Старший класс Сегре стандартных векторных расслоений на схеме Гильберта Hilb4 S алгебраической поверхности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ЯРОСЛАОСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ рр^ ПЕДф^)ГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. К.Д.УШИНСКОГО

На правах рукописи

3 П ДОГ 1993 УДК 512.723

ТРОШИНА ТАТЬЯНА ЛЬВОВНА

СТАРШИЙ КЛАСС СЕГРЕ СТАНДАРТНЫХ ВЕКТОРНЫХ . РАССЛОЕНИЙ НА СХЕМЕ ГИЛЬБЕРТА НИРЭ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

(01.01.06 - матемлпгчсскал логика, алгебра и теория чисел)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации ва соискание ученой степепи капдвдатафгакко-математичсских паук

Лрослаоль • 1993

Работа выполнена на кафедре алгебры физихо-ма^еиатическо-го факультета Ярославского государственного педагогического института им. К.Д. Уцшнского

Научный руххводитель

доктор физико-мг>.тематических ваук, профессор Тихомиров Александр Сергеевич

Офшгаальвыо оппоненты

доктор физико-математических ваук, ведущий научнцЦ сотру ДШ1К

Тюрин Андрей Николаевич

кандидат физико-математических наук К а р г о в Борис Викторович

Ведущая организация - Самарский государственный университет

Защита состоится " ^ " C¿H/7<,¿éjHeZ\О ЭЗ года в па

заседании специализированного Совета. К.113.27.01 при Ярое-лавском государственном педагогическом институте по адресу: 150000, г. Ярославль, ул. Республиканская, 108.

С диссертадисН можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного педагогического института.

Автореферат разослав * JL" ЛЛ^УГ^ 1993 г.

Ученый секретарь -

специализированного совета, /

кандидат физико-математических ваук /([ь, ,/ В.Г. ШевдеровскнЙ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Диссертация относится к одному из Интенсивно разливаемых направлений алгебраической геометрии - исчислнтедъний геометрии. Многие задачи исчислительной геометрии приводят к формулам кратных точек. Хорошо известны формулы ¿-кратных точек для d ш 2 и 3, где d - коразмерность соответствующего морфизма /: .ЯГ—-У (см., ншример, [1]). В случае, когда X - гладтсая алгебраическая кркзая ели поверхность, формула ¿-кратных точек может быть применена к нахождению ¿-сек&нтных линейных подпространств к X. вложенной (или погруженной) в проективное пространство У = Р". Так, формула двойных точек дает число 5} двойных точек поверхности в Р4, & формула тройных точек - число 6s трисекапт гладкой поверхности S = f(X} в Р*. Формулы дли i» и S» получают естественное истолкование на схемах Гильберта Ht = HUI/'S нульмерных подсхем длины d р S (d ш 2, 3). А именно, (ц и <5j есть степени старших классов Сегре; так называемых стандартных векторных расслоений на схемах Гильберта HH&S и HilPS. Более общо, как показано A.C. Тихомировым в (3), число 64 ¿-секущих

поверхности S «Д p"-i равно степени старшего класса Сегре соответствующего стандартного расслоения па ШWS. В диссертации с помощью этой конструкции мы решаем задачу нахождения степени старшего класса Сегре стандартного пек-торного расслоения на HiU/S при d =» 4, т.о. вычисляем точное значение Эта задача салзлна с новейшими исследованиями на стыке алгебраической геометрии и топологии гладких многообразий. А именно, А.Н. Тюриным и В.Я. Пид-стрйгачом а (2) была сведена новая система инвариантов гладкой структуры • 4-ыорного многообразия X, подлежащего ©дпосвязной комплексной алгебраической поверхности . 5. В

1

[6], [7] ета система инвариантов развит* в концепцию гак виы-ваегсых спин-полиномов, ш полиномов на решетке В?(Х,Ъ). Как показало в [2], задача вычисления слив-полиномов в ряде случаев сводится к задаче вычисления степеней £+

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью диссертация является получение точной формулы для многочлена б,, выражающего степень старшего класса Сегре стандартного векторного расслоения £р на схеме Гильберта НИЪ^Б алгебраической поверхности 5 через инварианты х, у, г, ш плры ($,0з{0)), где О -дивизор на Я, х = (О3), у «=(£ • К в), г — *а(5)> » т (Я|). Для этого в диссертации разработав специальный метод, основанный на изучении многообразия СН, заметаемого кордами поверхности 5, вложенной в проективное пространство Р", ЛГ>10.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА диссертации состоит в том, что и вей:

1. Получена формула для многочлена б4(х,1/,*,ш), выражахо-щего степень старшего класса Сегре в* стандартного рас- : слоения £р на схеме Гильберта ЯШ*5 алгебраической поверхности 5;

2. Разработаны и реализованы два метода - метод 1-сгру1! и метод двойного раздутия - вычисления класса собственного' прообраза многообразия СЬ хорд поверхности Б С

N > 10, в кольце пересечений А{Р) раздутая Р* вдоль 5; -

3. Вычислены обобщенные проективные характеристики многообразия хорд СИ и многообразия касательных ТТя поверхности 5 в Р";

4. Получена- общая формула 4-кратных точек морфизма произвольной коразмерности.

