Гомотопические свойства операторов с нежесткими соотношениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение

1. Одна теорема о почти коммутирующих операторах

2. Почти представления дискретных групп

2.1. Введение и основные определения.

2/2. Случай абелевой группы.

2.2.1. Технические леммы.

2.2.2. Построение гомотопии. Случай двух унитарных матриц.

2.2.3. Построение гомотопии. Случай свободной абе-левой группы

2.2.4. Общий случай.

2.3. Случай фундаментальной группы ориентированной поверхности

2.4. Пример группы без свойства асимптотической устойчивости

2.5. Почти представления групп вида Г х Z.

2.5.1. Конструкция почти представлений групп 7г х Z

2.5.2. Конструкция расслоений над Вп х 51.

2.5.3. Почти представления и подгруппы конечного индекса

2.6. Дискретные асимптотические представления в смысле Мищенко

2.7. Асимптотическая С*-алгебра.

2.8. Асимптотические представления как представления в алгебру Калкина.

2.9. Асимптотические представления и расширения.

2.9.1. Асимптотические представления и представления в алгебру Калкина.

2.9.2. Расширения с асимптотическим поднятием

2.9.3. Отображения С-Н и Е.

2.9.4. Конструкция гомотопии.

3. Оператор Шредингера с иррациональным магнитным потоком и задача диагонализации операторов в гильбертовых модулях

3.1. Основные сведения о гильбертовых модулях и W*-алгебрах

3.2. Диагонализируемые операторы в гильбертовых модулях

3.3. Теорема Дюпре - Филлмора для гильбертовых модулей над конечными 1У*-алгебрами

3.4. Диагонализация операторов над И^-алгебрами

3.5. Непрерывность "собственных значений"

3.6. Случай С*-алгебр нулевого вещественного ранга

3.7. Диагонализация компактных операторов над непрерывными полями С*-алгебр.

3.8. Оператор Шредингера как оператор, действующий в гильбертовом С*-модуле.

Задача изучения так называемых почти коммутирующих операторов восходит к работам Халмоша [35] и Войкулеску [61, 60]. В работе Халмоша была поставлена естественная задача о паре почти коммутирующих (самосопряженных, унитарных) матриц: можно ли утверждать, что если две (самосопряженные, унитарные) матрицы А и В почти коммутируют, т. е. норма их коммутатора достаточно мала, то эти матрицы близки (по норме) к некоторой паре матриц (А1, В'), которые в точности коммутируют. Если предполагать, что класс рассматриваемых матриц имеет ограниченную размерность, то такой вопрос легко решается, и ответ положителен.

Однако если требовать, чтобы соответствующие оценки не зависели от размерности матриц, то, как показал Войкулеску, задача Халмоша для унитарных матриц имеет отрицательный ответ. Именно, в случае пары унитарных матриц существует целочисленное препятствие [61, 29], имеющее топологическую природу.

Случай пары самосопряженных матриц оказался сложнее для изучения, и только в 1997 г. X. Лин [43] показал, что в этом случае ответ на вопрос Халмоша положителен, именно, если и /¿2 — матрицы произвольной размерности, для которых \\h1h2 — /¿2^11| < то существуют матрицы /г'х и Н'2 со свойствами:

Щ - ы\\ < г, ¿ = 1,2, /г^/г'з =

После результата X. Лина стало понятно, что упомянутый выше инвариант является единственным препятствием для аппроксимации почти коммутирующих унитарных матриц.

Насколько нам известно, до сих пор не изучался случай пары самосопряженной и унитарной матриц. Не изучались ранее и гомотопические свойства почти коммутирующих операторов.

С точки зрения теории представлений групп пара коммутирующих матриц может пониматься как представление свободной абеле-вой группы с двумя образующими. Поэтому в теории представлений дискретных групп естественным образом возникает обобщение понятия почти представления дискретной группы [32, 36]. Одно из наиболее эффектных приложений этого понятия впервые было рассмотрено в работе Конна, Громова и Московичи [22]. В этой работе авторы рассмотрели класс почти плоских расслоений на многообразии М, точнее класс таких элементов а Е К(М), которые для сколь угодно малого числа £ > 0 представимы в виде разности двух расслоений а = £ — г], которые допускают связности, тензор кривизны которых равномерно оценивается числом е > О (так называемые почти плоские связности). В этом случае операция параллельного перенесения слоя порождает почти представление фундаментальной группы для каждого е > 0.

