Методы Монте-Карло для определения лагранжевых статистических характеристик турбулентности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК РОССИИ СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ НЕНТР

На правах рукописи

УДК 519.245

Эсенаманон Гаплан Меченович

МЕТОДЫ МОНТЕ - КАРЛО ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛАГРАНЖЕВЫХ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТУРБУЛЕНТНОСТИ

01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

РГ8 0 а

»» /

» г. ■ »

НОВОСИБИРСК -

1993

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете

Научные руководители - доктор физико - математических

наук, профессор К. К. Сабельфельд кандидат физико - математических наук О. А. Курбанмурадов

Официальные оппоненты - доктор физико - математических

наук, профессор А. Ф. Курбацкий кандидат физико - математических наук С. В. Рогазинский

Ведущая организация - Институт химической кинетики и горения СО РАН

Защита состоится .^М^Щг 1993 г. вIV..... час.

на заседании специализированного совета К 002.10.01 по присуждению ученой степени кандидата физико -математических наук в Вычислительном центре СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск 90, просп. Академика

Лаврентьева, 6 С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки ВП СО РАН (пр. Академика Лаврентьева, 6).

Автореферат разослан "М." 1993 г.

Ученый секретарь специализированного сонета ")

д. ф. м. н. ) /— 7 Ю. И. Кузнецов.

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Лагранжев подход для изучения таких явлений как турбулентная диффузия (т. е. распространение примесей в турбулентных средах) является более естественным, чем эйлеров подход. Однако, в лагранжевом подходе необходимо преодолеть трудности того же характера (проблема замыкания), что и в общей теории турбулентности.

При изучении лагранжевых статистических характеристик турбулентности можно применить два подхода: полуэмпирический и прямое статистическое моделирование (Метод Монте - Карло). Суть метода Монте - Карло (ММК) состоит в моделировании реализаций траекторий частиц, переносимых турбулентным потоком с последующим нахождением интересующих статистических характеристик на основе этих реализаций. В полуэмпирическом подходе используется ряд гипотез с помощью которых замыкают уравнения для лагранжевых статистических характеристик.

Каждый из указанных подходов имеет свои преимущества и недостатки. Полуэмпирический подход основан на гипотезах замыкания, рамки применимости которых недостаточно ясны. ММК является более трудоемким и менее универсальным (из - за ограниченной возможности моделирования на ЭВМ полей скоростей произвольной структуры), но имеет очень важное преимущество, заключающееся в его строгости. Эти два подхода являются взаимодополняющими. Так, например, на основе ММК могуть быть численно исследованы замыкающие соотношения и границы их применимости.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Настоящая диссертационная работа посвящена разработке алгоритмов и моделирующих формул ММК для определения лагранжевых статистических характеристик турбулентности и изучению ряда имеющихся теорий полуэмпирического подхода на основе разработанных методов.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе применяется метод прямого статистического моделирования для определения лагранжевых статистических характеристик турбулентности.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации получены следующие основные результаты:

- Разработаны моделирующие формулы для изотропных бездивергентных случайных полей, описывающих классическую изотропную турбулентность в инерционном и вязком интервалах для ряда спектров флуктуаций скоростей, в частности, с учетом зависимости времени жизни вихрей от их размера.

- Для рассмотренных классов полей скоростей изучены связи между эйлеровыми и лагранжевыми статистическими характеристиками. Численный расчет позволил выяснить границы применимости некоторых известных теоретических связей такого рода.

- На основе разработанных методов проведена серия расчетов по вычислению лагранжевой корреляционной функции и тензора дисперсий, где численно изучены широко используемые эмпирические связи и уточнены некоторые константы в таких зависимостях.

Все полученные в диссертации результаты являются но-

выми.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Полученные результаты носят теоретический и практический характер и могут быть использованы в дальнейших исследованиях по турбулентности (процессы распространения примесей в атмосфере).

