Топологические солитоны в трехмерной калибровочной модели Скирма тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Эдвин Бенавенте Рамирес

Топологические солитопы в трехмерной калибровочной модели Скирма

Специальность 01 04.02 — теоретическая физика

Лв1чр,*ф( ¡/<11 диссорищии иа сот канис умений ск'мцпи каидидаи. фи лпл-чдк мангич ких наук

Москва 2007

003069360

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Российского университета дружбы народов

Научный руководитель

доктор физико-математических наук Ю Г1 Рыбаков Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук О В Кечкиь кандидат физико-математических наук Т Ф Камалов Ведущая организация

Московский педагогический государственной униссрситет

Защита состоится 2007 г в мин

на заседании диссертационного совета К 053 22 01 при Российском университете дружбы народов по адресу г Москва, ул Орджоникидзе, 3, зал №1

С диссертацией мС/тчно ознакомиться в Научной библиотеке Российского улизсрс.пстз дружбы народов

Автореферат разослан

Уччный секретарь

диссертационного сосета

кандидат физико-математических наук

Т К Чехлова

Общая характеристика работы Объект исследования и актуальность тьмы

В современной теоретической физике большой интерес представляет изучение структуры частиц Противоречия, возникающие при попытках построения иослс-довахелыюй полевой теории, проистекают главным образом из неумения сохранить в релятивистской квантовой теории образ протяженной частицы Разделяя мнение некоторых ученых о том, что последовательная квантовая теория должна опираться на хорошую классическую теорию, мы обращаемся к описанию протяженных частиц в рамках классической нелинейной теории Д Финкелынтейн, Ч Миэнер и независимо от них Т Скирм в конце 50-х годов XX века впервые введи и физику тополо1 ическую классификацию решений уравнении поля и новые типы законов (-охранения, получивших название топологических Топологические соли гоны обладают свойствами локализоваппости и устойчивости Примером топологической модели часгиц является ккральная модель Скирма, предложенная ее автором в 1961 году для описания свойств ядерной материи в терминах мезон-пых полей Скирм интерпретировал топологический заряд как барионное число, а солитонное во Суждение мезонього поля как барион (киралъный солитон). Интерес к »«оде.™ С,'к'!jvvi значительно вырос чосле появления работ -) Виттена, в которых было установлено, что квантовая хромодинамика в пределе большого числа цветов оказывается эквивалентной эффективной мезонной теории, которая в кизкоэнергетическом проделе аппроксимируется нелинейном ciu ма-моделыо со спонтанно нарушенной киральпои симметрией Именно к таким моделям относится модель Скирма В рамках модели Скирма удается сравнительно простыми средствами удовлетворительно описать взаимодействие нуклонов, основные статические свойства барчоьов В диссертации изучается калибровочная SU('2) модель Скирма, учигыьэющая вклад не только пионов, но и векторных мезонов

Цель работы

• Изучение структуры аксиально-симметричных соли тонных конфигураций в калибровочной модели Скирма

• Исследование замкнутых киральных струн (вихрей) большого радиуса в калибровочной модели Скирма

Научная новизна

я 13 диссерхации впервые, пуюм применения групповых меюдов анализа, изучена структура топологических соли гонов ( аксиальной симмехрисй в рамках 5!/(2) галиброночиои модели Скирма

• В частности, рдсгмтреиы тороидальные структуры, 1Р замкнутые пру-ны (вихря), в нриблчжении большого радиуса "замыкания Получена оценка массы и радиуса таких конфигураций

Научная и практическая значимость

Полученные в диссертации аксиально-симмегричные конфигурации в калибровочной модели Скирма мо1уг 6b.iL использованы д ш поороенид моделей барио-поь и лс1ких ядер, а также для описания плотей ядерной ма!ерии и I! различных ас фофи М'ческих. прнло>"еч"яч, ь юм числе д¡,я оиислния кос чически\ < ф>н

Апробация работы

Основные резулыаил диссертации были доложены на XXXVI Всероссийской научной конференции факультета физлко-магемл] и чес ких и ее 1сс 1 венных наук ГУДН, Москва, 2000, на Х1Л1 научной конференции факультета физико-математических и естественных наук РУДН, Москва, 2006, на ХЫН научной конференции факультета физнко-мАтоматичюьнх и естественных наук РУДН, Москва, 2007, а также на научных семинарах кафедры с еорст ичес кои фишки РУДН

