Топологические многомерные солитоны тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

s

/"V

7/ ' \У\У

Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации Ордена Дружбы народов Российский Университет дружбы народов

САНЮК ВАЛЕРИИ ИВАНОВИЧ

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МНОГОМЕРНЫЕ СОЛИТОНЫ.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИИ

(01.04.02 - теоретическая физика)

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи

УДК 539.12

Москва - 1997

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ........................................ 5

ГЛАВА I. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СОЛИТОНЫ

В КАЛИБРОВОЧНЫХ И КИРАЛЬНЫХ МОДЕЛЯХ

§ 1.1. Кинки в (1 + 1)-мерных моделях .............. . 21

§ 1.2. Лэмпы, вихри, анионы в (2 + 1)-мерных

моделях .................................. 30

§ 1.3. Монополи, инстантоны, скирмионы, тороны

в 4-мерных моделях ......................... 41

ГЛАВА И. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЗАРЯДЫ И УСТОЙЧИВОСТЬ солитонов

§ 2.1. Топологические заряды киральных и хиггсовских

солитонов................................. 59

§ 2.2. Топологическая устойчивость солитонов.......... 70

§ 2.3. Устойчивость солитонов в сг-модели

с параметром обрезания ...................... 82

ГЛАВА III. МЕТОДЫ РЕДУКЦИИ G -ИНВАРИАНТНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ И СТРУКТУРА МИНИМИЗАТОРОВ ЭНЕРГИИ

§ 3.1. Принцип Коулмена-Пале и критические

точки инвариантных функционалов ............. 89

§3.2. Методы прямой минимизации и абсолютный

минимум энергии в модели Скирма ............. 99

§3.3. Абсолютный минимизатор энергии в

калибровочной модели Скирма . ............... 108

§ 3.4. Структура минимизаторов энергии

в высших гомотопических классах ............. 114

§ 3.5. Структура минимизаторов энергии

в модели Фаддеева.............................123

ГЛАВА IV. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ КИРАЛЬНЫХ

ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СОЛИТОНОВ

§ 4.1. Прямые методы вариационного исчисления

(краткая сводка) .......................... 130

§ 4.2. Существование G\ - инвариантных конфигураций

в модели Скирма .......................... 134

§ 4.3. Существование G<i - инвариантных конфигураций

в моделях Скирма и Фаддеева ................ 143

ГЛАВА V. ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЯ СОЛИТОННЫХ РЕШЕНИЙ В МОДЕЛИ СКИРМА

§ 5.1. Геометрия многообразия решений для

ОДУ 2-го порядка по Картану................ 151

§ 5.2. Инварианты Трессе-Лиувилля для

уравнения скирмиона....................... 159

§ 5.3. Инварианты Трессе-Лиувилля для

модифицированного уравнения скирмиона ....... 163

ГЛАВА VI. ПЕНЛЕВЕ-АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СОЛИТОНОВ

§ 6.1. Пенлеве-анализ уравнения скирмиона .......... 168

§ 6.2. Пенлеве-анализ уравнений Скирма-Мантона ..... 170

§ 6.3. Пенлеве-анализ уравнений топологических

магнетиков............................... 175

ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................. 182

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ......................... 184

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Латинские индексы г, к,... пробегают значения 1, 2,..., с/, а греческие ь>, а,... — значения 0, 1, 2,..., д,. Пространство Минковского (декартовы координаты хснабжается сигнатурой (Н— ...—). в, — размерность пространства,

элементы объема в х 6 ЫА Ф — "полевое" многообразие,

И — пространство вырождения, вакуумное многообразие, <рх) — полевые функции, t = ж0, х) и(£, ж) — киральные поля, и Е 5П, (2,

= и~гдци, = £/_1Вм£/ — левоинвариантные киральные токи, гм = 0^11 = Б^С7"-?/-1 — правоинвариантные киральные токи,

.. = дц... + [Ам,...] — ковариантная производная,

— пространство Лебега функций и(х) в с нормой

\ 1 /р

4х\ и(х) I ,

\¥р(ТЛ(1) — пространство Соболева функций и(х) в К/* с нормой

II«К = (¿11€

\г'=0

где Уги — производная порядка г, || и || = || и ||2 — норма в ¿2(^)5

|| и ||' = || Угг || + || и || — норма в пространстве Соболева И/21(Ксг) = Н1,

(...-...)- скалярное произведение элементов из

(... х ...) - векторное произведение элементов из ^(К^),

М-к~ пространство модулей размерности к.

