Гомологии с внутренними симметриями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

т и

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В, ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

КОЛОСОВ. Вадим Александрович

УДК 513.83

ГОМОЛОГИИ С ВНУТРЕННИМИ СИММЕТРИЯМИ 01.01.04 — геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

хЯ* Москва — 1990

\ . / (V

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

вед. науч. сотр. Ю.П. Соловьёв. Официалыше оппоненты: доктор физико-математических наук,

ке при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 117234, г. Москва, Ленинские Горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 14-08,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

профессор В.А. Смирнов, кандидат физико-математических наук,

доцент C.B. Лапин.

Ведущее предприятие : ЛОШ АН СССР им. В. А. Стеклова.

Защита диссертащш состоится " * 1991г.

л, о<г- '

в I Ь ~ на заседании специализированного Совета №2 по математи-

/ Ученый секретарь специализированного Совета 16 2 по математике при МГУ

дома

В.Н. Чубариков

' IV* ' ' "V

' !'тдел"""| ОЕЦМ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЗРТАЩШ

усмтащий I

Диссертация посвящена эрмитовой млгебраической К, -теории А«, -кольцевых пространств и ее приложению к проблеме вычисления гомотопического типа пространств автоморфизмов многообразии, а также проблема вычиолетя гомологии с внутренними с шло-- зиямя с рациона яышми коэ<1Фяциеягами.

Актуальность темы. Исследования автоморфизмов многообразий имеют йогатуи истории и связаны с работами таких математиков, как 2.П. Серр, С.П. Новиков, Г.Серф, А.Хэтчер, Д.Гургеля, Р.Лашоф, Ф.Вальдхаузеи я др. Ключевыми результатами в этой области являются: теоремы о стабилизации конкордантностей Хэтчеря и Еургеля-Лапофа; связь стабилизировании* конкордзнтностеП с линейной алгебраической &-теорией топологических пространств,построенной Вальдхзузеном в 1978 г.; связь рациональных линейных и эрмитовых ({.-групп с гомологяями о внутренними сишетрияш с рациона- ■.ними коэффициентами, установленная Д.Гургеля, Ю.П.Соловьевым в Р.Л. Красаускасом.

Для изучения гомотопического типа пространств автоморфизмов к 1990 г. были определены линейная и эрмитова алгебраические VI -теория А^-кольцевых пространств. В 19с? году Карлссон, Коэн, Гудвилли и Сян вычислили линэ&гую алгебраическую К.-тео-рию свободных Д^-кольцевых пространств. В настоящей диссертации вычисляется эрштова алгебраическая &-теория свободных

А^-кольцевых пространств и предлагаются методы вычисления го-мологий с внутренними симметрияш с рациональными коэффициентами. Для изучения пространства стабильных конкордантностей, используют, доказанное Ф.Зальяхаузеяом в 1979 г., расщепление линейной алгебраической ^{.-теории в произведение пространства Уайтхеда

и свободного бесконечнокрзтного пространства петель. Аналогичное расцепление (полулокал~-'ое) для эрмитовой алгебраической

-теории, установленное в настоящей диссертации, дает возможность предложить методы вычисления гомотопического типа пространств автоморфизмов четномерных многообразий в стабильных размерностях.

Цель работы состоит в построения эффективного способа вычисления раиионаяыгвх гомологий с внутренними сишеттяшли,' в вычислении приведенной эрмитовой УС-теории от свободных

А^-кольцевых пространств и приложении этих результатов к проблеме вычисления гомотопического типа групп автоморфизмов многообразий.

Научная новизна. Все результаты, сформулированные нияе в виде строгих математических утверждений, являются новыми и получены автором самостоятельно.

Приложения. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в научных исследованиях по гомологической алгебре и топологии, проводимых в Московском государственном университете, Институте математики им. В.А. Стеклова АН СССР, ЛОШ АН СССР, Институте математики АН УССР, Институте математики АН БССР.

