Гомотопические свойства гильбертовых модулей над C* - алгебрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ . 4

§1. Гильбертовы модули надС* -алгебрами и их свойства.*. • • 9

§2. Алгебры ограниченных операторов гильбертовых модулей. ¿9

§3. Гомотопические свойства гильбертова модуля г (А).п

§4. Некоторые приложения . .

Теория С -алгебр и их представлений в последнее время стала интенсивно применяться в различных вопросах топологии. Наиболее плодотворные применения теории С* -алгебр оказались в К -теории. Пожалуй, первые применения техники С* -алгебр для решения некоторых вопросов теории векторных расслоений следует искать в работах по теории фредгольмовых операторов. Как известно, фредгольмовы операторы имеют единственный гомотопический инвариант - индекс фредгольмового оператора, который вычисляется как разность размерностей ядра и коядра оператора» Важным методическим наблюдением является тот факт, что для непрерывного семейства фредгольмовых операторов, хотя индекс и является локально постоянной функцией, более тонким гомотопическим инвариантом является пара векторных расслоений, слои которых образованы ядрами и коядрами семейства фредгольмовых операторов. Это наблюдение сделанное М.Атья [II в 1965 году,и независимо К.Ени-хом [2] в 1964 г., позволило интерпретировать К -группы в терминах фредгольмовых операторов и в терминах эллиптических псевдодифференциальных операторов. В связи с этой проблематикой важное место занимает теорема Юойпера [3] 1965 г., о том, что группа всех обратимых ограниченных операторов бесконечномерного гильбертового пространства стягиваема. Это в частности означает, что любое векторное локально тривиальное расслоение,слой которого изоморфен бесконечномерному гильбертовому пространству, является тривиальным расслоением. В дальнейшем оказалось,что естественные варианты К -теории в произвольных банаховых категориях, которые исследовал М.Каруби О]» [5] 1971 г., в случаях С*-алгебр получили интересные приложения. Эти приложения связаны с тем обстоятельством, что некоторые Г^-алгебры естественно возникают в топологических задачах. Одной из таких задач является задача описания гомотопических инвариантов неодносвяз-ных многообразий. Ряд таких инвариантов удобно описывать в терминах К -теории для групповой С*-алгебры фундаментальной группы неодносвязного многообразия. А.С.Мищенко (1970-1978 гг.) [6], [7], [8] разработал теорию сигнатурных инвариантов неодносвяз-ных многообразий и теорию индекса эллиптических операторов над £*-алгебрами для исследования гомотопических инвариантов неод-носвязных многообразий. В частности была разработана теория фредгольмовых операторов над С*-алгебрами и построен индекс фредгольмовых операторов над С *-алгебрами как элемент К -группы С*-алгебры. Г.Г.Каспаров разработал применения техники С* -алгебр к гомотопическим инвариантам, описывающим расширения С -алгебр [9]. Оставался открытым вопрос: какова гомотопическая структура группы всех обратимых операторов бесконечномерного гильбертова модуля над С*-алгеброй. От решения этого вопроса зависило, в частности, решение задачи описания гомотопических инвариантов фредгольмовых операторов над £**алгеброй.

Настоящая диссертация посвящена исследованию гомотопической структуры группы обратимых операторов бесконечномерного гильбертового модуля над С -алгеброй А . Гипотеза, которую проверял автор, заключалась в том, что все гомотопические группы ((¡¿(А))) тривиальны. В случае, когда алгебра А равна полю комплексных чисел Ф , эта гипотеза справедлива и составляет теорему Кюйпера. Обобщение же теоремы Кюйпера на случай произвольной С -алгебры А может быть произведено двумя способами. Первый способ заключается в исследовании гомотопической структуры группы всех обратимых ограниченных операторов (гомоморфизмов модуля) модуля Ш . Второй способ заключается в изучении некоторой подгруппы £?//(, состоящей из тех ограниченных операторов, которые допускают сопряженный ограниченный оператор.

Рассмотренные группы Соправдываются следующими соображениями.

1. Любой псевдодифференциальный оператор над С*-алгеброй допускает сопряженный.

2. Алгебра ы; (4 ш) всех операторов, допускающих сопряженные, снова является £*-алгеброй.

Постановка задачи. Пусть Л -произвольная С -алгебра,

- группа обратимых операторов, допускающих сопряженные, гильбертового модуля (А) . Требуется вычислить гомотопические группы

Формулировка основной теоремы диссертации.

Теорема. Для любой С*-алгебры Д все гомотопические группы линейной группы обратимых, ограниченных, допускающих сопряженные гомоморфизмов гильбертового модуля Ег(А) тривиальны, т.е.^^Ь^М))) 0 »Для всех К = (см. в [10] , стр.80)

Следствия:

1. Каждое расслоение со слоем гильбертового модуля ¿¿(А) , структурной группой и базисным пространством X является тривиальным. Здесь X - пространство имеющее гомотопический типа С - комплекса, (см. в [II], стр. 12).

