Об алгебраических циклах на расслоенном произведении семейств К3 поверхностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Никольская Ольга Владимировна

ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЦИКЛАХ НА РАССЛОЕННОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ СЕМЕЙСТВ КЗ ПОВЕРХНОСТЕЙ

01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005558614

Владимир 2014

005558614

Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии института прикладной математики и информатики, био- и нанотсхнологий ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых».

Научный руководитель Танкеев Сергей Геннадьевич

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты: Зак Фёдор Лазаревич,

доктор физико-математических наук, ФГБУН «Центральный экономико-математический институт РАН», ведущий научный сотрудник лаборатории м ате м ат! 1 ч ее ко й э ко н ом и к и

Кузьмин Леонид Викторович,

доктор физико-математических наук, ФГБУ «Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт"», ведущий научный сотрудник Института информационных технологий

Ведущая организация ФГВУН «Математический институт

имени В. А. Стеклова РАН»

Защита состоится 26 декабря 2014 г. в 14 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.002.03, созданного на базе ФГБОУ ВПО «Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова» по адресу: Российская Федерация, 150008, г. Ярославль, ул. Союзная, 144, ауд. 42G.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова» (150003, г. Ярославль, Полушкина Роща, 1) и на сайте ФГБОУ ВПО «Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова»:

http://www.rd.uniyar.ac.ru/upload/iblock/d9d/nikolskaya_kandidatskaya.pdf Автореферат разослан " " UOflGPA 2014 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

кандидат ф.-м. наук, доцент Яблокова Светлана Ивановна

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования и степень её разработанности

Пусть X - гладкое проективное d-мерное многообразие над нолем С комплексных чисел, и пусть H2{R(X, Q) - (¡^-подпространство в Н2'(Х, Q), порожденное классами когомологий clX(Z) € ff2'(X,Q) алгебраических циклов Z коразмерности i на X. Гипотеза Ходжа утверждает, что

H2JR(X, Q) = H2i(X, Q) П HU(X, C) где Н'щ'(Х, С) компонента типа (г, г) разложения Ходжа1

H2i(X,Q)®C= 0 Н""(Х,С). р+'1= 21

Напомним, что линейное отображение и* : H'(X,Q) —> Hj(X,Q) называется алгебраическим, если оно является ограничением отображения @kHk{X,Q) '= H*(X,Q) ->■ H*(X,Q) , индуцированного элементом Q-векторного пространства #*is(X х A', Q)2. Другими словами, отображение и* алгебраическое, если существует алгебраический цикл Z с коэффициентами в поле Q рациональных чисел (конечная формальная линейная комбинация с коэффициентами из Q замкнутых алгебраических подмногообразий на X х X), для которого и — dxxx(Z) и

u* : H*(X,Q) Н*(Х х X, Q) ^^ Н*(Х х X,Q) ^ Н*{Х, Q),

где ргъ pr2 : X х X —> X - канонические проекции, линейные операторы prj, рг2* определены формулами prî(w) = w ® 1 (1 е Q = H°(X,Q)), pr2t(cl.v(x) ® w) = w {x G X - некоторая точка, cl*(я) G H2d(X, Q) -образующая 1-мерного пространства H2'l(X,Q), w G Hk(X,Q) и pv2*(Hk(X,Q) ® Hj(X,Q)) — 0 для к Ф 2d, причем по теореме Кюннета Н*(Х x X, Q) = Нк(Х, Q) ® W{X, Q)).

Пусть H - гиперплоское сечение многообразия X (сечение X гиперплоскостью проективного пространства Р" Э X). Обозначим через L оператор Лсфшсца на Н*(Х, Q), определенный формулой Lx = clх{Н) ^ х. Согласно сильной теореме Лсфшсца отображение

Ld~' : H'(X,Q) -»■ H2d'\X,q)

'Hodge W. V.D. The topological invariants of algebraic varieties. Proceedings of International Congress of Mathematicians. 1952. V. 1. P. 182-192.

2Kleiman S.L. Algebraic cycles and the Weil conjectures. Dix exposés sur la cohomoloyie des schémas. North-Holland, Amsterdam; Masson, Paris, 1968. P. 359-386.

является изоморфизмом для любого г < d. Пусть A'l~' : H2d~'(X,Q) Hl(X, Q) изоморфизм, обратный к Ld~l. Если для всех г < d изоморфизм Ad~' алгебраический, то говорят, что для X верна стандартная гипотеза Гротендика В(Х) типа Лефнгеца3.

Для j > 0 имеется примитивное разложение Лсфшеца:

Н*(Х,®)= 0 ЬкР^~2к(Х),

k>max(0yj—d)

где Pl(X) = Н\Х, Q) П Кег Ld~i+l (г < d) - примитивная часть Н'(Х, Q)4. В частности, любой элемент х G Н^Х, Q) однозначно записывается в следующем виде:

X = LkXj-2fc,

k>?nax(0,j—d)

где Xj-2k € Pj~2k(X). Это разложение позволяет определить абстрактный оператор степени —2:

Ах = J2 Lk~l*i-ïk-

k>max(l,j—d)

Стандартная гипотеза Гротендика В(Х) типа Лефшеца утверждает, что оператор Л алгебраический5. Обозначим через СЛ двойственный оператор для L в классической теории Ходжа6. Тогда

сАх= k(d-j + k+1 )Lk~1xj-2k

A,>nmx(l, j—d)

и гипотеза В(Х) эквивалентна алгебраичности СЛ7.