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались и обсуждались:

- на конференциях молодых ученых ВЦ СО РАН (Новосибирск, 1991, 1992 гг.);

- на международной конференции студентов и аспирантов в НГУ (Новосибирск, 1993 г.);

- на международной научно - практической конференции "Дифференциальнь1е уравнения и их приложения" (г. Ашгабат, 1993 г.);

- на объединенном семинаре отдела статистического моделирования в физике ВЦ СО РАН и кафедры Вычислительной математики Новосибирского государственного университета под руководством члена - корреспондента РАН Г. А. Михайлова.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [4].

СТРУКТУРА И ОБЬЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих восемь параграфов, заключения, списка литературы из 110 наименований и приложения. Обьем работы - 150 машинописных страниц, включая три таблицы и 35 рисунков.

II. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дан краткий экскурс в историю и современ-

ное состояние науки о турбулентности, приведены основополагающие идеи имеющихся научных направлений в изучении турбулентности. Кратко излагается метод прямого статистического моделирования, который используется в диссертации. Лалее во введении приведена постановка основных задач, сделан обзор предшествующих работ и также приведено краткое содержание диссертации.

В главе I («Модели поля скоростей и моделирующие формулы») расматриваются алгоритмы ММК для определения лагранжевых статистических характеристик турбулентности.

§1.1 носит вспомогательный характер. Здесь приводятся основные факты и определения, используемые в дальнейшем. Приведем и здесь основные определения.

Пусть й(х,г) = (и1(х,1),и2(х^),и3(х,1)) - однородное и стационарное эйлеровое случайное поле со средним полем скорости < й(х, ¿) > и флуктуационной составляющей г?(х, I) = («и^0>г//2(ж,г),е .К3^ € -К). Здесь и далее угловые скобки < • > означают осреднение по ансамблю реализаций поля скоростей турбулентного течения.

Определим эйлеров пространственно-временной тензор поля скорости при помощи равенства

Вц(г,г) =<и';(х,а)и'1{х + г,а + г)>> ге^.аеД, = 1,2,3. (1) Введем также преобразования Фурье функций =

1,2,3:

кев?,и> € И, 3,1 = 1,2,3, (2)

- чйлеровый полный пространственно-временной спектральный тензор,

ф;((£, О = Щь I ЛРВ^Р, Ое--, ],1 = 1,2,3, (3)

я3

- эйлеровый частичный пространственно-временной спектральный тензор. Пусть У(ж0,О = (У1(хо^),У2(х0^),У3(х0^))-лагранжево поле со средним полем < У(жо,0 > и флуктуаци-онным полем У'(х0,0 = (У{(хо.О^г'С^сьО^з'С^сьО) ~ положение частицы в начальный момент времени ¿о)- Определим лагранжев корреляционный тензор при помощи равенства

В<-р{1)=< у!(х0,з)ц'(х„,5 + 0 >, Жо 6 е Л, 7,/=1,2,3.

(4)

Пусть Х(х(),1) — (Х,(хо,0, А"2(жо, 0, 0Ь лагранжева траек-

тория «х-частицы». Введем вектор смещения

«0+1

К(£о,0 = + 0 - «о = ! У{х^т)йт. (5)

«о

Введем обозначения: У;(.то,0>.? = 1,2,3 компоненты, < У(жа,£) > - средняя, У'(жо,0 ~ флуктуационная составляющая вектора У(х0,1); У-{х0,0, .7 = 1,2,3 компоненты вектора

у'(.т0, о.

Определим лагранжев тензор дисперсии смещения частицы:

адо =< +о >, 3,1 = 1,2,3. (б)

Введем также следующие обозначения:

=< и'Дг,«!)«;^,/! + 0 >, #¿(0 =< У{(х0,и)У{(х0,и + 0 >,

(7)

- соответственно эйлеровая и лагранжевая временные корреляционные функции скоростей вдоль одной выбранной координаты ,

- лагранжевая дисперсия смещения вдоль одной выбранной координаты.

