Структура двумерных солитонов в одноосных ферромагнетиках тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Вырожденные солитоны нелинейных интегрируемых уравнений

1.1 Метод Хироты. Простейшие вырожденные решения двумерного уравнения синус - Гордон.

1.2 Вырожденные солитонные решения двумерного статического уравнения синус - Гордон.

1.3 Полиномиально-экспоненциальные решения уравнения Кортевега -де Фриза.

1.4 Другие типы полиномиально-экспоненциальных решений.

Глава II. Основные свойства вырожденных солитонов.

2.1 Вырожденные солитоны в ферромагнетике с анизотропией "легкая плоскость".

2.2 Более сложные статические вырожденные солитоны в "легкоплоскостном" ферромагнетике.

2.3 Двумерные и одномерные динамические вырожденные солитоны

Глава III. Влияние внешних статических воздействий на структуру 180° — градусной доменной границы в легкоосных ферромагнетиках.

3.1 Схема теории возмущений.

3.2 Адиабатическое приближение и первый порядок теории возмущений.

3.3 Влияние внешнего поля и слабой неоднородной анизотропии на структуру доменной границы.

Исследование нелинейных явлений в магнитных системах представляет собой активно развивающуюся область физики конденсированного состояния. Магнитные системы были и остаются наиболее удобными объектами для исследования нелинейных эффектов. Укажем, лишь некоторые причины этого: большое разнообразие магнитных систем, включая квазиодномерные [1, 2], с различными макроскопическими параметрами, возможность изменения характера нелинейной среды внешними условиями, возможность теоретического анализа ряда квазиодномерных магнитных соединений, существенная нелинейность феноменологических и макроскопических уравнений магнетизма.

В последние годы нелинейная динамика магнитных сред являлась основой физики доменных границ в различных магнетиках. Она приобрела важные приложения с развитием техники цилиндрических магнитных доменов [3], используемых при создании приборов современной электроники и вычислительной техники.

Известно, что динамика магнитных упорядоченых сред описывается уравнением Ландау-Лифшица [4] для одноподрешеточного магнетика или несколькими уравнениями Ландау-Лифшица [5] для многоподрешеточного магнетика, а также выводимыми из этих уравнений при определенных упрощениях , несколькими нелинейными уравнениями: одномерным и двумерным уравнениями синус-Гордон (СГ), нелинейными уравнениями Шредингера. Все они являются удобными модельными системами для исследования общих свойств нелинейных явлений в магнетиках. При теоретическом описании волн намагниченности произвольной амплитуды существеную роль играет понятие солитона. Солитон представляет собой локализованные в пространстве волны намагниченности. В теории солитоны возникают как особый класс решений уравнения Ландау

Лифшица, удовлетворяющие определенным граничным условиям. Эти решения применяют при описании реальных физических объектов, например, доменных границ [3]. Солитоны обладают рядом характерных свойств: а) локализованы в пространстве, сохраняют свою скорость и форму в течение длительных периодов времени и на больших расстояниях, б) сохраняют свою форму и скорость после столкновения с другими такими же объектами.

К настоящему времени общепризнано, что образование солитона - это результат конкуренции между нелинейностью и дисперсией среды [6].

Развитие физики магнитных сред и применение ее результатов в разнообразных физических приложениях вызывает необходимость выяснения общей структуры и основных характеристик солитонов. Хотя нелинейные уравнения, имеющие солитонные решения, не полностью описывают реальные физические процессы, происходящие в нелинейных магнитных системах(например, в них не учитываются диссипативные явления), но в этих моделях производится полный учет нелинейных взаимодействий, чем обеспечивается правильное описание нелинейных эффектов при любой их интенсивности. Действительно, когда состояние магнетика нельзя считать слабовозбужденным, описание на языке спиновых волн уже не является полным. В этом случае следует рассматривать точные решения уравнения Ландау-Лифшица или других нелинейных уравнений, связанных с ним, которые описывают самолокализованные возбуждения -солитоны.

Таким образом, получение и анализ новых точных аналитических решений для нелинейных уравнений необходимы для полноты понимания процессов, происходящих в магнитных системах.

Математический аппарат, который используется для решения этой проблемы начал формироваться в 50-е - 60-е годы. Создание вычислительных машин позволило численно моделировать широкий спектр физических процессов, причем в ряде из них неизменно обнаруживались солитонные явления [6]. Особенно активное развитие численных и аналитических методов началось с работы Ферми, Пасты и Улама [7] по динамике решеточных моделей.

К 1967 году все достижения, которые были достигнуты в предыдущие годы, сфокусировались в замечательной работе Крускала, Гарднера, Грина и Миуры [8]. В ней был сформулирован метод обратной задачи рассеяния (МОЗР) для уравнения Кортевега - де Фриза (КдФ) и найдены многосолитонные решения для этого уравнения, которые подтверждали имеющиеся к этому времени результаты численных расчетов [6].

Следующим важным этапом были работы Лэма по нелинейной оптике [9, 10]. В них было показано, что солитоные решения одномерного уравнения СГ, описывающего процесс самоиндуцированной прозрачности, могут быть построены с помощью метода преобразований Бэклунда [11].

