № 3. С. 427-432.

146. П.В. Зубарева. Применение уравнения диффузии лучей для описания флуктуаций интенсивности света в случайно-неоднородной срсде //Изв. вузов. Радиофизика. 1973. Т. 16. № 2. С. 310-312.

147. D.I. Zwillinger, B.S. White. Propagation of initially plane waves in the region of random caustics //Wave motion. 1985. № 7. P. 207-227.

148. R. Dashcn. Distributions of intensity in a multiply scattering medium //Opt. Lett. 1984. V. 9.1M 10-112.

149. R. Dashen, G.Y. Wang, S.M. Flatte, C. Bracher. Moments of intensity and log-intensity: new asymptotic results for waves in power-law media //JOSA. A. 1993. V. 10. №6. P. 1233-1242.

150. S.M. Flatte, D.R. Bernstein, R. Dashcn. Intensity moments by path integral techniques for wave propagation through random media, with application to sound in the occan //Phys. Fluids. 1983. V. 26. P.1701-1713.

151. K. Furutsu. On the probability distribution of irradiance in a turbulent medium //J. Phys. Soc. Jpn. 1988. V. 57. P. 1167-1172.

152. E. Jakeman, P.N. Pusey. Significance of К distributions in scattering experiments //Phys. Rev. Lett. 1978. V. 40. P. 546-550.

153. G. Parry. Measurement of atmospheric turbulence induced intensity fluctuations in a laser beam //Opt. Acta. 1981. V. 28. P. 715-728.

154. G.Y. Wang, R. Dashcn. Intensity moments for waves in random media: three-order standard asymptotic calculation //JOSA. A. 1993. V. 10. № 6. P. 1226-1232.

155. М.И. Рабинович, Д.И. Трубецков. Введение в теорию колебаний и воли. М.: Паука, 1984.432 с.

156. А.С. Мопии, A.M. Яглом. Статистическая гидромеханика. Ч. 1,2. М.: Паука, 1965, 1967.

157. JI.A. Апресян, Ю.А. Кравцов. Теория переноса излучения. М.: Наука, 1983.216 с.

158. JI.А. Апресян, Ю.А. Кравцов. Фотометрия и когерентность: волновые аспекты теории переноса излучения //УФН. 1984. Т. 142. № 4. С. 689-711.

159. II. Brcmmer. General remarks concerning theories dealing with scattering and diffraction in random media //Radio Sci. 1973. V. 8. № 6. P. 511-534.

160. C. Garrett, W.I1. Munk. Spacetimc scales of internal waves: A progress report //J. Gcophys. Res. 1975. V. 80. P. 291-297.

161. B.G. Buchler. Volume propagation experiments at the Azores fixed acoustic range. Naval Underwater Systems Center, Tech. rep. 5785. 1979.

162. A.W. Ellinthorpe ct al. Naval Underwater Systems Center Tech. Memo, associated with the joint occanographic /Acoustic Experiment, NUSC 4551, 3103-6677,4647; 1975-77, New London, CT, 1977.

163. S.M. Flatte, R. Dashcn, W.H. Munk, K.M. Watson, F. Zachariasen. Sound transmission through a fluctuating ocean. New York: Cambridge Univ. Press.1979.

164. А.И. Саичев, M.M. Славииский. Уравнения для момент пых функций воли, распространяющихся в случайно-неоднородных средах с вытянутыми пеод-породпосгями //Изв. вузов. Радиофизика. 1985. Т. 28. № 1. С. 75-83.

165. JI.A. Чернов. Уравнения для статистических моментов поля в случайно-неоднородной среде //Акустический журнал. 1969. Т. 15. № 4. С. 594-603.

166. А.И. Григорьев, Т.И. Сидорова. О некоторых закономерностях оседания и аккумуляции па местности промышленного аэрозоля //ЖТФ. 1998. Т. 68. Вып. 3. С. 20-24.

167. G.T. Csanady. Turbulent diffusion in the environment. D. Reidel Publ. Сотр.,1980. 250 p.

168. A.I. Saichev, W.A. Woyczynski. Distributions in the Physical and Engineering Scienccs. Boston: Birkhanser, 1997. 336 p.

169. A. Okubo. Diffusion and Ecological Problems: Mathematical Models (Bio-mathematics. Vol. 10). Berlin: Springer-Verlag, 1990.

170. И.С. Жукова, А.И. Саичев. Статистика эйлерова поля плотности пассивной примеси в несжимаемой и сжимаемой средах //ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 5. С. 788-797.

171. В.И. Кляцкип. Статистическое описание диффузии пассивной примеси в случайном поле скоростей //УФП. 1994. Т. 164. № 5. С. 531-544.

172. A. Careta, F. Sagues, L. Ramirez-Piscina, J.M. Sancho. Effective diffusion in a stochastic velocity field //J. Stat. Phys. 1993. V. 71. № 1/2. P. 235-242.

173. A. Crisanti, A. Vulpiani. On the effect of noise and drift on diffusion in fluids //J. Stat. Phys. 1993. V. 70. № 1/2. P. 197-211.

