Структура и устойчивость самогравитирующих скирмионов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

А 1 ; Ч Ч

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

Тарабай Адель Мохамад

СТРУКТУРА И УСТОЙЧИВОСТЬ САМОГРАВИТИРУЮЩИХ СКИРМИОНОВ

01.04.02 — теоретическая физика

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Научный руководитель: доктор физико-математических наук профессор Рыбаков Ю. П.

Москва 1999

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ........................................ 3

ГЛАВА I. СТРУКТУРА SU(2) МОДЕЛИ СКИРМА И

МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ РЕГУЛЯРНЫХ РЕШЕНИЙ

§ 1.1. Свойства солитонов в SU(2)

киральной модели Скирма .................. 13

§ 1.2. Нейтральные вихри в модели Скирма .......... 27

§ 1.3. Нейтральные вихри в модели Скирма - Эйнштейна 35

ГЛАВА II. ТОПОЛОГИЧЕСКИ ЗАРЯЖЕННЫЕ ВИХРИ В SU(2) МОДЕЛИ СКИРМА

§ 2.1. Заряженные вихри в плоском мире ............ 52

§ 2.2. Заряженные вихри в общей теории

относительности в модели Скирма............. 64

ГЛАВА III. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СОЛИТОНЫ В SU(3) КИРАЛЬНОЙ МОДЕЛИ

§ 3.1. Структура интерполирующего анзаца .......... 70

§ 3.2. Структура гамильтониана и топологического

заряда для интерполирующего анзаца .......... 73

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.................................... 79

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ............................ 80

ВВЕДЕНИЕ

Анализ трудностей, встречающихся при попытках построения последовательной полевой теории элементарных частиц, показывает, что проистекают они главным образом из-за неумения сохранить в релятивистской квантовой теории образ протяженной частицы. Разделяя мнение Дирака о том, что последовательная квантовая теория должна опираться на хорошую классическую теорию, мы предварительно обратимся к описанию протяженных частиц в рамках классической нелинейной теории поля.

На богатые возможности нелинейной теории поля в описании протяженных частиц неоднократно указывали В.Гейзенберг, Д.Д.Иваненко [57], Я.П.Терлецкий [56] и другие авторы. Особенно отметим направление, восходящее к Г.Ми [58] и А.Эйнштейну [59], в основе которого лежит представление о материальных частицах как сгустках некоторого поля, полевых образованиях с повышенной по сравнению с другими частями пространства концентрацией энергии. С этой точки зрения, частицы должны описываться регулярными, т.е. не имеющими особенностей, локализованными решениями некоторых нелинейных уравнений поля, исчезающими на пространственной бесконечности, которым приписываются конечные энергия, импульс, спин и другие динамические характеристики. Такие решения называются солитонами. Солитоны характеризуются следующими свойствами: а) это локализованные в конечной области возмущения нелинейной среды; б) которые распространяются без деформаций, перенося энергию, импульс, момент импульса; в) сохраняют свою форму и структуру при взаимодействии с другими подобными образованиями; г) могут образовывать связанные состояния.

Солитоноподобные решения нелинейных уравнений находят широкое применение в различных областях физики. Они обнаружива-

ются как при исследовании макроскопических явлений — в гидродинамике, физике плазмы, нелинейной оптике, теории твердого тела, механике сплошных сред и теории гравитации, так и в микроскопической области. Например, киральные солитоны успешно применяются в ядерной физике для моделирования структуры протяженных частиц [6,33].

Как было установлено в работах [20], многомерные солитоны могут быть только условно-устойчивыми. Это означает, что начальные возмущения должны удовлетворять некоторым дополнительным физическим условиям. Обычно это условия типа фиксации некоторых интегралов движения обобщенных зарядов. С этой точки зрения, топологические солитоны оказываются выделенными. Они появляются в моделях, допускающих абсолютное, т.е. не зависящее от уравнений поля, сохранение некоторых величин (называемых топологическими зарядами), не меняющихся при непрерывной деформации поля и принимающих целочисленные значения.

Д.Финкелынтейн, Ч.Мизнер [35] и независимо от них Т.Скирм [15] в конце 50-х годов впервые ввели в физику топологическую классификацию решений уравнений поля и новый тип законов сохранения, получивших название топологических. В работах Ю.П.Рыбакова впервые была доказана определяющая роль топологии в стабилизации киральных конфигураций в моделях Скирма и Фадцеева (с полевыми многообразиями 53 и Б2 соответственно) [22,23]. Кираль-ная модель Скирма предложена ее автором в 1961 году для описания свойств ядерной материи в терминах мезонных полей. Скирм интерпретировал топологический заряд как барионное число, а солитон-ное возбуждение мезонного поля — как барион. Интерес к модели Скирма значительно вырос после появления работ Виттена [37,38], в которых было установлено, что квантовая хромодинамика в пределе большого числа цветов оказывается эквивалентной эффективной

мезонной теории, которая в низкоэнергетическом пределе аппроксимируется нелинейной сигма-моделью со спонтанно нарушенной ки-ральной симметрией. Именно к таким моделям и относится модель Скирма.

