Алгебро-топологические инварианты многообразий с действием групп Z/ ρ и T n тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение

1. Вычисление родов Хирцебруха многообразий в терминах действия группы Z/р

1. Кобордизмы, формальные группы и роды Хирцебруха.

2. Роды Хирцебруха и теорема Атьи-Зингера об индексе.

3. Обобщенная теорема Лефшеца о неподвижных точках (формула Атьи-Ботта) и приложения к действиям Z/p и родам Хирцебруха.

4. Вычисления для рода Тодда, эйлеровой характеристики и L-рода (сигнатуры)

4.1. Вычисления для эйлеровой характеристики.

4.2. Вычисления для рода Тодда.

4.3. Вычисления для L-рода (сигнатуры).

5. Общие результаты о вычислении родов Хирцебруха через инварианты действия Z/p.

6. Вычисления для А-рода и \^-характеристики.

6.1. Вычисления для А-рода.

6.2. Вычисления для ^-характеристики.

7. Связь с кобордизмами и уравнениями Коннера-Флойда.

8. Эллиптический род и приложения, связанные со специальными многочленами

9. Действия группы Z/p с неподвижными подмногообразиями, имеющими тривиальное нормальное расслоение (простые действия).

2. Описание множества классов кобордизмов многообразий, несущих простое действие Z/p

10. Кольцо U*(Z/p) эквивариантных кобордизмов со свободным действием Z/р и уравнения Коннера-Флойда

11. Образующие JV © Z/p-модуля Л(1) 0 Z/p и йц © Zp-модулей Ä( 1) Q Zp, AP(1)0ZP.

12. Описание множества классов кобордизма многообразий с простым действием Z/р и некоторые следствия

3. Применение методов алгебраической топологии для изучения действий тора на многообразиях, определяемых простыми многогранниками

13. Простые многогранники и их кольца граней.

14. Многообразия, определяемые простыми многогранниками

15. Спектральная последовательность Эйленберга-Мура.

16. Вычисление когомологий многообразия Zp

16.1. Аддитивная структура когомологий Zp.

16.2. Мультипликативная структура когомологий Zp.

Настоящая работа посвящена изучению алгебро-топологических инвариантов многообразий, допускающих действие циклической группы простого порядка Z/р или компактного тора Тп = (5'1)п.

Изучение действий группы Ъ/р (т.е. преобразований простого нечетного периода) — одно из классических приложений методов алгебраической топологии. С начала 60-х годов в задачах такого рода начинают применяться обобщенные теории когомологий. Одним из основных подходов к изучению действий конечных групп и торов на многообразиях становится применение теории кобордизмов. Основы этого подхода были заложены в монографии Коннера и Флойда [8], где в рамках теории кобордизмов были решены многие задачи теории неподвижных точек действий конечных групп на многообразиях и обозначены новые проблемы. Решению одной из таких проблем и посвящена глава 2 данной работы. Обширность применения методов теории кобордизмов в задачах о неподвижных точках объясняется ее геометричностью, которая позволяет описывать инварианты действия групп непосредственно в терминах классов кобордизмов неподвижных подмногообразий. Дальнейшее развитие этот метод получил благодаря применению аппарата теории формальных групп. Техника формальных групп была впервые применена в задачах о неподвижных точках действий конечных групп в работах С.П. Новикова [15],[16]. В работах A.C. Мищенко [12], [13] в наиболее общем случае описан класс кобордизма многообразия с действием Z/p через наборы весов в неподвижных подмногообразиях и предъявлен полный набор образующих кольца унитарных Z/р-кобордизмов. Важные результаты о действиях Z/p были получены применением теории формальных групп в работе Г.Г. Каспарова [7]. В наших исследованиях мы получаем ряд результатов, обобщающих результаты этой работы. Одной из первых работ, посвященных применению методов теории кобордизмов к S^действиям, явилась работа С.М. Гусейн-Заде [6]. В работе О.Р. Мусина [14] найдены образующие колец унитарных ¿^-кобордизмов и унитарных .^-кобордизмов без неподвижных точек. Метод формальных групп для изучения действий группы Z/p получил существенное развитие в работе В.М. Бух-штабера и C.II. Новикова [4], где были также получены первые результаты для родов Хирцебруха. многообразий с действием Z/p. Многие результаты Коннера и Флойда получили красивую и простую интерпретацию в терминах так называемой "формальной группы геометрических кобордизмов". Метод формальных групп оказался очень плодотворным и способствовал дальнейшему развитию взаимосвязей действий групп и алгебраической топологии. В наших исследованиях мы также в значительной мере опираемся на аппарат теории формальных групп.

Параллельно с применением теории кобордизмов и формальных групп развивался другой подход к изучению инвариантов действий групп Z/p, Sl и Тп на многообразиях, основанный на применении общей теоремы Атьи-Ботта о неподвижных точках [20], обобщающей классическую формулу Лефшеца, и теоремы Атьи-Зингера. об индексе эллиптического оператора [1]. Здесь естественно возникает вопрос о взаимоотношении результатов относительно действий групп, получаемых в рамках подходов теории кобордизмов и теории индекса. Первые важные результаты в этом направлении были получены в работе [4], где была описана связь формул, получаемых для рода Тодда многообразия с действием Z/p методами теории индекса и теории кобордизмов, с уравнениями К о н не р а- Ф л о й д а. В нашей работе мы также проводим анализ взаимосвязи результатов, получаемых в рамках двух подходов, и, в частности, обобщаем результаты [4] на случай произвольного рода Хирцебруха. Исследованию действий окружности в рамках теории кобордизмов и теории индекса, посвящена работа И.М. Кричевера [9].

