Максимальные действия торов на момент-угол многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 515.164.8+514.172.45

Ероховец Николай Юрьевич

МАКСИМАЛЬНЫЕ ДЕЙСТВИЯ ТОРОВ НА МОМЕНТ-УГОЛ МНОГООБРАЗИЯХ

Специальность: 01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени канди, физико-математических наук

2 С ОКТ 2011

Москва - 2011

4857792

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Научный руководитель:

член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук,

профессор Виктор Матвеевич Бухштабер.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Ландо Сергей Константинович кандидат физико-математических наук, ассистент Кустарёв Андрей Александрович.

Ведущая организация:

Московский педагогический государственный университет.

Защита диссертации состоится 11 ноября 2011г. в 16^ на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, Российская Федерация, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 11 октября 2011г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физ.-мат. наук, профессор

А. О. Иванов

Общая характеристика работы Актуальность темы

Теория действий тора имеет длинную историю развития и образует важную область алгебраической топологии. За последние 15 лет на стыке эквива-риантной топологии, алгебраической и симплектической геометрии, комбинаторики, коммутативной и гомологической алгебры возникла новая область исследований — торическая топология, которая быстро привлекла внимание большого числа исследователей и активно развивается в настоящее время. Во второй половине прошлого века в алгебраической геометрии возникло важное направление исследований - торическая геометрия, центральным объектом которой являются торические многообразия. Она является богатым источником явных примеров алгебраических многообразий и имеет яркие приложения в таких областях, как теория особенностей и математическая физика. В работе М. Дэвиса и Т. Янушкевича1 были введены квазиторические многообразия - топологические аналоги тори-ческих многообразий из алгебраической геометрии. Для этого им потребовалась конструкция (ш + п)-мерного многообразия Zp с каноническим действием тора Т™, таким что простой многогранник Рп с m гипергранями является пространством орбит. Эта конструкция является обобщением известной конструкции Э. Б. Винберга2. В. М. Бухштабер и Т. Е. Панов в3,4 показали, что многообразие Zp, названное момент-угол многообразием, обладает канонической гладкой структурой и на основе его конструкции ввели функтор из категории симплициальных комплексов в категорию пространств с действием тора. Эти работы положили начало торической топологии как нового направления исследований. Диссертация посвящена развитию теории момент-угол многообразий и её приложениям. Тема диссертации актуальна, так как момент-угол многообразия являются центральным объектом торической топологии.

Основным объектом изучения в диссертации является инвариант, характеризующий действие тора на момент-угол многообразии. Квазитори-ческие многообразия получаются как факторпространства многообразия

1М. Davis, Т. Januszkiewicz, Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions, Duke Math. J-, 1991. V.62, N2, P.417-451.

2Э. Б. Винберг,Дискретные линейные группы, порождённые отражениями, Известия АН СССР, сер. матем. 35 (1971), 1072-1112.

3В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов, Действия тора и комбинаторика многогранников, Труды МИРАН им. Стеклова, 225, 1999, 96-131.

4В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов, Действия торов, комбинаторная топология и гомологическая

алгебра,УМН, 55:5(335) (2000), 3-106

Zp по свободному действию (т-га)-мерного тора Т771-" С Тт. Размерность т—п является максимальной возможной размерностью тора ТТ С Тт, свободно действующего на Zp и не для всякого многогранника она достигается. Многообразие Zp зависит только от комбинаторного типа многогранника Р, что даёт возможность исследовать комбинаторику многогранника при помощи топологии момент-угол многообразия и наоборот. На основании этого В. М. Бухштабер ввел комбинаторный инвариант s(P) простого многогранника Р как максимальную размерность подгрупп Н ~ ТТ С Тт, действующих свободно на Zp. Этот инвариант получил название число Бухштабера. В некотором смысле число s(P) является мерой симметрии момент-угол многообразия. В 2002 году В.М. Бухштабер5 поставил проблему найти алгоритм вычисления числа s(P) по комбинаторике многогранника Р. Так как конструкция многообразия Zp распространяется на любой симплициальный комплекс, так что Zp = Zkp, где Кр = дР* - граница двойственного симплициального многогранника, то аналогичная проблема формулируется для произвольного симплициального комплекса К.

Инвариант Бухштабера изучается с 2001 года. И. В. Изместьев6 показал, что s(P) > m —7(Р), где 7(Р) - хроматическое число многогранника, то есть наименьшее число цветов, для которого существует такая раскраска гиперграней, что любые две пересекающиеся гиперграни имеют разный цвет. А. А. Айзенберг7,8'9 показал, что s(K) < тп - flog2('y(it") + 1)], где т — |Vert(K)|, причём если К - граф, то имеет место равенство. Он также предложил универсальный подход к построению комбинаторных инвариантов симплициальных комплексов, обобщающих хроматическое число многогранника. Одним из подходов к изучению числа s(P) является рассмотрение его вещественного аналога sr(P). В этом случае sr(P) = т — п тогда и только тогда, когда над многогранником существует хотя бы одно малое накрытие. Легко показать, что s(K) ^ s%(K), причём А. А. Айзенбергом был придуман пример 3-мерного симплициального комплекса К, для которого неравенство строгое. Кроме того, можно показать, что если г = 1,2,3, то з(К) > г тогда и только тогда, когда s&(K) > г. М. Масуда и Ю. Фукукава10 переформулировали задачу вычисления числа

еВ. М. Бухштабер, Т. Е. Панов, Тонические действия в топологии и комбинаторике, М.: МЦНМО, 2004.

еИ. В. Изместьев, Трехмерные многообразия, определяемые раскраской граней простого многогранника, Матем. заметки, 69:3 (2001), 375-382.

7 А. А. Айзенберг, Курсовая работа, мехмат МГУ, 2009.

8А. А. Айзенберг, Экспоненциальный закон для K-степени, УМН, 64:4(388) (2009), 175-176.

9А. Ayzenberg, The problem of Buchstaber number and its combinatorial aspects, arXiv:1003.0637vl [math.CO].

10Y Fukukawa, M. Masuda, Buchstaber invariants of skeleta of a simplex, Osaka J. Math. Volume 48,

s^(m,p) = sr(A^i}_p) как задачу целочисленного линейного программирования и получили значительные результаты по ней. А. А. Айзенбегом были придуманы примеры графов Г] и Г2, таких что я(Г1*Г2) Ф s(ri) + s(r2) и аналогично для вещественного числа Бухштабера. Им был также построен аналог хроматического многочлена для

В диссертации рассмотрены также задачи, важные для развития связей торической топологии с другими актуальными разделами математики, такими как комбинаторика симметрической группы, теории алгебр Хопфа и квазисимметрических функций. Одной из таких задач является изучение комбинаторики многогранников, у которых s(P) = m — п. Такой пример дают нестоэдры - простые многогранники, возникшие в работах А. Постникова11 и Е. Фейхтнер и Б. Штурмфельса12. В работе А. Постникова, В. Рай-нера и Л. Вильямса13 была доказана гипотеза Гала о числах граней флаговых многогранников для нестоэдров, отвечающих так называемым «хордовым» производящим множествам. Их подход заключается в сопоставлении вершинам нестоэдра перестановок таким образом, что /г-полином является производящей суммой их «числа спусков». Нас интересует задача развития этого подхода для производящих множеств, не являющихся хордовыми. Другой задачей является интерпретация известных конструкций теории многогранников на основе дифференциальных колец выпуклых многогранников, введённых В. М. Бухштабером15'16. В диссертации рассматривается конструкция торичесхого ^-полинома17,18 и g-полинома квазисимметрической функции19.

Number 2 (2011), 549-582.

11 A. Postnikov, Permutohedra, associahedra, and beyond, arXiv: math.CO/0507163.

12E.-M. Feichtner, B. Sturmfels, Matrûid polytopes, nested sets and Bergman fans, Port.ugaliae

Mathematica 62 (2005), 437-458.

1314

15B. M. Бухштабер, Кольцо простых многогранников и дифференциальные уравнения, Труды математического института им. В. А.. Стеклова, T.2G3, 2008, 1-26.

"В. М. Бухштабер, Н. Ю. Ероховец, Многогранники, числа Фибоначчи, алгебры Хопфа и квазисимметрические функции, УМН, 66:2(398) (2011), 67-162.

. I7R. P. Stanley, Generalized h-vcctors, intersection cohomology of toric varieties, and related results, Commutative Algebra and Combinatories, Advanced Studies in Pure Mathematics, 11, Kinokuniya, Tokyo, and North-IIolland, Amsterdam/New York, 1987, 187-213.

