Нелинейные топологические модели элементарных частиц тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи 'и

I

г

Умнияти Юнита

НЕЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ

01.04.02-теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

О 5 СЕН 2013

Москва - 2013

005532755

005532755

Работа выполнена на кафедре теоретической физики факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов (РУДН)

Научный руководитель: Заслуженный деятель науки РФ,

заведующий кафедрой теоретической физики РУДН,

доктор физ.-мат. наук, профессор Рыбаков Юрий Петрович

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук,

старший научный сотрудник научно-исследовательского института ядерной физик им. Д.В. Скобельцына МГУ им. М.В. Ломонос (НИИЯФ МГУ) Кечкин Олег Вячеславович;

доктор физ.-мат. наук,

ведущий научный сотрудник Лаборатории

информационных технологий Объединённого

института ядерных исследований

(ЛИТ ОИЯИ, Дубна)

Саха Биджан

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт

системных исследований РАН (НИИСИ РАН)

Защита состоится "26"сентября 2013г. в 17:00 на заседании диссертацоинного совета Д 212.203.34 в ГОУ ВПО Российском университете дружбы народов (РУДН) по адресу: 115419 г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, зал № 1.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ГОУ ВПО Российского университета дружбы народов (РУДН) по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.

Автореферат разослан "_" августа 2013г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук,

/

Попова В.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современной теоретической физике большой интерес представляет изучение киральных моделей, для которых поле принимает значения в некоторых компактных многообразиях. Киральные модели представляют собой модели теории поля, в которых взаимодействие вводится не путём добавления к лагранжиану свободного поля лагранжиана взаимодействия, а чисто геометрическим путём. Именно, лагранжиан в таких моделях остаётся тем же, что и в случае свободного поля, но на само поле накладываются связи. При описании киральных моделей применяются современные алгебраические и геометрические методы, позволяющие рассматривать частицы как солитоны, наделенные нетривиальными топологическими инвариантами (зарядами).

Киральные солитонные модели, предложенные Скирмом в 1961 г., дают возможность весьма экономного описания барионных систем с различными свойствами, основанного на небольшом количестве исходных принципов. В рамках модели Скирма удается сравнительно простыми средствами удовлетворительно описать взаимодействие нуклонов и дсповные статические свойства барионов. Будучи относительно простой, эта модель в целом верно схватывает основные симметрийные и структурные свойства барионов. Согласно гипотезе Скирма, барион трактуется как киральный солитон, возникающий в результате коллективного возбуждения пионпых полей, наделённый нетривиальным топологическим зарядом типа степени- отображения, интерпретируемым как барионное число. В рамках моделей с топологическим зарядом, в которых энергия оценивается снизу через топологический заряд, могут существовать абсолютно устойчивые солитонные решения, реализующие нижнюю грань функционала энергии. В 1973 г. Л.Д. Фаддеев предположил, что в трехмерном пространстве 0(3) сигма-модели, модифицированной по аналогии с моделью Скирма, должны существовать замкнутые струноподобные топологические солитоны, наделенные целочисленным индексом Хопфа. Модель Фаддеева обладает очень незначительным произволом, поскольку на можно построить лишь два независимых О(З)/-инварианта. Для получения оценки энергии в модели Фаддеева снизу через индекс Хопфа используется достаточно рафинированная техника функциональных неравенств.

В диссертационной работе рассматривается спинорная реализация обобщенной модели Скирма—Фаддеева, цель которой — объединение моделей Скирма и Фаддеева. В работе изучается структура топологических солито-нов в лептонном секторе в рамках струнного приближения в эффективной 8-спинорной модели.

Цель работы. Целью данной работы является построение в рамках 8-спинорной реализации модели Скирма—Фаддеева солитонных решений, опи-

сывающих конфигурации, наделённые единичным индексом Хопфа. Для достижения этой цели решались следующие основные задачи:

• Построение описания барионов и лептонов как топологических солито-нов (в рамках спинорного обобщения моделей Скирма и Фаддеева).

• Изучение групп симметрии для конфигураций с нетривиальным леп-тонным зарядом (индексом Хопфа).

• Построение инвариантного спинорного поля путем использования тороидальных координат.

• Описание структуры решения на малых и больших расстояниях для случая единичного лептонного числа.

• Оценка массы, спина и магнитного момента солитонной конфигурации.

Объектом исследования является эффективная 8-спинорная модель, объединяющая модели Скирма и Фаддеева.

Научная новизна. Научная новизна диссертационной работы определяется следующими результатами:

• Впервые предложен лагранжиан модели, объединяющей модели Скирма и Фаддеева на основе 8-спинорного эффективного поля, для энергии в которой получена оценка снизу через индекс Хопфа в степени 3/4.

• Впервые для аксиально-симметричной конфигурации найдено асимптотическое поведение полей на малых и больших расстояниях.

• Впервые получены оценки для массы, спина и магнитного момента конфигурации с единичным индексом Хопфа.

