Топологические солитоны в нелинейных киральных моделях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Геометрические основы киральных моделей

1.1 Топологические солитоны .

1.2 Топологические заряд.

Обобщенная модель Гейзенберга

2.1 Квазиклассическое приближение для обобщенной модели Гейзенберга .

2.2 Доменные стенки в негейзенберговском ферромагнетике . . .

2.3 Двухмерные топологические возбуждения в обобщенной модели Гейзенберга .

2.4 Трехмерные вихри в обобщенной модели Гейзенберга . . . .

Спинорная реализация модели Скирма

3.1 Учет фермионных степеней свободы в киральных моделях .

3.2 Спинорная модель Скирма.

3.3 Состояние с максимальной компактной группой.

Заключение Приложение 4

Введение

В современной теоретической физике большой интерес представляет изучение киральных моделей, для которых поле принимает значения в некоторых компактных многообразиях. При их описании применяются современные алгебраические и геометрические методы. Основным объектом изучения в киральных моделях являются топологические солитоны, обладающие свойствами локализованное™ и устойчивости. Такие свойства часто наблюдаются в разных физических явлениях, описывающихся нелинейными уравнениями. Исследование этих явлений привело к созданию новой области математической физики - теории солитонов [14,40], которая занимается изучением особого вида решений нелинейных волновых уравнений, получивших название солитонных и описывающих локализованные долгоживущие возбуждения нелинейных систем. Появление новых математических методов в физике позволило в последние годы существенно развить применение киральных моделей не только в теории взаимодействующих полей, но и в гидродинамике, физике плазмы, нелинейной оптике, теории твердого тела, а также в физике конденсированного состояния.

В теории поля успешно применяется интерпретация элементарных частиц как локализованных устойчивых возбуждений с конечной энергией. Это позволяет найти соответствие между солитонными решениями и 5 состояниями, описывающими протяженные частицы в квантовой теории поля [46,64].

В физике конденсированных состояний изучаются различные упорядоченные и неупорядоченные структуры вещества [3]. Исследование устойчивости тех или иных дефектов или нарушений локального равновесия, возникающих в этих структурах, и необходимость их классификации неизбежно приводят к необходимости применения современных топологических методов.

В теории солитонов актуально развитие теории устойчивости в смысле Ляпунова [19]. В данной области в настоящее время известны основополагающие работы Т.Б. Бенджамина [47], Дж. Шатаха [61], В. Штрауса [63], В.Е. Захарова [12,13], Е.А. Кузнецова [15,65], В.Г. Маханькова [57], Ю.П. Рыбакова [32] и др. Применение критериев устойчивости топологических солитонов позволяет строить новые виды киральных моделей и искать их подтверждение на опыте. Поэтому изучение подобных моделей является актуальным для современной науки.

В диссертации предложена новая квазиклассическая модель ферромагнетиков, обобщающая известную сигма - модель, основанную на спиновом гамильтониане Гейзенберга [5]. В основе этой новой модели лежит спиновый гамильтониан Гейзенберга - Тябликова [39], содержащий спиновые операторы в четвертой степени. В диссертации изучаются топологические солитонные возбуждения различного числа измерений в указанной модели. 6 онных кварковых возбуждений в рамки популярной в ядерной физике модели Скирма [62], применяемой для описания структуры барионов как топологических солитонов. В работе предлагается спиноризованный вариант модели Скирма и изучаются простейшие решения в ее рамках.

Структура диссертации предполагается следующей:

Во введении обосновывается важность и актуальность темы и предмета исследования, дается краткий обзор истории вопроса, основных методов исследования и содержания диссертации.

4. Заключение

В диссертации получены следующие результаты:

1. В квазиклассическом приближении в непрерывном пределе получен функционал энергии в обобщенной модели ферромагнетика Гейзен-берга, предложенной Тябликовым;

2. Получено описание статических доменных стенок одноосного ферромагнетика в модели Гейзенберга - Тябликова;

3. При рассмотрении одноосного ферромагнетика в модели Гейзенберга - Тябликова получены: a) описание вариационным методом двухмерных вихрей, размер которых фиксирован; b) описание методом теории возмущений в ограниченной области двухмерных вихрей и их асимптотического поведения на бесконечности;

4. Доказано существование трехмерных топологических солитонов в модели ферромагнетика Гейзенберга - Тябликова;

5. Построен лагранжиан спиноризованной модели Скирма, свободный от генераторов внутренной группы, и получена оценка снизу для соответствующей энергии через энергию модели Рыбакова - Фаража;

87 видим, что пространство X изоморфно двумерной единичной сфере £2, т.е. множеству единичных векторов п вида п = (sin 9 COS (f, sin # sin <р, COS в).