Применение методов алгебраической топологии оказалось весьма плодотворным и при изучении специальных Тп-действий, известных как торические многообразия, а также в возникающих в связи с этим комбинаторных задачах, связанных с многогранниками. Торические многообразия возникли в алгебраической геометрии (см. [5]), и оказались весьма полезными благодаря применениям в теории многогранников и алгебраической топологии. В связи с этим перспективным представляется исследование этого специального типа, действий тора наработанными методами теории кобордизмов и теории индекса. Кроме того интерес представляет также другой специальный тип действий тора на многообразиях, определяемых комбинаторикой простых многогранников.

Далее мы перейдем к изложению основных результатов данной работы и описанию результатов других авторов, связанных с темой наших исследований.

Работа состоит из 3-х глав, включающих в себя 16 разделов. Нумерация теорем, лемм, предложений, следствий, т.д. начинается заново в каждом разделе. Нумерация формул начинается заново в каждой главе.

Глава, 1 посвящена вычислению родов Хирцебруха многообразий с действием группы Z/p. Для действий, имеющих конечное число неподвижных точек, в рамках теории индекса эллиптических операторов получены общие формулы, выражающие род Хирцебруха через инварианты действия — наборы весов в неподвижных точках. Ряд результатов обобщен на случай так называемых простых действий — когда, все неподвижные подмногообразия имеют тривиальные нормальные расслоения. Явные формулы приводятся для классических родов и для эллиптического рода. Описана связь полученных соотношений с результатами о неподвижных точках, нажученными в рамках теории кобордизмов, в частности с так называемыми уравнениями Коннера-Флойда. на наборы весов неподвижных точек.

Глава 2 посвящена изучению простых действий Z/p с точки зрения теории кобордизмов. Здесь приводится решение задачи об описании множества классов кобордизмов многообразий, несущих простое действие группы Z/p, поставленной в работах [4],[8]. Эта проблема была решена в [8] в частном случае. В настоящей работе получена полная классификация классов кобордизма. многообразий, несущих простое действие группы Z/p в терминах коэффициентов формальной группы геометрических кобордизмов и в терминах характеристических чисел, что дает полное решение рассматриваемой проблемы. Формулировка классификационного результа4 та в терминах характеристических чисел указывает на обсуждавшуюся в [4] аналогию с теоремой Стонга-Хаттори [17] о выделении наборов целых чисел, являющихся числами Чженя стабильно комплексных многообразий.

Глава 3 посвящена изучению специальных действий тора на многообразиях, определяемых простыми многогранниками. Методы алгебраической топологии (в частности, спектральная последовательность Эйленберга-Мура) позволяют вычислить кольца когомологий таких многообразий и описать взаимосвязь с комбинаторикой простых многогранников.

В разделе 1 приводится необходимая для формулировки результатов главы 1 информация о комплексных кобордизмах и родах Хирцебруха. Известно (Милнор, Новиков), что кольцо комплексных кобордизмов йц представляет собой кольцо полиномов Z[«х, а-2,. , «„,. ] от образующих четных размерностей a¿ € В качестве образующих кольца fi¡y © Q можно взять комплексные проективные пространства CP". Родом называется произвольный кольцевой гомоморфизм ip : flu®Q R®Q, = 1 где R — некоторое кольцо с 1 и без делителей нуля (обычно полагают R = Z, но нам также понадобятся роды со значениями в других кольцах). Ф. Хирце-брухом [18] было показано, что каждый род соответствует некоторому формальному ряду Q(x) = 1 + . с коэффициентами в R ® Q. С каждым родом Хирцебруха <¿>q, соответствующим ряду Q(x), связывается формальная группа, логарифмом которой является ряд д(и), функционально обратный к ряду f(x) = и соответствующая степенная система [w]£ (см. [4]). В разделе 1 приводятся формулы для рядов f(u), д(и) и [tí]n, соответствующих основным родам, исследуемым в главе 1 (за исключением эллиптического рода, которому посвящен раздел 8).

Многие важные роды Хирцебруха впервые возникли в алгебраической топологии как индексы эллиптических комплексов (см. определение 2.1) — наборов векторных расслоений на многообразиях, связанных комплексом дифференциальных операторов с дополнительным условием, обобщающим определение эллиптического оператора. Теорема Атьи-Зингера в когомологической форме (см. теорему 2.2) позволяет свести вычисление индекса эллиптического комплекса к вычислению характеристических классов расслоений входящих в комплекс и характеристических классов касательного расслоения к многообразию. Все необходимые формулировки и определения приводятся в разделе 2. Здесь же приводятся два эллиптических комплекса для вычисления ^-характеристики и ,4-рода (теоремы 2.3 и 2.5; доказательство обеих теорем основано на теореме Атьи-Зингера). Эти комплексы будут затем применены для вычисления соответствующих родов многообразий с действием Z/р.

