Методы Монте-Карло для определения лагранжевых статистических характеристик турбулентности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК РОССИИ СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

На, правах рукописи

УДК 519.245

Эсенаманов Гаплан Меченович

МЕТОДЫ МОНТЕ - КАРЛО ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛАГРАНЖЕВЫХ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТУРБУЛЕНТНОСТИ

01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

НОВОСИБИРСК - 1993

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете

Научные руководители - доктор физико - математических

наук, профессор К. К. Сабельфельд кандидат физико - математических наук О. А. Курбанмурадов

Официальные оппоненты - доктор физико - математических

наук, профессор А. Ф. Курбадкий кандидат физико - математических наук С. В. Рогазинский

Ведущая организация - Институт химической кинетики и горения СО РАН

Защита состоится ".¿1:9..." 1993 г. в час.

на заседании специализированного совета К 002.10.01 по присуждению ученой степени кандидата физико -математических наук в Вычислительном центре СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск 90, просп. Академика

Лаврентьева, 6 С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки ВП СО РАН (пр. Академика Лаврентьева, 6).

Автореферат разослан "Д5." 1993 г.

.Ученый секретарь специализированного совета ]

д. Ф- м. н. ) / Ю. И. Кузнецов.

I. ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Лагранжев подход для изучения таких явлений как турбулентная диффузия (т. е. распространение примесей в турбулентных средах) является более естественным, чем эйлеров подход. Однако, в лагранжевом подходе необходимо преодолеть трудности того же характера (проблема замыкания), что и в общей теории турбулентности.

При изучении лагранжевых статистических характеристик турбулентности можно применить два подхода: полуэмпирический и прямое статистическое моделирование (Метод Монте - Карло). Суть метода Монте - Карло (ММК) состоит в моделировании реализаций траекторий частиц, переносимых турбулентным потоком с последующим нахождением интересующих статистических характеристик на основе этих реализаций. В полуэмпирическом подходе используется ряд гипотез с помощью которых замыкают уравнения для лагранжевых статистических характеристик.

Каждый из указанных подходов имеет свои преимущества и недостатки. Полуэмпирический подход основан на гипотезах замыкания, рамки применимости которых недостаточно ясны. ММК является более трудоемким и менее универсальным (из - за ограниченной возможности моделирования на ЭВМ полей скоростей произвольной структуры), но имеет очень важное преимущество, заключающееся в его строгости. Эти два подхода являются взаимодополняющими. Так, например, на основе ММК могуть быть численно исследованы замыкающие соотношения и границы их применимости.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Настоящая диссертационная работа посвящена разработке алгоритмов и моделирующих формул ММК для определения лагранжевых статистических характеристик турбулентности и изучению ряда имеющихся теорий полуэмпирического подхода на основе разработанных методов.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе применяется метод прямого статистического моделирования для определения лагранжевых статистических характеристик турбулентности.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации получены следующие основные результаты:

- Разработаны моделирующие формулы для изотропных бездивергентных случайных полей, описывающих классическую изотропную турбулентность в инерционном и вязком интервалах для ряда спектров флуктуаций скоростей, в частности, с учетом зависимости времени жизни вихрей от их размера.

- Для рассмотренных классов полей скоростей изучены связи между эйлеровыми и лагранжевыми статистическими характеристиками. Численный расчет позволил выяснить границы применимости некоторых известных теоретических связей такого рода.

- На основе разработанных методов проведена серия расчетов по вычислению лагранжевой корреляционной функции и тензора дисперсий, где численно изучены широко используемые эмпирические связи и уточнены некоторые константы в таких зависимостях.

Все полученные в диссертации результаты являются но-

вы ми.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Полученные результаты носят теоретический и практический характер и могут быть использованы в дальнейших исследованиях по турбулентности (процессы распространения примесей в атмосфере).

