Устойчивость упругих тонкостенных систем при самогравитации тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико - математический факультет

Устойчивость упругих тонкостенных систем при самогравитации.

Специальность 01.02.04 -Механика деформируемого твердого тела.

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

На правах рукописи

Хвостунков Кирилл Анатольевич

УДК 530.3

Москва 1995

Работа выполнена на кафедре теории пластичности механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова

Научный руководитель:

Доктор физико-математических наук, профессор В.Д. Клюшников

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор Н.А.Алфутов

Доктор физико-математических наук, профессор В.А.Шачнев

Ведущая организация: Институт Проблем Механики РАН

Защита диссертации состоится 22 декабря 1995 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 053.05.03 в МГУ им. М.В.Ломоносова по адресу:

119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ им. М.В.Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 13-06.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета.

Автореферат разослан 21 ноября 1995 г.

Ученый секретарь Специализированного совета, профессор

Шешенин С. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Традиционно в задачах устойчивости в отношении массовых сил ограничиваются случаем мертвых нагрузок (например вес тела). Но уже для таких нагрузок нахождение критических параметров, сопряженное с интегрированием дифференциальных уравнений равновесия, возможно лишь в некоторых частных случаях.

Основой для эффективных приближенных методов решения задач устойчивости является энергетический критерий устойчивости, базирующийся на принципах возможных перемещений и возможных изменений напряжений. Такой подход приценялся Г. Кирхгофом, Да. Ралеем. Да. Брайаном, С. П. Тимошенко.

Со временем внимание стало уделяться более сложному характеру массовых сил, таких как следящие нагрузки, т.е. зависящие от деформаций упругой системы. Так Пановко и Губанова в своих работах выделяют два типа подобных нагрузок.

К первому типу относятся нагрузки, направление которых задано и неизменно, но значения, тем или иным образом меняются в зависимости от перемещении системы. Примером такого нагружения может служить задача об устойчивости защемленного стержня, находящегося между двумя рядами однородных полюсов магнитов.

Второй тип охватывает случаи, когда направление нагрузок следит за перемещениями упругой системы. Классическим примером такого типа нагружения, хотя и не относящегося к случаю массовых нагрузок, является задача об устойчивсоти стержня, нагруженного реактивной силой.

Было залечено, что при некоторых "следящих" нагрузках с помощью энергетического критерия устойчивотси в его статической постановке определить критические нагрузки не удается. В этих случаях было предложено использовать динамический критерий устой-

чивости. Динамический критерий устойчивости введен Ж.Лагранжем и рассматривался А.Пуанкаре. А.М.Ляпуновым и другими авторами. В этом случае задача сводится к решению дифференциальных уравнений движения системы и изучению поведения этих решений во времени.

В. В. Болотинам были определены условия, при которых статический подход к решению задач устойчивости приводит к тем же результатам, что и более общий, но, вместе с тем. и более трудоемкий, динамический критерий устойчивости. Это условие заключается в самосопряженности краевой задачи. ' Доказано, что в случае консервативных нагрузок, тривиальным частным случаем которых являются "мертвые" нагрузки, задача является самосопряженной и. следовательно, статический подход дает тот же результат, что и динамический.

Гравитационные силы представляют собой особый вид "следящих" массовых нагрузок. Налицо интегральный-характер зависимости от деформаций системы как величины так и направления массовых сил такого типа. Если реактивная нагрузка, в предыдущем примере, относится к классу неконсервативных следящих нагрузок, то силы гравитационного взаимодействия являются консервативными силами, поскольку обладают гравитационным потенциалом.

Гравитационному взаимодействии как самому слабому из четырех типов взаимодействий внимание стало уделяться лишь в последнее время в связи с развитием космической техники. Силы сашгравита-ции - нагрузки, возникающие вследствие взаимного притяжения частиц тела. В условиях открытого космоса различные конструкции можно рассматривать как свободные от каких либо внешних воздействий. Напряженное состояние в них определяется лишь самогравитационными массовыми силами. В этой связи возникает ряд новых задач, напри-

мер, какой длины стержень может устойчиво сохранять свою изначально прямую форму или каковы предельные размеры пластины, остающейся устойчивой в своем докритически плоском состоянии.