18M. M. Bayer and R. Ehrenborg, The toric h-vector of partially ordered sets, Trans. Amer. Math. Soc., 352, 2000, 4515-4531 (electronic).

ieL. Billera, S. Hsiao, S. van Willigenburg, Peak quasisymmetric functions and Eulerian enumeration, Adv. Math, bf 176 (2003), no. 2, 248-276, arXiv: 0706.3486vl [math.CO], 24 June 2007.

Цель работы.

Целью работы является построение теории инварианта Бухштабера: развитие методов вычисления, анализ связи с другими инвариантами, исследование поведения инварианта относительно операций и структур, связанных с простыми многогранниками, вычисление значения для специальных классов многогранников и симплициальных комплексов.

Научная новизна.

В диссертации получены следующие результаты:

1. Показано, что максимальная размерность в(Р) торических подгрупп, действующих свободно на момент-угол многообразии 2р, обладает следующими свойствами:

(a) в(Р) = 1 тогда и только тогда, когда Р = Дп.

(b) Если 2 < тп - п ^ то 5(С"(т)*) = 2, где Сп{т) - циклический многогранник. В частности, для любого к ^ 2 существует многогранник Р, такой что т — п = к и в(Р) = 2.

(c) я(Р) ^ ш—7(Р)+й(Д^11). Эта оценка улучшает результат И. В. Из-местьева.

(ё) з^ + з^^з^хС^^з^ + з^+тт^-з^^г-з^)}, где кг = пц- щ, I = 1,2. В частности, в(Р х О) = з(Р) + если в(Р) = к\ или з(£}) = и в(Рх<3) < кх + к2, если в(Р) < к} или з(С}) < /сг,.

(е) Пусть [ш] = и)\ Ы • • • и шг, причём Р| Р; = 0 для каждого I £ [г].

Тогда в(Р) ^ г. В частности з{Р) ^ (£) Если многогранник <3 получается из многогранника Р при помощи ¿-перестройки, 2 < г ^ п - 1, то |в(Р) - в(<?)| < 1. Кроме того,

я(Р) + 1<в(Р||Дп)<в(Р) + 2.

2. В первом нетривиальном случае простых п-мерных многогранников с т = п + 3 гипергранями получены ответы на основные вопросы теории инварианта Бухштабера в(Р), перечисленные в разделе «цели работы», в том числе получена формула для числа я(Р) в терминах диаграммы Гейла, построены многогранники Риф, такие что ДР) = /(<?), 7(Р) = 7(3). но з{Р) ф з(<Э), где /(Р) - вектор граней

и 7(Р) - хроматическое число. Вычислено биградуированное кольцо когомологий Н*'*{2р). В качестве следствия получена формула для числа й(Р) многогранника Рсш = я + 3в терминах биградуирован-ных чисел Бетти момент-угол многообразия 2р.

3. Доказана гипотеза Гала для нестоэдров, отвечающих полным двудольным графам на основе развития метода А. Постникова, В. Рай-нера и Л. Вильямса13 описания комбинаторики нестоэдров в терминах группы перестановок.

4. Получена функториальная алгебраическая конструкция кольцевых гомоморфизмов, которая в случае алгебры частично-упорядоченных множеств и джойн-кольца выпуклых многогранников даёт торический салолином, а в случае кольца квазисимметрических функций - ^-полином квазисимметричекой функции.

Основные методы исследования.

В работе используются методы торической топологии, теории многогранников. комбинаторики и алгебры.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты представляют интерес для торической топологии, теории многогранников и алгебры.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах и научных конференциях:

1. Семинар «Геометрия, топология и математическая физика» под руководством акад. РАН С. П. Новикова и чл.-корр. РАН В. М. Бухштабе-ра; кафедра высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова;

2. Семинар «Алгебраическая топология и её приложения» им. М. М. Постникова под руководством чл.-корр. РАН В. М. Бухштабера, проф. А. В. Чернавского, проф. И. А. Дынникова, проф. Т. Е. Панова, доц. Л. А. Алания и доц. Д. В. Миллионщикова; кафедра высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета МГУ;

3. Семинар «Дискретная геометрия и геометрия чисел» под руководством проф. Н. П. Долбилина и проф. Н. Г. Мощевитина, кафедра теории чисел Механико-математического факультета МГУ;

4. Семинар «Выпуклые многогранники» под руководством проф. Н. П. Долбилина, кафедра теории чисел Механико-математического факультета МГУ;

5. Семинар по геометрии и динамике, Высшая Нормальная Школа, г.Лион, Франция, 26 мая 2010 года;

6. Русско-Японская мини-конференция «Discrete Geometry and Statistics of Configurations», МИРАН им. В. А. Стеклова, г. Москва, 1-3 июня

2009 года;

7. Международная конференция «Toric topology in Manchester», г. Манчестер, Великобритания, ноябрь 2009 года;

8. Международная конференция «Топология и динамика: мемориал В. А. Рохлина», институт Л. Эйлера, г.Санкт-Петербург, 11-16 января 2010 года;

9. Международная конференция «Ломоносов 2010», г. Москва, 12-15 апреля 2010 года.

10. Международная конференция «Геометрия, топология, алгебра и теория чисел, приложения», посвященная 120-летию Б. Н. Делоне, г.Москва, 16-20 августа 2010 года;

11. Международная конференция «Topological methods in toric geometry, symplectic geometry and combinatorics», г.Банфф, Канада, 7-12 ноября

2010 года;

12. Международная конференция «Ломоносов 2011», г. Москва, 11-15 апреля 2011 года.

13. Международная конференция «Торическая топология и автоморфные функции», г. Хабаровск, 5-10 сентября 2011 года.

Публикации.

Основное содержание диссертации опубликовано в четырёх работах, список которых приведен в конце автореферата [1,2,3,4].

Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа изложена на 125 страницах и состоит из введения, пяти глав и приложения. Библиография включает 70 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении к диссертации излагается история рассматриваемой проблемы, формулируются основные результаты, приводится краткое содержание работы и список основных соглашений и обозначений.

Содержание главы 1

Глава 1 содержит основные определения и конструкции, используемые в диссертации. В разделе 1.1 речь идёт о простых многогранниках и симпли-циальных комплексах, перечисляющих полиномах многогранников, таких как /—,Н—,7— ,д— полиномы, конструкции симплициального комплекса Ки по заданному симплициальному комплексу К на [лг] вершинах и набору натуральных чисел и) = (/сь ..., кт), аналогичной конструкции простого многогранника Ри по заданному многограннику Р с т-гипергранями, ¿-перестройках многогранника, а также диаграммах Гейла. Следует отметить, что понятие ¿-перестройки используется нами в специальном виде, а именно рассматривается элементарное изменение комбинаторного типа многогранника при движении в пространстве внутрь многогранника одной из его опорных гиперплоскостей. При этом с границей двойственного симплициального многогранника происходит бизвёздное преобразование.

Раздел 1.2 посвящён изложению необходимых сведений о момент-угол многообразиях. В разделе 1.3 рассказывается про биградуированную структуру в кольце когомологий момент-угол многообразия и приводятся некоторые леммы, которые затем используются для многогранника с т — п+3 гиперграиями. В разделе 1.4 приводятся основные факты о циклических многогранниках Сп(гп).

Содержание главы 2

Глава 2, наряду с главой 3, является центральной главой диссертации. В ней в разделе 2.1 приводится определение числа Бухштабера я(Р) простого многогранника Р - наибольшей размерности торических подгрупп, действующих свободно на момент-угол многообразии Яр. В разделе 2.3

приводится два комбинаторных описания числа s(P), первое из которых содержится в книге5, а второе является естественным обобщением понятия характеристической функции. Пусть У - множество гиперграней многогранника Р. Для матрицы S обозначим через Stu-'tn подматрицу, получающуюся удалением строк с номерами {ii, ■ ■ ■ ,in}-Предложение 2.2.5

1. s(P) - наибольшее натуральное число s, для которого существует целочисленная матрица S размера т х s, такая что для любой вершины v — П • • • П Fjn матрица задаёт мономорфизм на прямое слагаемое;

2. s(P) - наибольшее натуральное число s, для которого существует отображение A.: J —> Zm~s, такое что для любой вершины v = F^C1- • -OF,-, векторы A{FiJ,... ,A(Fin) образуют часть базиса в Zm~3.