Верно и обратное: в работе [48] показано, что почти представление фундаментальной группы многообразия М при достаточно малом значении числа £ > 0 естественным образом порождает векторное расслоение на многообразии М с почти плоской связностью.

Такой подход позволяет вычислять высшие сигнатуры неодносвяз-ного многообразия, используя обобщенную формулу Хирцебруха. Однако в этом подходе возникает естественная трудность. Для вычисления высшей сигнатуры достаточно построить индивидуальное почти представление фундаментальной группы многообразия М для некоторого достаточно малого числа е > 0. Однако, чтобы вычислить образ симметрической сигнатуры многообразия М и сравнить его с высшей сигнатурой, необходимо строить бесконечную последовательность почти представлений с условием е —» 0, так, чтобы последовательные почти представления тоже мало отличались друг от друга. Другими словами, для корректного построения гомоморфизма из К-теории групповой алгебры фундаментальной группы в группу целых чисел, необходимо рассматривать так называемые асимтотические представления в смысле Конна [23] фундаментальной группы. В случае асимптотических представлений получается связь уже с ^-теорией классифицирующих пространств. Эта связь проявляется в том, что также как и в случае классических представлений [2], каждое асимптотическое представление дискретной группы порождает векторное расслоение, а точнее, элемент К-группы классифицирующего пространства, которое задается естественными функциями склейки.

Построенная же Конном, Громовым и Московичи последовательность почти представлений, вообще говоря, не является асимптотическим представлением в смысле Конна. Поэтому интересен вопрос о возможности продолжить почти представления с достаточно малым £ > 0 до асимптотического представления.

В последнее время асимптотические представления стали одним из основных инструментов в изучении произвольных (а не только групповых) С*-алгебр. В ряде задач использование ^-теории Конна-Хигсона и ее нестабильных вариантов оказывается более удобным, чем применение А^Аг-теории Каспарова [5].

То, что запас обычных гомоморфизмов недостаточен для задач некоммутативной геометрии, видно на следующем элементарном примере. Рассмотрим две С*-алгебры — коммутативную алгебру Со(К2) непрерывных функций на плоскости, стремящихся к нулю в бесконечности, и некоммутативную алгебру /С компактных операторов сепарабельного гильбертова пространства. Как известно, с точки зрения Аг-теории эти алгебры одинаковы (это — одна из эквивалентных формулировок периодичности Ботта),

К0(Сй(К2)) = К0(К) = г, ^1(С0(К2)) = КХ{К) = 0.

Однако нетривиальных гомоморфизмов из /С в Со (К2) не существует вообще (так как алгебра /С проста), а любой гомоморфизм / из Со (К2) в К устроен так, что существует конечное множество п точек Хп, такое что / является композицией гомоморфизма ограничения функций на плоскости на Хп С К2 и вложения С(Хп) С /С (это — следствие того, что спектр нормального компактного оператора дискретен вне окрестности нуля). Отметим, что при увеличении п фактическая размерность образа С(Хп) в /С увеличивается, так как должно увеличиваться количество различных собственных значений образов функций из С(К2). На дискретные множества Хп при п —ь оо можно смотреть как на дискретную аппроксимацию двумерной сферы 52 (компактификации плоскости). Действительно, зафиксировав произвольную метрику на сфере, в качестве Хп можно выбирать е^-сети для еп —>• 0, но топологически Хп и 52 различны при любых п. Взятие объединения всех Хп не меняет ситуацию. Тем не менее, существует последовательность отображений (рп : Со(1^2)—^ (которые строятся с помощью матриц Войкулеску), не являющихся гомоморфизмами, но свойства которых стремятся к свойствам гомоморфизмов при п —оо, при этом при достаточно больших значениях п корректно определен индуцированный отображениями срп гомоморфизм К-групп, являющийся изоморфизмом. Поэтому некоммутативную алгебру /С можно рассматривать как некоммутативную версию аппроксимации двумерной сферы дискретными множествами. Отметим, что даже после расширения морфизмов с настоящих гомоморфизмов до асимптотических, не существует отображения в обратную сторону /С—>Co(R2), но уже после перехода к надстройке такое отображение К ® C0(R)—)-C0(R3) появляется [24].