Гипотеза В{Х) эквивалентна алгебраичности абстрактного оператора *, определенного формулой

*х = Y2 (-1 )и-2к)и~2к+1)/2Ь^+кх^2к.

k>max(Q,j-d)

Из В(Х) слезет гипотеза D(X) о совпадении численной и гомологической эквивалентностей алгебраических циклов на X. Более того, В(Х)

3Grothendieck A. Standard conjectures on algebraic cycles. Algebmic Geometry, Internatioal Colloguium (Bombay, 1968). London: Oxford University Press, 1969. P. 193-199.

4Чжэнь Ш.-Ш. Комплексные многообразия. M.: Иностранная литература, 1961. 240 с.

5 Grothendieck A. Standard conjectures on algebraic cycles. Algebraic Geometry, Internatioal Colloguium (Bombay, 1968). London: Oxford University Press, 1969. P. 193-199.

еГриффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. М.: Мир, 1982. 2 т.

7Kleiman S.L. Algebraic cycles and the Weil conjectures. Dix exposés sur la cohomoloijie des schémas. North-Holland, Amsterdam; Masson, Paris, 1968. P. 359-386.

D{X x X) и B(X) => С(Х), где С(Х) утверждает алгебраичноеть компонент Кюннета класса диагонали Ад- X8. Кроме того, В(Х) эквивалентна полупростоте Q-алгсбры .А(Х) алгебраических соответствий9.

Стандартная гипотеза В(Х) типа Лсфшсца верна для многообразий Грасс-мана, кривых, поверхностей и абслевых многообразий10, а также для всех гладких 3-мсрных проективных многообразий размерности Кодаиры < 3 (называемых также 3-мерными многообразиями неосновного типа)11. В частности, она верна для всех комплексных 3-мсрных эллиптических многообразий. Кроме того, В{Х) выполняется для голоморфных симплектических многообразий, являющихся деформациями точечных схем Гильберта КЗ поверхностей 12, а также для некоторых 4-мерных эллиптических многообразий 13 и компактификаций минимальных моделей Нерона14.

С другой стороны, D{X) верна для многообразий размерности не более 415 и для потенциально простых абслевых схем простой относительной размерности над гладкой проективной кривой16. Наконец, С(Х) верна для всех гладких проективных многообразий над конечными полями17. Все эти гипотезы совместимы с моноидальными преобразованиями вдоль замкнутых гладких неприводимых центров18. С другой стороны, И. Андрс свел гипотезу Ходжа для абслевых многообразий к стандартной гипотезе В(Х) для всех абслевых схем 7Г : X —> С над гладкими проективными кривыми19.

8Kleiman S.L. Algebraic cycles алн1 the Weil conjectures. Dix exposes sur ¡a cohomologie des schémas. North-Holland, Amsterdam; Masson, Paris, 1968. P. 359-386.

9Танкеев С.Г. О численной эквивалентности алгебраических циклов на потенциально простых абелевых схемах простой относительной размерности. Известпия РАН. Серия математическая. 2005. Т. 69. > 1. С. 145-164.

10Kleiman S.L. Algebraic cycles and the Weil conjectures. Dix exposés sur lu cohomologie des schémas. Xorth-Holland, Amsterdam; Masson, Paris, 1968. P. 359-386.

"Танкеев С.Г. О стандартной гипотезе типа Лефшеца для комплексных проективных трехмерных многообразий. II. Известия РАН. Серия математическая. 2011. Т. 75. .V 5. С. 177-194.

12Charles F., Markman Е. The standard conjectures for holomorpliic symplectic varieties deformation equivalent to Hilbert shemes of КЗ surfaces. Compositio Mathematika. 2013. V. 149. Л» 3. P. 481-494.

,3Танкеев С.Г. О стандартной гипотезе для комплексных 4-ыерных эллиптических многообразий. Известия РАН. Серия математическая. 2012. Т. 76. 5. С. 119-142.

1 'Танксеп С.Г. О стандартной гипотезе для комплексных 4-мерных эллиптических многообразий и компактификаций минимальных моделей Нерона. Известия РАН. Серия математическая. 2014. Т. 78.

1. С. 181-214.

15Lieberman D.I. Numerical and homological equivalence of algebraic cycles on Hodge manifolds. American Journal of Mathematics. 1968. V. 90. » 2. P. 366-374.

1сТанкеев С.Г. О численной эквивалентности алгебраических циклов на потенциально простых абелевых схемах простой относительной размерности. Известия РАН. Серия математическая. 2005. Т. 69. > 1. С. 145-164.

17Katz N.M., Messing W. Some consequences of the Riemann hypothesis for varieties over finite fields. Inventioncs Muthcmaticae. 1974. V. 23. .V1 1. I'. 73-77.

18Танкеев С.Г. Моноидальные преобразования и гипотезы об алгебраических циклах. Известия РАН. Серия математическая. 2007. Т. 71. > 3. С. 197 224.

,9André Y. Pour une théorie inconditionnelle des motifs, institut de s Hautes Etudes Scientifiques Publications Mathématiques. 1996. V. 83. P. 5-49.