В разделе 2.4 приводится сводка известных фактов о числе s(P). Раздел 2.5 посвящён исследованию свойств числа s(P). Результаты собраны в основной теореме 2.4.1. главы 2. Вот выдержка из неё.

Число s(P) обладает следующими свойствами:

- Для простых многогранников s(P) = 1 тогда и только тогда, когда Р ~ Ап - симплекс.

- Если 2 ^ т. - тг < то s(Cn(mY) = 2. В частности, для любого k ^ 2 существует многогранник Р, такой что т—п — к и s(P) = 2.

- s(P)+s{Q) < s(PxQ) s$ 5(P)+s(Q)+min{mi-ni-s(P),m2-n2-s(Q)}. В частности, если s(P) = rri\ — щ, mo s(P х Q) = s(P) + s(Q).

- s(P) ^ m - 7(P) + s^l}), причём

a) s(A™~j1) ^ 1 тогда и только тогда, когда т^п+1.

b) s(A™Zi) > 2 тогда и только тогда, когда ^ > §;

c) > 3 тогда и только тогда, когда 4т ^ 7(n+l)+rm mod 7, где г0 = 0, п = 4, г2 = 8, г3 = 5, г4 = 2, г5 = 6, г6 = 3.

<*) «(Дп-!) > fe], отедЛ. з(Р) > m - 7 + fe] > fe] ■

- Пусть К - симплициальный комплекс на множестве вершин [т] и wi,..., иц ф К - подмножества в \т\, такие что [т] = ш\ U • • • U ил. Тогда т - з(К) ^ dimui -1----+ dimw; = (|wi| - 1) H-----b (|o>i| - 1).

- Если многогранник Q получается из многогранника Р при помощи г-перестройки, 2 ^ i < п — 1, то \s(P) - s(Q)| < 1. Кроме того,

s(P) + l^s(PiAn)^s(P)+2.

Содержание главы 3

Глава 3 посвящена исследованию простых многогранников с малым числом гиперграней с точки зрения торической топологии. В разделе 3.1 приводится доказательство известного факта о проективной классификации выпуклых многогранников с т = п+2 гипергранями. На основе этой классификации в разделе 3.2 исследуются простые многогранники cm = n+3.B частности, в подразделе 3.2.1 даётся геометрическое описание таких многогранников при помощи диаграмм прямых, двойственное к описанию Б. Грюнба-ума20 симплициальных многогранников при помощи «звёздных» диаграмм. В подразделе 3.3.2 на основе этого описания приводится комбинаторное описание, полученное М. Перлесом при помощи диаграмм Гейла. Следствие 3.2.8. Любой простой многогранник Рп, т = п + 3, комбинаторно описывается при помощи правильного (2к — 1)-уголъника M^-i и сюрвективного отображения 3* —> vert(M2,fe_i), причём гиперграни Fi,..., Fr,..., F3,..., Fr,..., Fn+3 пересекаются в вершине тогда и только тогда, когда 0 е conv{C(Fr),((F3)X(Ft)}. Простой многогранник с т = п + 2 комбинаторно эквивалентен Дг х Д-7 и соответствует треугольнику с числами (1,г + 1 ,j + 1) в вершинах. Простой многогранник с т — п + 1 является симплексом и соответствует треугольнику с числами (1,1, п + 1) в вершинах.

Таким образом, простые многогранники с т < п + 3 описываются при помощи правильных (2к — 1) - угольников с числами в вершинах, отвечающими числам гиперграней заданного типа. В треугольнике вершине с числом 1 не соответствует никакая гипергрань, но гиперплоскость, не пересекающая многогранник. Мы используем обозначение Р ~ (oi,... , a2)c-i) или Р ~ (M2fc_i,ai,... ,ü2k-i)- Далее мы приводим краткое доказательство результата М. Перлеса о классификации простых многогранников с т ^ п + 3.

Предложение 3.2.9. Многогранники Р ~ (oi,..., a2fc-i) uQ ~ {а\,..., al2fj_ комбинаторно эквивалентны тогда и только тогда, когда к = к' и Ми-i

S0B. Grunbaum, Convex Polytopes, Vol. 221 of Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, Second ed., 2003.

переводится в M2k'-i ортогональным преобразованием, сохраняющим числа в вершинах.

Наконец, мы приводим доказательство следующего результата. Предложение 3.2.10. Имеем: C2i_4(2fc - 1)* ~ (М2к-1,1,..., 1), причём сюр-вективное отображение имеет вид С№) = wы-

В подразделе 3.2.3 мы приводим связь нашего подхода с диаграммами Гейла, находим минимальные наборы непересекающихся гиперграней, а также получаем следующий результат, который завершает комбинаторную классификацию простых многогранников с т < п + 3. Предложение 3.2.12. Имеем: С2к~\2к-1)*а1^А^ ~ {M2k-i,au ... ,o2A:-i), к Js 3, и (Д2,а + 1,6+ 1,с + 1) = Да х Д6 х Дс'.

Этот результат получен с использованием комбинаторной классификации М. Перлеса, описания комбинаторного типа многогранника С2к~4(2к— 1)* и применения конструкции многогранника Ри.

В разделе 3.3 мы описываем все возможные ¿-перестройки, которые могут происходить в классе простых многогранников cm^n + З.В разделе 3.4 мы приводим компактную формулу для h-полинома многогранника

(M2k-i,ai,.. ,,a2k-i). Положим ipr - arH-----Ьаг+к_2, фг = аН-----\-аТ+к-ъ

где все индексы рассматриваются mod (2к — 1). Тогда

2к—1 2к— 1

an+з _ + — tn+3 *<P> =---- (3'2)

Отметим, что в книге Б. Грюнбаума20 содержатся результаты, позволяющие вычислить полином h(P), но указанной формулы в ней не содержится.

Следующий результат является основным в разделе 3.5. Предложение 3.5.1. Пусть Р ~ {М2к-\,аь • ■ • ,d2k-i) ит = п + 3. Тогда s(P) = 3, если к ^ 4; и s(P) = 2, если к^Ъ.

На основе этой классификации мы получаем следствие. Следствие 3.5.3. Для многогранников Р ~ (aj, а2, аз, <24, а^, ag, 07) и Q ~ (1, ах, а2, аз, 1,04—1,05, аб, «7-1), таких что а1+аг+аз+2 = Я4+а5+аб+а7, имеем: f(P) = f(Q), 7(Р) = 7(Q), но s(P) = 3, s(Q) = 2. Следовательно, число Бухштабера нельзя вычислить, зная только f-полином и хроматическое число многогранника.

В разделе 3.6 мы приводим вычисление кольца Н*'*(Zp). Теорема 3.6.1. Пусть Р ~ (а\,..., a2k-i). Тогда

Н*'*(Яр) = Z ф Z21"1 © Z2k_1 ф Z

с образующими: {1, Х{, Yj, Z: г, j = 1,..., 2к — 1},

bidegXi = (-1,2ipi), bidegV} = (-2,2^), bidegZ = (-3,2(n + 3)).

Для к = 2 имеем: X2 = О, XtXi+1 = X1X2X3 = Z. Для к Jí 3 имеем: XiX¡ — O, X¡Yj = YiYj — 0.

Как следствие получаем следующие результаты. Следствие 3.6.6. Пусть Р ~ (oí,..., а^к-х)- Тогда

2Jfe - 1 = rankH-^-Zp) = ^Т/Г^Р) = rankH-2'*(ZP) = ^(P).

i j

Как известно, число минимальных наборов гиперграней, имеющих пустое пересечение, равно 1{Р) = J2Pß~1'2p(^')-

Следствие 3.6.7. Для многогранника Рп с т = п + 3 имеем: s(P) = 3, если l(P) ^ 7, и s(P) = 2, если 1(Р) > 7. Таким образом, для многогранника с т < п + 3 инвариант s(P) выражается через биградуированные числа Бетти {ß~^2p(P)}.

Мы также приводим пример «жесткого»21 многогранника. Пример 3.6.10. Пусть Р ~ (0,а,... ,а), а ^ 1, и ß~q'2p{Q) = ß~q'2p{P) для всех р, q. Тогда Q = Р.

В разделе 3.7 мы показываем, как результат работы22 о момент-угол комплексах позволяет связать теорему 3.6.1. с результатом JIone де Медра-но23 о полном пересечении квадрик.