Вместе с тем, задача о гомотопиях в классе почти коммутирующих операторов оказалась связана с задачей о выборе непрерывного поля операторов в классе унитарной эквивалентности. В частности, наш результат о гомотопии почти коммутирующих операторов находит применение в задаче о выборе непрерывного поля операторов в непрерывных полях С*-алгебр, которая возникает при диагонали-зации матриц с коэффициентами в таких алгебрах. Эта задача, в свою очередь, возникла при изучении оператора Шредингера в магнитном поле с иррациональным магнитным потоком [10]. Мы показываем, что такой оператор может рассматриваться как оператор, действующий в гильбертовом модуле над С*-алгеброй иррационального вращения (так называемым некоммутативным тором [21]). В [10] отмечено, что "в общем случае иррационального потока мы приходим к ситуации, никогда не изучавшейся в математике: оператор Шредингера в £(R2), хотя и отвечает физически двояко-периодической задаче, тем не менее не является оператором, накрывающим эллиптический оператор на компактном многообразии типа Тп в сечениях какого-либо векторного расслоения; класс Чженя с\ здесь иррациональный. Возможно, с этой задачей следует связывать объекты типа Неймановских факторов и т. п., связанных с группой магнитных трансляций, хотя их структура будет весьма чувствительна к точному значению магнитного потока."

Действительно, при изучении такого оператора Шредингера возникают факторы типа Iii, но имеется возможность работать не с ними, а с существенно меньшими С*-алгебрами иррационального вращения Ае (так называемыми некоммутативными торами [21]), которые определяются как универсальные С*-алгебры, порожденные соотношением иу = е2 ^ поскольку оператор Шредингера коммутирует с парой унитарных операторов С/, V, удовлетворяющих соотношению (0.1). В определении этих С*-алгебр иррациональность 9 не играет существенной роли, и алгебры Ав образуют непрерывное поле С*-алгебр над прямой, 0 6 К. В случае целых в алгебра Ав совпадает с коммутативной алгеброй функций на двумерном торе, и существование непрерывного поля позволяет получить единое для всех значений 9 описание спектра. Как известно, при целых значениях 9 спектр оператора Шредингера обслуживается так называемым набором "законов дисперсии", т. е. набором непрерывных функций Аг-, г £ И, на двумерном торе. Действительно, этот оператор можно рассматривать как непрерывное семейство эллиптических операторов на торе, индексированное также точками тора, это семейство можно поточечно диа-гонализировать, и (упорядоченные) собственные значения образуют непрерывные функции Аг- на торе. Мы покажем, что для произвольных 9 оператор Шредингера можно привести к диагональному виду с элементами А¿(0), I £ К, алгебры Ав на диагонали. Тогда спектр оператора Шредингера представляется объединением спектров этих диагональных элементов.

Таким образом, для получения единообразного описания спектра нам понадобится приводить операторы к "диагональному" виду с элементами С*-алгебр на диагонали. Эта задача представляет также самостоятельный интерес.

Из стандартного курса линейной алгебры известно, что самосопряженные матрицы можно привести к диагональному виду. Но уже при попытках диагонализировать самосопряженные матрицы с коэффициентами из коммутативной С*-алгебры возникают препятствия, описанные Гроувом и Педерсеном в [33]. Ниже мы напомним эти препятствия, которые, позволяя (поточечно) найти непрерывные собственные значения, не дают непрерывных собственных векторов. Случай матриц над некоммутативными алгебрами рассмотрен впервые Кэйдисоном [39], который показал, что матрицы с коэффициентами в И^*-алгебре можно привести с помощью унитарного преобразования к диагональному виду с элементами этой же алгебры на диагонали. Нам пришлось обобщить эти результаты в двух направлениях: от конечных матриц мы перешли к компактным операторам в гильбертовых модулях над С*-алгебрами (в случае поля комплексных чисел это — классическая теорема Гильберта-Шмидта), и при диагонализации мы отказались от требования, чтобы собственные векторы были непрерывны, требуя непрерывности только от собственных значений (в некоммутативном случае это означает, что унитарные операторы, которые приводят диагонализируемые операторы, могут быть взяты из большей И^-алгебры, в то время как диагональные элементы должны принадлежать меньшей С*-алгебре, слабо плотной в И/Г*-алгебре). Мы покажем, что положительные компактные операторы (а оператор Шредингера является положительным, и обратный к нему компактен) допускают диагонализацию в указанном ослабленном смысле над рядом С*-алгебр, в частности, над коммутативыми С*-алгебрами, над конечными И^-алгебрами, над С*-алгебрами (рационального и иррационального) вращения, а также над непрерывными полями некоторых С*-алгебр. Для доказательства последнего случая существенным инструментом является теорема 1.1.1 о почти коммутирующих операторах. К сожалению, непрерывное поле алгебр вращения не позволяет применить к операторам над ним процедуру диагонализации.