Научная и теоретическая значимость. Работа имеет теоретической характер. Полученные результаты могут найти применение при изучении групп симметрии различных полевых моделей в ядерной физике, физике частиц и в физике конденсированных сред.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на:

• 13-й научной конференции по математическому моделированию и информатике. Москва. 2010 (МГТУ "СТАНКИН").

• ХЬУИ Всероссийской конференции по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники. Москва. 2011 (РУДН).

• 1Ь Всероссийской конференции по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники. Москва. 2013 (РУДН).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 5 работ в отечественных и международных изданиях, их список помещен в конце автореферата. Две статьи опубликованы в изданиях из перечня ВАК.

Личный вклад автора. Все основные результаты работы получены автором. В совместных работах с Ю.П. Рыбаковым последнему принадлежат постановка задачи и обсуждение результатов. Использованные материалы других авторов помечены ссылками.

Структура и объём диссертации. Диссертация изложена на 64 страницах и состоит из Введения, трёх глав, Заключения, двух приложений, 3 рисунков и Списка литературы из 58 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ »

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, приведен краткий обзор ранее полученных результатов по теме. Дано краткое содержание диссертации, сформулированы основные цели и задачи.

В первой главе изложен подход к описанию барионов и лептонов как топологических солитонов (модели Скирма и Фаддеева).

Предлагается объединить модели Скирма 1 и Фаддеева 2 с помощью эффективного 8-спинорного поля Ф. В основу можно положить замечательное тождество (связанное с именем итальянского геометра Ф. Бриоски):

; 2jiijM = s2 + р2 + v2 + а2 + А2, (1)

в котором использованы обозначения:

5 = фф, р = гФ75Ф, v = ФАФ, а = гФА75Ф, / = Ф7"Ф, f = Ф7^75Ф,

А2 = [Ы<рхЫчъ) - + (xtxi)(xtx2) - \xtx2\2] > о.

Здесь взято представление 8-спиноров в виде столбцов:

Ф = со1(Фь Ф2), Ф; = col(^, Хг), г = 1, 2, где tpi, Xi суть 2-спиноры. Кроме того, здесь использованы матрицы Дирака

'Skyrme Т. Н. R. A Unified Field Theory of Mesons and Baryons // Nur.1. Phys. - 1962. - Vol. 31. No 4. -Pp. 556-559.

2Faddeev L. D. Gauge-Invariant Model of Electromagnetic and Weak Interactions of Leptons // Reports of

Ac. of Sc. USSR. - 1973. - Vol. 201, No. 4. - Pp. 807-810.

7'1 и матрицы Паули Л, действующие в спинорном изотопическом пространстве.

Если применить известный принцип Хиггса спонтанного нарушения симметрии, то на основании вышеуказанного тождества можно предложить потенциал Хиггса вида

V = у (3,Г - (2)

где а и хо - некоторые постоянные, причем хо задает плотность энергии вакуумного конденсата.

В данной работе строится лагранжева плотность нашей модели по аналогии с моделями Скирма и Фаддеева:

9

с = + - V., (3)

где удлинённая производная В/1 = ¿>;1 — гвдЛ^Гг, ео - константа взаимодействия с электромагнитным полем, Ге - оператор электрического заряда. Антисимметричный тензор типа Скирма—Фаддеева имеет вид:

= (Ф7а%Ф) (Д^7аФ) • (4)

Первое слагаемое в (3) аналогично а—модельному члену в модели Фаддеева и содержит проектор Р = зи на состояния с положительной энергией. Второе слагаемое в (3) аналогично скирмовскому члену в модели Скирма— Фаддеева.

В качестве первого шага показывается, что гамильтониан в нашей модели оценивается снизу через гамильтониан Фаддеева, и поэтому справедлива оценка энергии снизу через индекс Хопфа в степени 3/4.

Учитывая дискретную симметрию </?; —> х, и используя приближенную водородную подстановку для отделения углов, а также аппроксимацию |Ф|2 = 4[Л 1апЬ(аж) + В] в изотропных сферических координатах х = к^(г/го), получаем функционалы энергии и топологического заряда в спинорной реализации киральной модели Скирма—Фаддеева:

/5а А2 4аВ2\ 64А2ае2 (А2 В2\ 4т%о2А2 \А2 .к от21

(5)

где:

Здесь а, г0 и 7?о параметры минимизации. Топологический заряд есть индекс Хопфа:

<?я = ^ У ¿3Х8Ш/3([У/3 У7] • Уф) = ±п. 6

Вторая глава диссертации посвящена анализу структуры солитонов в струнном приближении для лептонного случая. Здесь использовались тороидальные координаты. Исходя из связи тороидальных и сферических координат:

1 а2 + г2 + 2ar sin О Х = 2 П о2 + г2 — 2ar sin в'

_г2-а2_

у - ™CCOS^r2_a2)2 + 4a2r2cos20y/2'

ф = ф,

можно написать метрику в тороидальных координатах х1 = х, х2 = у, х3 = ф, которая имеет вид:

ds2 = e2"dt2 - a2(e2adx2 - e2/)dy2 - е2Чф2)

В плоском случае г] = 0.

