Геометрия и комбинаторика пунктированных кривых с простейшими особенностями

Артамкин, Игорь Вадимович

Геометрия и комбинаторика пунктированных кривых с простейшими особенностями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Артамкин, Игорь Вадимович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Геометрия и комбинаторика пунктированных кривых с простейшими особенностями»

Автореферат диссертации на тему "Геометрия и комбинаторика пунктированных кривых с простейшими особенностями"

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени В.А.СТЕКЛОВА

АРТАМКИН Игорь Вадимович

Геометрия и комбинаторика

пунктированных кривых с простейшими особенностями

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи УДК 512.73

Москва — 2006

Работа выполнена в Математическом Институте РАН им. В.А.Стеклова

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических паук, профессор

В.А.Псковских

доктор физико-математических наук, профессор

А.С.Тихомиров

доктор физико-математических паук

Н.А.Тюрин

Ведущая организация:

Институт Теоретической и Экспериментальной Физики им. А.И.Алиханова

Защита диссертации состоится 28 декабря 2006г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д.002.022.03 при Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН по адресу:

Москва, 117966, ул. Губкина, д. 8, Математический институт им. В.А.Стеклова РАН.

Автореферат разослан 24 ноября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.002.022.03 при МИАН, доктор физико-математических наук

Н.П.Долбилин

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Изучение многообразия модулей кривых

— одно из активно развивающихся направлений алгебраической геометрии, востребованное не только внутри самой алгебраической геометрии, но и во многих других разделах математики, в первую очередь в теоретической физике. Классическим объектом исследования в алгебраической геометрии является некомпактное многообразие Мд,п модулей неособых алгебраических кривых (римаиовых поверхностей) фиксированного рода g en фиксированными точками, называемых пунктированными кривыми. Такое многообразие модулей существует, если группа автоморфизмов соответствующих пунктированных кривых конечна, что согласно классическому результату Гурвица1 автоматически выполнено при любом п > 0 при g > 1 и требует п > 1 при g = 1 и п > 3 при g = 0. В этом случае пунктированная кривая называется стабильной; для стабильных кривых конструкция многообразия модулей Л4д:П и его компактификации Л4а,п с применением геометрической теории инвариантов дана в ставших уже классическими работах Кнудсена2, Делння и Мамфорда3. При этом точкам компактификации многообразия модулей соответствуют особые кривые, имеющие только простейшие особые точки (т.е. двойные точки с разделенными касательными), на которых отмечено п неособых точек, при условии, что группа автоморфизмов такой кривой конечна. Такие особые пунктированные кривые также называются стабильными в смысле Делиня-Мамфорда. Основным комбинаторным инвариантом пунктированной кривой X с простейшими особенностями является двойственный модулярный граф Г(Л'), вершины которого соответствуют неприводимым компонентам кривой, ребра — двойным особым точкам, а полуребра

— отмеченным точкам.

Модулярные графы соответствуют различным стратам компактификации многообразия модулей, а их комбинаторика — геометрии примыкания этих стратов. Это обстоятельство явилось причиной интенсивного внимания к модулярным графам в

]Hurwitz A. Uber algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich, Math. Ann., 41, (1893), 403-442.

2Knudsen F. Projectivity of the moduli space of stable curves, I, Math. Scand., 39 (1976), 19-66 II, Math. Scand., 52 (1983), 161-199, III, Math. Scand., 52 (1983), 200-212.

3Deligne P., Mumford D. The irreducibility of the space of curves of given genus. Publ. Math. IHES, 1969, vol. 36, 75-109.

течение последних 10-15 лет Особенно востребованным в этом направлении оказался язык производящих функций (точнее, производящих формальных рядов), являющихся, по существу, статистическими суммами квантовой теории поля. Первый фундаментальный пример в этом направлении — многообразия модулей рациональных кривых Мо,п с п > 3 отмеченными точками, представляет собой классическое многообразие модулей кривых Вероиезе степени п — 3 в Р"_3, проходящих через п фиксированных точек общего положения, описан на современном языке в работе Капранова4. Основные результаты об эйлеровой характеристике и многочлене Пуанкаре компактифицированного многообразия Мо,п оказалось удобно сформулировать именно на языке производящих функций модулярных деревьев5. Именно в этой ситуации был впервые отмечен феномен взаимной обратности производящих функций для открытой части Мо,п и для его компактификации, доказанный в общем виде в [3] (см. также главу 3 настоящей диссертации). В отличие от случая рода 0 при д > 0 компактифицированное многообразие модулей всегда особо и должно рассматриваться как орбиобразие, при этом вычисление его виртуальной эйлеровой характеристики оказалось весьма трудной задачей, поддававшейся решению только для малых значений рода6. Основополагающей в этом направлении явилась работа Харера и Загира7 по вычислению виртуальной эйлеровой характеристики неком-пактифнцированного многообразия модулей Мд,п. Этот результат использован (в качестве начального условия) при вычислении виртуальной эйлеровой характеристики -Mgji в [3] (см. также главу 3 настоящей диссертации).

Связь производящих функцнй модулярных графов с уравнением Бюргерса на первый взгляд представляется весьма неожиданной. Уравнение Бюргерса появилось в конце сороковых годов XX века8 в гидро- и аэро-механике. Вскоре была найде-

^Kapranov М. Veronese curves and Grothendieck-Knudscn mooduli spacc Л?о,„, J. Algebraic Geometry, 2, 1993, 239-262

5 Manin Yu.I. Generating functions in algebraic geometry and sums over trees, in: The moduli spaces of curves, eds. Dijkgraaf et al. Birkhauser, 1995, 199-230 (1995).

'Getzler E. Intersection theory on Л/1,4 and elliptic Gromov-Witten invariants J. Amer. Math. Soc. 10 (1997), 973-998, Getzler E. Topological recursion relations in genus 2, in: Integrable systems and algebraic geometry, (Kobe/Kyoto, 1997), 73-106, World Sei. Publishing, 1998.

7 Harer J., Zagier D. The Euler characteristic of the moduli space of curves, Invent. Math., 85,457-485 (1986).

'Burgers J.M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence, Adv. Appl. Mech., 1, (1948), 171-199,

на для него линеаризующая подстановка Коула-Хопфа9, сводящая его к обычному уравнению теплопроводности. Подстановка Коула-Хопфа для большинства интересных производящих функций модулярных графов приводит к задаче Коши для уравнения теплопроводности с расходящимися или, по крайней мере, очень быстро растущими начальными условиями. Однако чисто формальная запись в этих случаях интеграла Пуассона позволяет проинтерпретировать соответствующие производящие формальные ряды как асимптотические разложения гауссовых интегралов, аналогичные рассматриваемым в последнее время в квантовой теории поля. Представляется, что связь производящих функций модулярных графов с уравнением теплопроводности указывает па фундаментальный характер понятия модулярного графа и позволяет ожидать новых интересных результатов в этом направлении.