Используемый нами подход к вычислению родов Хирцебруха многообразий с действием группы Z/р основан на применении обобщенной теоремы Лефшеца, полученной Атья и Bottom в [20]. Формула Атьи- Ботта -Лефшеца обобщает классическую формулу Лефшеца для числа неподвижных точек и позволяет вычислять эквивариантный индекс эллиптического комплекса расслоений на многообразии через функции неподвижных подмногообразий (см. теорему 3.2). В частности, если на многообразии действует оператор с конечным числом неподвижных точек, то соответствующий эквивариантный индекс выражается через наборы весов неподвижных точек (т.е. собственных чисел дифференциала оператора в неподвижных точках). Соответствующие результаты приведены в разделе 3. О возможности применения формулы Атьи-Ботта для вычисления родов Хирцебруха многообразий с действием Z/p было впервые указано С.П. Новиковым в [16]. Затем В.М. Бухштабером и С.II. Новиковым в работе [4] было показано, как выражается род Тодда, являющийся индексом эллиптического комплекса (а именно комплекса Дольбо) расслоений на, многообразии с действием Z /р, через эквивариантный индекс того же комплекса для действия образующей группы Z/p, входящий в формулу Атьи-Ботта-Лефшеца. Таким образом были выведены формулы, выражающие род Тодда через веса, действия группы Ъ/р в неподвижных точках. В эти формулы входил теоретико-числовой след некоторого алгебраического расширения полей степени р— 1, который затем также был эффективно вычислен. Аналогичный подход был использован и в нашей работе для получения формул для других родов многообразий с действием Z/p: сигнатуры (I-рода), эйлеровой характеристики, Л-рода, общей х^-характеристики и эллиптического рода, а также для получения некоторых общих соотношений для произвольных родов Хирцебруха, являющихся индексами эллиптических комплексов расслоений, ассоциированных с касательным расслоением многообразия с действием Z/p.

Раздел 4 посвящен вычислению эйлеровой характеристики, рода. Тодда и ¿-рода, (сигнатуры) многообразия, несущего действие Z/p с конечным числом неподвижных точек, через веса в неподвижных точках.

В подразделе 4.1 производятся вычисления для эйлеровой характеристики. Здесь нашими методами получена формула е(М) = q mod р, где е(М) — эйлерова характеристика (стабильно комплексного) многообразия М, q — число неподвижных точек действия Z/p.

В подразделе 4.2 мы приводим результаты Бухштабера и Новикова для рода Тодда. Здесь же вводятся так называемые "функции Атьи-Ботта" ABt<i(x[j\ . , ') от наборов весов (.г*/',. x\j) £ Z/p неподвижных точек Vj, j = 1,. ,<?, соответствующие роду Тодда. Эти функции затем будут обобщены на случай произвольного рода, вычисляемого как индекс эллиптического комплекса. Для функций Атьи-Ботта. имеет место соотношение ч td(M) - Y1 ■ ■ , 4Л) mod р, j=i что позволяет вычислять рода Тодда через веса в неподвижных точках. Однако в определение функций Атьи-Ботта входит теоретико-числовой след некоторого элемента для расширения полей Q(() -»■ Q, ( = е27Гг/р, который в свою очередь требует явного вычисления (это вычисление и было проведено в [4]).

В подразделе 4.3 производятся вычисления для L-рода (сигнатуры). Полученные здесь формулы имеют вид

1 L P2irixk/p\

IT I e2wixk/pJ ' 1

Y^ ABl ., = L(M) mod p. j=i

Затем производится вычисление теоретико-числового следа в определении функций Атьи- Ботта для L-рода, что окончательно дает следующую формулу ри

L(M) = ЕЕ(пШг^-) mod Р к где — степенная система, связанная с L-родом, а (•),„ обозначает коэффициент при и"г.

В нашей работе мы также используем обобщенную формулу Лефшеца в несколько иной формулировке, изложенной в работе [1]. Эта формула и особенно получаемый на ее основе и изложенный в разделе 5 "рецепт" для вычисления эквивариантного индекса комплекса через функции неподвижных точек часто более удобны в приложениях, чем формула из [20] (которая использовалась в работе [4]). Обобщенная формула Лефшеца из работы [1] была получена на основе теоремы Атьи-Зингера. об индексе в когомологической форме. В рамках этого подхода удается выразить род Хирцебруха <р, вычисляемый как индекс эллиптического комплекса расслоений, ассоциированных с касательным расслоением, через наборы весов неподвижных точек действия Z/p при помощи теоретико-числового следа некоторого расширения полей. А именно, в разделе 5 получена следующая

Теорема. Имеет место следующая формула для tp(M):

-¿ТгД \ и). mod р, где Tr : QP(C) Qp — теоретико-числовой след, £ = е2жг^р.

Таким образом, вычисление родов Хирцебруха многообразий с действием Z/p с конечным числом неподвижных точек сводится в каждом конкретном случае к вычислению некоторого теоретико-числового следа. Здесь же вводятся функции Атьи

Ботта AB,„(x\J\s., от неподвижных точек для произвольного рода tp, удовлетворяющие условию ч ■ = mod p.

В разделе 6 получены явные формулы для А-рода и Ху-характеристики. Формулы для Л-рода (см. подраздел 6.1) имеют вид

ABÂ(Xl ,.,хп) = -Тг( П jZT^) ' ч

Е • • • :') = mod р

3 = 1

Вычисление следа в формуле для функции Атьи-Ботта дает следующее выражение и \

2[«]£-1 я

ABÂ(xu.,xn)=-{p где [и]р — степенная система, связанная с Л-родом.

Формулы для хухарактеристики (см. подраздел 6.2) имеют вид

АВх,(хи.,хп) = -Тг[ П'1+УС**

LI

1 Ъ i=1 q n

1 +

-к

IV« где [г<]р — степенная система, связанная с ^-характеристикой.

