Топология и геометрия комплексных многообразий с максимальным действием тора тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Математический институт им. В. А. Стеклова Отдел геометрии и топологии

На правах рукописи

И

Устиновский Юрий Михайлович

Топология и геометрия комплексных многообразий с максимальным действием тора.

01.01.04 - Геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005551522

7 АВГ 2014

Москва - 2014

005551522

Работа выполнена в отделе геометрии н топологии Математического института им. В. А. Стеклова РАН

Научный руководитель: Панов Тарас Евгеньевич.

доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей геометрии и топологии механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова

Научный консультант: Бухштабер Виктор Матвеевич,

доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник отдела геотметрии и топологии Математического института им. В.А. Стеклова РАН

Официальные оппоненты: Смирнов Евгений Юрьевич,

кандидат физико-математических наук, доцент факультета математики НИУ ВШЭ

Миронов Андрей Евгеньевич,

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник лаборатории динамических систем Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова»

Защита состоится «16» октября 2014 г. в 15® часов на заседании диссертационного совета Д.002.022.03 при МИ АН, но адресу: 119991, Москва, ул. Губкина, д.8, конференц-зал (9 этаж).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИАН по адресу: 119991, Москва, ул. Губкина, д.8, 8 этаж и на сайте

http://www.mi.ras.ru/dis/ref14/ustinovskii/ustinovskii_dis.pdf. Автореферат разослан «2О^ 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.002.022.03 при МИАН доктор физико-математических наук

И. Д. Шкредов

\ \

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Настоящая диссертация посвящена пространствам с действием тора Тт = (Sl)m. Исследуется топология таких пространств, изучается возможность введения гладких и комплексно-аналитических структур на пространствах с действием "большого" тора Тт, решаются некоторые вопросы касательно геометрии комплексных структур в случае их существования.

Объекты, обладающие богатой группой симметрией, на протяжении последних 30 лет привлекают особенное внимание'1'. Развитию интереса к пространствам с действием торов Тт способствовало появление торической геометрии — науки об алгебраических многообразиях, допускающих действие алгебраического тора (С*)" с открытой плотной орбитой'2,3'. Наличие большой группы симметрий позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между торическими многообразиями и комбинаторно-геометрическими объектами — веерами. Это соответствие открыло глубокие связи между геометрическими характеристиками торических многообразий и свойствами соответствующих комбинаторных объектов и нашло многочисленные приложения. Батырев'4' использовал торические многообразия для явного построения пар многообразий Калаби-Яу со свойствами, предписываемыми зеркальной симметрией. Поммерсхейм'5' доказал формулу для класса Тодда особой торической поверхности и использовал ее для доказательства теоретико-числовых тождеств, связывающих Дедекиндовы суммы. Стенли'6', применив сильную теорему Леф-шеца к проективным торическим многообразиям, первым доказал необходимость неравенств МакМюллена в задаче об /-векторах простых многогранников.

Возможности торической геометрии, позволяющие доказывать внешние по отношению к алгебраической геометрии результаты при помощи изучения геометрии и топологии торических многообразий, мотивировали построение более общих пространств с действием тора. Дэвис и Янушкевич'7' определили топологический аналог проективных торических многообразий — квазиторические многообразия. Эти пространства уже не несут алгебраической структуры, однако обладают многими важным топологическими свойствами. Бухштабер и Рэй'8,9' ввели на каждом квазиторическом многообразии, снабженном допол-

[1] Глен Бредон. Введение в теорию компактных групп преобразований. Наука, Москва, 1980.

[2] В. И. Данилов. Геометрия торических многообразий. Успехи метем, наук, 33:85-134, 1978.

[3] J.-L. Brylinski. Eventails et variétés toriques. Lecture Notes in Math., 777:247-288, 1980.

[4] Viktor Batyrev. Dual polyhedra and mirror symmetry for calabi-yau hypersurfaces in toric varieties. J. Algebraic Ceom., (3):493-535, 1993.

[5] J.E. Pommersheim. Toric varieties, lattice points and dedekind sums. Math. Ann., 295:1-24, 1993.

[6] Richard P. Stanley. Combinatorics and Commutative Algebra, volume 41. Birkhäuser, Boston, 1996.