"Индивидуальная"геометрия пунктированных кривых с простейшими особенностями, кажется, первоначально привлекала меньше внимания. В ряде работ геометрия таких кривых изучалась для получения геометрических результатов о неособых кривых путем рассмотрения деформации такой кривой в стабильную особую кривую10. Последовательно эти вопросы обсуждаются в книге А.Н.Тюрина "Квантование, классическая и квантовая теория поля и тэта-функции"11, где особое внимание уделяется м-кривым, имеющим только рациональные неприводимые компоненты и трехвалентный двойственный модулярный граф. Такие .м-кривые являются максимально вырожденными кривыми с простейшими особенностями, соответствующими нульмерным стратам многообразия модулей. В упомянутой книге А.Н.Тюрнна также вводится понятие топологически тривиального расслоения на .м-кривой и рассматриваются многообразия модулей топологически тривиальных расслоений на них. Однако следует отметить, что интересной геометрией, практически полностью параллельной геометрии псособых кривых, обладают не только .м-кривые, но и любые стабильные пунктированные кривые с простейшими особенностями. При этом кривыми "общего типа"оказываются кривые, имеющие двойственный модулярный граф с числом связности (иногда — числом реберной связности) не менее трех. Веро-

9 Cole J.D. On a quasilinear parabolic equation occurring in aerodynamics, Quart App. Math., 9, 225-236 (1951), Hopf E. The partial differential equation ut + uuz = Comm. Pure Appl. Math, 201-230 (1950).

10C.Ciliberto,A.Lopez,R.Miranda Projective degenerations of КЗ surfaces, Gaussian maps and Fano threefolds, Invevt. Math., v.114, 1993, p. 641-667.

11 Тюрин A.H. Квантование, классическая и квантовая теория поля и тэта-функции, Москва-Ижевск, 2003

ятно, впервые такого рода комбинаторно-топологическое условие на двойственный граф было сформулировано (для кривых без отмеченных точек) в работе 12.

Цель работы — исследование пунктированных кривых с простейшими особенностями с точки зрения алгебраической геометрии и комбинаторики. В частности, наша цель состояла в том, чтобы показать, что кривые с простейшими особенностями обладают богатой геометрией, аналогичной классической геометрии неособых кривых, и богатой комбинаторикой,

Методы исследования. В работе используются методы алгебраической геометрии и теории графов, теории производящих функций, дифференциальных уравнений в частных производных, а также компьютерные вычисления с использованием пакета "MAPLE".

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Основные результаты диссертации можно кратко сформулировать следующим образом.

• Для стабильных по Делиню-Мамфорду пунктированных кривых получено описание канонического и дважды-канонического отображений, параллельное классическому описанию для неособых кривых.

• Получено описание многообразий модулей топологически тривиальных расслоений на кривых с простейшими особенностями с точки зрения геометрической теории инвариантов и компактификация этих многообразий модулей топологически тривиальными пучками без кручения. Для топологически тривиальных пучков ранга 1 и 2 получены явные критерии стабильности.

• Получено описание многообразий модулей топологически тривиальных пучков ранга 1 на кривых с простейшими особенностями как торического горенштей-пова многообразия Фаио; доказано, что для кривых с трехсвязным двойственным графом последний определяется этим многообразием модулей однозначно (дискретная теорема Торелли).

12 Catanese F., Franciosi М., Hulek К., Reid М. Embeddings of curves and surfaces, Nagoya Math. Journal, 1999, v. 154, p. 185-220.

• Доказано, что производящие функции модулярных графов удовлетворяют уравнению Бюргерса, а экспонента от них — уравнению теплопроводности. Для первого члена разложения по родам производящей функции — производящей функции модулярных деревьев — получена в общем виде формула обращения, известная прежде только в частных случаях5. Для вычисления последующих членов разложения производящей функции по родам получены явные реку-рентные интегральные формулы.

• Получены явные формулы для производящих функций комбинаторных трехвалентных графов как асимптотические разложения решений уравнения Бюргерса, выраженных через модифицированные функции Бесселя или функции Эй-ри. Эти решения доставляют интересный явный пример к теореме А.Н.Тихонова 13 о неединственности решения задачи Коши для уравнения теплопроводности с начальными условиями, растущими быстрее, чем ех .

• Получены явные рекурентные формулы для вычисления виртуальной эйлеровой характеристики компактифицированных по Делпню-Мамфорду многообразий модулей пунктированных кривых М9лП- Численные значения виртуальной эйлеровой характеристики -Mgjl вычислены для п = 0,1 и всех g < 20, а также для всех g < 7 и п < 6.

Научная значимость работы. Работа имеет теоретический характер. Различные результаты и методы данной работы имеют широкий спектр применения: в алгебраической геометрии, комбинаторике, теории графов и теории производящих функций, а также в квантовой теории поля.

13 Tykhonov A.N. Theoremes d'unicinte pour l'équation de la chaleur, Математический сборник, 42:2, стр. 199-216, (1935).

геометрии Института Макса Планка (Бонн, Германия) в 2003, 2005 и 2006 годах, Геттннгенского Университета (Германия) в 2003 и 2005 годах, Университета Джонса Хоикинса (Балтимор, США) в 2004 году, Курантовского Математического Института (Ныо-Йорк, США) в 2004 году.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 33 наименований. Объем диссертации — 130 страниц.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1], [2], [3], [4] и [5], приведенных в конце автореферата.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы исследования, кратко рассмотрена история задач и их современное состояние, сформулированы основные результаты и описано содержание работы.

Первая глава посвящена изучению геометрии стабильных пунктированных кривых, в первую очередь — описанию свойств их канонического и дважды-канонического отображений. В первом параграфе вводятся основные необходимые понятия, относящиеся к пуиктнроваииым кривым и модулярным графам. Множество вершин модулярного графа Г обозначается У(Г), множество ребер — Е(Г), множество ориентированных ребер — Е(Г), множество полуребер — -Браг(Г), множество связных компонент графа Г, не содержащих полуребер — (Г). Ориентированное ребро обозначается е ; то же самое ребро с противоположной ориентацией — е . Вершина, из которой выходит ориентированное ребро е , обозначается $("<?), вершина, в которую это ребро входит — ¿( е ). При сопоставлении пунктированной кривой X модулярного графа Г(Х) вершина V (Е У(Г(А')) соответствует неприводимой компоненте кривой X, ребро е € Е(Г(Х)) '— двойной особой точке Ре € X, а ориентированное ребро £ Е(Г(Х)) — одной из двух ветвей этой особой точки Р-? € Xгде X" — нормализация кривой X.

В первом параграфе первой главы формулируются следующие две теоремы, являющиеся основными результатами этой главы.

