Решение некоторых задач для гиперболических уравнений методом Монте-Карло тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

!

•> - .

- ' РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ПАУК

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ институт вычислительной математики и математической геофизики

На правах рукописи

БЕЛИНСКАЯ Ирина Игоревна

УДК 519.245:519.676

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск, 1998

Работа выполнена I! Институте вычислительной математики н математической геофизики Сибирского отделения РАН.

Научные руководители: д.ф.-м.н., проф. К.К. Сабельфельд,

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН; к.ф.-м.п., с.u.c. Н.А.Симонов, Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН.

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., проф. А.М.Федотов,

Институт вычислительных техиолопп"! СО РАН; к.ф.-м.н. М.Ю.Плотников, Институт теплофизики СО РАН.

Ведущая организация: Институт математики СО РАН.

Защита состоится " 1998 г. в /о' часов

на заседании специализированного совета К 002.10.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (630090, Новосибирск, пр. акад. Лаврентьева, 6).

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки ИВМнМГ СО РАН.

Автореферат разослан "

1998 г.

Ученый секретарь специализированного совета д.ф.-м.н., профессор

ч

Ю.И. Кузнецов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Большой интерес к методам Монте-Карло в последнее время вызван рядом причин, которые можно условно разделить на. два класса. С одной стороны, все большее распространение получает статистическое описание тех или иных сложных физических процессов, с связи с чем методы статистического моделирования на ЭВМ становятся естественным инструментом исследования, например, в таких областях, как статистическая физика, теория турбулентности, физико-химическая кинетика и ряде других. С дрз'гой стороны, наличие глубокой связи между дифференциальными уравнениями и случайными процессами требует всестороннего ее изучения н открывает перспективу создания новых эффективных численных методов для решения практических задач.

Метод Монте-Карло, как известно, обладает рядом специфических особенностей, учет которых позволяет строить наиболее эффективные вычислительные алгоритмы, а именно: существует возможность оценки отдельных функционалов без нахождения решения в целом, погрешность оценивается в процессе вычислений, метод мало чувствителен к размерности задачи и др.

Методы статистического моделирования разработаны для решения различных уравнении математической физики: краевых задач для линейных уравнений в частных производных, нелинейных кинетических уравнений (уравнения Больц-мана и Смолуховского). Для решения задач переноса излучения метод Монте-Карло стал уже классическим благодаря основополагающим работам Г.И.Марчука, Н.С. Бахвалова, Г.А.Михайлова, С.М.Ермакова, И.М. Соболя, Д. Кертиса, X. Капа, М. Калоса.

Следует заметить, однако, что до сих пор основное внимание уделялось разработке алгоритмов статистического моделирования для решения прямых задач, в то время как целый

пласт сложных обратных задач оставался практически нетронутым п методов Монте-Карло для их решения не существовало. В связи с этим становится ясным актуальность данной работы. Она посвящена в основном решению методом Монте-Карло таких обратных задач, в которых объектом исследования являются вопросы определения коэффициентов дифференциального уравнения по некоторым функционалам от его решений. Характерной чертой постановок этих задач является отсутствие корректности в смысле Адамара.

По типу дополнительной информации, задаваемой относительно решения прямой задачи, обратные задачи для гиперболических уравнений делятся, па три основные группы: кинематические, спектральные и динамические. Первые постановки динамических обратных задач для гиперболических уравнении были сформулированы н исследованы М.М. Лаврентьевым, В.Г. Романовым, A.C. Благовещенским, A.C. Алексеевым. В динамических обратных задачах в качестве дополнительной информации задается след решения соответствующей прямой задачи на некоторой, как правило, временеподобной, поверхности.

В данной работе в основе применения метода Монте-Карло для решения обратной динамической задачи для гиперболического уравнения лежит идея сведения исходной задачи к одно-параметрнческому семейству интегральных уравнений Фред-гольма второго рода, что позволяет использовать динамический вариант метода Гельфанда-Левитана. Этот метод является наиболее часто применяемым на практике, поскольку в его рамках удается сформулировать критерий существования решения обратной задачи, что особенно важно в силу нелинейности обратных задач.

Основные цели работы.

• Разработка алгоритмов метода Монте-Карло для вычисления коэффициента г/(.т) гиперболического уравнения

вида

Utt = AU - q(x)U по заданной дополнительной информации вида

и\т=0 = №.

• Реализация этих алгоритмов для одномерного и двумерного уравнений гиперболического типа.

• Срашштельиое тестирование разработанных алгоритмов с помощью метода, конечных элементов и метода обращения разностной схемы.

о Построение и апробация алгоритмов метода Монте-Карло построения оценки для решения задачи Коши в пространстве траекторий Пуассона.

• Построение оценки решения обратной задачи для телеграфного уравнения и задачи геоэлектрикп в квазистационарном приближении.

Научная новизна и практическая ценность.

Впервые разработаны методы Монте-Карло, реализующие статистическую оценку решения обратных задач для гиперболических уравнений. Построенные алгоритмы являются эффективными н по ряду параметров: быстроте, устойчивости, глубинности - превосходят другие методы. Получена численная реализация решения задачи Коши для телеграфного уравнения на основе вероятностной модели.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Предложенные алгоритмы могут быть успешно использованы для оценки решений многих задач математической физики, сформулированных в виде гиперболических уравнений.

Апробация работы.

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинарах Отдела статистического моделирования в физике ВЦ СО РАН, на конференциях молодых уче-

пых ВЦ СО РАН (1988-89 гг.), Всесоюзной школе-семинаре в Алма-Ате (1988 г.).