Цели и задачи

Целью настоящей работы является доказательство гипотезы Ходжа и стандартной гипотезы типа Лефшеца для расслоенного квадрата гладкого проективного неизотривиального семейства К3 поверхностей над гладкой проективной кривой при условии, что ранг решетки трансцендентных циклов на общем геометрическом слое семейства является нечетным простым числом; гипотеза Ходжа доказана для расслоенного произведения двух неизо-тривиальных семейств К3 поверхностей (возможно, с вырождениями) над гладкой проективной кривой С при условии, что для любой точки s кривой хотя бы один из слоев семейств над этой точкой не имеет особенностей, ранг решетки трансцендентных циклов на общем геометрическом слое первого семейства является нечетным числом, отличным от ранга решетки трансцендентных циклов на общем геометрическом слое второго семейства.

Научная новизна

В работе впервые исследованы алгебраические циклы на расслоенном произведении двух 1-параметрических семейств КЗ поверхностей (с вырождениями) над гладкой проективной кривой в свете гипотезы Ходжа и стандартной гипотезы В{Х) Гротендика.

Все полученные в работе результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость

Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и могут найти применение в алгебраической геометрии, диофантовой геометрии и теории чисел. Они могут быть полезны при чтении специальных курсов студентам математических факультетов университетов.

Методология и методы исследования

В работе используются методы теории Ходжа, развитые в работах П. Дслиня20 и С.Цуккера21.

Положения, выносимые на защиту

1. Доказательство гипотезы Ходжа и стандартной гипотезы типа Лефшеца для расслоенного квадрата гладкого проективного неизотривиального семейства К3 поверхностей над гладкой проективной кривой при условии, что

20Делинь П. Теория Ходжа. II. Математика. Сборник переводов иностранных статей. 1973. Т. 17. У> 5. Р. 3-56.

21 Zucker S. Hodge tlieory with degenerating coefficients: i2 cohomology in the Poincaré metric. Armais of Mathematics(2). 1979. V. 109. .V 3. P. 415-476.

ранг решетки трансцендентных циклов на общем геометрическом слое семейства является нечётным простым числом.

2. Доказательство гипотезы Ходжа для расслоенного произведения двух неизотривиальных семейств Л'З поверхностей (возможно, с вырождениями) над гладкой проективной кривой С при условии, что для любой точки я кривой хотя бы один из слоев семейств над этой точкой не имеет особенностей, ранг решетки трансцендентных циклов на общем геометрическом слое первого семейства является нечётным числом, отличным от ранга решетки трансцендентных циклов на общем геометрическом слое второго семейства.

Степень достоверности и апробация работы

Результаты исследования прошли апробацию наследующих конференциях:

- Международная конференция но дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2-7 июля 2010 года),

- Международная конференция по математической теории управления и механике (Суздаль, 1-5 июля 2011 года),

- Рождественская математическая встреча с П. Делинем 8-10 января 2012 года, посвященная ХХ-летию Независимого Московского университета,

- Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 29 июня - 4 июля 2012 года),

- Международная конференция по математической теории управления и механике (Суздаль, 5-9 июля 2013 года),

- Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам,(Суздаль, 4-9 июля 2014 года).

Публикации автора

По тематике исследования опубликовано 8 работ, в том числе три работы в журналах из перечня ВАК ведущих рецензируемых научных журналов и издании, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-матсмати-ческих наук.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из оглавления, введения, трёх глав, содержащих 14 параграфов, заключения и списка литературы из 40 наименований. Текст диссертации изложен на 104 страницах.

Краткое содержание работы

Основные результаты диссертации:

1. Доказательство гипотезы Ходжа и стандартной гипотезы тина Леф-шеца для расслоенного квадрата гладкого проективного неизотривиального семейства К3 поверхностей над гладкой проективной кривой при условии, что ранг решетки трансцендентных циклов на общем геометрическом слое семейства является нечётным простым числом.

2. Доказательство гипотезы Ходжа для расслоенного произведения двух неизотривиальных семейств КЗ поверхностей (возможно, с вырождениями) над гладкой проективной кривой С при условии, что для любой точки в кривой хотя бы один из слоев семейств над этой точкой не имеет особенностей, ранг решетки трансцендентных циклов на общем геометрическом слое первого семейства является нечетным числом, отличным от ранга решетки трансцендентных циклов на общем геометрическом слое второго семейства.

Глава 1 содержит обзор работ и основных результатов по теме диссертации, известных из литературы. В этой же главе приводятся основные понятия и обозначения, используемые в диссертации.

В § 1 приведены краткие сведения о группах и алгебрах Ли (включая классификацию простых алгебр Ли над нолем С комплексных чисел), а также их линейных представлениях.

В § 2 рассматриваются классические результаты о структурах Ходжа, группах Ходжа и классах Пуанкаре.

В § 3 изучается точная последовательность рациональных структур Ходжа

О -> Я2(С, Д"-2тг,<Ш Кег[Я"(Х,(2) Н°(С, Д"тг„<й] -> Я1 (С, Я'1"1 тг„<® О,

индуцирования спектральной последовательностью Лере.

В § 4 приведены некоторые сведения о КЗ поверхностях и поверхностях Куммера, дано определение группы Ходжа КЗ поверхности.