Апробация. Результаты работа докладывались в МГУ на научных семинарах проф. М.М. Постникова, а также проф. А С Мищенко и в~н7с7Тзл1. Сш5вьева-^федры-вш!юа_хеоретрта_и_топологий, на • конференции молодых ученых механико-математического факультета, на Ломоносовских чтениях в МГУ в 1890 г.

Нублт?ка;тви. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах, список которых приведен в конпе автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых па 8 параграфов. Текст диссертации излокеи ко 74 страницах. Список литературы содержит 32 наименования.

СОДЕРКАЖЕ ДИССЕРТАЦИЯ

Во введении обосновывается актуальность тематики, дается обзор литература, кратко излагается содержание диссертации.

Первая глава посвящена методам вычисления гомологпй с внутренними оиммвтриями■ В 5 I I исследуется комбинаторная структура о ^ и У/* - симметрической и вейлевской скрещенннх слмп-лициалышх груш. Здесь - симметрическая группа перестановок 1г+1-го символа - ..,, ("2/2)П\>< Б«.

- группа Вейля адтабрн Лд типа Сщ.1 . Рассмотрим

- прямой предел симметрических групп, относительно вложений

ь а '• (—на стабилизатор символов { >к*г»• • • п } • На образующих группы <5^ -транспозициях к. = ( к-1, к. > , к ^ 1, -опродел'м операторы 5^,, Б с'. ^— ь>о,

по формулам:

К-1 , С <к-л.

К , С * . С ^ к-1, К

{

V-

К.+1 , (. < К-1

ъ > I > К.

к- й+|, С, = к.

КЯ-К. , С -к-1

где * - единица группы 5»= .

На всю группу эти отображения распространяются по форму-

лам композиции: сЦ*.^) = ■ <¿,(0) , ЗсО'Э) = -Ь^^Ы)-

. л,' , где Э 6 о ^ . Операторы граней и вырож-

дений симплициальяого множества получаются из операторов : и & с » ограничением на подгруппу о^ с .

Аналогично определяются операторы для группы W», -где прямой предел берется относительно естественных вложений

i I : с.

Теорема I.I.2. Сишлациальные множества S* н W* стягиваются к точке С*) I * посредством симшшциал'ьной гоыотопии ^«■ioinin, • задаваемой формулами: К. ^ '• G«. —G?n+i

~ ^ п , где '. GK 6 и. - есть естественные вложения: : S«. t—V SK или Зк-

В § 1.2 предлагается обедай метод вычисления гомологий с внутренними симметриша с коэффициентами из поля нулевой характеристики.

Пусть (\ - индексированный симгогсциалышй ^-мо-

дель, где (\ -регулярная индексирующая категория, соответствующая o.e. группе ( Д.* , е»: ЛW*). Тогда'для вычисления

фуНКТОрОВ Н Л к (. - То R. #

1 (it, Ю- гомологий и НЛ* (М*) = Ехд ( V&) - когомологий можно предложить следующие цепные комплексы:

lbvCCM«), I hv* ( М

Положим по определению Irvv ^ (_ГЛ fu-линейно,

= ^{^wj-fi^iAfjitn) = -f С ¿^t-t)üi(^),

где 'f £ I«vv дЧ^* ^, m€. (^.Комплекс Xhv^ C^*) определяется двойственным образом.

Теорема 1.2.1. Пусть -поле нулевой характеристики, М^ — 1\ - индексированный симшгациальный -модуль с аугментацией. Тогда имеют место изоморфизмы:

И/\*Ч ГА») = п ^

если СаяА /\ ^ ^ . е

Доказательство проводился методом ациклических моделей, который для этого переносится на случай сишлициальных Л-индексированных & -модулей.

В § 1.3 результаты, полученнне в предыдущих параграфах,применяются для вычисления гомологий симметрических объектов с коэффициентами из поля нулевой характеристики.

