Спин-полиномы и доказательство гипотезы Ван де Вена тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

"Ч .)

, , .л

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСИТУТ им. В.А.СТЕКЛОВА

на правах рукописи

УДК 512.723

ПИДСТРИГАЧ Виктор Ярославович

Спин-полиномы и доказательство гипотезы Ван де Вена

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1995

Работа выполнена в Математическом институте им. В. А.Стеклова Российской Академии Наук

Оффициальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Аносов Д. В. доктор физико-математических наук,

профессор Куликов В. С. доктор физико-математических наук, профессор Тихомиров А. С.

Ведущая организация — Самарский Государственный Университет.

Защита состоится *......" .................... 1996 г. в...... часов на заседании специализированного совета Д 02.38.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Математическом институте им. В. А.Стеклова РАН по адресу.

117333 Москва, ул Вавилова 43.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Математического института.

Автореферат разослан "....."..............................1996 г.

Ученый секретарь спецсовета, доктор ф.-м. н.

Минеев М.П.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В 1982 году С.Дональдсоном была создана новая область современной геометрии - исследование и классификация С°°-гладких (с точностью до диффеоморфизма) структур на четырехмерных многообразиях. Он предложил использовать пространство решении нелинейного дифференциального уравнения в частных производных на многообразии X, уравнения авто дуальности, как источник информации о гладкой структуре самого многообразия X. Этот подход оказался очен плодотворным и в следующие годы принес много результатов о возможных формах пересечения на пространстве вторых гомологии многообразия о наличии нескольких

(в отдельных примерах и счетного числа) гладких структур на одном топологическом 4-многообразии (напомним, что таковых может бють не более счетного числа) и других (см. [2,3,4]). Уже на раннем этапе развития этой теории возникли гипотезы из области классификации гладких 4-многообразий, хотя и не было никаких свидетельств того, что существуюая техника позволит дать сколько-нибудь полный ответ на этот вопрос. Удалось однако показать, что гладкие алгебраические поверхности не могут быть разложены в связную сумму ДВУХ 4-многообразий удовлетворяющих условию (-XV) > 1,»' = 1,2. Это дало повод предположить, что алгебраические поверхности являются теми элементарными кирпичиками из которых, с помощью операции связной суммы, можно получить все гладкие 4-многообразия. Эта гипотеза, хотя она и оказалось в дальнейшем неверной, вместе с тем обстоятельством, что гладкие алгебраические поверхности являлись, за нееболышш исключением, единственными известными гладкими 4-многообраэиями, привело к необходимости определить какие из них недиффеоморфны. Легко было заметить, что эквивалентность с помощью диффеоморфизма более груба чем алгебро-геометрический изоморфизм. Так, например, очевидно, что две гладкие поверхности, связанные непрерывной деформацией в классе гладких же поверхностей, диффеомофны. Есть, однако же, алгебро-геометрический инвариант, достаточно грубый для того, чтобы он мог быть инвариантом гладкой структуры. Это - размерность Кодаиры. В 1986 году Вак-де-Вен сформулировал соответствующую гипотезу ([17]):

Гипотеза Ван де Вена:

Кодаировская размерность одпосвязной алгебраической поверхности является инвариантом ее гладкой структуры

Туре5еЬ Ьу Лд^'ВДС

Размерность Кодаиры к алгебраической поверхности может принимать следующие значения:

1 . к — —оо - рациональные поверхности.

2 . к = 0. Если такая поверхность односвязна, то это - поверхность типа КЗ.

3 . к — 1. Эллиптические пучки.

4 . к = 2. Поверхности общего типа.

Важные частные примеры были доказаны в серии работ Р.Фридмана и Дж.Моргана ([5]). Ими был разобран случай односвязных эллиптических поверхностей, т.е. поверхностей Долгачева. (размерность Кодаиры равна нулю). Поскольку поверхность типа КЗ не может быть даже гомеоморфной односвязной поверхности иной кода-ировской размерности, оставалось сравнить лишь поверхности общего типа и рациональные (здесь и в дальнейшем, говоря о 4-мпогообразиях или алгебраических поверхностях, мы подразумеваем лишь односвязные).

