Модельное описание флуктуаций плотности пассивной примеси в турбулентной среде тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Флуктуации плотности и концентрации пассивной примеси в поле случайных скоростей.

1.1. Законы движения индивидуальных частиц.

1.2. Лагранжевы флуктуации якобиана и плотности тяжелой примеси в сжимаемой среде

1.3. Связь лагранжевых и эйлеровых статистических характеристик гидродинамических полей.

1.4. Одноточечные вероятностные свойства поля плотности в турбулентной среде.

Глава 2. Многоточечные статистические характеристики примеси в хаотически движущейся среде. Связь статистических характеристик случайных полей с их геометрическими свойствами.

2.1. Связь двухточечных и двухвременных статистических характеристик лагранжевых и эйлеровых случайных полей.

2.2. Двухточечная и двухвременная статистика примеси в турбулентной сжимаемой среде.

2.3. Флуктуации тензора перехода от лагранжевых к эйлеровым координатам в несжимаемой жидкости.

2.4. Флуктуации контуров равной концентрации примеси в турбулентной несжимаемой среде.

Глава 3. Эволюция сгустков плавучих частиц на поверхности турбулентной жидкости

3.1. Локализация сгустков плавучих частиц на поверхности турбулентного потока.

3.2. Эволюция сгустков пассивной примеси на поверхности хаотически движущейся среды.

Статистическая теория динамических систем с флуктуирующими параметрами занимает в настоящее время значительное место во многих областях физики. Хотя причины флуктуационных эффектов нередко различны (это могут быть тепловые шумы, неустойчивости, турбулентность и т.д.), методы их теоретического рассмотрения часто очень схожи. При этом в ряде случаев статистическую природу флуктуаций параметров можно считать известной (либо из физических соображений, либо из модельной постановки задачи), а физические процессы описывать родственными стохастическими дифференциальными или интегро-дифференциальными уравнениями.

Так, например, активно исследуются динамические системы, имеющие конечное число устойчивых стационарных состояний [1], распространение волн в слоистых случайных средах [2-4], структура волновых полей в случайно-неоднородных средах [5-8], диффузия пассивной примеси в случайных потоках. Такие различные физические задачи, описываемые стохастическими уравнениями, могут быть решены на основе общего подхода, возникшего на основе теории броуновского движения, теории марковских случайных процессов и процессов диффузионного типа [9-17].

Задача о распространении пассивной примеси в случайном поле скоростей является одной из важных проблем статистической физики, статистической радиофизики и гидродинамики, а также имеет большое значение для решения экологических задач диффузии примеси в атмосфере Земли и океанах [18-22], задач диффузии в пористых средах [23] и крупномасштабного распределения вещества Вселенной [2, 24-26]. Исследование этих вопросов интенсивно ведется начиная с пионерских работ [27-29]. В последующие годы (и особенно интенсивно в последнее десятилетие) были получены и исследованы уравнения, описывающие характеристики поля примеси для различных моделей флуктуирующих параметров в различных приближенных схемах [3073].

Несмотря на то, что изучению диффузии пассивной примеси в случайном поле скоростей посвящена обширная литература, некоторые важные вопросы остались невыясненными, а ряд интересных эффектов вообще не рассматривался. В частности:

-5- до сих пор отсутствует целостная картина флуктуаций плотности и концентрации пассивной примеси не только в реальной атмосфере и океане, но и для модельного случая гауссова поля случайных скоростей среды;

- слабо изучены связи лагранжевых и эйлеровых статистических характеристик полей примеси в турбулентной жидкости и вероятностные свойства таких полей; ч

- практически не рассматривались многоточечные статистические характеристики примеси в турбулентной среде, в том числе, не изучена связь двухточечных и двухвременных статистических характеристик лагранжевых и эйлеровых случайных полей, не исследована двухточечная и двухвременная статистика поля примеси в несжимаемой и сжимаемой средах;

- слабо изучены вероятностные свойства тензора перехода от лагранжевых к эйлеровым координатам и контуров равной концентрации примеси;

- не рассматривалась достаточно детально эволюция сгустков плавучих частиц на поверхности турбулентной жидкости.

Исследованию данных вопросов и посвящена настоящая работа.

