Плоские проективные вещественные кривые степени с невырожденной двойной точкой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ



И VI ,1

>7* •

СШСТ-ПЕТЕГПУРГСКМЯ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи •УДК 515.1-3

ЙТЕНБЕРГ Илья Владимирович

ПЛОСКИЕ ПРОЕКТИВНЫЕ ВЕЗЕСТВЕНЯЫЕ КРИВЫЕ СТЕПЕНИ С С ШВНРОШШШОЙ ДВОЙНОЙ ТОЧКОЙ

(01.01.04 - геометрия и топология)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физяко-матемятичзских наук

1\«Н--7-Т;оТГ:{)0'УрГ 1991

/ ' /

■Л

Рчбота выполнена на кафедре высшей геометрии Санкт-Петербургского государственйого университета

Научтшй руководитель - доктор физико-математических

кпук, профессор БИРО Олег Янович-

Сфщиальныо оштоненты - доктор физико-математических

наук, профессор ХАРЛАМОВ Вячеслав Михайлович

Ведущая организация - Российский педагогический государственный университет им. А.И.Герцена

час. на заседании специализированного совета к Об3.й7.4Ь по присуждению ученой степени кандидата Физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете. Адрес совета 198904., С. Петербург, Ст. Петергоф, Библиотечная пл., д. 2, математико-механический факультет СПГУ. ¡Зашита будет происходить по адресу : 1Э10П, С. Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, 3-й этаж, зал 311 (помещение ЛОМИ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени А.М.Горького СПГУ, С. Петербург, .Ушьерситетская наб., 7/9.

Автореферат разослан " 5~" И^дбуи 1991 г.

Учений секретарь специализированного совета кандидат физико-математических

кандидат фнзико математических наук, доцент

ТОЛСТОВСКИЙ Григорий Михайлович

¡Запита состоится

наук, доцент

Р.А.ШЩЛТ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Работа посвящена плоским проективным вещественным алгебраическим кривым степени 6 с одной невырожденной двойной точкой.

Вещественные алгебраические многообразия, и в частности вещественные кривые, являются объектом изучения на протяжении многих веков. Однако их топологическое ■исследование началось лишь в коше XIX столетия. Практически сразу же били получены более не менее полные сведения о вещественных кривых степени, не превосходящей 4,

В 1900 году Д.Гильберт включил вопрос о том, каким может быть вещественный изотопический тип неособой кривой заданной степени в ®Рг, в шестнадцатую проблему своего знаменитого списка. Гильберт указал и первый нетривиальный случай: кривые степени 6.

Классификация не особях кривых степени 6 в КР?-относитвльно вещественных изотопий была . завершена Д.А.Гудковым (1969).

Б течение _70-х и 80-х годов топология вещественных алгебраических многообразий бурно развивалась. Было получено множество запретов, относящихся как к произвольным алгебраическим многообразиям, так и непосредственно к плоским кривим.

В 1980 году О.Я.Виро предложил' новые методы построения вещественных алгебраических многообразий и получил классификацию неособых кривых степени 7 . в ¡RP2 относительно ведестиушшх изотопий.

Вопрос о 'классификации вещественных кривых заданной степени относительно жестких изотопий оказался более трудным. Лииь в TW9 году В.В.Никулину удалось получить жесткую изотопическую классификацию неособых вещественных кришх стеггени G. Данная классификация является частью полученного им описания компонент пространства модулей шцлств<пи1чх алгебраических поляризованных КЛ-поверхностей. В.М.?«!рлс?«ж (ID5I) получил жесткую иоптогаггоскук* кдаодЛикаш» цеособнх кривых стопит 5 в НУ"''. -

Исследование особых кривых степени G било предпринято Г.М.Полотоьским, подучившим в 1979 году вещественную изотопическую классификацию кривых степени 6 в КЕ,с2, распадающихся в объединение двух трансвврсалъно пересокащлхся неособнх вещественных кривых.

Рассмотрение жесткой изотопической классификации неособнх вещественных кривых степени m - лишь первый шаг на пути изучения пространства вещественных кривых степени, ш. Следуидкй естественный шаг - получение жесткой изотопической классификации кривых данной степени с невыровденной двойной точкой. Для степени Б такая классификация шкет бить ьиьбдеьа из результатов Харламова (T93I).

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Получение жесткой изотопической классификации плоских проективных вещественных алгебраических кривых степени ß с невырожденной двойной точкой. Вычисление групп монодромш неособых г.ещественшх криьих степени 6.

НАУЧИМ НОВИЗНА. Все основные результата диссертации являются новыми.

