Эллиптические операторы в подпространствах и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1. Содержание работы

2. Обзор литературы

I Эллиптические операторы в подпространствах

3. Эллиптическая теория в подпространствах

3.1. Подпространства, определяемые псевдодифференциальными проекторами

3.2. Эллиптические операторы в подпространствах.

4. Операторы с условиями четности

4.1. Подпространства с условиями четности.

4.2. Гомотопическая классификация эллиптических операторов в подпространствах

4.3. Теорема об индексе.

Дополнение. Действие антиподальной инволюции в /^-теории

II Краевые задачи для эллиптических уравнений

5. Классические краевые задачи

5.1. Основные определения

5.2. Пример.

6. Гомотопическая классификация

6.1. Классификация операторов порядка нуль

6.2. Редукция порядка: от первого к нулевому.

6.3. Редукция порядка: от произвольного к первому.

6.4. Основные теоремы.

7. Задачи для общих эллиптических уравнений

7.1. Спектральные краевые задачи.

7.2. Теорема о редукции.

8. Задачи в четных и нечетных подпространствах

8.1. Условия четности и краевые задачи.

8.2. Классификация задач с четными проекторами.

8.3. Классификация задач с нечетными проекторами.

8.4. Основные результаты.

III Функционал размерности и ^-инвариант

9. ту-инварианты и подпространства с условиями четности

9.1. Основная теорема.

9.2. Примеры.

10.Дробная часть функционала размерности

10.1. Вычисление дробной части в простейшем случае.

10.2. Вычисление дробной части в общем случае

10.3. Теория mod п-индекса.

10.4. Эллиптическая теория с коэффициентами в Zn.

10.5. Формула для дробной части функционала d.

Дополнение А. Подпространства и группа К1 (Т*М)

Дополнение В. Х-теория с коэффициентами в Zn

1. Цель настоящей работы — построить теорию эллиптических операторов, действующих в подпространствах, определяемых псевдодифференциальными проекторами.

Как известно, классическая эллиптическая теория имеет дело с эллиптическими операторами, определенными в соболевских пространствах. Основными фактами этой теории являются теорема конечности (фредгольмовости) эллиптических задач (на компактном многообразии или многообразии с краем), а также формула индекса таких задач. К сожалению, в ряде приложений теория эллиптических операторов в пространствах Соболева оказывается недостаточной. Вот один пример. В теории краевых задач хорошо известно, что не для любого эллиптического оператора существуют корректные (фредгольмовы) краевые задачи в пространствах Соболева. В частности, так обстоит дело для важных геометрических операторов, например, операторов Дирака, сигнатуры и т.п. Действительно, как было указано Атьей и Bottom [21], для существования фредгольмовых краевых задач для данного оператора необходимо и достаточно, чтобы его символ удовлетворял некоторому условию. Указанные выше геометрические операторы такому условию как раз и не удовлетворяют. Возникает вопрос, можно ли построить эллиптическую теорию для операторов, не удовлетворяющих условию Атьи-Ботта? Ответ на этот вопрос утвердительный. Именно, оказывается, что для любого эллиптического оператора существует корректная краевая задача, правда не в пространствах, а в подпространствах Соболева. Этот эффект связан с тем, что нефредгольмовость краевых задач в пространствах Соболева для операторов, не удовлетворяющих условию Атьи-Ботта, проистекает из бесконечномерности коядра оператора. Поэтому, если граничные условия задачи брать лишь из некоторого подпространства пространства Соболева, то соответствующая проблема уже будет фредгольмова [13]. Это наблюдение приводит естественным образом к построению теории эллиптических операторов в подпространствах пространств Соболева.

Оказывается, что такой класс подпространств связан с псевдодифференциальными проекторами и на этом пути удается доказать теорему фредгольмовости на компактном многообразии с краем и без края.

2. После установления теоремы конечности, естественно, возникает задача о нахождении гомотопических инвариантов эллиптических операторов в подпространствах и вычислении индекса таких операторов.

