Граничные наклоны трехмерных многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

4(>

□ОЗ169

Сбродова Елена Александровна

ГРАНИЧНЫЕ НАКЛОНЫ ТРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 5 МАЙ 2008

Екатеринбург — 2008

003169120

Работа выполнена на кафедре компьютерной топологии и алгебры Челябинского государственного университета

Научный руководитель

Официальные оппоненты

член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук,

профессор С В Матвеев

доктор физико-математических наук, А Ю Веснин

кандидат физико-математических наук, М Ф Прохорова

Ведущая организация

Московский государственный университет имени М В Ломоносова

Защита состоится 20 мая 2008 г в 10 30 на заседании диссертационного совета Д 004 006 03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу 620219, г Екатеринбург, ул С Ковалевской, 16

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН

Автореферат разослан 19 апреля 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ -мат наук

В В Кабанов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ1

Актуальность темы.

Одним из способов изучения трехмерных многообразий является рассмотрение вложенных в него поверхностей Однако, с точки зрения изучения структуры трехмерного многообразия не все вложенные поверхности интересны Например те, которые содержатся в трехмерном шаре В3 С К3, и, следовательно, есть в любом трехмерном многообразии Наибольший интерес представляют так называемые существенные поверхности, которые отличны от тривиальных сфер и дисков и не содержат тривиальных трубок и тоннелей, т е являются несжимаемыми и гранично несжимаемыми поверхностями

Приведем несколько примеров того, какую информацию о многообразии могут нести лежащие в нем существенные поверхности

Пример 1 Из определения операции связного суммирования следует, что трехмерное многообразие является составным (т е разложимо в нетривиальную связную сумму) тогда и только тогда, когда оно содержит существенную 2-сферу Поэтому задача алгоритмического нахождения существенных 2-сфер является весьма важной Благодаря усилиям ряда математиков она полностью решена (смотри, например, [1, 3, 7])

Пример 2 Напомним, что трехмерное гиперболическое многообразие не может содержать существенных колец и торов Поэтому информация о наличии таких поверхностей весьма важна, если многообразие содержит существенные кольца или торы, то оно не является гиперболическим Задача алгоритмического нахождения существенных колец и торов также решена (смотри, например, [1])

Пример 3 Поскольку все (кроме полнотория) многообразия Зейферта с непустым краем содержат существенные кольца, то отсутствие существенных колец говорит о том, что данное многообразие не является многообразием Зейферта

Рассмотрим набор а = {а\,а2, • простых замкнутых

нетривиальных кривых на крае дМ трехмерного многообразия

1 Работа выполнена при финансовой поддержке фонда РФФИ (грант

№ 07-01-96026, № 06-01-72014)

М, которые попарно не пересекаются и не изотопны Будем говорить, что а образует граничный наклон, если в М найдется собственная существенная поверхность Р, край которой имеет вид с№ = к\а\ и А^аг и и кпап, т е состоит из к\ копий кривой с*!, /с2 копий кривой а-2 и т д , где к\, /;2, принимают натуральные значения Будем говорить, что наклон края поверхности Р равен а, и писать [№] = а, если дР имеет описанный вид Два наклона а = {«1, ,ап} и /3 = {/?ь ,/?„} на <9М считаются равными, если существует изотопия, переводящая набор кривых {«1, , а„} в набор {Р%1, , /?1п}, где /Зь е /3

В диссертации решается задача алгоритмического нахождения граничных наклонов на крае произвольного трехмерного многообразия Более точно, строится алгоритм, выясняющий, содержит ли данное трехмерное многообразие М граничный наклон, род которого не превосходит данного числа N Если ответ на этот вопрос положительный, то алгоритм строит один из таких граничных наклонов вместе с соответствующей существенной поверхностью Так как такие существенные поверхности, а вместе с ними и граничные наклоны, несут важную информацию о данном трехмерном многообразии, позволяющую исследовать многообразие и сделать выводы о его структуре, то задача алгоритмического нахождения граничных наклонов является актуальной

Знание граничных наклонов в данном трехмерном многообразии М интересно не только для изучения многообразия М, но и для многообразий его содержащих Рассмотрим произвольное компактное ориентируемое многообразие М с торическим краем Приклеим к нему полноторие по гомеоморфизму края на край, который переводит меридиан полнотория в данный наклон а С дМ (так как дМ — тор, то наклон а С дМ состоит из ровно одной кривой) Полученное многообразие М(а) называется заполнением Дена многообразия М Известно (смотри [12]), что если М является гиперболическим, то М(а) тоже является гиперболическим для всех наклонов а, кроме конечного числа так называемых исключительных наклонов В последнее время именно исключительные наклоны вызывают большой интерес [4, 5, 10, 11] В частности, если М(а) является приводимым (содержит существенную 2-сферу), то а является плоским ис-