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 21 раздел, приложения, заключения, списка литературы из 34 наименовании. Объем работы - 110 машинописных страницы, включая 6 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор литературы по изучаемым в диссертации вопросам, краткое содержание диссертации по главам, приведен перечень положении, выносимый на защиту.

Первая глава посвящена исследованию обратной задачи для уравнения акустики в одномерном случае на основе сочетания динамического метода Гельфанда-Левитана и метода Монте-Карло. Получены условия для несмещенности оценки методом Монте-Карло и конечности ее дисперсии в классе функций, удовлетворяющих необходимым и достаточным условиям существования и единственности решения исходной обратной задачи. Произведены сравнительные численные эксперименты: на одних и тех же модельных тестах решалась обратная задача акустики тремя разными методами - методом Монте-Карло, методом конечных элементов и методом обращения разностной схемы.

Во второй главе решается обратная задача для двумерного уравнения акустики и более общего уравнения колебаний. По типу дополнительной информации, задаваемой относительно решения прямой задачи, эта задача является динамической, т.е. задается след решения на некоторой поверхности. Основным методом для решения обратной задачи для уравнения акустики п колебаний (определение коэффициентов уравнения)

о2 и

с"2-— = &U - V In rj(x)VU, J' 6 R2 x R+, te R+,

использованпым u данной работе, является комбинация проекционного метода, динамического метода Гельфанда-Левнтана и метода Монте-Карло.

Также получены условия, для несмещенности, оценки методом Монте-Карло и конечности ее дисперсии в классе требуемых функций.

Отметим, что решение обратной задачи для уравнения акустики и колебаний на основе сведения ее к интегральному уравнению вида

№(a:,t) + Г W{x,n)F'{t-s)ds = J — X

- i[F'(i+ -я)], |£| < .г-,

имеет одну особенность, заключающуюся в том, что фактически требуется найти не все решение этого уравнения, а лишь его значение в одной фиксированной точке t = ж, что в ряде случаев решается методом Монте-Карло эффективнее по сравнению с другими рассмотренными методами.

В третьей главе исследуются возможности применения алгоритмов Монте-Карло к оценке решения обратных задач для одномерного телеграфного уравнения в линии без потерь. Как было замечено ранее, применение метод Монте-Карло оправдано в первую очередь в тех задачах, которые допускают теоретико-вероятностное описание. В данной работе описывается численное решение задачи Коши для волнового (телеграфного) уравнения методом Монте-Карло, основанное на вероятностном представлении и виде функционала над пространством траектории Пуассона.

Кроме того, в третьей главе рассматривается возможность оценки методом Монте-Карло решения обратной задачи reo-

электрики в квазисташюнарпон постановке. Получены условия, позволяющие построить эффективный численный алгоритм решения этой задачи.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты диссертационной работы:

1. Решена обратная задача для уравнения акустики в одномерном случае на основе сочетания динамического метода Гельфанда-Левитана и метода Монте-Карло. Получены условия для несмещенности оценки методом Монте-Карло н конечности ее дисперсии в классе функций, удовлетворяющих необходимым и достаточным условиям существования и единственности решения исходной обратной задачи.

'2. Получены сравнительные численные данные независимых экспериментов: на одних н тех же модельных тестах решалась обратная задача акустики тремя разными методами - методом Монте-Карло, методом конечных элементов и методом обращения разностной схемы.

3. Решена обратная задача, для двумерного уравнения акустики и уравнения колебании.

Основным методом, который был использован в данной работе, является комбинация проекционного метода, динамического метода Гельфанда-Левитана и метода Монте-Карло.

Получены условия,обеспечивающие несмещенность оценки и конечность ее дисперсии в классе требуемых функции.

4. Построено решение задачи Кош и для уравнения колебаний в трехмерном случае методом Монте-Карло.

5. Построены алгоритмы метода Монте-Карло для оценки решения обратной задачи для одномерного телеграфного уравнения в линии без потерь.

(j. Численно решена задача Коши для волнового (телеграфного) уравнения методом Монте-Карло на основе моделирования пуассоновского процесса.

7. Построены алгоритмы Монте-Карло для оценки решения обратной задачи геоэлектрнкн в квазнстационарной постановке.

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность научным руководителям д.ф.-м.н. К.К. Сабельфельду и к.ф.-м.н. U.A. Симонову за руководство работой, а также чл.-корр. РАН Г.А. Михайлову, без чьей доброжелательной поддержки данная работа не была бы написана. Кроме того, хочется выразить благодарность д.ф.-м.н. С.И. Кабанихнну за помощь иа. начальном этапе работы.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Кабаннхпна И.И. Численная реализация вероятностного представления решения задачи Кош и для телеграфного уравнения // Теория и приложения статистического моделирования. - Новосибирск, 1986. - С. 86-91.

'2. Кабаннхпна И.И. О решешш одной обратной задачи для гиперболического уравнения методом Монте-Карло // Численные методы статистического моделирования. -Новосибирск, 1987. - С. 70-78.

3. Кабаннхпна И.И. Численная реализация алгоритма Монте-Карло для обратной задачи для матричного аналога уравнения акустики // Теория н приложения статистического моделирования. - Новосибирск, 1988. - С. 46-53.

4. Кабанпхнпа И.И. Решение двумерной обратной задачи для гиперболического уравнения методом Монте-Карло // Теория и приложения статистического моделирования. - Новосибирск, 1989. - С.90-98.

5. Кабаннхина И.И. Численное срапненне трех методов решения одномерной обратной задали для гиперболического уравнения // Численные методы статистического моделирования. - Новосибирск, "1989. - С. 56-65.

6. Belinskaya I.J. The solution of some inverse problems by Monte Carlo method // Sov. J. Num. Anal. Math. Modelling. - 1998 (в печати).

V* ■■■