Комплексное разделение вещественных алгебраических поверхностей и его приложения к топологии вещественных алгебраических кривых и поверхностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Р Г Б ОД

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

_*_УНИВЕРСИТЕТ_

На правах рукописи

МИХАЛКИН Григорий Борисович

КОМПЛЕКСНОЕ РАЗДЕЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И. ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ К ТОПОЛОГИИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ' (01.01.04 - геометрия и топология)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1994

Работа выполнена в лаборатории геометрии и топологии Санкт-Петербургского отделения Математического Института им. Стеклова Российской Академии Наук

Научный руководитель

Официальные ошоае&ты ■

Доктор физико-математических наук, профессор ВИРО О.Я.

, Лектор физико-математических наук, профессор НИКУЛИН В В.

Кандидат, физико-математических наук, доцент НЕЦВЕТАЕВ НЛО.

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова

Защита состоится ©СТО 1994 г. час. на заседании

специализированного совета К 063.57.45 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете. Адрес совета: J 98904, С.Петербург, Ст.Петергоф, Библиотечная пл., д. 2, математико-механический факультет . СПГУ. Защита будет происходить по адресу: 191011, С.Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, Зй втаж, зал 311 (помещение ПОМИ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени А.М.Горького СПГУ, С.Петербург, Университетская наб., 7/9.

Ведущая организация

Автореферат разослан ^^шЧ г.

Ученый секретарь специализированного совета

кандидат физико-математический наук, доцент Р.А.ШМИДТ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Работа посвящена топологии расположений вещественных алгебраических кривых на вещественных алге--браических поверхностях.

Вещественная алгебраическая геометрия — область математики,' тесно связанная с топологией. С одной стороны, вещественная (и комплексная) алгебраическая геометрия — источник примеров в топологии, полезных для доказательства существования многообразий с предписанными свойствами. Например, образующие группы кобор-дизмов могут быть представлены как вещественные алгебраические гиперповерхности, с другой стороны, вещественная алгебраическая геометрия служит полигоном для общих топологических теорем. Кроме того, вещественная алгебраическая геометрия — источник идей и методов в топологии; так, например, понятие бирациональной эквивалентности вещественных алгебраических многообразий приводит к понятию эквивалентности с точностью до раздутий, в дифференциальной топологии, эта эквивалентность имеет простые образующие, но в то же время тривиальна, т.е. любые два гладких замкнутых многообразия одинаковой размерности эквивалентны.

Естественно возникает вопрос о возможной топологии вещественных алгебраических многообразий, о том, насколько общими в категории гладких многообразий являются аеособые алгебраические многообразия. Вопрос был поставлен и решен Дж. Нашем, доказавшим, что любое неособое замкнутое гладкое многообразие является алгебраическим, т.е. может быть зацако системой полиномов п К".

В случае кривых и поверхностей этот вопрос совсем тривиален, но приводит к другому естественному вопросу, какова топология вещественных алгебраических многообразий данной степени.

Этот ропрос нетривиален уже для поверхностей. Случай поверхностей степени, не превосходящей трех, однако, прост, так как в этом случае поверхности рациональны. Вопрос о топологической классификации поверхностей степени четыре был поставлен Д.Гильбертом, отпет на него был получен В.М. Харламовым (1976): Для поверхности степени 5 и выше этот вопрос открыт. Неизвестна даже точная ■цепка сверху числа компонент вещественной поверхности степени 5.

Tono логическая классификация неособых плоских вещественных алгебраических кривых данной степени — вопрос полностью решенный еще d XIX веке Харнаком, но топологическая классификация расположений вещественной кривой данной степени на вещественной алгебраической поверхности неизвестна даже для плоских кривых. Вопрос о такой классификации составляет первую часть шестнадцатой проблемы Гильберта открытой до сих пор. Наибольшая степень плоских кривых, классификация топологических расположений которых известна, — 7, такая классификация была получена О.Я.Биро в 1980 году. Для кривых на квадриках наибольшая степень (в объемлющем КР3) — 8, такая классификация была получена Д.А.Гудковым (1979) для гиперболоида и Д.Л.Гудковым и Е.И.Шустиным (1978) для эллипсоида. Диссертация содержит как одно из приложений основных результатов классификацию кривых степени 6 на неси изной кубике.

