Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

1682

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

МАНТУРОВ Василий Олегович

ГЕОМЕТРИЯ И КОМБИНАТОРИКА ВИРТУАЛЬНЫХ УЗЛОВ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математическ:

На правах рукописи УДК 515

Москва - 2008

Работа выполнена на кафедре геометрии Московского государственного областного

университета.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ВИРО Олег Янович

доктор физико-математических наук, профессор НЕЦВЕТАЕВ Никита Юрьевич доктор физико-математических наук, профессор ЧЕРНАВСКИЙ Алексей Викторович

Институт математики имени Ведущая организация: С.Л.Соболева Сибирского отделения

Российской Академии Наук

Защита диссертации состоится " 2008 г. в 16 ч. 40 мин. на заседании

диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном униперситете им. М.В.Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСГ1-1, Ленинские Горы, Московский государственный университет, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж) Автореферат разослан "3." 008 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84, доктор физико-математических наук, профессор

А.О.Иванов.

1 Общая характеристика работы 1.1 Актуальность темы диссертации

В последние десятилетня первостепенную роль в геометрии и топологии стали играть проблемы, связанные с топологией малых размерностей (инварианты узлов, трехмерных и четырехмерных многообразий, гладкие структуры на четырехмерных многообразиях, .чежандроиы узлы1, инварианты Зайберга-Виттена 2, гомологии Хегора-Флоера'1 ) ] 1ри ¡Тим особое значение приобрели новые методы в теории узлов, а также широкое обобщение теории узлов — то, что теперь называется "теорией виртуальных узлов" Важные инварианты и результаты получаются часто с использованием комбинаторных методов, а также методов, разработанных в теории виртуальных узлов и теории тма'тгпЛ Хованпва. Исследованию последних двух теорий и посвящена настоящая диссертация.

Со времен I 'нйдемейстера'1 классический узел понимается комбинаторно — как класс эквивалентности вложенных в плоскость четырехвалентных графов со структурой проход-переход по локальным перестройкам (и сохраняющим ориентацию автоморфизмам плоскости): тги перестройки, называются движениями Рейдемейстера и обозначаются ib.ibJV

Классические инварианты узлов, определяемые в топологических терминах (полином Александера, сигнатура) не смогли дать ответа на многие вопросы в теории узлов. Прорыв в современной теории узлов, начавшийся с работы Конвея5, основан на комбинаторном определении инвариантов.

Все эти комбинаторные инварианты определяются, исходя из диаграмм узлов. Таковы, например, скеин-кнварианты — это инварианты, определяемые на всех ориентированных зацеплениях, которые для каждой тройки "похожих" диаграмм (тройки Конвея), отличающихся только в малой окружности удовлетворяют определенному линейному соотношению.

Важным развитием теории инвариантов узлов является теория инвариантов Васильева6. Инварианты Васильева (инвариантами конечного порядка) изначально были определены топологически (посредством спектральной последовательности, вычисляющей гомологии пространства сингулярных отображений окружности в трехмерное

U-'ucli:-, D und T.ib.ichtiikov, S (1997), Invariants of Logendrian and transverse knots in the standard contact space,

Topelm. 30. pp. 1025-1053.

Зсм., lurip , Дж Д Mvp. Лекции oti инвариантах ЗаАберга-Виттепа, МЦНМО, M., 2003

10.«:v;Uh, Г, SïaM.Z '(200G). Heegaard Diagramsand Flocr Homology, Proc. ICM-2006, Madrid, EMS, vol. 2 , pp. 1083-№99

'Hndnneislcr, I< (IM2> Knoltnlhctinc, (Berlin: Springer).

'Conway, J.H (;9"0), An enumeration of knots and links and some of their algebraic properties, In: Computational Probkms in Abstract Alyt.ra (New York, Pergamon Press), pp. 329-358.

'Vnisiliev, V A i 1 y'Jll) Cotiomology of knot spaccs, in Theory of Singularities and its applications, Adv. in Sov. Mat!i.,l, pp 23-70.

пространство), но затем появилось их комбинаторное определение, которое состоит в следующем.

Пусть / — инвариапт узлов. Тогда можно задать его значение на сингулярных узлах — иммерсиях окружности общего положения, все особенности которых исчерпываются конечным числом двойных трансверсальных точек. Определим индуктивно производные инварианта / по правилу

./(n+1)(X) = /tn)(X)-/(n)(X)- i1)

Здесь = / — исходная функция на обычных узлах, а значение функции /<п+1' на сингулярных узлах с (n+1) перекрестком определяется, исходя из значений функции на диаграммах с п перекрестками, получаемых разрешением этого перекрестка согласно (1). Инвариант / называется инвариантом (Васильева) конечного порядка (порядка < п), если /("+1' = 0.

Важным примером скейн-полиномов является полином Джонса7.

Оказывается, что этот полином (после простой замены переменной) может быть выражен посредством более простого соотношения. А именно, скобка Кауфмана 8 от одной переменной а, задаваемая с помощью соотношения

(Х) = а(Х) + а",(Х>> (2)

после нормировки (умножения на некоторую степень от (-а)) дает инвариантный полином X, который получается из полинома Джонса заменой переменной.

Соотношение (2) выражает значение скобки Кауфмана для диаграммы с п перекрестками через значение скобки на диаграммах со строго меньшим количеством перекрестков. Для всякой неориентированной диаграммы L с п (классическими) перекрестками скобку Кауфмана можно записать в виде суммы 2" слагаемых

(.L) = £ - (3)

5

где сумма берется по всевозможным состояниям s (разведениям всех перекрестков), a(s) — это количество перекрестков, разведенных положительно: Х^ ~~ОС ß(s) ~ п - a(s), а 7(s) — число окружностей в разведенном состоянии s. Состояния можно рассматривать как вершины дискретного куба {0,1}", где 0 соответствует положительному разведению, а 1 — отрицательному. Здесь величина (-а2 — аТ2)*"'-1 — это значение скобки Кауфмана на тривиальном зацеплении с к компонентами.

Инвариант X(L) равен (-а)~3ш^(|1,|), где \L\ — диаграмма, полученная из L"забыванием ориентации", a w(L) — сумма знаков классических перекрестков диаграммы

'Jon«, V. F. R. (1985), A polynomial invariant [or links via Neumann algebras, Bull. AUS, 120, pp. 103-112.

•Kauffman, L.H. (1987), State Models and the Junes Polynomial, Topology, 20 (1987), pp. 395-407.

L (перекресток ^ считается положительным, а перекресток ^ — отрицательным).

Революционная идея Хованова9 состоит в переходе от полиномов к линейным градуированным пространствам, от линейных комбинаций — к комплексам, а от инвариантного полинома (нормированной скобки Кауфмана) к гомологиям биградуированного комплекса (которые оказываются инвариантными относительно движений Рейдемей-стера); здесь в структуре куба используется не только количество окружностей в каждом состоянии, но и их взаимное расположение и перестройка.

Замечание. Здесь правильнее было бы говорить о когомологиях, но в литературе устоялось название помологии Хованова, которого мы и будем придерживаться.

Обозначения в теориях Хованова и Кауфмана несколько отличаются друг от друга нормировкой на тривиальном узле и заменой переменной. А именно, у Хованова q = -а2, где а — обычная переменная, используемая в скобке Кауфмана. Соответствующий полином Джонса, принимающий на тривиальном узле значение (д + д'1), обозначается через J.

Опишем конструкцию гомологий Хованова для классических узлов, следуя9.

Рассмотрим биградуированные комплексы, у которых первая градуировка будет называться высотой, а вторая — просто градуировкой. Дифференциал в комплексе сохраняет градуировку и повышает высоту на единицу.

Пусть дана диаграмма L с п классическими перекрестками. Ей соответствует дискретный куб {0,1}", с каждой вершиной s которого связано некоторое количество окружностей 7(s). Сопоставим каждой вершине куба биградуированный модуль Ven,'i)[ß(s)]{/3(s)}j-n_]{n+ - 2п_}. Здесь V — биградуированный модуль, порожденный элементами 1 и X градуировок (0,1) и (0, -1) соответственно. Далее, ß(s) — высота вершины, ип.- количества положительных и отрицательных перекрестков, а [•] и {•}, означают сдвиг первой и второй градуировки соответственно. Пространство цепей комплекса есть прямая сумма пространств цепей, соответствующих всем вершинам куба.

Оказывается, можно так определить дифференциал на этом биградуированном модуле, что градуированная эйлерова характеристика полученного комплекса будет равна полиному Джонса J (который отличается от обычного полинома Джонса нормировкой и заменой переменной).

Дифференциал 9 представляет собой сумму частичных дифференциалов, каждый из которых действует вдоль ребер куба в направлении, увеличивающем координату. В случае классических зацеплений частичный дифференциал определяется отображениями умножения т : V ® V -> V и коумножения Д : V -> V ® V (на некоторых ребрах ставится также знак минус, чтобы квадрат результирующего дифференциала был равен нулю). Мы полагаем

•Khovmiov, М. (1997), A calorification of the Jone polynomial, Duke Math. ./,101 (3), pp.359-426.

т:

Н-» 1,

И)

Д :

1 10Х + Х® 1

(5)

Хн

Частичный дифференциал д вдоль ребра куба представляет собой тензорное произведение ±Д или ±т и набора отображений Id\ здесь ±Д или ±т относятся к тем окружностям, которые перестраиваются в данном перекрестке, a Id — к остальным. Получим биградуированное пространство цепей С с дифференциалом д на нем.

Теория виртуальных узлов, изобретенная Кауфманом в работе10 возникает как комбинаторное обобщение классической теории узлов (вводится новый вид перекрестка, называемый виртуальным и обобщаются движения Рейдемейстера). При этом она имеет также геометрический аспект: виртуальные узлы — это узлы в утолщенных поверхностях вида М х [0,1], где М — ориентированная двумерная компактная поверхность, рассматриваемая с точностью до добавления/удаления ручек. Более точно, виртуальные узлы имеют три определения.

Первое (комбинаторное): классы эквивалентности диаграмм по преобразованиям. Новый тип перекрестка называется виртуальным и изображается кружочком. Набор обобщенных движений Рейдемейстера таков: это все обычные движения Рейдемейстера, относящиеся к классическим перекресткам, а также движение объезда. Последнее состоит в том, что дуга, содержащая последовательно несколько виртуальных перекрестков, но не содержащая классических перекрестков, может быть преобразована в любую другую дугу с теми же начальной и конечной точками; на месте пересечений новой дуги с оставшейся частью диаграммы узла ставятся виртуальные перекрестки.

Движение объезда можно заменить его локальными версиям — виртуальным движениям Рейдемейстера, которые состоят из: чисто виртуальных движений Рейдемейстера П'цП'з.Пд, которые получаются из классических движений Рейдемейстера заменой всех участвующих в них классических перекрестков виртуальными перекресткамии полувиртуальной версии fig третьего движения Рейдемейстера, которая состоит в том, что дуга, содержащая два виртуальных перекрестка, может быть перенесена сквозь классический перекресток.

Наличие движения объезда подводит к следующей трактовке виртуальных узлов. Известно, что классические узлы задаются гауссовыми диаграммами.

Гауссовой диаграммой, соответствующей плоской диаграмме (виртуального) узла К, называется диаграмма, состоящая из ориентированной окружности (с фиксированной точкой), на которой прообразы прохода и перехода (для каждого классического

'"Каийгшш, L. Н. (1999), Virtual knot theory, Eur. J. Combmatonci 20(7), pp. 662-690.

перекрестка) соединены стрелками; каждая стрелка направлена от прообраза перехода к прообразу прохода и снабжена знаком, который совпадает со знаком перекрестка.

Произвольные гауссовы диаграммы, вообще говоря, не могут быть реализованы в виде вложения графа в плоскость, но можно их реализовать посредством погружения общего положения, отмечая точки, имеющие больше одного прообраза (в случае общего положения — ровно два прообраза), виртуальными перекрестками, см. рис. 1. На самой гауссовой диаграмме виртуальные перекрестки не отмечаются.

Это естественным образом приводит к следующему (второму) определению виртуальных узлов (не зацеплений). Рассмотрим все формальные гауссовы диаграммы и опишем формально движения Рейдемейстера (как в случае классических диаграмм). При этом классы эквивалентности гауссовых диаграмм по формальным движениям Рейдемейстера и будут представлять виртуальные узлы. Отметим, что нам не понадобится движение объезда, так как гауссова диаграмма "не знает" ничего о расположении виртуальных перекрестков на плоскости, а "знает" лишь классические перекрестки и то, как они соединены между собой.

Тот факт, что две ветви виртуального узла, имеющие виртуальное пересечение, относятся к двум "далеко стоящим" мастям узла, приводит к (третьему, топологическому) определению виртуальных узлов как узлов в утолщенных поверхностях 5 х где 5 — двумерная ориентированная замкнутая поверхность, а I — отрезок; при этом утолщенные поверхности должны рассматриваться с точностью до стабилизации, т.е. с точностью до добавления (удаления) ручек к поверхности 5 так, чтобы добавляемые утолщенные ручки не затрагивали соответствующего узла. Здесь и далее предполагается, что на утолщенной поверхности 5x7 фиксирована структура прямого произведения и указано, какой край является верхним, а какой — нижним. Никакой струкутры на S не фиксируется, так что можно считать, что S рассматривается с точностью до гомеоморфизма, сохраняющего ориентацию. Аналогичная теория узлов в ориентированных утолщениях произвольных двумерных замкнутых поверхностях носит название теории скрученнш узлов11.

В случае зацепления разрешим также несвязные поверхности Sj U- • • US*. Зацепле-

"Bourgoin, M. О., Twisted Link Theory, »rxiv: math. GT/0608233.

ния в S X I описываются диаграммами на 5 с проходами и переходами. В этом смысле виртуальные диаграммы получаются с помощью регулярных проекций общего положения диаграмм с S на плоскость: перекрестки переходят в классические перекрестки, а новые пересечения (дефекты проекции) отмечаются виртуальными перекрестками. Движения Рейдемейстера для диаграмм на S (те же, что и в случае классических диаграмм узлов) соответствуют классическим движениям Рейдемейстера для диаграмм HaR2; существуют также преобразования, которые не меняют комбинаторной структуры диаграммы на S, но меняют комбинаторную структуру проекции на плоскость: им соответствует движение объезда. Таким образом, виртуальные узлы сами по себе представляют объекты маломерной топологии. Поэтому любая задача про виртуальные узлы (решенная, например, из диаграмматических соображений) представляет собой некоторый факт из маломерной топологии. Теорема об эквивалентности различных определений виртуальных узлов была анонсирована в первой работе Кауфмана о виртуальных узлах и доказана различными авторами, в том числе Кауфманом. Полное подробное доказательство можно найти, например, в [Mal].