Теорема 1.3.1. Пусть /Ч* -симметрический -модуль, где

-поле нулевой характеристики. Тогда имеют место изоморфизм):

нс.см^) ^ ИпС^ОФ На-ЛмОфН^С^о©.--'. цсчгл*)= НМм^шН'Ч^еНП/м,)®- .

Пример 1.3.2. Пусть М^ ^- сингулярный симпляциэль-ный 1-модуль топологического пространства X . Для любой регулярной индексирующей категории А , является А -индексированным симплициальным ^-модулем. В частности, комплекс

} есть комплекс сингулярных коцепей пространстваХ'. В комплексе д С А/О содержатся подкомплексы цикличе-

ски и сишетрически инвариантных коцепей - 1 ь V * ( М * ) и При этом,

НЛ<£Р"Т*0 ИЛХ). если Ь -полз нуле-

вой характеристики.

Вторая глава посвяпена комбинаторным моделям гомологий с внутренними сишетриями. В 2.1 для произвольного связного пространства X с отмеченной точкой строится диэдральная комбинаторная модель - пространство С) С X).

Рассмотрим прямой предел полукояфигурациошшх простраггств - НВГ,^ = Г . где =

[ (а..11-----мс с Щ'Чф . Ьг + ±за- пр\Д ¿Ф^С^'"1'

Положим по определении 12)( X") = О * ^^ / ^

* - отмоченная точка. Boo пространства, рассматриваемые в главах П и Ш предполагаются пунктированными, пунктированно гомотопически эквивалентными пун-ктированннм клеточным.

Теорема 2,1.Г. Для связного пространства X имеет место гомотопическая эквивалентность

STZI и D) * П iTH А^),

г „ win-*1) Г- г\ \J /

где t-JJ+Л^Д = t J-J* / 5On. .группа диэд-

£>л = | = = 1 , -рт: р = Ъ"1 > действу-

от в к — (.«-^-кратной внешней степени пространства X, I перестановками координат.

Следствие 2.1.4. Для связного пространства X имеет место

пзомо^зм нрш) s © н ; H,U) ),

где для гипергомологий Н* ( iD^', Н * ( ®1гг+1>) предполагается, что группа диэдра Т)л действует перестановками координат.

£ § 2.2. рассматривается топологическая модель диэдральных гомологий надстройки над связным пространством. Рассмотрим пространство ,

EO&wa = / bota)

где группа 0(1) действует на пространстве свободных петель 7ч ) следующим образом:

to AU)t t)- У1где у: 5 = —"IX, teiRvfe

л ^ X —" 2 X - каноническая инволюция в надстройке. Определим инволюцию на моноиде петель

Мура Д пространства 2-Х как композицию обращения

петель п канонической инволюции в надстройке ¿1 X ■

Теорема 2.2.1. Для связного пространства X имеют место изоморфизмы с* __

Теорема 2.2.2. Для связного пространства X имеет место гомологическая эквивалентность 1

&(« — ЕО^Л^ИХУ5

Следствие 2.2.3. Для связного, гомотопически простого пространства X имеет место гомотопическая эквивалентность

если фундаментальная группа 1ч ( X) конечнопорожденная.

В § 2.3 дается общая теоретико-категорная конструкция для комбинаторных моделей. По связному пространству X , определяются семь комбинаторных моделей (по числу канонических^индекси-рутедех катогорий). Положим по определен™

х /V ,где 91 = Д, Н-,С, 1), Б ,Т, V/ отношение эквива-

лентности определяется следующим образда

( ■ ■ , ,. .. ,4*1 X,, к4, ... , х^, к, ,

С у ц .