Впервые проблема устойчивости классических упругих систем при самогравитации рассматривалась В. И. Феодосьевым. Проблему предлагалось решать статическим методом, путем интегрирования уравнений равновесия. На примере самогравитирующих кольца и стержня, было указано на одну из основных особенностей задач устойчивости при самогравитации, а именно, на сложность определения докритического напряженного состояния системы, более того, одномерное представление кольца и стераня в виде окружности и отрезка приводило в определении массовой нагрузки к неинтегрируемым особенностям.

В. Д. Клюаников предложил решать задачу об устойчивости самог-равитирующего стержня вариационным методом на основе функционала Тимошенко. Определение стационарного значения функционала предлагалось вести методом Релея-Ритца, задавая функцию прогиба как линейную комбинацию кинематически допустимых функций.

Для задания этого функционала также необходимо определить докритическос напряженное состояние стержня. Для этого предлагается воспользоваться решением уравнения Пуассона для потенциала гравитационных сил. Но переход в решении к одномерной модели са-могравитируюцего отрезка привел к резкому завышению значений объемных сил и, следовательно, к низкому значению критической длины.

Далее к этой проблеме обратились Н.А.Алфутов и В.Г.Попов. За основу решения брался энергетический критерий устойчивости. Используемый юли функционал при условии нерастяжимости оси позволил обойтись в задаче устойчивости без определения докритического

состояния. Решение велось методом Релея-Ритца. В итоге было получено выражение для критической длины. Из которого следует, что стержень из стали, например, имеет критическую длину 14*10б метров.

В приведенных работах явно прослеживалась зависимость результата различных методов решения от размерности рассматриваемой модели. Так представление стержня в основной конфигурации в виде одномерного отрезка приводило к необходимости привлечений дополнительных условий (нерастяжимость оси в решении Н.А.Алфутова и Б. Г. Попова) или далее к невозможности решения у В. И. Феодосьева. В то же время увеличение размерности модели (трехмерный параллелепипед в работе В.И. Феодосьева) делает возможным довести решение до конца. Представляется интересным определить общий характер зависимости решения от размерности системы.

Основной характерной особенность» нагрузок самогравитации является тип интегральной зависимости величины и направления сил от деформации всей системы. Для таких нагрузок, вообще говоря, не пригодны общеизвестные функционалы устойчивости, поскольку самогравитационные нагрузки не относятся к разряду "мертвых". Построение общего для произвольных самогравитирущих систем функционала, учитывающего "живость" нагрузок представляет собой, на наш взгляд, особый интерес.

Научная новизна.

1. Определено докритическое напряженное состояние в элементарных функциях в самогравитирущих стержне и пластинах эллиптической и прямоугольной формы в плане. Для стержня получены верхняя и нижняя оценки критической длины.

2. Построен функционал устойчивости произвольного трехмерного сзмогравитирующего тела.

3. Получено решение задачи устойчивости самогравитирущего стержня без дополнительных кинематических гипотез.

4. Выявлен характер зависимости наличия неинтегрируемой особенности в функционале от размерности модели. Показано, что в случае трехмерной модели самогравитирующего тела полученный функционал не содержит неинтегрируемой особенности.

5. Показано, что возможны исключения, когда корректный результат следует и из модели меньшей размерности. Так обстоит дело в случае стержня с нерастяжимой осью, при атом замечено, что в случае одномерной модели кольца условие нерастяжимости оси уже не устраняет неинтегрируемую особенность.

6. Предложен приближенный метод решения задач введением гравитационного краевого эффекта.

Практическая ценность.

Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в решении задач устойчивости произвольных тонкостенных конструкций при самогравитации, а также при построении функционавлов устойчивости при произвольных консервативных массовых нагрузках.

Апробация работы.

Результаты работы неоднократно докладывались на семинаре "Неханжа деформируемого твердого тела" кафедры теории пластичности ¡СУ.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1,21.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав и выводов. Список цитируемой литературы включает 27 работ.

Содержание работы.

Во введении выделен круг вопросов, охваченных диссертацией, дан обзор литературы по теме диссертации. Кратко излагается основное содержание глав диссертации.

Первая глава диссертации посвящена энергетическому критерию устойчивости консервативных систем.