2. Пусть ,3д* -множество всех фредгольмовых операторов допускающих сопряженные, тогда гомоморфизм псиос : 0Го ( 3~А ) —> ^ является изоморфизмом ([п|, теорема 4).

4. Существует изоморфизм где X - пространства имеющий гомотопический тип с ух/ «комплекса ([II], теорема 5).

Содеравсние диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех параграфов. В первом параграфе даются основные определения изучаемых объектов, рассматривается вопрос о том для каких модулей над £*~алгеброй А существует структура скалярного произведения со значениями в алгебре А ♦ Кроме этого изучается вопрос о проективности гильбертовых А -модулей, который необходимо для изучения свойств фредгольмовых А -операторов. А также доказывается ряд свойств гильбертового модуля & (А), Новыми являются следующие теоремы.

1. М.АТЬЯ. "Лекции по К.-теории". И. "Мир", 1967, стр.121-130.

2. К.ЕНИХ. bfAto^cxx^rrt éünciel скл.$íjtdJto¿m О/эел&Злг&г / ? Вошт. , J3£¿f

3. Н.КЮЙПЕР. "Гомотопический тип унитарной группы гильбертовапространства" (В книге М.АТЬЯ "Лекции по/f-теории" стр.241-260).

4. М.КАРУБИ. CLtcjd^a^ cU Uí^ObcL et- К,- t/zeo^¿c.Сйъп. . £оой Mrc/ъ . íupesc / J9G2.

5. М.КАРУБИ. P-OcCocUuA cíe ¿<x К tßuo^ie1.ctor . . зю, 30J-4SJ.

6. А.С.МИЩЕНКО. "Гомотопические инварианты неодносвязных многообразий. I Рациональные инварианты". Изв.АН.Сер. матем. 34. (1970), 501-514.

7. А.С.МИЩЕНКО. "Гомотопические инварианты неодносвязных многообразий, П Простой гомотопический тип", Изв.АН. Сер. матем. 35:6 (X97I), 664-675.

8. А.С.МИЩЕНКО. "Гомотопические инварианты неодносвязаных многообразий, Ш Высшие сигнатуры, Изв. АН. Сер.матем. 35:6 (1971). 1332-1371.

9. Г.Г.ГАСПАРОВ. "Оперативный К-функтор и расширения С -алгебр". Изв.АН. Сер.матем. 44:3 (1980).

10. В.А.КАСИМОВ. "Гомотопические свойства линейной группыгильбертового модуля Тезисы Ленинградской Международной топологической конференции. (1982), стр. 80.

11. В.А.КАСИМОВ. "Свойства гильбертовых модулей и фредгольмовыхлоператоров над с -алгебрами". ДАН Азерб.ССР. т. 38, №8, 1982, стр.10-14.

12. В.А.КАСИМОВ. "Гильбертовы структуры в модулях над С*-алгебрами". ДАН Азерб.ССР, т.37, №12, 1981, стр.3-5.

13. В.А.КАСИМОВ. "Гомотопические свойства общей линейной группыгильбертового модуля4 (А)". Мат.сборник Ю1.) 1982, стр.376-386.п *

14. Ж.Д4КСМИЕ. " (^-алгебры и их представления", Москва, изд-воНаука", 1974.

15. В.Л.ПАШКЕ. " Лпплъ ръоск^ УпссСсь/ей Оыл З^афг^геъ,Щсьпл . ССмг. .ЛосЦ/&г.Ш73),Ш-Ш

16. А.С.МИЩЕНКО, А.Т.ФОМЕНКО. "Индекс эллиптических операторовнад С -алгебрами". Изв.АН, Сер.матем. 43-4 (1979), 831-859.17. & £ КгарагФ: С *- тооШл*: ШгесхлтьШ-ПЛйргиъс сспс1 ¿ЮЕссЛл-хСсг '( С&£/г*ьО%о£'оъ&(Х . О.

17. Н.ДАНФОРД, Дж.Т.ШВАРЦ. "Линейные операторы, общая теория",М., ИЛ., 1962.

18. В.А.КАСИМОВ. "Теорема Кюйпера для гильбертового модуляг(А}\ ДАН Азерб.ССР, т.38,.«б, (1982).

19. Дж.МИЛЬНОР. "Введение в лагебраическую И -теорию", изд-воМир", Москва, 1974.

20. А.С.МИЩЕНКО. "Банаховы алгебры, псевдодифференциальныеоператоры и их приложения к /Г -теории". УМН, т.34:6 210 (1979), стр.67-79.

21. А.С.МИЩЕНКО, Ю.П.СОЛОВЬЕВ. "Представления банаховых алгебри формула типа Хирцебруха". Мат.сборник. ШС153). №2, 1980, стр.209-226. 23. ХУ СЫ-ЦЗЯН. "Теория гомотопий", И., "Мир", 1964.