Локализованные состояния в нелинейных сигма-моделях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Аби Фарраж Наджиб

ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ СОСТОЯНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИГМА-МОДЕЛЯХ

(01.04.02 — теоретическая физика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

3 7 0/(7 ДЩ

005536216

Москва — 2013

005536216

Работа выполнена на кафедре теоретической физики факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов

Научный руководитель: Заслуженный деятель науки РФ,

доктор физико-математических наук, профессор

Рыбаков Юрий Петрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник научно-исследовательского института ядерной физики им. Д.В. Скобельцына МГУ им. М.В. Ломоносова (НИИЯФ МГУ), Кечкин Олег Вячеславович

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Лаборатории информационных технологий Объединённого института ядерных исследований (ЛИТ ОИЯИ, Дубна), Саха Биджан

Ведущая организация: Московский автомобильно-дорожный

государственный технический университет (МАДИ)

Защита диссертации состоится « 21 » ноября 2013 в 15 ч. 30 мин на заседании диссертационного совета Д 212.203.34 при Российском университете дружбы народов по адресу:

115419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, зал N»1.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д.6.

Автореферат разослан «// »0А:^2013 г.

Учёный секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук Попова В.А.

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации

В настоящей работе используется идея Эйнштейна об описании частицы в виде сгустка материального поля или, иными словами, соли-тонная концепция Эйнштейна-де Вройля. Эта идея получила широкое распространение при построении разных моделей, ставящих своей целью описание структуры элементарных частиц,

В рамках таких моделей, следуя концепции Эйнштейна, можно получить такие характеристики, как масса частицы, спин, магнитный момент и т.д., как локализованной полевой конфигурации, наделённой нетривиальным топологическим зарядом, т. е. в виде топологического со-литона.

Напомним, что топологическими солитонами принято называть конфигурации, описываемые регулярными решениями нолевых уравнений с конечными динамическими характеристиками, которые выделены среди множества солитонных решений нелинейных уравнений тем, что наделены топологической характеристикой типа степени отображения, инварианта Хопфа, индекса Чженя-Понтрягина и т.д. Под солитонами обычно понимают локализованные в конечной области возмущения нелинейной среды, которые

1. распространяются без деформаций, перенося энергию, импульс, момент импульса;

2. сохраняют свою форму и структуру при взаимодействии с другими подобными солитонами;

3. могут образовывать связанные состояния и ансамбли (т.е. ЛГ-солитонные состояния).

Однако такими свойствами, в основном, обладают только одномерные солитоны. Распространение этих представлений на реальный трехмерный случай было предпринято английским физиком-ядерщиком

Скирмом в 1954 г., которому принадлежит замечательная идея рассматривать барионы как топологические солитоны. В настоящее время наибольшую известность получили две модели, в которых были рассмотрены, соответственно, протяжённые структуры: тяжёлые (барионы) и лёгкие (лептоны) частицы.

— В первой модели (Скирм, 1954 г.) топологический заряд Я = «^(З3 53) интерпретировался как барионное число В и играл роль генератора гомотопической группы 7Г3(53) = 2.

- Во второй модели (Фаддеев, 1973 г.) инвариант Хопфа интерпретировался как лептонное число Ь и играл роль генератора гомотопической группы 7гз(52) = Ъ.

При этом топологический заряд возникает как геометрическая характеристика полевого многообразия модели. Такие модели получили название киральных.

В данной работе предлагается способ построения модели, объединяющей оба вышеперечисленных подхода на основе обобщённой нелинейной электродинамики Ми в рамках эффективной 8-сшшорной полевой модели.

Для спинорной реализации возможных моделей кирального типа используется геометрическое тождество Бриоски, согласно которому

V- = 82+р2+у2+а2, (1)

где билинейные спинорные комбинации в, р, и, а, ^ и представлены в следующем виде:

в = ФФ; р = гФ75Ф; V = ФтФ;

ф = Ф+7о — дираковски сопряжённый 8-сиинор, т — матрицы Паули во внутреннем изотопическом пространстве, 7/х — матрицы Дирака в представлении Вейля, 75 = 7^,

Если записать 8-спинор в виде столбца Ф = col^i,^); -фч = col(<р»,х»)> ¿=1,2, где ipi, Xi СУТЬ 2-спиноры, тогда, с помощью (1) нетрудно доказать, что

2JßJ'1 — s2 + р2 + v2 + а2 + А2, (2)

где А2 = + (xtxi)(xtx2) ~ Ixtxrf - ЫЫ2] > 0.

Структура тождества (2) приводит к тому, что, используя идеологию спонтанного нарушения симметрии, потенциал Хиггса V в 8-спинорной модели естественным образом можно представить как функцию от JMJ'':

V = ^(J,J>l-*20)2, (3)

где а и щ — два постоянных параметра потенциала Хиггса.