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались и обсуждались:

- на конференциях молодых ученых ВЦ СО РАН (Новосибирск, 1991, 1992 гг.);

- на международной конференции студентов и аспирантов в НГУ (Новосибирск, 1993 г.);

- на международной научно - практической конференции "Дифференциальшле уравнения и их приложения" (г. Ашгабат, 1993 г.);

- на обьединенном семинаре отдела статистического моделирования в физике ВЦ СО РАН и кафедры Вычислительной математики Новосибирского государственного университета под руководством члена - корреспондента РАН Г. А. Михайлова.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [4].

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих восемь параграфов, заключения, списка литературы из 110 наименований и приложения. Обьем работы - 150 машинописных страниц, включая три таблицы и 35 рисунков.

II. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дан краткий экскурс в историю и современ-

ное состояние науки о турбулентности, приведены основополагающие идеи имеющихся научных направлений в изучении турбулентности. Кратко излагается метод прямого статистического моделирования, который используется в диссертации. Далее во введении приведена постановка основных задач, сделан обзор предшествующих работ и также приведено краткое содержание диссертации.

В главе I («Модели поля скоростей и моделирующие формулы») расматриваются алгоритмы ММК для определения лагранжевых статистических характеристик турбулентности.

§1.1 носит вспомогательный характер. Здесь приводятся основные факты и определения, используемые в дальнейшем. Приведем и здесь основные определения.

Пусть и(х,1) = («1(г,^),Ы2(я,^),Ыз(ж,<)) - однородное и стационарное эйлеровое случайное поле со средним полем скорости < й(х,г) > и флуктуационной составляющей &(х,1) = (и'1(ж,4),и'2(®^),из(®,<))(£ € Л3^ € Я). Здесь и далее угловые скобки < • > означают осреднение по ансамблю реализаций поля скоростей турбулентного течения.

Определим эйлеров пространственно-временной тензор поля скорости при помощи равенства

Вц{г,г) =< и$(2,зХ(ж + г,в + «) >, гЕЯ?,зе11, = 1,2,3. (1)

Введем также преобразования Фурье функций Вц{г,1),з, I = 1,2,3:

3,1= 1,2,3, (2)

- эйлеровый полный пространственно-временной спектральный тензор,

ф,-((М) = 1 ¿гВх(г,г)е-*У, ¿,1 = 1,2,3, (3)

я3

- эйлеровый частичный пространственно-временной спектральный тензор. Пусть У{х0,Ь) = £), ^з(аГо, £))-лагранжево поле со средним полем < У(х> и флуктуаци-онным полем У'(хо,1) = (^о _ положение частицы в начальный момент времени 10). Определим лагранжев корреляционный тензор при помощи равенства

Б^](1)=< У}Цхо,з)Ц'(хо,я+г) >, ¿,¿ = 1,2,3.

(4)

Пусть Х(аГо,() = (Х1(жо,г),Х2(жо,г),Хз(жо,4))- лагранжева траектория «х-частицы». Введем вектор смещения

У(х0,Г) = Х{хй,ц+г)-х0= [ У(х0,т)<1т. (5)

Введем обозначения: — 1,2,3 компоненты,

< У{хч,1) > - средняя, У'(аГо,<) - флуктуационная составляющая вектора УДж0,2)> ] = 1,2,3 компоненты веЙтора

У'(£о,0-

Определим лагранжев тензор дисперсии смещения частицы:

!>;,(*) =< удздг/ого.а + о >, = 1,2,3. (6)

Введем также следующие обозначения:

ВЕ(1) =< и'^х^У^х,^ + 0 >, ВЬЦ) =< У{{х0,Ь)У{(х0,и + г) >,

(7)

- соответственно эилеровая и лагранжевая временные корреляционные функции скоростей вдоль одной выбранной координаты ,

1>(0 =< У{{х0,Ь)УЦг0,Ь + г) > (8)

- лагранжевая дисперсия смещения вдоль одной выбранной координаты.