Для изучения симметрии задачи применяется Теорема симметрии (Коул-мена - Пале), состоит в следующем 3. >

Пусть (^-некоторое поле и F[¡/^-функционал (энергия), инвариантный относительно действия некоторой непрерывной группы G:

FM = F[ip\, g&G. (6)

Пусть Фо = {<^о}-множество инвариантных полей, для которых дф0 = ф0. Тогда верна теорема, высказанная С. Коулменом и доказанная Р. Пале: если поле ipo доставляет экстремум F в соответствующем инвариантном классе, то при некоторых условиях (fio реализует истинный экстремум F, т.е. SF = 0 также и для неинвариантпых вариаций.

В струнном приближении, когда солитон приближается замкнутой закрученной струной с радиусом замыкания а, метрические коэффициенты r¡, а, /3, 7 слабо зависят от у, где у € [—7г, 7г]. Пусть ф = col(</>i, <р2). Рассмотрим следующие группы симметрии:

Gi : é5^, дф = ióaip

G2 : ф^ф + 6ф, V elJ>dH', Ч' = г^бфф, J3 = -1дф + iст3 G3 : У у + 5у, ф е1р»5уф, 5ф = 1р5уф, ру = -idy Выбираем одну из возможных комбинированных групп симметрии: G = diag(Gi ® G2) ® diag(Gi ® G3).

3Ю. П. Рыбаков. Структура частиц в нелинейной теории поля: Учеб. пособие.-М.: УДН, 1985

Тогда условия инвариантности записываются в следующем виде:

Г iJz4>\ = ikipyipi = (аз -

\ Íj3<fi2 = ik\PyV2 = (^3 + 1)з<^2-

Полагая к\ = = где щ, П2 G Z, находим решения этих уравнений

вида:

= col(ui, , у2е~1ф+^у, и2)- (7)

Для этого состояния Qh = п = П1+П2. В дальнейшем будет рассматриваться Случай V2 = П2= 0, щ = 1.

В общем случае необходимо вводить спинорную связность, которая имеет вид:

^ = ^7,-^,71. (8)

Оказывается, что в плоском пределе в касательном базисе для 7-матриц спи-норная связность равна нулю.

Третья глава посвящена изучению структуры спинорного и электромагнитного полей и получению характеристик солитонов для случая индекса Хопфа п = 1.

В нашей модели отдельно рассмотрим поведение решений на малых и на больших расстояниях. В общем случае на малых расстояниях (при х —> +оо) работают римановы инварианты. Однако условие регулярности требует, чтобы получалась плоская метрика. В области локализации струны х 1, и поэтому зависимостью метрики от координаты у можно пренебречь. Тогда:

е" = é = —í—, е' = Sinha;.

cosh х' cosh х

В данной работе рассматривается струнное приближение в эффективной 8-спинорной полевой модели с лагранжианом вида:

с = + jUvFv -V- ¿VI1 + G(I)] - ¿tf (/), (9)

где Дне- постоянные параметры модели. В (9) удлинённая производная Dд имеет вид:

= ie0rcAv - Гм. (10)

Ге и Г,, в (10) - генератор электрического заряда и спинорная связность, eg констатнта взаимодействия с электромагнитным полем. Стандартная форма Ге имеет вид:

Ге = |(А3 - 1). (П)

Во втором члене (9) /^ - антисимметричный тензор типа Скурма-Фаддеева

Последние два слагаемых в (9) - электромагнитная часть, которая была исследована ранее 4 и соответствует обобщенной электродинамике Ми, где = диАи — д„Ац - напряжённость электромагнитного поля и £?(/), 11(1) - функции от инварианта Ми I = А^А^. Как было показано в 4, модель (9) допускает существование статических солитонов с фиксированным электрическим зарядом и положительной энергией.

В нашем случае мы выбираем

G(I)=aiI; H(I) = J2pnIn,

n=2

где ai, /Зп - постоянные.

Третий член в (9) - потенциал Хиггса, где скалярный множитель а2 предлагается взять в виде 5:

где 11, In - римановы инварианты:

h = -¿R^R""^, IX = (13)

Форма потенциала Хиггса (2) позволяет удовлетворить принципу соответсвия с квантовой механикой, так как асимптотика спинорного поля Ф на большом расстоянии от центра солитона подчиняется уравнению Клейна Гордона с массой Шварцшильда солитона М. В нашем случае мы для простоты полагаем а2 = const. Подставляем найденную структуру (7) для спинорного поля в лагранжеву плотность и используем следующую подстановку:

Ui =

л/Я sin в sin Ф1, Vi = Уд sin О COS Ф1, «2 = u + iv, v2 = 0, и =

y/R cos в sin фо, v = cosacos фо -Граничные условия выглядят следующим образом: R ño, 0 ->0о, Ф1 ф2 А0 Л00, Ai -> О, А2 О, Л3 А30. Варьируя действие по всем полям и решая полученные уравнения, получаем

4 Rybakov Y. P. Soliton Configurations in Generalized Mie Electrodynamics // Phys. of Nuclei. - 2011. -Vol. 74 No 7. - Pp. 1102-1105.