Отметим, что гауссовы диаграммы являются важнейшим инструментом при построении инвариантов Васильева узлов. А именно, М.Н.Гусаровым12 доказана теорема о существовании комбинаторных формул типа Виро-Поляка13 для вычисления произвольных инвариантов Васильева классических узлов. Каждая комбинаторная формула связана с подсчетом вхождений (с коэффициентами) в данную гауссову диаграмму фиксированных поддиаграмм из данного набора. При этом в числе фиксированных диаграмм могут встречаться и нереализуемые диаграммы — диаграммы, соответствующие виртуальным узлам. Это послужило мотивом для построения аналогичной теории инвариантов конечного порядка для виртуальных узлов, предложенной в12. Таким образом, виртуальные узлы были использованы для решения задачи об инвариантах классических узлов.

Другое (более общее) определение инвариантов конечного порядка было приведено в последней редакции работы Кауфмана10.

На виртуальные узлы естественным образом обобщаются как комбинаторные (полином Джонса), так и топологические (фундаментальная группа) инварианты классических узлов. Полином Джонса получается нормировкой скобки Кауфмана, задаваемой по формуле (3), при этом разводятся только классические перекрестки.

Изучение виртуальных узлов мотивировано следующими обстоятельствами. Понятие виртуального узла является естественным и ближайшим обобщением понятия классического узла. Действительно, диаграмма классического узла представляет со-

"Goussarov M-, Polyak M., and Viro 0.(2000), Finite type invariants of classical and virtual knots, Topology 39, pp. 1045-1068.

"Polyak, M. and Viro, 0 (1994), Gauss diagram formulae for Vassiliev invariants, ¡ni. Math Research Nola, 11, pp. 445-453.

бой набор классических перекрестков на плоскости, соединенных между собой предписанным образом. При этом линии соединения не пересекаются между собой. Если при соединении окрестностей перекрестков предписанным образом возникают пересечения соединяющих линий, то соответствующая диаграмма определяет виртуальный узел. Тем самым виртуальные узлы относятся к классическим узлам так же, как произвольные графы к планарным графам. Кроме того, естественность обобщения "классический узел - виртуальный узел" соответствует переходу от утолщенной двумерной сферы к утолщенным двумерным поверхностям. Таким образом, теория виртуальных узлов существенно богаче, чем теория классических узлов и является естественным обобщением последней. Методы теории узлов последнего времени в большой степени могут быть перенесены на случай виртуальных узлов в силу внутреннего родства обеих теорий. Речь идет о четырехвалентных графах и структуре проход/переход в перекрестках. Таким образом, из классической задачи описания отображений окружности в трехмерное многообразие выделяется большая часть (а именно, отображение окружности в утолщенные двумерные поверхности), исследованная в диссертации.

2 Цель работы

Построить теорию гомологий Хованова для виртуальных узлов. Изучить свойства гомологий Хованова классических и виртуальных узлов применительно к оценкам характеристик узлов (число перекрестков и др).

Выявить феномены теории виртуальных узлов, которые не имеют места для классических узлов.

Построить теорию инвариантов длинных виртуальных узлов.

Выяснить связь между инвариантами Васильева классических и виртуальных узлов.

Доказать гипотезу Васильева о планарности графов с крестовой структурой.

Доказать алгоритмическую распознаваемость виртуальных узлов.

Построить инварианты виртуальных кос и выявить их связь с классическими косами.

Разработать методы, устанавливающие неклассичность виртуальных узлов.

3 Методы исследования

Одним из основных методов исследования, используемых в настоящей диссертации является разработанный автором метод кодирования узлов и виртуальных узлов посредством так называемых атомов14 (а также d-диаграмм для классических узлов).

"Атом бил «первые определю А.Т.Фоыевхо a pafiore Fomenko А. Т. (1991), The theory of maltidimeneional integrable hunütoniui jystems (with arbitrary many degrees of freedom). Molecular table of all integrable systems with two degrees oí

Понятие (¿-диаграммы и кодировка узлов посредством атомов и ¿-диаграмм изложена в15. Так, метод атомов использован автором при построении теории гомологий Хо-ванова виртуальных узлов, а также при доказательстве гипотезы Васильева. Этот метод также широко применяется в проблемах распознавания минимальности диаграмм классических и виртуальных зацеплений и позволяет установить единую точку зрения на все виртуальные узлы, неотъемлемой частью которых являются классические узлы [Mal, Ма5, Маб, Mall, Ма12, Maní, Мап9]. Идея d-диаграмм состоит в том, что вместо трансверсалъного обхода диаграммы узла или четырехвалентного графа рассматривается поворачивающий обход. Такие обходы также приводят к хордовым диаграммам, при этом планарным графам (соотв., классическим зацеплениям) отвечают (¿-диаграммы (хородвые диаграммы, хорды которых состоят из двух семейств, в каждом из которых хорды попарно незацеплены), в то время как виртуальным зацеплениям и непланарным графам отвечают произвольные хордовые диаграммы.

Для построения теории гомологий Хованова с произвольными коэффициентами для произвольных виртуальных узлов в главе 6 потребовалось использовать набор новых предложенных автором идей: скрученные коэффициенты, взятие внешнего произведения вместо симметрического и замена базиса в алгебре Фробениуса.

В главах 4, 5 и 6 использовались также стандартные методы, используемые в теории гомологий Хованова: метод сокращения для комплексов, метод затягивающего дерева Тистлтуэйта (-Верли-Кофмана-Чампанеркара)

В теории длинных виртуальных узлов автором предложен метод длинных группоидов; с помощью этого метода решена проблема некоммутируемости виртуальных узлов.

В диссертации также использовались классические методы и их обобщения. Так, для доказательства алгоритмической распознаваемости виртуальных зацеплений, а также для доказательства нетривиальности связной суммы виртуальных зацеплений были использованы методы трехмерной топологии — теория Хакена-Хемиона-Матвеева 16 в сочетании со структурной теоремой Куперберга 17 о единственности минимального представителя заданного класса вирутальных зацеплений.

При построении различных комбинаторных инвариантов виртуальных узлов, автором предложено рассматривать дополнительную алгебраическую структуру в виртуальных перекрестках (виртуальные группоиды).

В диссертации используются методы трехмерной топологии, алгебраические методы, связанные с дистрибутивным группоидом и его обобщениями, различные полиномиальные инварианты, в том числе матричные, формально комбинаторные, различ-

freedora, Adv. Sov. Math, б, pp. 1-35. "Мантуров, В О. (2000), Скобочная полугруппа узлов, Мат. Заметки, 07, (4), сс. 449-462. "M&tvMV, S.V (2003), Algorithmic topology and classification of S-mant/otós, (N.-Y.: Springer Verlag). lTKuperberg, G. (2002), What il a Virtual Link?, Algebraic and Geometry Topology, 2003, 3, 587-581.

ныс подходы к скобке Кауфмана и теории гомологий Хованова.

4 Научная новизна

Настоящая диссертация является первым систематическим исследованием, целиком посвященным новой бурно развивающейся ветви маломерной топологии — теории виртуальных узлов (сотни публикаций за последние несколько лет). В ней модернизировано определение гомологий Хованова для классических узлов, и построена теория гомологий Хованова для виртуальных узлов. Кроме того, в диссертации доказана гипотеза Васильева о планарности сингулярных зацеплений, доказан ряд стуктурных теорем (о нетривиальности связной суммы нетривиальных узлов, о некоммутируемости длинных узлов) и установлена единая точка зрения на виртуальные и классические узлы, связанная с атомами.

Все основные положения диссертации, выдвигаемые на защиту, являются новыми.

5 Теоретическая и практическая ценность

Виртуальные узлы представляют собой естественное обобщение классических узлов.

Теория виртуальных узлов представляет собой раздел маломерной топологии, более широкий, чем обычная теория узлов, но допускающий удобную комбинаторную интерпретацию. Тем самым каждый результат из теории виртуальных узлов представляет собой результат из трехмерной топологии. Частными случаями являются: зацепления в утолщенном торе (который можно трактовать как дополнение к зацеплению Хопфа), а также узлы в трехмерном проективном пространстве, которые представляют собой частный случай скрученных узлов — важного обобщения виртуальных узлов, для которых в настоящей диссертации построена теория гомологий Хованова. Последние две тесно связаны с классификацией скрещивающихся конфигураций прямых в трехмерном пространстве.

Важным примером применения теории виртуальных узлов к теории классических узлов послужила теорема Гусарова12. Еще одним примером являетя (незаконченная) работа Хованова-Розанского, в которой строится категорификация полинома Кауфмана для классических узлов посредством виртуальных узлов18.

Изучение феноменов теории виртуальных узлов, не имеющих место в классической теории узлов (некоммутируемость длинных узлов, существование узлов с нетривиальным полиномом Джонса и тривиальной фундаментальной группой) показывают неприменимость методов алгебраической топологии для понимания структуры инваг риантов узлов.

"Khovanav, M., Roianiky, L.,Virtual crossings, convolutions and & c&tegorification of the SO(2N) Kauffman polynomial, arXiv.Math:GT/0701333

Теория гомологий Хованова дает подход к решению различных задач в теории узлов: доказательство минимальности диаграмм узлов, оценки рода Зейферта, числа заузленности, а также неэквивалентность понятий кусочно-линейной и гладкой сре-занности узла.

После построения теории гомологий Хованова для виртуальных узлов многие из этих результатов и оценок прямо или с небольшими модификациями переносятся на более широкий класс объектов трехмерной топологии.

Комбинаторика виртуальных узлов стимулирует постановку новых задач и построение новых теорий (напр., теория виртуальных трехмерных графов Меллора и Флемминга19).

Работа имеет теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы специалистами в теории узлов и алгебраической, геометрической и маломерной топологии: в теории узлов, трехмерных и четырехмерных многообразий, в теории представлений групп и алгебр Ли, групп кос.

6 Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на:

1 Международном математическом конгрессе-2002, Пекин.

2 Международном математическом конгрессе-2006, Мадрид.

3 Международной российско-французской конференции "Autour des tresses", Москва, 2002.

4 Конференции "Knots in Poland", Варшава-Бедлево, 2003, два доклада.

5 Международной конференции, посвященной столетию со дня рождения Л.В.Келдыш, Москва, 2004 (приглашенный доклад),

6 Конференции "Categorification in algebra and topology", Uppsala, Швеция, 2006,

7. Конференции "Algebraic Topology - old and new", посвященной памяти М.М.Постникова, Бедлево, Польша, 2007

8. Конференции "Geometry and Physics - in Memory of Xiao-Song Lin", Тяньцзинь, КНР, 2007.

а также на семинарах:

1. Семинаре кафедры дифференциальной геометрии и приложений, рук. акад. РАН А.Т.Фоменко, МГУ, 2004, 2006, 2007 - многократко.

2. Семинаре "Современные геометрические методы" под рук. акад. РАН А.Т.Фоменко, проф. А.С.Мищенко, проф. А.В.Болсинова, МГУ (2002,2003).

3. Семинаре "Узлы и дискриминанты" акад. РАН В.А.Васильева (Независимый московский университет, 2002, дважды в 2004).

"Hemming,Т., Mellor, В., Virtu»] Spatial Graphs, arXiv.MathiGT, 0510158

4. Семинаре по алгебраической топологии проф. В.М.Бухштабера и проф. А.В.Чер-навского (МГУ, трижды в 2005 и один раз в 2007).

5. Семинаре под руководством акад. РАН О.Б.Лупанова, МГУ, 2003, 2005.

6. Семинаре им. П.С.Александрова, МГУ, рук. проф. В.В.Федорчук, 2004.

7. Семинаре по теории особенностей акад. В.И.Арнольда, акад. В.А.Васильева, проф. В.М.Закалюкина, проф. С.М.Гусейн-Заде (МГУ, 2005).

8. Семинаре проф. А.С.Мищенко, проф. И.К.Вабенко, проф. Е.В.Троицкого, проф. В.М.Мануйлова (МГУ, 2007, дважды).

9. Семинаре проф. О.М.Касим-Заде (2003, МГУ).

10. Петербургском городском топологическом семинаре им. В.А. Рохлина, рук. проф. Н.Ю.Нецветаев и проф. В.М.Нежинский (2005, дважды).

И. Семинаре по маломерной математике "Москва-Петербург" (С.-Петербург, ст. наг учн. сотр. С.В.Дужин, СПОМИ РАН, 2005).

12. Семинаре проф. В.М.Нежинского (С.-Петербург, 2005).

13. Семинаре под руководством проф. С.С.Рышкова, проф. Н.П.Долбилина, д.ф.-м.н. Н.Г.Мощевитина, МГУ, 2004.

14. Семинарах в Ruhr-Universität Bochum (Hubert Flenner, Uwe Abresch), 2002.

15. Семинаре в Alfred Renyi Intezet, Budapest (Andras Szücs), 2005.

17. Семинаре проф. О.Я.Виро (Uppsala Universitetet), многократно в 2006.

7 Струкутра и объем диссертации. Краткое содержание диссертации

Общий объем диссертации составляет 387 страниц. Список литературы — 204 наименования.

Первая глава диссертации является введением. В ней приведены различные определения виртуальных узлов, а также история развития теории узлов. В первой главе описывается мотивация диссертационного исследования, перечисляются основные результаты, а также апробация работы.

Вторая глава посвящена взаимосвязи теории виртуальных узлов с трехмерной топологией. Здесь используется определение виртуального зацепления как зацепления в утолщенной ориентированной поверхности, рассмотренное с точностью до изотопии зацепления и стабилизации/дестабилизации поверхности (и гомеоморфизмов поверхности на себя, сохраняющих ориентацию).

Дестабилизация (удаление ручек) позволяет упрощать исходную поверхность. Это приводит к естественному вопросу о минимальном представителе — таком задании виртуального зацепления в утолщенной поверхности, к которому дальнейшая дестаг билизация не применима. Теорема Куперберга утверждает, что минимальный предстаг витель определен однозначно. Род "минимальной" поверхности М такой, что узел К

представим в виде узла в M х I, называется подлежащим родом виртуального узла. Из теоремы Куперберга следует, в частности, что теория классических узлов естественно "вкладывается" в теорию виртуальных узлов, иными словами, если два классических зацепления эквивалентны как виртуальные зацепления, то они изотопны.

Теорема 1. Пусть КиКг — два виртуальных узла (не зацепления), и пусть Ki#Ki — некоторая их связная сумма. Если — тривиальный узел, то каждый из

узлов К i и К2 тривиален.

В отличие от классических узлов, в виртуальном случае связная сумма не является корректно определенной. Это связано с тем, что в виртуальном случае классификация "длинных узлов", т.е. узлов с концами, вытянутыми на бесконечность, не совпадает с соответствующей классификацией компактных узлов, получаемых как замыкания длинных узлов. Длинные виртуальные узлы подробно исследуются в третьей главе.

Теорема о нетривиальности связной суммы в классическом случае доказана Шубертом 20 с использованием рода Зейферта узла. Для ее доказательства в виртуальном случае доказываются неравенства о подлежащем роде узла.

Теорема 2. Существует алгоритм, распознающий, эквивалентны ли два виртуальных зацепления или нет.

Доказательство этой теоремы опирается на теорему Куперберга и основные положения теории нормальных поверхностей Хакена(-Хемиона-Матвеева).