Диссертация состоит из Введения, трех Глав и Заключения. В Главе 1 изучены одноточечные вероятностные характеристики поля плотности пассивной примеси в турбулентной среде. Глава 2 посвящена исследованию более информативных многоточечных, а также геометрических статистических свойств поля плотности примеси. В Главе 3 указан эффект локализации сгустков плавучих частиц на поверхности турбулентной жидкости. Исследованы закономерности эффекта для одномерного потока и двумерной поверхности жидкости.

Заключение

Кратко перечислим основные результаты диссертации.

1. Получено уравнение для совместного лагранжевого вероятностного распределения координат и якобиана физически бесконечно малого объема пассивной примеси в диффузионном приближении. Рассмотрены свойства его решений, в том числе вероятностные и моментные характеристики якобиана и поля плотности. Найдены общие формулы связи лагранжевых и эйлеровых совместных вероятностных распределений координат и якобиана, а также координат и плотности пассивной примеси в турбулентной среде. Исследованы статистические характеристики поля плотности в несжимаемой и сжимаемой хаотически движущихся средах. Проанализированы вероятностные свойства плотности при различных начальных распределениях последней. Получены и исследованы выражения для моментов поля плотности.

2. Выведены общие формулы связи лагранжевых и эйлеровых совместных вероятностных двухточечных и двухвременных распределений координат и якобиана, а также координат и плотности пассивной примеси в турбулентной среде. Получены уравнения для двухточечных и двухвременных вероятностных распределений пассивной примеси. Рассмотрено поведение с течением времени дисперсии логарифма якобиана поля примеси. Теоретически получен степенной закон роста структурной функции плотности, аналогичный закону Колмогорова-Обухова для реальной турбулентности. Найдено и исследовано уравнение для относительного изменения градиента поля плотности. Показано, что моментные функции и практически все реализации поля относительного изменения градиента экспоненциально растут с течением времени. Получены выражения для статистических моментов длины контура равной концентрации пассивной примеси и полного градиента поля концентрации, а также для вероятностного распределения полного градиента. Показано, что моменты экспоненциально растут с течением времени, а распределение является логарифмически нормальным.

3. Получена асимптотическая формула для поля концентрации плавучей примеси при учете конвективного переноса частиц и молекулярной диффузии в узком кана

-132ле турбулентной жидкости. Изучена временная эволюция дисперсии логарифмического расстояния между частицей и центром масс. Найдено стационарное вероятностное распределение взаимного расположения частицы и центра масс сгустка. Получено вероятностное распределение эффективной ширины сгустка плавучих частиц. Найдено асимптотическое выражение для плотности примеси с учетом молекулярной диффузии в двумерной сжимаемой среде. Получено уравнение для совместного вероятностного распределения эффективной площади сгустка и его линейных размеров, а также моментные функции этих величин.

1. Кляцкин В.И. Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами . М.: Наука, 1975.

2. Гурбатов С.Н., Малахов А.Н., Саичев А.И. Нелинейные случайные волны в средах без дисперсии. М.: Наука, 1990.

3. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах. М.: Наука, 1980.

4. Кляцкин В.И., Саичев А.И. Статистическая и динамическая локализация плоских волн в хаотически слоистых средах // УФН. 1992. Т. 162. № 3. С. 161-194.

5. Kulkarny V. A. and White В. S. Focusing of rays in a turbulent inhomogeneous medium // Phys. Fluids. 1982. V. 25. N 10. P. 1770-1784.

6. White B. S. The stochastic caustic // SIAM J. Appl. Math. 1983. V. 44. N 1. P. 127-149.

7. Zwillinger D. and White B. S. Propagation of initially plane waves in the region of random caustics // Wave Motion. 1985. V. 7 N 2. P. 207-227.

8. Klyatskin V. I. Caustics in random media // Waves in random media. 1993. V. 3. N 2. P. 93-100.

9. Чандрасекар С. Стохастические проблемы в физике и астрономии. М.: ИЛ, 1947.

10. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1964, 1967. Т. 1.Т.2.

11. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1965.

12. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1965.

13. Дуб Д.Л. Вероятностные процессы. М.: ИЛ, 1956.

14. Дынкин Е.Б. Основания теории марковских процессов. М.: Физматгиз, 1959.

15. Дынкин Е.Б. Марковские процессы. М.: Физматгиз, 1963.

16. Ито К., Маккин Г.П. Диффузионные процессы и их траектории. М.: Мир, 1968.

17. Klyatskin V.I. Approximation by delta-correlated random processes and diffusive approximation in stochastic problem // Mathematics of Random Media. Lectures in Appl. Math. V. 27. Providence RI: AMS, 1991. P. 447-476.

18. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидродинамика. М.: Наука. Ч. 1. 1965. Ч. 2. 1967.

19. Csanady G. T. Turbulent Diffusion in the Environment. Dordrecht: Reidel Publ. Co., 1980.

20. Okubo A. Diffusion and ecological problems: Mathematical models. New York: Springer-Verlag. 1980.

21. Lesieur M. Turbulence in fluids. Boston: Kluwer, 1990.

22. McComb W. The physics of fluid turbulence. Oxford: Clarendon Press, 1990.

23. Dagan G. Theory of solute transport by groundwater// Annu. Rev. Fluid Mech. 1987. V. 19. P. 183-215.

24. Shandarin S.F., Zeldovich Ya.B. The large scale structure of the Universe. Turbulence, intermittency, structures in a self-gravitating medium // Rev. Modern Phys. 1989. V. 61. N 2. P. 185-220.

25. Weinberg D.H., Gunn J.E. Large scale structures and the adhesion approximation // Monthly Not. Roy. Astron. Soc. 1990. V. 247. N 2. P. 260-286.

26. Shandarin S.F., Sathyaprakash B.S. Modeling gravitational clusters without computing gravitational force // Astrophys. J. 1996. V. 467. N 1. Pt 2. P. L25-L28.

27. Taylor G.I. Diffusions by continuous movements // Proc. London Math. Soc. 1923. Ser. 2. V. 20. P. 196-211.

28. Batchelor G.K. Small-scale variation of convected quantities like temperature in turbulent fluid. 1. General discussion and the case of small conductivity // J. Fluid Mech. 1959. V. 5. N 1. P. 113-133.

29. Batchelor G.K., Howells I.D., Townsend A.A. Small-scale variation of convected quantities like temperature in turbulent fluid. 2. The case of large conductivity // J. Fluid Mech. 1959. V. 5. N 1. P. 134-139.

30. Roberts P. H. Analitical theory of turbulent diffusion // J. Fluid Mech. 1961. V. 11. P. 257-283.

31. Kraichnan R. H. Small-scale structure of a scalar field convected by turbulence // Phys. Fluids. 1968. V. 11. N5. P. 945-953.

32. Saffman P. G. Application of the Wiener-Hermite expantion to the diffusion of passive scalar in a homogeneous turbulent flow //.Phys. Fluids. 1969. V. 12. N 9. P. 1786-1798.

33. Kraichnan R. H. Diffusion by a random velocity field // Phys. Fluids. 1970. У. 13. P. 2231.

34. Kraichnan R. H. Convection of a passive scalar by a quasi-uniform random straining field // J. Fluid Mech. 1974. V. 64. N 4. P. 737-762.

35. Kerstein A.R., Ashurst W.T. Lognormality of gradients of diffusive scalars in homogeneous, two-dimensional mixing systems // Phys. Fluids. 1984. V. 27. N 12. P. 2819.

36. McLaughlin D., Papanicolaou G., Pironneau O.R. Convection of microstructures and related problems // SIAM J. Appl. Math. 1985. V. 45. N 5. P. 780-797.

37. Sinai Ya. G., Yakhot V. Limiting probability distributions of a passive scalar in a random velocity field // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 63. N 18. P. 1962-1964.

38. Лутовинов B.C., Чечеткин B.P. О спектре Колмогорова-Обухова для парной корреляционной функции пассивных примесей в турбулентной жидкости // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1989. Т. 25. № 3. С. 195-198.

39. Chen Н., Chen S., Kraichnan R.H. Probability distribution of a stohastically advected scalar field // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 63. N 24. P. 2657-2660.

40. Dahm W.J. A., Buch K.A. Lognormality of the scalar dissipation pdf in turbulent flows // Phys. Fluids. 1989. V. Al. N 7. P. 1290.

41. Avellaneda M., Majda A.J. Mathematical models with exact renormalisation for turbulent transport // Comm. Math. Phys. 1990. V. 131. P. 381-429.

42. Gao F. An analytical solution for the scalar probability density function in homogeneous turbulence//Phys. Fluids. 1991. V. A3. N4. P. 511-513.

43. Lipscombe J.T., Frenkel A.I., Ter Haar D. On the convection of a passive scalar by a turbulent Gaussian velocity field // J. Stat. Phys. 1991. V. 63. P. 305-313.