В §1.2 построена модель трехмерного энергетического спектра Е(к), который охватывает вязкую и инерционную области масштабов волновых чисел одновременно. Эта модель имеет следующий вид:

и зависит от параметров Ь, ё и ь> и от универсальной константы С\. Здесь С1 - универсальная константа закона "пяти -третьей" Колмогорова - Обухова, е - удельная скорость диссипации кинетической энергии турбулентности, кт¡л - минимальное волновое число, Ь - внешний масштаб турбулентности, т] = (¡у3/!)1^ - колмогоровский масштаб, 1/ - кинематическая вязкость, £ - некоторая константа (параметр модели), ;х'о - точка «сшивки». Рекомендуются значения точки «сшивки» а:0 е [0.3,0.4] и 9.82 < £ < 10.82 при значениях универсальной константы 1.3 < С\ < 1.5.

Построенна-я модель наиболее соответствует имеющимся экспериментальным данным по измерению аз2¿¿¿(ас), очень чувствительной к виду спектра в области аз = 1. Здесь Ец,(зе)

=< У{(х0,и)У1{х0,и +г)>

(8)

0,

Е(к) = С^АГ5'3,

ь 30игк [(£т?*02 - + 1)] е-«"ь, к > ко

(9)

- одномерный продольный спектр.

Кроме что го в §1.2 предложена модель несжимаемого, гауссовского, стационарного, однородного и изотропного поля скоростей с построенным выше энергетическим спектром.

В §1.3 предложены модели спектральных функций Ф¿/(/г, <х>), учитывающих зависимости времени жизни вихрей от их размера, имеющие следующий вид (р = 1,...,4 - номер модели):

<t>?l{k,w) = Fjl(k)-qp(k,u), к = \к\ = у/Щ + Щ + Щ, l,m = 1,...,3,

(10)

где з

wi)«(*.«)- ж"*5'

7г(а2е ' к4/3 + w2) 2s4ik2i3\/aix

qA(k,w) -

_ _аЁ'13к21\а2ё213кА13 + ц2£2'ак*13 + и2)_

~ 7Г[«2£2/3А4/3 + (/X£l/3fc2/3 _ w)2j[ft2£2/3fc4/3 + ^'Зк2!3 + w)2] '

fco,« > 0,¿i > 0 - параметры моделей.

Здесь же для введенного класса спектральных функции построена модель гауссовского, однородного, стационарного и изотропного случайного поля скоростей и приведены все моделирующие формулы, при помощи которых далее, посредством решения уравнения движения, находим интересующие нас лагранжевые статистические характеристики.

Вторая глава называется «Связь эйлеровой и лагранже-вой статистических характеристик».

В §2.1 проведена параметризация моделей, т. е. выбраны параметры определяющие наши модели спектральных функций.

В §2.2 введены новые модели частичного пространственно-временного спектрального тензора tyj¡{k,t) с учетом зависимости времени жизни вихрей от их размера (без вязкого интервала). В этих моделях трехмерный энергетический спектр задается законом Колмогорова - Обухова:

СiE ^ к ^ , kmin ^ к < ктах

Е(к) = { (И)

О, иначе

оо

и условием нормировки f E(k)dk = |u§. Модели являются

о

следующими ( р - номер модели): где

гг(к) = -i-, r2(fc) = t3(ä) = r4(fc) = (ё^2)"1/3, fco u0

^^ = eXp{-0(¿))2}' = eXp{~a^)}C0S(M¿))-

Введение таких моделей обосновывается общей теорией изотропных полей, теорией размерностей и подобия. Отметим, что

Щк,и>) = ^ р— 1,... ,4, j,l = 1,2,3.

§2.3 посвящена изучению теоретических методов определения лагранжевых статистических характеристик.