ключительным наклоном Другими словами, в многообразии М найдется собственный существенный диск с несколькими дырками, все граничные кривые которого изотопны кривой а

Следует отметить, что алгоритм, позволяющий ответить на вопрос, содержит ли данное многообразие существенный собственный диск с заданным краем, был построен еще В Хакеном в начале 60-х годов [6] В 1998 году У Джейко и Э Седжвик описали алгоритм, выясняющий, содержит ли данное многообразие с торическим краем собственную существенную плоскую (рода 0) поверхность [9] При этом они предполагали, что край многообразия состоит ровно из одного тора Переход к случаю нескольких краевых торов был осуществлен только через 8 лет в 2006 году У Джейко, X Рубинштейн и Э Седжвик построили алгоритм нахождения плоской существенной поверхности в многообразии, край которого состоит из нескольких торов [8] В диссертации упомянутые результаты обобщены и усилены в двух направлениях Во-первых, удалось отказаться от всех ограничений на край существует алгоритм нахождения плоских наклонов в многообразии с произвольным краем Во-вторых, можно алгоритмически находить не только существенные поверхности рода 0 (т е плоские), но и такие, род которых не превосходит заданного числа

Цель работы. Исследование свойств граничных наклонов на крае многообразия Построение алгоритма, выясняющего, содержит ли данное многообразие граничный наклон ограниченного рода

Основные методы исследования. В работе используются стандартные методы маломерной топологии, в том числе, теория нормальных поверхностей Хакена

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и соответствуют проблематике данного раздела топологии Они состоят в следующем

1 Построен алгоритм, выясняющий, содержит ли данное ориентируемое компактное многообразие существенную плоскую поверхность (плоский наклон) В случае положительного ответа, алгоритм строит существенную плоскую поверхность (теорема 2 4)

2 Построен алгоритм, выясняющий, содержит ли данное ориентируемое компактное многообразие существенную ориентируемую поверхность рода не выше И, где N задано (граничный ориентируемый наклон ограниченного рода) В случае положительного ответа, алгоритм строит такую поверхность (теорема 3 2)

3 Построен алгоритм, выясняющий, содержит ли данное ориентируемое компактное многообразие существенную инъ-ективную поверхность рода не выше N, где N задано (граничный инъективный наклон ограниченного рода) В случае положительного ответа, алгоритм строит такую поверхность (теорема 3 6) Этот алгоритм является модификацией предыдущего и нужен для того, чтобы находить неориен-тируемые существенные поверхности

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер Ее методы и результаты могут быть использованы для дальнейших исследований трехмерных многообразий Разделы диссертации могут составить содержание специальных курсов и семинаров для студентов и аспирантов математического направления

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в Московском государственном университете имени М В Ломоносова на семинаре под руководством академика РАН А Т Фоменко

Кроме того, результаты работы в качестве докладов были представлены на Международной конференции «Геометрическая топология, дискретная геометрия и теория множеств», посвященной столетию Л В Келдыш (Москва, 24-28 августа 2004 г), Международной школе-конференции «Геометрия и топология 3-многообразий»(Новосибирск, 22-27 августа 2005 г), Всероссийской научной конференции «Математика Механика Информатика», посвященной 30-летию ЧелГУ (Челябинск, 19-22 сентября 2006 г), 38-мой региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 29 января — 2 февраля 2007 г), Российской конференции «Математика в современном мире», посвященной 50-летию Института

математики им С Л Соболева СО РАН (Новосибирск, 17-23 сентября 2007 г)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [13]—[18]

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографии Она изложена на 64 страницах, библиография содержит 25 наименований Нумерация теорем, лемм и т п в каждой главе своя.

Пользуясь случаем, автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю С В Матвееву за постановку задачи и всестороннюю помощь в работе

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1 посвящена описанию основных фактов теории нормальных поверхностей Хакена, основных объектов исследования диссертации (существенные поверхности и наклоны) и их свойств

Подробное описание метода нормальных поверхностей Хакена и основные факты теории нормальных поверхностей в триангулированных многообразиях приведено в параграфе 1.1 При этом мы приспосабливаем для наших целей полезную модификацию метода Хакена для многообразий с граничными узорами Граничный узор — это граф на крае многообразия, а модификации состоит в том, что рассматриваются только так называемые чистые поверхности, которые не пересекают узор

В параграфе 1.2 дано определение существенных поверхностей в многообразиях с граничными узорами и приведено несколько свойств существенных поверхностей