Публикации

Основные результаты днесерьгции опубликованы в четырех научных работах, в юм числе в 2 схльих и 2 1 елках докладов на научных конференциях

Структура и объем диссертации

Диссер|ация состойI из введения, трех 1лав, заключения и списка лисерасури ит <3" & наименований Полный обьом диссерсации сс>с [авляее страниц

Основное содержание работы

Во Введении обос поьываессл нд»нос1ь и ак1уалыгос1ь 1емы исследования, даехсл краккий обзор ис юрии вопроса, основных методой исследования и содержания дис серсации

Глава первая Аксиально-симметричные конфигурации полей в ¿7/(2) калибровочной модели скирма

Глава со(юи1 и? трех парахрафов и посвяшена описанию калибровочной кираль-пои модели Скирма, поиску аксиально-с имм< тричных конфигураций и шложе-ииго математических меюдов, применяемых для решения поставленных в данной диссер1Ации задай

Раздел 1 1

Зде< в дается описание Яи(2) калибровочной модели Скирма, в которой рассматривался эффексивный ла1ранжиан для 7г-мезонов и р-меюноч Если р-мезоиы опшывакпея векюрным нолем а — 1,2,3, ¡1 = 0,1,2,3, то информации о пионах содержится в киральном поле С/, принимающем значения в группе 5(7(2) Векторное поле Л'* входит в удлиненную производную

Р^и = д^и - [А„,и],

где Лм = §т"Л£, т" - матрицы Паули

Ла1рапжиан калибровочной модели Скирма имеет следующий вид

Р^^ + рвр^Л + + (1)

1Д( 1,1'едены обозначения

¿/< = ¡11 + "V — I/ — и+0„и — левый киральный ток, и

— 3(1л„ — д, л, - [л„л„] — напряженность поля Яша-Мнллса

В ласранжиан включены елаыемые, охвечающие массам тр />мезонов и гл„ 7г-мезонов

Топологический (барионныи) заряд, являющийся степенью отображения (} = е1е{>,(5'* —> можег быть записан в калибровочно-ипвариатнои скорме, предложенной Л Д Фаддеевым

"¿сЧ"7 +ЗГУ(^ + (2)

1де нрипимасм целочислс чные значения, а /?к = - правый киральный

ток

G

Будем искать статические аксиалыю-симме1ричныс конфигурации в калибровочной модели Скирма Соответствующая группа симметрии имеет вид

6? = didg[0(2),®0(2)s] (3)

и включает сснласованные повороты вокруг третьей оси в изотопическом и коор-диндпюм пространствах

Условие инвариантности кирального поля U относительно группы (3) hmcci вид

-tdaU + ^[r4,U] =0, (4)

где А, — целое число, характеризующее степень закрутки в изонростраистве при изменении азимутального угла а При решении уравнения (4) удобно игполыо-ва!ь цилиндрические координаты р, a, z Полагая в (4)

U = cos Ф( + itx ьш ф, 'TJX, (5)

где ?/', у, X — координаты на 517(2), in (4) выводим следующую структуру кирального ноля

Ф = Ф(р, г), ч> = Ар, ¿0, х = + «(р. (с)

Для нахождения структуры tcKTopnoro поля Л> также мштсм уе/горие его инвариантности относительно группы (3)

—гдаА1 - гешАк + = 0 (7)

Решение уравнения (7) имеет впд

Ар — 1тф + iT\q ехр[?тз() - к а)},

А» = ins + /r17/jcxp[?rj(/? - An)], (8)

А, = гГ(/ + trig exp[ir^(h — Ac*)],

iде функции p,q,r, s, w, /i, /, g, h зависят только от p, z

Раздел 1 2

Для и (учения структуры аксиально-симметричных полей в модели Скирма < калибровочным полем строитсл гамилыониан и топологичес кии заряд, применяется 1еорема Коулмена Пале, коюраи сосюикм и следующем

Пу< 1ь <р некоторое поле и F[tp] функционал (энер1ия), инпариан шый относительно действия некоюрой непрерывной ipynnbr G, те удовлетворяющий