Для получения локализованной солитоноподобной конфигурации необходимо задать естественное граничное условие на пространственной бесконечности:

lim J;i7" = щ. (4)

|г|-»+оо

Из условия (4) и известных свойств гомотопической группы для сферы Sn, а именно [^(S") = 0 для п > 4], можно доказать, что и существуют только две возможности для существования конфигураций с нетривиальным топологическим зарядом, когда п < 4:

1. 7Гз(|!У3) = Z (модель Скирма),

2. 7г3(52) = Z (модель Фаддеева).

Например, если вакуумное состояние Фо определяет .з(Фо) ф 0, тогда киральный инвариант .s2 + а2 определяет сферу SA как полевое многообразие, что соответствует модели Скирма. С другой стороны, если только г?з(Фо) ф 0, тогда инвариант v2 определяет S2 как полевое многообразие, что соответствует модели Фаддеева.

Цель и задачи работы

1. Построить 8-спинорную нелинейную полевую модель, учитывающую взаимодействие спинорного поля с электромагнитным полем, для которой модели Скирма и Фаддеева возникают как частные случаи;

2. Построить солитоноподобные конфигурации в 8-спинорной модели с нетривиальным топологическим зарядом типа индекса Хоифа;

3. Оцепить такие характеристики локализованных конфигураций, как спин, масса и магнитный момент.

Объект исследования — нелинейная 8-спинорная модель, объединяющая модели Скирма и Фаддеева.

Научная новизна диссертационной работы определяется следующими результатами:

1. Впервые предложено описание лептонов как топологических соли-тонов с высшим индексом Хопфа в рамках нелинейной 8-спинорной модели.

2. Впервые получены оценки для массы, сгшна и магнитного момента 8-спинорной аксиально-симметричной локализованной конфигурации, наделённой индексом Хопфа, большим единицы.

3. Впервые получена структура метрики в струнном приближении (на малых растояниях) в тороидальных координатах путём фиксации римановых инвариантов

Ь ~ ^К/шсггК'""71" , /2 = •

4. Впервые получен ряд ограниченных билинейных спшюрных тождеств, которые могут быть полезны в прикладных расчётах.

Научная и практическая значимость

Работа является теоретической, и её результаты могут использоваться при исследовании локализованных состояний в физике частиц и в физике конденсированных сред.

Апробация работы

Представленные в диссертации материалы докладывались и обсуждались:

На научных семинарах кафедры теоретической физики факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов (Москва, 2008-2013 гг.), на 1Ь научной конференции факультета физико-математических и естественных наук РУДН (Москва, 2013 г.), на XXXI научной конференции факультета физико-математических и естественных наук РУДН (Москва, 1995 г.), на XXX научной конференции факультета физико-математических и естественных наук РУДН (Москва, 1994 г.), на XXIX научной конференции факультета физико-математических и естественных наук РУДН (Москва, 1993 г.).

Личное участие автора

Все приведённые в диссертации результаты получены самим автором, либо при его непосредственном участии.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, 5 приложений и списка литературы. Диссертация опубликована на ... стр. ма-

шинописного текста, содержит .. .таблиц и .. .рисунков. Список литературы включает 40 источников.

Краткое содержание диссертации

Первая глава «Спинорная реализация модели Скирма» основана на публикации [1].

В этой главе рассматривается вариант спинорной реализации киральной модели Скирма, для которого строится топологический заряд типа степени отображения. При этом гамильтониан модели оценивается снизу через топологический заряд, что обеспечивает устойчивость конфигураций, реализующих нижнюю грань энергии. При обосновании своей модели Скнрм исходил из глубокой идеи о спонтанном нарушении киральной симметрии. При этом поле принимало значения на трёхмерной сфере ¿Г3, то есть задавалось евклидовым 4-вектором Фа, а = 1, 2, 3, 4, подчинённым связи

(5)

П=1

На наш взгляд, условие (5) очень привлекательно, но выглядит искусственно. Хотелось бы, чтобы это условие возникало в теории естественным образом. Целью настоящей работы как раз и является построение такого рода модели, нолевой переменной в которой является релятивистский спинор ф, преобразующийся по фундаментальному представлению внутренней (изотопической) группы 5С/(2).

В первом параграфе этой главы рассматривается киральная модель Скирма и доказывается необходимость введения спинорного ноля.

Во

втором параграфе этой главы предлагается подход, использованный Ж. Лошаком, в котором ограниченный спинор ф представляется в виде групповой матрицы, действующей на фиксированный 8-спинор

имеющий только две нетривиальные составляющие , £5 € С:

-ф = ехр (¿75^) ехр ехр (i^j Л£, (6)

где д = (ёт), и = (шт), т ~ матрицы Паули, Л — матрица Лоренца.