]7] M. W. Davis and T. Januszkiewicz. Convex polytopes, coxter orbifolds and torus actions. Duke Math. J., 62(2):417-451, 1991.

[8] V. Buchstaber and N. Ray. Flag manifolds and the landweber-novikov algebra. Geom. Topol., 2:79-101, 1998.

[9] Victor M. Buchstaber and Nigel Ray. Tangential structures on toric manifolds, and connected sums of

нительными комбинаторными данными, каноническую стабильно-комплексную структуру и явно описали способ построения квазиторических образующих в кольце комплексных кобордизмов. Ключевым шагом в создании торической топологии стала работа Бухштабера и Панова'10', в которой была существенно переработана конструкция Дэвиса и Янушкевича и для каждого симплициаль-ного комплекса fC были определены общие момент-угол-комплексы 2/с — центральный объект новой области исследований. Авторы доказали, что момент-угол-комплекс Zyc, отвечающий симплициалыюму многограннику К. = Р*, допускает эквивариантную гладкую структуру и может быть реализован в виде невырожденного пересечения вещественных квадрик в С"1. При таком описании, всякое квазиторическое многообразие над многогранником Р оказывается пространством орбит свободного действия подтора Т С Т™ на пространстве Zfc. Этот подход нашел применение в работе Бухшатбера Панова и Рэя'11'. в которой авторы использовали теорию аналогичных многогранников для определения операции связной суммы на уровне квазиторических многообразий, снабженных стабильно-комплексной структурой, тем самым в каждом классе комплексных кобордизмов был построен связный торический представитель. Реализация общих момент-угол-комплексов в виде /С-степеней привела к появлению смежной области — гомотопической теории полиэдральных произведений, которая в настоящее время активно развивается. Так, в работах Грбич, Терио и Грбич, Терио, Панова и By'12'13' удалось описать явный гомотпический тип момент-угол-комплексов, отвечающих специальным классам симплициальных комплексов.

Со временем выяснилось, что пространства, изучаемые в торической топологии, зачастую допускают сложные геометрические структуры, сохраняемые действием тора. Основываясь на реализации момент-угол-многообразий в виде пересечения невырожденных квадрик в Сга, Миронов и Панов'14'15' построили новые семейства гамильтоново-минимальных лагранжевых погружений в Ст и в общие симплектические торические многообразиях. Хорошо известный результат Дельзана'16' гласит, что все компактные симплектические многообразия с гамильтоновым действием тора половинной размерности реали-

polytopes. Int. Math. Res. Not., (4):193-219, 2001.

[10] В. M. Бухштабер and Т. E. Панов. Действия торов, комбинаторная топология и гомологическая алгебра. Успехи метем, паук, 55(5):825-921, 2000.

[11] V. M. Buchstaber, Т. Е. Paiiov, and N. Ray. Spaces of polytopes and cobordism of quasitoric manifolds. Mose. Math. J., 7(2):219-242, 2007.

[12] Jelena Grbic and Stephen Theriault. The homotopy type of the polyhedral product for shifted complexes. Advances in Mathematics, 245:690-715, 2013.

[13] Jelena Grbic, Taras Panov, Stephen Theriault, and Jie Wu. The homotopy types of moment-angle complexes fo flag complexes. Preprint, 2013.

[14] A. E. Миронов and T. E. Панов. Гамильтоново-минимальные лагранжевы подмногообразия в торических многообразиях. Успехи метем, наук, 68{2):203-204, 2013.

[15] А. Е. Миронов and T. Е. Панов. Пересечения квадрик, момент-угол-многообразия и гамильтоново-минимальные лагранжевы вложения. Функц. анализ и его прил., 47(1):47—61, 2013.

[1С] Thomas Delzant. Hamiltoniens périodiques et images convexes de l'application moment. Bulletin de la Société Math, de France, 116(3):315-339, 1988.

