Геометрия и комбинаторика комплексов подслов и двойственных им многогранников тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Российская Академия Наук Математический Институт им. В.А. Стеклова

На правах рукописи

Горский Михаил Александрович

Геометрия и комбинаторика комплексов подслов и двойственных им многогранников

01.01.04 - Геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

21 АВГ 2014

005551890

Москва - 2014

005551890

Работа выполнена в отделе геометрии и топологии Математического института им. В. А. Стеклова РАН Научный руководитель:

БУХШТАБЕР Виктор Матвеевич доктор физико-математических наук, чл.-корр. РАН, профессор, гл. научный сотрудник отдела геометрии и топологии Математического института им. В.А.Стеклова РАН Официальные оппоненты:

1. ВЕСНИН Андрей Юрьевич - доктор физико-математических наук, чл.-корр РАН. заведующий лабораторией прикладного анализа Института математик! им. С.Л. Соболева СО РАН

(специальность - 01.01.04.)

2. ЛАНДО Сергей Константинович - доктор физико-математических паук, декан факультета математики ННУ ВШЭ,

(специальность - 01.01.04.) Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки "Санкт-Петербур] скос отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН' (ПОМИ)

Защита состоится «17» октября 2014 г. в 14— часов на заседании дпееерташю! ного совета Д.002.022.03 при МИАН по адресу: 119991. Москва, ул. Губкина д.8. копференц-зал (9 этаж).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИАН по адресу: 119991 Москва, ул. Губкина, д.8, 8 этаж и на сайте

http ://www.mi.ras.ru/dis/ref14/gorskii/gorskii_dis.pdf. Автореферат разослан <■ » c^^c^^vt^ 2014 r.

У ч ей ы ii секрета pi > д 11 ссе рта ци о ш i о го совета

Д.002.022.03 при МИАН

доктор физико-математических паук

И.Д. Шкрсдо

1. Обшая характеристика работы

Важнейшими объектами изучения в классических и современных разделах геометрии и перечислительной комбинаторики являются симплициальные комплексы и выпуклые многогранники. Наиболее интересные из них допускают одну или несколько интерпретаций в других областях математики: например, в алгебраической комбинаторике, в теории представлений или в алгебраической геометрии. Ярчайшим примером такого рода является серия ассоциаэдров, или многогранников Сташефа (в каждой размерности есть один такой многогранник). Число вершин п—мерного ассоциаэдра является (п + 1)—м числом Каталана. Эти числа нумеруют более сотни математических объектов различной природы, от триангуляций выпуклого (п + З)—угольника до неразложимых представлений колчана типа Ап, см. [16]. Кроме того, многогранник Сташефа двойственен кластерному комплексу кластерной алгебры типа Ап, а отвечающее ему торическое многообразие тесно связано с компактификацией Делиня-Мамфорда А^о,п+з пространства модулей стабильных кривых на сфере с (п + З) отмеченными точками.

В последние годы были введены различные обобщения многогранников Сташефа, такие как нестоэдры, граф-ассоциэдры и обобщённые ассоциаэдры. В работе [5] С. Чебальос, Ж.-Ф. Лаббе и К. Штумп показали, что двойственные обобщённым ассоциаэдрам комплексы являются частным случаем более широкого класса комплексов подслое. Последние были введены в 2004 году А.Кнутсоном и Э.Миллером. Данная диссертация посвящена исследованию различных комбинаторных и геометрических свойств комплексов подслов, а также интерпретаций этих свойств в терминах торической геометрии и теории представлений.