Теорема. 1.1.1. Дважды-каноническое отображение стабильной в смысле Делиня-Мамфорда кривой X является вложением, если

1) двойственный модулярный граф Г(Х) не содержит одновалентной вершины рода 1;

2) двойственный модулярный граф Г(Х) не содержит трехвалентной вершины рода 0 с петлей;

3) X не является одной из следующих четырех компактных (то есть не имеющих отмеченных точек) кривых рода 2:

a) неособая кривая рода 2;

b) эллиптическая кривая с двойной особой точкой;

c) рациональная кривая с двумя двойными особыми точками;

d) пара неособых рациональных кривых, трансверсально пересекающихся в трех различных точках.

На каждой неприводимой компоненте типа 1) и 2) и на каждой кривой типа 3) (fi2 является двулистным накрытием проективной прямой.

Теорема. 1.1.2.14 Каноническое отображение связной пунктированной особой кривой X с простейшими двойными точками

I. не имеет базисных точек тогда и только тогда, когда ее двойственный модулярный граф реберно 2-связен;

II. является вложением в Р^-1, где

ду = д(ХП + |£7(Г(Х))| - |У(Г(Х))| + |Я(Г(Х))|, (1)

тогда и только тогда, когда ее двойственный модулярный граф реберно 3-связен и кривая X не является обобщенной гиперэллиптической кривой (см. п. III. настоящей теоремы); образ канонического отображения является кривой степени

2(07НЯ(ГРО)1)ЧЗ*ЛГ(Х))|; (2)

III. является двойным накрытием рациональной кривой Веронезе степени g-y — 1 е рз7-1 для следующих двух типов кривых, которые называются обобщенными гиперэллиптическими:

а) неприводимая кривая X с рациональной, эллиптической или гиперэллиптической кривой X" с инволюцией i: X" —^ X" переставляющей ветви всех п >

14Для случая компактных кривых (т.е. без отмеченных точек) аналогичный результат был получен в работе 12.

тах(2 — д(Х"), 0) особых точек: г(Р^) = Р-? для всех п ребер (которые являются петлями) графа Г(Х).

Ь) приводимая кривая X = Х^иХ2, имеющая две неособые рациональные неприводимые компоненты Х\ и Х2, попарно пересекающиеся в п > 3 двойных особых точках таким образом, что имеется проективный изоморфизм г: Х1 —> Х2, переставляющий ветви особых точек: г(Р^) = для всех п ребер Г(Х).

Кроме того, в первом параграфе на базе приведенных результатов обсуждается модулярная конфигурация А.Н.Тюрнна, введенная в его книге п.

Первая глава посвящена доказательству приведенных теорем и сопутствующих им результатов. Во втором параграфе вводятся и изучаются звездные когомологии модулярных графов, описывающие "комбинаторную"часть пространства регулярных дифференциальных форм на пунктированных кривых с простейшими особенностями. Сами дифференциальные формы и их связь со звездными когомлогнями описывается в третьем параграфе. В четвертом параграфе подробно изучается каноническое отображетие пунктированной кривой с простейшими особенностями и доказывается первое утверждение теоремы 1.1.2. Остальные утверждения этой теоремы доказываются в пятом параграфе для неприводимых кривых и в шестом — в общем случае. В шестом же параграфе доказывается и теорема 1.1.1.

Во второй главе изучаются топологически тривиальные расслоения и пучки без кручения на кривых с простейшими особенностями. В этой главе рассматриваются кривые без отмеченных точек, поэтому двойственный модулярный граф в этом случае является просто графом. В первом параграфе вводятся основные понятия, относящиеся к этому кругу вопросов. Следуя 11, расслоение Р ранга г на X называется топологически тривиальным, если ограничение его подъема на каждую неприводимую компоненту нормализации кривой X является тривиальным расслоением на ХЦ:

КЛ к = Ох» ® (3)

где — некоторое линейное пространство размерности г„, которое называется тривиализацией расслоения Р на компоненте Хк. Ограничение сечений расслоения Р на слой над особой точкой ре, е е Е, который обозначается Яе, задает тогда набор невырожденных линейных отображений

(4)

так что отображения

Ф^ = о Я*: Н^) - (5)

представляют собой функции перехода с компоненты Х"^ на компоненту причем Ф-^- = Ф^.1. Для построения компактифнкации многообразия модулей Ма{Х, г) топологически тривиальных расслоений ранга г на кривой X вводится понятие топологически тривиального пучка без кручения, который задается набором отображений (4), но уже без требования обратимости отображений 2-+. Основной результат первого параграфа — следующее описание многообразия модулей топологически тривиальных пучков без кручения как фактор-многообразие в смысле геометрической теории инвариантов15.

Теорема. 2.1.1 Многообразие модулей Л4о(Х, г) (полу) стабильных топологически тривиальных пучков ранга г на кривой X представляет собой фактор-многообразие (полу) стабильных точек произведения грассманианов

(П Сгаз8(г, ©

ееЕ

по действию группы СЬ(И^„). При этом пучкам, локально свободным в точке

ре соответствуют точки Сга8в(г, ф отвечающие г-мерным подпро-

стпранствам пространства И^с?) ©ЪУа{у-)1 пересекающим " ^«Сё") лишь по 0.

Во втором параграфе второй главы рассматривается случай г = 1. Прн этом все пространства IV» одномерны, поэтому соответствующий грассманиан представляет собой проективную прямую Р1 с однородными координатами (г-? : г^), а калибровочная группа СЬ(1У„) = к* — мультипликативная группа поля. В этом случае удается явно описать образующие алгебры инвариантов этого действия (Предложение 2.2.1) и дать геометрический критерий стабильности н полустабильности топологически тривиального пучка без кручения Т ранга 1. Для этого пучку О- сопоставляются множество ориентированных ребер

О (Р) = {~е, таких, что г-? = 0} (6)

и соответствующее множество неориентированных ребер

В{Т) = {е, таких, что г-? = 0 или г*^ = 0}. (7)

15Мамфорд Д. Геометрическая теория инвариантов, "Мир 1974

Предложение. 2.2.2. Топологически тривиальный пучок Т ранга 1 полустабилен тогда и только тогда, когда существует простой цикл Ь такой, что 23 (Р) С Ь . При этом Р стабилен тогда и только тогда, когда граф Г(Х) остается связным после выбрасывания из него всех ребер

Благодаря этому результату удается дать явное описание многообразия модулей .Мо(Х, 1) в терминах двойственного графа Г(Х). Целочисленные гомологии //] (Г(Л'), Z) образуют решетку в пространстве вещественных гомологий Нх(Г(А''), К) Цикл из Н\(Т{Х),1,) называется простым, если любое ребро входит в него с коэффициентом ±1 или 0; нетрудно проверить, что простые циклы являются вершинами выпуклого многогранника Д С ,Й1(Г(АГ),1К), который называется многогранником простых циклов графа Г(Х).