И наконец, в 1971 году Хиротой был предложен метод формальной теории возмущений для уравнения КдФ [12] и построены его многосолитонные решения.

Открытие этих трех основных методов: МОЗР, преобразование Бэклунда и метод Хироты определило дальнейшее развитие теории солитонов вплоть до 80-х годов. Нужно отметить, что все эти методы стимулировались, в первую очередь, физическими задачами, необходимостью объяснять те или иные физические явления, для которых объяснение в рамках линейной теории явно было недостаточным. Прогресс в развитии вышеперечисленных аналитических методов позволил изучать разнообразные магнитные солитоны.

К настоящему времени очень хорошо исследованы солитонные решения уравнения Ландау-Лифшица в одномерном случае для всевозможных моделей ферромагнетика.

-7В наиболее простой модели - изотропном ферромагнетике были найдены двухпараметрические солитоны, характеризующиеся двумя физическими параметрами - скоростью солитона V и частотой прецессии вектора намагниченности со [13,14]. Особенностью этих солитонов является то, что они могут существовать только при отличных от нуля значениях частоты прецессии намагниченности.

Доменные границы в изотропном ферромагнетике без учета анизотропии и магнитодипольного взаимодействия отсутствуют. Для одномерных возуждений в изотропном ферромагнетике магнитодипольное взаимодействие можно учесть в виде эффективной одноосной анизотропии в направлении распространения волны. В этом случае существует аналог доменной границы - волна поворота [15].

В одноосном ферромагнетике с анизотропией "легкая ось" наблюдается большое разнообразие самолокализованных возбуждений. Впервые магнитный солитон для одноосного ферромагнетика, описывающий уединенную волну намагниченности, рассмотрели Ахиезер и Боровик [16]. Волна характеризовалась одним физическим параметром - скоростью V и представляла собой связанное состояние двух доменных границ. Позже в рамках одноосной модели был получен прецессионный солитон [17], центр тяжести которого покоился, а вектор намагниченности прецессировал с частотой со. Существование таких частных решений уравнения Ландау-Лифшица привело к поиску двухпараметрических солитонов, которые характеризовались бы двумя физическими параметрами - скоростью V и частотой прецессии со. Такие движущиеся прецессионные солитоны были получены в работах Косевича, Иванова и Ковалева [18, 19]. При учете более сложной стрктуры магнитной анизотропии в легкоосном ферромагнетике возникают алгебраические солитоны [20, 21] и алгебраические доменные стенки [22]. Эти уединенные возбуждения имеют степенные асимптотики. Отметим, что в рамках одноосной модели без учета магнитодипольного взаимодействия не существует движущихся доменных границ. Учет магнитодипольного взаимодействия здесь эквивалентен перенормировке констант, характеризующих анизотропию ферромагнетика.

С конца 70-х годов в связи с интенсивным экспериментальным исследованием солитонов в квазиодномерных ферромагнетиках СбМРз [2, 23], обладающих анизотропией типа "легкая плоскость" особый интерес вызвала модель легкоплоскостного ферромагнетика. В этом случае уравнение Ландау-Лифшица сводится к одномерному уравнению бш-Гордон. Оно значительно проще, и обычно используется при обсуждении экспериментальных результатов по динамике и термодинамике нелинейных возуждений [24]. Для данного уравнения в рамках модели ферромагнетика с анизотропией в "легкой плоскости" были найдены доменные границы [25] и осцилляционные бионы [26]. Для ферромагнетика с изотропной легкой плоскостью при учете внешнего магнитного поля были подробно описаны малоамплитудные солитоны [27], волны поворота [28] и алгебраические солитоны [22]. В ферромагнетике с "легкой плоскостью" очень существенно влияние внешнего магнитного поля, поскольку в этом случае меняется основное состояние, а следовательно и вид солитонных решений [29, 30].

Исследование солитонных решений уравнения Ландау-Лифшица для двухосного ферромагнетика берет свое начало с работ Елеонского с соавторами [31, 32]. Численные расчеты указывали на существование локализованных возбуждений типа волн стационарного профиля, в которых намагниченность зависела от одной переменной. Эти результаты привели к получению двухпараметрических солитонов в модели двухосного ферромагнетика [33]. При действительных частотах прецессии со вектора намагниченности солитон перемещается со скоростью V, периодически изменяя свой профиль. В этом случае солитон можно было рассматривать как связанное состояние доменных границ. При мнимых значениях со связанное состояние распадалось, и полученное решение описывало процесс взаимного рассеяния границ друг на друге. Локализованные состояния намагниченности в двухосном ферромагнетике включают также неподвижный прецессионный солитон, который периодически изменяет свой профиль [34]. Двухосная модель ферромагнетика позволила также рассматривать динамику таких важных решений, как доменные границы.

Соответствующие решения были найдены Уокером [3], и независимо Ахиезером и Боровиком [15]. Взаимодействие двух и трех доменных границ подробно рассматривалось в рамках формализма Хироты [35, 36]. Общее решение, описывающее динамику произвольного числа доменных границ, было получено в работах [37, 38].