Изначально комплексы подслов были введены в контексте многочленов Шуберта и матричных многообразий Шуберта. Вскоре было замечено, что они представляют интерес с точки зрения комбинаторики групп Коксетера. Ком-

плекс подслов задаётся парой (Q, 7г), где Q - слово в алфавите простых отражений, 7г - элемент группы Коксетера W. Симплексы комплекса отвечают подсло-вам слова Q, чьи дополнения в Q содержат приведённые выражения п. Аксиома обмена для групп Коксетера соответствует в этом контексте переходу между двумя граничащими максимальными симплексами. В [10] было показано, что комплексы подслов вершинно разложимы и, следовательно, расшелушиваемы (англ. "shellable"). Этот результат приводит к новому доказательству (и новой интерпретации) свойства Коэна-Маколея матричных многообразий Шуберта и обычных многообразий Шуберта, см. [10]. Используя расшелушиваемость, в [11] Кнутсон и Миллер доказали, что произвольный комплекс подслов гомеоморфен либо сфере, либо шару. Они также показали, что комплекс сферичен тогда и только тогда, когда произведение Демазюра 5(Q) слова Q равно р. Это произведение может быть определено как единственное приведённое выражение Q в 0-моноиде Гекке, соответствующем группе W. Кнутсон и Миллер также описали кольца Стэнли-Райснера комплексов подслов.

Для сферического комплекса подслов естественно встает вопрос, является ли он полярно двойственным некоторому простому многограннику. Ответ на этот вопрос в общем случае на данный момент неизвестен, но в некоторых случаях многогранная реализация была построена. Самая общая конструкция принадлежит В. Пило и К. Штумпу [14], которые назвали эти многогранники кирпичными. Они были названы так благодаря красивому описанию комбинаторики подслов в типе Ап в терминах наборов псевдо-прямых. Для специального класса слов комплексы подслов оказываются изоморфными кластерным комплексам, введённым C.B. Фоминым и A.B. Зелевинским [8]. Более того, некоторые важные объекты теории кластерных алгебр, такие, как с—векторы, могут быть описаны с помощью естественных геометрических реализаций этих комплексов подслов и их вееров [5]. Один из классов комплексов подслов называется мульти-кластерными комплексами. Многие свойства категории представлений соответствующего колчана имеют естественную интерпретацию в терминах

комбинаторики этих комплексов, см. [5].

Естественным является следующий вопрос: если даны два слова С^ и С22, выражающие один и тот же элемент группы \У или связанного с ней 0-моноида Гекке, что можно сказать об отношении между соответствующими комплексами подслов А] и Д2? В диссертации даётся частичный ответ на этот вопрос. Для С^! и (^2, связанных ровно одним движением кос, мы явно описываем, какие симплексы должны быть удалены из Д1 и какие должны быть добавлены, чтобы получить Д2. К сожалению, в общем случае многие симплексы могут быть посчитаны несколько раз. Поэтому этот результат, будучи конструктивным, не может быть непосредственно применён для вычисления перечисляющих полиномов и не отражает картину достаточно точно. Тем не менее, при некоторых условиях мы доказываем, что эта операция является не чем иным, как композицией подразбиений рёбер и обратных подразбиений рёбер, которая может быть просто описана. В частности, этот результат верен для любой пары слов, связанных движением кос, в случае просто вложенной группы Коксетера. Мы также даём двойственный результат в терминах многогранников; подразбиения ребер заменяются на срезки (или усечения) граней коразмерности 2, или просто на 2—усечения.

2—усечения привлекли внимание учёных в последние годы благодаря тому, что это единственные усечения граней, сохраняющие флаговость многогранников. Простой многогранник называется флаговым, если любое множество попарно непересекающихся граней имеет непустое пересечение. Простейшим примером п—мерного флагового многогранника является тг—мерный куб. В связи с этим в работах В.М. Бухштабера и В.Д. Володина был введён класс 2—усечённых кубов, т.е. многогранников, которые могут быть получены из куба фиксированной размерности последовательностью 2—усечений. Этот класс оказался очень интересным. В частности, он содержит все флаговые нестоэдры, граф-ассоциаэдры и граф-кубиэдры; детали могут быть найдены в [4]. Более того, для 2—усечённых кубов Володиным [1] было доказано утверждение гипотезы

С. Гала. С каждым симплициальным комплексом, гомеоморфным сфере, связывается так называемый 7—полином, чьи коэффициенты являются некоторыми линейными комбинациями чисел Д симплексов размерности к. Гипотеза Гала утверждает, что все коэффициенты 7—полинома произвольного флагового сферического симплициального комплекса неотрицательны. 7—полином флагового простого многогранника совпадает с 7—полиномом его нерв-комплекса, поэтому гипотеза имеет смысл и для флаговых многогранников. Тот же результат, но в двойственных терминах подразбиений рёбер, был получен Н. Айсбетт [3]. Наши главные результаты дают новую интерпретацию 2—усечений и подразбиений ребер в очень естественных комбинаторных терминах; действительно, мы видим, что в некоторых случаях эти операции соответствуют в точности движениям кос в системах Коксетера.