Целью настоящей работы является изучение почти коммутирующих операторов, построение теории почти представлений дискретных групп, обобщающей случай пары почти коммутирующих операторов, нахождение связи между теорией почти представлений и теорией асимптотических представлений дискретных групп, описание расслоений (точнее, классов К-теории) над классифицирующим пространством дискретной группы, которые могут быть заданы с помощью асимптотических представлений этой группы, единообразное описание спектра оператора Шредингера в магнитном поле для рационального и иррационального потоков, построение общей теории диагонализации операторов в гильбертовых модулях над широким классом С*-алгебр.

Конструкции, результаты и методы настоящей работы могут найти применение в топологической и операторной К-теории, теории групп, теории С*~алгебр, некоммутативной геометрии и теории операторов. Среди конкретных направлений с сегодняшней точки зрения можно указать следующие.

1. Исследование специальных эллиптических операторов, коммутирующих с действием некоммутативных алгебр (ср. [10, 14]).

2. Гомотопическая классификация С*-алгебр [1].

3. Численное моделирование асимптотических представлений дискретных групп.

4. Исследование связи между ^-теорией Конна-Хигсона и расширениями С*-алгебр [38].

5. Исследование гомотопической инвариантности высших сигнатур неодносвязных многообразий (гипотеза С. П. Новикова).

Основные результаты диссертации можно сформулировать следующим образом.

1. Доказано, что если унитарная матрица и почти коммутирует с самосопряженной матрицей к (т. е. норма разности и*ки — Н мала), то матрицу и можно соединить непрерывным путем с единичной матрицей так, чтобы вдоль этого пути норма коммутатора [м, /г] также мала. Этот же результат доказан и для случая, когда г/, /г — элементы более общего чем матричные класса С*-алгебр. При этом оценки нормы коммутатора не зависят от выбора С*-алгебры из рассматриваемого класса (в частности, от размерности).

2. Показано, что пару почти коммутирующих унитарных матриц можно продолжить до пары асимптотически коммутирующих матриц возрастающей размерности.

3. Сформулировано свойство асимптотической устойчивости конечно представленных групп. Группа называется асимптотически устойчивой, если любое ее £-почти представление с достаточно малым г > 0 продолжается до асимптотического представления этой группы. Это свойство является алгебраическим аналогом существования на классифицирующем пространстве группы последовательности почти плоских расслоений со стремящейся к нулю кривизной, которые могут быть прогомотопи-рованы в классе почти плоских расслоений друг к другу.

Доказано, что свойством асимптотической устойчивости обладают абелевы группы и фундаментальные группы двумерных ориентированных поверхностей.

Найден пример группы Г, не обладающей свойством асимптотической устойчивости. Одновременно эта группа служит примером того, что элементы группы К°(Г) классифицирующего пространства этой группы не могут быть получены стандартной конструкцией А. С. Мищенко из асимптотических представлений группы Г.

4. В терминах почти представлений найдено новое простое доказательство гипотезы С. П. Новикова о гомотопической инвариантности высших сигнатур для специального класса нильпотентных групп.

5. Доказано, что построенное совместно с А. С. Мищенко [72] отображение из группы асимптотических морфизмов С*-алгебры в группу расширений надстройки над этой алгеброй является левым обратным к отображению Конна-Хигсона [23]. Получено описание образа композиции этих отображений.

6. Показано, что оператор Шредингера в магнитном поле с иррациональным магнитным потоком может рассматриваться как неограниченный (обратный к компактному) оператор, действующий в стандартном гильбертовом модуле над некоммутативным тором, т. е. над С*-алгеброй иррационального вращения Ад.

7. Доказано, что положительный компактный оператор, действующий в стандартном гильбертовом модуле На над конечной алгеброй фон Неймана А, может быть приведен к диагональному виду (с упорядоченными по возрастанию элементами алгебры А на диагонали) в дуальном модуле Н'А.