Теорема. 2.2.1. Многообразие модулей А4о(Х, 1) полустабильных топологически тривиальных пучков ранга один на кривой X с простейшими особенностями является торическим многообразием Фано, заданным целочисленным выпуклым рефлексивным многогранником Д С Д1(Г(АГ),К), вершинами которого являются простые циклы графа Г(Х).

В случае, когда все неприводимые компоненты кривой X рациональны, многообразие модулей топологически тривиальных расслоений Мо{Х, 1) совпадает с обобщенным якобианом J(X) кривой X, а М.о(Х, 1) представляет собой его каноническую комиактифнкацию J(X). Возникает естественный вопрос: выполняется ли в этом случае аналог теоремы Торелли, то есть можно ли по торическому многообразию J(X) восстановить кривую XI Поскольку торическое многообразие Л^Х) зависит только от двойственного графа Г = Г(Х), на положительный ответ можно надеяться только для .м-кривых; в общем же случае мы можем только спросить, различает ли 3{Х) компоненты Л^г, то есть можем ли мы по целочисленному многограннику Д С К9 восстановить стабильный граф Г рода д, для которого Д является многогранником простых циклов? Решению этого вопроса посвящен четвертый параграф второй главы. Ответ зависит от числа связности графа Г. Оказывается, для 1-связных и 2-связных графов "дискретная теорема Торелли "неверна; в четвертом параграфе мы приводим универсальную схему построения контрпримеров. Здесь же доказывается, что других препятствий к выполнению этой теоремы нет.

Теорема. 2.4.1. "Дискретная теорелш Торелли"верна для любого графа с числом

связности не менее трех. Другими словами, 3-связный граф Г однозначно определяется своим многогранником простых циклов Д(Г) С ^(Г,®).

Третий параграф второй главы посвящен случаю ранга, большего единицы. При этом естественно рассматривать многообразие модулей Л4а(Х, г, 0) расслоений с тривиальным детерминантом. Его компактификация — многообразия модулей Мо(Х, г, 0) топологически тривиальных пучка без кручения аналогично теореме 2.1.1 описывается как фактор-многообразие в смысле геометрической теории инвариантов, но уже не произведения грассманианов, а произведения их гиперплоских сечений.

Предложение. 2.3.1. Многообразие модулей Мо(Х, г, 0) (полу) стабильных топологически тривиальных пучков ранга г с тривиальным детерминантом на кривой X представляет собой фактор-многообразие (полу) стабильных точек произведения гиперплоских сечений грассманианов ( Д фе)(«™)«(аЫе по действию группы

ееЕ

ееУ

В случае ранга два многообразия <5е представляют собой гиперплоские сечения грассманова многообразия Сгазз(2,4), то есть квадрику в Р4. Для того, чтобы сформулировать условие (полу) стабильности топологически тривиального пучка ранга два с тривиальным детерминантом, необходимо рассмотреть топологически тривиальные подпучки ранга один. Такой подпучок {? задается просто набором одномерных подпространств II,, С ТУ„, v е V. Тем самым множество ребер графа Г(А'), разбивается на три множества

= {е € Е, таких что сИт((г/;.(-?) ф и^) П Кег(2^, г^)) = г}, г = 0,1,2. (8)

Предложение. 2.3.3. Топологически тривиальный пучок Т ранга два с тривиальным детерминантом на кривой X, (полу)стабилен тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1) Для любой вершины V любой ненулевой вектор ш € лежит (не более) менее чем в половине подпространств КегZ-g, е 6 ¿'-(г?).

2) Для любого топологически тривиального подпучка ранга один |£о| > \Ег\ (соответственно > |-Бг|Л

Отметим, что для неприводимых особых кривых топологически тривиальные пучки аналогичны изучавшимся в 16 расслоениям с обобщенной параболической структурой, причем полученный там критерий стабильности соответствует части 2 предложения 2.3.3.

Третья глава посвящена производящим функциям модулярных графов. В первом параграфе формулируются основные относящиеся сюда понятия и теоремы. Пусть {/igji , 2(д — 1) + п > 0} множество (коммутативных) переменных, Г — модулярный граф. Определим моном:

МП = lAutri П ^(tVM' (9)

' ' f£V(r)

где Aut Г группа автоморфизмов модулярного графа Г. Пусть Gg n — множество всех модулярных графов рода дек ребрами и п полуребрами, рассмотрим многочлены

/£» = Е мп (ю)

и производящие функции (формальные ряды)

оо оо 3^—3+71 п

Ф(м,Л) = ££ £ Sj-^v-1 (И)

д=0 п=0 к=0

Q.T,г < tl оо OQ Зр-З+п ¿п-1

Ф(М,*) = = ЕЕ Е рЦ-L-^. (12)

Ш д=0 n=l к=0

Отметим, что

оо оо п

Ф(М,Л) = ££ ЕМН^Й»"1 (13)

9=о п=0 reö9,n

статистическая сумма, обычно рассматриваемая в квантовой теории поля (здесь

"Bhosle U. Generalised parabolic bundles and applications to torsionfree sheaves on nodal curves, Arkive for Matematik, 1992, bd. 30, N 2, p. 187-215.

Sg,n — U к@д,п ~ множество всех модулярных графов рода д сп полуребрами), а

í"

(14)

Ф(<М,й) =

£Г>0

п > О

2(5 - 1) + п > О

Ключевой результат третьей главе состоит в том, что функции Ф и Ф удовлетворяют уравнению Бюргерса: •

Теорема. 3.1.1. Функция Ь) удовлетворяет потенциальной форме уравне-

ния Бюргерса:

Э2Ф

dt2

ЭФ _ И дв ~ 2

а функция Ф(я, Ь, Н) удовлетворяет уравнению Бюргерса:

ЭФ _К дв ~ 2

¿РФ ЭФ д? + dt

(15)

(16)

При этом начальным условием является как раз функция Ф(0, (14) (или соответствующая функция Ф(0, Й)). Эта теорема доказывается во втором параграфе третьей главы.

Можно несколькими способами придавать значения неременным так, что-

бы получались интересные производящие функции Ф (или Ф). Например, фиксируя целое (I > 3 и полагая

{1 если д = 0 и п = в. . .

О в остальных случаях

мы получаем считающую фуикциею для ¿-валентных (комбппаторпых) графов, а полагая

_ Г 1 если д = О

д,п ^ 0 в остальных случаях получим считающую функцию для всех стабильных (комбинаторных) графов.

В этих двух случаях начальными условиями будут соответственно:

(18)

Ф(0, í, ñ) = для (/-валентных графов

(19)

для всех стабильных графов.