Все эти результаты были получены с помощью комбинации запретов и построений. Большая часть запретов (кроме следствий теоремы Безу) носят топологический характер, т.е. используют лишь несколько топологических свойств комплексификаций вещественных алгебраических кривых (см. [1]). Одним из основных топологических запретов является сравнение Рохлина (1972), и его аналоги, доказанные Харламовым, Гудковым и Крахновым (1973). Этот запрет— сравнение по модулю 8 для эйлеровой характеристики одной из половин дополнения кривой в поверхности (более точно, для множества точек на поверхности, где однородный многочлен четной степени, определяющий кривую, положителен). Однако случаи, в которых этот запрет применим, очень ограничены, а именно, запрет применим к М~ и (М — 1)-кривымна поверхности при выполнении трех условий.

(1) кривая имеет четную степень на поверхности.

(2) тотальное ^г-число Бетти поверхности максимально среда тотальных чисел Бетти поверхностей той же степени

(3) все компоненты кривой содержатся в одной компонент« поверхности.

В.А.Рохлин доказал свое сравнение, используя двулистное пакри тие поверхности с ветвлением бдоль кривой. Преимуществом таког<

годхода является то, что он без труда обобщается на многомерный :лучай (для пар, состоящих из вещественного алгебраического много-эбразия и вещественного алгебраического подмногообразия коразмерности 1 в нем). Недостатком является то, что кривая должна быть четной степени, d том смысле, что комплексификаиия кривой должна быть 2г-гомологичной нулю, иначе такого двулистного накрытия не существует.

А.Марен в 1980 году предложил другой подход к доказательству сравнения Рохлина и передоказал псе известные обобщения сравнения Рохлина для плоских кривых, работая не с накрытием над поверхностью, а с фактормногообразием комплексификации поверхности под действием инволюции комплексного сопряжения.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Обобщение сравнения Рохлина ослаблением всех трех перечисленных выше условий. Приложение полученного обобщения к кривым на простейших поверхностях — квадриках, кубиках. Получение новых запретов для кривых на гиперболоиде и эллипсоиде. Топологическая классификация расположений кривых степени 6 (т.е. пересечений вК3 с квадриками) на несвязной кубике в К.3.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертации являются новыми.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ.' Применяются методы и результаты гладкой четырехмерной топологии. Используется подход Марена. Основным средством является сравнение Гийу-Марена для квадратичной формы характеристической поверхности гладкого четырехмерного многообразия.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Получены новые ограничения на топологию вещественных алгебраических поверхностей и расположений на них вещественных алгебраических кривых. Результаты и методы работы могут найти применение в вещественной алгебраической геометрии и топологии вещественных алгебраических многообразий.

А11РОВАИИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на топологическом семинаре ЛОМИ АН СССР (1991), на конференции по веществетгой алгебраической конференции в Ренне (La Turballe, 1991), на топологическом семинаре Мичиганского университета (East

IS

Lansing, 1991).

ПУБЛИКАЦИИ. Лве опубликованные работы автора по теме диссертации приведены в конце автореферата.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация содержит 43 страницы машинописного текста и состоит из введения, двух гл!£в и списка литературы, включающего 19 наименований.

' СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ . Во введении приведен краткий исторический обзор и краткое описание результатов.

Диссертация посвящена изучению топологии пары состоящей из неособой вещественной алгебраической поверхности и неособой вещественной алгебраической кривой на ней. Однако в работе используется лишь небольшой набор топологических свойств такой пары, что делает возможным сформулировать основную теорему в топологических терминах (т.е. для так называемых гибких кривых). Такая формулировка и необходимые для нее определения даны в первой главе. Все результаты диссертации применимы не только к алгебраическим, но и к гибким кривым, т.е. все результаты диссертации имеют топологическое происхождение.

Пусть К В — неособал вещественная алгебраическая поверхность и ЕМ — неособая вещественная алгебраическая кривая на пей. Рассмотрим комплексификацшо (СВ, СА) пары (ЕВ,®Л). Поскольку кривая и- поверхность неособы (мы предполагаем неособость над полем комплексных чисел), С В — гладкое ^ориентируемое четырехмерное многообразие, а С А — сладкая поверхность в СВ. В паре (СВ, СЛ) Действует шшолюцил conj комплексного сопряжения. Множество неподвижных'точек втой инволюции образует пару '(Ш?,Д.А). Касательное расслоение поверхности ЕВ (и R4) изоморфно нормальному расслоению поверхности Ш9 (ЕЛ) в СВ (СА).