Теорема 3.7.1 Пусть к = 2. Тогда ZP = S2a+1 х S2b+1 х S2c+1, где

2к—1

Р ~ {а + 1, Ь + 1, с + 1). Пусть к>Ъ. Тогда ZP = # S2*"1 х

г=1

гдеР ~ (oi,...,o2t-i). Содержание главы 4

Глава 4 посвящена развитию метода А. Постникова, В. Райнера и Л. Вильямса13 описания комбинаторики нестоэдров в терминах группы перестановок для доказательства гипотезы Гала для нестоэдров Ррф отвечающих полным двудольным графам Км. В разделе 4.1 приводятся с краткими доказательствами необходимые сведения о нестоэдрах. В разделе 4.2 вводятся

JIS. Choi, Т. Panov and D. Y. Suh, Toric cohomological rigidity of simple convex polytopes, Journal of the London Math. Society, II Ser. 82 (2010), no.2, 343-360; arXiv:0807.4800.

"V. M. Buchstaber, T. E. Panov, N. Ray, Spaces of polytopes and cobordism of quasitoric manifolds., Moscow Math. J., v. 7, N 2, 2007, 219-242; arXiv: Math AT/0609346.

23S. Lopez de Medrano, The topology of the intersection of quadrics in R", Lecture Notes in Mathematics 1370 (1989), 280-292.

нестоэдры, отвечающие полным двудольным графам. В разделе 4.3 доказывается следующий факт.

Предложение 4.3.1 Для любого связного производящего множества В существует такой набор перестановок {wj,}, взаимно однозначно соответствующих вершинам v нестоэдра Рв, что

V

где desw„ - число «спусков» перестановки u>v.

Это является обобщением результата А. Постникова, В. Райнера и Л. Ви-льямса, которые доказали такое утверждение для так называемых «хордовых» производящих множеств. Для графа КРЛ производящее множество не является хордовым, однако на основе предложения 4.3.1 при помощи индукции мы показываем, что гипотеза Гала верна и для нестоэдров Рм. Теорема 4.3.2. 7¿(Pp>î) ^ 0,p,q > 1,г > 0.

В разделе 4.4 рассматриваются примеры нестоэдров Рр,г и Рр,3.

Содержание главы 5

Глава 5 посвящена построению универсальной функториальной конструкции кольцевых гомоморфизмов G: R —♦ Z[qi,Q2,... ,ti,t2, ■. ■}, которая в частных случаях джойн-кольца многогранников и алгебры Рота-Хопфа частично-упорядоченных множеств даёт торические g- и /г-полиномы, в случае кольца квазисимметрических функций даёт ^-полином квазисимметрической функции19, а в случае кольца простых многогранников даёт гомоморфизм Рп —» /о(Р)£™.

В разделе 5.1 приводятся необходимые сведения о х- и *- кольцах многогранников, алгебре Рота-Хопфа градуированных частично-упорядоченных множеств и операторах граней на них, доказывается, что кольца многогранников являются кольцами полиномов от неразложимых многогранников. В разделе 5.2 приводятся необходимые сведения о градуированно двойственных друг к другу алгебрах Хопфа квазисимметрических функций и Лейбница-Хопфа. В разделе 5.3 даётся определение модуля Милнора над алгеброй Хопфа и показывается (см. [1]) что рассмотренные ранее кольца являются модулями Милнора над алгеброй Лейбница-Хопфа.

В разделе 5.4 приводится конструкция G-полинома деформации умножения. Пусть А - коммутативное ассоциативное кольцо с единицей и А = А2п, п ^ 0, - связная градуированная ассоциативная А-алгебра. Рассмотрим градуированное кольцо ^4[a,i] = A[ai,a2> • • • ■ ■ •], degct; > 0,degij > 0.

Градуированной деформацией умножения в A-алгебре А называется гомоморфизм градуированных A-алгебр Ф: А —* j4[a,t], Ф(а) = Ф(а;а,^, такой что Ф(а; 0,0) = а для любого а & А.

Пусть т: A[a,t] —> A[a,t] - кольцевой гомоморфизм, меняющий местами а и t. Положим Щ = limZ!}.. Элементами полугруппы Щ! являются последовательности ш = (Íi,Í2, • ■ •) неотрицательных целых чисел, имеющие конечное число ненулевых компонент. Упорядочим все слова ш 6 линейно таким образом, что если < (¿2 и wj < и>'2, то u>i + Ц < 012 + ^2, и если из i < и>2 и < и>2, то ш i ^ W2+U2, например лексикографически. Теорема 5.4.2 Пусть Ф: А —> Л [a, t] - градуированная деформация умножения в A-алгебре А. Тогда

1. Существует единственная пара градуированных А-линейных отображений G = G<t и G = СФ: А -» A[a,t], G(l) = 6(1) = 1, таких что

(a) G(a) = J < u/', 6 А;

(b) G(a) = J > и", ди>,ы>, € А;

(c) Отображения G и G связаны уравнением G = GФ.

2. Отображения G и G являются гомоморфизмами А-алгебр.

3. Если в кольце А нет 2-кручения и Ф(Ф(a\t,a);a,t) = а для любого a G А. то G — tG.

Показывается, что конструкция функториальна в следующем смысле. Предложение 5.4.5. Пусть А, В - градуированные А-алгебры, Ф^: А —» А[ Фв: В —» B[a,t] - градуированные деформации умножений и А: А —> В - гомоморфизм градуированных k-алгебр, такой что Л Ф^ = Фд Л. Тогда Ga = GbAuGa = GbA.

В разделе 5.5 показано применение конструкции G-полинома в случае градуированного модуля Милнора над алгеброй Лейбница-Хопфа и разобраны случаи введённых ранее модулей Милнора. В разделе 5.6 показано разложение кольца простых многогранников, возникающее при рассмотрении многогранников с s(P) — т - п и многогранников с s(P) < т — п.

Содержание приложения А

В приложении получены уравнения, которым удовлетворяют производящие функции простых многогранников = Сп(п + к)*, двойственных к

циклическим. Например, положим Г4 = ]Г и 17 =

Предложение 1.0.3. Имеем:

(а,У л-

т' (и2 + 4а*)1

„ах „ги

>1(01,0,2;, и) =

а — и

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю члену-корреспонденту РАН, профессору Виктору Матвеевичу Бухштаберу за постановки задач и постоянное внимание. Автор благодарен д.ф.-м.н., профессору Н. П. Долбилину, д.ф.-м.н., профессору Т. Е. Панову, д.ф.-м.н. А. А. Гайфуллину, А. А. Айзенбергу за полезные обсуждения, а также В. Д. Володину за метод, позволивший сократить доказательство полиномиальное™ колец многогранников. Автор также благодарен всему коллективу кафедры высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета МГУ за поддержку и внимание.

Список публикаций по теме диссертации

[1] Н. Ю. Ероховец, Инвариант Вухштабера простых многогранников, УМН, 63:5(383) (2008), 187-188.

[2] Н. Ю. Ероховец, Момент-угол многообразия простых п-мерпых мно-гогогранников сп + 3 гипергранями, УМН, 66:5(401) (2011), 187-188.

[3] Н. Ю. Ероховец, Гипотеза Гала для нестоэдров, отвечающих полным двудольным графам, Тр. МИАН, 266, МАИК, М., 2009, 127-139.

[4] В. М. Бухштабер, Н. Ю. Ероховец, Многогранники, чиога Фибоначчи, алгебры Хопфа и квазисимметрические функции, УМН, 66:2(398) (2011), 67-162. (В диссертацию включены результаты, полученные лично автором.)

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж[(¡0 экз. Заказ № 3 7

Введение

1 Основные понятия и конструкции

1.1 Выпуклые многогранники и симплициальные комплексы

1.1.1 Многогранники.

1.1.2 Перечисляющие полиномы

1.1.3 Симплициальные комплексы.

1.1.4 Конструкция многогранника Рш

1.1.5 «-перестройки.

1.1.6 Диаграммы Гейла

1.2 Момент-угол многообразия.

1.3 Биградуированные числа Бетти

1.4 Циклические многогранники.42:

2 Максимальные действия торов и число Бухштабера

2.1 Определение числа Бухштабера

2.2 Комбинаторное описание.

2.3 Обзор известных фактов

2.4 Свойства максимальной размерности подгрупп, свободно действующих на 2р.

3 Многогранники с малым числом гиперграней

3.1 Многогранники сш = п + 2 гипергранями.

3.2 Многогранники ст = п + 3 гипергранями.

3.2.1 Геометрическое описание.

3.2.2 Комбинаторный тип.

3.2.3 Диаграммы Гейла

3.3 Описание множества ¿-перестроек.

3.4 Вычисление /¿-полинома.

3.5 Вычисление числа Бухштабера.