Теорема об алгоритмическом распознавании виртуальных зацеплений опирается на алгоритмическую распознаваемость минимальности заданного представителя виртуального зацепления, а также распознаваемость некоторого класса трехмерных многообразий с краем. Эти утверждения основаны на ряде лемм о нормальных поверхностях.

Третья глава диссертации посвящена изучению комбинаторного аспекта теории виртуальных узлов, построению различных инвариантов виртуальных узлов и длинных виртуальных узлов, а также выявлению различных феноменов, встречающихся в теории виртуальных узлов.

К числу таких феноменов относится, например, следующий. Общеизвестно, что нетривиальный классический узел имеет нетривиальную (неизоморфную группе Z) фундаментальную группу. В случае виртуальных узлов это неверно.

В классической теории узлов фундаментальная группа, а также некоторые полиномиальные (скейн)-инварианты могут быть определены посредством так называемого дистрибутивного группоида кик квандла, предложенного независимо С.В.Матвеевым и Д.Джойсом, см.21,22-

«Шуберт, X. (1966), Алгоритм для рааложеяая зацеплений на простые слагаемые, Математика, 10 (4), сс. 57-104.

"Матвеев, C.B. (1982), Дистрибутивные группоиды в теории узлов, Мат. Сборник, 119 (1), рр 78-88

"Joyce D. (1982), A classifying invariant of knots, the knot quandie, J. oj Pure and Applied Algebra, 23 ()), pp. 37-65.

Эта конструкция состоит в следующем. Пусть дана диаграмма классического ориентированного зацепления. Дугами этой диаграммы называются ее связные компоненты, т е части диаграммы, расположенные между двумя соседними проходами. В каждом классическом перекрестке этой диаграммы сходятся три дуги. Одна из них проходит сверху (обозначим ее через Ь), а две другие — снизу. Обозначим дугу, расположенную справа от Ь относительно ориентации дуги 6, через а, а дугу, расположенную слева, — через с.

Сопоставим дугам элементы формального алгебраического объекта, а перекресткам — соотношения вида а о Ь = с в этом объекте. Напомним, что при построении копредставления Виртингера группы узла, соотношения на соответствующие элементы группы имеют вид ЬаЬ= с.

В общем случае (для инвариантности объекта, который мы строим, относительно обобщенных движений Рейдемейстера) на операцию о нужно наложить следующие условия: Уа : аоа = а;с,Э!з;: х оЬ= с;Vа,6,с : (аоЬ)ос= (аос)о(бос). Операцию, обратную к о, обозначают через /. Таким образом, мы имеем: а о Ь = с <=> с/Ь = а.

Множество с операциями о и /, удовлетворяющее перечисленным выше свойствам, называется дистрибутивным группоидом. Каждому классическому зацеплению Ь соответствует дистрибутивный группоид зацепления Т{Ь) — формальный группоид, соотношения которого происходят из перекрестков. Теорема Матвеева и Джойса утверждает, что дистрибутивный группоид в классическом случае различает узлы с точностью до двойной инволюции: замены ориентации пространства и узла в нем. Кауфман показал, что дистрибутивный группоид прямо обобщается на виртуальные узлы и зацепления: здесь в качестве образующих нужно брать длинные Луги — части диаграммы узла, идущие от прохода до следующего прохода и содержащие внутри, быть может, переходы и виртуальные перекрестки. Эта (почти) полнота приводит к доказательству того, что классическая теория узлов вкладывается в теорию виртуальных узлов. Это было показано Гусаровым, Поляком и Виро (исторически раньше доказательства Куперберга).

Как оказалось, дистрибутивные группоиды в виртуальном случае не столь сильны, что побудило автора диссертации, а также других авторов (Кауфман-Рэдфорд, Са-воллек и др., см. ссылки далее) искать усиления этой структуры. Один из возможных способов усиления дистрибутивного группоида — добавление алгебраической структуры в виртуальных перекрестках. Пусть дано виртуальное зацепление Ь, и пусть ^,..., а* — множество его дуг. Мы будем использовать операцию о для записи соотношений между дугами, инцидентными классическому перекрестку как и раньше; кроме того, мы введем формальную (унарную) операцию / для виртуальных перекрестков, а именно: пусть в некотором виртуальном перекрестке Х^ сходятся четыре дуги, которым соответствуют образующие а,,, а,,, <г,5, а:) так, как показано на рис. 2.

*« "ft - "•/! >

Рис. 2; Соотношение для виртуального перекрестка

Положим

ал = /Ю;ал = /(ал) (6)

В результате мы получим виртуальный группоид, соответствующий виртуальному узлу. При этом под виртуальным группоидом мы понимаем следующее.

Определение. Назовем виртуальным группоидом дистрибутивный группоид (М, о), на котором задан автоморфизм / : M —» M, т.е. взаимно однозначное отображение, такое что для любых a,be M f(a ob) = f(a) о f(b).

С помощью виртуального группоида можно построить различные инварианты виртуальных уздов согласно следующему принципу: если в некоторой категории (состоящей из групп или модулей над фиксированным кольцом) можно ввести операции о; / ,/, удовлетворяющие аксиомам виртуального группоида, то в этой категории можно строить инварианты виртуальных узлов.

Так, например, для групп можно рассмотреть операции aob = bnab~", /(а) — qaq"1, где g — фиксированный элемент группы, п — фиксированное натуральное число.

В случае модулей над кольцом можно рассмотреть операции а о b = ta + (1 — t)b,f(a) = sa (модуль над Z[i, s]) или aob = ta+ (1 — t)b, f(a) — a + e (модуль над Z[i] с выделенным элементом е). Эти модули являются обобщениями модуля Александера. Первый подход привел автора к построению полиномиальных инвариантов (, а второй — к построению полинома VA, [Ма2, МаД, МаЮ, Ма13, Мапб, Мап7]. Оба эти полинома обращаются в нуль на классических узлах, поэтому они полезны при определении неклассичности различных классов узлов.

Интересно, что к тому же полиному ( (с точностью до замены переменной и нормализации) пришли одновременно несколько групп авторов: Кауфман-Рэдфорд 23, Саг воллек 24, Сильвер-Уильямс 25, исходя из других идей: они рассматривали дополнительные алгебраические структуры не в виртуальных, а в классических перекрестках.

"Kaufiman, L.H. and Radford, D. (2002), Bi-Oriented Quantum Algebras and a Generalized Alexander Polynomial for Virtual Links, AMS Contemp. Math, 318, pp. 113-140.

11 J. Sawollek (2003), On Alexander-Conway polynomials for virtual knots and links, arXiv:math.GT/9912173 21 Dec 1999. J. Knot Theory Ramification! 12, no. 6, 767-779.

MD. S. Silver and S. G. Williams (2001), Alexander Groups and Virtual Links, Journal of Knot Theory and It) Ramifications, 10 (l),pp. 151-160.

После этого Р.Фенном 26 было доказано, что эти полиномы совпадают.

Автором приведены также различные обобщения инвариантов типа дистрибутивного группоида на случай зацеплений из многих компонент, инварианты виртуальных зацеплений со значениями в (бесконечномерных) алгебрах Ли и др.[Mal, Ма4, Ма9, MalO, Ма13, Maní, Мап5, Мапб, Мап7, Мап8, КМ1].

Центральное место в третьей главе диссертации занимает теория длинных виртуальных узлов.

Назовем длинной виртуальной диаграммой погружение общего положения ориентированной вещественной прямой R на плоскость Оху, совпадающее вне некоторого большого круга с тождественным отображением R —» Ох и снабженное в каждом пересечении (в случае общего положения — двойное и трансверсальное) структурой классического или виртуального перекрестка. Длинные виртуальные диаграммы будем предполагать ориентированными согласно ориентации прямой слева направо.

У длинной виртуальной диаграммы имеются две выделенные некомпактные дуги (по определению дуга идет от прохода до следующего прохода). Дуга называется некомпактной, если она содержит образ точки х £ R, такой что ограничение отображения R1 —» R2 на полуинтервалы (—оо, —|х|] и [|х|, оо) является тождественным вложением R1 —» R1.

Назовем длинным виртуальным узлом класс эквивалентности длинных виртуальных диаграмм относительно обобщенных движений Рейдемейстера. Классическим называется длинный виртуальный узел, имеющий диаграмму без виртуальных перекрестков. Тривиальным называется длинный виртуальный узел, имеющий диаграмму без перекрестков. Этот узел является единственным, у которого есть диаграмма, две некомпактные дуги которой совпадают.

Имеются две операции, превращающие длинный узел в компактный и наоборот. Первая из них (замыкание длинного узла), К н-> С1(К) определена корректно и сопоставляет длинному виртуальному узлу компактный виртуальный узел. Она состоит в том, что две некомпактные дуги обрываются "в окрестности бесконечности" и соединяются. При этом получившийся компактный узел наследует ориентацию длинного узла.

Вторая операция, являющаяся обратной к первой, состоит в том, что мы выбираем на диаграмме ориентированного виртуального узла L точку, отличную от перекрестка, разрываем этот узел в данной точке и вытягиваем концы на бесконечность так, чтобы получить длинный узел. В случае, если концы можно вытянуть на бесконечность, так чтобы не возникло дополнительных перекрестков, мы будем делать это именно таким образом; в противном случае все новые перекрестки нужно определить, как вирту-

"Bartholomew, A. and Fenn. R. (2003), Quatemionic Invariant« of VirtuaJ Knots and Link«, wvw.matht.jusaex.ac.uk/ SUiF/RAF/Mathj/CuiTenC/Arxiy/equivaJent.pff

альные перекрестки. Эта операция не является корректно определенной: существуют нетривиальные длинные узлы с тривиальным замыканием.

При построении группоида элементы, соответствующие двум некомпактным дугам, являются инвариантными. Кроме того, все классические перекрестки длинного группоида можно разбить на два класса: те, в которых прохождение верхней ветви предшествует прохождению нижней ветви (ранний переход) и те, в которых прохождение нижней ветви предшествует прохождению нижней ветви (ранний проход). В первом случае мы будем использовать формальную операцию о (с левой обратной /), а во втором — операцию * (с левой обратной //). Из анализа обобщенных движений Рей-демейстера выводится ряд аксиом, который приводит к построению длинного группоида длинного виртуального узла ДГ(АГ), в котором выделены начальный и конечный элементы а(К) и Ь(К). Зададим множество Admi допустимых слов, порождаемых операциями о, *,/,//,/. Тогда дистрибутивный группоид определяется как множество классов эквивалентности слов из набора Admi по отношению эквивалентности, порождаемому следующими элементарными эквивалентностями:

1. VA 6 Admi: А о А ~ А, А/А ~ А, А * А ~ Л, А//А ~ А,

2. У А, В € Admi: {А о В)/В ~ (А/В) о В ~ А, VA, В € Admi : {А * В)//В ~ {А// В)*В~А,

3. VA, 5, С 6 Admi: (АаВ)/ЗС ~ (АрС)а(ВрС), где а,Р 6 {о, *,/,//},

4. Ух, у, z € Admi: ха(у о z) ~ ха(у * z)\ xa(y/z) ~ ха(у//z) для а € {о, *, /, //}.

5. VA, В 6 Admi Va е {о, *, /, //} : /(ЛаЯ) = f{A)af{B).

6. Vi = 1,...,/: ra ~ri2.

Здесь все соотношения, кроме последней серии, — это общие соотношения, присущие каждому длинному группоиду (по определению); последний набор соотношений вида гл ~ щ относится к конкретной диаграмме виртуального узла. А именно, в каждом классическом перекрестке мы выписываем соотношение аоб ~ с (так же, как в случае обычного группоида) либо a*b ~ с; операция о выбирается в случае раннего перехода, а операция * — в случае раннего прохода. В виртуальных перекрестках мы выписываем соотношения видов (6), см. рис. 2.

Назовем [Ма9, Мап5] длинным группоидом множество М с выделенными элементами а и b и заданными бинарными операциями о, * и унарной операцией /, такое что:

1. Множество М является виртуальным группоидом относительно (/, о) (операция, обратная к о, обозначается через /).

к

Рис. 3: Некомыутирутощие узлы А': и К2

2. Множество М является виртуальным группоидом относительно (/, *) (операция, обратная к *, обозначается через //).

3. Операции о, *, /, // являются право-дистрибутивными по отношению друг к другу.

4. Имеют место следующие "странные" соотношения, состоящие в следующем. Пусть а — некоторая операция из списка {о, *,/,//}. Тогда для любых х,у,г 6 М имеют место тождества:

Элементы а и 6 называются начальным и конечным элементами длинного группоида.

Используя приведенные выше соотношения, мы сопоставляем каждой виртуальной диаграмме К некоторый длинный группоид ДГ(Л"). Автором доказана

Теорема 3. Пусть К, К' — диаграммы эквивалентных длинных виртуальных узлов. Тогда сугцествует гомоморфизм

/г: (Д1\К), ак, Ьк) —> (ДГ(К'),ак<, Ьк'), согласованный с операциями о, * и / и переводящий элемент ак в элемент ак<, элемент а Ьк в Ък>.

Такие длинные группоиды имеют простую алгебраическую модель, с помощью которой доказывается следующий феномен: длинные виртуальные узлы, вообще говоря, не коммутируют. В частности, приведенные на рис. 3 длинные узлы не коммутируют, из чего следует их неэквивалентность и неклассичность каждого из них (отметим, что замыкание каждого из этих узлов тривиально).

Четвертая глава посвящена изучению свойств полинома Джонса (скобки Кауфмана) для виртуальных узлов и построению их обобщений.

Доказано несколько обобщений теоремы Мурасуги, утверждающей, что альтернированные неприводимые диаграммы узлов минимальны.

ха(у о г) = ха(у * г) ха{у/г) = ха(у//г)

(7)

Основным результатом является построение инварианта Е, который использует в себе две идеи — формально-комбинаторное определение скобки Кауфмана и трехмерную топологию виртуальных узлов.

Рассмотрим множество S пар (двумерная поверхность — конечный набор замкнутых кривых на ней). Здесь двумерная поверхность подразумевается ориентированной, замкнутой и имеющей конечное число компонент связности (если поверхность несвязна, то ориентированной предполагается каждая из ее компонент связности).

Будем рассматривать элементы из S с точностью до отношения эквивалентности, порождаемого следующими элементарными эквивалентностями: 1) сохраняющими ориентацию гомеоморфизмами поверхностей, переводящих кривые в кривые и сохраняющими ориентацию и отношение порядка; 2) стабилизациями, т.е. добавлениями ручек, согласованными с ориентацией поверхности и не пересекающих кривые, а также деста-билизациями; 3) свободными гомотопиями кривых по поверхности; 4) добавлениями (удалениями) простых неориентированных кривых, ограничивающих диск на поверхности и не пересекающихся с другими кривыми.

Обозначим множество классов экививалентности через S. Вопрос о том, представляют ли два элемента из S один и тот же класс эквивалентности в <S, легко распознается алгоритмически очевидной модификацией метода, предложенного в работе27.