Другой важнейший класс производящих функций связан с понятием "мотив-ную меры "у, сопоставляющей каждому неособому алгебраическому многообразию X элемент у{Х) некоторой коммутативной (Щ-алгебры, удовлетворяющий следующим условиям:

(а) у{Х \ У) + у(У) = у(Х) для любого замкнутого неособого подмногообразия У С X ;

(т) у(Х х 2) = у(Х)ь(г).

Соответствующая "виртуальная мотивная мера"£> орбиобразия X может быть задана как у(Х) = у{Х)/Ы, где X —* X неразветвленное накрытие орбиобразий степени N, а X иеособо. (Достаточно иметь такое накрытие для каждого страта некоторой стратификации X.) Положим цд>п = у(М3>п). Тогда нетрудно вывести, что

ц(Г) = у{Мт) (21)

= ЧМкд,п), (22)

где Мд<п пространство модулей стабильных по Делиню-Мамфорду п-пунктированных кривых рода д, имеющих ровно к особых точек, а Мг — пространство модулей таких кривых X, что Г(Х) = Г. Заметим, что при заданных д н п пространства Мкдп образуют стратификацию Мд^п и сосШп^ ^ Мд:П = к. Таким образом производящие функции (11) имеют вид

оо оо 3.7—3+71

Ф(М,Й) = ЕЕ Е (23)

я=0 п=0 . к=0

а статистическая сумма (13) становится производящей функцией для величин у(Мд,„) для компактифицированного пространства модулей Мд,п'-

Ф(1, Й) = Е Е ^^-¡Н*-1-, (24)

5=0 п=0

начальное условие (14) становится производящей функцией для величин для пространства модулей Мд:П неособых кривых:

°° 00 ЛП

Ф(0, (,/«) = ЕЕ (25)

3=0 п=0

В качестве такой "виртуальной мотивной меры"? можно взять виртуальный многочлен Пуанкаре от X, или виртуальную Эйлерову характеристику X или число точек ЛГ(^) над конечным полем Но явная формула для начального условия известна только для виртуальной Эйлеровой характеристики. Она дается известным результатом Харера-Загира 7: для д > 0

х^н-!)"^-3;^;^-1^, (26)

для д > 2, п > 0 или д = 1, п > 1, где Вт обозначает число Бернулли с индексом т. Объединив это со случаем д = 0 (см. 5), получаем начальное условие

4 п, 2

В*.----(27)

Третий параграф третьей главы посвящен решению уравнения Бгоргсрса, основанному на разложения по степеням 11.

оо

Ф = (28)

3=0

оо

Ф(я,Й) = Фв(в, (29)

»=о

Подстановка этих разложений в уравнение Бюргерса дает квазилинейное уравнение для Ф0:

и рскурснтные квазилинейные уравнения для Ф9 при д > 0:

<№„ 1 <92Ф,_1 ^ ОЧ>„ , 1 ^ 01'i (Я'д-i

4СЧ1Ч

дв 2 аг2 аг 2 ¿-г т т

1=1

На основании решения уравнения (30) получается следующая теорема, первый частный случай которой был получен Ю.И.Маниным для производящих функций многочленов Пуанкаре и эйлеровой характеристики Мо,п в 17.

Теорема. 3.1.2. Формальные ряды

ot.it) = г - 5ф0(о, г) = * - в • <32)

°° /п_3 \ г"-1

=«+ вФо(в,0 =«+ вX) 1С<п-лл\ (33)

п=3 \к=0 /

езаимнообратны относительно операции композиции; функция Фо(з, £) удовлетворяет функциональным уравнениям

Фо(в, <) = Фо(0,4 + «Ф0(5, *)) (34)

Ф0iO,t) = Фois,t-sФoiO,t)). (35)

С помощью этой теоремы в четвертом параграфе единообразно выводятся все известные на сегодняшний день функциональные и дифференциальные уравнения на различные производящие функции Фо(в,4) модулярных деревьев.

Функция Ф0(5, г) существенно используется в рекурентных формулах для решения уравнений (31) для д > 0, основанных на следующем интегральном представлении.

Теорема. 3.1.3. Решение

(36)

9=0

17Manin Yu.I. Frobenius Manifolds, Quantum Cohomology, and Moduli Spaces, AMS Colloquium Publications, vol. 47, 1999.

потенциального уравнения Бюргерса (15) с начальным условием Ф(0,£, Н) может быть представлено в виде

ф (в, г, К) = Ф(о, г + вФоСв,«)), Н)+

п Г Гэ2Ф /д(Ф-Фо)У

; Г 52Ф (

2 Л I д£> ' V дЬ )

Разложение по родам доставляет явные рекурентные формулы. Следствие. 3.1.2. Для д > О

(ег,г + (5-ст)Ф0(М),Й)Лх (37)

Ф9(М) = Фг(0,« + вФо(М)))+

-Г

2 7о

<9г2

+ £

ЗФо-4

(<т,« + (в-с^Фо^))^ (38)

Пятый параграф посвящен считающим функциям трехвалентных графов. В этом случае удается найти однопараметрическое семейство явных решений уравнения Бюргерса, выраженных через модифицированные функции Бесселя /„(г) или функции Эйри А1(г) и Вг(г). Все эти решения аналитичны в окрестности прямой 5 = 0, а на этой прямой они только бесконечно дифференцируемы, причем любое из решений доставляет одно и то же (расходящееся) асимптотическое разложение по я и

Теорема. 3.1.4. Считающая функция Ф для трехвалентных графов

оо оо Зд-З+п

Ф(в)*,л)=х:Е Е

5=0 п=1 к=0

трехвалентным графам Г рода дс к ребрами и пполуребрами

. Аи1;Г|

1п~

(п-1)!

зкК>~1 =

1 у/1 - 2зг

1-54

в2п

21/3

Зз3Л

) + Сг/2/з(

(уТ=2Н)3

¡2Л вПУ3

Г" М' ( 1 4- (У П4> ( ^

С^А/ (22/382Л2/3

1 - - VI - 25t

) + С2Вг (

1-2^ 22/382й2/3

1 -

ТУ

(39)

где Сх, С2, С(, Сз произвольные константы (С[ = \/3(С2 — С\) и С'2 = С2 + С^, а IV (и) — считающая функция для трехвалентных графов с одним полуребром:

\У(и) = £

| А^Г|

трехвалентным графам Т^рода д с одним полуребром , (16/9-1) 3

1 1 I с

1 -

2/3 Щ + С212/3 Щ

с171/з Ш + С2/-1/3 Ш

(16/9— 1)(16/9—9) /3 2!

(I«)2

(16/9—1)(16/9—9)(16/9—25) /3 3!

(4/9-1) + (4/9-1)(4/9-9)(Зц)2 _ (4/9-1)(4/9-9)(4/9-25)

= 2 + Ги + "

1105 128

ил + -

1695

414125 1024

и5 + .... (40)

Обозначим

тогда

\У{и) = Х)*-««'-1. 3=1

трехвалентный графам Г рода дс кребрами и Пполуребрами

| АтйГ!