44. Самохин А.А., Чечеткин B.P. О диффузии пассивных примесей в турбулентной жидкости // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1991. Т. 27. № 6. С. 621632.

45. Pumir A., Shraiman В., Siggia A. Exponential tails and random advection // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 66. N 23. P. 2984-2987.

46. Gollub J., Crarke J., Gharib M., Lane B., Mesquita 0. Fluctuations and transport in a stirred fluid with a mean gradient // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67. N 25. P. 3507-3510.

47. Molchanov S.A., Piterbarg L.I. Heat propagation in random flows // Russian J. Math. Phys. 1992. V. l.N l.P. 1-22.

48. Isichenko M.B. Percolation, statistical topography, and transport in random media // Rev. Modern Phys. 1992. V. 64. N 4. P. 961-1043.

49. Careta A., Sagues F., Ramirez-Piscina L., Sancho J.M. Effective diffusion in a stochastic velocity field // J. Stat. Phys. 1993. V. 71. P. 235-242.

50. Cristiani A., Vulpiani A. On the effect of noise and drift on diffusion in fluids // J. Stat. Phys. 1993. V. 70. P. 197-211.

51. Kimura Y., Kraichnan R.H., Statistics of an advected passive scalar // Phys. Fluids.1993. V. A5. N 9. P. 2264-2277.

52. Holzer M., Pumir A. Simple models on non-Gaussian statistics for a turbulently advected passive scalar // Phys. Rev. E. 1993. V. 47. N 1. P. 202-219.

53. Saichev A.I. Chaotic motions of particles flows // Dynamics of systems. 1993. V. 1. N 1. P. 1-31.

54. Gurbatov S.N., Saichev A.I. Inertial nonlinearity and chaotic motion of particle fluxes // Chaos. 1993. V. 3. N 3. P. 333-358.

55. Majda A.J. The random uniform shear layer: An explicit example of turbulent diffusion with broad tail probability distribution // Phys. Fluids. 1993. V. A5. N 8. P. 1963-1970.

56. Majda A.J. Random shearing direction models for isotropic turbulent diffusion // J. Stat. Phys. 1994. V. 75. N5/6. P. 1153-1165.

57. Pumir A. A numerical study of the mixing of a passive scalar in three dimensions in the presence of a mean gradient // Phys. Fluids. 1994. V. 6. N 6. P. 2118-2132.

58. Holzer M., Siggia A. Turbulent mixing of a passive scalar // Phys. Fluids. 1994. V. 6. N 5. P. 1820-1837.

59. Kerstein A.R., McMurtry P.A. Mean-field theories of random advection // Phys. Rev. E.1994. V. 49.N l.P. 474-482.

60. Shraiman B.I., Siggia A.D. Lagrangian path integrals and fluctuations in random flow // Phys. Rev. E. 1994. V. 49. N 4. P. 2912-2927.

61. Kraichnan R.H. Anomalous scaling of a randomly advected passive scalar // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. N 7. P. 1016-1019.

62. Кляцкин В.И. Статистическое описание диффузии пассивной примеси в случайном поле скоростей // УФН. 1994. Т. 164. № 5. С. 531-544.

63. Klyatskin V.I., Woyczynski W.A. Fluctuations of passive scalar with nonzero mean concentration gradient in random velocity fields // ЖЭТФ. 1995. T. 108. № 10. C. 1403-1410.

64. Докучаев В.П. Метод дисперсионных соотношений для средней концентрации в теории турбулентной диффузии пассивной примеси // Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 1995. Т. 31. Т 2. С. 275-281.

65. Klyatskin V.I., Woyczynski W.A., Gurarie D. Diffusing passive tracers in random incompressible velocity flows: Statistical topography aspect // J. Stat. Phys. 1996. V. 84. N 3/4. P. 797-836.

66. Saichev A.I., Woyczynski W.A. Probability distributions of passive tracers in randomly moving media // Stochastic Models in Geosystems. IMA Volumes in Mathematics and its Applications. V. 85. New York: Springer-Verlag, 1996. P. 359-400.

67. Piterbarg L. Short-correlation approximation in models of turbulent diffusion // Stochastic Models in Geosystems. IMA Volumes in Mathematics and its Applications. V. 85. New York: Springer-Verlag, 1996. P. 313-352.

68. Кляцкин В.И., Налбандян О.Г. Диффузия пассивной оседающей примеси в изотропном случайном поле скоростей // Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 1997. Т. 33. №3. С. 291-297.