5Rybakov Y. P. Self-Gravitating Solitons and Nonlinear-Resonance Quantization Mechanism // Bulletin of PFUR. Ser. Physics. - 1995. - Vol. 3(1). - Pp. 130-137.

следующие асимптотические решения:

1 1 7Г

R = Eq + Ri -(1 - tanh х), в = 0О + h - tanh х), ф\ = - - 2arctane '

2i ¿А

А0 = А» - Ане-2*, А = Ао - A3ie~2x,

Ai = Апе~2с - А12е~4х, А2 = А21е~2с - А22е~4с. (14

На больших расстояниях (при х 0) мы используем тот же метод, как при х —»• оо, но не игнорируем зависимость от координаты у. Используются следующие замены:

щ = *- л/cosh х - cos у, v\ = vi0e~my x у/Cosh x - cos y, V 2 cosh x

v2 = 0, u2 = щ\Jcosh x — cos y.

Граничные условия для x 0, y —> 0 выглядят следующим образом: Ф = V'vac + £> гДе С берется в таком виде:

£ = col(Çi, ше'Л № = 0,и2).

Варьируя действие по всем полям, получаем следующие приближенные решения (для п = 1):

R = —[1 -.z(cosh:r - cosy)], в = — — u0\/cosh.r - cos у tanh я, 2 2

= — — к tan^i а: л/ cosh, re — cosy, А = ^r\J cosh x — cos у, 2 ay 2

A

A = -tanh2 x, A = A2 = 0. (15)

Vcosh x — cos у

Гладко сшивая функции (14) и (15) при х = х0, у = тт/2, получаем значения постоянных:

х0 = log(\/2 + л/3); в0 = 0,347826; fc = 0,57277; 2 = 0,05694. Тогда действие модели будет состоять из двух частей:

ЛОО гъ

Л= dx F\ (х) + I 6х / dy F2(x, у). (16)

Jx О Jo J—т:

Первый интеграл в (16) — действие на малых расстояниях, а второй интеграл на больших.

Найденные значения постоянных позволяют получить основные физические характеристики солитона: массу, спин и магнитный момент. Именно,

вычисляя функционал энергии £ = —Л без учета электромагнитного поля:

(Е) = 2тг 2а3>4

ао

+ хо ( +

(17)

где а0 = 0,209223; Д, = 8,06583 • 10"3; у0 = 1,205782, в результате минимизации функции (17) по радиусу о замыкания струны, находим

о2 =

1/2'

Подставляя (18) в (17), находим массу солитона:

т = 2тг^(2а0 + М02а2 7о),

(18)

(19)

где обозначено А/о = 2а\хо-

При вычислении спина солитона 5 используем определение г - проекции углового момента:

3=1 ¿х 2Ее(^3Ф); * =

д(д(УУ

условие инвариантности спинорного поля 2<7з</?2 = —<¿>2 и связь плотности спина рз и плотности рк электрического заряда:

дС

ре = -дА0=2е0Р3'

верную в предположении малости вклада функций С{1) и Н(1). В итоге находим

^¿/^ = ¿ = 5' (20)

если считать, что д = ео Скирма - Фаддеева.

Наконец, магнитный момент \т\ солитона вычисляется из сравнения асимптотики потенциала Ал на больших расстояниях с известным выражением для вектор-потенциала точечного магнитного момента А = [тг]/г3. В результате имеем:

\т\ = аЗ3/4

-11 !/2

(21)

В п. 3.3 третьей главы обсуждается вопрос об описании барионного сектора в 8-спинорной модели. Для этого рассматривается удлиненная производ-

ная вида:

£>„Ф = д^ - ге0ГеД,Ф + + А* - Г„)Ф, (22)

где А)И А^, А* - вектор-потенциалы электромагнитного, левого и правого полей Янга— Миллса соответсвенно. Г,, в (22) обозначает спинорную связность. При этом

= А"; РЬЯ = \(1±Ъ),

ец,п - соответствующие константы связи. Основная идея состоит в установлении связи между левыми и правыми полями Янга — Миллса, возникающей из требования, чтобы поля Янга — Миллса не давали вклад в лептонный сектор:

е1ьА';,ь + = 0.

Это условие приводит к лагранжиану Янга — Миллса для псевдовекторного поля:

Сум = — 8р{(3„А„ - д„к„)2 + А,]2}, где д0 = еи, А,, = £ А"/1.

В Заключении сформулированы основные положения, выносимые на защиту:

1. В рамках 8-спинорной реализации модели Фаддеева показано, что энергия оценивается снизу через индекс Хопфа в степени 3/4.

2. Путем использования дискретной и непрерывной групп симметрии построено инвариантное спинорное поле в лептонном секторе 8-спинорной модели, для которого в струнном приближении получены асимптотические решения на малых и больших растояниях и произведено их гладкое сшивание в тороидальных координатах.

3. В рамках эффективной 8-спинорной модели получены численные оценки массы, спина и магнитного момента солитона с единичным индексом Хопфа.

4. Путем включения в 8-спинорную модель поля Янга Миллса построена модель с псевдовекторным взаимодействием."

В Приложении А получен касательный базис -/-матриц Дирака в сферических координатах, а в Приложении Б в римановом пространстве-времени.