В третьем параграфе находятся билинейные тождества для 8-спинорного поля в представлении Лошака.

В этом параграфе был получен ряд билинейных спинорных тождеств для указанных спинорных полей:

s2 + а2 = р2 + V2 = jtf" = -ЗцЗ'1, sp - (ва) = j^f = (a^v!1) = 0 ,

2(s2 + р2) - = Ы;гЛ = -(а,аП , (?)

sv -f pa = vfl v'1 - -j,,a" ,

. [«а] = 3idl = j^v!1 ■ Если принять гипотезу Скирма о спонтанном нарушении кираль-ной симметрии и учесть граничное условие Ф4(г = 00) = 1, выделяющее вакуумное состояние фпак = ф{оо), то поскольку вакуум характеризуется нетривиальным значением величины

SBак = (Фоо4'оо) = Rq = const > 0 ,

можно получить следующее естественное соотношение

— R2,

где R = {JltJ")i ^ |S| > 5вак = Я0.

В четвёртом параграфе проводится оценка энергии снизу через топологический заряд.

В пятом параграфе приводятся краткие выводы из этой главы. Вторая глава «Струнное приближение в 8-спинорной полевой модели» основана на публикациях [2-4].

Используются радиальная х и угловая у тороидальные координаты:

О^ХСОО, -7Г < У ^ +7Г, 0 < ф < 27Г. 9

В этой главе изучается лептонный сектор нелинейной 8-снинорной модели. Основной задачей нашей работы является построение спинор-ных солитонных конфигураций, наделённых нетривиальным индексом Хопфа, который играет роль лептонного числа. С этой целью мы строим солитоннуго конфигурацию в тороидальных координатах. Причиной для такого построения является структура предлагаемого решения. Как было показано Фаддеевым, последнее представляется в виде замкнутой закрученной струны. Так как рассматривается замкнутая струна с радиусом замыкания а, значительно превышающим радиус сечения струны г0, то данное приближение называется струнным.

В первом разделе первого параграфа рассматривается постановка задачи. Для этого вводится лагранжева плотность в следующем виде:

С = —TJ^YD"^.!,, + ~flwr-

- у(V - - + G(I)} -

Такой лагранжиан допускает дискретную группу щ О- Хг, где щ, Хг — суть 2-спииоры, i = 1, 2. Это приводит к тому, что инвариантное поле имеет вид щ = Xi- Последнее соотношение определяет лептонный сектор, поскольку можно доказать, что уравнение гг = |ФтФ|2 = const, определяет многообразие S2. Тогда с учётом свойства гомотопических групп можно получить, что tt3(S2) = Ъ. Это определяет модель Фаддее-ва.

Во втором разделе этого параграфа формулируется теорема Коулмена-Пале, на основании которой по заданной непрерывной группе симметрии можно найти класс инвариантных полей, совместимых с условием экстремума действия.

В третьем разделе первого параграфа изучается группа симметрии:

G = diag[Gi (8) G2] <8> diag[Gi <8> G3], Gi : ф ei5ai>, 5ф = i-баф, G'2 ф ф + 0ф, ij>-+ еШфф , 5ф = Шфф , где J3 = -гдф + iст3 ,

G'i : у у + 5у, ф -» е'Ру6уф, = гру6уф, где = —¿Зу ,

ífciPy^! = (сг3 - 1)§</?1 , fci = ^,

= (о-з + l)f<¿>2 , = ^ , пь ?г2 е Z. В качестве решения этих уравнений получим

ф = col ^iíi, V2e~i^~T>2V\ U2J

На основе этой конфигурации в четвёртом разделе вычисляется топологический заряд Qh = пi 4- П2-

В пятом разделе этого параграфа вычисляется лагранжева плотность, и с использованием следующей подстановки:

«1 = у/R sin i? sin Ф1, w2 = Vñ cos j? sin Ф2егФз, Vi = Vr SÍni?COS$i, V2 = Vr cos i? cos Ф2егф4,

вычисляется действие в тороидальных координатах. При этом граничные условия при х +оо выглядят следующим образом:

R Ro , 1? i?o , Фг |, Ф2 |, Л) Ло , Л -> о, А2 ->■ О, Аз ->■ Азо.

Во втором параграфе, после варьирования действия на малых рас-

стояниях ири х —> +оо находятся решения, имеющие следующий вид:

R = До + R\e'2x , 0 = 0о + »

Фх = | - 2 arctg е~щх , Ф2 = | - 2 arctg е""2*, Ф£ = е0^ ,

А0 = Аоо - Апе~2х , Аз = Азо - А3ie"2x,

Ai = Ane-21 - А12е~4х , Л2 = A21e~2x - A22e~4x .