Несмотря на все эти достижения, до сих пор малоизученными являлись, так называемые, вырожденные солитоны, которые образуются в результате резонансного взаимодействия пары солитонов, характеризующиеся одинаковыми параметрами (например, амплитудой). В статьях [39, 40] было указано на существование такого типа солитонов, как возможных многополюсных решений в МОЗР. Однако, до сих пор не был развит систематический подход для получения вырожденных солитонов, как в одномерном, так и в двумерном случаях. Также не было выяснено, какого рода возбуждения описывают вырожденные солитоны в магнитных системах. Решению всех этих вопросов посвящена первая часть данной работы.

Следует отметить, что анализ неодномерных солитонов в двумерных и трехмерных магнитных системах, когда намагниченность зависит более, чем от одной пространственной переменной значительно затруднен. Помимо специальных методов интегрирования для нелинейных уравнений (МОЗР, матричной задачи Римана и т.д.) для упрощенных моделей, он требует, как правило, привлечения численных методов.

Динамические неодномерные солитоны были найдены численными методами для одноосного ферромагнетика, они включали сферически симметричную "магнонную каплю" [41] и цилиндрически симметричные распределения намагниченности [42]. Для простейшей модели изотропного ферромагнетика описаны двумерные динамические бризеры и двумерные волны прецессии магнитного момента [43].

В последние два десятилетия интенсивно исследовались статические двумерные солитоны в рамках модели легкоплоскостного ферромагнетика. Для ферромагнетика с анизотропией "легкая плоскость", когда вектор магнитного момента Й лежит в плоскости легкого намагничивания, уравнение Ландау-Лифшица сводится к двумерному статическому уравнению СГ [44]. Для данного уравнения подробно изучены, так называемые, топологические солитоны. Для них характерный параметр порядка (то есть намагниченность) зависит более, чем от одной пространственной переменной, и не может быть переведен в основное состояние никаким непрерывным преобразованием. Такие магнитные топологические солитоны подобны дефектам в кристаллической решетке. В легкоплоскостном ферромагнетике примером такого топологического дефекта является - вихрь. Вихрю соответствует особая точка в "легкой плоскости", при однократном обходе вокруг которой вектор намагниченности М поворачивается целое число раз. Это целое число называется топологическим зарядом вихря. Интерес к подобным топологическим солитонам был вызван идеями Костерлица и Таулеса [45], которые рассматривали фазовые переходы в двумерных системах и показали, что в таких системах могут рождаться пары вихрь-антивихрь при термофлуктуациях. Разнообразные одновихревые конфигурации намагниченности описаны рядом авторов [26, 46 - 49], а также в нашей работе [85]. С помощью анзатца Лэмба были найдены также цепочки и прямоугольные решетки из вихрей на фоне однородного основного состояния [85]. В работе [49] было показано, что вихрь можно интерпретировать, как пересечение двух 180° - доменных границ. Однако, и

-11в двумерном случае вырожденные магнитные солитоны не изучались и не рассматривались. Данная работа (глава 2) посвящена исследованию не только одномерных вырожденных солитонов в магнитных системах, но также и двумерных вырожденных солитонов.

Как уже отмечалось выше, нелинейные уравнения, допускающие решения в виде солитонов, лишь приближенно описывают реальные явления и эффекты в магнетиках. При рассмотрении реальных физических задач необходимо учитывать также внешние воздействия на систему (внешние поля, процессы диссипации и т.д.) и возможные структурные неоднородности образца (дефекты, поры и т.д.). Если предположить, что влияние вышеперечисленных эффектов мало, то они могут быть учтены по теории возмущений.

Внешние воздействия изменяют структуру тех солитонных возбуждений, которые имеются в магнитной системе, например, доменных границ. Подчеркнем, что, как правило, теоретические исследования структуры доменных границ, до недавнего времени основывались на предположении об одномерном характере распределения намагниченности в доменной границе. Сравнительно недавно были начаты численные расчеты доменных границ с двумерной структурой [51, 52], которые привели к интересным результатам, касающимся зарождения новых доменных структур и существования возможных стабильных и метастабильных двумерных распределений намагниченности, определяющих структуру доменных границ.

Влияние внешних возмущений на динамику доменной границы с одномерным распределением намагниченности в одноосном ферромагнетике подробно исследовалось как аналитическими [53, 54], так и численными методами [3, 55, 56]. Первоначально, аналитические методы анализа строились на использовании, так называемого, адиабатического приближения: считалось, что при малом внешнем воздействии на систему функциональный вид решения, описывающего доменную границу, не изменяется. Изменяются только параметры доменной границы - они становятся функциями времени (например, координата центра тяжести доменной границы начинает зависеть от времени).

В таком адиабатическом подходе было подробно изучено влияние малого внешнего магнитного поля на динамику доменной границы [57]. Оказалось, что в поле доменная граница совершает периодические колебания. Значительно позднее, для уравнения Ландау - Лифшица был разработан МОЗР [65, 66], который позволил последовательно и полно учесть влияние возмущений на структуру доменной границы в двухосном ферромагнетике в любом порядке теории возмущений. В работе [53] был проведен анализ движения доменной границы под действием внешнего магнитного поля, диссипации и локальной неоднородности с помощью теории возмущений, основанной на МОЗР.