В §1.2 построена модель трехмерного энергетического спектра Е(к), который охватывает вязкую и инерционную области масштабов волновых чисел одновременно. Эта модель имеет следующий вид:

Е(к) = <

_ 2тг

0, К <С /¿гшп — ^ >

С^к-5'3, кт;п <к<к0 = ^-

30- ^ф + 1)]е-^, к > ко,

(9)

и зависит от параметров Ь, е и и и от универсальной константы С\. Здесь С\ - универсальная константа закона "пяти -третьей" Колмогорова - Обухова, е - удельная скорость диссипации кинетической энергии турбулентности, кт{п - минимальное волновое число, Ь - внешний масштаб турбулентности, т) = (к3/?)1/4 - колмогоровский масштаб, и - кинематическая вязкость, £ - некоторая константа (параметр модели), ае0 - точка «сшивки». Рекомендуются значения точки «сшивки» аео € [0.3,0.4] и 9.82 < £ < 10.82 при значениях универсальной константы 1.3 < С\ < 1.5.

Построенная модель наиболее соответствует имеющимся экспериментальным данным по измерению аэ2£^х,(эе), очень чувствительной к виду спектра в области ае — 1. Здесь Ец{га)

- одномерный продольный спектр.

Кроме »того в §1.2 предложена модель несжимаемого, гаусс омского, стационарного, однородного и изотропного поля скоростей с построенным выше энергетическим спектром.

В §1.3 предложены модели спектральных функций Фучитывающих зависимости времени жизни вихрей от их размера, имеющие следующий вид (р — 1,... ,4 - номер модели):

= *>,(£)•%,(*,и), к = \Щ = у/Щ + Щ+Щ, 1,т = 1,...,3,

(10)

где 2

а^1/Зк2/3 1 „1

(к, и>) =

_ _аё'/У^Уё2/3^/3 + /Дг*/3к*'3 + ы2)_

~ 7г[а2£2/3^4/3 + (^'/3^.2/3 _ ы)2][а2£2/ЗА,4/3 + (^/3^.2/3 + ш)2] '

ко, а > 0,(1 > 0 - параметры моделей.

Здесь же для введенного класса спектральных функций построена модель гауссовского, однородного, стационарного и изотропного случайного поля скоростей и приведены все моделирующие формулы, при помощи которых далее, посредством решения уравнения движения, находим интересующие нас лагранжевые статистические характеристики.

Вторая глава называется «Связь эйлеровой и лагранже-вой статистических характеристик».

В §2.1 проведена параметризация моделей, т. е. выбраны параметры определяющие наши модели спектральных функций.

В §2.2 введены новые модели частичного пространственно-временного спектрального тензора 4?ji(k,t) с учетом зависимости времени жизни вихрей от их размера (без вязкого интервала). В этих моделях трехмерный энергетический спектр задается законом Колмогорова - Обухова:

(С\£ ^ к ^ , kmin ^ к ктах

(Н)

О, иначе

со

и условием нормировки f E(k)dk — |tig. Модели являются

о

следующими ( р - номер модели):

= Р=1>->4> i>l=l>-->3' (12)

где

П(к) = -1-, т2(к) = т3(к) = п(к) = (ск2)~1/3, к0и0

= ехрЬ^)2>' Ч^Ь)) = ехр{-а^)>'

Введение таких моделей обосновывается общей теорией изотропных полей, теорией размерностей и подобия. Отметим, что

■lUlt

1,...,4, j,l= 1,2,3.

§2.3 посвящена изучению теоретических методов определения лагранжевых статистических характеристик.

В первом пункте §2.3 выведены соотношения на основе гипотезы Тейлора-Макнамары. Приведем это предположение. Пусть й(х,1) без дивергентное, однородное, стационарное случайное эйлеровое поле скоростей с нулевым средним. Для

поля ?7(.т,() справедливо спектральное представление (необходимые для этого условия предполагаются)

и,(г,0 = I еГкчг^к,1), ) = 1,2, з, (13)

я3

где ¿¿¡{к^) - случайная амплитуда, обладающая следующими свойствами:

<1г,{-к,-1) = сЦ-(М), < ¿¿$,1) >= 0, ¿ = 1,2,3, (14)