1 Свойство ориентируемой поверхности быть существенной является алгоритмически проверяемым (смотри теоремы 1 4,1 5)

2 Свойство поверхности Р быть существенной сохраняется при нормализации (смотри лемму 11)

3 При некоторых условиях свойство поверхности быть существенной сохраняется при геометрическом суммировании (смотри теорему 1 7)

Параграф 1.3 посвящен изучению основных свойств граничных наклонов Отметим важность того факта, что число кривых любого наклона на крае ориентируемого компактного многообразия (М, Г) с фиксированным узором Г ограничено константой Зд(дМ) + 2 + с(Г), где с(Г) равно числу компонент связности графа Г (смотри лемму 1 5) Отметим, что эта константа зависит только от многообразия М и узора Г

Вообще говоря, при геометрическом суммировании поверхностей число их граничных кривых может вести себя непредсказуемым образом Оно может стать как больше, так и меньше суммарного числа граничных кривых слагаемых Однако, для специальной триангуляции края данного многообразия удается доказать, что это число сохраняется при геометрическом суммировании (смотри лемму 1 7) В лемме 1 6 доказывается, что такую специальную триангуляцию всегда можно построить

Глава 2 посвящена алгоритмическому нахождению существенных плоских поверхностей (плоских наклонов) в неприводимых гранично неприводимых компактных ориентируемых трехмерных многообразиях

Основным результатом параграфа 2.1 служит следующая теорема

Теорема 2.1. Существует алгоритм, который для данного неприводимого гранично неприводимого компактного ориентируемого трехмерного многообразия (М, Г) и данного наклона а на д(М, Г) выясняет, содержит ли (М, Г) такую существенную плоскую поверхность Р, что [9.Р] С а В случае положительного ответа алгоритм строит такую поверхность

В параграфе 2.2 множество всех наклонов на <9(М, Г) делится на три типа Будем говорить, что наклон а на крае многообразия (М, Г) удовлетворяет условию А, если (М, Г) содержит такую чистую существенную плоскую поверхность Р, что [ЭР] С а Наклон а удовлетворяет условию В, если (М, Г) содержит такую чистую существенную плоскую поверхность Р, что дР не пересекает кривых наклона а и имеет ровно одну или ровно две кривые, чисто не изотопные в (М, Г) никакой кривой наклона а Тогда наклон а имеет тип I, если а удовлетворяет условию А

Наклон а имеет тип II, если о; удовлетворяет условию В и не удовлетворяет условию А Наклон а имеет тип III, если а не удовлетворяет ни условию А, ни условию В Справедлива следующая теорема

Теорема 2.3. Существует алгоритм, выясняющий, какой тип имеет данный наклон а на крае данного неприводимого гранично неприводимого ориентируемого компактного трехмерного многообразия (М,Г)

Напомним, что длиной нормальной кривой 7 на крае триангулированного трехмерного многообразия М называется число ¡(■у) точек пересечения кривой 7 с ребрами триангуляции многообразия М Средняя длина граничных кривых нормальной собственной поверхности F с М есть число \ гДе сь С2, , Cfc — граничные кривые поверхности i

В параграфе 2.3 доказан следующий важный факт Пусть (М,Г) — триангулированное неприводимое гранично неприводимое трехмерное многообразие без существенных колец Тогда найдется такая константа С, что средняя длина граничных кривых любой чистой существенной плоской поверхности в (М, Г) не превосходит С Отметим, что константа С может быть построена алгоритмически и зависит только от многообразия и его триангуляции При доказательстве этого факта используется обобщение на многообразия с граничными узорами метода У Джейко, X Рубинштейна и Э Седжвика [8] для оценки средней длины граничных кривых

Поскольку число кривых ограниченной длины конечно, то за счет перебора всех таких кривых можно считать, что одну граничную кривую искомой поверхности (т е одну кривую искомого плоского наклона) мы уже знаем Оказывается, что за счет использования специальных триангуляций этот процесс можно продолжать найти вторую кривую наклона, третью, и т д Поскольку число кривых наклона ограничено константой, зависящей только от данного многообразия, то нужный наклон будет найден (если он существует)

Лемма 2.2. Пусть наклон а на крае неприводимого гранично неприводимого компактного ориентируемого трехмерного многообразия (М, Г) имеет тип III Тогда существует и может быть

алгоритмически построен такой конечный (возможно пустой) набор Б (а) наклонов на крае д(М, Г), что выполнены следующие условия

1 Любой наклон из Я (а) состоит из всех кривых наклона а и еще одной кривой на д(М, Г)