С другой стороны, важный элемент Дональдсояовской конструкции - пространство модулей антиавтодуальных связностеи - допускал достаточно хорошую интерпретацию для алгебраических поверхностей. Поляризация Я алгебраической поверхности задает вложение в проективное пространство и, тем самым, метрику дц - прообраз метрики Фубани- Штуди. Дональдсоном ([4]) была доказана следующая

Теорема. Пространство модулей неприводимых антиавтодуальных связностеи на расслоении Е на гладкой проективной алгебраической поверхности для Ходжевой метрики ди, определяемой поляризацией Н, совпадает с пространством модулей стабильных расслоений, топологически эквивалентных Е.

Пространства модулей стабильных раслоений хорошо изучены в алгебраической геометрии. Однако прямые вычисления с ними достаточно сложны и реально возможны лишь в частных случяах, даже если речь идет о небходимой для полинома Дональдсона информации о кольце когомологий (Гизекеровской компактификации) пространства модулей. Таков например случаи поверхности Барлоу, для которой можно обойтись нульмерным многообразием модулей: [8] (поверхность Барлоу), [10] (однократное раздутие поверхности Барлоу), [11] ( произвольная поверхность общего типа 5 с квадратом канонического класса равным единице: А'| = 1). Однако если вычет К% ф 1 тов& то многообразие модулей стабильных расслоений не может иметь размерность ноль.

Это обстоятельство и привело к необходимости создания новой системы инвариантов - спин-полиномов. Для вычисления этих инвариантов у алгебраических поверхностей нужны не пространства модулей стабильных расслоений, а модули стабильных расслоений с сечением.

В [13] была построена новая система инвариантов, т.н. спин-полиномов, более удобных для вычисления на алгебраических поверхностях. В этой работе гипотеза Ван де Вена была доказана для минимальных поверхностей общего типа. Позже З.Чин получил частичные результаты в этом направлении используя полиномы Дональдсона ([15], [16]). Наконец в [12] были получены формулы склейки для спин- 2

полиномов, позволяющие вычислить их для связной суммы Х#СР в терминах спин-полиномов для X. Это вместе с результатами [РМ] (сформулированными в удобном

виде также в анонсе [б]) дало возможность свести случай произвольной поверхности общего типа к случаю минимальной и тем самым доказать гипотезу. Недавняя работа Фридмана и Чина [7] содержит иное доказательство гипотезы Ван де Вена, использующее полиномы Дональдсона.

Цель работы

1 . Построить новую систему инвариантов четырехмерных гладких многообразий -спин-полиномов, и разработать схему их вычисления.

2 . Доказать с помощью этих инвариантов гипотезу Ван де Вена.

Общая методика исследований.

Для построения новых инвариантов используется пространство (модулей) решении системы нелинейных дифференциальных уравнений на четырехмерном многообразии - уравнения антиавтодуальности связности и уравнения Дирака. Методы нелинейного анализа используются для теорем о строении и структуре этих пространств решений. Когомологические вычисления на пространствах модулей используют обобщение техники Фултона (относительный класс Сегре подсхемы, канонический класс схемы) на фредгольмов случаи. Вычисление спин-полиномов для связной суммы многообразий использует метод склейки решений дифференциальных уравнений.

Доказательство гипотезы Ван де Вена, основанное на формуле для спин-полинома связной суммы, использует технику Фридмана-Моргана для камерной структуры на рациональных-поверхностях.

Научная новизна Основные результаты диссертации являются новыми

Практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в теории гладких структур на алгебраических поверхностях и произвольных гладких четырехмерных многообразиях.

Апробация.

Результаты докладывались на следующих конференциях и семинарах:

1 . Международная конференция по алгебраической геометрии (г.Ярославль, 1994 год).

2 . Международная конференция по алгебраической геометрии (г.Кайзерслаутерн, 1994 год).

3 . Семинар отдела алгебры МИРАН им. В.А.Стеклова под руководством И.Р.Шафаревич (1994 год).

4 . Семинар по гладким четырехмерным многообразиям Билефеяьдского Университета под руководством С.Бауера (1994 год).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в двух работах [12,13] (одна из них в соавторстве), которые приведены в списке литературы.

СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

В первой главе диссертации строится система спин-инвариантов гладкого 4-шюгооб] X со 5'|«'пс - структурой С и 50(3) -расслоением Е на нем. Выбор такой Бртс -структуры есть выбор пары таких комплексных эрмитовых расслоений что

Тс = (Ж-)* ® (ИГ+^ЛеЦУГ*) = С.

Зафиксировав на линейном расслоении С некоторую эрмитову связность Уо стандартным образом строим соответсвующий оператор Дирака

и оператор Дирака, скрученный с эрмитовой связностью а на расслоении Е:

' : ® Е) Г(\У~ ® £)•

Таким образом получаем (калибровочно эквивариантное) семейство фредгольмовых операторов на пространстве всех и(2) -свяэностей на Е.

Рассмотрим теперь пространство пар (оу< <т >) Эйнштейн-Эрмитовых связностсй а и прямых < <7 > таких, что скрученный оператор Дирака имеет нетривиаль-

ное ядро и прямая < <т > лежит в комплексном векторном пространстве Это пространство - пространство модулей пар, обозначаемое в дальнейшем

МР^(С,С1(Е)МЕ))

играет в определении спин-инвариантов ту же роль, что модули антиавтодуальных связностей в определении полиномов Дональдсона. Следующие свойства указанного пространства модулей делают возможным построение спин-инвариантов:

1 . Объединение (Д^) -МР3^ пространств модулей по всем метрикам д и всем связностям V на расслоении С является банаховым многообразием при подходящем пополнении в соболевских нормах (Теорема трансверсальности). В сочетании с теоремой Сарда-Смейла это обеспечивает гладкость пространства модулей МР3'^ в точках, соответствующих классам неприводимых связностей, для общих метрики д и связности V и существование гладкого (в неприводимых связнрстях) бордизма между двумя такими пространствами МР9'^ и МР3 .

2 . Множество всех метрик, для которых модули МР содержат приводимые связности, то есть связности с нетривиальной калибровочной симметрией, есть объединение подпространств коразмерности т.н. стенок . Классы приводимых связностей являются особыми точками пространства классов связностей и есть описание линка особенности приводимой связности в простейших случаях.

3 . Имеется локальная модель Куранинш и выделенная ориентация пространства модулей пар в гладких точках.

Свойство 1 и теорема Сарда - Смейла гарантируют, что в случае Ь^Х) > 0 пространство МР3'^ является многообразием для общей метрики д и связности V. Размерность его равна

\ИтМР9'':!{С,с1{Е),С2{Е)) = -3(С1{Е)2 - 4са(Я))/2 - 3(1 + Ь+(Х)) - (С + сх(Е))2¡2 - з1дп(Х) - 2. Существует гомоморфизм групп

/1: Я2(Х,0) -+ Н2(МР3'*,®)

задаваемый произведением-пересечением с классом Понтрягина рДЕ) универсального расслоения Е на произведении X х :

МЕ)=Р,(Е)/Е.

Произведение когомологических классов вида ^{¡/¿(Е,-),» = 1, ...,сИтМР3^ /2 исчезает как класс когомодогпй на концах епй(МР5,7) многообразия модулей, что дает возможность определить спаривание с относительным фундаментальным классом. Это спаривание

1

является полиномом от переменных Е; € Нг(Х,0) и называется спин-полиномом.

Теорема. Спин-полином не меняется при деформации метрики, если только путь в пространстве метрик не пересекает стенку. Следовательно спин-полином не зависит от метрика при Ь^(Х) > 1 и зависит лишь от комбинации рх(а8Е) = С1(Е)2 — 4с2(Е),С -1- а(Е) классов С, ^{Е), С2(Е), что и отражено в обозначениях.

Случаи Ь^(-Х) = 1, который будет нас интересовать в приложениях, отличается тем, что спин-полином зависит еще и от т.н. камеры в пространстве метрик, т.е. от компоненты связности дополнения к объединению всех стенок. В некоторых интересных для приложения случаях эта зависимость более проста и может быть сформулирована в терминах так называемого отображения периодов. Это отображение сопоставляет метрике д, однозначно определенную прямую гармонических 2-форм, автодуальных в метрике д.