Список Литературы содержит 58 наименований.

Основные результаты диссертации опубликованы в нижеследующих работах.

В научных журналах, рекомендованных ВАК:

1. Yu. P. Rybakov, N. Farraj, Yu. Umniyati. Cliiral 8-Spinor Model with Pseudo-Vector Interaction. // Bulletin of Peoples' Friendship University of Russia. Series "Mathematics. Information Sciences. Physics. 2012. - No 3. -Pp. 138-141.

2. Yu. P. Rybakov, N. Farraj, Yu. Umniyati. Topological Soliton Configurations in 8-Spinor Nonlinear Model. // Bulletin of Peoples' Friendship University of Russia. Series "Mathematics. Information Sciences. Physics. 2013. No 3."- Pp. 130-137.

В других научных журналах и материалах научных конференций:

3. Рыбаков Ю.П., Умнияти Ю. Эффективная 8-спинорная модель леп-тонов и барионов. // Материалы 13-й Научной конференции МГТУ "СТАНКИН"по математическому моделированию и информатике (12 - 14 мая 2010).-М.: Из-во ГОУ ВПО МГТУ "СТАНКИН 2010, с. 58-59.

4. Рыбаков Ю.П., Умнияти Ю. Спинорное тождество Бриоски. // XLVII Всероссийская конференция по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники. Тезисы докладов. Секция физики. — М.: Издательство Российского университета дружбы народов,—2011. — Стр. 83.

5. Рыбаков Ю.П., Фарраж Н., Умнияти Ю. Струнное приближение в киралыюй спинорной модели. // IL Всероссийская конференция по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники. Тезисы докладов. Секция физики. — М.: Издательство Российского университета дружбы народов.— 2013. — Стр. 74-77.

АННОТАЦИЯ

Уынияти Юнита

Нелинейные топологические модели элементарных частиц

В рассматриваемой работе предлагается 8-спинорная реализация киральной модели Скирма—Фаддеева для описания лептонов, когда лептонный заряд отождествляется с индексом Хопфа. Показано, что энергия оценивается снизу через индекс Хопфа в степени 3/4. Путем использования дискретной и непрерывной групп симметрии построено инвариантное спинорное поле, для которого в струнном приближении получены асимптотические решения на малых и больших растояниях. Получены численные оценки массы, спина и магнитного момента солитона с единичным индексом Хопфа. Путем включения в 8-сшшорную модель поля Янга — Миллса построена модель с псевдовекторным взаимодействием.

ABSTRACT

• Umniyati Yunita

Nonlinear topological models of elementary particles

In this work, we propose the 8-spinor realization of the chiral Skyrme—Faddeev model to describe the leptons, the lepton charge being identified with the Hopf index. The energy in the model is proved to be estimated from below by the Hopf index to the power 3/4. The discrete and continuous symmetry groups being used, the invariant spinor field is constructed, for which the asymptotic solutions at small and large distances are obtained in the string approximation. Numerical estimates of the mass, spin and magnetic moment for the soliton with the unit Hopf index are found. The 8-spinor model with Yang—Mills pseudo-vector interaction is proposed.

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

04201363656

на правах рукописи

Умнияти Юнита

УДК 539.12

нелинейные топологические модели

элементарных частиц

01.04.02-теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

научный руководитель доктор физико-математических наук профессор Ю. П. Рыбаков

Москва - 2013

Выражаю благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н.,

профессору Рыбакову Юрию Петровичу

Аннотация

В рассматриваемой работе предлагается киральная 8-спинорная модель для описания лептонов. После обсуждения физического содержания модели рассматривается лагранжиан модели, объединяющей модели Скирма и Фаддеева на основе 8-спинорного эффективного поля. Ищется асимптотическое поведение полей на малых и больших расстояниях для аксиально-симметричной конфигурации. Получаются оценки для массы, спина и магнитного момента для существующей в данной модели регулярной конфигурации с единичным топологическом зарядом.

Оглавление

Введение 6

1 Спинорная реализация киральной 52 модели 11

1.1 Описание лептонов как топологических солитонов в спинор-

ной модели Фаддеева ............................................11

1.1.1 п—поле Фаддеева..........................................11

1.1.2 Топологический заряд (индекс Хопфа)..................12

1.1.3 Спинорная реализация киральных моделей............14

1.1.4 Нелинейная спинорная модель..........................16

1.1.5 Оценки энергии снизу....................................17

1.2 Эффективная 8-спинорная модель лептонов ..................20

1.2.1 Эффективная нелинейная модель 8-спинорного поля 21

1.2.2 Масса солитонов..........................................23

1.3 Выводы............................................................24

2 Структура струнного приближения в 8-спинорной модели (для лептонного случая) 25