В рамках модели Скирма удается сравнительно простыми средствами удовлетворительно описать взаимодействие нуклонов, основные статические свойства барионов. Будучи относительно простой, эта модель в целом верно охватывает основные симметрийные и структурные свойства барионов.

Первоначально Скирм поставил перед собой задачу получить ответ на вопрос: "Почему экспериментальные измерения радиуса ядра различными методами приводят к существенно разным результатам?" В экспериментах по а-распаду и по рассеянию тяжелых ядер было установлено, что радиус ядра может быть выражен формулой К = 1,5 А1у/3 • Ю-13 см, где А — число нуклонов в ядре. В то же время эксперименты по рассеянию быстрых электронов на ядрах приводили к существенно меньшему значению для радиусов ядер: к = 1,2 а1/3 • 10 см. Скирм предложил рассматривать ядро как некоторую несжимаемую электрически нейтральную плотную жидкость, заполняющую шарообразную область радиуса Л. В жидкость погружены нуклонные источники, сильно взаимодействующие с пионами и занимающие область меньшего радиуса В'. Согласно гипотезе Скирма, барион трактуется как киральный солитон, возникающий в результате коллективного возбуждения пионных полей.

Основным объектом в модели Скирма является поле £/(<£>), принимающее значения в группе 811(2) и параметризуемое при помощи изовекторного поля сра, а = 1,2,3, следующим образом:

11{чр) = ехр (т<Х<9), где П — = эт(9; (7 — матрицы Паули.

Скирмионы с топологическим зарядом >> 1 находят широкое применение в астрофизике, где, безусловно, необходим учет гравитации. Учет собственного гравитационного поля солитонов может влиять на их устойчивость. Из физических соображений ясно, что гравитация, как стягивающее поле, должна стабилизировать материю. Примеры подобного рода рассмотрены в работах Ю.П.Рыбакова.

Существенным препятствием для дальнейшего исследования возможностей киральной модели Скирма и для построения на ее основе последовательной квантовой схемы является невозможность получения явных аналитических решений уравнений модели, хотя их существование было доказано[20, 21, 22, 23].

Киральная модель Скирма допускает существование регулярных топологических решений со структурой сферически-симметричного и аксиально-симметричного типов. Так, установлено [15-24], что при |(5| = 1 абсолютный минимум функционала энергии достигается на "ежовом" анзаце, а при |(5| > 1 — на аксиально-симметричных подстановках (тороидальная структура).

Ввиду неинтегрируемости уравнений модели, в данной диссертации предлагается аппроксимировать локализованные структуры с топологическим зарядом > I замкнутыми струнами (вихрями), подчиняющимися значительно более простым уравнениям. В качестве первого шага в этом направлении предлагается простая нейтральная вихревая конфигурация. На ее примере будет продемонстрирован предложенный метод. Следующим шагом будет переход к конфигурациям с ^ 0. Тороидальные структуры возникали в литературе при исследовании различных задач [67].

При учете гравитации анализ соответствующих уравнений показал, что задача оказывается эквивалентной механической, если использовать гармонические координатные условия и ввести новые переменные.

Для нахождения соответствующих решений системы уравнений Скирма-Эйнштейна был разработан аналитический метод. Отметим, что струноподобные конфигурации могут найти приложения в космологии и астрофизике.

Кратко изложим содержание диссертации.

Глава I "Структура SU(2) модели Скирма и метод построения регулярных решении посвящена анализу структуры киральных соли-тонов в модели Скирма и изложению метода нахождения регулярных решений.