условию = fV], <i e G, и пусть ip = принадлежит множос usy инвариантных полой (ючпес, «инвариантных), для которых — ip0 Тогда верна 1еорема, высказанная С Коулмепом и доказанная Р Пале если поле tpu доставляет минимум F в соотистпетацющем ипаарштптом классе, то при некоторые у(логшях ipo ркшпует ио>пшй мшшмуи F, in е i)F = 0 шил. тс и Оля iitvveapuamrnmx вариаций Далее указывается дискретач впутречняя lpynna, которая позволяет упростить фупыщонал diiepi ии Состояния, реали чующие нижнюю iрань энергии в соответствующем изотопическом классе, т е при Q = N, являются устойчивыми но 71яиунову

При помощи теоремы Коулмена-Пале реализуем схему симметричной редукции функционала энергии, основанную на отыскании группы симмрфии функционала оперши и выявлении структуры инвариантных полевых колфшураций (ан зацеп), которые реапизукп минимум функционала эн^р1 чи

Раздел 1 3

Зд( ( ь доказывается, чю значение touojioi иче< кого заряда (2) является калибровочно-ипварианхяым и не зависит от калибровочного поля Q = dcg(5® —> S!) — dcg(54 —-> SU(2))

Глава вторая Структура гамильтониана в аксиально-симметричной калибровочной модели Скирма

В соо те и 1вующем инвариантном классе с учетом дискретной ipynni.i симметрии получается следующий гамильтониан

i оо

Е — 2к J pdp j drj-Lfr' + rt1) +f2(cobV[VV'V^j2 + R2T2)+

О -оо

+ Ь [(Vw)2+{Va)2 + ("*'+?4 7*){V}2+s2)]+ " (9)

1де обозначено

Т2 (Vw)2 + cos2 V'(V<p)2, R — (2s - sinф - 2wcosi/'sin <p

При jtom топологический заряд Q вычисляется как степень отображения —> Ss

<?-= [di,m2ipAd<p ([0)

Z7T /

Глава третья Струнное приближение и аксиально-симметричные решения

Делается предположение о существовании топологических солиточов, имеющих юроидалшую структуру Если принять, что р.]диу< а >амыкапия тороидд ьелик по (.равнению ( характерным поперечным размером А, ю для естественных горои-дапьных координ и, св5и шрых < цилиндричес к им и координации com ношениями вида

p=a + jcos-0, z — i&mtf, (11)

можно считать, что а г

В р"'ульааге в теории появляется дополнительная енпчехрн I, "оюрая ноз-itonsiei упростить тамильгопиап модели В рамках калибровочной Ь'£/(2)-модели Скирма рассм.ириваюня замкнутые киральные струни (вихри), радиус смыкания коюрых а считается большим ио сравнению < характерным поперечным ра!мером вихря, определяемым параметрами модели В этом приближении удается найти киралыюг и кальброг.очшх ¡юля ни,три вихря, оцепшь ею радиус и энергию как функции or iополот ичегкого 'заряда Q То1Юло1ическии заряд замкнутой ( трупы

Q = iA

В координа1ах (Н) жертшо (9) можно приближенно представить в виде

(12)

Из (12) (ледуе1, чю масса тр р-мезона в данном приближении не входи i в эперт ию конфигурации

Основные научные положения, выносимые на защиту

• Найдена структура инвариантных векторного и киральното полей в аксиально-симметричной калибровочной £[/(2)-моделн Скирма

• Выявлена дискретная симметрия гамильтониана в аксиально-симметричной Я?/(2)-модоли Скирма

• Исследованы тололотические конфшурации тороидальной структуры

о

• Бели предположи 1 ь ч к) радиус и замыкание тора дог 1 .и очно педик, то боль-ниш будет и шполот ичсскии заряд ф (« к) При икон допущении уд.хт-ся наши явные выражения для киралыкпо и калиброиочною попей внутри замкнутой струны (вихря) С помощью зтих выражений находи юч рздиус замыкания и шсршл вихря как функции 01 юнолошческою чи< на и, которое определяет число закруток киральгюго угла ¡р = т') вокруг продольной оси вихря Ин хера но, что знсриш ьи>рл при п 1 пропорциональна о9^4, к с) к зю следует из формулы (12), и по зависит от параметров регторжно моля

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

1 Рыбаков Ю II, Бгпаастпе Я Р Структура аксиальн0-сим"01р1гшых соли-юнов в калибровочной модели Скирма // Тезис ы докладов на XXXVI Все-рос сийской научной конференции факульгеда физико-математических и сс зе-