В работе [4] был предложен другой подход для получения соотношений для родов Хирцебруха, основанный на применении теории кобордизмов. В разделе 7 мы обсуждаем взаимосвязи результатов, получаемых в рамках теории индекса, с теорией кобордизмов. В работах [7], [12], [15], [16] в рамках теории кобордизмов были получены так называемые уравнения Коннера-Флойда. Эти уравнения представляют собой соотношения в кольце кобордизмов между наборами элементов Z/р, необходимые и достаточные для того, чтобы существовало действие группы Z/p с такими наборами весов. Они имеют следующий вид

У\ ГТ-ТТгт- ) =° modpiîir, го = 0, .,n-l,

Л [«]*"[«/ где [и]т — степенная система, соответствующая формальной группе геометрических кобордизмов. Применение рода Хирцебруха <р : ilu R позволяет получить численные соотношения Коннера-Флойда в кольце R, соответствующие роду <р. В [4] была приведена формула., выражающая класс кобордизмов mod р стабильно комплексного многообразия с действием Z/p через инварианты действия, что позволило получить формулу для рода Тодда. Далее было показано, что разность между формулами для рода Тодда, получаемыми в рамках теории индекса и теории кобордизмов, есть в точности сумма уравнений Коннера-Флойда для рода Тодда. В нашей работе показывается, что разность между двумя на первый взгляд различными формулами, полученными двумя методами для произвольного рода, есть взвешенная сумма уравнений Коннера-Флойда для этого рода с целыми коэффициентами. Именно, имеет место

Теорема. Разность между формулой и суммой уравнений Коннера-Флойда для рода ip с некоторыми целыми р-адически-ми коэффициентами дает следующую формулу для рода ip:

Особого интереса, заслуживает так называемый эллиптический род. В работах Э. Виттена каждому гладкому ориентированному 2п-мериому многообразию М2п был сопоставлен инвариант - эквивариантный индекс оператора Дирака для канонического действия окружности S1 на пространстве петель этого многообразия. С. Ошанин в [27] показан, что этот индекс является родом Хирцебруха, для которого ряд f{x) есть эллиптический синус; отсюда и происходит название "эллиптический род". В работах [10], [21] и др. была доказана теорема жесткости для эллиптического рода многообразий с действием 51, утверждающая, что эквивариантный эллиптический род ys- (М) такого многообразия, рассматриваемый как характер группы 51, является тривиальным характером и равен эллиптическому роду ip{M). В то лее время эллиптический род принимает значения в кольце Z [¿>, г] и его значение на любом многообразии М2п является модулярной формой веса п для подгруппы Г0(2) С SL2(Z) (см. [25]). В разделе 8 мы получаем формулы для эллиптического рода. многообразий с действием группы Z/p с конечным числом неподвижных точек: р{М2п) = ¿/ff ПТТ~~) mod && где [и]т — степенная система, соответствующая эллиптическому роду. В качестве приложения мы выводим соотношения на полиномы Лежандра, которые получаются применением этих формул к некоторым специальным действиям Z/р на СРп.

В разделе 9 мы обобщаем результаты раздела 5 на случай действий Z/p, для которых все неподвижные подмногообразия имеют тривиальные нормальные расслоения — так называемые простые действия.

Теорема. Пусть ц.>(М) — род Хирцебруха, вычисляемый как индекс некоторого эллиптического комплекса расслоений, ассоциированных с ТМ. Тогда имеет место следующая формула для <р(М): и j j где М9 = IJ„ М^ — множество неподвижных точек, в = /^(—'Iiri/p), — степенная система, Tr : Q(e27"/p) —> Q — теоретико-числовой след (если род Lp принимает значения не в кольце Ъ, а в другом кольце R, то Q заменяется на соответствующее поле частных).

В главе 2 мы изучаем простые действия группы Z/p с точки зрения теории ко-бордизмов. Здесь получено полное описание множества классов кобордизма многообразий с простым действием Z/p (т.е. действием, для которого все неподвижные подмногообразия имеют тривиальные нормальные расслоения). Классификационные результаты получены в терминах коэффициентов формальной группы геометрических кобордизмов и в терминах характеристических чисел.

Наряду с простыми действиями мы рассматриваем так называемые сильно простые действия Z/p. Простое действие Z/p называется сильно простым, если наборы весов (собственных чисел дифференциала отображения, соответствующего образующей g (Е Z/p, в неподвижных точках) одинаковы для всех неподвижных подмногообразий одной размерности. Для сильно простых действий Z/p проблема, классификации была полностью решена Коннером и Флойдом в работе [8] (сильно простое действие в смысле нашего определения называлось в [8] "действием Z/p, множество неподвижных точек которого имеет тривиальное нормальное расслоение"). Обратим внимание на то, что даже в случае действия с изолированными неподвижными точками понятия простого и сильно простого действия отличаются (соответствующие примеры приведены в разделе 12). Результаты Коннера и Флойда получены в качестве следствия в данной работе. В то же время методы, используемые в [8] судя по всему не позволяют получить наш более общий результат.