Опишем функцию Е [Ма7, МапЗ] на ориентированных виртуальных зацеплениях со значениями в модуле ZS[a, а-1]; значения этой функции представляют собой линейные комбинации элементов из 5 с коэффициентами из Z[а, а-1], при этом коэффициенты строятся так же, как слагаемые в разложении скобки Кауфмана, а элементы из S представляют собой "геометрию" виртуальных узлов.

Пусть дана виртуальная диаграмма К. Рассмотрим соответствующее представление виртуального узла в виде диаграммы на ориентированной двумерной поверхности М, получаемое следующим образом. Каждое виртуальное зацепление L представимо зацеплением в некоторой утолщенной поверхности Sg х I. При проекции на Sg вдоль I оно задает набор кривых — в количестве, равном количеству компонент зацепления L.

В этом случае все разведения диаграммы можно производить непосредственно на поверхности М. Зафиксируем тень зацепления К на поверхности М. Она представляет собой некоторый набор 5 ориентированных замкнутых кривых. Далее, каждому состоянию s неориентированной диаграммы \К\ (которое также можно рассматривать на поверхности М) соответствует некоторый набор S'(s) неориентированных замкнутых кривых на М.

Таким образом, мы получаем набор кривых (часть из них — ориентирована, часть — не ориентирована) p(s) = i(s)Ui'(s), который можно рассматривать как элемент из

"Reinhart, B.L. (1662), Algorithms for Jordan Curves on Compact Surfaces, Annats of Mathematici, 76, No. 2., pp, 209-222.

множества 5 и, следовательно, как элемент из 5. Рассмотрим теперь свободный модуль М = Ъ5[а, а-1] над кольцом полиномов Лорана от переменной а; образующими этого модуля будут элементы из 5.

Определим инварианты (Васильева) конечного порядка виртуальных узлов посредством введения сингулярных виртуальных узлов и формализма (1): инвариант имеет порядок < п, если его (п+1)-я производная (определенная согласно (1)) тождественно обращается в нуль.

Сопоставим теперь диаграмме Ь элемент ЩЬ) 6 М согласно следующей формуле: Е(Ь) = (-а)-3ш('>£>(5)ааМ-ДМ(_а2 _ ^(тМ-Ч (8)

где а(я),/3(А'),7(в) имеют тот же смысл, что и в случае скобки Кауфмана.

Теорема 4. Функция Н, определенная формулой (8), задает, инвариант виртуальных зацеплений.

Далее (в главе 8) показано, что полином Е приводит к трехпараметрической серии инвариантов Васильева для виртуальных узлов. Приводятся различные примеры, показывающие силу полинома Е.

Пятая глава посвящена построению теории гомологий Хованова для виртуальных узлов.

Пусть Ь — ориентированная диаграмма виртуального зацепления. Перенумеруем ее классические перекрестки <*!,..., а„. Под кубом перестроек мы понимаем куб {0,1}", в каждой вершине которого указано количество окружностей в соответствующем состоянии, а на каждом ребре следующим образом указано, какие окружности перестраивав ются при переходе от одного состояния к соседнему согласно этому ребру. Сопоставим каждой окружности модуль V, порожденный двумя векторами 1 и X, где вектора 1 и X имеют градуировку -1-1 и —1 соответственно. Имеем: qdimV = (<? + Каждой вершине куба $ = {а^ ... ,а„} соответствует некоторое количество окружностей 7(в). Сопоставим каждой такой вершине векторное пространство полУча~

ющееся из тензорной степени пространства V сдвигом градуировки. Градуированной размерностью градуированного пространства V = ©К; назовем ясИтУ = д'ИтУ^ где q — формальная переменная. Замена (д + д-1) на пространство V, такое что = (д + д"1), представляет собой важный шаг категорификации. Определим пространство цепей высоты к как прямую сумму пространств, относящихся ко всем вершинам куба высоты к.

Мы корректно задали цепи градуированного комплекса. Тем самым вне зависимости от дифференциала в комплексе мы получаем х{Кк(Ь)) — где Кк(Ь) означает биградуированную группу гомологий того комплекса, который мы собираемся

строить, J — полином Джонса, а эйлерова характеристика представляет собой альтернированную сумму (по высоте) градуированных размерностей пространств цепей.

Определим частичные дифференциалы на цепях, действующие вдоль ребер куба по направлению стрелок, т.е. от А к В, следующим образом. Пусть ребро а соответствует переходу из состояния s в состояние при этом I окружностей, которые не примыкают к рассматриваемому перекрестку, не претерпевают изменений. В перекрестке диаграммы \L\, соответствующем ребру а, происходит перестройка либо одной окружности в две, либо двух окружностей в одну, либо одной окружности в одну. В первых двух случаях мы определим дифференциал так же, как он определяется в случае классических узлов, т.е. как Д ® или т х /<¿'{1}. Сдвиг {1} добавляется согласно общему правилу сдвига градуировки на элементах куба.

Корректное определение полного дифференциала вида (1 --> 1) представляет собой главную трудность в общем случае (в случае Z); в случае Z2 эта трудность легко преодолевается. А именно, положим все дифференциалы, соответствующие перестройкам типа 1 —» 1, равными нулю.

Теорема 5. В случае поля Z2 комплекс C(L) корректно определен и является инвариантом зацепления L; градуированная эйлерова характеристика x(Kh.(L)) равна J(L).

Назовем атомом двумерное замкнутое многообразие М, в которое вложен четырехвалентный граф Г 6 М, делящий многообразие М па клетки с фиксированной шахматной раскраской двумерных клеток. Граф Г называется остовом атома. Атом рассматривается с точностью до естественной комбинаторной эквивалентности. Каждый атом (более точно, его класс эквивалентности) может быть полностью восстановлен по следующим комбинаторным данным:

1. Остов (четырехвалентный граф);

2. Л-структура (делящая четыре полуребра, исходящие из каждой вершины, на две пары, называемые противоположными; отношение противоположности определяется в соответствии с расположением ребер на поверхности);

3. B-структура (в каждой вершине выделены две пары соседних полуребер (или двух углов), которые образуют границы черных клеток).

Атом (М, Г) называется ориентируемым, если М ориентируемо. Каждой виртуальной диаграмме соответствует атом, который строится следующим образом. Вершинами атома являются классические перекрестки диаграммы зацепления; ребра атома — это ветви диаграммы, проходящие от одного классического перекрестка до другого и содержащие внутри лишь виртуальные перекрестки. /4-структура атома наследуется из плоской диаграммы: локально противоположные на плоскости

ребра остаются противоположными и на атоме. Далее, ß-структура определяется локально из структуры проход-переход: при движении на плоскости по часовой стрелке внутри "черного" угла мы идем от ребра прохода к ребру перехода.

Ключевым свойством является ориентируемость атома. Оказывается, для ориентированных атомов все перестройки в кубе состояний Хованова имеют вид 1 —»2 или 2 —> 1 (т.е. можно обойтись без дополнительных алгебраических операций) и для таких диаграмм можно корректно определить гомологии Хованова (пока не утверждается их инвариантность относительно каких-либо движений). Если D<i{K) — диаграмма, соответствующая удвоению диаграммы К (т.е. состоящая из двух параллельных копий), то атом, соответствующий диаграмме Di{K) — ориентируемый.

Теорема 6. Пусть п — натуральное число. Тогда образ отображения L н-» Kh{Din{L)) является инвариантом оснащенных виртуальных зацеплений.

Иной способ определения гомологий Хованова — рассмотрение двулистных накрытий над атомами. А именно, пусть L — диаграмма зацепления, V2(L) — двулистное накрытие над соответствующим атомом; соответствующий узел обозначим через

Теорема 7. Отображение L —» Kh(K(V2(L))) задает корректно определенный инвариант виртуальных зацеплений.

Далее в пятой главе строятся обобщения этих конструкций для получения более богатой теории гомологий, которая в классическом случае совпадает с обобщениями, предложенными Ховановым 28.

Шестая глава посвящена построению теории гомологий Хованова для виртуальных зацеплений с произвольными коэффициентами.

Основной трудностью, которая преодолена в шестой главе, является определение дифференциала для комплексов, соответствующих произвольным виртуальным узлам, когда возникают перестройки типа 1 —» 1 и приходится иметь дело с более сложной алгебраической структурой и проверять значительно больше случаев, чем для классических узлов.

Эта трудность преодолевается посредством построения нового комплекса, имеющего те же гомологии, что и исходный комплекс Хованова. Первой ключевой идеей является следующая: при переходе от одного перекрестка узла к другому вдоль окружности состояния нужно менять базис алгебры Фробениуса, задающей гомологии Хованова тривиального узла (что связано с выбором локальной ориентации соответствующей окружности, происходящим из перекрестка). Вторая ключевая идея состоит в том, что вместо обычного тензорного произведения, соответствующего нескольким окружностям в некотором состоянии, мы берем внешнее произведение соответствующих грат

"Khovanov, М. (2004), I.ink homology and FVobcniu« extensions, Arxiv.Math:GT/0411447.

дуированных пространств. Это избавляет нас от "искусственной" операции переделывания коммутативного куба в косокоммутативный, как это проделано в главе 5. Дифференциалы определяются в "локальных координатах", соответствующих перекрестку и состоянию.

Каждой диаграмме виртуального зацепления мы сопоставляем биградуированный комплекс, группы гомологий которого инвариантны при обобщенных движениях Рей-демейстера. Отметим некоторые важные свойства нашей конструкции,

1. Комплекс строится с использованием атомов; он является инвариантным при виртуализации — преобразования диаграммы, не меняющего атома и значения полинома Джонса (каждой грани перестроек соответствует атом с двумя вершинами).

2. Существует естественное отображение из множества "скрученных виртуальных узлов" во множество виртуальных узлов по модулю виртуализации. Тем самым построена теория гомологий Хованова скрученных узлов.

Частным случаем скрученных виртуальных узлов (узлов в ориентированных утолщениях неориентируемых двумерных поверхностей с точностью до стабилизации) являются узлы в проколотом трехмерном проективном пространстве. Поэтому приводимая в настоящей главе теория приводит к построению гомологий Хованова и для узлов в ИР3.

3. В случае коэффициентов над нолем Ъ?. комплекс в точности совпадает с комплексом из теоремы 5 (без введения скрученных коэффициентов, внешнего произведения и др).

4. Для ориентируемых атомов (в частности, для классических узлов) этот комплекс имеет те же гомологии, что и комплекс Хованова, построенный в главе 5.

5. Доказательство инвариантности является локальным; оно аналогично доказательству инвариантности в классическом случае; главная трудность состоит в корректном определении дифференциала — таком подборе знаков, при котором куб становится антикоммутативным.

Пусть дан неупорядоченный набор векторных пространств. Упорядочим их произвольным образом: ..., У„.

Определим новое пространство, не зависящее от порядка, которое будем обозначать через Л У% Л • • • Л V,,, следующим образом. Рассмотрим всевозможные тензорные произведения этих пространств и отождествим их элементы согласно следующему правилу. Пусть е "К,г = 1,...,гг. Положим а;„, ® • • • <8> х„п = з1дп(а)х\ <8> • • • ® хп.

Мы будем обозначать такое тензорное произведение Я) ® • • • ® хп элементов х, 6 Х{ через 2х Л Х2 А • • • Л хп. Назовем такое тензорное произведение упорядоченным.

Замечание. Чтобы избежать путаницы, заметим, что когда мы пишем X А X, мы всегда имеем в виду, что первый элемент X и второй элемент X принадлежат разным (пусть даже изоморфным) пространствам. Таким образом X А X не равно нулю (в отличие от внешних произведений 1-форм на себя).

Для того, чтобы куб перестроек был антикоммутативным, нам нужно добавить две новые составляющие:

1. Каждой окружности С в каждом состоянии мы сопоставляем векторное пространство градуированной размерности q + д""1. А именно, пусть дана ориентация о некоторой окружности С в некотором состоянии; сопоставим этой окружности градуированное векторное пространство, порожденное элементами 1 и Хс,0• При замене ориентации о окружности на противоположную, —о, мы имеем Хс-0 = -Хс, о, 1с,-о = 1с,о-

2. Пусть дано состояние я диаграммы виртуального зацепления с к окружностями С\,... в нем. Этому состоянию мы сопоставим упорядоченное тензорное произведение в качестве базиса этого произведения выберем упорядоченные тензорные произведения (р1)с. А (р2)с„г Л • • • Л {рк)сак, где (р')с. означает элемент базиса пространства Усл .

Таким образом, мы определили пространство цепей комплекса, соответствующего виртуальной диаграмме К, которое мы обозначим через [[Л"]]. Все базисные элементы этого пространства соответствуют состояниям диаграммы К с дополнительным выбором элементов вида ±1 или ±Х на каждой из окружностей состояния. Пусть 5 — состояние диаграммы К с набором окружностей С\,...,С1, при этом на данных окружностях выбраны элементы 71,...,7(. Эти элементы образуют цепь комплекса |[ЛТ]], которой мы сопоставляем высоту Л, где Л — количество разведений типа В в состоянии 5, и градуировку, равную Л + #1 — #Х, где #1 - это количество элементов вида ±1 среди 71, • • ■ ,71, а #-Х — это количество элементов ±Х среди 71,... ,7;.

Пусть п+ и п_ обозначают число положительных и отрицательных перекрестков соответственно.

Обозначим через С(К) комплекс, полученный из [[X]] сдвигом высоты и градуировки: С(К) = |[К"]]{п+ - 2п_}(—п_], т.е. высота каждой цепи уменьшается на п_, а градуировка увеличивается на (п+ - 2п_); все дифференциалы сдвигаются согласованно.

Примем, что ветви классических перекрестков ориентированы снизу вверх.

Рассмотрим некоторое состояние я диаграммы ориентированного виртуального зацепления. Выберем классический перекресток и рассмотрим все окружности состояния а, инцидентные этому перекрестку. Этих окружностей может быть либо одна, либо две. Фиксируем ориентации этих окружностей согласно ориентации ребра, исходящего

Рис. 4: Задание базиса в перекрестке

в направлении направо вверх и против ориентации ребра, входящего в перекресток слева снизу, см. верхнюю часть рис. 4. Как мы увидим далее, эти две заданные локально ориентации могут не быть согласованными; в этом случае частичный дифференциал будет полагаться равным нулю.

Таким образом, заданная ориентация окружностей состояния в согласуется локально с ориентацией ребра, исходящего локально в направлении направо вверх (а также ребра, входящего справа снизу) и противоположно направлению ребер с левой стороны перекрестка: мы ориентируем полуребра, инцидентные перекрестку, так, как указано в левой нижней части рис. 4. Тем самым мы фиксировали выбор образующей X на каждой окружности, инцидентной выбранному перекрестку. Отметим, что в другом перекрестке для той же окружности выбор образующей X может отличаться от исходного знаком.

Частичные дифференциалы определяются согласно ориентациям окружностей в перекрестках и локальному упорядочению компонент по следующему правилу. Описанная выше ориентация окружностей состояний является корректно определенной за исключением случая, когда ребро куба, соответствующее перекрестку, переводит одну окружность в одну окружность. В таких ситуациях мы полагаем частичный дифференциал, соответствующий ребру, равным нулю.