2 Если (М, Г) содержит такую существенную плоскую поверхность что <9-Г не пересекает кривых наклона а, то (М, Г) содержит такую существенную плоскую поверхность 2*", что дР' не пересекает кривых хотя бы одного наклона из ад

Алгоритм нахождения существенной плоской поверхности приведен в следующей теореме параграфа 2.4, которая представляет собой первый основной результат диссертации

Теорема 2.4. Существует алгоритм, выясняющий, содержит ли данное ориентируемое компактное неприводимое трехмерное многообразие (М, Г) существенную плоскую поверхность В случае положительного ответа алгоритм строит плоскую существенную в (М, Г) поверхность

Глава 3 посвящена алгоритмическому нахождению граничных наклонов ограниченного рода в данных трехмерных многообразиях

В параграфе 3.1 строится алгоритм выясняющий, содержит ли данное многообразие граничный наклон, ориентируемый род которого не превосходит данного числа N Под ориентируемым родом наклона здесь понимается минимальный род ориентируемой поверхности, край которой имеет данный наклон, если такие поверхности есть, и оо, в противном случае

Следующая теорема представляет собой второй основной результат диссертации

Теорема 3.2. Существует алгоритм, который по данному компактному ориентируемому неприводимому гранично неприводимому трехмерному многообразию М и данному числу N > О выясняет, содержит ли М существенную ориентируемую поверхность, род которой не превосходит N В случае положительного

ответа алгоритм строит такую существенную ориентируемую поверхность ^Р, что д(Р) < N

Задача алгоритмического нахождения граничных наклонов ограниченного рода (ориентируемость отвечающих им поверхностей не предполагается) рассмотрена в параграфе 3.2. Следует заметить, что все выше построенные алгоритмы опираются на известный факт свойство ориентируемой поверхности быть существенной проверяется алгоритмически Так как вопрос об алгоритмической проверяемости существенности (точнее, несжимаемости) неориентируелюй поверхности остается открытым, то алгоритма нахождения существенных неориентируемых поверхностей пока не построено Однако, несколько сузив класс искомых поверхностей, а именно, ограничившись рассмотрением только инъективных существенных поверхностей, удалось доказать следующую теорему (третий основной результат диссертации)

Теорема 3 6 Существует алгоритм, выясняющий для данного целого числа N, содержит ли данное ориентируемое компактное неприводимое гранично неприводимое трехмерное многообразие М такую связную инъективную существенную поверхность 271, что д(Р) < N В случае положительного ответа алгоритм строит такую поверхность

Список литературы

[1] Матвеев, С. В. Алгоритмическая топология и классификация трехмерных многообразий М МЦНМО 2007

[2] Матвеев, С. В., Фоменко, А. Т. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии М Наука 1998

[3] Шуберт, X. Алгоритм для разложения зацеплений на простые слагаемые Математика сборник переводов 1966 Т 10 №4 С 45-78

[4] Agol, I. Bounds on exceptional Dehn filling Geometry and Topology 2000 V 4 P 431-449

[5] Goda, H., Teragaito, M. On hyperbolic 3-mamfolds realizing the maximal distance between toroidal Dehn filhngs Algebraic and Geometric Topology 2005 V 5. P 463-507

[6] Haken, W. Theorie der Normalflachen Em Isotopiekriterium fur der Kreisknoten Acta Math 1961 V 105 P 245-375

[7] Jaco, W., Letscher, D., Rubinstein, J. H. Algorithm for essential surfaces m 3-manifolds Contemporary Mathematics 2002 V 314 P 107-124

[8] Jaco, W., Rubinstein, J. H., Sedgwick, E. Finding planar surfaces in knot- and link-manifolds arXiv math GT/0608700

[9] Jaco, W., Sedgwick, E. Decision problems in the space of Dehn fillings. Topology 2003 V 42 P 845-906

[10] Mattman, T. Boundary slopes (nearly) bound cyclic slopes Algebraic & Geometric Topology V 5 (2005) P 741-750

[11] Motegi, K., Song, H. J. All integral slopes can be Seifert fibered slopes for hyperbolic knots Algebraic and Geometric Topology 2005 V 5 P 369-378

[12] Thurston, W. P. Three dimensional manifolds, Kleinian

groups and hyperbolic geometry Bull Amer Math Soc 1982

V 6 P 357-381

Работы автора по теме диссертации

[13] Сбродова, Е. А. Алгоритм нахождения плоских поверхностей в трехмерных многообразиях Фундаментальная и прикладная математика 2005 Т 11 № 4 С 197-202

[14] Sbrodova, Е. An algorithm of finding planar surfaces in three-manifolds Siberian Electronic Mathematical Reports 2005 T 2 С 192-193