По-видимому, здесь стоит отметить, что индекс эллиптического оператора в подпространствах определяется не только его главным символом, но также и самими подпространствами, в которых этот оператор действует. Для вычисления индекса вводится некоторый числовой функционал, определенный на множестве всех подпространств, удовлетворяющих так называемому условию четности, и принимающий значения в двоично-рациональных числах. Этот функционал является аналогом понятия размерности конечномерных пространств. В терминах функционала размерности удается доказать формулу индекса. Более того, введенный функционал оказывается тесным образом связанным с ^-инвариантом [15] эллиптических операторов. Именно, при условиях четности значение ^-инварианта оператора А совпадает со значением введенного функционала на положительном спектральном подпространстве этого оператора. Последнее обстоятельство вместе с упомянутой формулой индекса позволило решить важную проблему П. Гилки — вычислить дробную часть ^-инварианта оператора в топологических терминах [85]. Решение этой задачи, помимо общетеоретического интереса, имеет важное приложение в различных вопросах алгебраической топологии, например, теории pinc бордизмов.

Функционал размерности позволяет также произвести стабильную гомотопическую классификацию краевых задач для эллиптических уравнений не удовлетворяющих условию Атьи-Ботта. Главный символ краевой задачи в подпространствах с условиями четности и значение функционала размерности классифицируют задачу (с точностью до 2-кручения). Отсюда следует формула индекса краевых задач, которая состоит из вклада типа Атьи-Зингера и размерности пространства граничных значений.

Подробные публикации и тезисы докладов находятся в следующих источниках [8], [11, 82, 85, 86, 83, 84], [9, 89, 88, 87, 10].

Благодарности. Мне бы хотелось поблагодарить своего научного руководителя проф. Б. Ю. Стернина за постоянный интерес и внимание к этой работе. Я признателен проф. А.С. Мищенко, В.Е. Назайкинскому, проф. В.Е. Шаталову за ряд замечаний по работе. Благодарю также участников семинара А.С.Мищенко за плодотворные обсуждения.

1. Содержание работы

Текст диссертации состоит из трех глав. Первая глава является центральной. Она посвящена эллиптической теории в подпространствах, определяемых псевдодифференциальными проекторами. Дальнейшие две главы содержат два приложения этой теории. В первой из них рассмотрены краевые задачи для эллиптических уравнений, а во второй рассмотрено применение теории подпространств к задаче о вычислении спектрального ^-инварианта Атьи-Патоди-Зингера.

Остановимся более подробно на содержании работы.

В начале первой главы обсуждается понятие подпространства, определяемого псевдодифференциальным проектором, вводится символ подпространства, приводятся примеры. Во втором параграфе вводятся операторы, действующие в таких подпространствах и определяется понятие эллиптичности таких операторов. Здесь же для эллиптических операторов доказывается теорема конечности и обсуждаются свойства индекса эллиптических операторов в подпространствах. Далее вводятся четные и нечетные подпространства. Показано, что эти пространства отвечают спектральным подпространствам дифференциальных самосопряженных операторов четного или нечетного порядка. Определяется функционал размерности для четных и нечетных подпространств. Теорема об индексе эллиптических операторов в подпространствах устанавливается в четвертом параграфе. Наконец, в конце этой главы помещено дополнение, в котором производятся некоторые вычисления в К-теории.

Вторая глава посвящена краевым задачам. Основным результатом здесь является их гомотопическая классификация. Так, показано, что классическая краевая задача при выполнении условия Шапиро-Лопатинского допускает редукцию к оператору нулевого порядка, не требующего краевых условий. Показано, что операторы нулевого порядка классифицируются также как и в эллиптической теории на замкнутом многообразии своими главными символами. В этой части работы изложение следует подходу Хермандера [70], которому удалось воплотить топологический метод Атьи-Ботта [21] в явные гомотопии эллиптических краевых задач. Характерной чертой данного метода является также и то, что гомотопии классических краевых задач производятся без выхода в алгебру Буте де Монвеля. Это позволяет одновременно получить гомотопическую классификацию краевых задач и соответствующую формулу индекса, а также доказать теорему Атьи-Ботта о препятствии к существованию эллиптических краевых задач.

Далее рассматриваются краевые задачи [13] для эллиптических уравнений, вообще говоря, не удовлетворяющих условию Шапиро-Лопатинского-Атьи-Ботта. В силу препятствия Атьи-Ботта, такие краевые задачи не могут быть редуцированы к оператору нулевого порядка. Однако, произвольная эллиптическая краевая задача сводится к так называемой спектральной задаче [15, 7] для оператора первого порядка.