Пусть теперь мы имеем перестройку типа 1 —» 2 или 2 —> 1 в некотором перекрестке.

Если мы имеем дело с двумя окружностями, инцидентными перекрестку с противо-ложных сторон, мы упорядочиваем их таким образом, чтобы верхняя (соотв., левая) окружность считалась первой; нижняя (соотв., правая) окружность будет считаться второй. В дальнейшем при определении частичных дифференциалов мы предполагаем, что все окружности упорядочены таким образом, что те окружности, которые участвуют в перестройке, находятся на самых начальных местах в нашем упорядоченном тензорном произведении; этого всегда можно добиться посредством предварительной перестановки, которая приведет, быть может, к замене знака. На остальных окружностях отображение действует тождественно.

Пусть дано ребро куба перестроек, которому соответствует изменение количества

Рис. 5: Определение операций m и Д

окружностей в состояниях на единицу. Эта перестройка происходит в некотором перекрестке, таким образом, возможны два случая — либо две окружности перестраиваются в одну, либо одна в две. В том из двух состояний, где имеются две окружности, инцидентные данному перекрестку, они упорядочены. Кроме того, все три окружности ориентированы, тем самым выбран базис для пространства, соответствующего каждой из этих окружностей.

Зададим теперь отображения Д : У —>УлУит:УлУ—* V локально согласно предписанному выше выбору образующих в перекрестке и предписанному упорядочению: Д(1) = li Л Х2 + Хг А 12; ДрО = Х-i А Х2 и m(l! Л 12) = 1 \т(Х{ А 12) = 771(11 Л X2) = Х\т(Х 1 ЛХ2) =0, см. рис. 5.

Отметим, что отображение т. является сюръективным, а отображение Д — инъек-тивным.

При наличии окружностей Cj,..., Q, не инцидентных перекрестку, в котором происходит перестройка, и элементов 71,... ,7* на них, мы определяем частичные дифференциалы & по правилу:

^(1 Л 7! Л • • • Лук) =

Д(1)Л71 Л ■ • • Л 7* = l1AX2A71A---A7^ + X1Al2A7iA---A7t; д'(Х А7) А- • = Д(Х)Л71 Л • • • A 7ц = Xi A Х2 A 7i Л • • • Л 7* (в случае перестройки типа 1 —» 2) и

3'(li A 12 A 7i Л • • • A 7j[) = m(lj A 12) A 7i А • • • A 7^ = lAyiA---Ayk\ d'(Xi A 12 A 7i A • • • A 7*) = <9'(lj A X2 A ц A ■ • • A 7*) = m(Xi A 12) A 71 A • • • A 7* = m(li A X2) A 71 A • • • A = X A 71 A • • • A 7k;

Xy A X2 A 71 A • • • A 7^) = m(Xi A X2) A 7i A • • • A 1k — 0 (в случае отображения типа 2-1).

Определим действие дифференциала д на пространстве цепей, соответствующем вершине куба, как сумму частичных дифференциалов по всем ребрам, исходящим из данной вершины.

Основным результатом главы 6 является

Теорема 8. 1. Набор групп С(К) с дифферецниалом д задает корректно определен-

ный биградуированный комплекс.

2. Гомологии КИ(К) этого комплекса представляют собой инварианты виртуальных зацеплений

3. В случае классических узлов гомологии К1г(К) совпадают с. обычными гомологи-ями Хованова.

4■ Градуированная эйлерова характеристика комплекса С(К) равна 3(К).

Отметим, что в случае классических узлов конструкция шестой главы дает комплекс, имеющий те же гомологии, что и изначальный комплекс Хованова, но комплекс, доставляемый 6 главой, изначально является антикоммутативным, т.е. не требует дополнительного введения знаков в куб перестроек.

Седьмая глава посвящена изучению виртуальных кос. Э.Артин 29 построил действие группы кос на свободной группе и доказал, что это действие точно. В диссертации это действие обобщается до действия виртуальных кос на свободной группе с одной дополнительной образующей. Обсуждаются свойства этого действия. Из точности действия Артина следует, что естественное отображение классических кос в виртуальные косы является вложением (эта теорема впервые доказана Р.Фенном, Р.Риманьи, К.Рурком 30). Точность этого действия выдвигается в качестве гипотезы.

Сначала строится инвариант Т, сопоставляющий виртуальной косе из п нитей п классов смежности свободной группы, порожденной элементами а],...,^^ по подгруппам, порожденным элементами а\,..., ап соответственно. Этот инвариант Т задает представление ф группы УВп в группу автоморфизмов свободной группы с образующими а\,..., а«, < по правилу (г = 1,... , п):

Отметим, что проблема распознавания виртуальных кос решена В.Г.Вардаковым в

31

Восьмая глава посвящена разным аспектам теории инвариантов Васильева классических и виртуальных узлов.

Инвариант S, коэффициенты которого при элементах из <S являются полиномами Лорана от переменной а, можно преобразовать в формальный ряд заменой переменной а = ех и разложением экспоненты по формуле Тейлора. Для удобства мы будем использовать ту же букву Б для обозначения полученного ряда от переменной х.

"Artin, Е. (1925), Theorie der Zöpfe. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 4, pp. 27-72.

"Fenn, R.A., Rimanyi, P. and Rourke, C.P. (1997), The braid-permutation Group, Topology, 30(1), pp. 123-135. "B&rdakov, V.G., The virutal and universal bradts, Fund. Math., 184, 1-18.

i>(ox) =

(Li b-> 0,0,+]^ 1

Oi+1 >~> a; I-» ai, l ф i, i + 1 '

i H-t t

a, t-* ta,+\t~l a,+i и-1 t"'tt,i ai н-> ai,l ^ i. г + 1 t >-» t.

(9)

Пусть Ь — виртуальное зацепление. Пусть Ет(Ь) — коэффициент в ряде Е(Ь) при хт. Он представляет собой линейную комбинацию элементов из 5 с рациональными коэффициентами. В главе 7 доказана следующая теорема.

Теорема 9. Для каждого т 6 инвариант Ет является инвариантом Васильева виртуальных узлов порядка не более т.

Каждый инвариант Васильева порядка п классических узлов является инвариантом первого порядка сингулярных узлов с (п — 1) точкой самопересечения (обратное, вообще говоря, неверно). Исследование инвариантов первого порядка (п- 1)-сингулярных узлов дает важную информацию о комбинаторных формулах для инвариантов конечного порядка классических узлов.

Для определения структуры когомологий пространства сингулярных узлов и решения задачи о том, имеются ли для данного инварианта Васильева комбинаторные формулы Виро-Поляка с целочисленными коэффициентами, В.А.Васильев32 сформулировал следующую гипотезу, которая доказана в диссертации:

Теорема 10. Оснащенный 4-граф не реализуем на плоскости тогда и только тогда, когда у него найдутся два цикла, без общих ребер, умеющие ровно одну точку перекрестья.

Здесь под оснащением понимается задание в каждой вершине графа структуры креста (Л-структуры атома) — разбиение исходящих полуребер на две пары (противоположных); реализуемость означает вложение, в котором индуцируемое соотношение противоположности полуребер совпадаете предписанным; подточкой перекрестья понимается общая вершина двух циклов, в которой каждый из этих циклов переходит с ребра на формально противоположное. При доказательстве этой теоремы использованы атомы и ¿-диаграммы, см. выше.

8 Основные положения диссертации, выносимые на защиту

• Теорема о том, что связная сумма двух виртуальных узлов нетривиальна, если хотя бы один из узлов нетривиален (глава 2).

• Построение теории виртуальных длинных узлов с использованием новой техники длинных группоидов (теорема 3, в частности, доказательство того, что длинные виртуальные узлы в общем случае не коммутируют, стр. 3), глава 3.

"Васильев, В.А., Инварианты первого порядка и хогомологии пространств вложений самопересекающяхся кривых в К", Известил РАН, т. 69 Б, сс. 3-52.

• Построение инвариантного полинома Б (теорема 4), исследование свойств этого полинома для оценки минимальности некоторых диаграмм виртуальных зацеплений (глава 4).

• Построение теории гомологий Хованова для виртуальных узлов с произвольными коэффициентами. Обобщение конструкции Хованова фробениусовых расширений для получения теории гомологий виртуальных зацеплений. Построение затягивающего дерева для комплекса Хованова. Применение гомологий Хованова к оценкам на минимальный род атома и минимальное количество перекрестков диаграммы (виртуального) зацепления. Доказательство минимальности нескольких бесконечных серий виртуальных диаграмм (глава 5).

• Основным результатом главы б является построение для произвольного поля коэффициентов по диаграмме произвольного виртуального зацепления комплекса, который в классическом случае гомотопически эквивалентен оригинальному комплексу Хованова.

• Решение гипотезы Васильева о реализуемости сингулярных зацеплений на плоскости (глава 8).

8.1 Другие важные результаты

Отметим также ряд новых результатов, полученных в диссертации.

• Теорема о том, что виртуальные узлы алгоритмически распознаваемы (глава 2).

• Построение теории виртуальных группоидов, определение ряда инвариантов, с ними связанных, и установление некоторых свойств этих инвариантов (глава 3).

• Построение инвариантов виртуальных и классических узлов со значениями в (бесконечномерных) алгебрах Ли (глава 3).

• Построение инвариантов иерархических виртуальных узлов (гл.З).

• Построение инварианта виртуальных кос, обобщающего один нолный инвариант классических кос (глава 7).

• Построение нескольких серий инвариантов Васильева классических и виртуальных узлов (глава 8).

Я глубоко признателен проф. Л.Х.Кауфману, акад. РАН А.Т.Фоменко, акад. РАН В.А.Васильеву и проф. М.Г.Хованову за постоянное внимание к работе и многочисленные плодотворные консультации.

Все основные результаты диссертации опубликованы в приведенных ниже книгах и статьях автора, а также двух совместных статьях [КМ1, КМ2] В работе [КМ 1] автору принадлежит построение виртуальных группоидов и бигруппоидов, бигруппоидов, связанных с длинными виртуальными узлами, инвариантов узлов со значениями в бесконечномерных алгебрах Ли. В работе [КМ2] автору приндадлежат доказательство

теоремы об алгоритмической распознаваемости виртуальных зацеплений и о нетривиальности связной суммы нетривиальных виртуальных узлов.

Публикации автора по теме диссертации:

[Mal] Мантуров, В.О. (2005), Теория узлов, Регулярная и хаотическая динамика, М,-Ижсвск, 512 сс.

|Ма2] Мантуров В.О. (2004), О полиномиальных инвариантах виртуальных зацеплений, Труды ММО, 65 (1), сс. 175-200.

[МаЗ] Мантуров В.О. (2003), О распознавании виртуальных кос, Записки научных семинаров ПОМИ, 299. Геометрия и топология. 8, сс. 267-286.

[Ма4] Мантуров В.О. (2002), Инварианты виртуальных зацеплений, Доклады РАН, 384 (1), сс. 11-13.

[Ма5] Мантуров В.О. (2003), Атомы и минимальные диаграммы виртуальных зацеплений, Доклады РАН, 391 (2), сс. 166-168.

[Маб] Мантуров В.О. (2004), Полином Хованова для виртуальных узлов, Доклады. РАН, 398 (1), сс. 15-18.

[Ма7] Мантуров В.О. (2003), Кривые на поверхностях, виртуальные узлы и полином Джонса-Кауфмана, Доклады РАН, 390 (2), сс. 155-157.

[Ма8] Мантуров В.О. (2004) Инварианты конечного порядка виртуальных зацеплений и полином Джонса-Кауфмана, Доклады РАН, 395 (1) с с. 18-21.

[Ма9] Мантуров В.О. (2005) О длинных виртуальных узлах, Доклады РАН, 401 (5), сс. 595-598.

[МаЮ] Мантуров В.О. (2002) Инвариантный полином двух переменных для виртуальных зацеплений, Успехи мат. наук, 57, No. 5, сс. 141-142.

[Mall] Мантуров В.О. (2005) Комплекс Хованова для виртуальных узлов, Фундаментальная и прикладная математика, т. 11., 4, сс. 127-152.

[Ма12] Мантуров В.О. (2005) Доказательство гипотезы Васильева о планарности сингулярных зацеплений, Известия РАН, т. 69, 5, сс. 169-178.

(Mal3j Мантуров В.О. (2003) Комбинаторные вопросы теории виртуальных узлов, Математические вопросы кибернетики, т. 12, сс. 147-178.

[Ма14] Мантуров В.О. (2006) Комплекс Хованова и минимальные диаграммы узлов, Доклады РАН, 406 (3) сс. 308-311.

(Ма15] Мантуров В. О. (2007) Гомологии Хованова виртуальных узлов с произвольными коэффициентами, Известия РАН, 71 (5), сс. 111-148.

[Manlj Manturov V.O (2004), Knot Theory, CRC-Press, Boca Raton, 416 pp.

[Man2] Manturov V.O. (2003), Multivariable polynomial invariants for virtual knots and links, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 12 (8), pp. 1131-1144.

[Man3] Manturov V.O. (2004) KaufTman-like polynomial and curves in 2-surfaees, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 12 (8), pp. 1145-1153.

[Man4] Manturov V.O. (2005) Vassiliev invariants for virtual links, curves on surfaces and the Jones-Kauffman polynomial, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 14 (2), pp. 231-242.

[Man5] Manturov, V.O. (2004), Long virutal knots and their invariants, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 13 (8), pp. 1029-1039.

[Man6] Manturov V.O. (2002) On Invariants of Virtual Links, Acta Apphcandae Mathematicae, 72 (3), pp. 295-309.

[Man7] Manturov V.O. (2004) Virtual Knots and Infinite-dimensional Lie algebras, Acta Applicandae Mathematicae, 83 (3), pp. 221-233.

(Man8] Manturov V.O. (2005), Flat Hierarchy, Pundamenta Mathematicae, vol. 188, pp. 147-154.

[Man9] Manturov V.O (2007), Khovanov Homology for Virtual Links with Arbitrary Coefficients, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 16 (3), pp. 345-377.

[KMl] Kauffman L.H, Manturov V.O (2005), Virtual Biquandles, Pundamenta Mathematicae, 188, pp. 103-146

[KM2] Кауфман, Л.Х., Мантуров В.О. (2006), Виртуальные узлы и зацепления, Труды МИРАНим. В.А.Стеклова, т. 252, N.I., сс. 114-133.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова

Подписано в печать ¡}£, О0& Формат 60x90 1/16. Уел, печ. л. ¿,0 Тираж -/00 экз. Заказ 23

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

ГЛАВА 1. Обзор содержания диссертации.

1.1. Введение.

1.1.1. Основные определения и конструкции.

1.2. Мотивация.

1.3. Цели исследования.

1.4. Методы исследования.

1.5. Научная новизна

1.6. Положения диссертации, выносимые на защиту

1.6.1. Другие важные результаты

1.6.2. Примеры.

1.7. Апробация диссертации. Публикации по теме диссертации.

1.8. Структура и объем диссертации.

Глава 2. Виртуальные узлы и трехмерная топология.

2.1. Теорема Куперберга.

2.2. Род виртуального узла.