Экспериментальные результаты и результаты, полученные с помощью численных методов [3], убедительно указывают на сложную структуру доменных границ и двумерный характер распределения намагниченности. Для простейших доменных границ с двумерным распределением намагниченности задача учета внешних возмущений решается только численными методами [3, 56], либо аналитически только в адиабатическом приближении [58]. Результаты, полученные при изучении влияния внешних возмущений на доменную границу в этих работах, показывают, что статические внешние воздействия должны приводить к искажениям в структуре доменной границы. В связи с этим возникает актуальная проблема учета количественного влияния внешних статических воздействий в теории возмущений.

Двумерный характер распределения намагниченности, требует привлечения новых аналитических методов, в данном случае МОЗР для двумерных систем. Для двумерного уравнения синус - Гордон этот метод был использован в работах Борисова, Киселева и Ионова [59 - 61] и Kayna [62], а также в работе Липовского и Гутшабаша [63]. Кроме того, в работах [60, 62] был предложен упрощенный метод решения краевых задач с помощью обратной задачи рассеяния.

Он существенно отличается от известного МОЗР для эволюционных нелинейных уравнений [64], где решается задача Коши - задача с определенными начальными условиями, в то время, как в двумерной-необходимо решать краевую задачу, то есть задачу при определенных граничных условиях в плоскости XY. Это оказывается существенным и для построения теории возмущений в двумерных моделях. Вторая часть данной работы посвящена решению этой проблемы: построению самосогласованной схемы теории возмущений для универсальной модели двумерного статического уравнения СГ, используемого для описания легкоплоскостного ферромагнетика. Предлагаемая схема имеет общий характер и может быть обобщена на другие двумерные интегрируемые системы. Простейшей реализацией данной теории возмущений является рассмотрение влияния различных типов возмущений на структуру 180° -доменной границы в легкоплоскостном ферромагнетике.

Из сказанного выше следует актуальность исследования новых типов солитонов - вырожденных солитонов для ряда универсальных нелинейных моделей, используемых в физике магнитных явлений и в теории твердого тела, развитие теории возмущений для двумерного статического уравнения синус - Гордон, которая позволила бы изучать поведение доменных границ в легкоплоскостных магнетиках под действием различного типа возмущений.

Целью диссертационной работы является: 1. Исследовать новый тип солитонов в магнитных системах - вырожденные солитоны.

2. Разработать метод получения вырожденных солитонов на основе формализма Хироты.

3. Построить теорию возмущений для описания влияния малых внешних воздействий на структуру солитонов в двумерных интегрируемых системах на примере уравнения синус-Гордон.

4. Исследовать по теории возмущений влияние различного типа возмущений на структуру 180° - доменной границы в ферромагнетике с анизотропией "легкая ось".

Научная новизна результатов диссертации заключается в следующем:

1. Впервые проведено теоретическое исследование вырожденных солитонов для моделей неизотропного, легкоосного и легкоплоскостного ферромагнетиков. Предложена систематическая процедура их построения, основанная на методе Хироты.

2. Впервые сформулирована теория возмущений для двумерного статического уравнения синус - Гордон. На ее основе рассмотрена задача о влиянии различного типа внешних возмущений на структуру 180° -доменной границы в легкоосном ферромагнетике.

Практическое значение диссертационной работы определяется тем, что изучены и получены в аналитическом виде новые типы солитонов -вырожденные солитоны. Полученные результаты дополняют имеющиеся теоретические исследования солитонов в магнитных средах и способствуют более полному описанию нелинейных возбуждений в магнитных системах. Метод, предложенный для получения вырожденных солитонов, можно применять при анализе подобного типа солитонов в других нелинейных моделях, которые используются в физике плазмы, сверхпроводимости, гидродинамике и т.д.

Результаты по изменению структуры 180° - доменной границы в легкоосном ферромагнетике под влиянием внешних возмущений будут полезны при изучении тонкой структуры доменных границ не только в легкоосных магнетиках, но и в ультратонких магнитных пленках [61, 62]. С помощью предложенной теории возмущений можно исследовать влияние внешних воздействий и на другие пространственно неоднородные магнитные структуры, например, на вихри. Положения, выносимые на защиту:

1. Предложен метод получения вырожденных солитонов для широкого класса интегрируемых систем. Предсказаны и проанализированы новые типы вырожденных солитонов в ферромагнетиках.

2. Разработан метод теории возмущений для двумерного статического уравнения синус - Гордон, описывающего модель ферромагнетика с анизотропией "легкая ось".