[15] Сбродова, E. А. Плоские поверхности в трехмерных многообразиях Сибирские электронные математические известия 2006 Т 3 С 451-463

[16] Сбродова, Е. А. Собственные существенные поверхности ограниченной характеристики в трехмерных многообразиях Труды 38-й per молодежной школы-конф «Проблемы теоретической и прикладной математики» Екатеринбург ИММУрОРАН 2007 С 94-95

[17] Сбродова, Е. А. Граничные наклоны трехмерных многообразий Тез докл конф «Математика в современном мире», посвященной 50-летию Ин-та математики им С JI Соболева СО РАН Новосибирск Ин-т математики им С Л. Соболева СО РАН 2007 С 94-95

[18] Сбродова, Е. А. Алгоритмическое нахождение собственных существенных поверхностей в трехмерных многообразиях Математические заметки 2007 Т 82 № 4 С 593-597.

Подписано в печать 10 04 2008 Формат 60х84у1б Бумага офсетная Печать офсетная Уел печ л 0,9 Уч -изд л 1,2 Тираж 100 экз Заказ ^¿"Бесплатно ГОУ ВПО «Челябинский государственный университет» 454021 Челябинск, ул Братьев Кашириных, 129

Издательско-полиграфический центр ЧелГУ 454021 Челябинск, ул Молодогвардейцев, 57б

Введение

1 Наклон

1.1 Метод нормальных поверхностей Хакена в многообразиях с граничными узорами.

1.2 Существенные поверхности в многообразиях с граничными узорами.

1.3 Наклон и специальная триангуляция.

2 Плоские поверхности

2.1 Алгоритмическое нахождения плоской поверхности с заданным наклоном края.

2.2 Типы наклонов.

2.3 Оценка средней длины кривых наклона

2.4 Алгоритмическое нахождение плоской поверхности.

3 Поверхности произвольного рода

3.1 Алгоритмическое нахождение граничного наклона ограниченного ориентируемого рода

3.2 Алгоритмическое нахождение граничного инъективного наклона ограниченного рода.

Напомним, что n-мерным многообразием называется хаусдорфово топологическое пространство, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную ??,-мерному диску или n-мерному полудиску. Множество точек n-мерного многообразия М, не имеющих окрестности, гомеоморф-ной n-мерному диску, называется краем и обозначается через дМ. В настоящей работе мы будем рассматривать только компактные, ориентируемые, трехмерные многообразия и вложенные в них поверхности (2-мерные подмногообразия).

Хорошо известно, что любое замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие можно получить перестройкой по зацеплению. Опишем эту процедуру. В сфере S3 рассмотрим зацепление L С S:i. Вырежем из сферы S3 открытую трубчатую окрестность зацепления L. Получим компактное многообразие С i, называемое дополнительным пространством зацепления L, край которого состоит из набора торов. Приклеим к каждой компоненте края дСь полноторие D2 х S1 по гомеоморфизму края на край. В результате получим замкнутое трехмерное многообразие М. Будем говорить, что М получено перестройкой по зацеплению L. Заметим, что результат вклеивания полнотория определяется указанием образа края его меридионального диска. Таким образом, чтобы задать перестройку по зацеплению L, достаточно указать набор простых замкнутых нетривиальных кривых (образы краев меридиональных дисков приклеиваемых полноторий) по одной для каждой торической компоненты края 0 С с.

На каждой торической компоненте Г» С дСь выберем систему координат {/j;, А;} (гомологический базис для H\(Ti)). Любая нетривиальная простая замкнутая кривая а С ГД может быть представлена в виде а = р[м -I- q\i, где р и q — целые взаимно простые числа. Геометрический смысл чисел р и q заключается в том, что | равно тангенсу угла наклона геодезической кривой, изотопной се, от параллели А; (смотри рисунок 1). Заметим, что существует взаимно однозначное соответствие между классами изотопных нетривиальных кривых на торе и множеа =2ц+ЗХ

Рис. 1: Кривой а соответствует наклон, равный |. ством QU наклонов. В дальнейшем, под наклоном на торе мы будем понимать нетривиальную кривую на этом торе, определенную с точностью до изотопии (смотри, например, [9, 14, 17]). Таким образом, чтобы задать перестройку по зацеплению, достаточно указать наклон на каждой торической компоненте края дСь

Следующее определение обобщает понятие торического наклона на случай произвольной поверхности.

Определение 1.6. Наклоном на замкнутой поверхности S называется набор а = {a\,Cf2,., ап} нетривиальных простых замкнутых кривых на S, которые попарно не пересекаются и не изотопны. Два наклона а = {«1,., ап} и Р = {Pi,., Рп} на S считаются равными, если существует изотопия поверхности S, переводящая набор кривых {«i,., ап} в набор {Ри,., Pin}, где Р{. € Р.