В третьем параграфе исследуются солитонные конфигурации на больших расстояниях, когда х —> 0. В этой области поля очень малы, поэтому рассматривается действие как квадратичный функционал, так как уравнения поля будут линейными. В этой области, когда х —> 0, зависимость полей от координаты у будет существенна, поэтому все поля рассматриваются как функции от ж и у.

Для этого вводится снинорное ноле в таком виде:

Ф = C0l(f,Ui,U2,U2) ,

где £ = £о + £ъ £о.......вакуумное решение.

Варьируя действие и решая полученные уравнения, можно найти следующий вид асимптотических полей:

■щ = , / —— Uio у/ch х- — eos у th х,

u2 = u2Q\/chx - cosy^l - th2,

= ^ lo ^^ y/chx — eos ye"miV , ch'x

ib = t>2o S 2 \/ch x - eos yeTm'lV , ch £

A0 = -^дл/chx - eos y (l - ^th2xj ,

Л3 = A th2 x(l + th2 x \/ch x — eos y \ o¿

Ax = A2 = 0.

В четвёртом параграфе предлагается ряд пробных функций при условии, что электромагнитное поле очень мало. После чего проводится

оценка массы, спина и магнитного момента — в нервом, втором и третьем разделах этого параграфа, соответственно.

В пятом параграфе приводятся краткие выводы из этой главы. Третья глава «Новые возможности 8-спинорной модели» основана на полученных результатах диссертационной работы. В ней рассматривается следствие объединения двух моделей (Скирма и Фаддеева) в рамках 8-спинорной полевой модели, и выясняется, как топология позволяет классифицировать состояния в лептонном секторе.

В первом параграфе этой главы приводятся общие характеристики и классификации частиц лептонного сектора.

Во втором параграфе рассматривается один из возможных вариантов классификаций лептонного сектора при выборе разных многообразий.

В третьем параграфе предлагается другая возможность классификации лептонного сектора в рамках одного многообразия.

В четвёртом параграфе рассматривается проблема универсальности вакуума.

В пятом параграфе приводятся краткие выводы из этой главы. В диссертации имеются приложения, включающие в себя все нужные математические формулы и расчёты.

Заключение: В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Основные результаты работы

1. Найдены асимптотические решения в струнном приближении при х —> +оо.

2. Найдены асимптотические решения при х —>■ 0 в тороидальных координатах.

3. Найден ряд билинейных спинорных тождеств для ограниченного 8-спинорного поля.

4. Найдены оценки для массы, спина и магнитного момента в случае конфигурации с топологическим зарядом Qh = 2.

Основные результаты диссертации опубликованы в ниже следующих работах:

В научных журналах, рекомендованных ВАК:

1. Рыбаков Ю.П., Фарраж Н.А. Сиинорная реализация киральной

модели Скирма Ц Вестник РУДН, Серия «Физика»........ 1996.........№ 4,

Вып. 1. - С. 59 64.

2. Rybakov Yu. P., Farraj N., Umniyati Yu. Chiral 8-Spinor Model with Pseudo-Vector Interaction // Bulletin PFUR. Series "Mathematics. Information Sciences. Physics". - 2012. - № 3. - P. 138-141.

3. Rybakov Yu. P., Farraj N., Umniyati Yu. Topological Soliton Configurations in 8-Spinor Nonlinear Model // Bulletin PFUR. Series "Mathematics. Information Sciences. Physics". - 2013. - № 3. - P. 130137.

В других научных журналах и материалах научных конференций:

4. Рыбаков Ю.П., Аби Фарраж Наджиб. Ум. Умнияти. // Тезисы доклада на IL Всероссийской конференции по проблемам физики ча-. стиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники, РУДН, Москва, 14-17 мая 2013. - С. 75-79.

5. Рыбаков Ю.П., Фарраж Н.А. Аксиально-симметричные поля Янга-Миллса // Тезисы доклада на 31-ой научной конференции факультета физико-математических и естественных наук, РУДН, Москва, 15-29 мая 1995. Часть II. Физические секции. — С. 41.

6. Рыбаков Ю.П., Фарраж Н.А. О структуре спинорных конфигураций в киральных моделях // Тезисы доклада на 30-ой научной конференции факультета физико-математических и естественных наук, РУДН, Москва, 16-30 мая 1994. Часть I. Физические секции. — С. 31.

7. Рыбаков Ю.П., Фарраж H.A. О структуре спинорных полевых моделей Ц Тезисы доклада на 29-ой научной конференции факультета физико-математических и естественных наук, РУДН, Москва, 17-31 мая 1993. Часть I. Физические секции. — С. 50.