зуются неособыми проективными торическими многообразиями. Оказывается, что, если ослабить условие существования симплектической структуры до условия существования инвариантной почти комплексной структуры, квазиториче-ские многообразия предоставляют множество новых примеров. Так, в работе Кустарева'17' приведены необходимые и достаточные условия существования на квазиторических многообразиях инвариантной почти комплексной структуры, эквивалентной данной стабильно комплексной. Благодаря подходу к ква-зиторическим многообразиям, развитому в работах Бухштабера и Панова'18', Кустареву удалось дать явный ответ в терминах геометрических и комбинаторных данных, задающих многообразие. Естественно возникающий вопрос об интегрируемости этих почти комплексных структур решен в работе Каршон и Исиды'19', где изучаются комплексные структуры на компактных многообразиях с действием тора половинной размерности, имеющим неподвижную точку. В этой работе, в частности, доказано, что интегрируемыми оказываются лишь структуры соответствующие компактным торическпм многообразиям. Этот результат интересен тем, что, как правило, вопрос об интегрируемости почти комплексных структур крайне труден (например, до сих пор открыт вопрос о существовании комплексной структуры на шестимерной сфере), однако в рамках обширного класса многообразий, предоставляемого торической топологией, он может быть полностью решен.

С построением комплексных структур на многообразиях с действием тора связана другая серия работ!20'21,22'23!, мотивированных вопросами голоморфной динамики. В этих работах удалось построить комплексные структуры на обширном классе многообразий, заданных невырожденной системой вещественных квадрик специального вида в Сга. Построенные примеры являются далеко идущими обобщениями классических многообразий Хопфа'24! и Калаби-Экманна'25'. Все многообразия данных семейств за исключением тривиальных случаев некэлеровы, и к ним неприменимы большинство методов комплексной геометрии. Однако, явная конструкция и наличие большой группы

[17] А. А. Кустарев. Эквивариантные почти комплексные структуры на квазиторических многообразиях. Труды МИАН, 206:140-148, 2009.

[18] V. М. Buchstaber and Т. Е. Panov. Torus actions and their applications in topology and combinatorics, volume 24. Univ. Lecture Ser., AMS, 2002.

[19] H. Ishida and Y. Karslion. Completely integrable torus actions on complex manifolds with fixed points, to appear in Mathematical Research Letters, 2012.

[20] Santiago Lopez de Medrano and Alberto Verjovsky. A new family of complex, compact, non-symplectic manifolds. Bol. Soc. Mat. Brasil., 28:253-269, 1997.

[21] Jean-Jacques Loeb and Marcel Nicolau. On the complex geometry of a class of non-kahlerian manifolds. Israel J. Math., 110:371-379, 1999.

[22] Laurent Meersseman. A new geometric construction of compact complex manifolds in any dimension. Math. Ann., pages 79-115, 2009.

[23] Laurent Meersseman and Alberto Verjovsky. Holomorphie principal bundles over projective toric varieties. J. Reine Angew. Math., 572:57-96, 2004.

[24] H. Hopf. Zur topologie der komplexen mannigfaltigkeiten. Studies and Essays, Interscience Publishers, Inc., New York, pages 167-185, 1948.

[25] E. Calabi and B. Eckmann. A class of compact complex manifolds which are not algebraic. Annals of Mathematics, 58:494-500, 1953.

симметрий позволяют получать нетривиальные результаты об их геометрии. Так, Меерсманн'22' при некоторых ограничениях описал поле мерофорфных функций на этих многообразиях и вычислил универсальное пространство деформаций комплексных структур. Кроме нетривиальной геометрии, многообразия из работ Меерсманна имеют сложную топологию. Лопез де Медрано'26' явно описал в частном случае их дифференциальный тип и доказал, что они являются связной суммой произведений сфер. Недавно Босио и Меерсманн'27' установили, что все эти многообразия являются момент-угол-комплексами, соответствующими выпуклым многогранникам, и использовали результаты об их когомологиях для построения компактных комплексных многообразий с предписанным кручением в когомологиях.

Помимо прочего, торическая топология предоставляет массу примеров для анализа различных гипотез эквивариантной геометрии. Упомянем отдельно классическую гипотезу о торическом ранге, являющуюся до сих пор открытой. Она была сформулирована Гальпериным'28! для действия торов Тгп = (S1)7™. Сама гипотеза дает нижнюю оценку на ранг кольца когомологий конечномерного пространства с почти свободным действием тора Тт. Пуппе'29' доказал линейную по m оценку на ранг кольца когомологий и, как следствие, установил, что гипотеза верна при m ^ 3. Частные результаты для различных классов пространств с действием тора приведены в книге Феликса, Опреа и Тома'30'.