3.6 Вычисление биградуированного кольца когомологий Ы*'*(>2р)

3.7 Топологический тип момент-угол многообразий

4 Нестоэдры, отвечающие полным двудольным графам и гипотеза Гала

4.1 Нестоэдры.

4.2 Многогранники Ррл

4.3 Гипотеза Гала для нестоэдров Ррл.

4.4 Примеры

4.4.1 Многогранники РР)

4.4.2 Многогранники РР)

5 Кольца многогранников и универсальный р-полином

5.1 Кольца выпуклых многогранников и алгебра Рота-Хопфа

5.1.1 х-кольцо многогранников.100.

5.1.2 Алгебра Рота-Хопфа.

5.1.3 *-кольцо многогранников.

5.1.4 Операторы на кольцах многогранников.1045.2 Квазисимметрические функции и алгебра Лейбница-Хопфа

5.3 Модули Хопфа.

5.4 Универсальный С-полином.

5.4.1 Конструкция.

5.4.2 Применения.

5.5 Кольцо простых многогранников и максимальные действия торов

А Уравнения для производящих функций циклических многогранников

О теме диссертации

Теория действий тора имеет длинную историю развития и образует важную область алгебраической топологии. За последние 15 лет на стыке эквивари-антной топологии, алгебраической и симплектической геометрии, комбинаторики, коммутативной и гомологической алгебры возникла новая область исследований — торическая топология, которая быстро привлекла внимание большого числа исследователей и активно развивается в настоящее время. Во> второй половине прошлого века в алгебраической геометрии возникло важное направление исследований - торическая геометрия, центральным объектом которой являются торические многообразия. Она является богатым источником явных примеров алгебраических многообразий и имеет яркие приложения в таких областях, как теория особенностей и математическая физика. В , работе М. Дэвиса и Т. Янушкевича [31] были введены квазиторические многообразия - топологические аналоги торических многообразий из алгебраической геометрии, а также малые накрытия - вещественные аналоги квазито-рических многообразий. Квазиторическое многообразие М2п снабжено действием п-мерного тора Тп, локально имеющего вид стандартного действия Тп на Сп, причём пространством орбит является простой многогранник Рп, комбинаторика которого тесно связана с топологией многообразия, например числа Бетти (32к(М2п) равны /г-числам Нь(Рп). Квазиторические многообразия и малые накрытия дают большой набор примеров многообразий с богатой геометрией. Например, В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов и Н. Рэй [8, 29] показали, что в размерностях, больших двух, каждый класс комплексных кобордизмов содержит связное квазиторическое многообразие с естественной стабильно комплексной структурой, согласованной с действием тора, а

А. А. Гайфуллин [11] показал, что каждый класс гомологий топологического пространства X реализуется с некоторой кратностью образом фундаментального цикла малого накрытия над пермутоэдром.

Для построения квазиторических многообразий Дэвису и Янушкевичу потребовалась конструкция (га + п)-мерного многообразия Яр с каноническим действием тора Тт, таким что простой многогранник Рп с га гипергранями является пространством орбит. Эта конструкция является обобщением известной конструкции Э. Б. Винберга [10]. В. М. Бухштабер и Т. Е. Панов в [5, 6] показали, что многообразие Яр, названное момент-угол многообразием, обладает канонической гладкой структурой и на основе его конструкции ввели функтор из категории симплициальных комплексов в категорию пространств с действием тора. Эти работы положили начало торической топологии как нового направления исследований. Диссертация посвящена развитию теории момент-угол многообразий и её приложениям.

Основным объектом изучения в диссертации является инвариант, харак- -теризующий действие тора на момент-угол многообразии. Квазиторические многообразия получаются как факторпространства момент-угол многообразия Яр по свободному действию (га — п)-мерного тора Тт~п С Тт. Размерность га — п является максимальной возможной размерностью тора Тг С Тт, свободно действующего на Яр, и не для всякого многогранника она достигается. Многообразие Яр зависит только от комбинаторного типа многогранника Р, что даёт возможность исследовать комбинаторику многогранника при помощи топологии момент-угол многообразия и наоборот (например, имеет место изоморфизм градуированных групп П.* (Яр) ~ Тог^,.^] (ЩКр\, Ъ), следовательно, кольцо В* (Яр) имеет биградуированную структуру и биграду-ированные числа Бетти ¡3~д,2р(Р) являются комбинаторными инвариантами многогранника Р.) На основании этого В. М. Бухштабер ввел комбинаторный инвариант в(Р) простого многогранника Р как максимальную размерность подгрупп Н ~ТГ С Тт, действующих свободно на Яр. Этот инвариант получил название число Бухштабера. В некотором смысле число я(Р) является мерой симметрии момент-угол многообразия. В 2002 году В. М. Бухштабер [7] поставил проблему найти алгоритм вычисления числа з(Р) по комбинаторике многогранника Р. Так как конструкция многообразия Яр распространяется на любой симплициальный комплекс таким образом, что Zp — Zkp, где Кр = дР* - граница двойственного симплициального многогранника, то аналогичная проблема формулируется для произвольного симплициального комплекса К

Инвариант Бухштабера изучается с 2001 года. Так И. В. Изместьев [12] показал, что s(P) ^ т —7(Р), где 7(Р) - хроматическое число многогранника, то есть наименьшее число цветов, для которого существует такая раскраска гиперграней, что любые две пересекающиеся гиперграни имеют разный цвет. М. Йосвиг [46] показал, что 7(Р) = п тогда и только тогда, когда каждая двумерная грань имеет чётное число рёбер. Мы покажем, что на самом деле верна более сильная оценка s(P) ^ т — 7 (Р) + s(A^Ii), откуда возникает задача нахождения числа Бухштабера остовов симплексов. А. А. Айзенберг [1, 2, 15] показал, что s(K) ^ т — [log2(7(К) + 1)], где т — |vert(K)|, причём если К - граф, то имеет место равенство. Он также предложил универсальный подход к построению комбинаторных инвариантов симплициаль-ных комплексов, обобщающих хроматическое число многогранника. Рассмотрим последовательность симплициальных комплексов {Lk}k^i с заданными невырожденными симплициальными отображениями Lk —> Lk+\. Положим L(K) - наименьшее число к, такое что существует невырожденное симпли-циальное отображение К —> Lk- Если Lk = Afc1, то L(K) = 7{К), если*. Lk = Ад!0, то L(K) = dim К, если же Lk = Uk - универсальный комплекс Дэвиса-Янушкевича, вершинами которого являются векторы из Zfc \ {0}, а симплексами - наборы векторов, образующие часть некоторого базиса в то ЦК) = |vert(if)| - s(K).

Одним из подходов к изучению числа s(P) является рассмотрение его вещественного аналога sk(P). В этом случае sr(P) = m — п тогда и только тогда, когда над многогранником существует хотя бы одно малое накрытие. Легко показать, что s(K) ^ s^(K), причём А. А. Айзенбергом был придуман пример 3-мерного симплициального комплекса К, для которого неравенство строгое. Мы показываем, что если г = 1,2,3, то s{K) ^ г тогда и только тогда, когда s&(K) ^ г.

В работе М. Масуды и Ю. Фукукавы [38] были получены значительные результаты о вычислении числа svt(m,p) = sr(A™Ii ). Они переформулировали задачу как задачу целочисленного линейного программирования следующим образом. Существует такой набор чисел {гпк{Ь)}к^2,ь^0: что Б^т^р) = к тогда и только тогда, когда тпк+\{р — 1) < га < тк(р — 1), причём число тк(Ъ) равно максимальному целому значению, которой принимает линейная функция ]С«е(г2)*\{о} ®»/ на множестве ау) <Е %№2)к\{0}: а„ ^ Ъ для каждого и € {Ъ2)к \ {0}}. и,у)=0

Ими был получен следующий результат. Пусть Ь = (2к~г — 1 +В,, где ф, Д - неотрицательные целые числа, такие что 0 ^ Д ^ 2к~1 — 2, и пусть 0 ^ I < к - 2 - такое целое число, что г*"1 - 2*-1-' < Д < 2к~1 - г*"1"^). Тогда

2к - 1)д + Д + 2*-1 - < тЦЬ) ^ (2* - 1)д + 2Д, причём нио/сняя оценка достигается тогда и только тогда, когда,\ Д — (2к~г — 2к~1~1) ^ к — I — 2, а верхняя - тогда и только тогда, когда Д = 2к~г — 2к~1~1. На основе многочисленных вычислений М. Масуда и Ю. Фукукава предложили гипотезу о том, что тк((2к~1 - 1)д + Д) = (2* - 1)<Э + тк{Я), и доказали её для «достаточно больших» 6, а именно:

Пусть Ъ ^ (2*-1 - 1)(2к~2 - 1). Тогда тк(2к~1 - 1 + Ъ) = 2к - 1 + тк(Ъ).