Объектами исследования в данной работе являются наклоны на крае произвольного трехмерного многообразия.

В трехмерном многообразии М рассмотрим собственную вложенную поверхность F С М и наклон a ={o;i, ссг, • • •, &п} на дМ. Напомним, что вложенная поверхность F в трехмерном многообразии М называется собственной, если FOdM = dF. Будем говорить, что край 8F поверхности F имеет наклон а, если dF = k\a.\ U U • • • U knan, т. e. dF состоит из ki копий кривой ai, /С2 копий кривой а.2 и т. д., где числа принимают натуральные значения. Обозначим наклон края поверхности F через dF],

Среди всех наклонов на крае трехмерного многообразия М выделяют, так называемые, граничные наклоны, т. е. наклоны краев вложенных в многообразие собственных поверхностей. Задача нахождения граничных наклонов весьма интересна с точки зрения классификации трехмерных многообразий, так как вложенные поверхности, а с ними и граничные наклоны, несут информацию о структуре трехмерного многообразия. Однако, не все собственные поверхности интересны, например такие, которые есть в любом многообразии с краем. На рисунке 2 представлены некоторые "неинтересные" поверхности в кренделе рода 2. Все они либо являются тривиальными сферами или тривиальными дисками, либо сжимаются до тривиальных сфер и дисков (т. е. содержат тривиальные трубки или тривиальные тоннели, сжимающие данную поверхность).

Рис. 2: "Неинтересные" поверхности F\, F3 в кренделе рода 2.

Наибольший интерес представляют так называемые существенные поверхности, которые не содержат нетривиальных трубок и тоннелей, т. е. являются несжимаемыми и гранично несжимаемыми поверхностями (смотри параграф 1.2).

Определение 3.1. Наклон а на крае трехмерного многообразия М называется граничным, если в М найдется такая собственная существенная поверхность F, что наклон края dF равен а (смотри, например, [17]).

Знание граничных наклонов в данном трехмерном многообразии М интересно не только для изучения многообразия М, но и для многообразий его содержащих. Например, рассмотрим произвольное компактное ориентируемое многообразие М с торическим краем. Приклеим к нему полноторие по гомеоморфизму края на край, заданному наклоном а, получим новое многообразие М(а), называемое заполнением Дена многообразия М. Известно, что если исходное многообразие М было гиперболическим, то М(а) будет гиперболическим почти для всех наклонов а за исключением конечного числа (исключительные наклоны) (смотри, например, [19]). В последнее время именно исключительные наклоны вызывают большой интерес [5, 7, 17, 18]. В частности, если М(а) является приводимым (содержит существенную сферу), тороидальным (содержит существенный тор), то а — исключительный наклон. В первом случае, в многообразии М найдется собственный существенный проколотый диск, граничные кривые которого лежат в классе а, во втором — существенный проколотый тор.

В настоящей диссертации решается задача алгоритмического нахождения граничных наклонов на крае произвольного трехмерного многообразия. Более точно, строится алгоритм, выясняющий, содержит ли данное трехмерное многообразие М граничный наклон, род которого не превосходит данного числа N. Если ответ на этот вопрос положительный, то алгоритм строит один из таких граничных наклонов и существенную поверхность, натянутую на этот наклон. Решение задачи разбито на два основных шага. Во-первых, строится алгоритм для нахождения так называемых плоских наклонов, другими словами, для нахождения существенных поверхностей рода 0 с краем в данном многообразии. Напомним, что родом ориентируемой поверхности F с краем называется род (число ручек) замкнутой поверхности, которая получается из F заклеиванием дисками всех компонент края. Связные поверхности рода О с непустым краем называют плоскими, подчеркивая возможность вложения их в плоскость. Примеры плоских поверхностей вы видите на рисунке 3.

Диск Кольцо Диск с двумя дырками

Рис. 3: Плоские поверхности.

Хорошо известно, что наличие или отсутствие существенных плоских поверхностей может много сказать о многообразии. Поэтому задача их алгоритмического нахождения весьма актуальна. Приведем несколько примеров.

Пример 1. Узел К в трехмерной сфере является тривиальным тогда и только тогда, когда его дополнительное пространство С к содержит существенный диск. Объяснение здесь простое, край этого диска является одной из параллелей узла, которая, конечно, изотопна узлу. Этот факт позволил построить алгоритм распознавания тривиальности узла [8].