В § 5 обсуждаются эквивалентные формулировки стандартной гипотезы В(Х) типа Лефшеца, гипотезы О(Х) о совпадении численной и гомологической эквивалентностей алгебраических циклов на X, гипотезы С(Х) об алгебраичности компонент Кюннета класса диагонали.

В § 6 рассматриваются фундаментальная группа кривой, представление монодромии, высшие прямые образы /?г7г„<0> постоянного пучка (Ц).

В главе 2 содержатся доказательства основных результатов диссертации:

Теорема 1. Пусть тт: Хи —> С (к = 1,2) - проективное неизотри-виалыюе семейство КЗ поверхностей (возможно, с вырождениями) над гладкой проективной кривой С. Предположим, что множества = {5 € С | ^ 0} (к = 1,2) не пересекаются.

Если для общих гсомстпрических слоев Х\„ и Х2„ выполнены следующие условия:

(i) rankNS(Xi,s) является нечётным числом;

(ii) rankNS(Xi.s) + rankNS(X2.,),

то для любой гладкой проективной модели X расслоенного произведения Х\ Хс X<i верпа гипотеза Ходжа об алгебраических циклах.

Если, кроме того, морфизмы тт\ и 7Г2 гладкие, pk = 22 — rank NS(Xts) (k = 1,2) - нечётные простые числа и р\ ф рг, то для Х\ Хс Х2 верна стандартная гипотеза Гротендика об алгсбраичносгпи операторов * и А теории Ходжа.

Здесь общность точки s G С означает, что она принадлежит множеству

С\ Afouiitablci ГЛС ^countable " СЧСТНОС ПОДМНОЖССТВО, ЗаВИСЯЩСС ОТ семейств 7Tfc;

мы можем также предполагать, что функции s i-> rank NS(A0,:s) (k = 1,2) постоянны на множестве С \ Асоип1аые-

Теорема 2. Пусть С - гладкая проективная кривая над полем комплексных чисел, 7Ti : Х\ —> С - гладкое проективное неизотривиальное семейство К3 поверхностей, причем для общего геометрического слоя Xi„ число 22 — rankNS(Xi,s) = pi является нечётным простым. Тогда для расслоенного квадратна X = Xi Хс Xi верпы гипотеза Ходжа и стандартная гипотеза Гротендика В(Х) типа Лехршеца об алгсбраичпости операторов * и Л теории Ход'лса.

В § 7 рассматриваются некоторые дополнительные сведения, восходящие к Ю.Г. Зархину, о группе Ходжа КЗ поверхности и се линейном представлении в 2-мсрных когомологиях.

Пусть S гладкая проективная поверхность типа К'Л. Рассмотрим разложение Ходжа

H2(S,Q) Щ С = HZ0(S,C) ф Я1Л(5, С) © Я0,2(5, С),

где HM(S, С) - пространство гармонических форм типа (р, q). Известно, что H2-°(S,C) Я°(5,П|), Htl2(S,C) ^ H2{S,Os) являются одномерными пространствами над С.

Пусть U1 = {е'в\О £К}- единичная окружность. Определим се действие в H2(S, Q)®qC следующим образом: еш действует на HM(S, С) как умножение на число е'в^'~ч\ В итоге мы получаем морфизм групп

U1 Л GL(H2(S,Q)®@R),

где h(e'e)(w2.Q + w>u + Щ>.я) = e2,ew2x) + + e~2,ffw0,2 на пространстве H2(S,Q)0q С.

По определению, группой Ходжа К3 поверхности S называется наименьшая алгебраическая Q-подруипа Hg(S) <-> GL(#2(S, Q)), группа М-точск которой содержит h(iJl).

По теореме Лсфшеца о дивизорах имеем:

H2(S,Q)Hs<5> = я2(зд п я1,1 (5, с) = ns(5) ®z q = nsq(s),

где NS(5') группа Нерона-Севери поверхности S, совпадающая с группой Пикара Pic(S'). Она порождается классами когомологий алгебраических кривых, лежащих на S.

Пусть NSq(5)± - ортогональное дополнение к NSq(S) в H2(S, Q) относительно билинейного спаривания

< , >: H2(S, Q) х H2(S, q) 'A,t>r я4(5, q) ^ q(-2) ^ Q.

Это Q—пространство транс!<ендентных классов когомологий в H2(S,Q) = NSq(S) © NSq(5)±. Из описания Ю.Г. Зархиным группы Hg(S') известно, что Нё(5)-модуль NSq^)1- простой и Е = E(S) = EndHg(5) NSq(S)-1- -вполне вс1цественное поле Ео = Eq(S) или мнимое квадратичное расширение вполне вещественного поля Ец. Пусть

ф : nsq(5)_l х nsq{S)1 Е

- спаривание, определяемое формулой

< ех,у > = tvE/Q^ea) для всех е G Е.