2.2.1. Два типа связного суммирования.

2.2.2. План доказательства теоремы 2.5.

2.2.3. Процесс дестабилизации.

2.3. Распознавание виртуальных узлов.

ГЛАВА 3. Дистрибутивные группоиды в теории виртуальных узлов.

3.1. Группоиды и их обобщения.

3.1.1. Виртуальный группоид.

3.1.2. Инвариант раскрасок.

3.1.3. Виртуальный модуль Александера.

3.2. Длинные виртуальные узлы.

3.2.1. Вопрос о коммутируемости длинных узлов.

3.3. Виртуальные узлы и бесконечномерные алгебры Ли.

3.4. Иерархия виртуальных узлов.

3.4.1. Плоские виртуальные узлы.

3.4.2. Алгебраический формализм.

3.4.3. Примеры.

ГЛАВА 4. Полином Джонса. Атомы.

4.1. Основные определения.

4.1.1. Атомы и узлы.

4.1.2. Модель затягивающего дерева для скобки Кауфмана.

4.2. Полином 2. Вопросы минимальности.

4.2.1. Старший и младший коэффициенты скобки Кауфмана.

4.2.2. Полином 2.

4.2.3. Примеры применения полинома

Оглавление

4.2.4. Поверхностная скобка и инвариант Н.

Глава 5. Комплекс Хованова для виртуальных узлов.

5.1. Введение.

5.2. Основные используемые конструкции

5.2.1. Полином Джонса J: другая нормировка.

5.3. Комплекс Хованова с коэффициентами в поле Z2.

5.4. Комплекс Хованова удвоений узлов

5.5. Атомы и комплекс Хованова.

5.6. Затягивающее дерево для комплекса Хованова.

5.7. Полином Хованова и фробениусовы расширения.

5.7.1. Фробениусовы расширения.

5.7.2. Описание конструкции Хованова для фробениусовых расширений.

5.7.3. Геометрические обобщения посредством атомов.

5.7.4. Алгебраические обобщения.

5.8. Минимальные диаграммы классических и виртуальных зацеплений.

5.9. Минимальные диаграммы длинных виртуальных узлов (согласно результатам гл.4)

Глава 6. Гомологии Хованова виртуальных узлов с произвольными коэффициентами

6.1. Введение. Основной результат.

6.2. Атомы и скрученные виртуальные узлы.

6.3. Определение комплекса Хованова для виртуальных узлов.

6.3.1. Определение частичных дифференциалов.

6.4. Формулировка и доказательство основной теоремы

6.5. Обобщения.

6.5.1. Гомологии зацеплений и фробениусовы расширения.

Глава 7. Виртуальные косы.

7.1. Определения виртуальных кос

7.2. Виртуальные косы и виртуальные узлы.

7.2.1. Представление Бурау и его обобщения.

7.3. Скобка Кауфмана для классических и виртуальных кос

7.4. Нормальная форма виртуальных кос по В.Г.Вардакову.

7.5. Инвариант виртуальных кос.

7.5.1. Построение основного инварианта.

7.5.2. Представление группы виртуальных кос.

7.5.3. О полноте в классическом случае.

7.5.4. Некоторые следствия.

7.5.5. Насколько силен инвариант Т1.

Глава 8. Инварианты Васильева.

8.1. Инварианты Васильева классических узлов.

8.2. Подход Гусарова-Поляка-Виро к инвариантам Васильева виртуальных узлов.

8.3. Подход Кауфмана.

8.3.1. Инварианты, порожденные полиномом

8.4. Инварианты Васильева, порожденные инвариантом S.

8.5. Графы, хордовые диаграммы и полином Кауфмана.

8.6. Доказательство гипотезы Васильева.

Глава

Обзор содержания диссертации

Настоящая диссертация посвящена двум бурно развивающимся теориям — теории виртуальных узлов и теории гомологий Хованова.

Классическая теория узлов, насчитывающая более двухсот лет, за последние десятилетия обогатилась разнообразными методами и тонкими инвариантами, составляющими мощный аппарат современной теории узлов. Естественным образом классическая теория узлов (т.е. теория узлов в трехмерном евклидовом пространстве или в трехмерной сфере), является составной частью неизмеримо более широкой теории — узлов в трехмерных многообразиях. Для этой теории аппарат развит в гораздо меньшей степени.

Теория виртуальных узлов занимает промежуточное положение между теорией узлов в произвольных трехмерных многообразиях и классической теорией узлов. Она с одной стороны гораздо шире классической теории узлов, а с другой стороны близка к ней в силу некоторых причин, которые мы изложим ниже. Вследствие этого многие методы и инварианты классических узлов могут быть перенесены на "виртуальную" теорию. Это перенесение часто требует дополнительных идей, которые представлены в настоящей диссертации. Среди таких идей — мощные новые инварианты — гомологии Хованова (1997). Последние представляют собой гомологии цепного комплекса, который строится по диаграмме узла (зацепления); сами гомологии являются инвариантами узла (зацепления).

Для перенесения теории гомологий Хованова на виртуальные узлы потребовалось построение нового комплекса, имеющего те же гомологии, что

1.1. Введение6 и комплекс Хованова. Такое построение потребовало ряда новых идей: ориентации и упорядочения окружностей в состояниях, скрученных коэффициентов в алгебре Фробениуса гомологий тривиального узла, использования внешних произведений вместо обычных тензорных (симметрических) произведений. Ключевую роль в построении теории гомологий Хованова для виртуальных узлов, в изучении свойств гомологий Хованова, а также в других задачах сыграло понятие атома (введенное А.Т.Фоменко [F] и активно изучаемое А.Т.Фоменко и его школой, см. сборник [ФБШ] и ссылки в нем). Независимо то же понятие атома было определено В.Г.Тураевым [Tur2]. Атомы и d-диаграммы (особый вид хордовых диаграмм с двумя семействами незацепленных хорд, стр. 163) сыграли ключевую роль также в доказательстве гипотезы В.А.Васильева (глава 8). Теория d-диаграмм разработана автором в работах [Ман-2], [Ман-3], [Ман-1]. Род атома (в других источниках называемый родом Тураева) оказался естественным образом связан не только с гомологиями Хованова, но и с гомологиями Ожвата-Сабо, [Low].

Опишем некоторую общую точку зрения, которая позволяет трактовать классические и виртуальные узлы единым образом. Классический узел (или зацепление) можно задать диаграммой узла. На диаграмме есть перекрестки и непересекающиеся между собой линии, соединяющие перекрестки друг с другом. Если расставить на плоскости перекрестки .)<) произвольным образом и указать, в каком порядке их концы соединяются друг с другом, то иногда соединяющие линии могут быть выбраны непересекающимися (в этом случае получается диаграмма классического узла), а в некоторых случаях установить непересекающиеся соединительные линии не удается — получается "виртуальная" диаграмма, или диаграмма виртуального узла. Виртуальные перекрестки, обозначаемые кружочками, возникают всякий раз, когда четырехвалентный граф, определенный заданными перекрестками и заданным способом соединений этих перекрестков не является плоским, что представляет собой довольно частое явление. Пример виртуальной диаграммы изображен на рис. 1.1.

Таким образом, виртуальные узлы относятся к классическим примерно так же как произвольные графы к плоским графам.

1.1. Введение 7

Рис. 1.1. Виртуальная диаграмма

При этом эквивалентность (изотопность) диаграмм классических узлов определяется посредством формальных комбинаторных преобразований (движений Рейдемейстера), которые относятся к близко стоящим перекресткам. Для виртуальных узлов, заданных посредством набора классических перекрестков с указанием способа соединения перекрестков друг с другом эквивалентность задается в точности теми же движениями Рейдемейстера (различные способы изображения соединения классических перекрестков приводят к диаграммам, отличающимся друг от друга движением объезда, см. далее).

Отметим, что на этом пути обобщения появились новые теории: виртуальных многомерных узлов (абстрактных узлов, Камада-Камада [КК]), а также пространственных виртуальных графов (Меллор, Флеминг, [FM]). Нетрудно показать,что виртуальные диаграммы происходят от узлов (зацеплений) в утолщенных двумерных поверхностях.

Теория узлов является одной из основных ветвей маломерной топологии. Как математическая теория, она восходит к концу восемнадцатого века. Важный вклад в развитие теории узлов внесли А.Т.Вандермонд, К.-Ф. Гаусс [Gau], Ф.Клейн, М.Ден [Dehn], Дж. Александер [Alel, А1е2] и другие выдающиеся ученые.

При этом прорыв в теории узлов, приведший к современному ее состоянию, решению многих давно стоящих проблем, связан с открытиями Дж.Х.Конвея [Con] и В.Ф.Р.Джонса [Jonl], а позднее — В.А.Васильева [Vasl, Vas2] и других и относится к последней трети двадцатого века (по

1.1. Введение8 линомы Конвея, Джонса, инварианты Васильева конечного порядка). За открытия в теории узлов В.Ф.Р.Джонс, Э.Виттен, В.Г.Дринфельд (1990) и М.Л.Концевич (1998) были удостоены высшей математической награды — филдсовских медалей.

В 1997 году была предложена еще одна выдающаяся конструкция инвариантов узлов — гомологии Хованова [Kh]: каждой диаграмме узла сопоставляется алгебраический комплекс, все гомологии которого представляют собой инварианты узлов, а эйлерова характеристика этого комплекса совпадает с полиномом Джонса.

В девяностые годы XX века получили широкое развитие несколько направлений маломерной геометрии и топологии, связанных с теорией узлов, имеющих самостоятельный интерес. С одной стороны, получила широкое распространение теория лежандровых узлов, лежащая на стыке теории узлов и контактной геометрии [FT, EGH, Che, ЕН]. Она имеет многомерные аналоги и связана с различными областями геометрии и топологии.

Другим направлением является теория гомологий зацеплений, двумя важнейшими ветвями которой являются теория гомологий Хованова [Kh] и теория гомологий Хегора-Флоера, предложенная П.Ожватом и З.Сабо, см. [OzsSz].

Замечательным изобретением является теория виртуальных узлов, открытая Луисом Кауфманом в 1996 году, [Каи7]. С ее появлением стало понятно, что теория классических узлов является малой составной частью более широкой теории, изучение свойств которой помогает лучше понять некоторые явления в теории классических узлов, а также стимулирует постановку новых задач, см. [FKM]. Теория виртуальных узлов находит свои применения в классической теории узлов. Посредством теории виртуальных узлов была решена проблема существования комбинаторных формул для всех инвариантов конечного порядка классических узлов [GPV].

Проблема распознавания классических узлов была одной из центральных в маломерной топологии. Ее первое безупречное решение связано с именами Хакена, Хемиона, Матвеева и др. Результат об алгоритмической распознаваемости важен также и по причине того, что в маломерной топологии часто имеет место алгоритмическая нераспознаваемость. С появле

1.1. Введение9 нием теории виртуальных узлов естественно встал вопрос об их алгоритмической распознаваемости. Этот вопрос разрешен положительно в главе 2 настоящей диссертации; при этом помимо нескольких структурных положений теории Хакена-Матвеева потребовалась также нетривиальная теорема Куперберга и ряд рассуждений, специфических для виртуальных узлов.

Теория виртуальных узлов, ее конструкции и методы тесно взаимодействуют с различными разделами классической теории узлов, в частности, с инвариантами Васильева. Этому посвящена глава 8. В ней, с использованием атомов и с?-диаграмм доказана гипотеза Васильева о планарности графов с крестовой структурой; эта гипотеза играет ключевую роль в работе Васильева [Вас] о существовании комбинаторных формул для инвариантов конечного порядка.

К теории виртуальных узлов проявили интерес многие известные ученые: О.Я.Виро, В.Г.Тураев, М.Н. Гусаров, М.Хованов, Л.Розанский Р.Фенн, К.Рурк, Ге Молинь, С.Картер, Б. Меллор, Г.Куперберг, В.В.Вершинин, В.Г.Бардаков, Н.Камада, С.Камада, Д. Рэдфорд, и др. Ей посвящено множество работ, см., напр., [APS, Bar, BF, DK1, FJK, FM, FRR, Dye, GKZ, GPV, Н, HK],[Kad, Kam.Nl, Kam.N2, Kam, Kau7, Kau8, Kau9, DK2, Kaul, KK], [KaulO, KL, KL2, KR, KhR3, Kup, Nel, Satoh, SW, SW2, Saw, Saw2, TuTu, Tur4, Ver, Viro2, Viro, W, ZZ1, ZZ2] и ссылки в них.

Упомянутые выше теории имеют связь с различными задачами комбинаторики, трехмерной и четырехмерной топологии, теорией представлений групп и алгебр Ли. На последней основано построение так называемых квантовых инвариантов, см. [Turl, Oht].

1. Ма1. Мантуров, В.О. (2005), Теория узлов. Регулярная и хаотическая динамика, Москва-Ижевск, 512 сс.

2. Ма2. Мантуров, В.О. (2004), О полиномиальных инвариантах виртуальных зацеплений, Труды ММО, 65 (1), сс. 175-200.

3. МаЗ. Мантуров, В.О. (2003), О распознавании виртуальных кос, Запискинаучных семинаров ПОМИ, 299. Геометрия и топология, 8, сс. 267286.

4. Ма4. Мантуров, В.О. (2002), Инварианты виртуальных зацеплений. Доклады РАН, 384 (1), сс. 11-13.

5. Ма5. Мантуров, В.О. (2003), Атомы и минимальные диаграммы виртуальных зацеплений. Доклады РАН, 391 (2), сс. 166-168.

6. Маб. Мантуров, В.О. (2004), Полином Хованова для виртуальных узлов.

7. Доклады РАН, 398, (1). сс. 15-18.

8. Ма7. Мантуров, В.О. (2003), Кривые на поверхностях, виртуальные узлыи полином Джонса-Кауфмана, Доклады РАН, 390 (2) сс. 155-157.

9. Ма8. Мантуров, В.О. (2004), Инварианты конечного порядка виртуальныхзацеплений и полином Джонса-Кауфмана, Доклады РАН, 395 (1), сс. 18-21.

10. Ма9. Мантуров, В.О. (2005), О длинных виртуальных узлах. Доклады

12. МаЮ. Мантуров, В.О. (2002), Инвариантный полином двух переменныхдля виртуальных зацеплений. Успехи мат. наук, 57, N0 .5, сс. 141142. 1. Л И Т Е Р А Т У Р А 372

13. Mall. Мантуров, В.О. (2005), Комплекс Хованова для виртуальных узлов,

14. Фундаментальная и прикладная математика, т. 11, 4, сс. 127-152.

15. Ма12. Мантуров, В.О. (2005), Доказательство гипотезы Васильева о планарности сингулярных зацеплений, Извеетия РАН, т. 69, 5, сс. 169178.

16. Ма13. Мантуров, В.О. (2003), Комбинаторные вопросы теории виртуальных узлов, Математические вопросы кибернетики, т. 12, сс. 147-178.

17. Ма14. Мантуров, В.О. (2006), Комплекс Хованова и минимальные диаграммы узлов, Доклады РАН, 406, (3). сс. 308-311.