Цели и задачи диссертационной работы: исследование связи между топологической гипотезой о торическом ранге и алгебраической гипотезой Хоррокса, доказательство оценок на размерности биградуированных компонент когомологий момент-угол-комплексов Z¡c. Исследование возможности введения на момент-угол-комплексах, не покрываемых результатами Бухштабера и Панова, гладких и комплексных структур. Построение модели для вычисления когомологий Дольбо главных расслоений со слоем комплексный тор. Изучение геометрии компактных комплексных многообразий с максимальным действием тора.

Научная новизна. Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и заключаются в следующем:

1) Установлена связь между классической гипотезой Хоррокса о размерностях модулей Тог^ Q) и гипотезой Гальперина-Карлссона. Доказана гипотеза Гальперина-Карлссона для индуцированных действий торов

[22] Laurent Meersseman. A new geometric construction of compact complex manifolds in any dimension. Math.

Ann., pages 79-115, 2009.

[26] Santiago López de Medrano. Topology of the intersection of quadrics in r". Lecture Notes in Math.,

1370:280-292, 1989.

[27] F. Bosio and L. Meersseman. Real quadrics in c", complex manifolds and convex polytopes. Acta Math,

197;1:53-127, 2006.

[28] S. Halperin. Rational homotopy and torus actions. London Math. Soc. Lecture Notes, 93:293-306, 1985.

[29] V. Puppe. Multiplicative aspects of the halperin-carlsson conjecture. Georgian Mathematical Journal, 16{2) :3G9—379, 2009.

[30] Y. Félix, J. Oprea, and D. Tanré. Algebraic Models in Geometry. Oxford University Press, 2008.

на момент-угол-комплексах Zjc. Доказан градуированный вариант гипотезы Гальперина-Карлссона для момент-угол-комплексов Z/c, и, как следствие, получены новые неравенства на биградуированные числа Бетти (3~l'2j(fC) общих симплициальных комплексов К,.

2) Доказано, что четномерные момент-угол-комплексы и некоторые их частичные факторы, отвечающие полным симплициальным веерам, допускают гладкие и комплексно-аналитические структуры. Тем самым описаны все компактные комплексные многообразия, допускающие максимальное действие тора.

3) Введено каноническое голоморфное слоение на компактных комплексных многообразиях с максимальным действием тора. Найдено достаточное условие для существования трансверсалыю-кэлеровой относительно канонического слоения формы. Построена конечномерная модель для вычисления когомологий Дольбо многообразий, для которых листы канонического слоения компактны и изоморфны друг другу.

4) При дополнительных ограничениях на комбинаторные и геометрические данные, определяющие компактное комплексное многообразие с максимальным действием тора, описаны все их аналитические подмножества и мероморфные функции.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы специалистами в области алгебраической топологии, комплексной дифференциальной геометрии, комбинаторики и торической топологии.

Методы исследования. В работе используются методы эквивариантной топологии, рациональной теории гомотопий (минимальные модели расслоенных пространств), коммутативной алгебры, теории торических многообразий и дифференциальной комплексной геометрии. Также используется техника спектральных последовательностей Лере-Серра и Бореля.

Апробация результатов. Содержащиеся в диссертации результаты докладывались на следующих международных научных конференциях:

1. «Ломоносов 2010», г.Москва, 12-15 апреля 2010г.;

2. «Геометрия, топология, алгебра и теория чисел, приложения», посвященная 120-летию Б.Н.Делоне, г.Москва, 16-20 августа 2010г.;

3. «Торическая топология и автоморфные функции», г.Хабаровск, 5-10 сентября 2011 г.;

4. «Toric topology meeting», г.Осака, Япония, 28-30 ноября 2011г.;

5. «Александровские чтения», г.Москва, 21-25 мая 2012г.;

6. «Рождественские математические встречи фонда "Династия"», г. Москва, 8-11 января 2013г.;

7. «Действия торов: топология, геометрия, теория чисел», г. Хабаровск, 2-7 сентября 2013г.;

и научно-исследовательских семинарах:

1. «Алгебраическая топология и её приложения» им. М.М.Постникова под руководством чл.-корр. РАН В.М. Бухштабера, проф. А.В. Чернавского, проф. И.А.Дынникова, проф. Т.Е.Панова, доц. Л.А.Алания и доц. Д.В. Миллионщикова, МГУ, март 2011 г.;

2. Семинар отдела геометрии и топологии МИАН «Геометрия, топология и математическая физика» под руководством академика РАН С.П. Новикова и чл.-корр. РАН В.М. Бухштабера, МИАН, 25 апреля 2012 г.;

3. «Комплексные задачи математической физики» под руководством проф. А.Г.Сергеева и доц. А.В. Домрина, МИАН, 1 апреля 2013г.;

4. «Петербургский геометрический семинар им. А.Д. Александрова» под руководством проф. Ю.Д. Бураго, ПОМИ, 18 апреля 2013г.;

5. Семинар лаборатории «Дискретная и вычислительная геометрия» им. Б.Н.Делоне, ЯрГУ, 13 сентября 2013г.;

6. «Mathematics and Physics seminar» под руководством проф. Т. Пантева, University of Pennsylvania, 5 ноября 2013 г.;

7. «Algebraic Topology Seminar» под руководством проф. Т. Бари, Princeton University, 7 ноября 2013 г.;

8. «Группы Ли и теория инвариантов» под руководством проф. Э.Б. Винберга, проф. А.Л. Онищика, проф. И.В. Аржанцева и доц. Д.А. Тимашева, МГУ, 5 марта 2014 г.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в шести печатных работах в рецензируемых научных журналах, список которых приведен в конце автореферата [145]. Из совместной публикации с научным руководителем Тарасом Евгеньевичем Пановым [3] на защиту выносятся результаты, в получении которых роль диссертанта была решающей.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, 4 глав и библиографии. Общий объем диссертации 83 страниц. Библиография включает 72 наименования на 4 страницах.

Краткое содержание работы

Во введении приведен краткий исторический обзор исследований по топологии и комплексной геометрии пространств с действием тора, обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы основные результаты работы.

Глава 1 носит вводный характер. В ней определяются комбинаторные, геометрические и топологические понятия, необходимые для дальнейшего изложения. В разделах 1.1-1.3 даются определения симплициальных комплексов, выпуклых многогранников, конусов и вееров, колец Стенли-Райснера. В разделе 1.4 приведена классическая конструкция торических многообразий и сформулирована фактор-конструкция Кокса-Батырева. В разделе 1.5 определяется общая категорная конструкция КЗ-степеней и вводятся момент-угол-комплексы Также формулируются хорошо известные результаты о топологии момент-угол-комплексов, включая описания колец когомологий и эквивариантных когомологий.

Глава 2 посвящена гипотезе Гальперина-Карлссона, которая дает нижнюю оценку на ранг кольца когомологий пространства с почти свободным действием тора Тт:

Гипотеза (О торическом ранге). Пусть на конечномерном С\У-комплексе X почти свободно действует тор Тт, тогда

В разделе 2.1 анализируется связь гипотезы о торическом ранге с алгебраической гипотезой Хоррокса:

Гипотеза (Гипотеза Хоррокса). Пусть М — конечномерный над Q градуированный модуль над кольцом многочленов S(m), тогда

Строится конечномерная модель для вычисления кольца когомологий пространств с действием тора, чье гомотопическое пространство орбит формально. При помощи этой модели доказывается следующий результат:

hrk(X,Q) := ^dim H*(X,Q) > 2m.

i = 0,..., т.

Теорема 2.1.7. Предположим, что пространство орбит почти свободного действия группы Тт на конечномерном С\У-комплексе X односвязно и формально. Тогда слабая гипотеза Хоррокса для <0>)-модуля Н^т{Х, (12) влечет гипотезу о торическом ранге для пространства X.

Из доказательства Теоремы 2.1.7, в частности следует, что любое частичное продвижение в гипотезе Хоррокса автоматически влечет продвижение в гипотезе о торическом ранге.

В разделе 2.2 определяется комбинаторная операция удвоения симплици-альных комплексов и устанавливается ее связь с операцией /С-степени. Эта связь используется при доказательстве гипотезы о торическом ранге для момент-угол-комплексов Е)с.

Теорема 2.2.10. Гипотеза о торическом ранге выполнена для действия под-торов в торе Тт, действующем стандартным образом на момент-угол-комплексах Е)с.