Пример 2. Напомним, что трехмерное гиперболическое многообразие не может содержать существенных колец. Поэтому информация о наличии существенных колец весьма важна: если многообразие содержит существенные кольца, то оно не является гиперболическим. Задача алгоритмического нахождения существенных колец также решена (смотри, например, [2]).

Пример 3. Информация о том, содержит ли данное трехмерное многообразие существенные кольца весьма важна для наличия на нем структуры Зейферта (расслоения на непересекающиеся простые замкнутые кривые — слои), поскольку все гранично неприводимые многообразия

Зейферта с краем содержат существенные кольца.

Пример 4. Обобщая пример неприводимых заполнений Дена, рассмотрим два неприводимых многообразия Mi и Мг с общим краем. Если объединение М\ \JV М2 по гомеоморфизму ip : дМ\ —>■ дМ^ края <9 Mi на край дМ'2. является приводимым многообразием, то одно из многообразий Mij М2 является гранично приводимым, а другое содержит существенную плоскую поверхность.

Как уже отмечалось выше, задача алгоритмического нахождения существенного диска и существенного кольца в данном трехмерном многообразии уже решена (смотри, например, [2, 8]). Решение строится по методу нормальных поверхностей Хакена. Следующий большой результат в этом направлении принадлежит У. Джейко, Э. Седжвику и X. Рубинштейну (смотри [13, 14]). Они построили алгоритм, выясняющий, содержит ли данное многообразие с торическим краем (затем с краем, состоящим из нескольких торов) существенную плоскую поверхность. Важность результата состоит в том, что искомая поверхность может иметь произвольное число граничных кривых. Алгоритм использует теорию нормальных поверхностей Хакена, однако не следует из прямого его применения. Ключевым моментом при построении алгоритма служит оценка средней длины граничных кривых любой существенной плоской поверхности в данном триангулированном многообразии. Эта оценка строится алгоритмически и зависит только от многообразия и выбранной триангуляции (смотри параграф 2.3).

Первым основным результатом диссертации служит следующая теорема.

Теорема 2.4. Существует алгоритм, выясняющий, содержит ли данное ориентируемое компактное неприводимое трехмерное многообразие М существенную плоскую поверхность. В случае положительного ответа алгоритм строит существенную в М плоскую поверхность.

Доказательство теоремы опирается на результаты У. Джейко и др., однако имеет принципиальные отличия. Во-первых, в доказательстве У. Джейко и др. существенно использовалось, что край многообразия состоит из одного (смотри [14]) или многих (смотри [13]) торов. Для многообразий с произвольным краем их методов недостаточно. Отличительным моментом в настоящей диссертации является использование так' называемых граничных узоров. Суть заключается в том, что мы фиксируем на крае многообразия некоторый граф (граничный узор) и рассматриваем только чистые поверхности, не пересекающие наш граф. Понятие граничного узора было введено К. Йоганнсоном в конце 70-х (смотри [15])! Отметим, что теория нормальных поверхностей для многообразий с граничным узором (рассматриваются только чистые поверхности) в идейном смысле мало отличается от теории Хакена. Практически все основные результаты теории Хакена допускают обобщения на случай многообразий с граничными узорами (смотри, например, [2]).

Нужно отметить, что наш метод позволил не только доказать теорему об алгоритмическом нахождении плоских поверхностей в многообразиях с произвольными краями, но и предложить намного более простое доказательство аналогичной теоремы У. Джейко и др. (смотри [13]) для случая многообразий, краями которых являются наборы торов.

Решение задачи алгоритмического нахождения плоских наклонов позволило перейти к вопросу об алгоритмическом нахождении граничных наклонов ограниченного рода. Переформулировать этот вопрос можно так: существует ли алгоритм, выясняющий, содержит ли данное многообразие существенную поверхность, род которых не превосходит данного числа. Наряду с плоскими поверхностями, существенные поверхности более высокого рода также интересны как для самого трехмерного многообразия, так и для его заполнений. Например, большие многообразия Зейферта, многообразия Хакена содержат существенные поверхности, род которых больше нуля.

Второй основной результат настоящей диссертации можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 3.2. Существует алгоритм, который по данному компактному ориентируемому неприводимому гранично неприводимому трехмерному многообразию М и данному числу N > 0 выясняет, содержит ли М существенную ориентируемую поверхность, род которой не превосходит N. В случае положительного ответа алгоритм строит такую существенную ориентируемую поверхность F, что g(F) < N.