Элемент дп £ X можно также записать в виде дп = ехр i-(miOi + m2cг2) где mi = sm (р,

71 =

Ш'2 = — COS \ / \

0 1 0 -г (Г2 = ¿ 0 >

Унитарное неприводимое представление Т(д) группы ви(2) задается неотрицательным целым или полуцелым числом Т(д) = Т3 (д), сИтТ3 = 2^ + 1. Инфинитезимальные операторы ,/± = ± г/2, ^о = Н представления Т3(д) удовлетворяют стандартным перестановочным соотношениям: о, — ±е/±, [«/, </+] = —2/0.

Оператор описывает бесконечно - малое вращение вокруг к-ой эси; векторы ц) в пространстве представления Ж3 являются собственными векторами операторов ,/о и ,/2 = .]'( + .7| + ,7|:

Соответственно оператор ехр[го/(т, Л)], т2 = 1 описывает поворот за угол и вокруг оси , задаваемой вектором т.

88

Действуя на вектор \ф$) операторами TJ (д), получаем искомое когерентное состояние. TJ'(g) можно представить в виде:

Ti(g) = T>Xffu)T>\h).

Отсюда следует, что при выборе в качестве |^>о) вектора jj, /г) когерентное состояние задается единичным вектором: п) = е^Т^фо).

Когерентное состояние определяется точкой двухмерной сферы:

S2 = SO(3)/SO(2) = SU(2)/U(1), которая является орбитой коприсоединенного представления, т.е. может рассматриваться как фазовое пространство классической динамической системы - классического спина. Фазовый множитель еш(п) удобно выбрать равным единице, так что: п) =£>(п)|^0), где

D(n) = Tj(gn) = exp[¿0(m, J)], 0 < в < тг, m-единичный вектор, перпендикулярный векторам п и по = (0,0,1), m = (sin <р, — cos <р, 0). Заметим, что это можно сделать для всех п за исключением случая п = (0,0, —1).

Для рассматриваемых систем в качестве можно выбрать fi) с произвольными ¡i. На первый взгляд, все такие системы когерентных

89 зстояний являются эквивалентными. Однако состояния (./*, ±7) миними-аруют величину дисперсии момента. Для них справедливо: поэтому состояния определяют систему когерентных состояний аиболее близких к классическим. Мы можем выбрать в качестве юбое из них, поскольку оба состояния эквивалентны. Для нас более добно выбрать в качестве (^о) состояние —]).

Спиновое когерентное состояние является собственным вектором опе->атора (и, Л): п,Л)|п> = -Лп>. (5.1.1)

Уравнение (5.1.1) сразу же следует из уравнения о|по) = -^'1по> По = (0,0,1) а соотношения

В(п)^В-\п) = (п, Л).

Инфинитезимальные операторы в когерентном состоянии обладают свойством: п|Л|п) = -^п, а также

90 где к = 1,2,3. Для вычисления среднего от произведения разных компонентов инфинитезимальных операторов в когерентном состоянии представим его в удобной форме:

1 1 М ¿«¿М) = 2<пР«^]+|п) + -<пра^]|п), используя известное коммутационное соотношение и то, что антикоммутатор можно представить в виде комбинации симметрических тензоров второго ранга п|[4 <//?]+|п) = А6ар + Впащ.