174. M. Lesicur. Turbulence in Fluids: Stochastic and Numerical Modelling (Fluid Mechanics and its Applications. Vol. 1. 2-nd ed. Dordrccht: Kluwer Acad. Publ. 1990.

175. W.D. McComb. The Physics of Fluid Turbulence (Oxford Engineering Sci. Ser. Vol. 25). Oxford: Clarendon Press, 1990.

176. G. Dagan. Theory of solute transport by groundwater //Annu. Rev. Fluid Mech. 1987. V. 19. P. 183-213.

177. G.K. Batchelor. Small-scale variation of convected quantities like temperature in turbulent fluid. Part 1. General discussion and the case of small conductivity //J. Fluid Mech. 1959. V. 5. P. 113-133.

178. G.K. Batchelor, I.D. Howells, A.A. Townsend. Small-scale variation of convected quantities like temperature in turbulent fluid. Part 2. The case of large conductivity//J. Fluid Mech. 1959. V. 5. P. 134-139.

179. G.I. Taylor. The spectrum of turbulence //Proc. R. Soc. London Ser. A. 1938. V. 164. P. 476.

180. H. Chen, S. Chen, R.H. Kraichnan. Probability distribution of a stochastically advected scalar Held //Phys'. Rev. Lett. 1989. V. 63. № 24. P. 2657-2660.

181. R.H. Kraichnan. Small-scale structure of a scalar Held convected by turbulence //Phys. Fluids. 1968. V. 11. P. 945-963.

182. R.H. Kraichnan. Diffusion by a random velocity field //Phys. Fluids. 1970. V. 13. № I. P. 22-31.

183. R.I I. Kraichnan. Passive-scalar convection by a quasi-uniform random straining Held //J. Fluid Mech. 1974. V. 64. P. 737-762.

184. P.I I. Roberts. Analytical theory of turbulent diffusion //J. Fluid Mech. 1961. V. 11. P. 257-283.

185. P.G. SalTman. Application of the Wiener-IIermite expansion to the diffusion of a passive scalar in a homogeneous turbulent flow //Phys. Fluids. 1969. V. 12. № 9. P. 1786-1798.

186. В.И. Кляцкип, W.A. Woyczynski. Флуктуации пассивной примеси с ненулевым средним градиента концентрации в случайном поле скоростей //ЖЭТФ. 1995. Т. 108. С. 1403-1410.

187. М. Avellaneda, A.J. Majda. Mathematical models with exact renormalization for turbulent transport //Commun. Math. Phys. 1990. V. 131. P. 381-429.

188. F. Gao. An analytical solution for the scalar probability density function in homogeneous turbulence//Phys. Fluids A: Fluid Dyn. 1991. V. 3.№4. P. 511-513.

189. Y. Kimura, R.H. Kraichnan. Statistics of an advcctcd passive scalar //Phys. Fluids A: Fluid Dyn. 1993. V. 5. № 9. P. 2264-2277.

190. V.I. Klyatskin, W.A. Woyczynski, D. Guraric. Diffusion passive tracers in random incompressible velocity Hows: Statistical topography aspects //J. Stat. Phys. 1996. V. 84. №3/4. P. 797-836.

191. R.I I. Kraichnan. Anomalous scaling of a randomly advcctcd passive scalar //Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 1016-1019.

192. T.C. Lipscombe, A.L. Frcnkcl, D. ter Haar. On the convection of a passive scalar by a turbulent Gaussian velocity field //J. Stat. Phys. 1991. V. 63. P. 305.

193. A.J. Majda. The random uniform shear layer: An explicit example of turbulent diffusion with broad tail probability distributions //Phys. Fluids A: Fluid Dyn. 1993. V. 5. №8. P. 1963-1970.

194. Ya. G. Sinai, V. Yakhot. Limiting probability distributions of a passive scalar in a random velocity field //Phys. Rev. Lett. 1989. V. 63. № 18. P. 1962-1964.

195. В.И. Кляцкип, Д. Гурарий. Когерентные явления в стохастических динамических системах//УФН. 1999. Т. 169. №2. С. 171-207.

196. А.И. Саичев, И.С. Жукова. Эффект турбулентной локализации примеси //Актуальные проблемы статистической радиофизики (Малаховский сборник). 2004. Т. 3. С. 47-65.

197. U. Frisch. Turbulcncc. The legacy of A.N. Kolmogorov /Cambridge University Press. Cambridge. 1995.

198. U. Frisch, A. Mazzino, M. Vergassola. fntcrmittency in passive scalar advcction //Phys. Rev. Lett. 1998. V. 80. № 25. P. 5532-5535.

199. M.B. Isichenko. Percolation, statistical topography, and transport in random media //Rev. Mod. Phys. 1992. V. 64. № 4. P. 961-1043.

200. V.S. L'vov, I. Procaccia, A.L. Fairhall. Anomalous scaling in fluid mechanics: The case of passive scalar //Phys. Rev. E. 1994. V. 50. P. 4684-4704.