Раздел 2.3 мотивирован результатами раздела 2.1, связывающими гипотезу Хоррокса с гипотезой о торическом ранге. В нем определяется биградуировка в когомологиях пространств с действием тора, чье гомотопическое пространство орбит формально, и формулируется градуированная гипотеза о торическом ранге, которая затем доказывается для момент-угол-комплексов. В качестве приложения этих теорем приводится результат о комбинаторике общих симплициальных комплексов.

Теорема 2.3.2. Пусть К. — симплициалъный комплекс на множестве [т] размерности п — 1. Тогда биградуированные числа Бетти /32г~-7(/С) удовлетворяют следующим неравенствам:

Следствие 2.3.5. Пусть К. — симплициалъный комплекс на множестве [ш] размерности п — 1. Тогда

В заключительном разделе второй главы, следуя работе Исиды'31!, вводится понятие максимального действия тора Тт на гладком многообразии.

В главе 3 изучается возможность введения гладких и комплексно-аналитических структур на момент-угол-комплексах и их частичных факторах, приводится конструкция, позволяющая строить все компактные комплексные

[31] Н. Ishida. Complex manifolds with maximal torus actions. Preprint, 2013.

многообразия с максимальным действием тора. В разделе 3.1 даются достаточные условия существования гладких и комплексных структур на пространствах Зс:

Теорема 3.1.6. Момент-угол-комплексы Z/с, отвечающие симплициалъным комплексам К. = где £ — полный симплициалъный веер в некотором векторном пространстве V, допускают структуру гладкого многообразия.

Теорема 3.1.12. Момент-угол-комплексы Zfz четной размерности, отвечающие симплициалъным комплексам К. = К.v, где Е — полный симплициалъный веер в некотором векторном пространстве V, допускают структуру комплексного многообразия.

Также в разделе 3.1 приводится конструкция, позволяющая строить комплексные структуры на частичных факторах пространств Z/c. В разделе 3.2 с помощью результата работы Исиды'31' доказано, что любое компактное комплексное многообразий с максимальным действием тора можно получить таким образом. Построенные многообразия являются обобщениями многообразий Хопфа и Калаби-Экманна.

Теорема 3.1.17 (Фактор-конструкция-Ill). Рассмотрим симплициалъный комплекс К, на множестве [ш]. Пусть Н С такая связная комплексная подгруппа Ли, что все пересечения вида Н П (С*, I)1, гдеТеК., тривиальны. Обозначим через f) С tc = t © il соответствующие алгебры Ли. Рассмотрим р: tc ^ t и q: t —> i/p(b) ~ естественные проекции на первое слагаемое и на фактор-пространство, соответственно, £/с веер в t = Rm, соответствующий комплексу К,.

Предположим, что ограничение проекции

9|Ec:S*:->t/p(f,) (3.4)

взаимно-однозначно. Тогда группа Н действует на пространстве UQC), причем

1. пространство орбит U(IC)/H является комплексным многообразием с естественным действиел1 тора Тт/(Тт П Н) С ТЦ?/Н;

2. частичный фактор Z^/(Tm П Н) момент-угол-комплекса Z£ эквивари-антно (относительно действия группы Тт/(ТтП Н)) гомеоморфен пространству U{K,)/H.

Теорема 3.2.3. Всякое компактное комплексное многообразие М с максимальным действием тора может быть получено при помощи конструкции Теоремы 3.1.17.

|31] Н. Ishida. Complex manifolds with maximal torus actions. Preprint, 2013.

Глава 4 посвящена изучению комплексной геометрии многообразий с максимальным действием тора. Каждое такое многообразие может быть реализовано как пространство орбит эффективного действия группы Н ~ С' на ториче-ском многообразии V^. Группа Н задается своей алгеброй Ли — комплексным подпространством f) в алгебре Ли tc = t©?"t тора Т™. действующего на многообразии Vs- В разделах 4.1 и 4.2 на многообразиях М(£, f)) вводится каноническое голоморфное слоение Т и изучается пространство его листов.