А. А. Айзенбегом были придуманы примеры графов и Г2, таких что 5(Г1*Г2) ф в(Г1) + в(Г2) и аналогично для вещественного числа Бухштабера. Им был также построен аналог хроматического многочлена для в^К).

Целью настоящей работы является построение теории инварианта Бухштабера: развитие методов вычисления, анализ связи с другими инвариантами, исследование поведения инварианта относительно операций и структур, связанных с простыми многогранниками, вычисление значения для специальных классов многогранников и симплициальных комплексов.

Легко показать, что любой простой го-мерный многогранник с га = п + 2 гипергранями проективно эквивалентен прямому произведению симплексов. Таким образом, первый нетривиальный случай возникает, когда га = п + 3.

Полная комбинаторная классификация таких многогранников была получена в книге Б. Грюнбаума [44] при помощи так называемых «звёздных» диаграмм, а также М. Перлесом на основе диаграмм Гейла, который также получил формулу для числа комбинаторных типов. Б. Грюнбаумом была получена формула для изменения чисел граней при добавлении одной звезды в звёздную диаграмму. При помощи этой формулы можно найти все числа граней в виде сумм по всем звёздам диаграммы. Результаты В. М. Бухшта-бера и Т. Е. Панова [29] позволяют применить теорему Лопе де Медрано [49] о пересечении квадрик к момент-угол многообразиям и получить, что для многогранника Р"ст = п + 3 многообразие 2р является либо прямым произведением трёх сфер нечётной размерности, либо связной суммой прямых произведений сфер, причём их количество и размерности определяются диаграммой Гейла многогранника. В диссертации рассмотрены многогранники с т = п + 3 с точки зрения максимальных действий торов: вычислены число Бухштабера и биградуированное кольцо когомологий многообразия Др, показано, что в этом случае число Бухштабера з(Р) определяется биградуиро-ванными числами Бетти {(3~д,2р(Р)}. Кроме того, мы получаем компактную формулу для /¿-полинома в терминах диаграммы Гейла.

В диссертации рассмотрены также задачи, важные для развития связей торической топологии с другими актуальными- разделами математики, такими как комбинаторика симметрической группы, теории алгебр Хопфа и квазисимметрических функций.

Простой многогранник называется флаговым, если любой набор его попарно пересекающихся гиперграней имеет непустое пересечение. Можно показать, что для флаговых многогранников я(Р) ^ Г12^] И3 соотношений Дена-Соммервилля следует, что для любого простого многогранника его /¿-полином к{Р)(а, ¿) = ДР)(а -*,*) = («- *)п + !п-г{а - 1)п~Н + • • • + /04п, где /г- - число г-мерных граней, является симметрическим, поэтому его можно представить в виде

Н{Рп)(а, г) = то (а + 1)п + ъ(оЛ)(а + ¿)п~2 + • • • + 1[ч]{аф\а +

Нас интересует следующая известная задача: что можно сказать о /-векторе 8 простого флагового многогранника? (Можно также ставить более общий вопрос о /-векторе произвольной флаговой триангуляции сферы.) В работе [39] С. Р. Гал придумал контрпример к гипотезе Т. Янушкевича о том, что все корни /¿-полинома флагового многогранника являются вещественными. В связи с этим он поставил вопрос, какой геометрический или комбинаторный смысл имеют числа ^ и в качестве гипотезы предположил, что они неотрицательны для флаговых многогранников.

В работе [3] В.М.Бухштабер заметил, что

КР) = = г=0 г=0 где (до,ди '' • ,£[§]) = (/¿0, Ы - • • •, %] - %]-1) ~ ^-вектор простого многогранника, и как следствие получил, что:

1) Я = Е Ш-Л^У Но т(1п) = - С^1 > 0 при 0 ^ г ^ §, поэтому

3=О неотрицательность 7-вектора влечёт условие Макмюллена - неотрицательность ^-вектора. г . .

2) 7г = (—.1)гЕ(—Таким образом, условие неотрицательного сти 7-вектора можно записать в виде системы линейных неравенств в пространстве <?-векторов, что в силу д-теоремы ([59, 23]) даёт описание всех /-• векторов простых многогранников с условием 7, ^ 0. К примеру, 71 = т—2п, где ш-число гиперграней многогранника, 72 = дч — (п — 3)д\ + С22 (отсюда при 71 ^ 0,72 ^ 0 обязательно <72 ^ ) ^

Таким образом, 7г- - это коэффициенты разложения полинома Ь(Р) по Н-полиномам кубов. Гипотеза Гала гласит, что они неотрицательны для флаговых многогранников. Числа ^ - это коэффициенты в разложении полинома /¿(Р) по /¿-полиномам симплексов. Они всегда неотрицательны согласно ¿/-теореме. В. М. Бухштабер сформулировал более общую задачу: какой геометрический или комбинаторный смысл имеют коэффициенты в разложении полинома /¿(Р) по /¿-полиномам произвольной серии простых многогранников по одному в каждой размерности (например, серии ассоциэдров или перму-тоэдров), и, в частности, что означает их неотрицательность.

Гипотеза Гала предлагает достаточное условие для неотрицательности 7вектора, но уже в трёхмерном случае нетрудно найти нефлаговый много9 гранник, у которого 71 — га — б ^ 0, где га-число гиперграней. Например, треугольная призма со срезанной вершиной.

В работах А. Постникова [53] и Е. Фейхтнер и Б. Штурмфельса [37] был введён важный класс простых многогранников, называемых нестоэдрами. Как было показано А. Зелевинским [65], любой нестоэдр является многогранником Дельзанта. С точки зрения.максимальных действий торов из этого следует, что в{Р) — т — п. А. Постников, В. Райнер и Л. Вильяме [54] показали, что гипотеза Гала верна для нестоэдров, отвечающих так называемым хордовым производящим множествам. Мы рассматриваем нестоэдры РР)Ч, отвечающие полным двудольным графам Крл. Для них производящее множество не является хордовым. Развивая подход этих авторов, заключающийся в том, что вершинам нестоэдра сопоставляется некоторые перестановки так, что Ъ,-полином можно представить в виде производящей функции числа «спусков» этих перестановок, мы показываем, что для многогранников Ррл гипотеза Гала также верна. Этот же результат был независимо получен другим методом;. А. Фенном [34]. Отметим, что гипотеза Гала для произвольных нестоэдров была доказана В. Д. Володиным [9]. Его метод отличается от предыдущих и заключается в том, что, как оказалось, любой флаговый нестоэдр можно1 получить из куба последовательной срезкой граней коразмерности 2.

Ещё одна задача, рассмотренная, в диссертации связана с дифференциальным кольцом выпуклых многогранников, введённым В. М. Бухштабером [3, 67]. Это кольцо позволило исследовать комбинаторику чисел граней простых многогранников при помощи дифференциальных уравнений и комбинаторику флаговых чисел произвольных выпуклых многогранников методами теорий алгебр Хопфа и квазисимметрических функций. В частности, была построена производящая функция флаговых чисел многогранников со значениями в кольце полиномов от переменной а с коэффициентами квазисимметрическими функциями, которая мультипликативна относительно прямого произведения. Был описан образ отображения при помощи функциональных уравнений и показано, что над <0> он является кольцом полиномов. Возникла задача интерпретации различных известных конструкций, связанных с многогранниками, в терминах кольца многогранников. В диссертации получена алгебраическая конструкция гомоморфизма (7 градуированного кольца

А с А0 = А в кольцо полиномов А[ск, £] = А[а;1, €¿2,. - • •] по градуированной деформации умножения в А, то есть кольцевому гомоморфизму Ф: А —» А[а:,£], Ф(а;0,0) = а. Конструкция функториальна в том смысле, что если Ф^: А —» А[а.,£\, Фв'- В —> В[сх.,€\ - градуированные деформации умножений и А; А —> В — гомоморфизм градуированных А-алгебр, такой что АФ а = Ф5Л, то = С\в А. Найдено применение этой конструкции для модулей Хопфа над свободной ассоциативной алгеброй Хоп-фа 2 = ^2,.) с коумножением AZk = Yli+j=к ^ ® ^^ В частности для алгебры Рота-Хопфа И, частично упорядоченных множеств (см. [45]) и джойн-кольца многогранников это даёт торический д-полином (см. [60, 19]), а для кольца квазисимметрических функций Ойуга - д-полином квазисимметрической функции [22]. Преимуществом полученной нами конструкции является то, что из неё напрямую следует, что торический /¿-полином выпуклого многогранника является возвратным, а торический р-полином мультипликативен относительно джойна.