Обозначим индекс самопересечения поверхности СА в СВ через «д. Обозначим сигнатуру многообразия С В через а (С В). Если первое Zj-число Бетти поверхности СВ равно нулю (на самом деле мы используем лишь тривиальность гомоморфизма ini : //¡(CA;Zz) —* Bi(CB; Z2)) и обьединение поверхностей ШВ и СА реализует ^-гомологический класс, двойственный к ш2(С0), то имеется ограничение

на топологию пары (R0,SL4), а именно,

(1) определено естественное разделение поверхности ШВ — КЛ на две поверхности В\ и В?,

(2) при i = 1,2 поверхность В{ иСЛ/conj является характе-■ ристической в многообразии СВ/ conj, определена форма

Гийу-Марена <7,- : 11\(О,- иСЛ/conj) -» и ее инвариант ' Брауна /?(?,),

(3) xiffi) = \(х(т - <г(СВ)) /?(?.) (mod 8), что и составляет основную теорему.

Кроме того, приведено добавление к основной теореме, выражающее инвариант Брауна /3(?i) через инвариант Брауна ограничения формы Гийу-Марена на СЛ/ conj для экстремальных кривых (т.е. кривых с числом компонент близким к максимальному для данной степени), если форма д,- тривиальна на компонентах кривой ЕЛ.

Доказательство основной теоремы состоит из двух частей. Первая пасть содержит доказательство существования и единственности разделения па В\ и Вг с указанными свойствами. Вторая часть содержит применение сравнения Гийу-Марена и окончание доказательства основной теоремы и добавления. •

Затем рассмотрено применение основной теоремы к случаю пустой кривой. В частности, если поверхность RB связна, то из основной теоремы непосредственно следует сравнение

\(RB) = <г(СВ) (mod 32)

В случае пустой кривой, основнал теорема применима, если поверхность ЙД характеристическая; в этом случае определена еще и форма' Гийу-Марена поверхности К Я в многообразии СВ. Приведено также доказательство совпадения сужений этой формы с </i и </2.

Приведены вычисления комплексного разделения двулистного разветвленного накрытия поверхности с вэтвлением вдоль кривой типа I (кривой, гомологичной нулю в своей комплексификацки). Оказывается возможным выразить комплексное разделение двулистного раз- • ветвлениого накрытия над связной поверхностью через комплексные ориентации (определенные В.Л.Рохлиным) крипой ветвления.

Полученные вычисления для двулистных накрытий применяются к ' ■ ■ кривым на гиперболоиде для вывода новых запретов. Рассматривал двулистное разветвленное накрытие гиперболоида с ветвлением вдоль кривой четной степени и типа I и применял к нему основную теорему с помощью вычислений из главы 4 мы получаем новые сравнения для комплексных ориентации кривых имеющих гомологически нетривиальные компоненты.

Для эйлеровой характеристики каждой из половин дополнения кривой в гиперболоиде оказывается возможным вывести сравнение по модулю 8. Это сравнение обобщает сравнения для кривых на гиперболоиде полученные Д.А.Гудковым и С.Мацуокой.

Мы рассматриваем, также, обобщение сравнения Рохлина, а также родственных ему Сравнений, сравнений Харламова-Гудкова-Крахнова Харламова-Марена и Арнольда), запретов для кривых четной сгепеш на проективных поверхностях. Если проективная кривая 1L4. задаете на поверхности ШВ однородным многочленом / четной степени, опре ' деленным в проективном пространстве, то / определяет разделен» поверхности ШВ на две поверхности — В+, где /|в+ >0, иВ„ гд< ■ 1\в- < 0. Кривая ЖА является (М — £)-кривой для некоторого к 6 2 (т.е. количество компонент кривой IRA на к меньше гомологичесю . максимального числа компонент для кривой той же степени). Обоз начим размерность образа гомоморфизма i/i(J3+;Z2) —► Н^ШВ;^) индухщрованного включением, через d. Предположим, что гомомор физм Я1(ЕЫ;2а) Fi(RjB;Zj), индуцированный включением, хрии . пален. Предположим дополнительно, в случае, если степень мно гочлена / не кратна четырем, что компоненты поверхности ШЗ, H пересекающие кривую ©.А, стягиваемы б объемлющем проекшвно! пространстве RP'.