Кирпичные многогранники Пило-Штумпа являются многогранниками Дельзанта. Каждый такой многогранник является образом при отображении моментов некоторого гамильтонова торического многообразия. 2—усечения многогранников индуцируют раздутия торических многообразий. Таким образом, движения кос отвечают раздутиям некоторых торических многообразий. В недавней работе Л. Эскобар [7] изучаются торические многообразия, соответствующие кирпичным многогранникам, и потому названные кирпичными многообразиями. Эскобар доказывает, что некоторые кирпичные многообразия являются разрешениями особых многообразий Ричардсона, т.е. пересечений страт в двух противоположных стратификациях многообразия флагов. В работе Б. Леклерка [12] на подалгебре алгебры однородных координат на произвольном (открытом) многообразии Ричардсона строится структура кластерной алгебры. Мы предполагаем, что эти две конструкции непосредственно связаны; а именно, линк некоторого симплекса в соответствующем комплексе подслов является подкомплексом кластерного комплекса этой алгебры.

Мы описываем также преобразования комплексов подслов, индуцированные ниль-движениями слова в 0-моноиде Гекке группы IV и двойственными

операциями. Первое преобразование является обычным взятием максимального симплекса в комплексе, в то время как второе является композицией надстройки и, в некоторых случаях, последующего обратного подразбиения рёбер. Мы проверяем также, что оба этих преобразования сохраняют многогранность, и описываем соответствующие трансформации двойственных многогранников. Для каждого слова С2 можно определить его произведение Демазюра ¿(С^), которое отвечает произведению в 0-моноиде. Наши результаты и свойство слов в группах Коксетера дают алгоритм получения комплекса Д(С},7г) из комплекса Д(<5(С}),7г) описанными выше преобразованиями. Первый комплекс является сферическим тогда и только тогда, когда последний является (-1)-сферой. Мы надеемся, что наши конструкции помогут продвинуться в исследовании общей проблемы многогранности комплексов подслов.

Мы применяем результат о движениях кос к комплексам подслов вида Д(с\у0;и;0), где с - приведённое выражение элемента Коксетера, - произвольное приведённое выражение самого длинного элемента та. Эти комплексы допускают реализацию кирпичными многогранниками Пило-Штумпа, которые мы будем обозначать В(с\у0;и;0). Мы показываем, что все комплексы такого вида и, соответственно, двойственные им многогранники, являются флаговыми. Чебальос-Лаббе-Штумп [5] доказали, что комплексы Д(cw0(c);№0), где \у0(с) - так называемое с —сортирующее слово для т0, являются кластерными комплексами соответствующего типа. Следовательно, многогранники В(с \у0(с); ги0) реализуют обобщённые ассоциаэдры типа Ш. Мы показываем, что для любого другого элемента Коксетера с и его приведённого выражения с комплекс Д(с \у0(с ); ш0) является кластерным для некоторой подгруппы группы ТУ, а В(с\у0(с ); ю0) реализует соответствующий обобщённый ассоциаэдр. В частности, пусть с-1 обозначает слово с, написанное задом наперёд, тогда В(с\у0(с-1); и)0) является (комбинаторным) кубом.

Мы описываем множество граней В(с \ус; ш0) для любых с, вводя понятие (с, — стабильных положительных корней в системе Ф, соответствующей

группе \¥. Мы показываем, что гиперграни В(с\у0; ю0) находятся во взаимнооднозначном соответствии с простыми отрицательными и (с, стабильными положительными корнями в системе Ф. Поэтому мы называем комплексы Д(с\у0;и>0) и многогранники В(сиг0;и;с>) (с,\у0) —кластерными комплексами стабильности и (с,\у0) — ассоциаэдрами стабильности, соответственно. Обозначим множество стабильных корней за Stab(c, Главным результатом диссертации является следующая теорема.