2

ПРй1«ГКЧЕС!{ЛЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ. Работа посхгг теоретический характер. Ее результаты могут применяться при вычислениях а колъцпд пересечепл!} схем Гильберта точек на алгебраической аоперхпостп, при пахождепяа зпачспиЫ снип-поллномоэ для специальны.* поверхпостеУ, а также для зкачислеаиН проестишшх характеристик иулыисекапэтас; 1010-Гообразий поверхности и проективном пространстве.

АПРОБАЦИЯ. Результаты диссертация докладывалась па семинарах во алгебр аачесхой геометрии а ЯГПИ и па шак-дусародпо'Л копферепцпц по алгебраической геоиетрта п Ярославле (август 1992 г,).

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано дао работы [!), [5].

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

СТРУКТУРА. РАБОТЫ. Диссертация состоит из впедеигах, орех глав и списка дптсратури, содержащего 23 наяыенопанпя.

Во введешпт дастся мотиазиропка исследовал«! и краткое изяояйяие содерккшкя диссертация.

? ' Гласа I, состоящая ш трех параграфов, содер>хпт предааря-тельзио опраделсаия и ужз изпестгшс результаты, пеобходшша Для дальнейшей работ. В § 1 дастся опредслевето стапдартпого ззектораого . рассло'епшг на схеме Гильберта алгебраической йогерхяоети. Пусть 5 - гладкая кспрхгпэдгшгя прсекткяиал аагсбра2Чосг«я поверхность. над С, ¿л С ПИЬ48 *3 - упл-

псрсавьпоз семейство с проекхдоллл Б М. Ж ИИЬ% О -

фпЕС!фОп,*гпшл дивизор на £ Расслоспне я^т^О^-О)

3

называется стандартным векторным расслоением на Hilt'S. Затем в § 1 дается постановка задачи о вычислении степени 6«, в. также сформулирована теорема A.C. Тихомирова из [3] об общей виде 64 как многочлена с рацаональншга коэффициентами от инвариантов х,' у, г, № поверхности S и изложена схема его доказательства. Здесь же приведены выражения для классов Сегре стандартного векторного расслоения для случая d.= 2 11 точная, формула для Jj.

Две. следующих параграфа главы I носвйщены обзору традиционных методов нахождения степеней циклов мультисекант алгебраической поверхности S в Р", N 2 4. А именно, з § 2 'лздожен фухзециональный метод, разработанный П. Ло Барцем, а в § 3 дан обзор вариантов метода кратных точек, основанный на работах С. Клеймана. В § 3 та&ке приведены формулы 4-кратных точек для коразмерности морфх<зма п в 1, 2, 3 и затем о теореме - 1 выведена общая формула 4-кратшлх точек, дающая ответ на вопрос о нахождении цикла пц в кольце пересечений А(Х) 4-кратных то-с* собственного вммерешшого морфизма схем /: ЛГ—»K

Во второй главе диссертации, состоящей га четырех параграфов, излагаются основные конструкции для вычисления многочлена 64(я,у,ш,ш) « / *t(Sp). Итоговый результат втоМ

я,

главы - теорема 2 - даст следующее точное выражение для о«:

6t(x,V,t,w) » i(«4 — 60«® — 30х*у — 6х*х + 11962*+

+ Юбаху+гголх+б^ю+тз^+зо^з+а»*-- Т920*- 9042»- 1944z -1356w).

4

В §"1 главы П разрабатывается метод хорд для вычисления степени / которая согласно (3) pasas, числу 4-секущих

Bt

2-плоскостей гладкой неприводимой алгебраической поверхности S, вложенной в Р'°. Пус-л Ch С Р10 - многообразие, заметаемое хордами S. Особенности Ch распадаются пк две компоненты: 5 и 6, где S состоят из конечного чдела точек {sj,...,»i/} в Pw таких, что через каждую точку *i» 1 < i < */, проходят две различные хорды поверхности S, которые пересекают ее в парах различных точек, таким

образом, п -л/.

Для вычисления м рас cita цивается раздутие а : Р——Р1а

поверхности 5 п_Р19. Пусть Ch - собственный прообраз СЛ

npü <7, i/: Х-—-Ch - отображению нормализации, if : Ch «-» Р

- естественное вложение. Тогда м = jdegm», где та - цикл двойных точек тшерсяи ft*i?o v, к

(ПАХ] - ъ{гтр/тх))

что приводит к нужному результату. Далее п § 1 в леммах 2 -4. и утверждении 1 дается, обоснование описанной конструкции.