2.1 Тороидальная структура ........................................25

2.2 Группы симметрии................................................30

2.2.1 Дискретная группа........................................30

2.2.2 Теорема симметрии (Коулмена — Пале)................30

2.3 Спинорная связность..............................................33

2.4 Выводы............................................................37

3 Некоторые оценки наблюдаемых и исследование структуры

солитонной конфигурации с единичным индексом Хопфа 38

3.1 Действие на малых и больших расстояниях....................38

3.1.1 Действие на малых расстояниях........................38

3.1.2 Действие на больших расстояниях......................47

3.2 Характеристики солитона........................................49

3.2.1 Масса......................................................49

3.2.2 Спин........................................................51

3.2.3 Магнитный момент........................................52

3.3 Киральная 8-спинорная модель с псевдовекторным взаимодействием ..........................................................53

3.4 Выводы............................................................55

Заключение 56

Приложение А. Касательный базис 7-матриц Дирака в сферических координатах 57

Приложение Б. Касательный базис 7-матриц Дирака в рима-новом пространстве 58

Литература 60

Введение

В современной теоретической физике большой интерес представляет изучение киральных моделей, для которых поле принимает значения в некоторых компактных многообразиях. Киральные модели представляют собой модели теории поля, в которых взаимодействие вводится не путём добавления к лагранжиану свободного поля лагранжиана взаимодействия, а чисто геометрическим путём. Именно, лагранжиан в таких моделях остаётся тем же, что и в случае свободного поля, но на само поле накладывается связь. При описании таких моделей применяются современные алгебраические и геометрические методы, позволяющие описывать частицы как топологические солитоны.

Солитон - это существенно нелинейное локализованное образование, сконцентрированный сгусток энергии [1]. Исторически солитоны впервые набдюдались и описаны в 1835 г. английским физиком и инженером Джоном Скоттом Расселом как волны на воде. Солитоны и мульти-солитоны устойчивы потому что они несут топологический заряд ТУ, который является целым числом [2]. Надо иметь в виду, что сохранение N не связано с теоремой Нетер, но с топологической структурой полевого многообразия. Солитон описывается его коллективными координатами, задающими положение его центра и ориентацию. Пространство коллективных координат называется пространством модулей. Если один солитон имеет к коллективных координат, то для N солитонов используются к N мерных пространств модулей. Это /сА^-мерное многообразие имеет метрическую структуру, которая позволяет вводить взаимодействие между солитонами. Динамика многих солитонов сложна, но интересна. Обычно происходит слияние

солитонов, когда они приближаются друг к другу, и это отличает их от точечного характера взаимодействия между частицами. Если строить адиабатическую динамику солитонов на пространстве модулей, то классическое движение в пространстве модулей осуществляется вдоль геодезической. Таким образом, сила взаимодействия между движущимися солитонами естественно возникает вследствие искривленности пространства модулей. Нас будут интересовать топологические солитоны.

Топологический солитон - солитон с нетривиальной топологической характеристикой (типа степени отображения, инварианта Хопфа и т.д.) - топологическим зарядом. Термин "топологический солитон "принято использовать как для обозначения топологических нетривиальных решений с конечными динамическими характеристиками в теории поля (кинков в одном измерении, двумерных вихрей в калибровочных теориях с полем Хиггса [3], монополей в трехмерном мирей [4,5], инстантонов в чистой калибровочной теории размерности четыре [6], скирмионов [7,8] и т.д.), так и для модельного описания устойчивых неоднородных состояний (локализованных структур) в конденсированных средах: вихрей, дислокаций, дисклинаций, доменных стенок, точечных дефектов и т. п.. Другими словами, топологические заряды (инварианты) - это величины, сохраняющиеся тождественно, т.е. независимо от уравнений движения, не меняющиеся при непрерывной деформации поля и принимающие целочисленные значения. Для вычисления топологических зарядов используется аппарат гомотопических групп, методы дифференциальной топологии. Топологический заряд может возникнуть либо за счёт нетривиальных граничных условий на бесконечности (вырожденный вакуум, т.е. по разным направлениям вакуум разный), либо за счет внутренней структуры поля (при тривиальном вакууме).

Существуют два различных типа топологических солитонов: киральные солитоны, характерные для физических полей, и Хигсовские солитоны, характерные для полей с нетривиальными и различными асимптотиками на бесконечности и вырожденным классическим вакуумом [9].

Имеется еще одна возможность — использовать нетривиальную тополо-

гию самого пространста - времени, но мы не будем ее рассматривать.

Известны модели, допускающие существование топологических солито-нов, наблюдаемых на практике. Например, это вихри в сверхпроводниках [10]. Скирмионы представляют собой топологические солитоны в модели Скирма, которые могут описать форму ядер. Суперсимметричные теории поля также допускают существование солитонов. Солитоны в теории суперструн известны как "браны". Кроме того, значительный интерес представляет теорема Деррика [11], которая запрещает существование солитонов в некоторых простых теориях поля, например, в чисто калибровочных теориях в 3-х измерениях.

Особый интерес представляет модель Фаддеева—Скирма [12]. Это самая простая (известная) трехмерная модель, в которой существуют топологические солитоны, и она выступает как предел некоторой более сложной реалистической модели [13]. В рамках модели Фаддеева—Скирма возможно объединение адронов в более сложные структуры, такие как ядра [14,15].