Р. Эренборгом [33] был построен гомоморфизм Р алгебры Рота-Хопфа в кольцо квазисимметрических функций, являющийся производящей функцией флаговых чисел частично упорядоченных множеств. Пользуясь сюръ-ективностью этого отображения, Л. Биллера, С. Хсиао и С. ван Виллен-берг [22] построили р-полином квазисимметрической функции, такой что; дозугп(¥(Т)) = д(Т), и доказали его мультипликативность. Из нашей конструкции следует более простое и явное построение р-полинома квазисимметрических функций, а также его мультипликативность, при этом соотношение до3утп(^{Т)) = д(Т) следует из функториальности.

В х-кольце многогранников дифференцирование задаётся формулой

11Рп = ^^ сумма всех гиперграней. гг-1 ср

В. М. Бухштабером [3] было показано, что на подкольце простых многогранников для /-полинома имеет место соотношение /(<1Р)(о;, £) = £), что позволило доказывать некоторые результаты (например, соотношения Дена-Соммервилля) при помощи дифференциальных уравнений по индукции. Оказалось, что если рассматривать последовательности простых многогранников, то в некоторых случаях производящая функция их /-полиномов

11 удовлетворяет фундаментальным уравнениям в частных производных. Например, для последовательности многогранников Сташефа Asn производящая функция As(x,a,t) = Yln^o /(Asn)a;n+2 удовлетворяет уравнению Бюр-герса Ast = AsAsx. Мы получаем уравнения, которым удовлетворяют производящие функции простых многогранников Cn(m)*, двойственных к циклическим.

Краткий перечень результатов

Основными результатами настоящей работы являются следующие.

1. Показано, что максимальная размерность s(P) торических подгрупп, действующих свободно на момент-угол многообразии Др, удовлетворяет следующим свойствам: a) s(P) = 1 тогда и только тогда, когда Р = Ап. b) Если 2 ^ т — п ^ то s(Cn(m)*) = 2. В частности, для любого к ^ 2 существует многогранник Р, такой что т —п = к и s(P) = 2. c) s(P) ^ т—7(jP)+s(A^Ii). Эта оценка улучшает результат И. В. Из-местьева. d) s(P) + s(Q) < s(P x Q) < s(P) + s(Q) + min{mi - щ - s(P), í7í2 — П2 — s(Q)}- В частности, s(P x Q) = <s(P) -f- если s(P)=mi—щ или s(Q) = m2~n2, и s(PxQ) < (mi+m2) —(гах+пг), если s(P) < mi — ni или s(Q) < 777,2 — n2. e) s(P) + s(Q) ^ s(P#VjWQ), где P#v,wQ ~ связная сумма многогранников вдоль вершин. f) Пусть [m] = u)i U • • • U cür, причём f) = 0 для каждого I £ [г]. i£Ui

Тогда s(P) ^ г. В частности s(P) ^ [¿fj] • g) Если многогранник Q получается из многогранника Р при помощи г-перестройки, 2 ^ г < п — 1, то |s(P) — s(Q)| < 1. Кроме того, s(P) + 1 ^ s(PjjAn) ^ з(Р) + 2.

2. С точки зрения торической топологии исследован первый нетривиальный случай простых п-мерных многогранников с т = п + 3 гипергранями. Известно, что любой такой многогранник комбинаторно описывается при помощи правильного (2к — 1)-угольника Мчъ-\ с центром О и сюръективного отображения множества всех гиперграней в множество уег1;(М2*;1), причём гиперграни Рх,., Рг,., Рд,., Р*,., Рп+з пересекаются в вершине тогда и только тогда, когда 0 лежит внутри, треугольника, образованного образами гиперграней Рг,Р<;,Рг. В диссертации показано, что з(Р) = 3, если к ^ 4, и я(Р) = 2, если к ^ 5. На основе этого результата приведён пример двух многогранников Р и Я, таких что ДР) - ¡(Я), 7(Р) = 7(д), но з(Р) ф з{Я). При помощи «-перестроек получена компактная формула для /г-полинома. Вычислено биградуированное кольцо когомологий Н*'*(Др). Как следствие получено, что Н*'*(Др) = Н*'*(Яд) тогда и только тогда, когда Р~д,2р(Р) = (3~д,2р(С2) для всехр, д, и получен пример жестких (в смысле [30]) многогранников. Получено, что 2к — 1 = Р~1,2р(Р), откуда следует, что для простого многогранника Рст^п + 3 число Бухшта-бера в(Р) может быть вычислено при помощи биградуированных чисел Бетти момент-угол многообразия 2р. Для т > п+3 этот вопрос остаётся открытым.

3. Доказана гипотеза Гала о числах граней флаговых многогранников для нестоэдров, отвечающих полным двудольным- графам на основе развития метода А. Постникова, В. Райнера и Л. Вильямса [54] описания комбинаторики нестоэдров в терминах группы перестановок.

4. Получена функториальная алгебраическая конструкция кольцевых гомоморфизмов, которая в случае алгебры частично-упорядоченных множеств и, джойн-кольца выпуклых многогранников даёт торический д-полином, в случае кольца квазисимметрических функций - р-полином квазисимметричекой функции, а в случае кольца простых многогранников - отображение Рп —> /о(Р)£п, где /о(Р) - число вершин многогранника.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [67, 68, 69, 70].

13

Содержание работы

Здесь мы кратко опишем структуру работы. Диссертация разбита на главы, главы — на разделы, некоторые разделы — на подразделы. Теоремы, предложения, примеры, замечания и т. д. нумеруются в пределах раздела, а уравнения—в пределах главы. В конце введения мы приводим соглашения, которые используются в работе и список наиболее часто встречающихся обозначений.

1. А. А. Айзенберг, Курсовая работа, мехмат МГУ, 2009.

2. А. А. Айзенберг, Экспоненциальный закон для К-степени, УМН, 64:4(388) (2009), 175-176.

3. В. М. Бухштабер, Кольцо простых многогранников и дифференциальные уравнения, Труды математического института им. В. А. Стеклова, т.263, 2008, 1-26.

4. В. М. Бухштабер, Н. Ю. Ероховец, Алгебра операторов на кольце многогранников и квазисимметрические функции, УМН, 65:2(392) (2010), 197—198.

5. В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов, Действия тора и комбинаторика многогранников, Труды МИРАН им. Стеклова, 225, 1999, 96-131.6.' В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов, Действия торов, комбинаторная топология и гомологическая алгебра,УМН, 55:5(335) (2000), 3—106.

6. В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов, Торические действия в топологии и комбинаторике, М.: МЦНМО, 2004.

7. В. М. Бухштабер, Н. Рэй, Торические многообразия и комплексные кобордизмы, Успехи мат. наук 53 (1998), вып. 2, с. 139-140.

8. В. Д. Володин, Кубические реализации флаговых нестоэдров и доказательство гипотезы Гола для них, УМН, 65:1(391) (2010), 183-184.

9. Э. Б. Винберг, Дискретные линейные группы, пороэ!сдённые отражениями, Известия АН СССР, сер. матем. 35 (1971), 1072-1112.

10. А. А. Гайфуллин, Явное построение многообразий, реализующих заданные классы гомологий, Успехи математических наук, т. 62 (2007), №6, с. 167-168.

11. И. В. Изместьев, Трехмерные многообразия, определяемые раскраской граней простого многогранника, Матем. заметки, 69:3 (2001), 375-382.

12. M. Aguiar, N. Bergeron, F. Sottile, Combinatorial Hopf Algebras and Generalized Dehn-Sommerville relations, Compositio Mathematica, 142(1)-, 2006, 1-30; arXiv: math/0310016vl math.CO].

13. A. Ayzenberg, The problem of Buchstaber number and its combinatorial aspects, arXiv:1003.0637vl math.CO].

14. A. Bahri, M. Bendersky, F. R. Cohen, and S. Gitler, An infinite family of toric manifolds associated to a given one, manuscript.

15. A. Bahri, M. Bendersky, F. R. Cohen, S. Gitler, A new topological construction of infinite families of toric manifolds implying fan reduction, arXiv:1011.0094v2 math.AT].