МЭГОДИКА КССЛЕДОВАГШ. Применится метода и результаты алгебраической ■ геометрии, топологии вещественных алгебраических многообразий, теории целочисленных квадратичных форм.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работы носит теоретический характер. Результате и метода роботы могут найти применение в алгебраической гчойотрин, топологии вещественных алгебраических многообразий.

АПР0ВА1Ш РАбО'Ш. Розульдаш работы ¿оклпдньэтеь ъ ЛОМИ АН liOOi' пи 1'4^д8коа топологическом семинаре (1990. I091 г.г.), на семинаре им.Александрова в ЭТУ (1090 г.), на конференции по вещественной алгебраической геометрии во Франции (1а Tarballe, 1991).

ПУБЛИКАЦИИ. Три опубликованные работы автора по теме диссертации приведены в конце автореферата.

ОСЪЕМ И СТРУКТУРА ДКССЕГШШ. Лпссертация содержит страниц машинописного текста и состоит из вгедсчшя, грех • глав и спискч д'тврчтурн, включающего 3*3 наименования.

СОДКРИШ'! РАБОТЫ

Г)о Введении дани необходим«« определения, краткий исторический обзор, сформулироЕяни основам» результаты.

Для каждой кривой с невнрокдонкой двойной точкой рассмотрим двулистное разветвленное накрытие комплексной проективной плоскости с ветвлением вдоль множества

комплексных, точек данной кривой и поверхность X, получающуюся в результате ркоремения особой точки двулистного ра-.Ботвоенного накрывающего. В случае, когда кривая итдеот степень G, X является КЗ-поверхностью. Инволюция комплексного сопряжения conj поднимается в X двумя способами.

Обозначим получающиеся антиголоиорфние инволюции на X через с и о, . Пусть RXj - множество неподвижных точек инволюции с^, а Ь^ и ~ тотальное число Бетти и эйлерова характеристика множества RX^ соответственно (1 = 1,?.) .

Для каждой из инволюций с5 определим также два числа

и т?! :

если для любого х « Н2(Х; 2), такого, что с1ж(х) = -х имеет место сравнение D^C.r, h') a о (mod 2), где Вд : (L, (X; I) х На(Х; 2) —> Z ~ билинейная форма поверхности X, V - ттрообрэз класса гиперплоского сечения,

то iKvi'vi.-i'M '¡^ п,. <1 11П(г|ч,ЫЮ!|! случае пологам tj1 = 1.

Если т^ = 1. и для любого х < Г^СХ; Z) с1%(.т)) -= 0 (mod 2) гдо с^ : II, (X; 7.)—Л?2(Х; Z) - ииво.шда, ивдушроратшя С( , то яожшм ^ - 0.

ТОсда - О и для любого с Н„(Х; 7.)

BKU, сиШ) Гх(,г. h,c") {mod ?.) го 1/о..7о::;И:Ч - 0.

J'o Fice-; ост-тлышх случаях, положим tj » t.

Выберем теперь одну из инволюций с1 и сг следующим образом:

а) т), * \ ;

если Ь а Ъшг , то выберем инволюцию с большим числам

если = Ьгг , то выберем инволюцию с = О.

б) 'П, = \ ! заметим, что это возможно лишь в случае

г), = Т)г = 1;

если С, , то выберем инволюцию с ^ = О;

в противном случае, если ^ / %г , то выберем инволюцию с большим числом ; если X, - Х2 - то выберем любу» из инволюций.

Выбранную инволюцию обозначим через с.

Кяздой кривой степени 6 с невырожденной двойной точкой сопоставим пятерку

Ш£(Х; 1). Вх , с„ , 5'), где е„ : Нг(Х; 2)—>Нг(Х; г) - инволюция, индуцированная с, 6' - класс исключительного дивизора.

Эту пятерку, рассматриваемую с точностью до изоморфизма, мы будем называть гомологическим.типом кривой с швырожденной двойной точкой.

2. Пусть А0 - кривая степени 6 с невырожденной двойной точкой. Существуют два типа возмущений особой точки этой кривой.

Рассмотрим непрерывное семейство кришх А^ (1.^0) -возмущение, принадлежащее одному из этих типов, и нбирэрийное семейство криид А, > 0) - возмущение другого тина. Если число овалов неособой кривой Аи , где и < О, больше чем число овалов неособой кривой Ау , где у >0, то назовем семейство А^ (и $ 1; О) уменьшающим вырождением кривой Ац , а семейство А^ (0 < I ^ V) - увеличивающим вождением кривой Ау . Ес„ю количества овалов у кривых Ац и Ау совпадают, то назовем семейство А^. (и I; « 0) пеишошшцим вырождением кривой Ац {соответственно, семейство А^. (О 1" .< V) ~ неизменяющим вырождением кривой

3. Вещественные кривив степени m образуют вещественное проективное пространство КСт размерности - 1. Обозначим через иодшюжество этого пространства, точки которого соответствуют особым кривим степени т.

