Некоторые свойства многообразий полных пар нульмерных подсхем алгебраической поверхности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Конструкция многообразий полных пар Гладкость Х2з.

§0. Конструкция.

§1. Проверка гладкости Х23.

1.0. Касательное пространство к многообразию в точках

1.1. Алгоритм для базисов.

1.2. Вычисления.

1.3. Специализации.

Глава 2. О топологии схем Гильберта II,1 нульмерных подсхем в Р2 при малых ё.

§0. Общий подход.

§1. Клеточные разбиения 11,1 в случае малых длин.

1.0. Действие тора на

1.1. Клеточное разбиение Н2.

1.2. Клеточное разбиение Я3.

1.3. Клеточное разбиение Я4.

1.4. Клеточное разбиение Н5.

Глава 3. О топологии многообразий полных пар Хг, нульмерных подсхем в Р2 при малых ¿1, ¿2.

§0. Общая ситуация.

§1. Клеточное разбиение Х\з.

§2. Клеточное разбиение Х22.

§3. Клеточное разбиение Х2з.

Глава 4. О топологии схем Гильберта и многообразий полных пар Х^а2 нульмерных подсхем вР'хР1 при малых (¿1,

§0. Общая ситуация.

§1. Вычисления для схем Гильберта.

§2. Вычисления для многообразий полных пар.

Глава 5. Детерминантное разрешение универсальной подсхемы

§0. Общая ситуация.

§1. Г и ранговое отображение Кодаиры-Спенсера.

§2. Построение изоморфизма £ х Я^ ~ Г,

В данной работе исследована проблема гладкости многообразия Х23 полных пар нульмерных подсхем длины 2 и 3 гладкой алгебраической поверхности, найден метод получения чисел Бетти многообразия Х^^ ПРИ условии, что последнее гладко, а поверхность допускает действие одномерного комплексного тора, и проведены вычисления в случае комплексной проективной плоскости и гладкой квадрики. Также рассмотрено детерминантное разрешение особенностей универсальной подсхемы в 5 х и показано, что оно изоморфно многообразию Хи

Пусть £ - гладкая неприводимая проективная алгебраическая поверхность над алгебраически замкнутым полем к нулевой характеристики, Н^ — ГПИг'б' - схема Гильберта нульмерных подсхем длины <1 (¿-точий) в Б. Длина нульмерной подсхемы определяется стандартным образом как = х{Ог)-Схема Hd параметризует всевозможные подсхемы 2 С 5, I(Я) = т.е. существует взаимно однозначное соответствие между подсхемами Z длины <1в5и точками 2 в Ил-, этот факт позволяет нам обозначать как 2 точку в Нл, если исключена путаница.

Известно [1,2], что схема Гильберта (¿-точий в <5 является гладким неприводимым многообразием размерности 2¿.

Теперь, следуя [3], образуем произведение Нd1 х Н(}2 и ограничимся открытым подмножеством в нем вида := приведены, Zdl П Zd2 =0}.

В каждой точке Zd2) € С? определено теоретико-множественное объединение Zd■L+d2 подсхем Zrl1 и Хг]2. Имеется рациональный морфизм : х #<¿2 - - #^+¿2, (0.1) корректно определенный на О как регулярное отображение сложения наборов точек: : (Zd1,Zd2) |—У Zdl+d2 = Zdx и Zd2

Минимальная конструкция, разрешающая морфизм (0.1) - многообразие полных пар Х^ь, - была построена в частном случае = 1,с?2 = <1 Г.Эллингсру-дом [4] и в общем случае А.С.Тихомировым [3]. Гладкость Хи доказана разными авторами различными методами в работах [3-5].

В работе Дж.Чи результат достигается локальными вычислениями. Разработанная ею техника, с некоторыми видоизменениями, использована в настоящей диссертации в комбинации с действиями тора, определенными локально, для доказательства гладкости многообразия Х23.

В [4] использовано действие максимального тора в вЬ(3) на Р2 х где Hd - схема Гильберта с? -точий проективной плоскости.

В [3] доказательство гладкости Хц, основано на изучении рангового отображения Кодаиры-Спенсера в смысле Хиршовица [б]; здесь существенно то, что пучок идеалов Хг универсальной подсхемы Г С Б х Нл обладает двучленной локально свободной резольвентой.

Гладкость Х22 доказана А.С.Тихомировым в уже цитированной работе, где им получены уравнения слоя морфизма Х22 //2 х //2 над наиболее специальной точкой. Там же им сформулирована гипотеза о гладкости многообразий полных пар Х^¿2 для любых с1\, ¿¿

Настоящая диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы (25 названий).

1. Тимофеева Н.В. Группы гомологий многообразия полных пар хз нульмерных подсхем длины 1 и 3 проективной плоскости. Яросл. гос. пед. ун-т. -Ярославль, 1999. 11 с. Рус. Деп. в ВИНИТИ, 04.06.99. №1815 - В99.

2. Тимофеева Н.В. Группы гомологии многообразий полных пар Х22 и Х2з• Яросл. гос. пед. ун-т. Ярославль, 1999. - 52 с. Рус. Деп. в ВИНИТИ, 07.10.99. №3017 - В99.

3. ТИМОФЕЕВА H.B. О топологии схем Гильберта и многообразий полных пар X^d-, нульмерных подсхем в Р1 х Р1 при малых dx, d2. Яросл. гос. пед. ун-т. Ярославль, 1999. - 21 с. Рус. Деп. в ВИНИТИ, 07.10.99. №3019 - В99.

4. ТИМОФЕЕВА Н.В. Детерминантное разрешение универсальной подсхемы в S х Hd+i- Яросл. гос. пед. ун-т. Ярославль, 1999. - 10 с. Рус. Деп. в ВИНИТИ, 07.10.99. №3018 - В99.

5. ТИМОФЕЕВА Н.В. Гладкость многообразий Х2з и Х24 полных пар нульмерных подсхем длины 2, 3 и 4 алгебраической поверхности. В сб.: Тезисы докладов 6 конференции молодых ученых. Яросл. гос. пед. ун-т. - Ярославль, 1998. С.403 - 405.

6. ТИМОФЕЕВА Н.В. О топологии некоторых многообразий полных пар нульмерных подсхем проективной плоскости. В сб.: Тезисы докладов 7 конференции молодых ученых. Яросл. гос. пед. ун-т. - Ярославль, 1999. С.

7. BRlANgoN J. Description de HilbnC{x, у} // Invent.Math. V.41. 1977. P. 45 89.

8. ELLINGSRUD G., STR0MME S.A. On a cell decomposition of the Hilbert scheme of points in the plane //Invent, math. V.91. 1988. P. 365 370.

9. ELLINGSRUD G., STR0MME S.A. On the homology of the Hilbert scheme of points in the plane //Invent.math. V.87. 1987. P. 343 352.

10. MATSUMURA H. Commutative algebra. New York:W.A.Benjamin Co.1970.

11. БУР БАКИ H. Элементы математики. Алгебра. Глава X. Гомологическая алгебра. М.: Наука. 1987.

12. ХартсхоРН Р. Алгебраическая геометрия. М.:Мир. 1981.

13. ТИХОМИРОВ A.C. Гладкая модель пунктуальных схем Гильберта поверхности // Труды Матем. ин-та им.В.А.Стеклова РАН. 1995. Т.208. С.318 334.

14. ДАНИЛОВ В.И. Алгебраические многообразия и схемы. "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 23 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР)". М., 1988, 172 302.