Коэффициенты А, В можно определить с помощью уравнения (5.1.2). В итоге получаем формулу п|/а.7/?|п) = + 3 - ^ Пащ - Ъ-£а/ЗуЗПу. (5.1.3)

5.2. Усреднение по всем возможным направлениям

Для нахождения усреднения по всем возможным направлениям векторов а и а' с условием (а, а') = 0, воспользуемся параметризацией: а2 (вт 9 сое ф,ът9 вт ф, сое 9), сое ф сое ф + втф вт ф сое 0, а, а'] а\/а а2/а = со8 фвтф — вт ф эт ф сое 9, а3/а = Бтфзтв, да дф

5.2.1)

91 где в £ [0,7г], ф, ф Е [0,2тг] - параметры группы SO(3) с мерой dp = i sin вМйфЦ- (5-2.2)

Тогда результат усреднения определяется формулой: 1 , J aiiai2---aii~.a'j1a'j2---a'jl sin 6<16Фф(1ф. (5.2.3)

Выражение (5.2.3) является тензорам и симметричным относительно отражения а —¥ —а и поэтому если к или I нечетные, то

Вместо прямого вычисления интегралов (5.2.3) удобнее применить цругой метод, основанный на использовании трансформационных свойств рассматриваемых величин. Из определения (5.2.3) следует, что эти величины должны быть одинаковыми в любой повернутой системе координат. Поэтому они будут выражаться через такие тензоры, компоненты которых не зависят от выбора системы координат. Поэтому можно написать

Для определения Л свернем тензор по двум индексам: a¡a¡ = а2 = а2 = ЗА. Отсюда следует, что Л = 1/3. Точно также можно предположить,

ITO

Из свойства симметрии а1а^а'ка\ = щ^а\а!к следует, что А2 = Л3. Применяя операцию свертывания тензора (5.2.4), получаем ш а, г^а'ка'к = а ща^ = = (ЗЛ1 + 2А2)<%. Аналогичный образом имеем а гака'ка\ = 0 = (А1 + 4А2)^.

В итоге получаем систему уравнений: а

ЗА!+2А2 = —,

5.2.5)

А2 + 4А2 =0.

Решая уравнение (5.2.5), получаем, что А1 = 2а4/15,А2 = — а4/30.

Рассуждая точно так же, найдем а4 а ¿акщ = — + + Ьц&кз)

В результате усреднения по мере (5.2.2) получаем следующие нетривиальные средние:

93

5.3. Вывод гамильтониана рассматриваемых конфигураций атомов в кубической решетке

Рассмотрим взаимодействие двух атомов, учитывающее обмен четвертого порядка по спину: н{а) = ЕрЗь 8*+1Г = Е в^! - ЕФ, к к к

Л Л Л

5.3.1)

После усреднения по спиновому когерентному состоянию, переходя к непрерывному пределу, имеем энергию возбуждения:

Я<">> = ¿/Л3 {<§»8^,) - ((¿ь^)2)} , ^ / <Ь3 {(^ХО - , (5.3.2)

Применяя формулу (5.1.3), получаем:

Я«) = -¿52 / Ъ* { + (5 - п%4 - г-е^п1) х х + (5 ■- \) п«к+Я+1 ~ } , (5-3.3) х3 | - ^ (п*,щ+1}2 - п*+1) |.

Ограничиваемся разложением поля щ+1 = п(г*+1) = п(г + а) до четвертого порядка:

Щ = п, щ+1 = + + + где й = (а\7). Подставляя (5.3.4) в (5.3.3), получаем

5.3.4)

94

К5Ч)2(<гп)4}- (5-з-5)

После усреднения по всем возможным направления вектора а обо-¡начим вклад в энергию Е[а}. Тогда:

Е[а) = {Й{а)) = ¿52 / £х<

5(5- 1)(йп)'

- ^5(5 - 1)(Ап)2 + (дщ)4 + 2 (<%п, дрУ

5.3.6)

Рассмотрим взаимодействие трех атомов, учитывающее обмен четвертого порядка по спину:

5.3.7)

После усреднения по спиновому когерентному состоянию, переходя ес непрерывному пределу, имеем

Н[Ь)) = {(вК^!, §*+!)) - <(8*,8Ж)(М*-1))}

- (5.3.8)

Применяя формулу (5.1.3), получаем:

Н?) = —^53 / &хъ {(5 + 1)(п*1, пк+1)~ (5 ■- п«к4 - пи4+1}

5.3.9) и для производных введем обозначение

98

1. Абловиц M., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. - М.: Мир, 1987. - 480 с.

2. Белавин A.A., Поляков A.M. Метастабильные состояния двухмерного изотропного ферромагнетика // Письма в ЖЭТФ. 1975. - Т.22, N 10. - С. 503-506.

3. Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. Введение в топологию. М.: Наука, 1995. - 416 с.

4. Вакуленко А.Ф., Капитанский JI.B. Устойчивость солитонов в S2 нелинейной сг-модели // Докл. АН СССР. 1979. - Т. 246, N 4. - С. 840-842.

5. Вонсовский C.B. Магнетизм. М.: Мир, 1987. - 480 с.

6. Ботт Р., Ту JI. В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. М.: Платон, 1997. - 336 с.

7. Дзялошинский И.Е., Иванов Б. А. Локализованные топологические солитоны в ферромагнетике ff Письма в ЖЭТФ. 1979. - Т. 29, вып. 9. - С. 592-595.

8. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. - 694 с.99

9. Захаров В.Е. Коллапс ленгмюровских волн // ЖЭТФ. 1972. - Т. 62, вып. 5. - С. 1745-1759.

10. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980. - 320 с.

11. Захаров В.Е., Кузнецов Е.А. О трехмерных солитонах // ЖЭТФ. -1974. Т. 66, вып. 5. - С. 594-597.

12. Косевич A.M., Иванов Б. А., Ковалев А.С. Нелинейные волны намагниченности: Динамические и топологические солитоны. Киев: Наукова думка, 1983. - 190 с.

13. Кринчик Г. С. Физика магнитных явлений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985. - 336 с.100

14. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. -576 с.

15. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Л. - М.: ОНТИ, 1935. - 386 с.

16. Малкин ИМанько В. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. М.: Наука, 1979. - 320 с.

17. Масленникова В. Н. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Изд-во РУДН, 1997. - 445 с.

18. Маханьков В.Г., Рыбаков Ю.П., Санюк В.И. Модель Скирма и соли-тоны в физике адронов. Лекции для молодых ученых. Вып. 51. Р4-89-568. - Дубна: ОИЯИ, 1989. - С. 171.

19. Монастырский М. И. Топология калибровочных полей и конденсированных сред. М.: ПАИМС, 1995. - 477 с.

20. Нагаев Э.Л. Магнетики со сложными обменными взаимодействиями. М.: Наука, 1988. - 232 с.

21. Пайфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. - 532 с.

22. Переломов Л.М. Обобщенные когерентные состояния и их применения. М.: Наука, 1987. - 270 с.

23. Переломов Л. М. Решения типа инстантонов в киральных моделях // Успехи физических наук. 1981. - Т. 134, вып. 4. - С. 577 - 609.101

24. Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. -М.: Мир, 1985. 414 с.

25. Рубаков В. А. Классические калибровочные поля. М.: УРСС, 1999. - 335 с.

26. Рыбаков Ю.П. Итоги науки и техники. Классическая теория поля и теория гравитации. М.: ВИНИТИ, 1991. - Т. 2. - С. 56.

27. Рыбаков Ю.П. О солитонах с индексом Хопфа // Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. Вып. 12. - М.: Энергоиздат, 1982. - С. 147-154.

28. Рыбаков Ю.П. Устойчивость многомерных солитонов, Дисс. докт. физ.-мат. наук. Дубна: ОИЯИ, 1994.

29. Рыбаков Ю. П. Очоа Хименес Р. Квазиклассическое описание негейзенберговского магнетика с биквадратичным спиновым взаимодействием. // Вестник Российского университета дружбы народов, серия "Физика". Вып.1 1997. - N 5. - С. 51-53.

30. Рыбаков Ю. П. Очоа Хименес Р. Доменные стенки в негейзенберговском ферромагнетике. // Вестник Российского университета дружбы народов, серия "Физика". Вып. 1. 1998. - N 6. - С. 57-59.

31. Рыбаков Ю.П., Фарраж П. Аби. Спинорная реализация киральной модели Скирма // Вестник Российского университета дружбы народов, серия "Физика". Вып.1. 1996. - 4. - С. 59-64.102

32. Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. Геометрия и классические поля. М.: УРСС, 1996. - Т. 1. - 224 с.

33. Семенов Тян -Шанский МА., Фаддеев Л. Д. К теории нелинейных ки-ральных полей // Вестник ЛГУ. - 1977. - N 13. - С. 81-88.

34. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск: Издательство СО АН СССР, 1962. - 256 с.