Затем d §§2 и 3 главы II вычисляется^ первый член из формулы для dsgmj, точнее, класс /.{Я] = (C/í] d кольце А(Р) в предположении, что S пложена в простралстзо Р"-1, п £ 11,

- см. теорему 3. . Для этого доказывается вспомогательная лемма 5, дающая формулу класса собственного прообраза многообразия при раздутия.' Согласно пенни 5

где j'.D'-tP - естественное вложение исключительного диви-

5

эора О рлздутиа а в Г', г - СкПИ Ы Б £ с^ОЬ/з^.

Основную трудность представляет вычисление класса [2] о А{2?). Лдя в того и §§ 1 и 2 разработан метод 1-струй, который состоит в том, что рассматривается раздутие <гу:П—Р™"1 х5 вдоль У = При етом сначапа. вычисляется класс собственного прообраза 5x5 относительно </,, а затем к полученному результату применяется г., гдо г : П—- структурный морфизм. Окончательное зычпсдепио дьет:

" И"'

где

а = (ж - 4){£>),

Д = (<с(П-3)-4П)А+'(Х-12)#, 7 - (("I^~4(з))^ + ((»-»>* "

(здесь Я «/Л®. Дв - структурный

морфнзм, К^о'Кз, И7. 0*= И', »

<?*?з(5), На основанля вроведетшх пычлслеппй в

утвсрзкдешя! 2^2 находится стсаеяь

В § 3 глыщ П проведено вцчислспио класса, |2] с А{Э) со методу даойиого раздутия, тех: самым осущоствлсяа проверка

полученных формул для (2]. Гсометрпчосст истод двойного

раздутия послойно над фиксированной точкой о £ 5 означает •

6

помпогяцлю проекции 5 яз точки в я затем результата втой проекция из исключительной прямей.

В утверждении 3 § 4 вычисляется второй "утен из формулы для degtm, т.е. / с»(/*Г/>/Т*). Лля удобства сначала

х

вычисляется fVet(f'Tp/Tx), где Х = Х х ^ и У Hil&S

TT:Tt—~X -двойное нажрытие, а затем находится J Ci(f'Tr/Tx)

' JT

как В вычислениях степени ifci{f'Tr/Tx)

К

используется стандартная' техника работы с хочтамя последовательностями.

В § 1 глапы III вынесены формулы индексов пересечения на Щ (теорема 4), используемые при вычислении Jjfc^fTp/Tx).

У

©ти индексы с геометрической точки зрения могут рассматриваться как обобщенные проективные характеристики многообразия хорд Ch и многообразия касательных ТТ8 к поверхности S а Р", п ^ 10. § 2 главы Ш яллястся . приложением я приведен для удобства чтения диссертации. В псы воспроизводится доказательство вышеупомянутой теоремы A.C. Тихомирова из (3], являющейся основой для геометрических конструкций п вычислений, изложенных в диссертации. >

Аатор выражает признательность A.C. Тихомирову за постоянное внимание и помощь в работе.

7

ЛИТЕРАТУРА

1. S. KLEIMAN. Multiple-point fоттеки Л: the HUbert scheme. Lecture notea in Math., 1436,. Springer-Veriag, Berlin, 1990.

2. В.Л. ПИЛСТРИГАЧ, A.H. ТЮРИН. Инварианты $л*д*ов структуры алгебраической понсрхности, злдаваемне оператором Дирака. Извести* РАН, Сер. магем. 66, N 2 (1992), 279 -371.

3. AS. TIKHOMIROV. Standard bundle* on a tfifiwrt scheme of point$ on a surface. Proceedings of the algebraic geometry conference, Yaroslavl', August, 1992.

4. A.S. TDmOMIROV, Т1/. TROSmNA. Top Segre das» of a standard' vector bundle S*D on the Bi&crt scheme Ililb'S of a surface. Proceedings of the algebraic geometry conference, Yaroelavl*, August, 1992.

б. Т.Л. ТРОШИНА. Степень cmapusc-O класса Сегра' стандартного векторного расслоения на cxesif Гильберта Uilb*S алее' браической. поверхности S. Известия РАН, сер. waxем. 67, N О (1993).

6. A.N. TYIJRIN. Almost canonical polynomials of algebraic surface. Proceedings of the algebraic geometry conference, Yaroslavl', August, 1992.

7. A.H. ТЮРИН. Спин-полипомиальныс инвариант*, гладких структур, на алгебраических пооерхкостят. Имес±вл -РАН.Сер. матем, 57, N2(1993).

—---' ' ......... "а ;

3.I987.T.I00.Типография ЯПЙ,