Теорема. Пусть рг(Е) > —7 или рг(Е) = -8,«;2(В) ф 0. Тогда спин-полиномы зависят лишь от того в какую камеру в пространстве периодов Р(Н+ ) - проективи-зации положительного конуса, формы пересечения И) - попадет метрика при

отображении периодов.

При этих условиях будем использовать обозначение с+с^Е) с подчеркивая

зависимость от камеры С в пространстве периодов.

Во второй главе приводится интерпретация предыдущих конструкцийдля многообразия с ходжевой метрикой дц, т.е. для гладкой алгебраической поверхности 5 с поляризацией Н, в терминах алгебраической геометрии. По теореме Дональдсона (см. [4]) пространство неприводимых антиавтодуальных связностей на расслоении находится во взаимно однозначном соответствии с пространством стабильных алгебраических структур на этом расслоении. Ядро скрученного оператора Дирака изоморфно сумме нулевых и вторых когомологий алгебраического расслоения.

Таким образом возникает задача описания пространства пар о состоящих

из (полу)стабильного расслоения и прямой в пространстве сечений этого расслоения (описание модулей М.Ро,\ с условием к2 ф 0 сводится К предыдущему с помощью двойственности Серра). Пространство модулей таких пар в общности, достаточной для применений, описало в гл.2 и в [14]. Модули получаются цепочкой бирацяо-нальных преобразований из из некоторой подсхемы т.н. стандартного проективного расслоения ) на пространстве Гильберта НйЬл8 поверхности 5.

Подобное описание пространства модулей даег возможность используя определение вычислить спин-поляномы лишь в том случае, если пространство модулей высечено трансверсально, т.е. пространство препятствий в модели Кураниши пусто. По теореме о трансверсальности мы можем гарантировать это лишь для общей метрики. Ходжева же метрика дл совсем не обязана быть общей. Однако для ходжевой метрики пространство модулей имеет дополнительную структуру - структуру схемы. В главе III описывается как по схеме модулей и некоторым расслоениям на ней вычислить спин-пол ином. По существу здесь явно определяется цикл в схеме модулей, гомологичный фундаментальному классу многообразия модулей для общей метрики.

Содержание этой главы есть обобщение техники Фултона деформации к нормальному коническому расслоению к схеме на бесконечномерный случай. Вводится понятие фредгольмова нормального конуса в точке к схеме модулей в пространстве калибровочных классов всех алгебраических структур на нашем расслоении. Он является подковусом касательного пространства к пространству всех алгебраических структур и моделируется как произведение банахова подпространства конечной коразмерности и конечномерного подконуса, определяемого конечномерной моделью Кураниши. Для фредгольмова подконуса определен относительный класс Сегре и он может быть вычислен через канонический класс схемы (по Фултону) и характеристические классы определенных виртуальных индексных расслоений.

В результате получаемая формула для упомянутого фундаментального класса пространства модулей МРд^у, в случае когда оно компактно и виртуально нульмерцо (т.е. рассматриваемые спин полиномы имеют степень ноль) аналогична формуле Фултона [19]:

[МР"'^'} - [с„(т«Ш © тсГО) П (сап(МР

Здесь д(, V,- общая деформация параметров, е > 0, тйА1, гп(И) - индексные виртуальные расслоения деформационного комплекса Атьи и семейства скрученных операторов Дирака соответственно, сапУ - канонический класс схемы У определенный в [19] через классы Сегре виртуального нормального конического расслоения к У, ь.Итп - виртуальная размерность, знак (—1)'' определяется четностью численного индекса скрученного оператора Дирака.