Однако, предложенный алгоритм имеет недостаток — в результате его работы мы можем получить замкнутую поверхность. Хотелось бы уметь алгоритмически находить только поверхности с краем, возможно неориентируемые. Заметим, что род неориентируемой поверхности, которая есть связная сумма т проективных поверхностей, равен При решении этой задачи возникла проблема, мы не умеем алгоритмически проверять существенность неориентирумой поверхности (точнее ее несжимаемость). Поэтому рассматриваем более узкий класс поверхностей, инъек-тивные существенные поверхности. Напомним, что связная поверхность F с М называется инъактивной, если гомоморфизм г* : 7Ti(F) —> 7Ti(M), индуцированный вложением г : F М, является инъективным (смотри [2, 12]). Заметим, что инъективная поверхность является несжимаемой.

Теорема 3.6. Существует алгоритм, выясняющий для данного целого числа N, содержит ли данное ориентируемое компактное неприводимое гранично неприводимое трехмерное многообразие М такую связную инъективную существенную проколотую поверхность F, что g(F) < N. В случае положительного ответа алгоритм строит такую существенную инъективную поверхность F, что g(F) < N.

В диссертации получены следующие основные результаты:

- Построен алгоритм, выясняющий, содержит ли данное ориентируемое компактное многообразие существенную плоскую поверхность (плоский наклон). В случае положительного ответа, алгоритм строит существенную плоскую поверхность (теорема 2.4).

- Построен алгоритм, выясняющий, содержит ли данное ориентируемое компактное многообразие существенную ориентируемую поверхность рода не выше N, где N задано (граничный ориентируе

• мый наклон ограниченного рода). В случае положительного ответа, алгоритм строит такую поверхность (теорема 3.2).

- Построен алгоритм, выясняющий, содержит ли данное ориентируемое компактное многообразие существенную инъективную поверхность рода не выше N, где N задано (граничный инъективный наклон ограниченного рода). В случае положительного ответа, алгоритм строит такую поверхность (теорема 3.6). Этот алгоритм является модификацией предыдущего и нужен для того, чтобы находить неориентируемые существенные поверхности.

Перейдем к изложению содержания диссертации по главам.

1. Jaco, W., Letscher, D., Rubinstein, J. H. Algorithm for essential surfaces in 3-manifolds. // Contemporary Mathematics. 2002. V. 314. P. 107-124.

2. Jaco, W., Oertel, U. An algorithm to decide if a 3-manifold is a Haken manifold. // Topology. 1984. V. 23. № 2. P. 195-209.

3. Jaco, W., Rubinstein, J. H., Sedgwick, E. Finding planar surfaces in knot- and link-manifolds. // arXiv:math.GT/0608700.

4. Jaco, W., Sedgwick, E. Decision problems in the space of Dehn fillings. // Topology. 2003. V 42. P. 845-906.

5. Johannson, K. Homotopy equivalences of 3-manifolds with boundaries. // Lecture Notes in Mathematics, V. 761. Springer. Berlin. 1979.

6. Kneser, H. Geschlossene Flachen in dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten. // Jahresber. Dent. Math. Ver. 1929. V. 38. P. 248-260.

7. Mattman, T. Boundary slopes (nearly) bound cyclic slopes. // Algebraic к Geometric Topology. 2005. V. 5. P. 741-750.

8. Motegi, K., Song, H. J. All integral slopes can be Seifert fibered slopes for hyperbolic knots. // Algebraic and Geometric Topology. 2005. V. 5. P. 369-378.

9. Thurston, W. P. Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry. // Bull. Amer. Math. Soc. 1982. V. 6. P. 357-381.Работы автора по теме диссертации

10. Сбродова, Е. А. Алгоритм нахождения плоских поверхностей в трёхмерных многообразиях. // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11. № 4. С. 197-202.

11. Sbrodova, Е. An algorithm of finding planar surfaces in three-manifolds. /I Siberian Electronic Mathematical Reports. 2005. T. 2. P. 192-193.

12. Сбродова, E. А. Плоские поверхности в трехмерных многообразиях. // Сибирские электронные математические известия. 2006. Т. 3. С. 451-463.

13. Сбродова, Е. А. Собственные существенные поверхности ограниченной характеристики в трехмерных многообразиях. // Труды 38-й per. молодежной школы-конф. «Проблемы теоретической и прикладной математики». Екатеринбург: ИММ УрО РАН. 2007. С. 94-95.

14. Сбродова, Е. А. Граничные наклоны трехмерных многообразий. // Тез. докл. конф. «Математика в современном мире», посвященной 50-летию Ин-та математики им. С. Л. Соболева СО РАН. Новосибирск: Ин-т математики им. С. Л. Соболева СО РАН. 2007. С. 94-95.

15. Сбродова, Е. А. Алгоритмическое нахождение собственных существенных поверхностей в трехмерных многообразиях. // Математические заметки. 2007. Т. 82. № 4. С. 593-597.