Пусть А - неособал вещественная кривая степени т, а -точка пространства КСШ , соответствующая кривой А, 0а -компонента связности множества КСге \ КДт , содержащая точку а. Каждый элемент фундаментальной группы гс, (С , а) определяет некоторую перестановку овалов кривой А. Образ группы i (0Q а) в группа перестановок овалов кривой А при этом отображении ми будем называть группой моиодромии кривой А. .

Глава I посвящена установлению биективного соответствия между жесткими изотопическими классами кривых степени 6 с невырожденной двойной точкой, имеющими фиксированный гомологический тип, с одной стороны, и некоторым набором многогранников, построениям по данному гомологическому типу, с другой стороны.■

В § I фиксируется некоторый гомологический тип (L, В, ф, h, б), где I - свободная абелева груша ранга 22, В - билинейная форма на L, имеющая сигнатуру - 16, <р - инволюция на Ъ такая, что сужение формы В на собственные подпространства L+ и L_ инволюции ц>, соответствующие собственным числам 1-й -I, имеют, соответственно, один и два■ положительных квадрата в диагональной записи над Ш ; h и б - векторы решетки L такие, что

B(h, h) = 2, В(б. б) = -2, B(]i, б) =■ 0, h ¿ б (med 2L).

Обозначим через б ортогональное дополнение в L_ решетки, порожденной векторами ti и б. Пусть g -пространство Лобачевского, построенное стандартным образом по npocrpsjicTi.y L.^ б Ф 1R.

Пусть fi - Фундаментальная область грушт

действую«^« в r^i! R , йорокдешой ограийниями относительно

rnííf'pnjíocitoüi'.jft, орfогокальйих векторам с квадратами . -2 в

Обозначим через 0„{| 6 (Д = 1, 2, ... ) многогранники, на которпе разбивают многогранник ^ гиперплоскости, ортогональные векторам в 6 , имеющим квадрат -Б и сравнимым с б по модулю 2Ь (заметим, что число многогранников набора б может бить бесконечним).

Классы жесткой изотогаости кривых степени 6 с невырожденной двойной "точкой, гомологический тип которых изоморфен (I, В, ф, Ъ, б) находятся в биективном соответствии с элементами набора й , рассматриваемого с точностью до автоморфизмов пятерки (Ъ, В, ф, Ь, б).

В 5 2 рассматривается удобная переформулировка теоремы из § I.

Пусть - ортогональное дополнение в Ь_ ьектора Ь,

- пространство .Лобачевского, полученное стандартным образом, из пространства ® К. В действует группа, порожденная отражениями относительно гиперплоскостей, ортогонялыщх лекторам с квадратами -2 в Ь^ . Пусть О -многогранник,. являющийся фундаментальной областью этой груши, одна из граней которого ортогональна вектору 5.

Пусть 0 ■- схема Коксетера многогранника 0, е -• вершина схемы С, соответствующая б. Удалим из схемы С все жирные и пунктирные ребра <дьй вершины схемы - соедттеш жирным (пунктирким) ребром, если билинейная форма В принимает на соответствующих векторах значение, равное' (большое) 2). Далее рассмотрим результат факторизации полученной схомк но действию 1'руппн ее симметрия, порожденных. автоморфизмами четверки (1, В, со, й). Пусть е' - орбита, содержащая с.

Ког/тюпенту связности полученной фактор-схомн, содер>:;л1ую шртау е* . обозначим через X.

Х&ЗККа» Число жестких изотопических ткпок кривых отг^^щ 0 с ношрожлшшой двойной точкой, гомологический тип кото]Ж и;=ч««сглХ->в (I, В, <л, п, Б), рашо числу ьерпич

С-Г/'М^ л.

- [) '

В 5 I главы 2 обсуждается классификация пятерок (Ъ, В, ср. 11, 5) с точностью до изоморфизма, предложенная В.В.Никулиным. Предлагается интерпретация инвариантов этой классификации.

В 5 2 все уменьшающие простейшие вырождения произвольной неособой вещественной кривой степени б разбиваются на два типа. Уменьшающие Еирождония одинакового типа приводят к кривым с невырожденной двойной точкой, имеиадм изоморфные гомологические ш.