3. С помощью этого метода установлены основные особенности поведения двумерного солитона, описывающего 180° доменную границу, под влиянием двух типов возмущений: в виде дополнительной неоднородной анизотропии вдоль "легкой оси" и слабого неоднородного магнитного поля. Для данных возмущений показано, что: a) изменение структуры доменной границы зависит от ширины и амплитуды неоднородности анизотропии: более протяженные, хотя и малые по амплитуде неоднородности приводят к большим искажениям структуры доменной границы, нежели неоднородности с малой шириной и большей амплитудой. Учет слабой неоднородной анизотропии не приводит к изменению положения центра доменной границы; b) во внешнем неоднородном магнитном поле происходит смещение центра доменной границы. Конфигурация доменной границы во внешнем магнитном поле определяется функцией, задающей неоднородность поля в пространстве.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на XVII Всесоюзной конференции по физике магнитных явлений (Донецк, 1985г.), на Второй объединенной конференции по магнитоэлектронике (г.Екатеринбург, 2000г.), на XXVIII Международной зимней школе физиков - теоретиков, Коуровка - 2000 (г.Кыштым, Челябинская область, 2000г.), Евро-Азиатском Симпозиуме "Прогресс в магнетизме" (г.Екатеринбург, 2001г.), а также на семинарах Института физики металлов УрО РАН. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 печатных работах [85 - 89].

Структура диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и трех приложений.

Основные результаты, полученные в данной диссертационной работе, можно сформулировать следующим образом:

1. Разработан метод получения нового типа солитонов - вырожденных солитонов на основе формализма Хироты.

2. На этой основе построены точные вырожденные солитонные решения для ряда универсальных нелинейных моделей: двумерного статического уравнения синус-Гордон, уравнения Кортевега - де Фриза, модифицированного уравнения Кортевега - де Фриза и для уравнения Кадомцева -Петвиашвили.

3. Представлена схема получения "смешанного" типа солитонов, описывающих взаимодействие обычных и вырожденных солитонов, а также многократновырожденных солитонов. Простейшие солитоны

-132вышеперечисленных типов получены для двумерного статического уравнения синус-Гордон.

4. В качестве приложения полученных результатов двумерные вырожденные солитоны исследованы для модели легкоплоскостного ферромагнетика с анизотропией в базисной плоскости. Показано, что простейший вырожденный солитон описывает статическое вихревое распределение намагниченности с топологическим зарядом п = -2, которое образуется в результате взаимодействия двух почти параллельных 180°-доменных границ. Установлено, что энергия данной конфигурации меньше энергии вихревой конфигурации, образованной при взаимодействии перпендикулярных доменных границ. Данный результат подтверждается аналитическим и численным анализом зависимости энергии ферромагнетика от величины угла между двумя доменными границами.

5. Описаны более сложные статические конфигурации, образующиеся в результате взаимодействия вырожденного солитона и 180°-доменной границы, а также при взаимодействии двух вырожденных солитонов.

6. Получены и исследованы одномерные динамические вырожденные солитоны для уравнения Ландау-Лифшица, описывающего одномерный неизотропный ферромагнетик. Показано, что вырожденный солитон описывает связанное состояние двух 180°-доменных границ разной полярности. Для ферромагнетика с анизотропией "легкая ось" вырожденный солитон соответствует бризеру.

7. На основе метода обратной задачи рассеяния впервые построена теория возмущений для локализованных двумерных структур в интегрируемых системах на примере уравнения синус-Гордон.

8. Рассмотрен простейший вариант данной схемы на примере влияния возмущений на структуру 180°-доменной границы в модели ферромагнетика с анизотропией "легкая ось". Установлены основные

-134

Заключение

В диссертационной работе были проведены теоретические исследования одномерных и двумерных локализованных возбуждений нового типа (вырожденных солитонов) для ряда нелинейных моделей, широко используемых в физике конденсированного состояния и в физике магнитных явлений. Процедура получения вырожденных солитонов носит универсальный характер и может быть применена к другим нелинейным интегрируемым моделям, которые используются в физике плазмы, гидродинамике и т.д. Схема теории возмущений, предложенная в работе на примере уравнения синус-Гордон, имеет общий характер и может быть использована при изучении влияния малых возмущений на структуру статических двумерных солитонов и в других двумерных интегрируемых системах.

1. Изюмов Ю.А. Модулированные или длиннопериодические магнитные структуры кристаллов. - УФН, 1984, т. 144, №3, с.430 - 470.

2. Steiner М., Kakurai К., Knop W., Pynn R., Kjems I.K. Neutron inelastic scattering study of transverse spin fluctuations in CsNiF3 : a soliton only central peak. - Solid State Comm., 1982, v.41, № 16, p.l 137 - 1140.

3. Хуберт А. Теория доменных стенок в упорядоченных средах. М.: Мир,1977. -306с.

4. Лифшиц И.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика. М.: Наука,1978, 4.2.- 448с.

5. Барьяхтар И.В., Иванов Б.А. Нелинейные волны намагниченности антиферромагнетиков. ФНТ, 1979, т.5, вып.7, с.759 - 770.

6. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. - 622с.

7. Fermi Е., Pasta J., Ulam S. Studies of nonlinear problems. Los Alamos report LA, 1955, p. 1940 (имеется перевод в кн.: Ферми Э. Научные труды. Т.П. М.: Наука, 1972, с.647 - 657).

8. Gardner C.S., Green J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg de Vries equation. - Phys.Rev.Lett., 1967, v. 19, p. 1095 - 1097.