Теорема 1.1. Пусть \у0,\у'0 таковы, что Stab(c, w0) С Stab(c, Wo). Тогда комплекс А(сш'0;гио) получается из комплекса Д(с\у0;ю0) последовательностью подразбиений рёбер. Аналогично, многогранник В(с \у0; т0) получается из многогранника В^ш^Юо) последовательностью 2—усечений.

Отсюда мы получаем

Следствие 1.1. Любой ассоциаэдр стабильности является 2—усеченным кубом и, потому, флаговым. В частности, любой обобщённый ассоциаэдр является 2—усеченным кубом.

Мы доказываем также, что каждый ассоциаэдр стабильности в типе Ап с линейным элементом Коксетера является нестоэдром. Мы формулируем гипотезу, согласно которой каждый кластерный комплекс стабильности является кластерным комплексом некоторой алгебры феномена Лорана, в смысле Т. Лама-П. Пилявского [13]. Последние являются естественным обобщением кластерных алгебр.

Пусть группа \¥ просто вложена. Выбор элемента Коксетера с эквивалентен выбору ориентации диаграммы Коксетера группы \¥, т.е. задаёт колчан С}. Приведённые выражения для ги0 тесно связаны с дискретными условиями стабильности на категории гер <5 конечномерных представлений и максимальными зелёными последовательностями мутаций <3. Более точно, каждое

приведённое выражение \ус задаёт семейство гнездящихся подкатегорий кручения в гер<2- Аналогично, каждое дискретное условие стабильности задаёт такое семейство. Ю Кью выдвинул гипотезу о том, что в каждом классе \у0 относительно смены порядка коммутирующих букв существует слово, соответствующее дискретному условию стабильности. Обобщая конструкцию кластерных комплексов стабильности, по каждому семейству гнездящихся подкатегорий кручения в артиновой абелевой категории глобальной размерности 1 мы строим флаговый симплициальный комплекс, равный А(стлг0,ги0) для условия стабильности, соответствующего лу0, на категории представлений <3- Мы доказываем для таких комплексов аналог Теоремы 1.1. По каждому такому семейству в категории представлений ациклического колчана <3 можно построить произведение квантовых дилогарифмов. Глубокий результат Райнеке заключается в том, что это произведение, для колчана <3 конечного типа (т.е. ориентации диаграммы Дынкина), не зависит от выбора семейства. Такое произведение называется инвариантом Дональдсона-Томаса колчана <3- Ю Кыо доказал, что все полученные тождества на произведения квантовых дилогарифмов порождаются коммутированием и пентагональным тождеством. Теорему 1.1 и её аналог для произвольных ациклических колчанов можно рассматривать как обобщение результата Кыо для условий стабильности с конечным множеством стабильных объектов. Другое обобщение и другая интерпретация были недавно даны М. Энгенхорстом [6].

1.1. Научная новизна

В диссертации получены следующие основные результаты:

1) Описаны преобразования геометрических реализаций комплексов под-слов и двойственных им многогранников, индуцированные операциями над словами в соответствующем ниль-моноиде Гекке.

2) Доказана принадлежность всех обобщённых ассоциаэдров к важному классу 2-усечённых кубов. Для всех бесконечных серий обобщённых ассоциаэд-

ров построен явный алгоритм усечений граней коразмерности 2, приводящих от куба к ассоциаэдру.

3) Введён новый класс многогранников - ассоциаэдры стабильности. Он существенно расширяет класс обобщённых ассоциаэдров. Описаны свойства ас-социаэдров стабильности:

- Доказано, что все ассоциаэдры стабильности являются 2-усечёнными кубами и, тем самым, являются флаговыми. Отсюда следует, для для них верно утверждение гипотезы Гала о неотрицательности коэффициентов 7—полинома.