. .....хоеХ .^^¿и^с^Й^,

V ^

груша действует на пространстве А перестановками

координат, на полунонфигурзционном пространстве канонически(т.е. переставляя элементы из ¡Я*° и изменяя у них знаки). При этом

<((0,1,...,аГ, + ,+>•■•,1-)> -'ЗГ/а-и, ©«.= <¿0,1,..., а) >,+....,+),

Теорема 2.3. Для связного гомотопически простого пространства X с конечнопорозденной фундаментальной группой гомотопически коммутативная диаграмма

. ^сх)——ту

л а)'

1

Щ

Т(Х)

/ Г/ •

вертикальные стрелки которой - гомотопические эквивалентности, стабильно расщепляется в диаграмму букетных сумм:

^ Л I к

V Л X ■—г-у д X —^ V Еии К X

Заметим, что все отображения в этих диаграммах (кроме вертикальных стрелок в первой) являются отображениями факторизации.

Третья глава посвящена изучению гомотопического типа эрмитовой VI -теории Д^кольцевых пространств.

В § 3.1 вычисляется гомотопический тип эрмитовой Н.-теории от свободных Д^.

-кольцевых пространств. Напомним, что 'А^ -кольцевым называют пространство ^ . с зада штага на нем операциями "вложения" и "умножения", относительно которых Я- являетоя, соответственно,Е^ и Д^-пространством, причем эти операции связаны соотношениями гомотопической дистрибутивности. Свободное

-кольцевое пространство, пороядеяное топологическим пространством )(, , определяется по формуле

При этом, инволюция на ЗсС X) индуцируется инволюцией <> в моноиде . Обозначим через

эрмитову алгебраическую -теорию Д -кольцевого пространства ^Я, с инволюцией, через

ДЯ)

- приведенную эрмитову алгебраическую

-теорию.

Теорема 3.1,2. Для пространства X имеет место полулегальная гомотопическая эквивалентность (п п

П^ГГЯЕ^.Л^ ).

если Х- связное.

Следствие 3.1.3. .

В § 3.2 результаты предыдущего параграфа прилагаются к изучению эрмитовой алгебраичебкой К-теории топологических пространств и пространств автоморфизмов многообразий. Для произвольного непрерывного функтора вида Т: 1ор.^Тор. (Тор. - категория пунктированных топологических пространств, 'ггунктированно гомотоштчески эквивалентных клеточным) определим его стабилизации - Т ^ Тор —Тор по формуле •.

Т'Чх) = >3*есь т -

приведенный функтор.

Теорема 3.2.1. (л) Для связного пространства А имеет место гомотопически коммутативная диаграша (после локализации вне

лвоаки) ^ОТТаРС ЛХ)

ф /

--------^Ш&шк

(¡л) Имеет место гомотопическая эквивалентность (после локализации вне двойки):

устор..

Положим по определении:

Следствие 2.2.2. После локализации вне двойки имеет место следующее растепление л ■—

пространство

есть гомотопический слой эрмитовой стабилизации (X) JJrOQ .где,

tLr4)C) - ХЩяшГ1

Предлонение 2.3. Пусть (Л - односвязное гладкое, кошактное четномерное многообразие. Тогда после локализации вне двойки имеет место ^Сп.)- эквивалентность:

HMoWK>í2 С К) 4) Н / vwo [ К) f

здеоь ^ / Horneo (_!М ) есть гомотопический слой вложения

V\ov^eo (М"1") с—— И С , где \\ ( - простран-

ство гомотопических саыоэквивалентностей и Vlomeo (.M"J-пространство автогодашорфизмов многообразия ,

^ = ) , при > 11',Н/Цр^о(Мп)бТор..

Основные результаты диссертации опубликованы в следущих работах :

I. Колосов В.А. Симметрические гомологии и когомологш // Вест.

-Мосг~Ун-та ,• сер. 1 мат. мех., 1УЬЭ , №4 , стр. 81 - 83.

2. Колосов В.А., Соловьев Ю.П. Рашональный гомотопический, тип эрмитовой К-теории//Вест. Ыос. Ун-та, сер. I мат. мех. , 1990,

- п -

№5 , стр. 77-80. 3. Колосов В. А. Эрмитова алгебраическая К-таория и симшшциаль-ные объекты с внутренними синштриямн. Рук. деп. в ШНИЗК 13. 11.90 № 5690-В90.