Дальнейшее упрощение краевой задачи возможно при дополнительных предположениях. Такими условиями могут быть, например, условия четности (нечетности) главного символа проектора спектральной краевой задачи. При выполнении условий четности, получена стабильная гомотопическая классификация по модулю 2-кручения для эллиптических краевых задач в терминах главного символа краевой задачи и значения функционала размерности подпространства, определяемого псевдодифференциальным проектором.

Получена также формула индекса краевых задач при условиях четности (нечетности). Она является непосредственным следствием гомотопической классификации.

В заключительной третьей главе сначала устанавливается теорема, выражающая введенный в гл. 1 функционал размерности подпространств в терминах ^-инварианта. Приводятся примеры вычисления ^-инварианта.

В следующем параграфе в специальной ситуации проведено прямое вычисление ^-инварианта в терминах индекса. Приводятся примеры. Показывается также, что вычисление ^-инварианта в общем случае может быть редуцировано к вычислению индекса по модулю п операторов, действующих в подпространствах специального вида. Такое вычисление обобщает метод, развитый в работе [17], где проведено вычисление дробной части ^-инварианта с коэффициентами в плоских расслоениях. Устанавливается инвариантность (удвоенной) дробной части ^-инварианта относительно кобордизма. В следующем параграфе показывается, что стабильная гомотопическая классификация эллиптических операторов по модулю п определяется группой К{Т*М,Ъп).

В заключение этой главы приведены два Дополнения. В первом из них дается описание группы К1 (Т*М) в терминах эллиптических самосопряженных операторов, а также в терминах подпространств, определенных псевдодифференциальными операторами. Во втором дополнении описывается А'-теория с коэффициентами в Ъп.

2. Обзор литературы

1. Подпространства, определяемые псевдодифференциальными проекторами на компактных многообразиях без края. Такие подпространства, по-видимому, впервые изучались М. Бирманом и М. Соломяком в [2], где получены некоторые достаточные условия псевдодифференциальности подпространств. В работе К.Войцеховского [100] (результаты которой изложены в книге [34]) показано, что пространство проекторов, отличающихся от фиксированного (например, псевдодифференциального) проектора на компактный оператор, является классифицирующим пространством для А'-теории. При этом, связные компоненты этого пространства нумеруются важным гомотопическим инвариантом, так-называемым относительным индексом проекторов. Этот инвариант был введен в работе Брауна-Дугласа-Филмура [42] в связи с вычислением аналитических /Г-гомологий пространства, состоящего из конечного числа точек. Относительный индекс был переоткрыт в работе [26]. Аналогичное понятие фредгольмовой пары подпространств и соответствующего индекса было введено Т. Като [73] и использовалось Б. Боярским [32, 33] в теории краевых задач (см., напр., гипотезу Боярского в [52]).

Подпространства, определяемые псевдодифференциальными проекторами, явились прототипом определения Г. Каспаровым [4] и Брауном-Дугласом-Филмуром [43, 42] нечетной группы аналитических А'-гомологии. Некоторые дальнейшие результаты в этом направлении исследований изложены в [31, 29, 30, 12].

Отметим также, что операторы, действующие в подпространствах на многообразии без края, являются аналогом операторов Винера-Хопфа (см., напр., [5]). Еще одним классом операторов, действующих в подпространствах, являются тепли-цевы операторы (см. [40, 41]).

Возможность представления индекса эллиптических краевых задач в подпространствах в виде гомотопически инвариантного разбиения на вклад главного символа оператора и вклад граничного оператора изучалась в работах Б. Стернина, Б.-В. Шульце и автора [8, 11] (см. также недавнюю работу [79]). Было найдено необходимое и достаточное условие такого разбиения в терминах спектрального потока [17] периодических семейств. Впервые формула индекса имеющая вид гомотопически инвариантного разбиения была получена Б. Стерниным, В. Шаталовым и Б.-В. Шульце [91] для эллиптических операторов на многообразиях с изолированными коническими особенностями.