ственных наук РУДН - М РУДН, 2000 - С 8

2 Рыбаков Ю Г1, Венавентс Э Р Аксиально-с имметричные конфигурации в калибровочной модели Скирма//Веснин; РУДН Ф.1 >ика Л® 9 (1) 2001 -С 17 19

3 Рыбаков И) П , Бснат нтс Э Р Замкнутые киралг.пые с срупы большого радиус а в калибровочном модели Скирма // Те вдсы докладов ча ХЫ1 В' сроссищ кои научной конференции факульгеда физико математических и естественных наук РУДН М РУДН, 2006 С 5

'1 Рыбаков Ю Л, Бенавспте Э Р Замкдгутые струны в калибровочной модели Скирма // Вестдшк РУДН Серия «Физико-математические науки» —№ 1 -200!) С 120-123

Отпечатано в ООО* «Орг сервис—2000» Подписано с печать 24 04 07 Объем 0,63 п л Формат 60x90/16 Тира» 100 экз Заказ №25/04-1Т 115419, Москла, Орджоникидзе, 3

Введение.

Глава 1. Аксиально-симметричные конфигурации полей в калибровочной модели Скирма.

1.1. Калибровочная 5'С/(2) модель Скирма.

1.2. Метод решения задачи.

1.3. Оценка топологического заряда.

Глава 2. Структура гамильтониана аксиально-симметричной калибровочной модели Скирма.

Глава 3. Струнное приближение и аксиально-симметричные решения.

Выводы.

Список источников.

В современной теоретической физике, при попытках построения последовательной полевой теории элементарных частиц, выясняется, что проистекают они главным образом из-за неумения сохранить в релятивистской квантовой теории образ протяжённой частицы. Разделяя мнение некоторых учёных о том, что последовательная квантовая теория должна опираться на хорошую классическую теорию, мы обращаемся к описанию протяженных частиц в рамках классической нелинейной теории поля.

На возможности нелинейной теории поля в описании протяжённых частиц указывали В. Гейзенберг, Д. Д. Иваненко [1], Я. П. Терлецкий [2] и другие авторы. Особенно отметим направление, восходящее к Г. Ми [3] и А. Эйнштейну [4, 5], в основе которого лежит представление о частицах как сгустках некоторого материального поля, полевых образованиях с повышенной по сравнению с другими частями пространства концентрацией энергии.

Представления о частице как о локализованном в малой области пространства регулярном физическом поле с конечной энергией и другими характеристиками встречались в литературе под разными именами: части-цеподобные решения (Particle-like Solutions) у Н. Розена, Р. Финкелыптейна и Я. П. Терлецкого; «Горбы» (le champ a bosse) у JI. деБройля; «кинки» (kinks) у Р. Финкелыптейна, «комки» (lumps) у С. Коулмена и др. Концепция многомерного солитона с нетривиальной топологической структурой возникла в конце 30-х годов XX века [6-8].

С этой точки зрения, частицы должны описываться регулярными решениями, т.е. не имеющими особенностей локализованными решениями некоторых нелинейных уравнений поля, исчезающими на пространственной бесконечности, которым приписываются конечные энергия, импульс, спин и другие динамические характеристики. Такие решения называются солитонами. Солитоны характеризуются следующими свойствами: а) это локализованные в конечной области возмущения нелинейной среды, которые б) распространяются без деформации, переносят энергию, импульс, момент импульса, в) сохраняют свою форму и структуру при взаимодействии с другими подобными образованиями, г) могут образовывать связанные состояния.

Среди множества решений нелинейных уравнений выделяются классы солитонных решений, которые обладают свойством локализованности и устойчивости, т.е. солитоны сохраняют свою форму в результате взаимодействия. Свойство локализованности присуще не только солитонам, но и более широким классам решений нелинейных уравнений, которые известны как уединённые волны [9]: «Все солитоны являются уединёнными волнами, но обратное неверно, т. к. уединённые волны могут быть неустойчивыми». В общем случае решения нелинейных уравнений, моделирующих некоторое физическое явление, необязательно должны быть локализованными. Это связано с тем, что в системе могут существовать различные локальные области равновесных (или вакуумных) состояний, иначе говоря, равновесное состояние может быть вырожденным [10]. Более строгое определение можно найти в книгах [11-14].