Если Е = Ео, то группа Hg(5) полупростая,

Hg(S) = Res^/QiSOCNSQiS)-1^)),

где Res£u/Q(so(NSQ(5)-L, Ф)) получается из Дггруппы SO(NSq(5)x, Ф) ограничением поля скаляров до Q. Лемма Шура и равенство

E®Q = endhg(s) nsq {S)1 ® q

дают разложение

NSQ(5)J-®Q = Vi ®---®Ve,

где e = [E : <Q>], Vi = Vi(S) (i =_l,...,e) - неприводимые попарно неизо-морфньюортогональные Hg(S) ® Q-модули, образ канонического морфизма Hg(S)<g)Q GL(VS) совпадает с SO(Vi), группа Галуа Gal(Q/Q) транзитив-но переставляет Vi,...,Ve. Следовательно,

с

Hg(S)®Q=> JJSO(Vi). i=i

Пара

(тип Lie Hg(5) ® Q, nsq(S)1 ® q) 10

принимает одно из следующих значений:

(Л! х • • • х Л! = А\, Е{2со[Х]) 0 • ■ • ® Е(, если dimV¿ = 3; (а1х-.-ХА1= Л2", Е(и>™ + ш<2)) ® • • • © + ш<2е))) ,

если dim V¿ = 4; (вп х • • • х Вп = В1, E{J¿]) © • ■ • © ,

если dimV¿ = 2n+l, п > 2; (Д, х • • • х Dn = Dl, EiJV) ф • • • © Е(ш[е))) , если dim V¡ = 2п, п> 3,

где через обозначается стандартное неприводимое представление со

старшим весом (в обозначениях Н.Бурбаки) г-го простого фактора типа А\,Вп или Dn полупростои алгебры Ли LieHg(S) <g> Q.

Лемма Г.А. Мустафина22. Пусть р : д —> End{j V — точное Q-nenpu-водимос представление Q-полупростой алгебры Ли ц, и пусть <7с = х ... х де — разложение на простые факторы комплексификации д, где е = diniQ(Z(Endy У)), Z(End,,I^) — центр алгебры Endy V. Тогда алгебра Ли g Q-npocma.

Согласно лемме Мустафина, алгебра Ли LieHg(5) является Q-иростой, если dimV; ф 4. Напомним, что Q-алгебра Ли называется Q-простой, если она не имеет нетривиальных идеалов, определённых Ha;;Q.

Предположим, что Е ф Е{). Тогда Hg(S) = ReSi?l)/Q(U(NSQ(S)\Ф)), где U(NSq(5)j-, Ф) - унитарная группа ZJ-векторного пространства NSq(S)x относительно эрмитовой формы Ф23; другими словами, U(NSq(S')-l, Ф) = {A е GL(NSqÍS^/Eo) I Ф(Ах, Ay) = Ф(х, у) Ух Vy € NSQ(5)X}.

В этом случае легко проверить, что иолупростая часть Lie Hg(>S)ss <g> Q редуктивной алгебры Ли LieHg(S) <Э Q является произведением во = е/2 экземпляров простой алгебры Ли типа А,, (п > 1) и Lie Hg(S')ss ® Q-модуль NSq(S1)1 <Э Q допускает разложение

NSq(5)x ® Q = Е(сиÍ1') © EiujW) © • • • © Е(ш[е"]) © Е{ш£а)),

где Е(ш^) - стандартное неприводимое представление алгебры Ли типа Ап в (п + 1)-мерном пространстве над Q и = - представление,

22Мустафин Г.А. Семейства алгебраических многообразий и инвариантные циклы. Известия АН СССР. Серия математическая. 1985. Т. 49. 5. С. 948-978.

23Zarhin Yu.G. Hodge groups of A'.'i surfaces. Journal ¡ür ¡lie reine und angewandte Mathematik. 1983. V. 341. P. 193-220.

двойственное стандартному (оно изоморфно п-й внешней степени стандартного представления).

В § 8 содержится доказательство гипотезы Ходжа для расслоенного произведения X = Х\ Х-с Х2 двух семейств КЗ поверхностей при некоторых ограничениях на особые слои морфизмов ттк : Xk —> С и ранги групп Нерона-Севери общих геометрических слоев. Вычисления основаны на следующей лемме:

Лемма 8.2. Пусть : Хк —¥ С проективное псизотривиальиос семейство КЗ поверхностей (возможно с вырождениями) над гладкой проективной кривой, причем для точки s € С', общей в смысле Ходжа для каждого из семейств ттк : Хк —>■ С, выполнены следующие условия

(i) rankNS(Xis) является нечётным числом;

(ii) rank NS(Xis) ф rankNS(X2s).

Тогда

Homiri(c-s)(NSQ(X1,,)-L,NSQ(X2s)x) = 0.

Используя результаты С.Цукксра24, получаем точную последовательность Q-структур Ходжа

0 -»■ Я2(С,Q) H2(X,,q) -> H°(C,R27Tt,Q) -> о,

где Я2(С, Q) порождается алгебраическим классом cl^pffe,) слоя (и, следовательно, имеет тип Ходжа (1,1)).

Лемма 8.4. Рациональная структура Ходжа Я" (С, R2iTk*'Q) имеет тип (1.1).

Лемма 8.5. Имеем: H2{Xh,Q) = NSQ(Xfc), H2{X,Q) = NSq(X).

Согласно сильной теореме Лсфшеца Я4(Хд;, Q) = H2(Xk,Q) ^ clхк(Нь), где Iff, - гиперплоское сечение многообразия Xf:. Поэтому из леммы 8.5 следует, что пространство Я'(Хд:, Q) порождается алгебраическими классами когомо-логий.