Если модули М.Р.,. некомпактны, необходимо рассмотреть их компактифнкацию Гизекера, включающую пары состоящие из полустабильных пучков без кручения с сечением. В случае, когда вычисляемый полином имеет ненулевую степень формула имеет вид:

[П^е, Г\МР>'^'] = [с,(»'п<Ш ® ШТ>®) П (сап(МР1,а) 4- {-\усап(МР 0,1)} п.ИгпМР,

где £, переменные полиномов, - циклы, двойственные классам

Правая часть указанной формулы зависит лишь от схемной структуры модулей и указанных виртуальных расслоений. Оказывается, что вложение открытой части модулей в пространство проективного расслоения является схемным вло-

жением. Более того, образ этого вложения, состоящий из стабильных расслоений, выделяется как нули сечения некоторого расслоения на Р(£'с1'1+А-5.) которое совпадает с виртуальным расслоением в правой части вышеприведенной формулы. Таким образом, для вычисления пространства модулей и спин-полинома достаточно найти бирациональную модель пространства так, чтобы существовало регуляр-

ное отображение пространства модулей в него и модифицировать соответствующим образом универсальное расслоение. Это удается сделать для односвязных алгебраических поверхностей общего типа.

Указанная выше схема применяется для вычисления спин-полиномов минимальных поверхностей общего типа с целью различить гладкие структуры на таких поверхностях и гомеоморфных им рациональных. Классы Черна расслоений и поляризация выбираются таким образом, чтобы наличие сечения О Е или отображения Е Кд, задающего нетривиальный класс в Н2(Е), было эквивалентно нестабильности самого расслоения Е. Таким образом пространства модулей оказываются пустыми, а соответствующие спин-полиномы - нулевыми. В то же время для минимальных поверхностей общего типа они нетривиальны. В рамках предложенной автором схемы можно использовать спин-полиномы нулевой степени. А.Н.Тюрин сводит задачу о вычислении последних к вычислению классов Сегре стандартных расслоений

вньэ*

для малых <1 (А.Н. Тюрин, см. [13], гл.4). Последние проделаны А.С.Тихомировым и Т.Л.Трошиной в [18]. Другой подход доказательства нетривиальности спин-полиномов для минимальных поверхностей общего типа состоит в использовании того факта, что пересечение эффективных подвижных дивизоров У53 на модулях есть эффективный цикл ( см. [14]). В этом случае выбор большого Сг(Е) гарантирует гладкость пространства модулей почти всюду. В изложенных подходах важную роль играет также следующее

Предложение. Предположим, что существует диффеоморфизм 5Г —> Зтд рациональной поверхности и минимальной поверхности общего типа. Тогда существует такой автодиффеоморфизм ф : 5Г 5Г ', что {Ф1)*Кздт = ~Кдг.

Доказательство использует классификацию подрешеток в решетках типа (1,п), га = 9 — Кдт < 8, см. [9].

Следующий шаг посвящен вычислению спин-полинома связной суммы некоторого многообразия X и СР , что соответствует раздутию алгебраической поверхности (глава IV). Здесь используются стандартные результаты о поведении антиавтодуальных связностей на многообразии Х^СР1 с метрикой </< в которой цилиндр, соединяющий два многообразия имеет фиксированный диаметр и длину I,при < —> оо (см.¡3,4]). Автор описывает поведение гармонических вектор-спиноров, т.е. решений скрученного уравнения Дирака, в этом случае для некоторых 8ртс-структур. Имеет место следующая

Лемма. Пусть Е,С -расслоение п 5ргпс - структура на многообразии Х#СР2 также, что сужение (с\ (Е) + С)= ке, где е -порождающая когомолопш СР2 и —3 < к < 3. Если для любой антиавтодуальпой в метрике £| оо связности существует ненулевой гармонический вектор-спинор з; (будем полагать, что он имеет единичную длину), то предельная связность ах на многообразии X также имеет ненулевой гармонический всктор-спивор.

Доказательство использует формулу Вейценбёка и положительность скалярной кривизны СР со стандартной метрикой. Эта лемма дает возможность построить покрытие пространства модулей пар элементы которого сконструированы из открытых множеств модулей на А' п СР и некоторых параметров склейки. В некоторых случаях этого достаточно для вычисления спин-полинома, в терминах 7*.

Именно, имеет место следующая ,

Теорема. Пусть к£1.,к< 0;ш £ Н2(Х,7,),Ии...,Т,с1 <Е Н2{Х,Ъ) где 2d = -3/2к - 3(1 + #(*)) + Н2/2 - 8%дп(Х)12 - 2 > 0.

Тогда.