В первом параграфе дается общая постановка задачи устойчивости самогравитируюцих упругих тонкостенных систем. Приводятся ограничения характерные для данной задачи. Формулируется энергетический критерий устойчивости консервативной системы как вариант статического подхода.

Во втором параграфе рассматривается проблема математической постановки задач устойчивости при консервативных массовых нагрузках. Вводится понятие полной второй вариации функционала по Ада-мару-Фреше.

В третьем параграфе, используя операторное представление тензоров в геометрически нелинейной теории упругости, в рамках ограничений приведенных в 1.1, на основе материала приведенного в 1.2, получен функционал для устойчивости упругого тела как вторая вариация по Адамару-Фреше от функционала полной потенциальной энергии системы. Определенный таким образом функционал позволяет выявить влияние нагрузок "немертвого" характера. Показано, что из него следуют, при "мертвых" нагрузках, известные функционалы устойчивости.

Во второй главе рассматривается задача устойчивости самогра-витирующих систем в упрощенной постановке. Массовые нагрузки, определяемые как результирующие сил гравитационного взаимодействия

частиц тела со всем объемом, в процессе "выпучивания" полагаются "мертвыми". Такое сужение характера нагрузок позволяет ограничиться в решении задач лишь проблемой определения неоднородного поля напряяений, что представляет собой самостоятельную проблему.

В первом параграфе определяется осевое усилие с стержне как результат интегрирования попарных взаимодействий по всему объему стержня. Стержень представлен в виде прямоугольного параллелепипеда. Получающиеся вшеладки хотя и носят громоздкий характер, но при этом позволяют определить напряжения в элементарных функциях для произвольного прямоугольного сечения стержня. Далее задача решается методом Релея-Ритца на основе известного функционала устойчивости для "мертвых" нагрузок. Эта часть решения не представляет особых трудностей. Поэтому в параграфах два. три и четыре внимание уделено только определению докритических напряяений в стержне и пластине.

Во втором параграфе обращается внимание на другой способ определения докритических напряжений. Рассматривается самогравити-рущий стержень в виде вытянутого эллипсоида вращения. Для эллипсоидального тела известны формулы для гравитационных потенциалов. Определяя массовую нагрузку как градиент от потенциала, напряжения находятся интегрированием, в предположении о пренебрежимо малом изменении таковых по поперечному сечению стержня.

В третьем параграфе тот же подход применен к случаю круглой пластины, представленной в виде сплющенного эллипсоида вращения. В итоге задача определения напряжений в серединной плоскости пластины сводится к случая аналогичному определению напряженного состояния пластины, вращающейся с фиксированной угловой скоростью, с той лишь разницей, что центробежные силы направлены в

противоположном направлении радиальным составляющим массовых сил самогравитации.

В четвертом параграфе приводится пример определения значений гравитационного потенциала прямоугольной пластины в точках ее серединной плоскости.

Третья глава посвящена общей постановке задач об устойчивости при самогравитации. Решение строится на основе материала, изложенного в первой главе.

В первом параграфе определяется функционал устойчивости трехмерного самогравитирующего упругого тела. Исследуется характер неинтегрируемой особенности в функционале в зависимости от размерности модели. Показывается, что в случае трехмерной постановки задачи подинтегральная особенность отсутствует.

Во втором параграфе рассматриваются возможности сведения задачи к одномерной постановке. Приводится уточненный вариант функционала устойчивости одномерного самогравитирующего упругого тела, не содержащий неинтегрируемой особенности.

В третьем параграфе полученные результаты демонстрируются в применении к задаче об устойчивости самогравитирующего стержня без условия нерастяжимости оси.

В четвертом параграфе рассматривается одномерная модель самогравитирующего кольца и замечается, что условие нерастяжимосги оси в этом случае не устраняет неинтегрируемую особенность. Показывается, что . оценка критического радиуса кольца может быть получена на основе предложенного приближенного варианта функционала устойчивости одномерной модели самогравитирующего тела.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. К.А.Хвостунков К вопросу об энергетическом критерии устойчивости упругого тела // Деп. в ВИНИТИ 29 4 б - В 35"

2, В. Д. Клюшников, К. А. Хвостунков К вопросу об устойчивости самог-равитирующего стержня // Изв. РАН МТТ (в печати)