Некоторые классы подпространств, определяемых псевдодифференциальными проекторами, которые удовлетворяют условию на спектральный поток из [11], были введены в работах Б. Стернина и автора [9, 89]. Это так-называемые четные и нечетные подпространства. Понятие четности тесно связано с определением допустимых операторов в работе [64]. Для четных и нечетных подпространств было установлено наличие гомотопически инвариантного функционала, обощающего понятие размерности конечномерных пространств [9]. Этот функционал может быть выражен через ^-инвариант Атьи-Патоди-Зингера [15]. Для эллиптического оператора в подпространствах с условиями четности на замкнутых многообразиях и многообразиях с краем была получена стабильная гомотопическая классификация, по модулю 2-кручения, что позволяет установить формулу индекса в этой ситуации [9, 86].

2. Краевые задачи для общих эллиптических операторов и подпространства. Эллиптические операторы на многообразиях с краем, т.е. краевые задачи для эллиптических уравнений были рассмотрены в работе Атьи-Ботта [21], где было обнаружено препятствие (называемое сейчас препятствием Атьи-Ботта) к существованию краевых задач для данного эллиптического оператора на многообразии с границей. Также было установлено, что конкретное краевое условие, определяющее корректную краевую задачу, позволяет редуцировать эллиптический оператор, по крайней мере с точки зрения топологии, к оператору удовлетворяющему условиям теории Атьи-Зингера. На этом пути было получено новое элементарное доказательство [18] периодичности Ботта в комплексной -теории. Однако ни в указанной работе, ни в статье [19], редукции краевой задачи к эллиптическому оператору на многообразии без края приведено не было (это подтверждают и сами авторы, см. обзор М. Атьи работы А. Дынина [3] в Math.Reviews v.42, N6870).

В работе JI. Буте де Монвеля [39] была построена алгебра краевых задач. В этой алгебре получена гомотопическая классификация эллиптических элементов и обобщение формулы Атьи-Ботта для индекса краевых задач. Детальное изложение технически громоздкой теории Буте де Монвеля было дано Ш. Ремпелем и Б.-В. Шульце в [81].

Позлее Л. Хермандеру [70] удалось реализовать идею Атьи-Ботта о вычислении индекса краевых задач в рамках обычной классической теории (соответсвующая техника изложена также в монографии [99]). Пользуясь подходом Хермандера, в работе [86] получена гомотопическая классификация классических краевых задач, а также формула индекса.

Указанному выше препятствию Атьи-Ботта не удовлетворяют многие геометрические операторы, например, операторы Коши-Римана, Дирака, Хирцебруха (сигнатуры), Дольбо. Однородные эллиптические краевые задачи для соответствующих операторов были рассмотрены Р. Сили [93], основываясь на идеях А. Каль-дерона [45, 46]. Эти краевые задачи изучались в работе Атьи-Патоди-Зингера [15], где для геометрических операторов показано, что разность между индексом однородной краевой задачи и обычным вкладом Атьи-Зингера в индекс определяется ограничением эллиптического оператора на край многообразия и дается так-называемым спектральным г}-инвариантом. Соответствующая формула была мотивирована алгебро-геометрическими вычислениями Ф. Хирцебруха [69] дефектов сигнатуры.

Общая теория неоднородных краевых задач для операторов не удовлетворяющих, вообще говоря, условию Атьи-Ботта была построена в [13]. В этой теории краевые задачи ставятся не в пространствах, а в подпространствах пространств Соболева (аналогичные результаты в геометрической ситуации были рассмотрены Б. Бооссом и К. Войцеховским [34], см. также недавний препринт [44]). Это, в действительности, результаты восходящие к классическим пространствам Харди, в которых (и только в них) может быть построена корректная (фредгольмова) теория для оператора Коши-Римана. В работе [7] рассмотрены так-называемые спектральные краевые задачи, для которых установлена их эквивалентность уравнениям на многообразиях с изолированными особенностями конического типа. Ранее такая связь была замечена для геометрических операторов Дж. Нигером [47, 48, 49], см. также работу [50]). В рамках алгебры Буте де Монвеля краевые задачи для псевдодифференциальных операторов не удовлетворяющих условию Атьи-Ботта были недавно рассмотрены в [90].

3. Подпространства и ^-инвариант. Спектральный ^-инвариант Атьи-Патоди-Зингера имеет многочисленные приложения, простирающиеся от алгебраической геометрии [22, 20] и дифференциальной топологии (см. напр. [53]) до квантовой теории поля [98, 97, 51]. В этом введении мы ограничимся только кратким обзором результатов непосредственно связанных с вопросами рассматриваемыми в работе.