АННОТАЦИЯ

Аби Фарраж Наджиб Локализованные состояния в нелинейных сигма-моделях

В работе предложена 8-спинорная реализация киральной модели Скирма, где 8-спинорное иоле представлено в виде групповой матрицы, действующей на фиксированный 8-спинор имеющий только две нетривиальные составляющие £5 € С. При этом найден ряд билинейных спинорных тождеств и показано, что энергия оценивается снизу через топологический заряд.

Рассмотрена 8-спинорная полевая модель, в которой путём использования теоремы Коулмена Пале для нахождения инвариантных "Цолей при предлагаемой группе симметрии получены асимптотические решения на малых (струнное приближение) и больших расстояниях. Получены оценки массы, спина, магнитного момента конфигурации с индексом Хопфа Qh = 2.

ABSTRACT

Abi Farraj Najib Localized states in nonlinear sigma-models

In this work, we consider spinor realization of the chiral Skyrme model, where 8-spinor £ was taken in the form of group matrix acting on a fixed 8-spinor £ with two nontrivial components £1, £5 G C. Some biquadratic spinor identities were obtained with the energy in the model being estimated from below by the topological charge.

By using the theorem of Coleman™ Palais for searching invariant fields under the suggested continuous group symmetry asymptotic solutions at small (string approximation) and at large distances were found. Mass, spin and magnetic moment were estimated for the soliton with Hopf's index Qh = 2-

Подписано в печать 14.10.2013 г. Формат 60x84/16. Печать офсетная. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 1437 Российский университет дружбы народов 115419, ГСП-1, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3 Типография РУДН 115419, ГСП-1, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, тел. 952-04-41

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

На правах рукописи

04201363784

Аби Фарраж Наджиб

ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ СОСТОЯНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ

СИГМА-МОДЕЛЯХ

01.04.02 — теоретическая физика

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Рыбаков Ю.П.

Москва 2013

Оглавление

Введение 5

1 Спинорная реализация 5£/(2) киральной модели Скирма 13

1.1 311(2) киральная модель Скирма................................13

1.2 Введение спинорного поля........................................15

1.3 Билинейные спинорные тождества для 8-спинора в представлении Ж. Лошака................................................16

1.4 Оценка энергии снизу через топологический заряд............18

1.5 Краткие выводы..................................................20

2 8-спинорная полевая модель с учётом нелинейной электродинамики Ми 22

2.1 8-спинорная полевая модель......................................22

2.2 Струнное приближение..........................................31

2.3 Решение при малых х: х —> 0....................................34

2.4 Оценки наблюдаемых характеристик солитона................36

2.5 Краткие выводы..................................................40

3 Новые возможности 8-спинорной модели 42

3.1 Общие характеристики классификации частиц лептонного

сектора ............................................................42

3.2 Классификация частиц лептонного сектора в рамках разных многообразий ......................................................44

3.3 Классификация частиц лептонного сектора в рамках одного многообразия ......................................................45

3.4 Проблема универсальности вакуума............................46

3.5 Краткие выводы..................................................47

Заключение 49

Приложение А: Вычисление спинорной связности 50

Приложение Б: Вычисление лагранжевой плотности в струнном приближении 58

Приложение В: Струнное приближение в тороидальных координатах 64

Приложение Г: Вычисление римановых инвариантов для случаев струнных решений 72

Приложение Д: Решения уравнений поля на больших и малых расстояниях 77

Литература 83

Введение

Изучение широкого класса физических явлений приводит к необходимости изучения нелинейных волновых уравнений, главной отличительной особенностью которых является существование особого рода решений, получивших название солитонных и описывающих локализованные долгожи-вущие возбуждения нелинейных систем. Эти локализованные структуры стали объектом пристального внимания физиков и математиков в последней четверти XX века, что привело впоследствии к формированию новой области математической физики - теории солитонов. При этом выяснилась фундаментальная роль солитонов в существенно нелинейных процессах, отвечающих сильным возбуждениям.

К одному из классов моделей, описывающих нелинейные процессы, относятся так называемые нелинейные сигма-модели, допускающие существование солитоноподобных локализованных состояний.

Локализованные состояния — это состояния, обладающие конечными значениями энергии, импульса, заряда и т.д.

Нелинейные сигма-модели — это модели, допускающие спонтанное нарушение симметрии. Последнее соответствует тому, что лагранжиан и вакуумные состояния допускают разные группы симметрии.

Солитоноподобные возбуждения возникают в нелинейных динамических системах при достаточно сильном воздействии на них сторонних сил, а также в результате нелинейных эффектов самодействия, причем возникаю-

щие локализованные структуры обладают рядом необычных для линейной физики свойств, в частности, удивительной устойчивостью.