9. Lamb G.L. Phase variation in coherent optical - pulse propagation. -Phys.Rev.Lett., 1973, v.31, p.l96-199.

10. Lamb G.L., Analitical description of ultra short optical pulse propagation in a resonant medium.- Rev. Mod. Phys., 1971, v.43, p.99 - 129.

11. Backlund A.V. Zur Theorie der partiellen Differential gleichungen erster Ordnung. Math. Ann., 1880, v. 17, p.285 - 328.

12. Hirota R. Exact solution of the Korteweg de Vries equation for multiple collisions of solitons. - Phys. Rev. Lett., 1971, v.27, p.l 192 - 1194.

13. Ахиезер И.А., Боровик А.Е. О нелинейных спиновых волнах в ферромагнетиках и антиферромагнетиках.- ЖЭТФ, вып.5, с. 1332 1344.

14. Ахиезер И.А., Боровик А.Е. К теории спиновых волн конечной амплитуды. ЖЭТФ, 1967, т.52, №2, с.508 - 513.

15. Иванов Б.А., Косевич A.M. Связанные состояния большого числа магнонов в ферромагнетике с одноионной анизотропией. ЖЭТФ, 1977, Т.72, №5, С.2000 - 2015.

16. Косевич A.M., Иванов Б.А., Ковалев A.C. Нелинейная локализованная волна намагниченности ферромагнетика как связанное состояние большого числа магнонов. Письма в ЖЭТФ, 1977, т.25, №11, с.516 -520.

17. Косевич A.M., Иванов Б.А., Ковалев A.C. Нелинейная локализованная волна намагниченности ферромагнетика как связанное состояние большого числа магнонов. ФНТ, 1977, т.З, №7, с.906 - 921.

18. Елеонский В.М., Кирова H.H., Кулагин Н.Е. О магнитных солитонах, распространяющихся вдоль оси анизотропии. Письма в ЖЭТФ, 1979, т.29, вып. 10, С.601 -605.

19. Богдан М.М., Ковалев A.C. Об устойчивости степенных солитонов в одномерных нелинейных системах. Письма в ЖЭТФ, 1980, т.31, вып.4, С.213.

20. Ivanov В.А., Kosevich A.M., Manzhos I. Algebraic soliton in a ferromagnet in the presence of the magnetic field directed along the anisotropy axis. Solid State Communs., 1980, v.34, p.417 - 418.

21. Kjems I.K., Steiner M. Evidence for soliton modes in the one dimensional ferromagnet CsNiF3 .- Phys.Rev.Lett., 1978, v.41, №16, p.l 137 - 1140.

22. Tekic'J., Ivic'Z. Soliton phonon interaction in anharmonic quasi - one -dimensional ferromagnetic crystals: Soliton - induced modification of the speed sound. - Phys. Rev., 1994, v.50, №22, p. 16418 - 16423.

23. Currie J.F. Aspects of exact dynamics for general solutions of the sine -Gordon equations with application to domain wall. Phys. Rev. A, 1977, v. 16, №4, p. 1692-1699.

24. Косевич A.M., Иванов Б.А., Ковалев A.C. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. Киев: Наук. Думка, 1983, 192 с.

25. Иванов Б.А., Косевич A.M., Манжос И.В. Квантовое и классическое описание слабосвязанных состояний магнонов в ферромагнитной цепочке. ФНТ, 1979, т.5, вып.2, с. 170 - 180.

26. Ахиезер И.А., Боровик А.Е. К теории спиновых волн конечной амплитуды. ЖЭТФ, 1967, т.52, вып.2, с. 508 513.

27. Sasada T.J. Magnons, solitons and a critical field in the Heisenberg ferromagnetic chain with easy plane anisotropy. - J.Phys.Soc.Jpn., 1982, v.51, №8, p.2446 - 2449.

28. Borisov A.B., Kiselev V.V. Dynamical solitons in a quasi one -dimensional ferromagnet with easy - plane type anisotropy. - Physica D, 1986, v.l9,p.411-422.

29. Елеонский B.M., Кирова H.H., Кулагин H.E. О предельных скоростях и типах волн магнитного момента. ЖЭТФ, 1978, т.74, вып.5, с.1814 -1821.

30. Елеонский В.М., Кирова Н.Н., Кулагин Н.Е. Новый закон сохранения для уравнения Ландау Лифшица. - ЖЭТФ, 1979, т.77, вып.1, с.409 - 413.

31. Богдан М.М., Ковалев А. С. Точные многосолитонные решения одномерных уравнений Ландау Лифшица для неизотропного ферромагнетика. - Письма в ЖЭТФ, 1980, т.31, вып.8, с.453 - 457.

32. Богдан М.М., Ковалев А.С. Точные многосолитонные решения уравнений Ландау Лифшица для одномерного неизотропного ферромагнетика. - Свердловск, 1980. - 36с. (Препринт/ АН СССР У рал. науч. центр, Институт физики металлов; №80 - 4).

33. Борисов А.Б. Многосолитонные решения уравнений неизотропного магнетика. ФММ, 1983, т.55, №2, с.231 - 235.