16. A. Baker, B. Richter, Quasisymmetric functions from a topological point of view, Math. Scand., 103, 2008, 208-242.

17. M. M. Bayer and R. Ehrenborg, The toric h-vector of partially ordered sets, Trans. Amer. Math. Soc., 352, 2000, 4515-4531. (electronic).

18. M. M. Bayer, A. Klapper, A new index for polytopes, Discrete Comput. Geom., 6, 1991, 33-47.

19. M. M. Bayer and C. W. Lee, Combinatorial aspects of convex polytopes, in Handbook of convex geometry, Vol. A, B, North-Holland, Amsterdam, 1993, 485—534.

20. L. Billera, S. Hsiao, S. van Willigenburg, Peak quasisymmetric functions and Eulerian enumeration, Adv. Math, bf 176 (2003), no. 2, 248-276, arXiv: 0706.3486vl math.CO], 24 June 2007.

21. L. Billera, C. Lee, A proof of sufficiency of McMullen's conditions for f-vectors of simplitial polytopes, J.Combin.Theory, Ser. A, 1981, V31, №3, R237-255.

22. L. Billera, N. Liu, Non-commutative enumeration in graded posets, Journal of Algebraic Combinatorics, 12, 2000, 7-24.

23. F. Bosio, L. Meersseman, Real quadrics in C", complex manifolds and convex polytopes, Acta Math. 197 (2006), 53-127.

24. A. Bronsted, An introduction to convex polytopes, New York: Springer-Verlag, 1983. (Graduate Texts in Mathematics; v. 90).

25. V. M. Buchstaber, N. Yu. Erokhovets, Ring of Polytopes, Quasi-symmetric functions and Fibonacci numbers, arXiv: 1002.0810 vl math.CO], 3 Feb 2010.

26. V. M. Buchstaber, N. Yu. Erokhovets, Polytopes, Hopf algebras and Quasi-symmetric functions, arXiv:1011.1536vl math.CO], 6 Nov 2010.

27. V. M. Buchstaber, T. E. Panov, N. Ray, Spaces of polytopes and cobordism of quasitoric manifolds., Moscow Math. J., v. 7, N 2, 2007, 219-242; arXiv: Math AT/0609346.

28. S. Choi, T; Panov and D. Y. Suh, Toric cohomological rigidity of simple convex polytopes, Journal of the London Math. Society, II Ser. 82 (2010), no.2, 343-360; arXiv:0807.4800.

29. M. Davis, T. Januszkiewicz, Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions, Duke Math. J., 1991. V.62, N2, P.417-451.

30. M. Davis, J. Dymara, T. Januszkiewicz and B. Okun, Weighted L2-cohomology of Coxter groups, arXiv:math.GT/0402377.

31. R. Ehrenborg, On Posets and Hopf Algebras, Advances in Mathematics, 119, 1996, 1-25.

32. A. Fenn, Generating Functions of Nestohedra and Applications, arXiv:0908.0605vl math.CO]

33. J. Fine, A complete h-vector for convex polytopes, Preprint, arXiv: 0911.5722 v 1 math.CO], 30 Nov 2009.

34. J. Fine, A complete g-vector for convex polytopes, Preprint, arXiv: 1001.1562 v 1 math.CO], 10 Jan 2010.

35. E.-M. Feichtner, B. Sturmfels, Matroid polytopes, nested sets and Bergman fans, Portugaliae Mathematica 62 (2005), 437-^68.

36. Y. Fukukawa, M. Masuda, Buchstaber invariants of skeleta of a simplex, Osaka J. Math. Volume 48, Number 2 (2011), 549-582; arXiv:0908.3448v2 math.AT],

37. S. R. Gal, Real root conjecture fails for five- and higher-dimensional spheres, Discrete Comput. Geom. 34 (2005), no.2, P. 269-284.

38. I. M. Gel'fand, D. Krob, A. Lascoux, B. Leclerc, V. S. Retakh, J. -Y. Thibon, Noncommutative symmetric functions, Adv. Math. , 112 (1995), 218—348, arXiv:hep-th/9407124vl.

39. I. M. Gessel, Multipartite P-partitions and inner products of skew Schur functions, Contemp. Math. 34 (1984), 289-301.

40. S. Gitler, S. Lopes de Medrano, Intersections of quadrics, moment-angle manifolds and connected sums, arXiv: 0901.2580vl math.GT] 16 Jan 2009.

41. M. Hazewinkel, The Algebra of Quasi-Symmetric Functions is free over integers, Advances in Mathemetics, 164, 2001, 283-300.

42. B. Grunbaum, Convex Polytopes, Vol. 221 of Graduate Texts in Mathematics, SpringerVerlag, New York, Second ed., 2003.

43. S. Joni, G.-C. Rota, Coalgebras and bialgebras in combinatorics, Stud. Appl. Math., 61, 1979, 93-139.

44. M. Joswig, Projectivities in simplicial complexes and colorings of simple polytopes, Math. Z., 2002, V.240, N2, p.243-259; arXiv:math/0102186v3 math.CO].

45. G. Kalai, A new basis for polytopes, J. Combinatorial Theory, Ser. A, 49, 1988, 191—208.

46. Carl W. Lee, Sweeping the cd-Index and the Toric h-Vector, 2009, preprint: http://www.ms.uky.edu/ lee/cd.pdf; arXiv: 1011.2264 vl math.CO], 10 Nov 2010.

47. S. Lopez de Medrano, The topology of the intersection of quadrics in Rn, Lecture Notes in Mathematics 1370 (1989), 280-292.

48. C. Malvenuto and C. Reutenauer, Duality between quasi-symmetric functions and the Solomon descent algebra, J. Algebra, 177, 1995, 967-982.

49. P. McMullen, The numbers of faces of simplitial polytopes, Israel J.Math. 1971, V9, P. 559-570.

50. S. P. Novikov,' Various doublings of Hopf algebras. Operator algebras on quantum groups, complex cobordisms, Russian Mathematical Surveys, 47:5, 1992, 198-199.

51. A. Postnikov, Permutohedra, associahedra, and beyond, arXiv: math.CO/0507163.

52. A. Postnikov, V. Reiner, L. Williams, Faces of generalized permutohedra, arXiv: math/0609184 v2 math.CO] 18 May 2007.

53. N. Ray, W. Schmitt, Combinatorial models for coalgebraic structures, Advances in Mathematics, v. 1, 138, Issue 2, 1998, 211-262.

54. W. Schmitt, Antipodes and incidence coalgebras, Journal of Combinatorial Theory, A, 46, 1987, 264-290.

55. W. Schmitt, Incidence Hopf Algebras, J. Pure Appl. Algebra 96, 1994, 299-330.

56. R. P. Stanley, Ordered structures and partitions, Memoirs of the American Mathematical Society, No. 119, American Mathematical Society, 1972.

57. R. Stanley, The number of faces of simplitial convex polytope, Advances in Math. 1980. V.35, №3, P.236-238.

58. J. R. Stembridge, Enriched P-partitions, Trans. Amer. Math. Soc. 349 (1997), no. 2, 763-788.

59. C. Stenson, Relationships among flag f-vector inequalities for poly topes, Discrete and Computational Geometry, 31, 2004, 257-273.

60. J. -Y. Thibon, B. -C. -V. Ung, Quantum quasi-symmetric functions and Hecke algebras, Journal of Physics A 29 (1996), 7337-7348.

61. Yu. Ustinovsky, Doubling operation for polytopes and torus actions, UMN, 2009, V.64, Issue 5(389).

62. A. Zelevinsky, Nested complexes and their polyhedral realizations, Pure and Applied Mathematics Quarterly 2 (2006), 655-671.

63. G. M. Ziegler, Lectures on Polytopes, Springer-Verlag, New York, 2007.

64. В. М. Бухштабер, Н. Ю. Ероховец, Многогранники, числа Фибоначчи, алгебры Хопфа и квазисимметрические функции, УМН, 66:2(398) (2011), 67-162.

65. Н. Ю. Ероховец, Момент-угол многообразия простых п-мерных многогогранников с п + 3 гипергранями, УМН, 63:5(383) (2011), 187-188.

66. Н. Ю. Ероховец, Гипотеза Гола для нестоэдров, отвечающих полным двудольным графам, Тр. МИАН, 266, МАИК, М., 2009, 127-139.

67. Н. Ю. Ероховец, Инвариант Бухштабера простых многогранников, УМН, 63:5(383) (2008), 187-188.Работы автора по теме диссертации.