Солитоноподобные решения нелинейных уравнений находят широкое применение в различных областях физики. Они обнаруживаются как при исследовании макроскопических явлений в гидродинамике, физике плазмы, нелинейной оптике, теории твердого тела, механике сплошных сред и теории гравитации, так и в микроскопической области: в биофизике, в биологии и.т.д. Например, киральные солитоны успешно применяются в ядерной физике для моделирования структуры протяжённых частиц [15,16].

Д. Финкельштейн, Ч. Мизнер [17] и независимо от них Т. Скирм [68] в конце 50-х годов XX века впервые ввели в физику топологическую классификацию решений уравнений поля и новый тип законов сохранения, получивших название топологических.

Топологические солитоны обладают свойствами локализованности и устойчивости. В теории поля распространено представление об элементарных частицах как локализованных и устойчивых возбуждениях с конечной энергией. Исследованию устойчивости солитонов по отношению к начальным возмущениям были посвящены основополагающие работы Т. Б. Бенджамина [18], Дж. Шатаха [19-21], В.Е. Захарова [22,23], Е. А. Кузнецова [24,25], В. Г. Маханькова [26] и др. [27-29]. Это позволяет найти соответствие между солитонными решениями и состояниями, описывающими протяжённые частицы в квантовой теории.

Английский физик Тони Хилтон Роял Скирм оставил чрезвычайно яркий след в современной физике ядра и элементарных частиц. В конце 50-х годов XX века Скирмом был разработан оригинальный подход к физике частиц, опирающийся на глубокие топологические идеи. Первую попытку построения модели ядерной материи Скирм предпринял в начале 50-х годов, поставив перед собой задачу дать хотя бы качественное обьяснение известных к тому времени экспериментальных фактов о строении ядра.

Первоначально Скирм хотел получить ответ на вопрос: «Почему экспериментальные измерения радиуса ядра различными методами приводят к существенно разным результатам»? В экспериментах по ораспаду и по рассеянию тяжёлых ядер было установлено, что радиус ядра может быть выражен формулой Я = 1.5А^ х Ю-13 см, где А — число нуклонов в ядре. В то же время эксперименты по рассеянию быстрых электронов на ядрах приводили к существенно меньшему значению для радиусов ядер: И! = 1.2Аъ х Ю-13 см. Скирм предложил рассматривать ядро как некоторую несжимаемую электрически нейтральную пионную жидкость, заполняющую шарообразную область радиуса Я. В каждой точке пространства эту жидкость можно характеризовать некоторой скалярной плотностью и некоторым вектором в пространстве изоспина. В жидкость погружены нук-лонные источники, сильно взаимодействующие с пионами и занимающие область меньшего радиуса В!.

Поэтому в экспериментах первого типа, где существенным является взаимодействие с пионами, получается значение Я, а в экспериментах с электрически заряженными частицами, где фактически проявляется распределение электрического заряда в ядре — И!, т. е. среднеквадратичный зарядовый радиус.

В рамках модели Скирма удается сравнительно простыми средствами удовлетворительно описать взаимодействие нуклонов, основные статические свойства барионов. Будучи относительно простой, эта модель в целом верно схватывает основные симметрийные и структурные свойства барионов. Согласно гипотезе Скирма, барион трактуется как киральный солитон, возникающий в результате коллективного возбуждения пионных полей, наделённый нетривиальным топологическим зарядом ф, интерпретируемым как барионное число.

Топологические солитоны — это регулярные решения полевых уравнений, наделенные топологическим зарядом, сохраняющимся тождественно, т.е. независимо от уравнений движения, не меняющимся при непрерывной деформации поля и принимающим целочисленные значения. Это топологические инварианты типа степени отображения, инварианта Хопфа, индекса Чженя-Понтрягина и т. д. Солитонные решения привлекательные для построения моделей физики элементарных частиц, и в частности, могут рассматриваться как полезный инструмент на пути реализации идей Г. Ми, А. Эйнштейна, Л. деБройля и других об описании элементарных частиц как некоторых сгустков нелинейных полей.