Солитоноподобные объекты обнаруживаются как при исследовании макроскопических явлений в гидродинамике, физике плазмы, нелинейной оптике, теории твердого тела, так и в микроскопической области. Например, киральные солитоны успешно применяются в ядерной физике для моделирования структуры и основных динамических характеристик бари-онов как протяженных частиц.

В настоящей работе используется идея Эйнштейна [1] об описании частиц в виде сгустков некоторого материального поля или, иными словами, солитонная концепция Эйнштейна-де Бройля. Эта идея получила широкое распространение при построении разных моделей, ставящих своей целью описание структуры элементарных частиц.

В рамках таких моделей, следуя концепции Эйнштейна, можно получить такие характеристики, как массы частиц, их спины, магнитные моменты и т.д., как наблюдаемые параметры локализованной полевой конфигурации, наделённой нетривиальным топологическим зарядом, т. е. топологическим солитоном.

Напомним, что топологическими солитонами принято называть регулярные решения полевых уравнений с конечными динамическими характеристиками, которые выделены среди множества солитонных решений нелинейных уравнений тем, что наделены топологической характеристикой типа степени отображения, инварианта Хопфа, индекса Чженя-Понтрягина и т.д. Под солитонами обычно понимают локализованные в конечной области возмущения нелинейной среды, которые

1. распространяются без деформаций, перенося энергию, импульс, момент импульса;

2. сохраняют свою форму и структуру при взаимодействии с другими солитонами;

3. могут образовывать связанные состояния и ансамбли (т. е. ЛГ-солитонные состояния).

Однако такими свойствами, в основном, обладают только одномерные солитоны. Распространение этих представлений на реальный трёхмерный случай было предпринято английским физиком-ядерщиком Скирмом в 1954 г., которому принадлежит замечательная идея рассматривать барио-ны как топологические солитоны. В настоящее время наибольшую известность получили две модели, в которых были рассмотрены, соответственно, протяжённые топологические структуры: тяжёлые (барионы) и легкие (лептоны) частицы.

• В первой модели (Скирм, 1954 г.) [2, 3] топологический заряд =

—)• 5*3) интерпретировался как барионное число В и играл роль генератора гомотопической группы 7т3(53) = Т.

• Во второй модели (Фаддеев, 1972 г.) [4, 5] инвариант Хопфа интерпретировался как лептонное число Ь и играл роль генератора гомотопической ГруППЫ 7Гз(52) = 2.

При этом топологический заряд возникает как геометрическая характеристика полевого многообразия модели. Это характерно для киральных

моделей, для которых поле принимает значения в некоторой группе, сфере или однородном пространстве.

Существуют два различных типа топологических солитонов: кираль-ные солитоны, характерные для физических полей, исчезающих на бесконечности, и Хиггсовские солитоны, характерные для полей с нетривиальными и различными асимптотиками на бесконечности и вырожденным классическим вакуумом [6].

Имеется ещё одна возможность — использовать нетривиальную топологию самого пространства-времени, но в данной работе она не рассматривается.

Известны модели, допускающие существование топологических солитонов, наблюдаемых на практике. Например, это вихри в сверхпроводниках [7]. Скирмионы представляют собой топологические солитоны в модели Скирма, которые могут описать форму и характеристики лёгких ядер.

Киральные солитонные модели, предложенные Скирмом в 1961 году, дают возможность относительно простого описания барионных систем с различными свойствами, основанного на малом количестве исходных принципов. В рамках модели Скирма удаётся сравнительно простыми средствами удовлетворительно описать взаимодействие нуклонов, основные статические свойства барионов. Будучи относительно простой, эта модель в целом верно схватывает основные симметричные и структурные свойства барионов. Согласно гипотезе Скирма, барион трактуется как киральный солитон, возникающий в результате коллективного возбуждения пионных полей, наделённый нетривиальным топологическим зарядом, интерпретируемым как барионное число. В рамках моделей с топологическим зарядом,

в которых энергия оценивается снизу через топологический заряд, могут существовать абсолютно устойчивые солитонные решения, реализующие нижнюю грань функционала энергии.

В 1973 г. Фаддеев предположил, что в рамках сигма-модели на 0(3), модифицированной добавочным членом типа Скирма, должны существовать замкнутые струно-подобные топологические солитоны, наделённые целочисленным индексом Хопфа.

За последние годы было предпринято несколько попыток получить точные солитонные решения в ряде моделей с масштабной симметрией [8]. В модели Фаддеева топологически нетривиальные конфигурации могут обладать, самое большее, аксиальной симметрией [9]. Таким образом, ситуация отличается от модели Скирма с целевым пространством 5'3, где (ф = 1) солитон сферически-симметричен. В схеме Фаддеева солитон с минимальной энергией при С^н = 1 имеет тороидальную форму (замкнутая закрученная струна).