8. В связи с тем, что обобщенные собственные значения, т. е. диагональные элементы, определены лишь с точностью до унитарной эквивалентности, описан класс С*-алгебр со следующим свойством: пусть А — точно представленная в гильбертовом пространстве С*-алгебра, В — конечная алгебра фон Неймана, получающаяся слабым замыканием алгебры А, тогда обобщенные собственные значения (при диагонализации положительных компактных операторов в гильбертовом модуле Н'в) можно выбрать из исходной алгебры А вместо большей алгебры В.

Доказано, что С*-алгебра А$ иррационального вращения обладает вышеописанным свойством. Найдены условия, при которых непрерывные поля С*-алгебр над отрезком обладают этим свойством, и показано, что непрерывное поле некоммутативных торов (алгебр вращения) указанным свойством не обладает.

9. Дано общее (для рационального и иррационального магнитного потоков) описание разложения спектра в объединение спектров диагональных элементов. Как следствие предыдущего, показано, что оператор Шредингера для произвольного магнитного потока в можно представить в диагональном виде с элементами алгебры Ав на диагонали. Как известно [10], в случае целочисленного в алгебра А$ совпадает с коммутативной алгеброй функций на двумерном торе, и спектр оператора Шредингера обслуживается последовательностью функций на двойственном торе. Показано, что то же самое выполняется и в общем случае, при замене алгебры функций на торе на (вообще говоря, некоммутативную) алгебру Ав- Однако, это невозможно сделать одновременно для всех значений 0, именно, невозможно привести к диагональному виду операторы над непрерывным полем алгебр Ад, в Е [а, Ь]. Таким образом, получен ответ на вопрос, поставленный в работе [10].

Диссертация состоит из введения и 3 глав, разбитых в общей сложности на 21 параграф, а также из списка цитированной литературы. Нумерация утверждений тройная: номер главы, номер параграфа и номер утверждения, нумерация формул — двойная: номер главы и номер формулы. Общий объем диссертации 210 страниц. Библиография содержит 80 наименований. Перейдем к изложению содержания диссертации.

1. Аристов О. Ю. О гомотопической эквивалентности простых А1-алгебр. Матем. сб. 190 (1999), N 2, 3-30.

2. Атья М. Ф., Хирцебрух Ф. Векторные пучки и однородные пространства в дифференциальной геометрии. Математика (сб. переводов) 6 (1962), N 2, 3-39.

3. Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. — М.: Мир, 1974.

4. Каспаров Г. Г. Операторный /'С-функтор и расширения С*~ алгебр. Изв. Акад. Наук СССР, сер. матем. 44 (1980), 571-636.

5. Каспаров Г. Г. Операторная К-теория и ее приложения. Совр. пробл. матем. Нов. дост. Т. 27. М.: ВИНИТИ, 1985, 3-32.

6. Лыскова А. С. Об операторе Шредингера в магнитном поле. Успехи матем. наук 36 (1981), N 2, 189-190.

7. Мальцев А. И. Об одном классе однородных пространств. Изв. АН СССР, сер. матем. 13 (1949), n0 1, 9-32.

8. Мищенко А. С. О фредгольмовых представлениях дискретных групп. Функцион. Анал. и Прил. 9 (1975), n0 2, 36-41.

9. Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Индекс эллиптических операторов над С*-алгебрами. Изв. АН СССР. Сер. Матем., 43 (1979), 831-859.

10. Новиков С. П. Двумерные операторы Шредингера в периодических полях. Совр. проблемы матем. Т. 23. — М.: ВИНИТИ, 1983, 3-32.

11. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. М.: Мир. 1977.

12. Akemann C., Pedersen G., Tomiyama J. Multipliers of C*-algebras. J. Fund. Anal., 13 (1973), 277-301.

13. Arveson W. Notes on extensions of C*-algebras. Duke Math. J. 44 (1977), 329-355.

14. Béllisard J. C*-algebras in solid state physics. 2D electrons in a uniform magnetic field. Operator Algebras and Applications, Vol. 2, 49-76, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 136, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1988.

15. Bhatia R., Davis C., Mcintosh A. Perturbation of spectral subspaces and solution of linear operator equations. Linear Algebra Appl. 52/53 (1983), 45-67.

16. Brenken B. Representations and automorphisms of the irrational rotation algebra. Pacif. J. Math. Ill (1984), 257-282.