34. Borisov А.В. The Hillbert problem for matrices and new class of integrable equation. Lett.Math.Phys., 1983, v.7, p. 195 -199.

35. Poppe C. Construction of solutions of the sine Gordon equation by means of Fredholm determinants. - Physica D, 1983, V.9, p. 103 - 139.

36. Borovik A.E., Klama S., Kulinich S.I. Weak bounded soliton - antisoliton states in the dynamics of a one -axis ferromagnet. -Phys.-Lett., 1987, v. 120 A, №9, p.455 - 458.

37. Иванов Б.А., Косевич A.M. Связаные состояния магнонов в ферромагнетике с одноионной анизотропией. ЖЭТФ, 1983, т.84, №6, с.2235 - 2241.

38. Воронов В.П., Иванов Б.А., Косевич A.M. Двухмерные динамические топологические солитоны в ферромагнетиках. ЖЭТФ, 1983, т.84, №6, с.2235 - 2241.

39. Kosterlits J.M., Thoules D.J. Ordering, metastability and phase transitions in two dimensional Systems. - J.Phys.C: Solid State Phys., 1973, v.6, p.l 181 -1203.

40. Hudak O. On vortex configurations in two dimensional Sine - Gordon systems with applications to the phase transitions of the Kosterlits - Thoules type and to Josephson junctions. - Phys.Lett., 1982, v.89A, №5, p.245 - 248.

41. Takeno S. Multi -(Resonant Soliton) - Solitons and Vortex - like Solutions to Two - and Three - Dimensional Sine - Gordon Equations. - Progr.Theor. Phys., 1982, v.68, №3, p.992 - 995.

42. Ходенков Г.Е. Некоторые точные многомерные решения уравнений Ландау Лифшица в одноосном ферромагнетике. - ФММ, 1982, т.54, №4, с.644 - 649.

43. Борисов А.Б., Танкеев А.П., Шагалов А.Г. Вихри и двумерные солитоны в легкоплоскостных магнетиках. ФММ, 1985, т.60, вып.З, с.468 - 479.

44. Борисов А.Б., Танкеев А.П., Шагалов А.Г. Новые типы вихреподобных состояний в магнетиках. -ФТТ, 1989, т.31, стр.140 147.

45. Juan S.W., Bertran H.N. Domain wall dynamics transitions in thin films. -Phys.Rev.В., 1991, v.44, p.12395 - 12405.

46. Aharoni A., Jakubovics J.P. Moving Two dimensional Domain Walls. -IEEE Trans. Magn., 1993, v.29, №6, p.2527 -2529.

47. Кившарь Ю.С., Косевич A.M., Потемина Л.Г. Теория возмущений для солитонов : уравнение Ландау Лифшица для двухосного ферромагнетика. Препринт ФТИНТ АН УССР, Харьков, 1985. - № 37, 54с.

48. Kivshar J.S., Malomed В.А. Solitons in nearly integrable systems. Rev. Mod. Phys., 1989, v.61, №4, p.763 - 912.-13955. Paul D.J. General theory of the coercive force due to domain wall pinning. -J.Appl. Phys., 1982, №53 (3), p. 1649 1654.

49. Веселаго В.Г., Владимиров И.В., Дорошенко P.А., Плавскиий B.B. -Изменение структуры доменных границ и однородности намагниченности на неоднородностях магнитной анизотропии. Препринт №53. Т - 02948, ИОФАН СССР. - М., 1989, - 34с.

50. Малоземов А., Слончевски Дж. Доменные стенки в материалах с цилиндрическими магнитными доменами. М.: Мир,, 1982. - 384с.

51. Звездин А.К., Костюченко В.В., Попков А.Ф. Нелинейные спиновые волны, распространяющиеся вдоль доменной границы. ФТТ, 1985, т.27, вып. 10, с.2936 2940.

52. Borisov А.В., Kiselev V.V. Inverse problem for an elliptic sine Gordon equation with asymptotic behaviour of the choidal - wave type. - Inverse Problem, 1989, v.5, p.952 - 982.

53. Borisov A.B. Vortices in the sine Gordon system and solution of the boundary value problem by inverse scattering transform. - Phys.Lett. A , 1990, v. 143, № 1,2 , p.52 - 56.

54. Borisov A.B., Ionov S.N. Vortices and vortex dipoles in 2D sine Gordon model - Physica D, 1996, v.99, p. 18 - 34.

55. Борисов А.Б., Прямая и обратная задача рассеяния для уравнения Ландау- Лифшица. ДАН СССР, 1986, т.228, № 6, с. 1339- 1342.

56. Mikhailov A.V. The Landau Lifshits equation and the Rieman boundary problem on a torus. - Phys. Lett, 1982, v.92A , №2, p.51-55.

57. Berger A ., Open H.P. Magnetic domain walls in ultrathin fee cobalt films -Phys.Rev., 1992, v.45, №21, p.12596 12599.

58. Chui S.T., Ryzhov V.N. Solitons and 2D Domains in Ultrathin Magnetic Films Phys.Rev.Lett., 1997, v.78, №11, p.2224 - 2227.