Интерес к модели Скирма значительно возрос после появления работ Э. Виттена [30,31], в которых было установлено, что квантовая хромодина-мика в пределе большого числа цветов оказывается эквивалентной эффективной мезонной теории, которая в низкоэнергетическом пределе аппроксимируется нелинейной сигма-моделью со спонтанно нарушенной киральной симметрией. Именно к таким моделям относится модель Скирма.

В простейшем 517(2) варианте модели Скирма, нуклон представляет собой сгусток пионной жидкости с определённой структурой (ежовый ан-зац) и единичным топологическим зарядом типа степени отображения.

7Г-мезонная шуба определяет структуру нуклона тоько на больших расстояниях (юкавская асимптотика) порядка 1 ферми, а в области кора требуется учесть вклад более тяжёлых мезонов. Эту задачу решает калибровочная модель Скирма [32], в которой роль калибровочного поля играет векторное поле /> мезонов.

Основным объектом в модели Скирма является главное киральное поле 11, принимающее значение в группе ви(2) и параметризуемое при помощи изовекторного поля (ра, а = 1,2,3, следующим образом:

II = еы<тв, в = 9(х, ¿) — киральный угол, па — единичный вектор в изопространстве, та — матрицы Паули, р — изовектор, который описывает пионное поле,

Скирмионы с топологическими зарядом ф >> 1 находят широкое применение в астрофизике, где, безусловно необходим учёт гравитации.

Существенным препятствием для дальнейшего исследования возможностей киральной модели Скирма и для построения на её основе последовательной квантовой схемы является невозможность получения явных аналитических решений уравнений модели, хотя их существование было доказано [33-36].

Киральная модель Скирма допускает существование регулярных топологических решений со структурами сферически-симметричного и аксиально-симметричного типов. Так, установлено [6, 33, 36-41], что при |<2| = 1 абсолютный минимум функционала энергии достигается на ежовом анзаце, а при > 1 на аксиально-симметричных подстановках (тороидальная структура). Тороидальные структуры возникали в литературе при исследовании различных задач [42].

В диссертации изучается калибровочная модель Скирма, учитывающая вклад не только 7Г-пионов, но и векторных р-мезонов

Структура диссертации предполагается следующей.

Во Введении обосновывается важность и актуальность темы и предмета исследования, дается краткий обзор истории вопроса, основных методов исследования и содержания диссертации.

Выводы

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации:

• Найдена структура инвариантных векторного и кирального полей в аксиально-симметричной калибровочной 57/(2)-модели Скирма.

• Выявлена дискретная симметрия гамильтониана в аксиально-симметричной ви(2)-модели Скирма.

• Исследованы топологические конфигурации тороидальной структуры.

• Если предположить, что радиус а замыкания тора весьма большой, то весьма большим будет и топологический заряд С} {п к). При таком допущении удаётся найти явные выражения для кирального и калибровочного полей внутри замкнутой струны (вихря). С помощью этих выражений находится радиус замыкания и энергия вихря как функции от топологического числа п, которое определяет число закруток кирального угла (р = п9 вокруг продольной оси вихря. Интересно, что энергия вихря при п 1 пропорциональна п9/4, как это следует из формулы (3.17), и не зависит от параметров векторного поля.

1. Нелинейная квантовая теория поля // Сб. переводов под ред. Иваненко Д. Д. М.: И.Л., 1959. - С. 464.

2. Исследование частицеподобных решений нелинейного уравнения скалярного поля / В. Б. Гласко, Ф. Лерюст, Я. П. Терлецкий, С. Ф. Шу-шурин // ЖЭТФ. Т. 35, вып. 2. - 1958. - С. 452-457.

3. Mie G. Gründlagen einer Theorie der Materie // Ann. der. Phys. — Vol. 37. 1912. - P. 511.

4. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. — М.: Наука, 1966. — Т. 2, 879 с.

5. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. — М.: Наука, 1967. — Т. 4, 600 с.

6. Skyrme Т. Н. R. A Unified Field Theory of Mesons and Baryons // Nucl. Phys. Vol. 31, No 4. - 1962. - Pp. 556-569.

7. Skyrme Т. H. R. Nonlinear Theory of Strong Interactions // Proc. Roy. Soc. London, ser. A. Vol. 247. - 1958. - Pp. 260-278.

8. Skyrme Т. H. R. Nonlinear Field Theory // Proc. Roy. Soc. London, ser. A. Vol. 260. - 1961. - Pp. 127-138.

9. Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. — М.: Мир, 1985. 414 с.