18. Ма15. Мантуров В.О. (2007), Гомологии Хованова виртуальных узлов спроизвольными коэффициентами. Известия РАН, 71 (5), pp. 111-148.

19. Maní. Manturov, V.O. (2004), Knot Theory, CRC-Press, Boca Raton, 416 pp.

20. Man2. Manturov, V.O. (2003), Multivariable polynomial invariants for virtualknots and links. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 12,(8), pp. 1131-1144.

21. МапЗ. Manturov, V.O. (2003), Kauffman-like polynomial and curves in 2surfaces. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 12, (8), pp.11451153.

22. Man4. Manturov, V.O. (2005), Vassiliev invariants for virtual links, curves onsurfaces and the Jones-Kauifman polynomial. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 14, (2), pp. 231-242.

23. Man5. Manturov, V.O. (2004), Long virtual knots and their invariants. Journalof Knot Theory and Its Ramifications, 13 (8), pp.1029-1039.

24. Man6. Manturov, V.O. (2002), On Invariants of Virtual Links, Acta

25. Applicandae Mathematicae, 72 (3), pp. 295-309.

26. Man7. Manturov, V.O. (2004), Virtual Knots and Infinite-dimensional Liealgebras. Acta Applicandae Mathematicae, 83 (3), pp. 221-233.

27. Man8. Manturov, V.O. (2005), Flat Hierarchy, Fundamenta Mathematicae, vol188, pp. 147-154. 1. Л И Т Е Р А Т У Р А 373

28. Мап9. Manturov, V.O. (2007), Khovanov Homology for Virtual Links with

29. Arbitrary Coefficients, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 16(3), pp. 345-377.

30. KMl. Kauifman, L.H., Manturov, V.O. (2005), Virtual Biquandles,

31. Fundamenta Mathematicae, 188, pp. 103-146.

32. KM2. Кауфман, Л.Х., Мантуров, В.О. (2006) Виртуальные узлы и зацепления, Труды математического института РАН им. В.А.Стеклова, т. 252, N. 1, 114-133. 1. Другие цитируемые работы:

33. Alel. Alexander, J. W. (1923), Topological invariants of knots and hnks. Trans.1. AMS., 20, pp. 257-306.

34. Ale2. Alexander, J.W. (1933), A matrix knot invariant. Proc. Nat. Acad. Sei.1. USA, 19, pp. 222-275.

35. Ale3. Alexander, J.W. (1923), A lemma on systems of knotted curves, Proc.

37. AP. Asaeda, M . , Przytycki, J. (2004), Khovanov homology: Torsion and

39. APS. Asaeda, M . , Przytycki, J., Sikora, A. (2004), Categorification of the

40. Kauffman bracket skein module of I-bundles over surfaces. Algebraic and

41. Geometric Topology, 4, No. 52, pp. 1177-1210.

42. Arnl. Arnold, V . l . (1994), Topological invariants of plane curves and caustics,

43. Univ. Lect. Series, 5, AMS Providence, R. L

44. Arn2. Arnold, V . l . (1994), Plane curves, their invariants, perestroikas andclassifications, in: Singularities and Bifurcations, Adv. Soviet Math., 21,

46. Artl. Artin, E. (1925), Theorie der Zöpfe. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg,4, pp. 27-72. 1. Л И Т Е Р А Т У Р А 374

47. Avd. Avdeev, R.S. (2006), On extreme coefficients of the Jones-Kauffmanpolynomial for virtual links, J. Knot Theory Ramifications, 15, (7), pp. 853-868.

48. BaMo. Bae, Y . and Morton, H.R. (2003) The spread and extreme terms of the

49. Jones polynomial. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 12, (3),pp. 359-373.

50. Bar. Bardakov, V .G. (2004) The virutal and universal bradis. Fundamenta1. Mathematicae, 184, 1-18.

51. BF. Bartholomew, A. and Fenn. R. (2003), Quaternionic Invariants of Virtual

52. Knots and Links, www.maths.sussex.ac.uk/StafF/RAF/Maths/Current/1. Andy / equivalent. ps,

53. BL. Birman, J.S. and Lin, X.-S . (1993), Knot polynomials and Vassihev'sinvariants, Inventiones Mathematicae, 111, pp. 225-270.

54. Bigl. Bigelow, S. (2001). Braid groups are Hnear, J. Amer. Math. Soc, 14, pp.471-486.

55. Big2. Bigelow, S. (2002). Does the Jones polynomial detect the unknot. Journalof Knot Theory and Its Ramifications 11, pp 493-505.

56. Bir2. Birman, J.S. (1974), Braids, links and mapping class groups. Princeton,

57. NJ: Princeton Univ. Press, 1974 (Ann. Math. Stud., 1982).

58. Bir3. Birman, J.S. (1993), New points of view in knot theory. Bull. AMS, 28,pp. 283-287.

59. BNl. Bar-Natan, D. (1995), On the Vassiliev knot invariants. Topology, 34,pp. 423-475.

60. BN2. Bar-Natan, D. (2002), On Khovanov's categorification of the Jonespolynomial. Algebraic and Geometric Topology, 2(16), pp. 337-370.

61. BN3. Bar-Natan, D. (2004), Khovanov's homology for tangles and cobordisms,arXiv:mat.GT/0410495 Geometry and Topology, 9, 1443-1499 (2005).

62. Bou. Bouchet, A. (1994), Circle graph obstructions, / . Combinatorial Theory1. B, 60, pp. 107-144. 1. Л И Т Е Р А Т У Р А 375

63. BuF. Budden, S., Fenn, R. (2004), The Equation ВДА- 1){А,В)] = 0 and

64. Virtual Knots and Links, Fundamenta Mathematicae 184, pp. 19-29.

65. Bur. Bürau, W. (1936) Uber Zopfgruppen und gleichzeitig verdrillte

66. Verkettungen, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 11, pp. 179-186.

67. BZ. Bürde, G. and Zieschang, H. (2003), Knots (Berlin: Walter de Gruyter).

68. КФ. Кроуэлл, F., Фокс, F. (1967), Введение в теорию узлов, (М.: Мир).

69. Саг. Carter, J.S. (1991), Closed curves that never extend to proper maps ofdisks, Proc. AMS, 113 (3), pp. 879-888.

70. CDBook. Chmutov, S. and Duzhin, S., Mostovojr, J. CDBook. Introduction to

71. Vassiliev Knot Invariants, http://www.pdmi.ras.ru/ duzhin/ papers/cdbook.ps.gz

72. CDL. Chmutov, S.V., Duzhin, S.V. and Lando, S.K. (1994), Vassiliev knotinvariants / — / / / , Advances in Soviet Mathematics, 21, pp. 117-147.

73. Che. Chekanov, Yu. (2002), Differential algebras of Legendrian links,1.ventiones Mathematicae, 150(3), pp. 441-483.

74. ChK. Champanerkar, A., Kofman, L, Spanning trees and Khovanov homology,arxiv: math. GT/0607510

75. CEl. Cairns, G., Elton, D., The planarity problem for signed Gauss words,

76. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 2, No.4. (1993), pp. 359367.

77. CE2. Cairns, G., Elton, D., The planarity problem II, Journal of Knot Theoryand Its Ramifications, 5,No.2. (1996), pp. 137-144.

78. CS. J.S.Carter and M . Saito, Diagrammatic invariants of knotted curves andsurfaces, (unpublished manuscript - 1992).

79. CKS. Carter, J.S., Kamada, S., Saito, M. (2002), Stable equivalence of knots onsurfaces. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 11, pp. 311-322.

80. CKS2. Carter, J.S., Kamada, S., Saito, M. (2004), Surfaces in 4-space, (N.Y:1. Springer Verlag). 1. Л И Т Е Р А Т У Р А 376

81. Con. Conway, J.H, (1970), An enumeration of knots and links and some of theiralgebraic properties, In: Computational Problems in Abstract Algebra (New York, Pergamon Press), pp. 329-358.

82. Dehl. Dehornoy, P. (1995), From large cardinals to braids via distributivealgebra. Journal of Knot Theory and its Ramifications, 4, pp. 33-79

83. Dehn. Dehn, M . (1914), Die beiden Kleeblattschhngen, Mathematische

85. Dehn2. Dehn, M . (1910), Uber die Topologie des dreidimensionalen Raumes,

86. Mathematische Annalen, 69, ss. 137-168.

87. DKl. Dye, H.A. and Kauffman, L.H. (2004), Virtual knot diagrams andthe Witten-Reshetikhin-Turaev Invariants, arXiv:math. GT/0407407,

88. Journal of Knot Theory and Rs Ramifications, Vol. 14, No. 8, pp. 10451075 (2005),

89. DK2. Dye, H.A., Kauffman, L.H. (2004), Minimal Surface Representation of

90. Virtual Knots and Links, arXiv:math. GT/0401035 v l .

91. Дро. Дроботухина, Ю.В.. (1991), Аналог полинома Джоунса-Кауфманадля зацеплений в КР^ и обобщение теоремы Кауфмана-Мурасуги,

92. Алгебра и анализ, 2(3), сс. 613-630.

93. DuK. Duzhin, S.V., Karev, M.V.,Detecting the orientation of long links byfinite type invariants, arXiv:math.GT/0507015 v4 21 Jul 2005.

94. Dye. Dye, H.A. (2003), Detection and Characterization of Virtual Knot

95. Diagrams, Ph.D. Thesis, University of Ilhnois at Chicago.

96. Дын. Дынкин, Е.Б. (1947), О коэффциентах в формуле СатрЬеИ'а

97. Hausdorff'a, Доклады АН СССР, 57 (4), сс.323-326.

98. EGH. Ehashberg, Ya., Givental, А. and Hofer, Н. (2002), An introduction tosymplectic field theory, Geom Funct. Anal., Special Volume, Part II, pp. 560-673. 1. Л И Т Е Р А Т У Р А 377

99. EH. Etnyre, J., Honda, K. (2000), Knots and Contact Geometry, Part / , Part/7, arXiv:mat.GT/0006n2. Part J: Torus knots and the figure eight knot.

100. Journal of symplectic geometry, (2001), 1, pp, 63-120.

101. EKT. Ehahou, Sh., Kaufman, L.H., Thistletwaite, M. (2003). Infinite familiesof hnks with trivial Jones polynomial. Topology, 42, pp. 155-169.

102. F. Fomenko A. T. (1991), The theory of multidimensional integrablehamiltonian systems (with arbitrary many degrees of freedom). Molecular table of all integrable systems with two degrees of freedom. Adv. Sou. 1. Math, 6, pp. 1-35.

103. ФМ. Фоменко, A.T., Матвеев, С В . (1991), Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии, М., Изд. МГУ.

104. ФБШ. Топологические методы в теории гамильтоновых систем (1998), подред. А.Т.Фоменко, А.В.Болсинова, А.А.Шафаревича., М, Факториал.

105. FJK. Fenn, R., Jordan-Santana, М. and Kauffman, L.H. (2004), Biracks andvirtual links www.maths.sussex.ac.uk/Reports/TAGG/TAGG02-01.ps,

106. Topology & AppL, 145, pp. 157-175.

107. FKM. Fenn, R.A, Kauflfman, L.H, and Manturov, У.О. (2005), Virtual

108. Knots: Unsolved Problems, Fundamenta Mathematicae, Proceedings ofthe Conference "Knots in Poland-2003", 188, pp. 293-323.

109. FM. Flemming, Th., Mellor, В., Virtual Spatial Graphs, arXiv:math.1. GT/0510158.

110. FRR. Fenn, R.A., Rimanyi, P. and Rourke, C P . (1997), The braidpermutation Group, Topology, 36(1), pp. 123-135.

111. FRSl. Fenn,R.A., Rourke, C P , Sanderson, B. (1995), Truncs and classifyingspaces. Applied Categorical Structures 3 pp. 321-356.

112. FRS2. Fenn,R.A., Rourke, C P , Sanderson, B. (1993), An introduction to

113. Species and the Rack Space Topics in Knot Theory: Kluwer Academic1. Publishers, pp. 33-55 1. Л И Т Е Р А Т У Р А 378

114. FT. Fuchs, D. and Tabachnikov, S. (1997), Invariants of Legendrian andtransverse knots in the standard contact space. Topology, 36, pp. 10251053.

115. Ga. Garoufahdis, S. (2004), A conjecture on Khovanov's invariants,

116. Fundamenta Mathematicae, 184, pp. 99-101.

117. Gar. Garside, F.A., The braid group and other groups (1969), Quart. J. Math.

119. Gau. Gauss, C.F. (1877), Zur Mathematischen Theorie der electrodynamischen

120. Wirkungen, Werke Köningl. Gesell. Wiss. Göttingen 5 (1877), s. 605.

121. GKZ. Mo-Lin Ge, L.H. Kauffman, Yong Zhang, Virtual Extension of

122. Temperley-Lieb Algebra, arXiv:math-ph /0610052 v i 22 Oct 2006

123. GL. Gordon., C. McA, and Luecke, J. (1989), Knots are determined by theircomplements, J. Amer. Math. Soc, 2 (2), pp. 371-415.

124. Gold. Goldman, W. (1986), Invariant functions on Lie groups and Hamiltonianflows of surface group representations, Inventiones Mathematicae, 85, pp. 263-302.

125. Goryu. Goryunov, V. (1998), Vassilive type invariants in Arnold's J+-theoryof plane curves without direct self-tangencies. Topology 37, pp. 603-620.

126. GPV. Goussarov M. , Polyak M. , and Viro 0.(2000), Finite type invariants ofclassical and virtual knots. Topology 39, pp. 1045-1068.

127. Гус. Гусаров, М.Н. (1991), Новая форма полинома Джонса-Конвея дляориентированных зацеплений. Зап. научных семинаров ЛОМИ, 193,

128. Геометрия и топология, 1, сс. 4-9.

129. И. Hrencecin, D., On Filamentations and Virtual Knot Invariant, Thesiswww.math.uic.edu/ dhren/FINALCOPY.ps.

130. Hak. Haken, W. (1961), Theorie der Normalfiächen, Acta Mathematicae 105,pp. 245-375.

131. Hem. Hemion, G. (1992), The classification of knots and 3-dimensional spaces,(Oxford: Oxford Univ. Press). 1. Л И Т Е Р А Т У Р А 379

132. HL. Hass, J., Lagarias, J. (2001), The number of Reidemeister moves neededfor unknotting, J. Amer. Math. Soc, 14 (2), pp. 399-428.

133. HK. Hrencecin, D. and Kauffman, L.H. (2003), On Filamentations and Virtual

134. Knots, Topology and its Applications, 134, pp. 23-52.

135. HOMFLY. Freyd, R, Yetter, D., Hoste, J., Lickorish, W.B.R, Millett, K.C.and Ocneanu A. (1985), A new polynomial invariant of knots and links.