В этих двух моделях нет возможности получить полуцелый спин частицы. В модели Скирма пионное поле является изоскалярным, а в модели Фаддеева и поле является векторным. Одним из возможных путей для обеспечения существования полуцелого спина в построенных моделях является введение спинорного поля. Такая попытка была предпринята Рыбаковым Ю.П. в работах [10, 11].

В данной работе предлагаются два варианта спиноризации. Первый вариант — это спинорная реализация киральной модели Скирма (Глава 1). В этой главе получены два важных результата:

1. Получено условие сферы 53 естественным образом, а именно,

<р§ + <^ = Я§, а = 1,2,3;

2. Оценена энергия снизу через топологический заряд.

Во втором варианте (Глава 2) предлагается способ построения модели, объединяющей оба вышеперечисленных подхода (Скирма-Фаддеева) на основе обобщённой нелинейной электродинамики Ми [12] в рамках эффективной 8-спинорной полевой модели.

Для спинорной реализации всех возможных моделей кирального типа используется геометрическое тождество Бриоски, согласно которому [13]:

V - V" = 52 + р2 + V2 + а2, (1)

где билинейные спинорные комбинации в, р, V, а, и представлены в следующем виде:

5 = фф; р = гФ75Ф; V = ФтФ;

а = гФ7мтФ; = = Ф7/У5Ф;

ф == Ф+7о — дираковски сопряжённый 8-спинор,

т — матрицы Паули во внутреннем изотопическом пространстве,

7М — матрицы Дирака в представлении Вейля, 75 = 7^.

Если записать 8-спинор в виде столбца Ф = 001(^1,^2); ^г = со1(уг5 Хг)>

г = 1, 2, где Хг суть 2-спиноры, тогда, с помощью (1) нетрудно доказать,

что

2 V* = з2 + р2 + V2 + а2 + Д2, (2)

где Д2 = 8[(^1X^2) + (Х|Х1)(Х2+Х2) - |Х?Х2|2 - Ыч>2?] > 0.

Структура тождества (2) приводит к тому, что потенциал Хиггса, приводящий к спонтанному нарушению симметрии, в 8-спинорной модели

естественным образом можно представить как функцию от З^З1':

2

У = - *

8

где (7 и хо — два параметра потенциала Хиггса.

Для получения локализованной солитоноподобной конфигурации необходимо задать естественное граничное условие на бесконечности:

Из условия (4) и известных свойств гомотопических групп для сферы

следует, что ттз(Зп) = 0 для п ^ 4и существуют только две возможности получить состояния с нетривиальным топологическим зарядом для п < 4:

1. 7Гз(53) = 7. (модель Скирма),

2. 7Гз(52) = Ж (модель Фаддеева).

Например, если вакуумное состояние Фо характеризуется значением з(Фо) Ф 0> тогда киральный инвариант в2 + а2 определяет сферу 53 как полевое многообразие, что соответствует модели Скирма. С другой стороны, если только г'з(Фо) Ф 0, тогда инвариант V2 определяет в2 как полевое многообразие, что соответствует модели Фаддеева. Цель настоящей работы:

1. Построить 8-спинорную нелинейную полевую модель, учитывающую взаимодействие спинорного поля с электромагнитным полем, для которой модели Скирма и Фаддеева возникают как частные случаи;

2. Построить солитоноподобные решения в 8-спинорной модели с нетривиальным топологическим зарядом типа индекса Хопфа;

Ит 3^3^ = Хд.

[г|—»+оо

(4)

3. Оценить такие характеристики топологических локализованных конфигураций, как спин, масса и магнитный момент.

Настоящая диссертация состоит из введения, трёх глав, пяти приложений, заключения, списка литературы.

В первой главе предлагается простейший вариант спиноризации модели Скирма при использовании 8-спинора в представлении Лошака. В результате получен ряд билинейных спинорных тождеств, и энергия оценивается снизу через топологический заряд.

Вторая глава посвящена анализу структуры солитонов в струнном приближении на больших расстояниях (х —>■ 0) и анализу структуры солитонов на малых расстояниях (х -» +оо). Предлагается ряд пробных функций, через которые можно найти численные характеристики солитонов (массу, спин, магнитный момент) для индекса Хопфа С^н = 2.

В третьей главе приводится описание разных конфигураций (топологических) в результате объединения двух моделей (Скирма и Фаддеева) в рамках 8-спинорной полевой модели.

Основные результаты диссертации перечислены в заключении.

В диссертации имеется несколько приложений, где приводятся основные вычисления, которые понадобились в ходе подготовки работы.