В первом пункте §2.3 выведены соотношения на основе гипотезы Тейлора-Макнамары. Приведем это предположение. Пусть й(х, t) без дивергентное, однородное, стационарное случайное эйлеровое поле скоростей с нулевым средним. Для

поля i7(.r, t) справедливо спектральное представление (необходимые для этого условия предполагаются)

uj(x,t) = J /k3dZj(k,t), j= 1,2,3, (13)

я3

где dZj(k,t) - случайная амплитуда, обладающая следующими свойствами:

dZj(—k,—i) = dZj(k,t), <dZj(k,t)>= 0, j = 1,2,3, (14)

< dZ'{kJ)d,Zi{kuU) >~ 6{к-кх)^ц(к,Ц - t)dkdku jj= 1,2,3,

(15)

а звездочка означает операцию комплексного сопряжения, б(-) - дельта - функция Дирака. Гипотеза Тейлора - Мак-намары состоит в следующем:

< dZ'{k,Q)dZi{kutyhf^i] >~

~< dZ](k,Q)dZi(kut) > • < > . (16)

Применение гипотезы (16) позволяет получить следующие уравнения (т. е. (16) является замыкающим соотношением), связывающие с Фji{k,t) и Вц{т,1) :

Bf{t) = J Фj,(k, t) < е1'"^ > dk, i, / = 1,2,3, (17)

и

B^\t) = j Bji(r, г)Р^г, t)dr, J, i = 1,2,3, (18)

где PAf,t) - плотность распределения вектора £ = —

.Дополнительное предположение о нормальности вектора У(жп,0 позволяет получить из (17) - (18) следующие уравнения:

п,тп=1

3

Ппт(1)кпкт}с1к, (19)

с12Рц(1) = Л2

у/а г 1 3

= —-^Г \{Вц{г,1) + %(г,0)ехр{-- £ дап(1)гпгт}йг =

' /" 1

, ,т + Вл(-г,-1))схр{-- > длт{1)гпгт}<1г,

2 п,т=1

г = (п,г2,гз). (20)

Если предположить изотропность поля й{х,1), то из (19) получаем

(1Ч){1) 4

-¡¡^Мщ^-ът*}*. (21)

о

Ланное равенство при известных т(к),<р(цщ), К(к), с учетом начальных условий В{0) = 7/(0) = 0 и соотношения /?&(£) = позволяет находить Второй пункт §2.3 посвящен другому методу, который дает возможность получить конкретные аналитические выражения для функции Вь{1). Лля этого предполагается, что

w(;f, i) - нрсжммаемое, однородное, стационарное, гауссовское и изотропное поле с нулевым средним. Рассмотрим итерационный процесс

n = 0,1,2,---- (22)

J о

Данный итерационный процесс позволяет получить аналитическое выражение для Bi(t) только для второй итерации. Отметим, что существенную роль при этом играет гаус-совость поля u(x,t). Окончательный результат при этом таков:

Су у* СО л rt ft ГОО

BL{t) = - / dkE(k,t)exP{--k2 / dr, / dr2 / dsEts.Ty - r2)}, ■> Ja Jо Jо Jo

(23)

где E(k,t) = Соотношение (23) при известных мо-

делях r(fc),<p(^) с учетом Bb(t) = ^ffi позволяет находить

BUt),D(t).

Конкретные выражения для наших моделей мы не

будем приводить в виду их громоздкости.

В третьем пункте §2.3 получена новал функциональная связь между Вь{1) и B^(t). Эта связь имеет вид:

оо

BL{t) = ^ J H{Us,D{t),t)BE{s)ds, (24)

о

где U - модуль среднего эйлерового поля скорости,

со

H(r,D(t),t) = j eikTA{k,D{t),t)dk, (25)

— ОО

A(k,D(i),t) =

= HVDe-W){xi(fc)_^[_5r'(fc) + 2k*D(t)T'(k) - kr"(k)+

- кЧт'[к)^} + - бкЩг) + 3}, (26)

Т\К) (рТ \гС)

С1Л

аУт{к)!

Третья глава называется «Границы применимости теоретических методов и некоторые физические приложения».

§3.1 посвящена изучению границ применимости имеющихся теоретических методов определения лагранжевых статистических характеристик турбулентности.