- Установлена связь ассоциаэдров стабильности с нестоэдрами и граф-кубиэдрами - классами многогранников, возникших в теории особенностей.

- Установлена связь ассоциаэдров стабильности с категориями представлений колчанов, приводящая к новым результатам об абелевых наследственных категориях и о тождествах на квантовый дилогарифм, возникающих в математической физике и в исследованиях трёхмерных многообразий Калаби-Яу.

1.2. Основные методы исследования

В диссертации используются,в основном, методы комбинаторики и теории выпуклых многогранников. Также применяются методы торической топологии и теории категорий.

1.3. Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация носит теоретический характер. Она посвящена вопросам теории выпуклых многогранников. Полученные результаты представляют интерес для выпуклой геометрии, торической топологии, теории представлений, комбинаторики групп Коксетера, теории категорий и математической физики.

1.4. Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах и научных конференциях:

1. Международная конференция "Ломоносов-2011". Москва, 11-15.04.2011.

2. Séminaire GT3, Institut de Recherche Mathématique avancée, Strasbourg, France, 5.12.2011.

3. Международная конференция "Алгебраическая Топология и Абелевы Функции", посвящённая 70-летию В.М. Бухштабера. Москва, 18-22.06.2013.

4. Международная конференция "Геометрия, Топология, Приложения". Ярославль, 23-27.09.2013.

5. Séminaire LIX, École Polytechnique, Palaiseu, France, 5.03.2014.

6. Problem session, Workshop "Hall and cluster algebras". Montreal, Canada, 14-18.05.2014.

1.5. Публикации

Основное содержание диссертации опубликовано в четырех работах, в научных журналах из списка ВАК:

1. М.А. Горский, Комплексы подслое и нилъ-движения Гекке, Моделирование и Анализ Информационных Систем 20:6 (2013), 121-128.

2. М.А. Горский, Доказательство гипотезы Гола для обобщенных ассоци-аэдров серии Ц УМН, 65:6(396) (2010), 185-186

3. М.А. Горский, Комплексы подслое и подразбиения рёбер, Труды МИАН, 286 (2014).

4. М.А. Горский, Комплексы подслое и 2-усечённые кубы, УМН, 69:3(417) (2014).

1.6. Структура и объём диссертации

Диссертационная работа изложена на 98 страницах и состоит из семи глав, первая из которых представляет собой введение. Библиография включает 80 наименований.

2. Основное содержание

Диссертация устроена следующим образом. Во введении к диссертации излагается история рассматриваемой проблемы, формулируются основные результаты, приводится краткое содержание работы. В главе 2 приводятся все необходимые предварительные сведения об усечениях граней и подразбиениях рёбер, о перечисляющих многочленах, о группах Коксетера и 0-моноидах Гекке, о представлениях колчанов, о комплексах подслов и кирпичных многогранниках. В главе 3 описываются преобразования комплексов подслов и двойственных им многогранников, индуцированые движениями в 0-моноиде. В разделе 3.1 даётся описание преобразований комплексов, индуцированных движениями кос. Теоремы 3.2 и 3.3 гласят, что выполнен следующий факт.

Теорема 2.1. Пусть слова и СУ связаны одним движением кос. Тогда для любого и> £ IV, при некоторых условиях, либо Д(С2,ги) и Д(С^',ги) изоморфны друг другу, либо один из них получается подразбиением ребра в нескольких точках из другого, либо существует комплекс, который получается подразбиением ребра в нескольких точках из каждого из них. Эти условия выполнены для любых (¡2, С^', ги если группа IV просто вложена.