< ¿¿'{¿^¿¿¡(кии) >- ¿(к-£оф;-((М1 - = 1,2,з,

(15)

а звездочка означает операцию комплексного сопряжения, б(-) -- дельта - функция Дирака. Гипотеза Тейлора - Мак-намары состоит в следующем:

< ¿¿¿(куО^г^гу*1*^ ~< ¿г;{к,о)<1г!{ки1) > • < > . (16)

Применение гипотезы (16) позволяет получить следующие уравнения (т. е. (16) является замыкающим соотношением), связывающие В^(1,) с /) и В/((г,£) :

В^Ц) = I Ф,,(М) < > ¿к, з,1 = 1,2,3, (17)

и

= I Вц(?, ОР^г, 1)йг.; ¿,1 = 1,2,3, (18)

где РАг,1) - плотность распределения вектора £ = — У(а?о,г).

Дополнительное предположение о нормальности вектора У(хпЛ) позволяет получить из (17) - (18) следующие уравнения:

з

¿4)^(1)

}с/.к =

71,771=1

3

У"(Фл(А,0 + Фл(-А,-0)ехр{-^ ¿ Опт(1)кпкт}Мс, (19)

71,771—1

<12Рц(1) ¿А

г 1 3

= —тг \ {Вц{г,1)+ Вц{т,0)ехр{-- V дпт{1)гпгт}<1г =

3 71,771=1

у/О С 1 3

= 7—73- (В,1{г,г) + В]1(-г,-1))ехр{-- У] дпт{1)гпгт}(1г,

(27Г)5 •> 2 71,771=1

г = (гиг2,г3). (20)

Если предположить изотропность поля ¿), то из (19) по-

лучаем

(21)

о

Ланное равенство при известных т(к),<р(^щ), Е(к), с учетом начальных условий О(О) = О'(0) = 0 и соотношения В^(() = |л позволяет находить В^Ь).

Второй пункт §2.3 носвящен другому методу, который дает возможность получить конкретные аналитические выражения для функции Для этого предполагается, что

й{х, I) - несжимаемое, однородное, стационарное, гауссовское и изотропное поле с нулевым средним. Рассмотрим итерационный процесс

*<°>(i)=0, f(n+1)(i) = f*dTii(X<-u\r),T)t n = 0,1,2,.... (22) Jo

Данный итерационный процесс позволяет получить аналитическое выражение для Bi(t) только для второй итерации. Отметим, что существенную роль при этом играет гаус-совость поля »7(5, t). Окончательный результат при этом таков:

2 f™ 1 Г' Г°°

Bb{t) = - / dkE{k,t)exv{--k2 dn / dr2 / dsE(s,n - т2)}, J Jo J Jo Jo Jo

(23)

где E(k,t) = Е{к)<р{щу). Соотношение (23) при известных моделях т(к),1р(щу) с учетом Bl(<) = позволяет находить BL(t),D(t).

Конкретные выражения Bi{t) для наших моделей мы не будем приводить в виду их громоздкости.

В третьем пункте §2.3 получена новая функциональная связь между Bi(t) и Дв(£). Эта связь имеет вид:

оо

BL(t) = ^ J H{Us,D{t),t)BE{s)ds, (24)

о

где U - модуль среднего эйлерового поля скорости,

оо

Я(г,1)(г),г) = j eihrA(k,D{t),t)dk, (25)

— ОО

A(k,D(t),t) =

= + 2k2D(ty(k) - кт"(к)+

Тук) (рт )

аЫк)>

Третья глава называется «Границы применимости теоретических методов и некоторые физические приложения».

§3.1 посвящена изучению границ применимости имеющихся теоретических методов определения лагранжевых статистических характеристик турбулентности.