17. Brown L. G., Pedersen G. K. <7*-algebras of real rank zero. J. Fund. Anal. 99 (1991), 131-149.

18. Choi M.-D. Almost commuting matrices need not be nearly commuting. Proc. Amer. Math. Soc. 102 (1988), 528-533.

19. Choi M.-D., Elliot G. A. Density of self-adjoint elements with finite spectrum in an irrational rotation C*-algebra. Math. Scand. 67 (1990), 73-86.

20. Connes A. An analogue of the Thom isomorphism for crossed products of a C*-algebra by an action of R. Adv. in Math. 39 (1981), 31-55.

21. Connes A. C*-algèbres et géométrie différentielle. C.R. Acad: Sei., Paris, 290 (1980), 599-604.

22. Connes A., Gromov M., Moscovici H. Conjecture de Novikov et fibrés presque plats. C. R. Acad. Sei. Paris, série I, 310 (1990), 273-277.

23. Coimes A., Higson N. Deformations, morphismes asymptotiques et A-theorie bivariante. C. R. Acad. Sci. Paris, serie I, 311 (1990), 101-106.

24. Dádárlat M., Loring T. A. A-homology, asymptotic representations and unsuspended E-theory. J. Funct. Anal. 126 (1994), 367-383.

25. Davidson K. R. Almost commuting Hermitian matrices. Math. Scand. 56 (1985), 222-240.

26. Dupré M. J., Fillmore P. A. Triviality theorems for Hilbert modules. In: Topics in modern operator theory, 5-th Internat. conf. on operator theory. Timisoara and Herculane (Romania), 1980. — Birkháuser Verlag: Basel-Boston-Stuttgart, 1981, 71-79.

27. Eilers S., Loring T. A., Pedersen G. K. Morphisms of extensions of C*-algebras: Pushing forward the Busby invariant. Adv. Math., to appear.

28. Elliott G. A., Natsume T., Nest R. The Heisenberg group and A-theory. K-Theory 7 (1993), 409-428.

29. Exel R., Loring T. A. Invariants of almost commuting unitaries. J. Funct. Anal. 95 (1991), 364-376.

30. Exel R. The soft torus II. A variational analysis of commutator norms. J. Funct. Anal. 126 (1994), 259-273.

31. Frank M., Manuilov V. M. Diagonalizing "compact" operators on Hilbert W*-modules. Zeitschr. Anal. Anwendungen 14 (1995), 3341.

32. Grove K., Karcher H., Ruh E. A. Group actions and curvature. Invent. Math. 23 (1974), 31-48.

33. Grove K., Pedersen G. K. Diagonalizing matrices over C(X). J. Funct. Anal., 59 (1984), 64-89.206

34. Grove K., Pedersen G. K. Sub-Stonean spaces and corona sets. J. Fund. Anal. 56 (1984), 124-143.

35. Halmos P. R. Some unsolved problems of unknown depth about operators on Hilbert space. Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 76 (1976), 67-76.

36. Harpe P. de la, Karoubi M. Représentations approchées d'un groupe dans une algèbre de Banach. Manuscripta Math. 22 (1977), 293-310.

37. Higson N. C*-algebra extension theory and duality. J. Funct. Anal. 129 (1995), 349-363.

38. Houghton-Larsen T., Thomsen K. Universal (co)homology theories. K-theory 16 (1999), 1-27.

39. Kadison R. V. Diagonalizing matrices. Amer. J. Math. 106 (1984), 1451-1468.

40. Kadison R. V., Ringrose J. R. Fundamentals of the Theory of Opeator Algebras. V. 1,2. Graduate Studies in Mathematics. Amer. Math. Soc., 1997.

41. Kasparov G. G. Hilbert C*-modules: Theorems of Stinespring and Voiculescu, J. Operator Theory 4 (1980), 133-150.

42. Lance E. C. Hilbert C*-modules — a toolkit for operator algebraists. (London Mathematical Society Lecture Note Series 210.) — Cambridge, England: University Press, 1995.

43. Lin H. Almost commuting selfadjoint matrices and applications. Operator algebras and their applications (Waterloo), Fields Inst. Commun. 13, Amer. Math. Soc., Providence, 1997, 193-233.

44. Loring T. A. Berg's technique for pseudo-actions with applications to AF embeddings. Canad. J. Math. 43 (1991), 119-157.