Как уже отмечалось выше, начиная с работы [15], для решения задач, связанных с действиями Z/p использовалась теория формальных групп, которая вошла в топологию благодаря формальной группе геометрических кобордизмов. Рассматриваемая проблема была впервые четко сформулирована в работе [4], где была получена формула, выражающая класс кобордизма mod р многообразия М2п с простым действием Z/p через инварианты действия. Фактически, первые результаты по этой проблеме были получены ранее, в работе [7], где, в частности, был получен результат, сформулированный у нас в качестве следствия в разделе 12. В [7], как и в этой работе, используется описание множества классов кобордизма многообразий с простым действием Z/p как П^-модуля, натянутого на некоторую систему коэффициентов степенной системы, определяемой формальной группой геометрических кобордизмов. Новый набор образующих этого О^-модуля, введенный нами, позволил решить классификационную задачу в терминах характеристических чисел.

В разделе 10 мы сводим задачу об описании множества классов кобордизма многообразий с простым действием Z/p к описанию некоторых специальных модулей над кольцами Qu ® Z/p и Qu ® Zp (здесь Zр — кольцо целых р-адичес.ких чисел). Это удается сделать благодаря двум обстоятельствам. Во-первых, простые действия Z/р находятся во взаимно-однозначном соответствии с соотношениями в Пц-модуле Ux{BZ/p) эквивариантных бордизмов со свободным действием Z/p между специальными элементами этого модуля — так называемыми инвариантами Коннера-Флойда (см. [4]). Во-вторых, имеется "гомоморфизм реализации" из модуля соотношений такого типа в кольцо Qu © Z/p, ставящий в соответствие соотношению класс кобордизмов mod р многообразия, на котором это соотношение реализуется. Образ этого гомоморфизма описывается в терминах коэффициентов формальной группы геометрических кобордизмов. Это позволяет свести нашу проблему к описанию Qu CS) Z/р-модуля A(l) <g> Z/p, где A(l) = A+(l) • Qu — Qu-модуль, натянутый на положительную часть А+(1) кольца коэффициентов А(1) степенной системы [и]^. Далее это можно свести к описанию Qu®Zp-модулей A(1)®ZP и AP(1)®ZP, где Ар(1) — П(/-модуль, натянутый на А+(1) и р. Эти модули являются идеалами в Qu ® Zp.

В разделе 11 мы находим образующие модулей A(l)©Z/p, A(1)©ZP и Ap(l) 0Zp. Пусть nj-l

0'|f) £ Q~[:2n — коэффициенты степенной системы.

Теорема. В качестве образующих йи © Ъ^-модуля А(1) © Z(p) .можно взять следующие коэффициенты ап £ : ajf1', если п не делится на р — 1,

Р) л 1 'и = 1,2,., если п делится на р — 1, где рх — простой первообразный корень mod р (образующая циклической группы

Z/рП

Следствие. В качестве образующих Qv ® Z^-модуля Лр(1) <g> Z(p) можно взять следующие: р, если п — О, ап = < если п не делится на р — 1, р\ - первообразный корень mod р, aесли п = pk — 1, к = 1,2,.

В качестве образующих Пц ® Z/p-модуля Л(1) (g> Z/р можно взять otjf'), если п не делится на р — I, если п - рк - 1, к = 1,2,---

5 остальных размерностях образующих нет.

Пусть iii/(2) = Z

CP1 CP2 CPr

2 ' 3 'n + l'"\ — подкольцо в Qu Q Q, состоящее из элементов, на которых все когомологические характеристические числа принимают целые значения (это кольцо также является кольцом коэффициентов логарифма формальной группы геометрических кобордиз-мов). Теорема Стонга-Хаттори утверждает, что подкольцо Qu С Qu(Z) выделяется тем условием, что на его элементах принимают целые значения все характеристические числа б К-теории. В разделе 12 мы, используя предыдущие теоремы, описывающие структуру Qu ® модуля Ар( 1) @ Zp, доказываем результат, аналогичный теореме Стонга и Хаттори — приводим описание множества классов кобордизма многообразий с простым действием Z/p в терминах характеристических чисел.

Теорема. Элемент, а G Qu(Z)~2n&Zp лежит, в Qu®Zр-модуле AP(1)QZP и, таким, образом, является классом кобордизма многообразия с простым действием Ъ/р тогда и только тогда, когда все характеристические числа из Ii-теории зш(сг), и = Y^i ki • (i), H^ll = Yli k 'г ^ n лежат в Ъ.р и для всех разбиений uj, кратных р—1 когомологические числа ||u;|| = п делятся на р.

Следствие. Элемент а € Qu является классом кобордизма многообразия с простым действием Z/p тогда и только тогда, когда для всех разбиений и>, кратных р — 1 коголюлогические числа зш(а), ЦшЦ = п делятся на р.

Следствие. В каждом классе кобордизма многообразий Мп, п ^ 4р —6, содержатся многообразия, несущие простое действие Z/p.

Глава 3 посвящена развитию взаимосвязей между алгебраической топологией гладких многообразий и комбинаторикой многогранников/Исследования в этом направлении были стимулированы задачами, возникшими впервые в теории ториче-ских многообразий. Центральным понятием данной главы является многообразие с действием компактного тора, определяемое комбинаторной структурой простого многогранника.

Под п-мерным выпуклым многогранником мы понимаем произвольное ограниченное множество в задаваемое как пересечение конечного числа полупространств. Любой выпуклый многогранник ограничивается конечным числом гиперплоскостей. Выпуклый п-мерный многогранник называется простым, если в каждой его вершине сходится в точности п граней коразмерности один (гиперграней). Таким образом, гиперплоскости, ограничивающие простой многогранник, находятся в общем положении. Выпуклый многогранник можно также определять как выпуклую оболочку множества, точек в Е". При этом если множество точек находится в общем положении, то получаемый многогранник называется симплициальным, так как все его грани будут симплексами. Каждому простому многограннику соответствует двойственный симплициальный многогранник, и наоборот. Часто бывает удобно исследовать свойства простого многогранника, в терминах двойственного ему симплици-ального многогранника, а также симплициального разбиения сферы, задаваемого границей этого двойственного многогранника.