В первом пункте этого параграфа изучена границы применимости соотношений на основе гипотезы Тейлора - Мак-намары для определения (Первый метод). Лля этого

сравнивались Bi.it), вычисленные по ММК и на основе соотношения (21) для введенных моделей (12). Выяснено, что для первых двух моделей сотношение (21) дает удовлетворительный результат до времен 2 — ЗТь (Т/, - лагранже-вое время корреляции, под которым мы будем подразумевать время спадения В[,{1) до значения е-1.). Для третьей модели соотношение (21) дает верный результат до времен 4 — 5Ть. Для четвертой модели соотношение (21) не дает удовлетворительного результата вообще.

Во втором пункте §3.1 изучались границы применимости метода последовательных приближений для определения Вь{Ь) (Второй метод). Для этого сравнивались Вь(<), ВЬ1~ численные по ММК и на основе формулы (23) для введенных моделей (12). Выяснено, что для первой модели формула (23) дает верный результат до времен 1 — 2Т Для второй модели формула (23) дает удовлетворительный результат до времен 1 Ть- Для третьей модели формула (23)

лает удовлетворительный результат до времен 4 — ЪТ^. Для четвертой модели (23) не дает удовлетворительного результата вообще.

В §3.2 изучены эмпирические гипотезы относительно эйлеровой и лагранжевой корреляционных функций (в первом пункте гипотеза об экспоненциальном спадении корреляционных функций, а во втором пункте гипотеза о подобии корреляционных функций). Гипотеза об экспоненциальном спадении означает, что и ВеЦ) имеют следущие виды:

Вь{1) = е~ВЕЦ) =

где Те - эйлеровое время корреляции, под которым подразумевается время спадения (г) до значения е-1. Для выяснено:

1) данные по ММК в случае I, IV моделей удовлетворительно аппроксимируются экспоненциальными кривыми по крайней мере до времен 1Ть, а в случае II,III моделей по крайней мере до времен 2 — ЗГ£,

2)для всех моделей данные по первому методу удовлетворительно аппроксимируются экспоненциальными кривыми по крайней мере до времен 2 — 3Т^,

3)данные по второму методу удовлетворительно аппроксимируются экспоненциальными кривыми по крайней мере до времен 1 Ть для первой модели и по крайней мере до времен 2 — ЗГ^ для всех остальных моделей.

Для Вв(1) экспоненциальная гипотеза не верна в случае первой модели, а для остальных моделей эта гипотеза приближенно верна по крайней мере до времен 1 — 2ТЕ.

Во втором пункте выяснено, что в известной гипотезе о

подобии

Вя(*) = Вь№,

равенство приближенно выполнено по крайней мере до времен 1 Т^ для II - IV моделей в случае ММК и /,// методов (для первой модели эта гипотеза не верна).

В приложении приведены конкретные выражения для ядер Я(г, !>(*),*) в связи (24)-(26) для введенных моделей Ф?,(М), р= 1,...,4, ;,/= 1,...,3, (12).

В заключение автор выражает благодарность своим научным руководителям д. ф.-м. н, профессору К. К. Сабель-фельду и к. ф.-м. н. О. А. Курбанмурадову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

[1]. Курбанмурадов О. А., Сабельфельд К. К., Эсенаманов Г. М. Ь — е — V модель локально-изотропной турбулентности. Сб. трудов ВЦ СО РАН. Серия математическое моделирование, 1993 г., с. 113 - 121.

[2]. Курбанмурадов О. А., Эсенаманов Г. М. О связи между эйлерово и лагранжево характеристиками изотропной турбулентности. // Труды научно - практической конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Ч. II. Ашгабат. 1993 г. с. 129 - 134.

[3]. Сабельфельд К. К., Эсенаманов Г. М. О структуре лагранжевой корреляции при движении частиц в случайном изотропном поле скоростей. "Вычислительная математика и статистическое моделирование". - Новосибирск, ВЦ СО РАН

1993 г.

[4]. Курбанмурадов О. А., Эсенаманов Г. М. О некото-

рых связях лагранжевых и эйлеровых статистических характеристик турбулентности. "Вычислительная математика и статистическое моделирование". - Новосибирск, ВЦ СО РАН 1993 г.