Существует каноническое сюръсктивное отображение ограничения

NSQ(Xk) = H2(X,„Q) H\C',R24,Q) H2(Xks, <> = NSQ(Xb).

Поэтому элементы из NSq(Xj;;S) поднимаются до алгебраических классов из H2(Xk,Q). С другой стороны, элементы пространства ff4(Xts,Q)7ri'c",s' поднимаются до алгебраических классов из Л4(Х/-, Q), потому что каноническое отображение ограничения H4(Xk,Q) Я4(Хь, Q)771^''^ сюръективно по теореме Делиня25.

Пространство Я°(С", ßV'Q) порождается образами алгебраических классов в H4(X,Q), лежащих в NSQ№) - NSq(X2), H4(XuQ), H4(X2,Q),

21Zucker S. Hodge theory with degenerating coefficients: L2 cohomology in the Poincare metric. Annals of Mathematics(2). 1979. V. 109. M* 3. P. 415-476.

25Делинь П. Теория Ходжа. II. Математика. Сборник переводов иностранных статей. 1973. Т. 17. .Nli 5. Р. 3-56.

где ИБП}рОк) отождествляется с образом ^цзр^) при каноническом отображении : Н2(Х, Q), определённом проекцией X = Х\ хс Хч —> Хь и НА(Хк,0) отождествляется с образом Я4(Л^.,<0>) при каноническом отображении (¡£ : Н4(Хь,0) <-»• Н4(Х,<0). В частности, имеется точная последовательность рациональных структур Ходжа

О -»(гд/), \н2(г,®) П н1Л(г,с)} \н\х,®) п н22(х, с)]

-> Я°(С", -> 0.

Теорема Лсфшеца о дивизорах на гладком (возможно, несвязном) многообразии И показывает, что эта последовательность имеет вид

0 -> (гд/), ^д(Я) -»• [Н4(Х,®) п Я2-2(Х,С)] -> Н°(С, ^ж'М -> 0.

Поскольку Я°(С", Д47г^<9) порождается образами алгебраических классов на X, то Н4(Х, <0>) П Н2'2(Х, С) порождается классами когомологий алгебраических циклов коразмерности 2 на X. Значит, для X верна гипотеза Ходжа об алгебраических циклах.

В § 9 содержится доказательство гипотезы В{Х) в случае, когда морфизмы пк гладкие, числа рь = 22 — гапк^(Хь) (к = 1,2) - нечётные простые и VI Ф Р2■ Заметим, что рсуть ранг решётки трансцендентных классов когомологий на -Х^.

Используя идею доказательства теоремы 8.3 в работе Танкеева С.Г.26, можно легко показать, что существует алгебраический изоморфизм

Я1 (С, д6тг,<0) ^ Я1 (С, В27Г,®),

определённый алгебраическим классом 1,(с1ххсх(2)), ГДС 1 ■ X Хс X ^ X х X - каноническое вложение.

Значит, алгебраический класс с1ххсх(%)) даёт алгебраический изоморфизм

Н7{Х, 0)=>Я:!(Х, (12).

Кроме того, существуют алгебраические изоморфизмы

ни\х, (0) <Ш, ЯП(Х, <о>) щ н\х, <о>),

Я8(Х, <9) Н2(Х, Н\Х, ф) Н4(Х, (0),

определённые соответственно алгебраическими циклами Пуанкаре р(Н'(Х,®)) е [Я':(Х^) ® Н1(Х,*})]Аи«н,№'*У\

где Ф : Н'(Х,<0) х Я'(Х, О) д . форма 1КЫ1яризации на

X и группа АиЬ(Н'(Х, <Ц)), Ф)° диагонально действует на Н'(Х, О) ® Н'(Х, О)

26Танкеев С.Г. О стандартной гипотезе типа Лефшеца для комплексных проективных трехмерных многообразий. II. Известия РАН. Серия математическая. 2011. Т. 75. ."У* 5. С. 177-194.

(напомним, что по доказанному в § 8 пространства H2(X,<Q) и H4(X,Q) порождаются алгебраическими классами). Значит, В(Х) верна27.

В § 10 доказываются гипотеза Ходжа и стандартная гипотеза В{Х) для расслоенного квадрата X = Х\ хсХ2 гладкого неизотривиального семейства 7Ti : Xi —» С К3 поверхностей при условии, что р\ = 22 — rankNS(Xi.,) -нечётное простое число для общего геометрического слоя X\s.

Достаточно доказать гипотезу Ходжа для X = Х\ у.с Х\, потому что тогда гипотеза В(Х) легко проверяется с помощью метода из § 9.

Для общей о слшслс Ходжа точки s £ С пространство NSq(Xis)-l является абсолютно неприводимым Н^(Х"1,,)-модулсм28, поэтому группа

Hg(-Xb) = SO(NSq(X1.,))J", Ф)

- простая алгебраическая группа типа Bv.

Из результатов §8 имеем: H2(XUQ) '= NSq(Xi), H4(XuQ), H2(C,R27Ti*Q) и H2(X,Q) порождены классами алгебраических циклов.

Пространство Н4(Хls х Q) п Н2-2{Х\Я х Xls, С) порождается классами пересечений дивизоров и классом диагонали Да-,, х Хь (в частности, гипотеза Ходжа выполнена для Xis х Xis).