Каждому простому многограннику Рп с т гипергранями мы ставим в соответствие гладкое (т + п)-мерное многообразие 2р с каноническим действием тора. Тт на нем. Многие многообразия, играющие важную роль в различных аспектах топологии, алгебраической и симплектической геометрии, могут быть реализованы в виде многообразия 2р или же как фактор-многообразия 2р)Тк для некоторой ториче-ской подгруппы Тк С Гт, действующей на 2р свободно. При этом оказывается, что ранг торической подгруппы, которая может действовать свободно на многообразии не превышает иг — п. Многообразия, которые получаются при факторизации 2р по действию тора максимально возможного ранга, мы называем квазиториче-скими, так как среди них содержится важный класс алгебраических многообразий, известных в алгебраической геометрии как торические многообразия (см. [5], [24]). Точнее, указанным выше способом можно получить все неособые проективные торические многообразия; далее под торическими многообразиями мы будем подразумевать именно этот класс. На каждом (квази)торическом многообразии имеется индуцированное действие тора Тп, пространством орбит которого является исходный простой многогранник Рп. Существуют простые многогранники Р, над которыми не существует ни одного квазиторического (а значит, и торического) многообразия, т.е. нельзя найти ни одной подгруппы Тт~п С Тт ранга т - п, действующей свободно на соответствующем многообразии Др. Если же для многогранника. Р" соответствующее многообразие 2р допускает свободное действие торической подгруппы ранга т — п, то различным таким подгруппам могут соответствовать различные квазиторические многообразия над Рп и некоторые из них оказываются алгебраическими торическими многообразиями. Квазиторические многообразия (под названием "toric manifolds") впервые появились в работе [22], где были описаны многие важные алгебротопологические свойства этих многообразий.

Одной из основных целей главы 3 является изучение взаимосвязи между комбинаторной структурой простых многогранников и топологией описанных выше многообразий, определяемых этими многогранниками. Важнейшим алгебраическим инвариантом простого (или двойственного ему симплициального) многогранника является специальное градуированное кольцо к(Р) (где к — поле), называемое кольцом граней (или кольцом Стенли-Райснера). Это кольцо является фактор-кольцом кольца многочленов k[i>i,. , vm] по некоторому идеалу. Тогда можно рассмотреть соответствующие градуированные модули когомологий Tor^ Vmj(/c(P),k), где i > 0. Эти модули уже изучались ранее, например, ряд результатов относительно соответствующих чисел Бетти дг(к(Р)) = dim^Tor^ Vm^(k(P),k) приведен в [31]. Мы показываем, что биградуированный ¿-модуль Tor¿[Vl).)„m](A;(P), к) является биградуирован-ной fc-алгеброй и соответствующая ей градуированная алгебра изоморфна алгебре когомологий многообразия Zp. Таким образом, когомологии многообразия Zp приобретают каноническую структуру биградуированной алгебры. При доказательстве мы используем спектральную последовательность Эйленберга-Мура. Эта спектральная последовательность активно применялась в топологии для вычисления когомологий однородных пространств групп Ли (см., например, [30]). В нашем случае член Е-2 этой спектральной последовательности есть в точности Tork[vu.,vm](k{P),k), и спектральная последовательность вырождается в члене Е2. Используя при вычислении члена Е-2 в качестве резольвенты комплекс Кошуля, мы показываем далее, что эта биградуированная алгебра является алгеброй когомологий некоторого бигра-дуированного комплекса, тесно связанного с комбинаторной структурой Рп. Таким образом, введенная нами биградуированная алгебра когомологий многообразия Zp несет в себе полную информацию о комбинаторике исходного многогранника Рп. В частности, оказывается что из биградуированной двойственности Пуанкаре для Zp вытекают известные соотношения Дена-Соммервилля для многогранника Р.

В разделе 13 мы вводим необходимые для дальнейшего конструкции, связанные с простыми многогранниками. Пусть Р" — простой многогранник и /¿ — число граней Р" коразмерности (г + 1), 0 ^ г < п - 1. Тогда целочисленный вектор (/о,. ,/n-i) называется f-вектором Рп. Для дальнейшего удобно положить также /i = 1. Наряду с /-вектором мы также будем рассматривать так называемый h-векто-р (ho,. ,/г„), где h{ определяются из условия h0tn + .+ hn^t + hn=(t- 1)" + fo{t - 1 Г"1 +. + /„-!•

Пусть k — коммутативное кольцо, Т - [Р\, - ■ ■ ,Fm) — множество граней Рп коразмерности один, т = /0. Образуем кольцо многочленов ,vm], где v, рассматриваются как переменные степени 2, соответствующие граням F¿. Кольцом граней к(Р) простого многогранника Р называется фактор-кольцо &[г>ь. ,г?т}//, где = (г?,-! . VI, \i1<i2< . < $в, ПРг2П---П Я, = 0).