В разделе 1.1 дается обзор свойств солитонов в SU(2) модели Скирма. В этой модели рассматривается эффективный лагранжиан для мезонного поля ir(t, г) : R1 0 R3 —у i?3, которое параметризует SU(2) -матрицу U(t,r) = ег<Т7Г, где а - матрицы Паули. Лагранжиан строится из киральных токов /ц = и+д^11 и имеет вид

где А — параметры модели. Первый член в лагранжиане соответствует обычной сигма-модели, а второй (скирмовский) выбирается из требований, диктуемых теоремой Хобарта — Деррика, и допущения, что временные производные входят в лагранжиан квадратично. Солитонные конфигурации, удовлетворяющие естественному граничному условию 7г(£, оо) = 0, обладают топологическим зарядом (5 типа степени отображения:

принимающим целочисленные значения. Энергия в этой модели допускает оценку снизу через топологический заряд

1

16

(1)

(2)

Я > 6TT2V2(£/X) \Q\

. Состояния, реализующие нижнюю грань энергии в заданном гомотопическом классе, т.е. при Q — 7V, являются устойчивыми по Ляп}'нову. Среди допустимых конфигураций особую роль играют G - инвариантные поля (fo(x)1 удовлетворяющие условию

(р0(х) =Tgip0(g~1x), geG,

где Тд - оператор представления группы G. Согласно принципу Ко-улмена - Пале, экстремали G - инвариантного функционала в инвариантном классе являются истинными экстремалями в случае полупростой группы G или унитарных представлений групп Ли. При этом выделены две группы симметрии:

G1 = diag[SO(3)s (8) SO(3)7], G2 = diag[S0(2)s <g> SO(2)7 ], (3)

отвечающие сферически-симметричным и аксиально-симметричным конфигурациям. Ввиду неинтегрируемости уравнений модели Скир-ма используются различные приближенные методы, основанные на подборе подходящей подстановки.

В разделе 1.2 "Нейтральные вихри в модели Скирма" изложен аналитический метод построения в SU(2) киральной модели Скир-

и о /

ма решении, описывающих нейтральные ( с трехмерным топологическим зарядом Q = 0 ) вихревые структуры в плоском мире. Рассматривается следующая статическая G2 - инвариантная подстановка:

U = ехр[гтв(р)1 т = antidiag[eîm^e~imipl 0(0) - тг,0(оо) = 0, (4)

где /?, (р -цилиндрические координаты, m = 1,2,..., — двухмерный топологический заряд. Как следует из теоремы Хобарта — Деррика, регулярные решения такого рода существуют, если дополнить лагранжиан Скирма (1) массовым членом — 2mi;/A2 sin2 0. Подставляя (4) в (1), полагая M = л/2\тж и переходя к безразмерным переменным р = Ал/2е*, —00 < t < +00, запишем энергию в виде:

+ оо

E[0] = ^fdt <92(1 + ¿¿e~¿t sin2 0) + sin2 © + 4M2 sin2 <9/2 .(5)

Используя механическую аналогию, по которой функционал (5) играет роль действия, составляем уравнение Гамильтона - Якоби, в которое введем формальный параметр ¡i с целью построения решения в виде степенного ряда по ¡i в духе Пуанкаре. С помощью этого решения вычисляется линейная плотность массы, которая сравнивается с вариационной оценкой. При этом относительная ощибка составляет при т = 1, 2, • • •, 0.042, 0.0026 • • • соответственно.

Раздел 1.3 "Нейтральные вихри в модели Скирма - Эйнштейна" посвящен анализу структуры редуцированного лагранжиана модели Скирма - Эйнштейна, отвечающего цилиндрически-симметричной конфигурации и изложению регулярного метода потроения струно-подобных решений в этой модели. Метод основан на разложении метрических и полевых функций в степенные ряды по двум малым параметрам, имеющимся в модели. Модель Скирма - Эйнштейна описывает самогравитирующее киральное поле и определяется ла-гранжевой плотностью Cs + Cg, где Сд - эйнштейновская лагранжева плотность, a Cs задается формулой (1). Метрика выбирается в виде:

ds2 = e24t2 - e2adi2 - e^dip2 - e2^dz2,

где /i, a, /3, 7 - функции от обобщенной радиальной переменной £ . Рассматривается подстановка (4) и дискретная симметрия /i ^ 7, которая с учетом гармонического координатного условия а — ¡3 + ¡i + 7 приводит к механической задаче, задаваемой действием

S=£r [ dx[-{u'2 -у'2)-в'2{l + c2e-v/2sin20)-A2 J v

- m2eu~v sin2 <9 - 4M2eu~v/2 sin2 -1,

2

где положено £ = Ху/2, и = 4(/3 + 7), V = 4(3, а и и г2 — безразмерные параметры: V ~ Ю-38, с2 ~ Ю-2. Запишем решение соответствующего уравнения Гамильтона - Якоби при М = 0 в виде ряда

5 - e(u~v)/2 ^ + 1 _ Cos0 + jt£2ne~nV/2K(6>)j ,

где функции Vn(0) строятся рекуррентно, и используем его как реи о о тл

шение для внешней части заряженной струны во второй главе. В частном случае s = 0 отсюда получаем стуноподобное решение для а -модели в общей теории относительности, которое обладает топологическим дефектом на оси и может иметь отношение к космическим струнам.