(2п - 5)!! для 5 = 0, п > 3 |(2гг — 2)!! для д = 1, п > 1 (42)

(Зд+2п-5)!1 'Я (3<7—3)!!

для д > 2,

причем числа тд при д > 1 удовлетворяют следующилг рекурентным соотношениям:

Тя = \ ~ 4)т>_1 + .

(43)

Следствие. 3.1.3. Считающая функция Ф для трехвалентных графов имеет вид

оо ос Зд—3+п

Ф(М,Л) = £Е Е

3=0 п=0 к—О

трехвалентным графам Г рода дс кребрами и Пполуребрами

| Аи1 Г|

Г пГ

^ =

Г—2 + 65« - Зя2г21 -- 1п(53Й)+1п бв-'/г 6

= ^^ [-2 + - Зв2«2] - ^ Ь^Й) + ^ 1п(1 - 25«) - 1п 3 - 11п 2+

'(VI -2а«)3

+ 1п

= ик [2 -2+-зЛ21 - \^ -2^>+^ (йтга^)'

(44)

где У(и) — считающая функция для трехвалентных графов без полуребер:

ум=х:

5=2

трехвалентным графам Трода д

| А^Г|

= 111

= 1п

1 -

1! 8

и+-

О")"-

(I - 1) 3. (1-1К1- 9) /"3 д2 (I -1)(| - 9)(| - 25) (3 ^ 3

(Ь)'

^Зд-З

а=2 а

24И + Тби

1105 1152

и3 +

1695 384

82825 3072 1

' + ..., (45)

где тд, С{ и С[ те же самые, что и в теореме 3.1.4-

Отметим, что подстановка Коула-Хопфа 9, сводящая уравнение Бюргерса к уравнению теплопроводности, доставляет явное однопараметрическое семейство решений задачи Коши для уравнения теплопроводности с начальным условием Р(0, £) = е' /,6Л. Неединственность решений задачи Коши для уравнения теплопроводности с быстро растущими начальными условиями (быстрее, чем е' ) была замечена А.Н.Тихоновым в 1935 году 13.

.,0 = ^

— <2st -2+6д*.-За2!

с,/.

1*1/3

\ 3 вЧ

(46)

Для считающей функция для числа всех комбинаторных графов функциональное уравнение для функция Фо

l + t+(l + s)Фo(s,t)

(47)

выводится также в четвертом параграфе третьей главы. Начальное условие для уравнения Бюргерса (15) в этом случае задается (20). В пятом параграфе для счи-

тающей функция для числа всех комбинаторных графов доказывается следующая теорема.

Теорема. 3.1.5. Члены Фэ разложения считающей функции

оо

Ф(в, К) = 1)Н9'Х- (48)

9=о

для числа всех (комбинаторных) графов выражаются следующилг образом: • при з = 1

при д > 1

*1(«. 0 = 1п(1 - «(« + + 1)Фо(в, <))); (49)

/ 5 + 1

Ф«(М)- ((1-в(4+(в + 1)Фо(в,0))) Рг(

,(1-в(«+(в + 1)Ф0(в,*))); '

(50)

где Рд является многочленом степени 2д — 2, удовлетворяющим следующему рекурентному линейному дифференциальному уравнению:

9Рд{и) + {и-1)Р'д{и) _ 1 ~~ 2

и2(и - 1 )2р;_х(и) + «(и - 1)(3и + 2д(и -

+ [{д2 + 2д)и2 - (2д2 + д-1)и + (д2 - <?)] Рд^+ я-1

+ 53 М" - !)*<(«) + (*« - г + X »=1

х (и(и - + ((<? - г - 1)и - 5 + г - 1)Ря_{_!(и))

(51)

Там же приводятся приводятся первые три функции Фд, вычисленные с помощью пакета МАРЬЕ.

Для производящей функции для виртуальной Эйлеровой характеристики Мв1„. функция Фо удовлетворяет функциональному уравнению

(впервые полученному Ю.И.Маниным5 для в = 1), а начальные условия для уравнения Бюргерса задаются (27).

Теорема. 3.1.6. Члены Ф3 разложения производящей функции

^М.^^Ф^МГ1, (53)

а=о

для виртуальной Эйлеровой характеристики могут быть выражены следующим образом:

• при д = 1

Ф^, г) = 1п(1 + г - + 5Ф0(в, г))) + ^ 1п(1 + г + ¿¡Ф0(5, г))-, (54)

• при д > 1

ф , Л _1_ф ( д(1+« + 8Ф0(а,«)) Л

Ф'(М) = (l + t + sФ0(s,t)У^-z*° [ц-г-зЬ + зФ0(в,0)'°; ' (55)

и Ф9(.в,0) является многочленом от в степени Зд — З, удовлетворяющим следующим рекурентным уравнениям:

_ ^Ф«,, , , , .„.ЭФ,

2д{2д + 2) ^ 2

в2д + _

1 Г

2 Уо

0) + а2{га + 3 ~ Ад)1ь{сТ'

- 2(д - 1)(<х - 2д+ 1)Ф9(<т,0) + £ - 2(< - 1)Ф4(<т,0)) х

х - 2(5 - г)Ф,_1+1(а,0)) (56)

Старший коэффициент Фг(з, 0) равняется 3^3 (определение г9 сл<. в теореме 3.1.4).

В третьей главе мы приводим результаты расчетов по этим формулам, проведенных при помощи пакета МАРЬЕ. В частности, значения виртуальной эйлеровой характеристики Л49?„ вычислены для п = 0,1 и всех д < 20, а также для всех д <7 и п < 7.

Список литературы

[1] Артамкин И.В. Канонические отображения пунктированных кривых с простейшими особенностями, Математический сборник, 2004, Т. 195, N 5, стр 3-32.

[2] Артамкин И.В. Топологически тривиальные пучки на кривых с простейшими особенностями, Труды Математического Института им. Стеклова, 2004, Т. 246, стр. 10-19.

[3] Артамкин И.В. Производящие функции модулярных графов и уравнение Бюр-герса, Математический сборник, 2005, Т. 196, N 12, стр. 3-32.

[4] Артамкин И.В. Дискретная теорема Торелли, Математический сборник, 2000, Т. 197, N 8, стр. 3-16.

[5] Артамкин И.В. Ортогональная двойственность торпческнх многообразий Фано с регулярной инволюцией, Успехи математических паук, 2006, Т. 61, N 3, стр. 165-166.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Артамкин, Игорь Вадимович

1. Канонические отображения пунктированных кривых с простейшими особенностями.

1.1. Стабильные пунктированные кривые и модулярные графы.

1.2. Модулярные графы и звездные когомологии.

1.3. Дифференциалы.

1.4. Каноническое отображение.