10. Шварц А. С. Квантовая теория поля и топология. — М.: Наука, 1989. — 398 с.

11. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987. 480 с.

12. Солитоны и нелинейные волновые уравнения / Р. Додд, Д. Эйлбек, Д. Гиббон, X. Моррис. М.: Мир, 1988. - 694 с.

13. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории соли-тонов. М.: Наука, 1986. - 528 с.

14. Makhankov V. G. Soliton Phenomenology. — Dordrecht: Kluwer Academic Publ., 1990. 452 c.

15. Zahed I., Brown G. E. The Skyrme Model // Phys. Reports, ser. C. — Vol. 142, No 1-2. 1986. - Pp. 1-102.

16. Adkins G. 5., Nappi C. R., Witten E. Static Properties of Nucleons in the Skyrme Model // Nucl. Phys., ser. B. Vol. 228, No 4. - 1983. -Pp. 552-566.

17. Finkelstein D., Misner C. Some New Conservation Laws // Ann. Phys.(USA). Vol. 6, No 2. - 1959. - Pp. 230-243.

18. Benjamin Т. B. The Stability of Solitary Waves // Proc. Roy. Soc., ser. A. — Vol. 328. 1972. - Pp. 153-183.

19. Shatah J. Stable Standing Waves of Nonlinear Klein-Gordon Equations // Comm. Math. Phys. Vol. 91, No 3. - 1983. - P. 313.

20. Shatah J. Unstable Ground State of Nonlinear Klein-Gordon Equations // Trans. Amer. Math. Soc. Vol. 290, No 2. - 1985. - Pp. 701-710.

21. Shatah J., Strauss W. Instability of Nonlinear States // Comm. Math. Phys. Vol. 100, No 2. - 1985. - Pp. 173-190.

22. Захаров В. E. О неустойчивости самофокусировки света // ЖЭТФ. — Т. 53, вып. 5. 1967. - С. 1735-1743.

23. Захаров В. Е. Коллапс ленгмюровских волн // ЖЭТФ. — Т. 62, вып. 5. 1972. - С. 1743-1759.

24. Захаров В. Е., Кузнецов Е. А. О трехмерных солитонах // ЖЭТФ. — Т. 66, вып. 5. 1974. - С. 594-597.

25. Zakharov V. Е. and К. Е. A., Rubenchik А. М. Soliton Stability. — Novosibirsk, 1983. — 62 p. — Preprint Inst. Automatics к Electrometry. Siberian Branch of USSR Acad. Sci, №199.

26. Makhankov V. G. Dynamics of Classical Solitons (in Non-Integrable Systems) // Phys. Reports, ser. C. Vol. 35, No 1. - 1978. - Pp. 1-128.

27. Жидков E. П., Кирчев К. П. Устойчивость решений вида уединенных волн некоторых нелинейных уравнений математической физики // Физ. элем, частиц и атом. ядра. — Т. 16, вып. 3. — 1985. — С. 597-648.

28. Holm D. D., Marsden J. E. Ratiu Т., Weinstein A. Nonlinear Stability of Fluid and Plasma Equilibria // Phys. Reports. — Vol. 123, No 1-2. —1985. Pp. 1-116.

29. Kuznetsov E. A., Rubenchik A. M., Zakharov V. E. Soliton Stability in Plasma and Hydrodynamics // Phys. Reports, ser. C. — Vol. 142, No 3. —1986. Pp. 103-165.

30. Witten E. Baryons in the ^ Expansion // Nucl. Phys, ser. B. — Vol. 160, No 1. 1979. - Pp. 57-115.

31. Witten E. Current Algebra, Baryons, and Quark Confinement // Nucl. Phys., ser. B. Vol. 223, No 2. - 1983. - Pp. 433-444.

32. Faddeev L. D. Some Comments on Many-Dimensional Solitons // Lett. Math. Phys. Vol. 1, No 4. - 1976. - Pp. 289-293.

33. Рыбаков Ю. П. Устойчивость многомерных солитонов в киральных моделях и гравитации // Итоги науки и техники. Классическая теория поля и теория гравитации. Гравитация и космология. — Т. 2. — 1991. — С. 56-111.