Киральные солитонные модели, предложенные Скирмом в 1961 г., дают возможность относительно простого описания барионных систем с различными свойствами, основанного на малом количестве исходных принципов. В рамках модели Скирма удается сравнительно простыми средствами удовлетворительно описать взаимодействие нуклонов, основные статические свойства барионов. Будучи относительно простой, эта модель в целом верно схватывает основные симметрийные и структурные свойства барионов. Согласно гипотезе Скирма, барион трактуется как киральный солитон, возникающий в результате коллективного возбуждения пионных полей, наделённый нетривиальным топологическим зарядом, интерпретируемым как барионное число. В рамках моделей с топологическим зарядом, в которых энергия оценивается снизу через топологический заряд, могут существовать абсолютно устойчивые солитонные решения, реализующие нижнюю грань функционала энергии.

В работе [16] было предложено упрощение модели Скирма, когда в качестве области определения рассматривалась сфера «Б13. В этом случае

в качестве точного решения выступало тождественное отображение «S3 в S3 [17-19].

В 1973 г. Фаддеев предположил, что в трехмерном пространстве сигма-модели на О(З), модифицированной добавочным членом типа Скирма, должны существовать замкнутые струноподобные топологические солито-ны, наделенные целочисленным индексом Хопфа. Модель Фаддеева обладает незначительным произволом, поскольку в соответствии с антисимметричным тензором на S"2, связанным с единичным вектором, можно построить лишь два независимых 0(3)/-инварианта. Для получения оценки энергии в модели Фаддеева снизу требуется достаточно рафинированная техника функциональных неравенств. В 1979 Вакуленко и Капитанский [20] получили нужную оценку для энергии в этой модели: Е > c|Q|a, где с - некоторая постоянная, a Q -заряд Хопфа. Улучшение оценки постоянной с было получено позднее Уордом [16]. Некоторые другие модели, допускающие конфигурации с ненулевым зарядом Хопфа, также были предложены: де Вега (1978) мХиггс-модели (абелевы и SU(2))" [21], Николь (1978) "£ = - [-К<ЭХ)2]3/2" [22], Кунду и Рыбаков (1982) "S2 нелинейная а-модель" [23], Аратин, Феррейра, Циммерман (1999) "£ = -[^¿,]3/4" [24].

За последние годы было предпринято несколько попыток получить точные солитонные решения в ряде моделей с масштабной симметрией [25]. В модели Фаддеева топологически нетривиальные конфигурации могут обладать, самое большее, аксиальной симметрией [23]. Таким образом, ситуация отличается от модели Скирма, с целевом пространством S3, где (Q = 1) солитон сферически-симметричен "hedgehog". В системе Скирма—Фаддева солитон с минимальной энергией при Q = 1 имеет тороидальную форму (замкнутая закрученная струна).

В диссертационной работе рассмотрены спинорные реализации, т. е. спи-норные обобщения модели Скирма—Фаддеева, цель которых — получить объединение моделей Скирма и Фаддеева. В работе рассмотренно так называемое струнное приближение, когда используются тороидальные координаты.

Целью данной работы является построение солитонных решений, описывающих конфигурации, наделённые единичным индексом Хопфа. Для достижения этой цели решались следующие основные задачи:

• Построение описания барионов и лептонов как топологических соли-тонов (в рамках спинорного обобщения моделей Скирма и Фаддеева).

• Изучение групп симметрии для конфигураций с нетривиальным леп-тонным зарядом (индексом Хопфа).

• Построение инвариантного спинорного поля путем использования тороидальных координат.

• Описание структуры решения на малых и больших расстояниях для случая единичного лептонного числа.

• Оценка массы, спина и магнитного момента солитонной конфигурации.

В первой главе дается изложение подхода к описанию барионов и лептонов как солитонов (модели Скирма и Фаддеева). Здесь предлагается объединить модели Скирма и Фаддеева с помощью эффективного 8-спинорного поля ф.

Вторая глава диссертации посвящена анализу структуры солитонов в струнном приближении для лептонного случая. Здесь использовались тороидальные координаты и спинорная связность.

Третья глава посвящена получению решения и некоторым оценкам наблюдаемых. Сначала получено действие на малых и больших расстояниях. В результате сшивки этих решений удвется получить характеристики солитонов (массу, спин, магнитный момент).

Основные результаты диссертации перечислены в Заключении.

Глава 1

Спинорная реализация киральной модели

1.1 Описание лептонов как топологических солитонов в спинорной модели Фаддеева

Интересен вопрос о роли спинорных полей во взаимодействии и образовании солитонов. Как известно [9], поскольку спинорное поле "чувству-ет"поворот на 27т, то его знак неопределен, и это приводит к неопределенности взаимодействия. Поэтому спинорные солитоны взаимодейству-юут случайно (случайная фаза). Однако если рассматривать стационарное (связанное) состояние двух спинорных солитонов, то их относительная фаза, определяющая взаимодействие, должна быть однозначной.