1.5. Неприводимые кривые.

1.6. Доказательство основной теоремы

2. Топологически тривиальные пучки на кривых с простейшими особенностями и дискретная теорема Торелли.

2.1. Топологически тривиальные пучки.

2.2. Пучки ранга один.

2.3. Пучки с тривиальным детерминантом.

2.4. Дискретная теорема Торелли.

3. Производящие функции модулярных графов и уравнение Бюргерса.

3.1. Производящие функции модулярных графов.

3.1.1. Трехвалентные графы.

3.1.2. Считающая функция для числа всех комбинаторных графов.

3.1.3. Виртуальная Эйлерова характеристика М<?,п

3.2. Склейки и разрезания модулярных графов.

3.3. Решения уравнения Бюргерса.

3.4. 0 = 0.

3.5. Считающая функция для трехвалентных графов.

3.6. Виртуальная Эйлерова характеристика Мд^п.

Введение диссертация по математике, на тему "Геометрия и комбинаторика пунктированных кривых с простейшими особенностями"

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Изучение многообразия модулей кривых — одно из активно развивающихся направлений алгебраической геометрии, востребованное не только внутри самой алгебраической геометрии, но и во многих других разделах математики, в первую очередь в теоретической физике. Классическим объектом исследования в алгебраической геометрии является некомпактное многообразие Мд>п модулей неособых алгебраических кривых (римановых поверхностей) фиксированного рода д с п фиксированными точками, называемых пунктированными кривыми. Такое многообразие модулей существует, если группа автоморфизмов соответствующих пунктированных кривых конечна, что согласно классическому результату Гурвица [14] автоматически выполнено при любом п > О при д > 1 и требует п > 1 при д = 1 и п > 3 при д = 0. В этом случае пунктированная кривая называется стабильной; для стабильных кривых конструкция многообразия модулей Мд>п и его компактификации Мд,п с применением геометрической теории инвариантов дана в ставших уже классическими работах Кнудсена, Делиня и Мамфорда [19], [16]. При этом точкам компактификации многообразия модулей соответствуют особые кривые, имеющие только простейшие особые точки (т.е. двойные точки с разделенными касательными), на которых отмечено п неособых точек, при условии, что группа автоморфизмов такой кривой конечна. Такие особые пунктированные кривые также называются стабильными в смысле Делиня-Мамфорда. Основным комбинаторным инвариантом пунктированной кривой с простейшими особенностями является двойственный модулярный граф, вершины которого соответствуют неприводимым компонентам кривой, ребра — двойным особым точкам, а полуребра — отмеченным точкам.

Модулярные графы соответствуют различным стратам компакти-фикации многообразия модулей, а их комбинаторика — геометрии примыкания этих стратов. Это обстоятельство явилось причиной интенсивного внимания к модулярным графам в течение последних 10-15 лет Особенно востребованным в этом направлении оказался язык производящих функций (точнее, производящих формальных рядов), являющихся, по существу, статистическими суммами квантовой теории поля. Первый фундаментальный пример в этом направлении — многообразия модулей рациональных кривых Мо,п с п > 3 отмеченными точками, представляет собой классическое многообразие модулей кривых Веронезе степени п — 3 в Р™-3, проходящих через п фиксированных точек общего положения, описан на современном языке в работе Капранова [17]. Основные результаты об эйлеровой характеристике и многочлене Пуанкаре компактифицированного многообразия Мо,п оказалось удобно сформулировать именно на языке производящих функций модулярных деревьев (см. [22]). Именно в этой ситуации был впервые отмечен феномен взаимной обратное™ производящих функций для открытой части Мо,п и для его компактификации, доказанный в общем виде в [4] (см. также главу 3 настоящей диссертации). В отличие от случая рода 0 при д > 0 компактифицированное многообразие модулей всегда особо и должно рассматриваться как орбиобразие, при этом вычисление его виртуальной эйлеровой характеристики оказалось весьма трудной задачей, поддававшейся решению только для малых значений рода ([10], [11]). Основополагающей в этом направлении явилась работа Харера и Загира [31] по вычислению виртуальной эйлеровой характеристики некомпактифи-цированного многообразия модулей Мд,п. Этот результат использован (в качестве начального условия) при вычислении виртуальной эйлеровой характеристики Мд>п в [4] (см. также главу 3 настоящей диссертации).

Связь производящих функций модулярных графов с уравнением Бюр-герса на первый взгляд представляется весьма неожиданной. Уравнение Бюргерса появилось в конце сороковых годов XX века ([8]) в гидро- и аэро-механике. Вскоре была найдена для него линеаризующая подстановка Коула-Хопфа ([20],[32]), сводящая его к обычному уравнению теплопроводности. Подстановка Коула-Хопфа для большинства интересных производящих функций модулярных графов приводит к задаче Ко-ши для уравнения теплопроводности с расходящимися или, по крайней мере, очень быстро растущими начальными условиями. Однако чисто формальная запись в этих случаях интеграла Пуассона позволяет проинтерпретировать соответствующие производящие формальные ряды как асимптотические разложения гауссовых интегралов, аналогичные рассматриваемым в последнее время в квантовой теории поля. Представляется, что связь производящих функций модулярных графов с уравнением теплопроводности указывает на фундаментальный характер понятия модулярного графа и позволяет ожидать новых интересных результатов в этом направлении.

Индивидуальная" геометрия пунктированных кривых с простейшими особенностями, кажется, первоначально привлекала меньше внимания. В ряде работ геометрия таких кривых изучалась для получения геометрических результатов о неособых кривых путем рассмотрения деформации такой кривой в стабильную особую кривую (см., например, [28] или [33]). Последовательно эти вопросы обсуждаются в книге А.Н.Тюрина [27], где особое внимание уделяется лг-кривым, имеющим только рациональные неприводимые компоненты и трехвалентный двойственный модулярный граф. Такие м-кривые являются максимально вырожденными кривыми с простейшими особенностями, соответствующими нульмерным стратам многообразия модулей. В [27] также вводится понятие топологически тривиального расслоения на At-кривой и рассматриваются многообразия модулей топологически тривиальных расслоений на них. Однако следует отметить, что интересной геометрией, практически полностью параллельной геометрии неособых кривых, обладают не только л-кривые, но и любые стабильные пунктированные кривые с простейшими особенностями. При этом кривыми "общего типа" оказываются кривые, имеющие двойственный модулярный граф с числом связности (иногда — числом реберной связности) не менее трех. Вероятно, впервые такого рода комбинаторно-топологическое условие на двойственный граф было сформулировано (для кривых без отмеченных точек) в работе [18].

• Получено описание многообразий модулей топологически тривиальных расслоений на кривых с простейшими особенностями с точки зрения геометрической теории инвариантов и компактифика-ция этих многообразий модулей топологически тривиальными пучками без кручения. Для топологически тривиальных пучков ранга 1 и 2 получены явные критерии стабильности.