В первом пункте этого параграфа изучена границы применимости соотношений на основе гипотезы Тейлора - Мак-намары для определения Вь{1) (Первый метод). Лля этого сравнивались В¿(¿)> вычисленные по ММК и на основе соотношения (21) для введенных моделей Ф¿¡(к,{) (12). Выяснено, что для первых двух моделей сотношение (21) дает удовлетворительный результат до времен 2 — 3Т/, (77, - лагранже-вое время корреляции, под которым мы будем подразумевать время спадения Дг,(£) до значения е-1.). Лля третьей модели соотношение (21) дает верный результат до времен 4 — ТЛ\. Для четвертой модели соотношение (21) не дает удовлетворительного результата вообще.

Во втором пункте §3.1 изучались границы применимости метода последовательных приближений для определения Дс(£) (Второй метод). Для этого сравнивались Вь(1), вычисленные по ММК и на основе формулы (23) для введенных моделей ^¡¡{к^) (12). Выяснено, что для первой модели формула (23) дает верный результат до времен 1 — 2Ть-Для второй модели формула (23) дает удовлетворительный результат до времен 1Т^. Для третьей модели формула (23)

лает удовлетворительный результат до времен 4 — 5Ть- Лля четвертой модели (23) не дает удовлетворительного результата вообще.

В §3.2 изучены эмпирические гипотезы относительно эйлеровой и лагранжевой корреляционных функций (в первом пункте гипотеза об экспоненциальном спадении корреляционных функций, а во втором пункте гипотеза о подобии корреляционных функций). Гипотеза об экспоненциальном спадении означает, что Ви Ве(£) имеют следущие виды:

5£(0 = е-5?, Вв{ 0 =

где Те - эйлеровое время корреляции, под которым подразумевается время спадения ¿?е(4) до значения е-1. Для В выяснено:

1) данные по ММК в случае I, IV моделей удовлетворительно аппроксимируются экспоненциальными кривыми по крайней мере до времен 1 Ть, а в случае ИДИ моделей по крайней мере до времен 2 — 3Т^,

2)для всех моделей данные по первому методу удовлетворительно аппроксимируются экспоненциальными кривыми по крайней мере до времен 2 — 3Ть,

3)данные по второму методу удовлетворительно аппроксимируются экспоненциальными кривыми по крайней мере до времен 1ТЬ для первой модели и по крайней мере до времен 2 — 3Ть для всех остальных моделей.

Для Ве{$) экспоненциальная гипотеза не верна в случае первой модели, а для остальных моделей эта гипотеза приближенно верна по крайней мере до времен 1 — 2Те.

Во втором пункте выяснено, что в известной гипотезе о

подобии

ВЬ;И) = 0х(ДО,

равенство приближенно выполнено по крайней мере до времен 1 Тс для II - IV моделей в случае ММК и /,// методов (для первой модели эта гипотеза ле верна).

В приложении приведены конкретные выражения для ядер #(г, £>((), 4) в связи (24)-;(26) для введенных моделей Ф?;(М), р= 1,... ,4, ¿¿ = 1,...,3,<12).

В заключение автор выражает благодарность своим научным руководителям д. ф.-м. н, профессору К. К. Сабель-фельду и к. ф.-м. н. О. А. Курбанмурадову за постановку задач и постоянное внимание ж работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

[1]. Курбанмурадов О. А., Сабельфельд К. К., Эсенаманов Г. М. Ь— с — I/ модель локально-изотропной турбулентности. Сб. трудов В11 СО РАН. Серия математическое моделирование, 1993 г., с. 113- 121.

[2]. Курбанмурадов О. А., Эсенаманов Г. М. О связи между эйлерово и лагранжево характеристиками изотропной турбулентности. // Труды научно - практической конференции "Дифференциальные уравнениям их приложения". Ч. II. Ашгабат. 1993 г. с. 129 - 134.

[3]. Сабельфельд К. К., Эсенаманов Г. М. О структуре лагранжевой корреляции при движении частиц в случайном изотропном поле скоростей. "Вычислительная математика и статистическое моделирование". — Новосибирск, ВИ СО РАН

1993 г.

[4]. Курбанмурадов О. А., ^Эсенаманов Г. М. О некото-

рых связях лагранжевых и эйлеровых статистических характеристик турбулентности. "Вычислительная математика и статистическое моделирование". - Новосибирск, ВН СО РАН 1993 г.