= 7*^(21, Ъ^Т^и- е) =7^(2!,...,

Далее следует непосредственно доказательство гипотезы Ван де Вена. Для того, чтобы применить формулы склейки, нужно привести гипотетический диффеоморфизм / : 5г —вд рациональной поверхности и поверхности общего типа к некоторому стандартному виду посредством композиции с автодиффоеморфпзмом рациональной поверхности. Обозначим через 8дт минимальную модель поверхности общего типа и через набор классов когомологйй двойственных к исключительным кривым на Бд. Следующая лемма была сформулирована в похожей форме в анонсе [6].

Лемма. Пусть имеется диффеоморфизм как выше. Тогда существует такое частичное сдутие 5' л такой диффеоморфизм ф : 5Г —Зг, что морфизм

(/ФГ(Я2(5дт)) = (/*)*/< = е,-.

Доказательство является небольшой модификацией аргументов [5].

Теорема. Поверхность общего типа не может быть дпффеомпрфна. рациональной.

Доказательство. Пусть / - такой диффеоморфизм. Будем считать, что он имеет

указанный выше вид. В параграфе 4 доказано, что существуют классы к € H*(Sgm),u> 6

H2(Sgm) и камера в пространстве периодов С такие, что

Применяя формулу склейки 1 получаем противоречие:

0 Ф Ъ^с = 7~ ^/ч^+Е'-.-./'с* ~ Yk,r*j*c = 0. References

1. S. Donaldson, The orientation of Yang-Mills moduli spaces and 4 -manifold topology, J. diff. geom. 26 (1987), 397-428.

2. S. Donaldson, Polynomial invariants for smooth 4 -manifolds, Topology 29 (1990), 257-315.

3. S. Donaldson, Differential topology and complex variables, Arbeitstagung Proceedings 1990 (3990).

4. S. Donaldson and P. Kronheimer, The geometry of 4 -manifolds, Oxford Univ. Press, 1990.

5. Friedman R. and Morgan J.W., On i/ie diffeomorphism types of certain algebraic surfaces. I, II, J. DifF. Geom. 27 (1988), 297-369.

6. Friedman It. and Qin Z., The smooth invariance of the Kodaira dimension of a complex surface, Mathematical Research Letters. X (1994), 369-376.

7. Friedman R. and Qin Z., On complex surfaces diffeomorphic to rational surfacesalg-geom/ 9404010.

8. D. Kotschick, On manifolds homeomorphic to СР2#%СР'Л} Invent, math. 95 (1989), 591-600.

9. M. Kneser, Klassenzahlen definiitven quadratischer Formen, Arch, fur Math 3 (1957), no. 4, 241-251.

10. Okonek C. and Van de Ven A., T-invariants associated to FU(2)-bundles and the diffcrentiable structure of Barlow surface, Invent. Math. 95 (1989), 602-614.

11. Пидстригач В.Я., Деформация инстантонных поверхностей, Изв. АН. Сер. матем. 55 (1991), по. 2, 318-338.

12. Пидстригач В.Я., Некоторыее формулы склейки для спин-полиномов и доказательство гипотезы Ван де Вена, Изв. РАН. Сер. матем. 58 (1994), по. 6, 105-122.

13. Пидстригач В.Я., Тюрин А.Н., Инварианты гладкой структуры алгебраической поверхности, задаваемые оператором Дирака, Изв. АН. Сер. матем. 56 (1992), по. 2, 279-371.

14. Тюрин А.Н., Спин'полиномиальмые инварианты гладких структур на алгебраических поверхностях, Изв. АН. Сер. матем. 57 (1993), по. 2, 125-164.

15. Qin Z., Complex structures on certain differentiate 4-f^anifolds, Tbpology. 32 (1993), 551- 566.

16. Qin Z., On smooth structures of potential surfaces of general type homeomorphic to rational surfaces, Invent. Math. 113 (1993), 163-175.

17. Van de Ven A., On the differentiable structure of certain algebraic surfaces, Sem. Boiirbaki. 667 (1986).

18. A. S. Tikhomirov and T. L. lYoshina, Top Segre classes of standard vector bundles over Hilbert schemes, Manuscript deposited at VJNITI May 15th 1991, 504—91 (1991).

19. W. Fulton, Intersection theory, Springer, Berlin, 1984.