69. Кляцкин В.И., Саичев А.И. К статистической теории диффузии плавучей примеси в случайном поле скоростей // ЖЭТФ. 1997. Т. 111. № 4. С. 1297-1313.

70. Gurarie D., Klyatskin V.I. Turbulent transport of passive tracers and the onset of diffu-sivity // Two-dimensional Turbulence in Fluids and Plasma. New York: AIP, 1998. P. 213-234.

71. Кошель K.B., Александрова О.В. Некоторые результаты численного моделирования диффузии пассивной примеси в случайном поле скоростей // Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 1999. Т. 35. № 5. С. 638-648.

72. Кляцкин В.И., Гурарий Д. Когерентные явления в стохастических динамических системах//УФН. 1999. Т. 169. Т 2. С. 171-207.

73. Furutsu К. On the statistical theory of electromagnetic waves in a fluctuating medium // J. Res. NBS. 1963. V. D-67. P. 303.

74. Новиков E.A. Функционалы и метод случайных сил в теории турбулентности // ЖЭТФ. 1964. Т. 47. № 5. С. 1919-1926.

75. Жукова И.С., Саичев А.И. О вероятностных свойствах градиента плотности хаотически движущейся несжимаемой среды // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1996. Т. 39. N5. С. 597-606.

76. Жукова И.С., Саичев А.И. Статистика эйлерова поля плотности пассивной примеси в несжимаемой и сжимаемой средах // ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 5. С. 788-797.

77. Жукова И.С., Саичев А.И. Двухточечные статистические свойства пассивной примеси в хаотической сжимаемой среде // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1997. Т. 40. N8. С. 1019-1034.

78. Saichev A.I. and Zhukova I.S. The probabilistic description of the passive tracer's density field in turbulent media / Proceedings of the Int. Conf. "Chaos, kinetics and nonlinear dynamics in fluids and plasmas", Carry Le Rouet, 16-21 June 1997. C. 56.

79. Saichev A.I. and Zhukova I.S. The arising and evolution of the passive tracer clusters in compressible random media / Lecture notes in physics. Berlin: Springer, 1998. V. 511. P. 353-371.

80. Saichev A.I. and Zhukova I.S. Fluctuations of parameters of contours carried by a randomly moving incompressible medium/ Annales Geophysicae. Part IV. Nonlinear Geophysics & Natural Hazards. Suppl. IV to V. 16. 1998. P. 1111.

81. Saichev A.I. and Zhukova I.S. Evolution of the passive tracer clusters in compressible turbulent media/ Annales Geophysicae. Part IV. Nonlinear Geophysics & Natural Hazards. Suppl. IV to V. 16. 1998. P. Ill 1.

82. Жукова И.С., Саичев А.И. Локализация сгустков плавучих частиц на поверхности турбулентного потока//ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 4. С. 624-630.

83. Грибова Е.З., Жукова И.С., Саичев А.И. Эффект локализации примеси в турбулентном потоке // Труды четвертой научной конференции по радиофизике, 5 мая 2000 г. / Ред. А.В. Якимов. Нижний Новгород: ТАЛАМ, 2000. С. 215-216.

84. Жукова И.С., Кошелев В.Н., Саичев А.И. Эволюция сгустков плавучей примеси на поверхности турбулентной жидкости // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 2000. Т. 43. № 4. С. 357-364.

85. Грибова Е.З., Жукова И.С., Саичев А.И., Войчинский В.А. Относительная молекулярная диффузия // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 2000. Т. 43. № 5. С. 456-467.

86. Жукова И.С., Саичев А.И. Флуктуации контуров равной концентрации пассивной примеси в турбулентной среде // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т. 8. №5. С. 15-22.

87. Зельдович Я.Б., Молчанов С.А., Рузмайкин А.А., Соколов Д.Д. Перемежаемость в случайной среде // УФН. 1987. Т. 152. № 1. С. 3-32.- 14092. Papanicolau G.C. Wave propagation in one-dimensional random medium // SIAM J, Appl. Math. 1971. V. 21. P. 13-18.

88. Kesten H., Papanicolau G.C. A limit theorem for turbulent diffusion // Comm. Math, Phys. V. 65. P. 97-128.

89. Теодорович Э.В. Турбулентная диффузия пассивной примеси // ПММ. 1991. Т. 55. № 2. С. 275-282.

90. Frisch U. Turbulence. The legacy of A.N.Kolmogorov. Cambridge: Univ. Press. 1996, 296 p.