35. Тябликов С. В. Методы квантовой теории магнетизма. М.: Наука, 1975. - 528 с.

36. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории соли-тонов. М.: Наука, 1979. - 528 с.

37. Фаддеев Л.Д. Калибровочно-инвариантная модель электромагнитного и слабого взаимодействия лептонов // Докл. АН СССР. 1973. - Т. 210, N 4. - С. 807-810.

38. Хуберт А. Теория доменных стенок в упорядоченных средах. М.: Мир, 1977. - 306 с.103

39. Шварц А. С. Квантовая теория поля и топология. М.: Наука, 1989.- 398 с.

40. Уитни X. Геометрическая теория интегрирования. Новокузнецк: Изд-во Новокузнецкого Физико - математического института, 1998.- 530 с.

41. Adkins G.S., Nappi Ch.R., Witten E. Static Properties of Nucleons in the Skyrme Model // Nucl. Phys., ser. B. 1983. - V. 228, No 4. - P. 552 -566.

42. Benjamin T.B. The Stability of Solitary Waves // Proc. Roy. Soc., ser. A.- 1972. V. 328. - P. 153-183.

43. Bogolubsky I.L. Three Dimensional Topological Solitons in the Lattice Model of a Magnet with Competing Interactions // Phys. Lett., ser. A. -1988. - V. 126, No 8,9. - P. 511-514.

44. Case K.M. Biquadratic Spinor Identities // Phys. Rev. 1955 - V. 97, No 3. - P. 810.

45. Coleman S. Classical Lumps and their Quantum Descendants. Lectures at the 1975 International School of Subnuclear Physics "Ettore Majorana" (Erice) "New Phenomena in Subnuclear Physics". Ed.A. Zichichi. N.Y.: Plenum Press, 1977. - P. 297-421.

46. Derrick G.H. Comments on Nonlinear Waves Equations as a Model for Elementary Particles //J. Math. Phys. 1964. - V. 5, No 9. - P. 12521254.104

47. Enz U. Die Dynamik der blochschen Wand // Helv. phys. acta. 1961. -V. 37. - P. 245-251.

48. Enz U. A New Type of Solitons with Particle Properties //J. Math. Phys.- 1977. V. 18, No 3. - P. 347-353.

49. Faddeev L.D. Some Comments on Many Dimensional Solitons // Lett. Math. Phys. - 1976. - V. 1, No 4. - P. 289-293.

50. Hobart R.H. On the Instability of a Class of Unitary Field Models // Proc. Phys. Soc. 1963. - V. 82, part 2, No 526. - P. 201-203.

51. Kundu A., Rybakov Yu.P. Closed-Vortex-Type Solitons with Hopf Index // J. Phys., ser. A.: Math., Gen. 1982. - V. 15, No 1. - P. 269-275.

52. Makhankov V.G. Dynamics of Classical Solitons ( in Non-Integrable Systems ) // Phys. Reports, ser. C. 1978. - V. 35, No 1. - P. 1 - 128.

53. Palais R. The Principle of Symmetric Criticality // Comm. Math. Phys.- 1979. V. 69, No 1. - P. 19-30.

54. Reifler F., Morris R. A gauge Symmetric approach to Fierz Identities // Jour. Math. Phys. -1986. V. 27, No 11, - P. 2803-2806.

55. Shatah J. Stable Standing Waves of Nonlinear Klein Gordon Equations// Comm. Math. Phys. - 1983. V. 91, No 3. - P. 313-327.

56. Skyrme T.B.R. A Unified Field Theory of Mesons and Baryons // Nucl. Phys. 1962. - V. 31, No 4. - P. 556-569.

57. Strauss W. Stable and Unstable States of Nonlinear Wave Equations// Contemp. Math. 1983. - V.17, No 3. - P. 429-441.

58. Zahed L, Brown G.E. The Skyrme Model // Phys. Reports, ser. C. 1986. V. 142, No 1 & 2. - P. 1 - 102.

59. Zakharov V.E., Kuznetsov E.A., Rubenchik A.M. Soliton Stability. -Novosibirsk, 1983. 62 p. / Preprint Inst. Automatics & Electrometry, Siberian Branch of USSR Acad. Sei., No 199.