Для произвольной неособой вещественной кривой степени 6 определим два графа: Г и Р'. Каждому классу жесткой изотопности результатов уменьшающих вироздений первого типа (соответственно, второго типа) данной кривой сопоставим вершину графа Р (соответственно, Р'). Соединим дЕе вершины ребром, если класс, отвечающий одной из шх, может быть реализован .слиянием овалов а и а класс, отвечающий второй, - стягиванием в точку овала а.

ПЕЭДЗОЩШ-' Граф Р (соответственно, Р') неособой вещественной кривой степени 6 изоморфен схеме К, построенной по результату любого уменьшающего вырождения' первого типа (соответственно, второго типа) данной кривой. ,

Глава 3 является центральным местом работы. В ней" при помощи результатов первых двух глав получены вещественная изотопическая и жесткая изотопическая классификации кривых степени б с невырожденной двойной точкой, а также вычислены группы монодромта неособых вещественных кривых степени 6.

§ I посвящен формулировка и доказательству вспомогательных утворвдешгй.

В § 2 доказываются следующие теоремы.

Теорему. I) КакдпЯ пустой овал ноособой вещественной кривой степени С может быть стянут в точку, причем существу!,"!' ровно один жесткий изотопический класс рекутн?ов тчшго выроданпя.

21 Моаду овмллми произвольной неособой вещественной

кривой степени 6 с одной стороны и овалами той схемы таблицы 2 работы, около которой указан жесткий изотопический тип данной кривой, с другой стороны, существует взаимно однозначное соответствие при котором:

сохраняется бинарное отношение: один овал охватывает другой овал;

результаты стягиваний в точку пустых овалов кривой жестко изотопны тогда и только . тогда, когда внутри соответствувдих овзлов схемы стоят одинаковые.буквы;

два овала кривой могут слиться тогда и только тогда, когда соответствующие. им овалы схемы соединены пунктирной линией, причем результаты слияний жестко изотопны в том и только в том случае, если около соответствующих пунктирных линий стоят одинаковые числа;

число пунктирных линий, соединяющих два овала схемы равно числу жестких изотопических классов результатов слияний соответствующих овалов кривой.

Для каждой кривой степени 6 с невырожденной двойной точкой построим набор (Т. £), где Т ~ гомологический тип

(Н?(X; I), Вх, с, , 1Г, 6') данной кривой, к - символ, определяемый следующим образом:

если существует неособая вещественная кривая степе™ 6., уменьшающим вырождением которой является данная кривая с невырожденной двойной точкой,- то выясним, какой овал (овалы) участвуют б уменьшающем вырождении,' и положим к совпадающим с символом, стоящим внутри соответствующего овала (около пунктирной линии, соединяющей соответствующие овалы) схемы таблицы 2 работы;

если такой неособой кривой не существует, то положим к = О.

Теорема. Две кривые степени 6 с невырожденной двойной точкой, имеющие наборы (Т1, ) и ЧТ , й ) соответственно, жестко изотонии тогда и только тогда, когда гомологические типы Г, и Т? изоморфна, и соькадоет с {г

Дйннчя теорема шесте с кдассуДйкада&й относительно

изоморфизма пятерок

(Ь. В, ср. 11, б), предложенной Никулиным, а также с результатами 5 I глав» 2 дает жесткую изотопическую классификацию кривых степени 6 с невырожденной двойной точкой.

Теорема. Группы монсщромии неосоСых вещественных кривых степени 6 описываются таблицей 2 работы.

В заключение глава О обсуждается вещественная изотопическая классификация кривых степени 6 с невырожденной двойной точкой.

Теорема. Каждая кривая степени 6 с невырожденной двойной точкой принадлежит одному из вещественных изотопических типов, указанных на рисунке 1 работа.

' РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. йтенберг 1Г.В. Жесткая изотопическая классификация простейших вырождений М-кривых степеш 6 //Вести. Лен. ун-та. Сер.магем. 1991. т.З, II 15. С.02-37.

2. Иг^нберг И.В. Плоские прооктиЕ.ние вещественные алгебраические кривив степени 6 с невырожденной двойной точкой // Тезисы докладов то приложениям алгебры к геометрия, анализу и теоретической физике Международной ■конференции по алгебре. Барнаул. 1991. С.С>8.

Л. Йтенберг И.В. Жесткая изотопическая классификация кривых, степени С с невырожденной, двойной точкой // Зап. научн. семинаров ЛОМИ. 1ЭЭГ. т.193. 0.72-89.

Подписано к печати 29.10.91. . Заказ 709 . Тираж 100 аго. Обгем 0,75 печ. л. Бесплатно.

Издательство Санкт-Петербургского университета экономики и финансов

I9I023, Санкт-Петербург, Садовая ул.,д.21