С} — топологический заряд, степень отображения,

С^н — инвариант (индекс) Хопфа,

Ъ — множество (абелева группа по сложению) целых чисел.

и

1

ВВЕДЕНИЕ

Современное состояние проблемы описания локализованных структур, возникающих как долгоживущие возбуждения нелинейных систем в физике элементарных частиц и конденсированных сред, в гидродинамике и ядерной физике, в астрофизике и космологии, нельзя признать удовлетворительным. Многочисленные исследования показали, что объекты такого рода в принципе не могут быть описаны как точечно-подобные, а, следовательно, не могут быть изучены традиционными методами анализа, теории возмущений и т.п. Поиски альтернативного описания таких структур как существенно-протяженных объектов привели, в частности, к созданию теории солитонов, основные достижения которой пока ограничиваются одномерными моделями (точнее, описанием структур с одним пространственным и одним временным измерениями: (1 + 1)-мерные модели) [1, 28, 38, 91, 100, 130, 218]. По понятным причинам значительная часть реальных солитоноподобных объектов (вихрей, текстур, дефектов и т.д.), возникающих, как правило, при сильных возбуждениях в нелинейных средах, не укладывается в рамки одномерных моделей. Поэтому развитие возможностей солитонного подхода на многомерные, в частности, на (3 + 1)-мерные модели представляется одним из важных направлений в современной нелинейной физике.

С одной стороны, развитие солитонной тематики на многомерную ситуацию происходило путем обобщения методов, эффективно работающих в (1 + 1)-мерных моделях, и установления критериев интегрируемости для многомерных динамических систем в работах М. Абловица [1, 145], Б.А. Дубровина, И.М. Кричевера и С.П. Новикова [30, 54, 87 - 90], В.Е. Захарова и C.B. Манакова и А.Б. Шабата [36-38, 40, 70, 71, 221], А.Н. Лезнова с сотр. [60 - 64], В.Г. Маханькова [72, 218], А. Ньюэлла [91, 191], Л.Д. Фаддеева с сотр. [130, 136, 184, 185] и многих других. С другой стороны, проводился поиск моделей теории поля, допускающих многомерные солитоны (в несколько

расширенном смысле) в качестве регулярных решений полевых уравнений. На этом пути были обнаружены вихри Нильсена - Олисена [229], вихри Белавина - Полякова [9], монополи т'Хоофта - Полякова [94, 198], инстантоны Белавина - Полякова - Тюпкина - Шварца [158] и другие объекты, обладающие целым рядом необычных свойств. В частности выяснилось, что эти объекты наделены нетривиальными топологическими характеристиками (зарядами), принимающими целочисленные значения и обеспечивающими устойчивость солитонов как на классическом, так и на квантовом уровне. Именно такие объекты -топологические солитоны, представляют интерес для физиков, прежде всего, широкими возможностями моделирования на их основе вихревых и струно-подобных локализованных структур в низкоэнергетической хромодинамике и ферромагнетиках, в жидких кристаллах и квантовых жидкостях, в астрофизике, биофизике и т.д.

Как правило, многомерные топологические солитоны присущи неин-тегрируемым полевым теориям, а такие киральные модели, как модель Скирма [256 - 258] и модель Фаддеева [133, 135, 183, 185], не допускают и самодуальных упрощений (предел Богомольного - Прасада - Соммер-филда [11, 238]), позволяющих в отдельных случаях выписывать явный вид солитонных решений. В таких моделях, обладающих практически важным спектром приложений в ядерной физике, в физике частиц и конденсированных сред, на первый план выходят вопросы существования и устойчивости регулярных решений, изучения аналитических и симметрийных свойств солитонных решений, выяснения структуры ми-нимизаторов функционалов энергии при заданном значении топологической характеристики и др. Без выяснения этих вопросов не представляется возможным обосновать и правильно поставить численные эксперименты, по результатам которых и делаются выводы о пригодности рассматриваемых моделей.

Наибольшие сложности в исследовании многомерных топологических солитонов возникают при описании iV-солитонных состояний. В частности, описание самодуальных iV-инстантонных и iV-монопольных конфигураций в калибровочных моделях оказалось возможным лишь на основе средств алгебраической топологии и вариационного исчисления в целом, развитых за последнее время (см. [6, 79]). Тем не менее, именно эта проблема является ключевой в исследовании неинтегриру-

емых солитонных моделей, поскольку она, по сути, эквивалентна проблеме описания взаимодействия солитонов. Таким образом, представляется актуальной разработка методов и средств исследования структуры топологических солитонных конфигураций, позволяющих изучать вопросы существования, регулярности, аналитические и симметрийные свойства солитонных решений в (3 + 1)-мерных моделях.