1. Спинорная реализация 5С/(2) киральной модели

Скирма

1.1. 5£/(2) киральная модель Скирма

Более тридцати лет назад Т.Х.Р. Скирм предложил оригинальную модель сильных взаимодействий, в которой барионы выступали как стабильные протяжённые объекты — топологические солитоны [14]. При обосновании своей модели Скирм исходил из глубокой физической идеи о спонтанном нарушении киральной симметрии в её нелинейной реализации [15]. При этом поле принимало значения в нелинейном многообразии — трёхмерной сфере 53, т. е. задавалось евклидовым 4-вектором фа, а = 1, 2, 3, 4, подчинённым связи

4

$>°)2 = 1- (1-1)

п—1

Группой внутренней симметрии модели Скирма является 0(4), группа вращений сферы (1.1). При этом киральные преобразования соответствуют поворотам, затрагивающим ф4, а граничное условие

ф\г = оо) = 1 (1.2)

является выражением спонтанного нарушения киральной симметрии. Благодаря условию сферы (1.1) и граничному условию (1.2) в теории существует тождественно сохраняющийся топологический заряд С^, совпадающий со

степенью отображения 53 —» 53:

^ = тк2£'°к£аЬЫ /ё3 хд^а Ф* с1-3)

и интерпретируемый как барионное число. Соответствующий барионный ток имеет вид

= дафь дтфсфл, (1.4)

где принято £0123 = £1234 = 1 и греческие индексы /л, и, а, т = 0, 1, 2, 3 относятся к пространству-времени Минковского.

Лагранжиан модели Скирма, имеющий (в универсальных единицах Н = с = 1) вид:

ь3 = ^2д»фад»фа - ^ [(дмфадуа)2 - (д,фад"фа)(ду%фь)], (1.5)

строился так, чтобы энергия Е оценивалась снизу через барионный заряд (1.3):

Е > 67Г2\/2^|(5|, (1.6)

Л

где е, А — параметры модели.

Благодаря оценке (1.6) состояние, реализующее минимум энергии при заданном заряде оказывается устойчивым. Последнее согласуется, в частности, с представлением о стабильном нуклоне как солитоне с топологическим зарядом = I, реализующем абсолютный минимум энергии в первом гомотопическом классе.

Отмеченная привлекательная черта модели Скирма омрачается, однако, явной искусственностью связи (1.1). Хотелось бы, чтобы это условие возникало в теории естественным путём. С другой стороны, в модели Скирма физическое поле является изоскалярным. Такое поле могло только

описывать гидродинамическую систему. Поэтому Скирму пришлось рассматривать вращающиеся конфигурации и осуществлять квазиклассическое квантование найденных полей для того, чтобы получить нужные физические характеристики элементарных частиц. При этом возникла проблема квантования, которую не всегда удаётся решить. Одним из возможных путей, с помощью которого можно избежать появления такой проблемы, является введение спинорного поля, с помощью которого можно получить необходимые динамические характеристики, такие как спин, магнитный момент и другие.

Целью настоящей работы как раз и является построение такого рода модели, полевой переменной в которой является релятивистский спинор ф, преобразующийся по фундаментальному представлению внутренней (изотопической) группы 5/7(2). При этом, как выяснится, связь (1.1) оказывается следствием одного из биквадратных спинорных тождеств [16, 17].

1.2. Введение спинорного поля

Для получения спинорных тождеств в работах [16, 17] была разработана эффективная методика, которая, однако, лишена физической наглядности. Более удачен, на наш взгляд, групповой метод, применённый в работе [18], в основе которого лежит представление спинора ф в виде групповой матрицы, действующей на фиксированный 8-спинор имеющий только две нетривиальные составляющие £1, £5 € С. (В этом подходе был доказан ряд билинейных тождеств для 4-спинора. Такой результат упрощает вычисления матричных элементов в квантовой механике.)

Такой спинор можно представить в виде-

ф — ехр(г75(/?/2) ехр(г75^/2) ехр(го)/2)Л£, (1 7)

где обозначено О = (От), & = (^¿z), Z — матрицы Паули. Л — матрица Лоренца, 75 = г7°717273, — матрицы Дирака Составляя вещественные билинейные комбинации'

5 = (фф), р = г(фъФ), V = (фтф), а = г(фъгф), (1 8) Э» = (ФЪ'Ф)> Jfx = {ФъъФ), У-р, = (Ф^Уцтф), а^ = (ф!рътф)- (19) где ф = ф+7°, мы и получим для них ряд соотношений.

1.3. Билинейные спинорные тождества для 8-спинора в представлении Ж. Лошака

На основе выше предложенного метода, используя представление (1 7) и учитывая, что

е-г(тШ)/2тег(тШ)/2 = C0SUT _ gin ^ [