34. Рыбаков Ю. П. Скирмионы в высших гомотопических классах // Вестник Российского университета дружбы народов. Сер. Физика. — № 1. — 1993. С. 49-53.

35. Rybakov Y. P. Skyrmions in Higher Homotopic Classes // Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems. Proc. of Intern. Conf. "NEEDS92". Dubna. - / Eds.: V. G. Makhankov, I. V. Puzynin, О. K. Pashaev-Singapore - Singapure: WS, 1993 - Pp. 166-169.

36. Рыбаков Ю. П. Структура минимизаторов энергии в S2 нелинейной сигма-модели // Вестник Российского университета дружбы народов, серия «Математика». — № 2, вып. 2. — 1995. — С. 3-7.

37. Weyl Н. Raum, Zeit, Materie. Vorlesungen iiber Algemeine Relativitats Theorie. Berlin: Springer, 1918. - 234 p.

38. Нисиченко В. П. Исследование регулярных решений нелинейных уравнений для некоторых полевых моделей. Автореф. дисс. канд. физ-мат наук. — М.: Ун-т дружбы народов, 1981.

39. Богомольный Е. Б., Фатеев В. А. Асимптотическое вычисление масс солитонов // Ядер. физ. Т. 37, № 1. - 1983. - С. 228-241.

40. Копелиович В. Б., Штерн Б. Е. Экзотические скирмионы // Письма в ЖЭТФ. Т. 45, вып. 4. - 1987. - С. 165-168.

41. Рыбаков Ю. П. Об условной устойчивости регулярных решений в нелинейной теорий поля // Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. М.: Атомиздат, 1979. - Вып. 10. - С. 194-202.

42. Dubovik V. М. Toroid Moments in Electrodynamics and Solid-State Physics I I Phys. Rep. Vol. 187, No 4. - 1990. - Pp. 145-202.

43. Coleman S. Classical Lumps and their Quantum Descendants. Lectures at the 1975 International School of Subnuclear Physics "Ettore Majorana"

44. Erice) "New Phenomena in Subnuclear Physics" / Ed. by A. Zichichi. — N.Y.: Plenum Press, 1977. Pp. 297-421.

45. Palais R. The Principle of Symmetric Criticality // Comm. Math. Phys. — Vol. 69, No 1. 1979. - Pp. 19-30.

46. Ладыженская О. А., Капитанский JI. В. О принципе Коулмена нахождения стационарных точек инвариантных функционалов // Зап. науч. сем. ЛОМИ. Т. 127, вып. 15. - 1983. - С. 84-102.

47. Waterhouse W. С. Do Symmetric Problems Have Symmetric Solutions I I Amer. Math. Monthly. Vol. 90, No 6. - 1983. - Pp. 378-387.

48. Смейл С. Топология и Механика // Усп. мат. наук. — Т. 27, № 2. — 1972. С. 77-133.

49. Биркгоф Г. Гидродинамика. — М.: ИЛ, 1954. — 184 с.

50. Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике. — М.: Наука, 1983. 280 с.

51. Лезнов А. Н., Савельев М. В. Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем. — М.: Наука, 1985. — 280 с.

52. Фаддеев Л. Д. В поисках многомерных солитонов // Нелокальные, нелинейные и неренормируемые теории поля. — Дубна: ОИЯИ, 1977. — С. 207-223.

53. Алъбер С. И. Топология функциональных многообразий и вариационное исчисление в целом // Усп. мат. наук. — Т. 25, № 4. — 1970. — С. 57-123.

54. Монастырский М. И. Топология калибровочных полей и конденсированных сред. М.: ПАИМС, 1995. - 478 с.

55. Ellis S., Lemaire L. A Report on Harmonic Maps // Bull. Lond. Math. Soc. Vol. 10, No 1. - 1978. - Pp. 1-98.

56. Кунду А., Рыбаков Ю. П., Сапюк В. И. О структуре топологических солитонов // Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. — Вып. 11. 1980. - С. 14-22.

57. Makhankov V. G., Rybakov Y. Р., Sanyuk V. I. The Skyrme Model. Fundamentáis, Methods, Applications. — Berlín: Springer Verlag, 1993. — 260 p.

58. Нисиченко В. П., Рыбаков Ю. П. О регулярных решениях в модели Скирма с калибровочным полем // Изв. ВУЗОВ. Физика. — Т. 23, № 9. 1980. - С. 13-17.