Теорема 4.2.1. Предположим, что листы канонического слоения Т на многообразии Ai(£, f)) замкнуты. Тогда пространство листов слоения J- есть торическое многообразие Vq(¿j, где q(£) — рациональный веер в пространстве t/p(i)) с решеткой N/(N Пр(Ц)).

В разделе 4.3 строится модель когомологий Дольбо многообразий М(Е, fj), на которых листы канонического слоения замкнуты и изоморфны друг другу. В этом случае многообразие М(Е, t)) является главным расслоением над полным неособым торическим многообразием:

Теорема 4.3.5. Предположим, что листы канонического слоения J- на многообразии М(Е, i)) есть свободные орбиты действия компактного комплексного тора Т = Н'/ (Н П Н') комплексной размерности I. Тогда имеется главное голоморфное расслоение Т —> М(Е, [}) —> причем

я;-'*(м(£, J,)) = Н[С[ы,.. .,vm]/(lsR+Jq{^ A(ei'°, • ■ ■ ■ ■ чЩ'

(4.6)

где дифференциал задан на элементах ^' S Н^ (7") и продолжен на всю алгебру по правилу Лейбница: = тс(£,1,0) € 1(Vr9(S)).

Раздел 4.4 посвящен построению трансверсально-кэлеровых форм на многообразиях М(£, f)). Подобные формы являются эффективным инструментом при изучения геометрии некэлеровых многообразий. Приведенная конструкция идейно воспроизводит схему построения проективного вложения торических многообразий, отвечающих выпуклым многогранникам. В качестве иллюстрации построена трансверсально-кэлерова форма на многообразиях Хопфа.

Теорема 4.4.6. Рассмотрим многообразие М(Е, [)). Предположим, что веер q(E) является слабо нормальным. Тогда для любого к £ N на многообразии М(Е, [}) существует форма ujjr класса гладкости Ск, являющаяся трансвер-сально-кэлеровой относительно канонического слоения Т на открытой плотной Tq /Н-орбите.

В разделе 4.5 изучается геометрия "типичных" многообразий М(Е, F)), то есть при "общем" выборе подпространства f) С tc- При помощи канонического слоения J- и трансверсально-кэлеровой формы ыу, в случае ее существования, доказывается, что типичные многообразия М{Е, f)) не допускают непостоянных

мероморфных функций и содержат лишь конечное число аналитических подмножеств положительной размерности. Таким образом, с этой точки зрения, компактные комплексные многообразия с максимальным действием тора оказываются близки комплексным торам и поверхностям Хопфа.

Теорема 4.5.9. Предположим, что линейная оболочка веера Е С t совпадает с t. Тогда на многообразии М = М(Е, F)), снабженном общей комплексной структурой, существуют лишь постоянные мероморфные функции.

Теорема 4.5.10. Для общей комплексной структуры на многообразии М(Е, fj) верно, что если веер q(Е) слабо нормален, то все аналитические подмножества положительной размерности являются замыканиями Tg/H-орбит.

Список публикаций

1. Устиновский Ю. М. Операция удвоения многогранников и действия тора // Успехи метем, наук. 2009. Т. 64, № 5(389). С. 181-182. arXiv:0909.1050.

2. Устиновский Ю. М. Гипотеза о торическом ранге для момент-угол комплексов // Матем. заметки. 2011. Т. 90, № 2. С. 300-305. arXiv:0909.1053.

3. Panov Т., Ustinovsky Y. Complex-analytic structures on moment-angle manifolds // Mosc. Math. J. 2012. Vol. 12, no. 1. P. 149-172. arXiv: 1008.4764.

4. Устиновский Ю. M. О почти свободных действиях тора и гипотезе Хоррок-са // Дальневост. матем. журн. 2012. Т. 12, № 1. С. 98-107. arXiv:1203.3685.

5. Устиновский Ю. М. Геометрия компактных комплексных многообразий с максимальным действием тора // Труды МИАН. 2014. Т. 3.

6. Устиновский- Ю. М. О моделях колец когомологий пространств с действием тора // Успехи метем, наук. 2014. Т. 69, № 4(418).

Научное издание

Устшшвский Юрий Михайлович

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук на тему: Топология и геометрия комплексных многообразий с максимальным

действием тора.

Подписано в печать 05.06.2014. Тираж 100 экз.

Отпечатано в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН Москва, 119991, ул. Губкина, 8