Целью данной диссертационной работы является разработка эффективных методов исследования многомерных топологических солитонов, описываемых как критические точки функционалов для широкого класса физических систем. При этом ставится задача выяснения симме-трийных и аналитических свойств, а также структуры минимизаторов энергии в киральных (3 -+- 1)-мерных моделях при различных значениях топологических зарядов.

Для решения поставленных задач в случае (^-инвариантных существенно - нелинейных функционалов (3 + 1)-мерных полевых моделей предлагается последовательный алгоритм, позволяющий определять структуру конфигураций с минимальной энергией (анзацев), выяснять вопросы существования, регулярности и устойчивости соответствующих солитонных решений. Составляющими алгоритма являются:

• Схема симметрийной редукции функционалов, основанная на отыскании группы симметрии (? функционала, позволяющая выявлять структуру инвариантных полевых конфигураций (анзацев), на которых в силу теоремы Коулмена-Пале [59, 73, 74, 103, 136, 170, 219, 232, 253, 267] и реализуется минимум функционала. Это, как правило, приводит к существенному упрощению исходной задачи без потери общности утверждений.

• Методы прямой минимизации функционалов, в основе которых обобщенный "метод оврагов" Гельфанда-Цетлина (минимизация функционалов в расширенном пространстве) [23, 44, 45, 73, 76, 219, 243 - 245, 251] и метод сферической перестройки, восходящий к методу симметризации Штейнера [93, 171, 207, 216, 219, 226, 243 - 245]. Совместное применение этих методов позволяет установить критерии наличия абсолютного минимума для Ст-инвариантных функционалов.

• Прямые методы вариационного исчисления, применяемые для доказательства существования регулярных решений [7, 8, 14, 15, 22, 45, 58, 73, 101, 111, 112, 127, 132, 137, 165, 181, 182, 211, 219, 243], описывающих G-инвариантные солитонные конфигурации.

• Топологические критерии устойчивости солитонных конфигураций, основанные на представлении топологических зарядов в терминах полевых переменных модели, применении соответствующих неравенств для оценки энергии модели снизу через топологический заряд, с последующей проверкой достижимости полученной оценки на С-инвариантных солитонных конфигурациях [2, 5, 11, 16, 21, 31, 55, 56, 67, 73 - 75, 78, 103 - 105, 108 - 113, 120, 121, 136, 138, 142, 153, 157, 159, 179, 184, 185, 186, 194, 196, 202, 209 - 211, 219, 227, 232, 233, 243 - 247, 262, 268].

• Пенлеве-анализ редуцированных уравнений, применяемый для выявления аналитических свойств солитонных решений и выяснения вопросов интегрируемости полученных уравнений [24, 29, 66, 96, 98, 145, 172, 173, 180, 187, 188, 191, 200, 240, 253].

• Анализ геометрии многообразия решений, основанный на вычислении алгебраических инвариантов Трессе - Лиувилля, установлении метрики и кривизны пространства статических решений [4, 10, 25, 29, 32, 46, 69, 77, 87 - 90, 98, 200, 214, 215, 223, 253, 254, 264]. Классическая динамика солитонов моделируется при этом движением по геодезическим пространства решений [6, 77, 126, 195, 222, 255, 263].

Предложенный алгоритм применен в диссертации для исследования свойств топологических солитонов в киральных моделях Скирма и Фад-деева, а также в некоторых топологических моделях магнетиков. Структура диссертации предполагается следующей.

В Главе I "Топологические солитоны в калибровочных и киральных полевых моделях" [117 - 120, 252] систематизируются сведения о топологических солитонах, приводятся определения основных понятий, используемых в последующих главах. При этом рассматриваются лишь наиболее характерные модели и методы их исследования, в основном, в рамках классической теории. Акцентируются проблемы и сложности, возникающие при описании N - солитонных состояний в таких моделях.

В § 1.1 дается определение топологического солитона, и на примере простейших (1+1)-мерных моделей (sin - Гордон и ф4 - модель) кратко перечисляются свойства 1 - мерных топологических солитонов - кинков. При этом удается выделить два существенно различных типа топологических солитонов:

1. киральные солитоны, характерные для физических полей, принимающих значения на многообразиях сфер групп Ли G, однородных пространств G/H и подчиненных тривиальным граничным условиям на бесконечности (sin - Гордон модель);

2. хиггсовские солитоны, характерные для полей с нетривиальными и различными асимптотиками на бесконечности и вырожденным классическим вакуумом R (ф4 - модель).