1.1.1 п—поле Фаддеева

Рассмотрим изовекторное поле па, а — 1, 2, 3, принимающее значения на сфере 52 : п2 = 1. В качестве группы инвариантности выберем группу

С = с11аё[50(2)5(8)50(2)/],

отвечающую согласованным вращениям вокруг оси Z и третьей оси в изо-пространстве. Эта группа, появляющаяся в связи с граничным условием

на пространственной бесконечности

па( оо) = ¿3e,

является однопараметрической. Запишем условие инвариантности поля па

[u^n] — содфп = О, где ф - азимутальный угол, или в компонентах:

дфПз = 0; гдфП± ±п± = 0, где п± = (ni ± гп2)/л/2. На сфере S2 полярные координаты имеют вид

77-з = cos/3; f^i = sin/3 cos 7; п^ — sin /3 sin 7, т.е. n± = sin/3e±n. Тогда

дфр = 0, 507 = 1, с общим решением в цилиндрических координатах

Р = P(r, z); 7 = ф + ь(г, z).

1.1.2 Топологический заряд (индекс Хопфа)

Типичный пример топологического закона сохранения на плоскости это число, показывающее, сколько раз замкнутый путь обходит вокруг неподвижной точки. Это число сохраняется при любых деформациях, в которых путь не пересекает выбранной неподвижной точки. Точнее, мы должны рассматривать замкнутую кривую на проколотой плоскости / : S1 —> М2{(0,0)} ~ S1, и такие топологические карты могут быть классифицированы с помощью гомотопическич классов в соответствии с числом вращения 7Ti (51) = Z. Какие топологические законы сохранения мы можем иметь в М3?

Каждой точке в пространстве М3 мы соотносим ЗБ-единичные векто-

ры п. Эти ЗБ-единичные векторы могут быть представлены точками на поверхности сферы S2. Мы предполагаем, что векторы имеют заданное направление на пространственной бесконечности и, следовательно, пространственную бесконечность можно стянуть в точку, т.е. R3 ~ S3. Таким образом, единичный вектор даёт нам карту n : 53 —»• S2. Такие карты можно характеризовать топологическим зарядом Хопфа, т.е., гомотопическим классом 7T3(S2) = Z.

Инвариант Хопфа Q# классифирует отображения п : М3 —> S2, причем многообразие S2 задается единичным вектором п = -^у, где вектор v будет определен в следующем параграфе. Как известно, инвариант Хопфа появляется как генератор гомотопической группы tts{S2) и может быть представлен интегралом Уайтхеда:

QH = (8тг)~2 j d3x{с rot с), (1.1)

где вектор с определяется как:

diCk - дкСг = 2еаЬсдгпадкпьпс. (1.2)

Хопф предложил элегантный метод вычисления интеграла (1.1) с помощью обратного отображения Хопфа S3 S2. Для иллюстрации этого метода введем вспомогательный 2-спинор

X = col (cos А + г sin A cos В, sin A sin В ехр(гС)),

где А, В, С - угловые координаты на S3. Тогда справедливо следующее соотношение:

rote = -2г[ух+ VX], с = Im(x+ V х)> п = {х+^х)-

Подставляя эти выражения в (1.1), получаем следующее представление для инварианта Хопфа:

= —[ dsx sin2 Л sini?([v-4 у В] у С) = deg(53 53), (2тту J

причем последняя формула выражает тождественность гомотопических групп 7r^(S2) = ^(S"3) = Z. Если ввести новые переменные ¡3 и р, полагая

sin A sin В = sin(/3/2), tan A cos В = tan р,

то можно получить более компактное представление для инварианта Хопфа:

Qh = J dzx sin/3([V/? VP]V C).

С другой стороны, из условия п± = sin у0е±г7 вытекает соотношение

7 = С-р,

которое вместе со структурой аксиально-симметричного поля, найденного в предыдущем параграфе:

(3 = ¡3(r, z); -у = ф + у(г, z),

позволяет утверждать, что для аксиально-симметричных полей интеграл Уайтхеда (1.1) принимает вид:

Qh = ¿У d3*sin/?([V/?V7] • V</>) = n, n E Z. (1.3)

1.1.3 Спинорная реализация киральных моделей

Обсудим некоторые особенности спинорной реализации киральных моделей. Состояние, для которого поле имеет минимальную энергию, называется вакуумом. В вакууме поле не зависит от координат. Согласно обобщенному тождеству Фирца - Паули - Бриоски (детали будут обсуждены в следующем параграфе)

2j ^ = s2 + Р2 + V2 + а2 + Д2, (1.4)

в котором использованы обозначения:

s = ФФ, р = гФ75Ф, = а = гФ 75ЛФ.

Здесь Л - матрицы Паули в изопространстве,

= Ф7/ХФ,

(1.5)

где 8-спинорное поле представляет в виде:

Ф =

Рассмотрим потенциал Хиггса специального вида:

Vffiggs = Vo(f ~ er2)

,2\2

О) !

(1.6)

где Vo, (Jo - некоторые постоянные. В вакууме этот потенциал стремится к нулю. Поэтому можно писать, что при |ж| —У оо

f о\- (1.7)

Как видно из тождества Фирца - Паули - Бриоски, в зависимости от вакуумного граничного условия могут возникать многообразия либо »S2, либо S3, если гомотопическая группа нетривиальна. В последнем случае эта группа соответствуе