Сравнение Рохлина является сравнением по модулю 8 для ейлерс вой характеристики поверхности В+, в случае если ШВ есть М-повер хиость (т.е. тотальное 2з-число Бетти максимально для поверхност данной степени), d = Jb = 0, и кривая IRA содержится в связной комги ненте поверхности М5. Сравнение Харламова-Гудкова-Крахнова /я ляется сравнением но модулю 8 для эйлеровой характеристики noue] хности В+, d случае если Ш? есть М-поверхность, d +к — I, и крива

IR.4 содержится в связной компоненте поверхности Ш.В.

Мы показываем, что предполагать, что Ш? есть М-поверхность, и что кривая КА содержится в связной компоненте поверхности ПШ, излишне, достаточно лишь предположить, что R3 — характеристическая поверхность в С В (что всегда верно, если MB есть М-поверхность), и что кривая ЕЛ содержится в одной поверхности комплексного разделения.

Затем мы рассматриваем случай, когда ШВ — эллипсоид. В этом

случае сформулировать сравнения особенно просто, а именно,

(mod8)

для одной из поверхностей Вх или Въ, определенных тоже. Вещественная алгебраическая кривая на эллипсоиде имеет степень (d, d) для некоторого целого d. Так как эллипсоид связен, комплексное разделение в формулировке сравнений не участвует, а разделение поверхности 1RS на В\ и Вз определяется условием 8Bi = ÙBi = ЕЛ. Сравнения для эйлеровой характеристики поверхностей Bi и Bj имеют место в случае нечетного d.

С помощью полученного сравнения для кривых на эллипсоиде, мы классифицируем гибкие кривые бистепени (3,3) (уже имеющаяся классификация алгебраических кривых бистепени (3,3) на эллипсоиде использует теорему Везу, и, поэтому, непригодна для классификации гибких кривых). Кроме того, для классификации М-крипых бистепени (5,5) на эллипсоиде полученное сравнение (вместе с методом Виро построения кривых склеиванием) оставляет открытым вопрос лить о реализации двух возможных топологических расположений кривой на эллипсоиде.

Нетрудно показать, что для четного d нодобшлх сравнений не существует. В то же премл, поскольку d нечетно, нетрудно видеть, что метод Рохлина не применим, метод Рохлина использует четность степени кривой для построения двулистного разветвленного накрытия.

Наконец мы рассматриваем случай, когда Ш> — кубикн. Возможность нетривиального применении полученного обобщения сранненин Рохлина доставляет случай несвязной кубики. Попсрность cil! диф-

фсоморфна, в етом случае, несвязной сумме сферы и проективной плоскости. Несложные вычисления комплексного разделения несвязной кубики (использующие, например, результаты главы 4) показывают, что сфера является одной из поверхностей комплексного разделения. а проективная плоскость — другой. Применение основной теоремы для крииых четной степени дает сравнение по модулю 8 дл) вйл.еровой характеристики поверхности £?+. Такое сравнение позво ляет получить классификацию топологических расположений кривых .высекаемых на несвязной кубике квадрикой.

ЛИТЕРАТУРА

1. Виро О.Я. Успехи топологии вещественных алгебраических мне гсобразий за последние 6 лет. Успехи Мат. Наук, 1986, т.41, в.,' С.45-67

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Михалкип Г.Б. Сравнения для вещественных алгебраических кр; вых на эллипсоиде. Зап. научн. семинаров ЛОМИ, 1991, т.193. С.9 100

2. Mikhalkin G. Extensions of Rokhlin congruence for curves on surfaci REAL ALGEBRAIC GEOMETRY, Proceedings of the conference held in Re nes, France, June 24-28, 1991. Lect. Notes Math., 372-377

РГО С-ПГГИ. 16.06.94. 3,273 T.I00 эт.

19ЭС26, Санкт-Петербург, 21-я лжпя, 2