Подчеркиваются различия в определении топологических зарядов и гомотопической классификации для солитонных решений указанных выше типов, выявляются простые критерии существования N - солитонных конфигураций.

В § 1.2 рассматриваются солитоны, возникающие в абелевой калибровочной модели Хиггса (вихри Нильсена - Олисена) и в нелинейной 0(3)— модели п— поля (вихри Белавина - Полякова), как наиболее характерные (2 + 1) - мерные топологические солитоны, соответственно, хиггсовского и кирального типа. Несмотря на то, что обе модели относятся к теориям поля типа Богомольного, т.е. допускают сведение полевых уравнений к уравнениям 1-го порядка (самодуальное упрощение), явные выражения для N - вихревых конфигураций в первой из моделей до сих пор не найдены. Помимо этого кратко описываются топологические солитоны в иных (2 + 1)-мерных сг-моделях, в том числе и анионы - топологические солитоны с дробнозначным спином, возникающих при добавлении в функционал действия сг-модели члена Чженя -Саймонса [117, 120, 169].

В § 1.3 дано схематичное описание наиболее известных (3 + 1) -мерных топологических солитонов, к числу которых отнесены монополи т'Хоофта - Полякова, обнаруженные в неабелевой калибровочной модели Хиггса, скирмионы в киральной модели Скирма и тороидальные солитоны (тороны) в модели Фаддеева. Все перечисленные модели являются неинтегрируемыми и поэтому основное внимание уделено вопросам существования и регулярности решений, а также проблемам t

приближенного описания N - солитонных конфигураций, например, путем построения соответствующих пространств модулей [6, 222, 263]. Ключ к такого рода построениям был найден при исследовании еще одной разновидности топологических солитонов - инстантонов, обнаруженных в евклидовом варианте Янг-Миллсовской теории. В отличие от ранее упоминавшихся солитонов, инстантоны локализованы не только в пространстве, но и во времени, в силу чего они могут осуществлять переходы между полями из разных гомотопических классов. Для N -инстантонных конфигураций известен алгоритм Атьи - Дринфельда -Хитчина - Манина построения точных решений, а при N = 2, 3 эти решения удается записать в явном (формульном) виде [52]. На этом основано одно из наиболее заметных математических достижений в калибровочных теориях - классификация Дональдсона - Нама N - монопольных конфигураций [79, 176,177]. С другой стороны, предложенная в работе [150] возможность аппроксимации киральных полей голономи-ями полей Янга-Миллса, позволяет существенно продвинуться в изучении не только геометрии N - солитонных конфигураций, но и, что существеннее с физической точки зрения, в исследовании процессов взаимодействия топологических солитонов [151, 205, 206, 212, 222, 255].

В Главе II "Топологические заряды и устойчивость солитонов" [55, 56, 73 - 75, 120, 156, 211, 219, 220, 243, 248, 249, 252] излагаются способы построения основных видов топологических зарядов в киральных и калибровочных моделях, а также критерии топологической устойчивости многомерных солитонов.

В § 2.1 приведены определения топологических инвариантов, используемых в качестве топологических зарядов в физических моделях. К числу таких инвариантов относятся степень отображения, индекс Кронекера, индекс Хопфа и др. Для каждого из инвариантов приведены способы их выражения в явном виде через полевые переменные соответствующей физической модели, в том числе, и в случае калибровочных обобщений таких моделей. Указаны различия в определении и свойствах топологических зарядов в киральных и хиггсовских моделях.

В § 2.2 явные выражения для топологических зарядов используются для вывода оценки функционалов энергии Е полевых моделей снизу через топологический заряд Q типа

E>f(\Q\),

где / - некоторая монотонно растущая функция. При наличии такой оценки, решения уравнений поля с заданным значением Q, реализующие нижнюю грань энергии - Inf Е, оказываются устойчивыми по Ляпунову. В таких случаях говорят о топологической устойчивости со-литонов. Для топологических солитонов хиггсовского типа в пределе Богомольного - Прасада - Соммерфилда приведенная оценка, как правило, точна, т.е. Infi? = f(\ Q |), что приводит к понижению порядка вариационных уравнений на единицу и сведению поиска экстремалей функционала Е к решению уравнений 1-го порядка - уравнений Богомольного [11]. Для функционалов энергии в киральных моделях типа Скир