59. Солитоны /Под ред. Р.Буллофа, Ф.Кодри. М: Мир, 1983 - 408 с.

60. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи.- М.; Мир, 1987-478с.

61. Matveev V.B. Darboux transformation and the solutions of Kadomtsev -Petviashvili equation depending on functional parameters. Lett.Math.Phys., 1979, v.3, p.213 - 218.

62. Freeman N.C., Nimmo J .J.C. Soliton solutions of the Korteweg de Vries and Kadomtsev - Petviashvili equations: the Wronskian technique. Phys.Let., 1983, v.95A, №l,p.l -3.

63. Satsuma J., Каир D.J. A Backlund transformation for a higher order Korteweg- de Vries equation. J.Phys.Soc. Japan, 1977, v.43, p.692 697.

64. Nakamura A. Backlund transformation and conservative laws of the Benjamin- Ono equations. J.Phys.Soc. Japan, 1979, v.47, p. 1335 1340.

65. Фаддеев Л.Д. Обратная задача в квантовой теории рассеяния. УМН, 1959, т. 14, №4, с.57- 119.

66. Deift P.,Trubowitz Е. Inverse scattering of the line. Comm.Pure Appl.Math., 1979, v.32, p.121 - 251.

67. Hirota R., Satsuma J. A Variety of Nonlinear Network Equations Generated from the Backlund Transformation for the Toda lattice. Suppl. of Progress of Theoretical Physics, 1976, № 59, p.64 100.

68. Airault H., McKean H.P., Moser J. Rational and elliptic solutions of the KdV equation and related many body problems. - Comm.Pure Appl.Math., 1977, v.30,p.95- 198.

69. Ablowitz M.J., Satsuma J. Solitons and rational solutions of nonlinear evolution equations. J.Math. Phys., 1978, v. 19, p.2180 - 2186.

70. Adler M., Moser J. On a class of polynomials connected with the Korteweg -de Vries equation. Comm.Math.Phys., 1978, v.61, p.l - 30.

71. Nimmo J.J.C., Freeman N.C. Rational solutions of the Korteweg de Vries equation: wronskian form. - Phys.Lett.A, 1983, v.96, №9, p.443 - 447.

72. Johnson R.S., Thompson S. A solution of the inverse scattering problem for the Kadomtsev Petviashvili equation by the method of separation of variables. - Phys.Lett.A, 1978, v.66, p.279-281

73. Додд P., Эйлбек Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. -М.: Мир, 1988 649с.

74. Кадомцев Б.Б., Петвиашвили В.И. Об устойчивости уединеных волн в слабодиспергирующих средах.-ДАН СССР, 1970, т. 192, № 4, с.753 756.

75. Borisov А.В., Tankeyev А.Р., Shagalov A.G., Bezmaternih G.V. Multi-vortex like solutions of the sine-Gordon equation. Phys.Lett.A, 1985, v.l 11, № 1,2, p.15 - 18.

76. Bezmaternih G.V., Borisov A.B. Rational Exponential Solutions of Nonlinear Equations. - Lett.Math.Physics, 1989, v. 18, p.l - 8.

77. Безматерных Г.В., Борисов А.Б. Влияние возмущений на структуру доменной границы в легкоплоскостных магнетиках. ФММ, 2000, т.90, №4, с.1 - 14.

78. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. М.: Сов.Радио, 1977 - 368с.

79. Hirota R. Exact Solution of the Modified Korteweg de Vries Equation for Multiple Collisions of Solitons. - J.Phys. SocJapan, 1972, v.33, № 5, p. 1456 -1458.

80. Звездин A.K. О динамике доменных границ в слабых ферромагнетиках. -Письма в ЖЭТФ, 1979, т.29, №2, с.605 610.

81. Hirota R. Exact Three Soliton Solution of Two - Dimensional Sine -Gordon Equation. - J.Phys.Soc.Japan., 1973, v.35, №5, p.1566 - 1567.

82. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции -М.: Наука, 1981, 800с.

83. Hirota R Bilinearization of Soliton Equations. J.Phys. Soc Japan, 1982, v.51,№l, p.323-331.

84. Slonczewski J.C. Dynamics of magnetic domain walls. Intern. J. Magnetism, 1972, v.2, p.85-97.

85. Kryder M.H., Gallagher T.J., Scranton R.A. Neel walls and line transitions in a (100) garnet film, 1982, J.Appl.Phys., v.53, № 8, p.5810 - 5814.

86. Borisov A.B., Kiselev V.V. Vortex dipoles on a solution lattice background: Solution of the boundary value problem by inverse spectral transform. -PhysicaD, 1998, v.lll, p.96 - 128.

87. Kronmuller H. Theory of Nucleation Fields in Inhomogenius Ferromagnets -Physica Status Solidi (b), 1987, v. 144, p.385-396.-143101. Miles J.W. Obliquely interacting solitary waves.-J Fluid.Mech., 1977, v.79 parti, p. 157-169.

88. Miles J.W. Resonantly interacting solitary waves.- J Fluid.Mech., 1977 v.79, parti, p.171-179.-144