В разделе 14 вводим мы многообразия с действием тора, определяемые простыми многогранниками и доказываем ряд вспомогательных утверждений. Рассмотрим го-мерный тор Тт = 51 х . х 51. Введем свободный й-модуль Ът и установим взаимно однозначное соответствие между гипергранями Рп и элементами базиса {ех,. , ет} в Ж'п. Определим канонические координатные подгруппы Т?и Лк С Тт как торы, соответствующие координатным подрешеткам в Ъш (т.е. подрешеткам, натянутым на векторы еч,. . , е-^). Тогда многообразие Хр, связанное с простым многогранником Рп, определяется как (Тт X Р»)/~ | (дир) ~ (д2,д) & р = д, д^ £ где Р^,. , — все грани коразмерности один, содержащие точку р £ Рп.

Как следует из определения, сПтДр = т + п; кроме того, действие тора Тт на Тт х Рп очевидно задает действие Г™ на 2р.

Предложение. Действие Тт на 2р обладает следующими свойствами

1) Стационарная подгруппа любой точки 2р является координатной подгруппой в Тт размерности не более п.

2) На пространстве орбит имеется комбинаторная структура простого .многогранника Рп, для которой точки из внутренности граней коразмерности к соответствуют орбитам, стационарные подгруппы точек которых имеют размерность к. В частности, над внутренностью многогранника действие свободно.

Рассмотрим ЕТт — стягиваемое пространство универсального главного Тт-расслоения над ВТт = (СР°°)т. Применяя конструкцию Бореля к Тт-простра.нству 2р, мы приходим к следующему определению. Определим пространство ВтР как

ВТР .= ЕТт хТт 2Р.

Таким образом, ВтР — это пространство расслоения со слоем 2р, ассоциированного с универсальным расслоением при помощи действия Тт на 2р. Как следует из определения, гомотопический тип пространства ВтР определяется простым полиэдральным комплексом Рп.

Теорема. Пусть Р — произвольный простой полиэдральный комплекс, имеющий т граней коразмерности один. Пространство В?Р может быть реализовано как клеточный подкомплекс в ВТт, представляющий собой объединение клеточных подкомплексов ВТ? ; по всем симплексам Д = (г'х,. АЛ двойственного симпли-циального комплекса А>. При этом С*(ВтР) = Н'(ВтР) = к(Р), и вложение г : ВТР ^ ВТт индуцирует эпиморфизм С*{ВТт) = /ф>ь. , ит] ЦР) = С*{ВТР).

В разделе 15 мы вводим спектральную последовательность Эйленберга-Мура и в качестве первого приложения выводим при помощи нее известную теорему о кого-мологиях (квази)торического многообразия. Пусть £0 = (Ео,ро, Во, Е) — некоторое расслоение Серра над односвязной базой В0, / : В В0 — непрерывное отображение, ш р '. Е —^ В — индуцированное расслоение. Тогда существует спектральная последовательность коммутативных алгебр {Ег,с1г}, сходящаяся к когомологиям Е: Ег =$> Н*(Е), для которой £2 = Тогя*(д0)(Я*(5), Н*{Ей)). Спектральная последовательность Эйленберга-Мура является спектральной последовательностью второго квадранта, и дифференциал йг повышает бистепень на (г, 1 — г). В специальном случае, когда В = * — точка (тогда Е = Е — слой £), мы получаем спектральную последовательность {Ег,с1г}, Ег Н*(Е), для которой Е2 = Тог#.(£)(//*(.£'), Ат).

В разделе 16 мы вычисляем когомологии многообразий 2р.

Теорема. Имеет место изоморфизм градуированных алгебр:

Н*(2Р) = Н[к(Р)®А[и1,.,ит],<1\, Ыс^1>; = (0,2), Ыс^ щ = (-1,2), ¿(1 ® щ) = и,- 0 1, (1{у{ @1) = 0.

Таким образом, спектральная последовательность Лере-Серра Тт-расслоения 2рХ ЕТт —у ВтР вырождается в члене Е3.

При помощи этой теоремы различные комбинаторные свойства простых многогранников молено интерпретировать в терминах когомологии определяемых ими многообразий 2р. В частности, комбинаторную интерпретацию получает двойственность Пуанкаре для многообразий 2р.

Лемма. В терминах биградуированной алгебры [к(Р) ® А.[щ,. ,ит],(1\ из теоремы 16.5 мы имеем следующие утверждения

1) Фундаментальный когомологический класс многообразия 2р представляется любым коциклом вида Vi1 . ® . .щтп, 3 \ < . < зт-п, где (¿1,. ,гп) — набор индексов гиперграней, сходящихся в некоторой вершине V € Рп и {гь. ,¿„,¿1,. = {1,. ,т}.

2) Два коцикла иг-, . иг-р ® ип . и^ о1г. уке ® ик . щ, представляют двойственные по Пуанкаре классы когомологий в Н"(2р) тогда и только тогда, когда р + $ - п, г + г - т- п, (гь. ,гр, ,к3) представляет собой набор индексов гиперграней, сходящихся в некоторой вершине V € Рп и {'1, • • • ,'г/,Л, • • • 5>■> • • • Д'л^Ь • ■ • Л} = {!•!••• 1т}

Эта лемма позволяет получить новую интерпретацию соотношений Дена-Сом-мервилля для простых многогранников и ряд других комбинаторных свойств.

Результаты настоящей работы докладывались на семинарах по геометрии и топологии МГУ, на топологической конференции "Александровские чтения" (Москва., май 1997), на конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л. С. Понтря-гина (Москва, сентябрь 1998), на конференции "Геометрия и топология'98" (Орхус, Дания, август 1998).

Основная часть результатов диссертации опубликована в работах [32]—[35].