Раздел 3.2 посвящён преобразованием комплексов подслов и двойственных им многогранников, индуцированных ниль-движениями и обратными ниль-движениями в 0-моноиде Гекке. В главе 4 определяются и подробно изучаются кластерные комплексы стабильности для семейств гнездящихся подкатегорий кручения. В случае колчанов Дынкина, эти комплексы интерпретируются в

терминах конечных групп Кокеетера, определяются ассоциаэдры стабильности и доказывается теорема 1.1 и следствия из неё. В главе 5 описываются приложения теоремы 1.1 к тождествам на квантовый дилогарифм и инвариантам Дональдсона-Томаса. В главе 6 ассоциаэдры стабильности связываются с флаговыми нестоэдрами и многогранниками покрытий. Более конкретно, в разделе 6.3 построено взаимно-однозначное соответствие между множеством всех ас-социаэдров стабильности типа Ап с линейной ориентацией и явно описанным классом флаговых нестоэдров. В разделе 6.4 показывается, что обобщённые ассоциэдры типа Б не являются ни нестоэдрами, ни, более общо, многогранниками покрытий. В главе 7 строятся явные последовательности срезок граней, приводящие от куба к обобщённым ассоциаэдрам серий ЛВС Б. Для этого используется описание последних в терминах триангуляций многоугольников.

2.1. Благодарности

Автор хотел бы выразить глубокую признательность своему научному руководителю Виктору Матвеевичу Бухштаберу за постановку задачи, внимание к работе и терпение. Автор выражает благодарность Вадиму Дмитриевичу Володину, Бернарду Келлеру, Ю Кью, Жану-Филиппу Лаббе, Венсану Пило, Сальваторе Стелла, Хью Томасу и Сергею Владимировичу Фомину за полезные дискуссии и ценные советы, без которых не было бы различных частей диссертации.

Список литературы

1. В.Д. Володин, Кубические реализации флаговых нестоэдров и доказательство гипотезы Гала для них, Успехи Мат. Наук 65:1(391) (2010), 183-184.

2. В.М. Бухштабер, В.Д. Володин, Точные верхние и нижние границы для нестоэдров, Изв. РАН, Сер. матем., 75:6(2011), 17-46.

3. N. Aisbett, gamma-vectors of edge subdivisions of the boundary of the cross polytope, preprint, arXiv:1209.1789.

4. V.M. Buchstaber, V.D. Volodin, Combinatorial 2-truncated cubes and applications, chapter in Associahedra, Tamari Lattices, and Related Structures, Tamari Aiemorial Festschrift, Progress in Mathematics, Vol. 299, pp 161-186, 2012.

5. C. Ceballos, J.-P. Labbe, and Christian Stump. Subword complexes, cluster complexes, and generalized multi-associahedra, J. of Alg. Comb., 39, (2014), no. 1, 17-51.

6. M. Engenhorst, Tilting and Refined Donaldson-Thomas Invariants, preprint, arXiv: 1303.6014.

7. L. Escobar, Brick manifolds and toric varieties of brick polytopes, preprint, arXiv:1404.4671.

8. S. Fomin and A. Zelevinsky. Y -systems and generalized associahedra, Annals of Math. 158 (2003), 977-1018.

9. S. R. Gal, Real root conjecture fails for five- an higher-dimensional spheres, Discrete Comput. Geom., 34:2 (2005), 269—284.

10. A. Knutson, E. Miller. Subword complexes in Coxeter groups. Adv. Math., 184(1):161—176, 2004.

11. A. Knutson, E. Miller. Groebner geometry of Schubert polynomials. Ann. of Math. (2), 161(3):1245—1318, 2005.

12. B. Leclerc, Cluster structures on strata of flag varieties, preprint,

arXiv: 1402.4435.

13. T. Lam, P. Pylyavskyy, Lauren phenomenon algebras, preprint, arXiv: 1206.2611.

14. V. Pilaud and C. Stump. Brick polytopes of spherical subword complexes: A new approach to generalized associahedra, preprint, arXiv:1111.3349, 2011.

15. Yu Qiu, Stability conditions and quantum dilogarithm identities for Dynkin quivers, preprint, arXiv:1111.1010v2.

16. R. Stanley. Enumerative combinatorics. Vol. 2. Cambridge University Press, (1999).

Научное издание

Горский Михаил Александрович

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук на тему: Геометрия и комбинаторика комплексов подслов и двойственных им

многогранников

Подписано в печать 05.06.2014. Тираж 100 экз.

Отпечатано в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН Москва, 119991, ул. Губкина, 8