Заметим, что в силу результатов Окамото29 класс

с1х|яХл-,,(Ал'1а) G Н\Хи х Xls,Q)

не когомологичен сумме пересечений дивизоров с коэффициентами из Q. Значит, образ

c\XlXaX,(àXl) е Я4№ XcXuQ) = H4(X,Q)

при каноническом сюръсктивном морфизме Н4(Х, Q) —> Н°(С, R4irtQ) не когомологичен сумме пересечений дивизоров, потому что

H°(C,R47TtQ)=itf4(Xl5 х с H4(X1s х Xls,Q)

суть образ Н4(Х, Q) при каноническом морфизме ограничения

H\X,Q) Н4(Хи х Xls,Q).

Обозначим через Д^ диагональ в À'i Хс Х\ = X.

Отображение Н4(Х, Q) —> Я"(С, R47t»Q) сюръективно по теореме Делиня30.

27Kleiman S.L. Algebraic cycles and the Weil conjectures. Dix exposés sur la cohomologie des schémas. North-Holland, Amsterdam; Masson, Paris, 1968. P. 359-386.

28Танкеев С.Г. Об арифметике и геометрии общего гиперповерхностного сечения. Известия РАН. Серия математическая. 2002. Т. 66. Л» 2. С. 173-204.

29Okamoto M. On a certain decomposition of 2-dimensional cycles on a product of two algebraic surfaces. Proceeding of Japan Academy. Series A. 1981. V. 57. > 6. P. 321-325.

30Делинь П. Теория Ходжа. II. Математика. Сборник переводов иностранных статей. 1973. Т. 17. Л* 5. Р. 3-56.

Из этого результата следует, что Я()(С, Д47i\»Q) порождено образами пересечений дивизоров на X и образом класса с^хсхДДхЛ = clx(Axi) в Я°(С, Я47r*Q). Гипотеза Ходжа для X следует из того, что H2(C,R27r»Q) = Я2(С, R27Ti«Q) ® Я2(С, R27Ti*Q) порождается классами пересечений дивизоров на множителях расслоенного произведения X = Х\ Хс Х\ и, следовательно, на X.

В главе 3 мы доказываем следующие основные результаты: Теорема 3. Пусть ж^ : Хк —> С (к = 1,2) - проективные иеизотприви-алъные семейства КЗ поверхностей (возможно с вырождениями) над гладкой проективной кривой С. Предположим, что общие геометрические слои Xis удовлетворяют следующим условиям:

(i) кольцо EndHg(xla) NS^X^,)1 - мнимое квадратичное расширение поля Q,

(ii) rankNS(Xls) ф 18,

(iii) EndHg(x2s) NSq(X2S)± - вполне вещественное поле или rankNSpG.,) < rankNS(X2s).

Тогда для любой гладкой проективной модели X расслоенного произведения Х\ х<7 Х2 верна гипотеза Ходжа об алгебраических циклах.

Теорема 4. Для проективных неизотривиальных семейств Лк : Xк С КЗ поверхностей (возможно с вырождениями) над гладкой проективной кривойС предположим, что общие геометрические слоиХ^, X2s удовлетворяют хотя бы одному из следующих условий

(i) rank NSpfia) является нечетным числом, rank NS(Xi,) ф rank NS(X2.s);

(ii) rank NS(Xle) ф 18, EndHg(A'„) NS^Xb)1 = Q, rankNS(Xls) ф rankNS(X2.,).

Тогда для любой гладкой проективной модели X расслоенного произведения Х\ XqX2 верна гипотеза Ходжа об алгебраических циклах

Теорема 5. Гипотеза Ходжа верна для гладкой модели X расслоенного квадрата Х\ Xq Х\, сели семейство КЗ поверхностей тг\ : Х^ —С неизот-ривиальное и для общего геометрического слоя Xis выполнено хотя бы одно из следующих условий:

(iii) pi = 22 — rank NS(XiiS) - нечетное простое число;

(iv) rankNSpfi.) ф 18 и End„K(Xl>) NSq^.,)1 = Q.

Теоремы 3-5 можно рассматривать как важные шаги в доказательстве стандартной гипотезы Гротендика В(Х) (типа Лефшеца) об алгебраичности оператора Ходжа "звездочка" и гипотетического существования мотивного разложения Чжоу-Лефшсца для некоторых гладких комплексных проективных многообразий X, которое обсуждается в работе Виала31.

В § 11 рассматриваются представления монодромии, ассоциированные с гладкими семействами КЗ поверхностей.

31 Vial Ch. Projectors on the intermediate algebraic Jacobians. New York Journal of Mathematics. 2013. V. 19. P. 793-822.

11.2. Лемма. Если для общих геометрических слоев Xis,A^2., кольцо EndHR(A',,) NSq(Xis)J" - мнилюе квадратичное расширение поля Q, rankNS(Xis) ф 18, причём EndHg(x2„) NSq(A'"2S)"L - вполне вещественное поле или rankNS(X"i.5) < rankNS(X2s), то

Hom,l(C<,.,)(NSQ(Xls)J-,NSQ(X2s)x) = 0.

В § 12 изучается геометрия гладких моделей расслоенных произведений семейств КЗ поверхностей с умножениями из мнимого квадратичного поля и доказывается теорема 3.