Пользуясь случаем, выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук Виктору Матвеевичу Бухштаберу за постановку многих задач, стимулирующие обсуждения и внимание к работе, академику РАН С.П. Новикову за постановку ряда задач, а также Л.А. Алания и O.P. Мусину за. ценные советы и обсуждения.

1. М. Атъя, И. Зингер. Индекс эллиптических операторов. 1.I, УМН, 1969, т. 24, №1, с. 127-182.

2. А. Бренстед, Введение в теорию выпуклых многогранников, Москва, Мир, 1988.

3. В.М. Бухштабер. Характер Чженя-Дольда в теории кобордизмов. I, Матем. сборник, 1970, т. 83, №4, с. 575-595.

4. В.М. Бухштабер, С.П. Новиков. Формальные группы, степенные системы и операторы Адамса, Матем. сборник, 1971, т 84, №1, с. 81-118.

5. В.И. Данилов, Геометрия торических многообразий, УМН, 1978, т. 33, №2, с. 85134.

6. С.М. Гусейн-Заде. U-действия окружности и неподвижные точки, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1971, т. 35, №5, с. 1120-1136.

7. Г.Г. Каспаров. Инварианты классических линзовых многообразий в теории кобордизмов, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1969, т. 33, №4, с. 735-747.

8. П. Коннер, Э. Флойд. Гладкие периодические отображения. Москва, Мир, 1969.

9. И.М. Кричевер. Формальные группы и формула Атьи-Хирцебруха, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1974, т. 38, №6, с. 1289-1304.

10. И.М. Кричевер. Обобщенные эллиптические роды и функции Бейкера-Ахиезера, Матем. заметки, 1990, т. 47, №2, с. 34-45.

11. С. Маклейн, Гомология, Москва, Мир, 1966.

12. A.C. Мищенко. Многообразия с действием группы Ър и неподвижные точки, Матем. заметки, 1968, т. 4, №4, с. 381-386.

13. A.C. Мищенко. Бордизмы с действием группы Zp и неподвижные точки, Матем. сборник, 1969, т. 80, №3, с. 307-313.

14. О.Р. Мусин. Действия группы S1 на многообразиях. Диссертация на соискание ученой степени к.ф.-м.н., Москва, 1979.

15. С. П. Новиков. Методы алгебраической топологии с точки зрения теории кобор-дизмов, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1967, т. 31, №4, с. 855-951.

16. С.П. Новиков. Операторы Адамса и неподвижные точки, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1968, т. 32, №6, с. 1245-1263.

17. Р. Стонг. Заметки по теории кобордизмов. Москва, Мир, 1973.

18. Ф. Хирцебрух. Топологические методы в алгебраической геометрии. Москва, Мир, 1973.

19. J.F. Adams, On the non-existence of elements of Hopf invariant one, Annals of Math., 1960, v. 72, №1, p. 20-104.

20. M.F. Atiyah, R. Bott. A Lefschetz fixed point formula for elliptic complexes: I, Ann. of Math., 1967, v. 86, №2, p. 374-407.

21. R. Bott, C. Taubes. On the rigidity theorems of Witten, J. of Amer. Math. Soc., 1989, v. 2, p. 137-186.

22. M. Davis, T. Januszkiewicz, Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions, Duke Math. Journal, 1991, v. 62, №2, p. 417-451.

23. S. Eilenberg, J.C. Moore, Homology and fibrations. I, Comment. Math. Helv., 1966, v. 40, p. 199-236.

24. W. Fulton, Introduction to Toric Varieties, Princeton Univ. Press, 1993.

25. F. Hirzebruch, T. Berger, R. Jung. Manifolds and Modular Forms. Second Edition, Bonn,. A Publication of the Max-Planc-Institut fiir Mathematik, 1994.

26. Elliptic Curves and Modular Forms in Algebraic Topology, Ed. P.S. Landweber // Lecture Notes in Mathematics; 1326, Berlin-Heidelberg, Springer, 1988

27. S. Ochanine. Sur les genres multiplicatifs definis par des integrales elliptiques, Topology, 1987, v. 26, p. 143-151.

28. D. Quillen. On the formal group laws of unoriented and complex cobordism theory, Bull. Amer. Math. Soc., 1969, v. 75, №6, p. 1293-1298.

29. J.-P. Serre, Algebre locale-multiplicities, Lecture Notes in Mathematics; 11, Berlin, Springer-Verlag, 1965.

30. L. Smith, Homological Algebra and the Eilenberg-Moore Spectral Sequence, Transactions of Amer. Math. Soc., 1967, v.129, p. 58-93.

31. R. Stanley, Combinatorics and Commutative Algebra, Progress in Mathematics; 41, Boston, Birkhauser, 1983.

32. Т.Е. Панов. Эллиптический род для многообразий с действием группы Z/p, УМН, 1997, т. 53, №2, с. 181-182.

33. Т.Е. Панов. Классификация с точностью до кобордизма многообразий, несущих простое действие группы Z/p, Матем. заметки, 1998, т. 63, №2, с. 260-268.

34. Т.Е. Панов. Вычисление родов Хирцебруха многообразий, несущих действие группы Z/р, через инварианты действия. Изв. РАН. Сер. матем., 1998, т. 62, №3, с. 87-120.

35. В.М. Бухштабер, Т.Е. Панов. Алгебраическая топология многообразий, определяемых простыми многогранниками. УМН, 1998, т. 53, №3, с. 195-196.