136. Bull. Amer. Math. Soc. 12, pp. 239-246.

137. Hur. Hurwitz A (1891). Über Riemannsche Fläche mit gegebenen

138. Verzweigungspunkten. Math. Ann., 39, pp. 1-61.

139. K. Ishii, A., Kamada, N. , Kamada, S. (2006), The virtual magnetic

140. Kauffman bracket skein module and skein relations for the f-polynomial,available at http://www4.ocn.ne.jp/ xyz/LvA03.pdf

141. Jac. Jacobsson, M. (2002), An invariant of link cobordisms from Khovanov'shomology theory, arXiv:mat.GT/0206303 v l .

142. Joh. Johannson, K.(1979), Homotopy equivalences of 3-manifolds withboundaries. Lecture Notes in Mathematics, 761, (Berhn: Springer-Verlag).

143. Jonl. Jones, V. F. R. (1985), A polynomial invariant for hnks via Neumannalgebras. Bull. Amer. Math. Soc, 129, pp. 103-112.

144. JKS. Jaeger, F., Kauffman, L.H., and H. Saleur (1994), The Conway

145. Polynomial in and Thickened Surfaces: A new Determinant

146. Formulation, J. Combin. Theory. Ser. B.,61, pp. 237-259.

147. Jon2. Jones, V. F. R. (1987), Hecke algebra representations of braid groupsand hnk polynomials, Annals of Mathematics, 126, pp. 335-388.

148. Joy. Joyce D. (1982), A classifying invariant of knots, the knot quandle,

149. Journal of Pure and Applied Algebra, 23 (1), pp. 37-65.

150. Kad. Kadokami, S. (2003), Detecting non-triviahty of virtual hnks. Journal of

151. Knot Theory and Its Ramifications, 6, pp. 781-819.

152. Kadi. Kadison, L. (1999), New examples of Frobenius extensions. University1.cture series, AMS. 1. Л И Т Е Р А Т У Р А 380

153. Kam.Nl. Kamada, N. (2002), On the Jones polynomial of checkerboardcolorable virtual knots, Osaka Journal of Mathematics, 39, (2), pp. 325333.

154. Kam.N2. Kamada, N. (2005), A relation of Kauffman's /-polynomials ofvirtual links. Topology and Its Applications, 146-147, pp. 123-132.

155. Kam. Kamada, S. (2000), Braid presentation of virtual knots and welded knots,arXiv:math. GT/0008092 v l , 2000.

156. Kaul. Kauffman, L.H. (1987), On Knots, (Annals of Math Studies, Princeton1. University Press).

157. Kau2. KaufFman, L.H. (1991), Knots and Physics, (Singapore: World1. Scientific).

158. Kau3. Kauffman, L.H. (1987), State Models and the Jones Polynomial,

160. Kau4. Kauffman, L.H. (1983), Combinatorics and knot theory. Contemporary

162. Kau5. Kauffman, L.H. (2003), e-mail to the author. May 2003.

163. Kau6. Kauffman, L.H. (1973), Link manifolds and periodicity. Bull. Amer.

165. Kau7. Kauffman, L. H. (1999), Virtual knot theory, European Journal of

167. Kau8. Kauffman, L.H. (2001), Detecting virtual knots, Atti. Sem. Math. Eis.,

168. Univ. Modena, Supplemento al vol. IL, pp. 241-282.

169. Kau9. Kauffman, L.H. . , Diagrammatic Knot Theory, in preparation.

170. KaulO. L. H. Kauffman (2004), A Self-Linking Invariant of Virtual Knots.

171. Fundamenta Mathematicae, vol. 184, pp. 135-158.

172. Kaul. Kauffman, L. H. (1997), Virtual Knots , talks at MSRI Meeting, January1997 and AMS meeting at University of Maryland, College Park, March 1997. 1. Л И Т Е Р А Т У Р А 381

173. Kh. Khovanov, M . (1997), A categorification of the Jones polynomial, Duke

175. Khl. Khovanov, M. (2002) A functor-valued invariant of tangles, Algebr.

176. Geom. Topol. 2, pp. 6651^741 (electronic), arXiv:math.QA/0103190.

177. Kh2. Khovanov, M . (2004), Link homology and Frobenius extensions,1. Arxiv.Math:GT/0411447

178. Kh3. Khovanov, M . (2005), Categorifications of the colored Jones polynomial

179. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 14 (1), pp. 111-130.

180. KhRl. Khovanov, M. , Rozansky, L., Matrix Factorizations and Link Homology,1. Arxiv.Math:GT/0401268

181. KhR2. Khovanov, M. , Rozansky, L.,Matrix Factorizations and Link Homology1. H, Arxiv.Math:GT/0505056

182. KhR3. Khovanov, M. , Rozansky, L., Virtual crossings, convolutionsand a categorification of the S0(2N) Kauffman polynomial, 1. Arxiv.Math:GT/0701333

183. KK. Kamada, N. and Kamada, S. (2000), Abstract link diagrams and virtualknots. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 9 (1), pp. 93-109.

184. KL. Kauffman, L.H., Lambropoulou, S. (2004), Virtual braids, Fundamenta

185. Mathematicae, vol. 184, pp. 159-186.

186. KL2. Kauffman, L.H., Lambropoulou, S. (2006), Virtual braids and the L

187. Move, J. Knot Theory Ramifications 15, No. 6, 773-811.

188. KNS. Kamada, N. , Nakabo, S. and Satoh, S. (2002), A virtualized skeinrelation for Jones polynomial, Illinois Jornal of Mathematics, 46 (2), pp. 467-475.

189. Kon. Kontsevich, M. (1993), Vassiliev's knot invariants, Adv. in Soviet Math.,16(2) (1993), pp. 137-150.

190. Kra. Krammer, D. (2002), Braid groups are hnear, Ann. of Math., 2 (155), pp.131-156. 1. Л И Т Е Р А Т У Р А 382

191. KR. Kauífman, L.H. and Radford, D. (2002), Bi-Oriented Quantum Algebrasand a Generalized Alexander Polynomial for Virtual Links, AMS

193. Kup. Kuperberg, G. (2002), What is a Virtual Link?, www.arXiv.org, math

194. GT/0208039, Algebraic and Geometric Topology, 2003, 3, 587-591.

195. Bull. Amer. Math. Soc. 82 (1976), no. 1, 121-122.1.w. Lowrance, A. , Heegaard-Floer Homology and Turaev genus, arxiv: math. 1. GT/0709.0720

196. Much. Manchón, P.M. (2004), Extreme coefficients of the Jones polynomialand the graph theory. Journal of Knot Theory and Its Ramifications,13, 1. N. 2, pp. 277-296.

197. Ман-1. Мантуров, В.О. (2000), Бифуркации, атомы и узлы, Вестник МГУ.1. Сер. Матем., 1, сс. 3-8.

198. Ман-3. Мантуров, В.О. (2000), Скобочная полугруппа узлов. Мат. Заметки, 67, (4), сс. 449-462.

199. Ман-4. Мантуров, В.О., Компактные и длинные виртуальные узлы. Труды1. ММ О, в печати.

200. Маг. Markoff, А. А. (1936), Über die freie Äquivalenz der geschlossenen Zöpfe,

202. Мат. Матвеев, C.B. (1982), Дистрибутивные группоиды в теории узлов.

203. Мат. Сборник, 119 1, pp. 78-88.

204. Matv. Matveev, S.V. (2003), Algorithmic topology and classification of 3manifolds, (N.-Y.: Springer Verlag).

205. Mel. Mellor, B. (2003), A few weight systems arising from intersection graphs,

207. Miy. Miyazawa, Y . (2006), Magnetic Graphs and an Invariant for Virtual1.nks, / . Knot Theory & Ramifications, 15 (10), pp. 1319-1334.

208. MN. Malyutin, A., Netsvetaev, N. (2004), Dehornoy's ordering of the braidgroup and braid moves, St. Petersburg Mathematical Journal, 15, pp. 437-448.

209. Moi. Moise, E.E. (1952), Afhne structures in 3-manifolds. V. The triangulationtheorem and Hauptvermutung, Annals of Mathematics, 57, pp. 547-560.

210. Moo91. Moody, J.A.(1991), The Bürau representation of the braid group ß„is unfaithful for large n. Bull. Amer. Math. Soc, 25, pp. 379-284.

211. Мог. Morton, H.R. (1986), Threading knot diagrams, Math. Proc. Cambridge

213. MT. Menasco, W. and Thistlethwaite, M. (1993), A classification of alternatinglinks. Annals of Mathematics, 138, pp. 113-171.

214. Muri. Murasugi, K. (1987), The Jones polynomial and classical conjectures inknot theory, Topology 26, pp. 187-194. 1. Л И Т Е Р А Т У Р А 384

215. MW. Morrison, S., Walker, K. Fixing the functoriahty of Khovanov homology,arxiv: math. GT/0701339

216. Nel. Nelson, S. (2001), Unknotting virtual knots with Gauss diagram forbiddenmoves. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 10 (6), pp. 931935.

217. HOBI. Новиков, П., Топология, М.-Ижевск: РХД, 2002.

218. Oht. Ohtsuki, Т. (2002), Quantum Invariants. A Study of Knots, 3-Manifolds,and Their Sets, (Singapore: World Scientific).

219. OzsSz. Ozsvath, P., Szabo, Z. Heegaard diagrams and Fioer homology, arxiv:math. GT/0602323

220. Ош. Ошемков, A.A. (1994), . Кодирование особенностей. Труды МИРАНим В.А.Стеклова, т. 205, сс. 131-141.

221. Пап. Папакирьякопулос, Д. (1958), О лемме Денаи асферичности узлов.

222. Сб. переводов "Математика", 2, (4), сс. 32-49.

223. ПС. В.В. Прасолов, А.Б. Сосинский (1997), Узлы, зацепления, косы итрехмерные многообразия, МЦНМО.

224. PV. Polyak, М. and У1го, О. (1994), Gauss diagram formulae for yassilievinvariants. Int. Math Research Notices, 11, pp. 445-453.

225. Ras. Rasmussen, J. A. (2004), Khovanov Homology and the slicegenus,ArXivMath:/GT. 0402131.

226. Ras2. Rasmussen, J., Some Differentials on Khovanov-Rozansky Homology(2006), arXiv: math. GT/0607544

227. Rei. Reidemeister, K. (1932) нем.: Knotentheorie, (Berhn: Springer)англ: Knot Theory, (New York: Chelsea Publ. & Co.).

228. Rein. Reinhart, B.L. (1962), Algorithms for Jordan Curves on Compact

229. Surfaces, Annals of Mathematics, 75, No. 2., pp, 209-222.

230. Satoh. Satoh, S. (2000), Virtual knot presentation of ribbon torus-knots, J.

231. Knot Theory Ramifications, 9 (4), pp. 531-542.1. Л И Т Е Р А Т У Р А 385

232. Saw. J. Sawollek (2003), On Alexander-Conway polynomials for virtualknots and links, arXiv:math.GT/9912173 21 Dec 1999. J. Knot Theory

234. Saw2. J.Sawollek (2002), An Orinetation-sensitive Vassiliev invarinats forvirtual knots, arXiv:math.GT/0203123

235. Shu. Shumakovitch, A. (2004), Torsion of the Khovanov homology, Arxiv:GT/0405474.

236. Schu. Шуберт, X . (1966), Алгоритм для разложения зацеплений на простыеслагаемые. Математика, 10 (4), сс. 57-104.

237. SW. D. S. Silver and S. G. Wihiams (2001), Alexander Groups and Virtual1.nks, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 10 (l),pp. 151-160.

238. SW2. Silver, D.S., Wihiams, S.G. (2006), Alexander Groups of Long Virtual

239. Knots, Journal of Knot Theory and its Ramifications, 15 43-Ь2.

240. Thl. Thistlethwaite, M . (1987), A spanning tree expansion for the Jonespolynonial. Topology, 26, pp. 297-309.

241. Th2. Thistlethwaite, M . (1988), On the Kauffman polynomial of an adequatehnk. Invent. Math. 93 (2) , 285-296.

242. Tho. Thompson, A. (1994), Thin position and the recognition problem for S^,

243. Math. Res. Letters, 1 (5), pp. 613-630.

244. Tra. Traczyk, P. (1998) A simpe proof of Markov's theorem. Proceedings ofthe Conference 'Knots in Poland — 1995, Warszawa, Banach Centre

246. Turl. Turaev V .G . (1992), The Yang-Baxter equation and invariants of hnks,1.ventiones Mathematicae, 3, pp. 527-553.

247. Tur2. Turaev, V .G . (1987) A simple proof of the Murasugi and Kauffmantheorems on alternating links. Enseignement Mathématique, 2 (33), N. 3-4, pp. 203-225.

248. ТигЗ. Тураев, В.Г. (2004), Введение в комбинаторные кручения, МЦНМО,2004. 1. Л И Т Е Р А Т У Р А 386

249. Tur4. Turaev, V . G . (2003) Virtual strings and their cobordisms,1. Arxiv:Math.GT/03m85

250. Tur5. Turaev, V .G. (1989), Algebras of loops on surfaces, algebras of knots,and quantization, Inventiones Mathematicae, pp. 59-95.

251. TuTu. Turaev, V .G. , Turner, P.(2005), Link homology and unorientedtopological quantum field theory, arXiv: math. GT/0506229 v l .

252. Vasl. Vassiliev, V. A. (1990), Cohomology of knot spaces, in Theory of

253. Singularities and its applications, Advances in Soviet Mathematics,!, pp.23-70.

254. Vas2. Vassihev, V. A. (1994), Complements of Discriminants of Smoothmaps: Topology and Apphcations, Revised Edition, Amer. Math. Soc, 1. Providence, R.I.

255. Вас. Васильев, В.A. (2005), Инварианты первого порядка и когомологиипространств вложений самопересекающихся кривых в Известия 1. РАН, т. 69 5, сс. 3-52.

256. Ver. Vershinin, V. (2001), On Homology of Virtual Braids and Bürau

257. Representation, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 18(5),pp. 795-812.

258. Viro. Viro, 0. (2002), Remarks on definition of Khovanov Homology, arXiv:math. GT/0202199 v l .

259. Viro2. Viro, O. (2005), Virtual links and orientations of chord diagrams.

260. Proceedings of the Gökova Conference-2005, International Press, pp. 187212.

261. Viro3. Viro, O., (1988-1989), Обобщения модуля Александера (неопубликовано)

263. Wal. Waldhausen, F. (1967), On irreducible 3-manifolds which are sufficientlylarge. Annals of Mathematics, 87, (1), pp. 56-88.

264. Wehl. Wehrli, S. (2003), , Khovanov homology and Conway mutations, Arxiv:1. GT / 0301312.

265. Weh2. Wehrli, S. (2004), A spanning tree model for the Khovanov homology,1. Arxiv; G T / 0409328

266. W. S. Winker. PhD. Thesis (1984), University of Ilhnois at Chicago.

267. ZZl. Zinn-Justin, P, Zuber, J.-B. (2004), Matrix integrals and the generationand counting of virtual tangles and links. Journal of Knot Theory and Its

268. Ramifications, 13, (3), pp. 325-355.

269. ZZ2. Zinn-Justin, P., Zuber, J.-B. (2005), Tables of Alternating Virtual Knots,http.7/ipnwebin2pr3frlptms/membres/pzinn/virtlinks