• Получено описание многообразий модулей топологически тривиальных пучков ранга 1 на кривых с простейшими особенностями как торического горешитейнова многообразия Фано ; доказано, что для кривых с трехсвязным двойственным графом последний определяется этим многообразием модулей однозначно (дискретная теорема Торелли).

• Доказано, что производящие функции модулярных графов удовлетворяют уравнению Бюргерса, а экспонента от них — уравнению теплопроводности. Для первого члена разложения по родам производящей функции — производящей функции модулярных деревьев — получена в общем виде формула обращения, известная прежде только в частных случаях ([22]). Для вычисления последующих членов разложения производящей функции по родам получены явные рекуррентные интегральные формулы.

• Получены явные формулы для производящих функций комбинаторных трехвалентных графов и как асимптотические разложения явных решений уравнения Бюргерса, выраженных через модифицированные функции Бесселя или функции Эйри. Эти решения доставляют интересный явный пример к теореме А.Н.Тихонова [25] о неединственности решения задачи Коши для уравнения теплопро2 водности с начальными условиями, растущими быстрее, чем ех .

• Получены явные рекуррентные формулы для вычисления виртуальной эйлеровой характеристики компактифицированных по Делиню-Мамфорду многообразий модулей пунктированных кривых Мд}П-Численные значения виртуальной эйлеровой характеристики M9ln вычислены для п = 0,1 и всех д < 20, а также для всех д < 7 и п < 6.

Апробация работы. Разделы диссертации неоднократно докладывались на семинаре по алгебраической геометрии и на семинаре по дискретной математике в Математическом институте РАН им. Стеклова, на различных семинарах на механико-математическом факультете Московского Государственного Университета, в Институте Теоретической и Экспериментальной физики, в Объединенном Институте Ядерных Исследований в Дубне, на международной конференции по векторным расслоениям в Порто (Португалия) в 2003 году, на семинарах по алгебраической геометрии Института Макса Планка (Бонн, Германия) в 2003, 2005 и 2006 годах, Геттингенского Университета (Германия) в 2003 и 2005 годах, Университета Джонса Хопкинса (Балтимор, США) в 2004 году, Курантовского Математического Института (Нью-Йорк, США) в 2004 году.

Список источников диссертации и автореферата по математике, доктора физико-математических наук, Артамкин, Игорь Вадимович, Москва

1. Abramowitz М, Stegun 1. Handbook of mathematical functions, National Bureau of Standards Applied Mathematics Series 55 (1964).

2. Артамкин И.В. Канонические отображения пунктированных кривых с простейшими особенностями, Математический сборник, 2004, Т. 195, N 5, стр 3-32.

3. Артамкин И.В. Топологически тривиальные пучки на кривых с простейшими особенностями, Труды Математического Института им. Стеклова, 2004, Т. 246, стр. 10-19.

4. Артамкин И.В. Производящие функции модулярных графов и уравнение Бюргерса, Математический сборник, 2005, Т. 196, N 12, стр 3-32.

5. Артамкин И.В. Дискретная теорема Торелли, Математический сборник, 2006, Т. 197, N 8, стр .

6. Артамкин И.В. Ортогональная двойственность торических многообразий Фано с регулярной инволюцией, Успехи математических наук, 2006, Т. 61, N 3, стр .

7. Batyrev V., Dual polyhedra and mirror symmetry for Calabi-Yau hy-persurfaces in toric varieties. J. Algebraic Geometry 3, (1994), 493-535.

8. Burgers J.M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence, Adv. Appl. Mech., 1, (1948), 171-199,

9. Bhosle U. Generalised parabolic bundles and applications to torsionfree sheaves on nodal curves, Arkive for Matematik,

10. Getzler E. The semi-classical aproximation for modular operads, Corn-mun. Math. Phys, 194, 481-492 (1998).

11. Griflits P., Harris J. Principles of algebraic geometry. New York, 1994.

12. Hurwitz A. Uber algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich, Math. Ann., 41, (1893), 403-442.

13. Данилов В.И. Геометрия торических многообразий, УМН, т.ЗЗ, 2, стр. 85-133.

14. Deligne P., Muinford D. The irreducibility of the space of curves of given genus. Publ. Math. IHES, 1969, vol. 36, 75-109.

15. Kapranov M. Veronese curves and Grothendieck-Knudsen mooduli space M0,„, J. Algebraic Geometry, 2, 1993, 239-262

16. Catanese F., Franciosi M., Hulek K., Reid M. Embeddings of curves and surfaces, Nagoya Math. Journal, 1999, v. 154, p. 185-220.

17. Knudsen F. Projectivity of the moduli space of stable curves, I, Math. Scand., 39 (1976), 19-66II, Math. Scand., 52 (1983), 161-199, III, Math. Scand., 52 (1983), 200-212.

18. Cole J.D. On a quasilinear parabolic equation occurring in aerodynamics, Quart App. Math., 9, 225-236 (1951).

19. Мамфорд Д. Геометрическая теория инвариантов, "Мир", 1974

20. Manin Yu.I. Generating functions in algebraic geometry and sums over trees, in: The moduli spaces of curves, eds. Dijkgraaf et al. Birkhauser, 1995, 199-230 (1995).

21. Manin Yu.I. Frobenius Manifolds, Quantum Cohomology, and Moduli Spaces, AMS Colloquium Publications, vol. 47, 1999.

22. Oda Т., Seshadri C.S., Compactifications of the generalized Jacobian variety, Trans, of the American Mathematical Society, vol. 253, 1979, p.1-90.

23. Tykhonov A.N. Theoremes d'unicinte pour l'equation de la chaleur, Математический сборник, 42:2, стр. 199-216, (1935).

24. Tyurin A.N. On periods of quadratic differentials, Uspekhi Mat. Nauk, 33:6 (1978); translated in Russian Math. Surveys, 33:6 (1979), 169-221.

25. Тюрин A.H. Квантование, классическая и квантовая теория поля и тэта-функции, Москва-Ижевск, 2003

26. A.N.Tyurin On the Muinford-Narasimhan problem. AG/0210135.

27. Fulton W., MacPherson R. A compactification of configuration spaces, Ann. of Math., 139, 183-225 (1994)

28. Харари Ф. Теория графов. Москва, "Мир", 1973.

29. Harer J., Zagier D. The Euler characteristic of the moduli space of curves, Invent. Math., 85, 457-485 (1986).

30. Hopf E. The partial differential equation ut + uux = цихх, Comm. Pure Appl. Math, 201-230 (1950).

31. C.Ciliberto, A.Lopez,R.Miranda Projective degenerations of КЗ surfaces, Gaussian maps and Fano threefolds, Invevt. Math., v.114, 1993, p. 641667.