12.2. Замечание. Если rank NS(A\,) / 18 и кольцо Егк1щ(л'|,,) NSq(A'is)x = К является мнимым квадратичным полем для некоторой точки s G С", общей в смысле Ходжа для гладкого семейства К3 поверхностей ж[ : Х[ —> С', то можно считать, что для любой точки t € С\Д<.0,шП,ъ1с имеется равенство

EndHfi№l) NS^Xu)1 = К.

В § 13 изучаются алгебраические циклы на гладкой модели расслоенного произведения семейств КЗ поверхностей и доказывается теорема 4.

13.3. Лемма. Пусть i■ Хк —у С проективное неизотривиальпое семейство КЗ поверхностей (возможно с вырождениями) над гладкой проективной кривой, причем для точки s 6 С', общей в смысле Ходжа для каэ/сдого из семейств тг^ : Хк —у с, выполнены следующие условия. rankNS(Xls) ф 18, EndHg№.) ^(Хь)1 = Q, rankNS(Xls) ф rankNS(X2.,).

Тогда Hom,l(c-,s)(NSQ(Xls)x,NSQ(A:2.s)±) = 0.

В силу леммы 13.3 точная последовательность

0 -»• (гд/)* H2(Z,Q) H4(X,Q) -> H\C',R\'№) ~> 0

рациональных структур Ходжа даст точную последовательностьQ-структур Ходжа

0 -»(¿д/). \H2(Z,Q) П Hl'\z, С)] -). [Н\Х,Щ П Я22(Х, С)] Я°(С",Д4TrlQ) -> 0.

Теорема Лефшеца о дивизорах на гладком (возможно, несвязном) многообразии Z показывает, что эта последовательность имеет вид

0 -> (гд/). NSq(Z) -> [Я4(Х,<0) п Я22(Х, С)] -»• Н"(С', flV.Q) -> 0.

По доказанному выше Я°(С", R47r^Q) порождается образами алгебраических классов на X, поэтому Я4(X,Q) П Я2'2(Х,С) порождается классами когомологий алгебраических циклов коразмерности 2 на X. Значит, для X верна гипотеза Ходжа об алгебраических циклах и теорема 4 доказана.

В § 14 аналогично доказывается теорема 5.

Заключение

Гипотеза Ходжа и стандартная гипотеза Гротендика (типа Лефшеца) являются наиболее интересными гипотезами современной алгебраической геометрии, поэтому развитие подходов к этим гипотезам является важной задачей.

На будущее желательно получить доказательство стандартной гипотезы для гладкой проективной модели расслоенного произведения двух 1-ирамет-рических семейств КЗ поверхностей (возможно, с вырождениями). Это потребует специальной техники разрешения особенностей расслоенного произведения. Основные идеи доказательств, по-видимому, могут быть усилены для решения более трудных задач. Таким образом, потенциал диссертации далеко не исчерпан.

Публикации автора по теме диссертации

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ

[1] Никольская, О.В. Об алгебраических циклах на расслоенном произведении семейств КЗ поверхностей /О.В. Никольская// Известия РАН. Серия математическая. - 2013. - Т. 77. - № 1. - С. 145-164.

[2] Никольская, О.В. О геометрии гладкой модели расслоенного произведения семейств КЗ поверхностей /О.В. Никольская// Математический сбор-пик РАН. - 2014. - Т. 205. - № 2. - С. 123-130.

[3] Никольская, О.В. Об алгебраических классах когомологий на гладкой модели расслоенного произведения семейств КЗ поверхностей /О.В. Никольская// Математические заметки. - 2014. - Т. 96. - № 5. - С. 738-746.

Другие публикации:

[4] Никольская, О.В. О геометрии расслоенного произведения двух гладких семейств КЗ поверхностей /О.В. Никольская// Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2-7 июля 2010 года). Тезисы докладов. - 2010. - С. 139-140.

[5] Никольская, О.В. Об алгебраических циклах на расслоенном произведении гладких семейств КЗ поверхностей /О.В. Никольская// Международная конференция по математической теории управления и механике (Суздаль, 1-5 июля 2011 года). Тезисы докладов. - 2011. - С. 150-152.

[6] Никольская, О.В. Об алгебраических циклах на гладкой модели расслоенного произведения семейств КЗ поверхностей /О.В. Никольская// Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 29 июня - 4 июля 2012 года). Тезисы докладов. — 2012. — С. 128-129.

[7] Никольская, О.В. О циклах на гладкой модели расслоенного произведения семейств КЗ поверхностей /О.В. Никольская// Международная конференция по математической теории управления и механике (Суздаль, 5-9 июля 2013 года). Тезисы докладов. - 2013. - С. 177-179.

[8] Никольская, О.В. Об алгебраических циклах на гладкой модели расслоенного произведения семейств КЗ поверхностей с вырождениями рационального типа /О.В. Никольская// Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, (Суздаль, 4-9 июля 2014 года). Тезисы докладов. — 2014. — С. 126—127.

Подписано в печать 24.10.2014. Формат 60 х 84 \ 16. Усл.печ.л. 1,16. Тираж 100 экз. Заказ 4251 Издательство Владимирского государственного университета имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых. 600000, Владимир, ул. Горького, 87. Отпечатано в издательстве "Первопечатник" 600005, Владимир, ул. Горького, 75.