Глава II "Топологически заряженные вихри в SU(2) модели Скир-

ма" посвящена изложению аналитического метода построения решений, описывающих топологически заряженные вихревые структуры в киральной модели Скирма.

В разделе 2.1 " Заряженные вихри в плоском мире " описан метод построения регулярного струноподобного решения, которое после замыкания дает конфигурацию с Q ф 0. Метод опирается на редуцированное отображение Хопфа и на представление решения уравнения Гамильтона - Якоби в виде формального степенного ряда. Подстановка, порожденная отображением Хопфа, имеет вид:

U — cos ф ехр (гсгзх) + sin^ ехр (га35), (7)

где сг?;, i = 1,2,3 — матрицы Паули; ф, х, 5 — киральные углы. В цилиндрических координатах /?, ip, z:

ф = ф{р), х — ~kz9(a — />), S = тр, к = const, т Е Z.

Здесь 6{х) — ступенчатая функция Хевисайда. В простейшем случае накладываем граничные условия: ф(0) = 7г, ф(оо) = 0. Условие

ф(а) = f необходимо для гладкости сшивания. Наконец, запишем условие замыкания отрезка струны (вихря) длиной I: kl = '2тт, п £ Z, z G При этом прямым вычислением убеждаемся,

что топологический заряд отрезка вихря равен Q = тп. Замена переменной р = \\/2ег сводит задачу к механической. Для ее решения используется метод, который изложен в предыдущей главе. Минимизация по параметрам а и / позволяет получить спектр масс Е = Е(т,п). При этом ветвь Е(т, 1) отвечает "ежовому" анзацу Скирма.

Раздел 2.2 "Заряженные вихри в общей теории относительности в модели Скирма" посвящен анализу уравнений модели Скирма - Эйнштейна в случае подстановки (7). Метод построения решения развит в главе I. При этом внешняя часть струны совпадает с нейтральной струной, а внутренняя часть несет плотность топологического заряда.

Глава III "Топологические солитоны в SU(3) модели Скирма"

посвящена построению гамильтониана в SU(3) киральной модели Скирма на основе специального интерполирующего анза.ца, который включает как частные случаи состояния со сферической симметрией " ежового " типа и типа Шварца - Балачандрана,

В разделе 3.1 " Структура интерполирующего анзаца " отмечается, что в SU(3) - модели Скирма, позволяющей описать странные ба-рионы, допустимы два типа сферически-симметричных конфигураций: " ежовый" и Шварца - Балачандрана, которые отвечают двум возможным реализациям SU(2) — подалгебры. Поэтому для анализа соответствующих топологических локализованных структур в модели желательно учесть оба указанных типа возбуждений. С этой целью предлагается использовать следующий интерполирующий ан-зац:

и _ е1.9(п\)е1.х(тЛ)е-1,фе^(кЛ)2^ ^

где ф = |ф, ТП. п. к - трехмерные единичные векторы, Л = (Лх, Л2, Л3), Л = (Л7,—Лб,Л2), - матрицы Гелл — Манна. При этом допустимо использовать дополнительную связь типа

(п[т, к]) = 0.

В разделе 3.2 " Структура гамильтониана и топологического заряда для интерполирующего анзаца " на основе анзаца (8) вычисляются киральные токи и их коммутаторы и исследуется структура гамильтониана и топологического заряда.

В заключении сформулированы основные выводы по результатам, полученным в диссертации.

ГЛАВА I

СТРУКТУРА SU(2) МОДЕЛИ СКИРМА И МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ РЕГУЛЯРНЫХ РЕШЕНИЙ

§ 1.1. Солитоны в SU(2) киральной модели Скирма

Как уже отмечалось во введении, модель Скирма относится к киральным моделям, допускающим существование стабильных топологических солитонов. Принципиальным при построении таких моделей является геометрическое введение взаимодействия путем наложения связи на полевые функции. Вследствие этого поле принимает значения в нелинейном многообразии - сфере 5n_1, т.е. (p(t,x): R х Rd —»• 5n_1. Полевое многообразие 5n_1 задается уравнением < ср,(р >= 1, где <, > означает скалярное произведение в гг-мерном евклидовом пространстве. Такие модели называются киральными. Требование конечности энергии приводит к граничным условиям для поля на пространственной бесконечности:

(p{t,x) -У (poo,

где (роо — выделенная точка на 5n_1, что позволяет компактифицировать R в

и классифицировать состоян