45. Loring T. A. C*-algebras generated by stable relations. J. Fund. Anal. 112 (1993), 159-201.

46. Loring T.A., Pedersen G.K. Corona extendibility and asymptotic multiplicativity. K-Theory, 11 (1997), 83-102.

47. Loring T. A. iT-theory and asymptotically commuting matrices. Canad. J. Math. 40 (1988), 197-216.

48. Mishchenko A. S., Noor Mohammad. Asymptotic representations of discrete groups. "Lie Groups and Lie Algebras. Their Representations, Generalizations and Applications." Mathematics and its Applications 433. Kluver Acad. Publ.: Dordrecht, 1998, 299-312.

49. Murphy Q. J. Diagonality in C*-algebras. Math. Zeitschr. 199 (1990), 279-284.

50. Murray F. J., von Neumann J. On rings of operators. Ann. Math. 37 (1936), 116-229.

51. Paschke W. L. Inner product modules over J3*-algebras. Trans. Amer. Math. Soc. 182 (1973), 443-468.

52. Paschke W. L. The double J5-dual of an inner product module over a C*-algebra. Canad. J. Math. 26 (1974), 1272-1280.

53. Pedersen G. K. C*-algebras and their automorphism groups. Academic Press: London New York - San Francisco, 1979.

54. Rieffel M. A. Induced representations of C*-algebras. Adv. in Math. 13 (1974), 176-257.

55. Rieffel M. A. C*-algebras associated with irrational rotations. Pacif. J. Math. 93 (1981), 415-429.

56. Rieffel M. A. Continuous fields of C*-algebras coming from group cocycles and actions. Math. Ann. 283 (1989), 631-643.

57. Roe J. Index theory, coarse geometry and topology of manifolds. — CBMS 90, Amer. Math. Soc., 1996.

58. Sunder V.S., Thomsen K. Unitary orbits of selfadjoints in some C*-algebras. Houston J. Math. 18 (1992), 127-137.

59. Takesaki M. Theory of operator algebras, 1. — New York-Heidelberg-Berlin: Springer Verlag, 1979.

60. Voiculescu D. Remarks on the singular extension in the C*-algebra of the Heisenberg group. J. Operator Theory 5 (1981), 147-170.

61. Voiculescu D. Asymptotically commuting finite rank unitary operators without commuting approximants. Acta Sci. Math. (Szeged) 45 (1983), 429-431.

62. Zhang S. Diagonalizing projections. Pacif. J. Math. 145 (1990), 181— 200.

63. Мануйлов В. M. О группе Kq непрерывного поля алгебр А#. Успехи машем, наук 44 (1989), вып. 3, 163-164.

64. Мануйлов В. М. О собственных значениях возмущенного оператора Шредингера в магнитном поле с иррациональным магнитным потоком. Функцион. анализ и его прил. 28 (1994), No 2, 57-60.

65. Мануйлов В. М. Диагонализация компактных операторов в гильбертовых модулях над И/Г*-алгебрами конечного типа. Успехи машем, наук 49 (1994), No 2, 159-160.

66. Manuilov V. М. Diagonalization of compact operators in Hilbert modules over finite W*-algebras. Annals of Global Anal, and Geom. 13 (1995), No 3, 207-226.

67. Мануйлов В. M. Локальные минимумы коммутаторных норм в конечных факторах. Вести. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1997, No 3, 25-28.

68. Мануйлов В. М. Спектрально стабильные соотношения. Успехи матем. наук 52 (1997), No 2, 175-176.

69. Мануйлов В. М. Диагонализация компактных операторов в гильбертовых модулях над С*-алгебрами нулевого вещественного ранга. Матем. заметки 62 (1997), 865-870.

70. Мануйлов В. М. Диагонализация компактных операторов в гильбертовых модулях над непрерывными полями С*-алгебр. Матем. сб. 188 (1997), No 6, 99-118.

71. Мануйлов В. М. О почти коммутирующих операторах. Функ-цион. анализ и его прил. 31 (1997), No 3, 80-82.

72. Мануйлов В. М., Мищенко А. С. Асимптотические и фредголь-мовы представления дискретных групп. Матем. сб. 189 (1998), No 10, 53-72.

73. Мануйлов В. М. Асимптотические представления групп 7Г х Z. Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова225 (1999), 243-249.

74. Мануйлов В. М. Почти представления и асимптотические представления дискретных групп. Изв. РАН, сер. матем. 63 (1999), No 5, 159-178.