Для общего самосопряженного эллиптического оператора ^-инвариант является только спектральным инвариантом. Однако, для некоторых классов операторов он определяет некоторый гомотопический инвариант. Первый пример такого рода была найден Атьей-Патоди-Зингером в [16, 17], где рассмотрены операторы с коэффициентами в плоских расслоениях. В этом случае так называемый относительный ^-инвариант оказывается (дробным) гомотопическим инвариантом оператора и в [17] проведено вычисление относительных 77-инвариантов. Соответствующее утверждение известно как нечетная 1 теорема об индексе или теорема об индексе для плоских расслоений. Интересно отметить, что относительный ^-инвариант в этой ситуации может быть интерпретирован как индекс в смысле Бройера в некоторой алгебре фон Неймана, см. цикл работ Дугласа-Хардера-Каминкера [55, 54, 56], в особенности, библиографическое заключение в последней работе. Гомотопическая инвариантность относительных ^-инвариантов изучалась Ш. Вайнбергером [96]. Относительные ^-инварианты имеют многочисленные приложения, см. напр. [71, 37, 67].

Еще один класс операторов, в котором ту-инваринт является гомотопическим инвариантом, был указан П.Гилки [64]. Этот класс, по существу, состоит из дифференциальных операторов на многообразии с четностью размерности противоположной четности порядка оператора. Гомотопически инвариантная дробная часть ^-инварианта в этой ситуации была вычислена в работе Б. Стернина и автора [85]. Это вычисление основано на формуле индекса операторов в подпространствах и на /^-теории с коэффициентами в конечных группах [17].

Остановимся кратко на применениях ^-инвариантов операторов из класса П. Гилки в геометрии и топологии.

Оператор Дирака на четномерных (не)ориентированных ртс-многообразиях рассмотрен в работе [62]. Дробная часть ^-инварианта этого самосопряженного эллиптического оператора определяет (дробный) род ртс-многообразий. В работах [28, 27] показано, что числа Штифеля-Уитни и этот дробный род полностью определяют ртс-многообразия, с точностью до кобордизма. Отметим, что соответствующие группы кобордизмов имеют элементы произвольно большого конечного порядка, являющегося степенью двойки 2N.

В работе С.Штольца [94] ^-инвариант применялся как аналитический инвариант, различающий гладкие структуры на некоторых неориентируемых четырехмерных многообразиях, например, на проективном пространстве RP4.

В цикле работ Б. Ботвинника, П. Гилки и С. Штольца [59, 37, 67, 38] ^-инвариант применяется для доказательства гипотезы Громова-Лоусона о положительной скалярной кривизне для некоторых неодносвязных многообразий.

4. modn-теория индекса была введена Атьей-Патоди-Зингером в работе [17]. В этой теории индекс является вычетом по модулю п, а теорема об индексе состоит в выражении этого вычета в топологических терминах. В работе Б. Стернина, Б,-В. Шульце и автора [85] показано, что на замкнутом многообразии эллиптические операторы в подпространствах специального вида определяют ЛГ-теорию с коэффициентами в Zn. Получена также соответствующая формула для mod п-индекса.

В рамках теории спектральных краевых задач или 6-псевдодифференциальных операторов теория индекса по модулю п изучена Д. Фридом и Р. Мелроузом в [57, 58] (см. также [68, 101]), где геометрической моделью являются многообразия с

1 Такое название мотивировано тем, что эта теорема является в определенном смысле надстройкой обычной теоремы об индексе. В частности, теорема Атьи-Зингера может быть выведена из нечетной теоремы, см. [60]. г„-особенностями Д. Сулливана [95, 78]. Отметим также недавний препринт [36] содержащий применение теории индекса по модулю п к задаче о положительной скалярной кривизне на многообразиях с г„-особенностями. В работе [77] построена некоторая теория, в которой "индекс" принадлежит группе К/Ъ.

1. Ш. Агмон, А. Дуглис, Л. Ниренберг. Оценки вблизи границы решений эллиптических дифференциальных уравнений с общими краевыми условиями. Изд. иностранной литературы, Москва, 1962.

2. М.С. Бирман, М.З. Соломяк. О подпространствах допускающих псевдодифференциальный проектор. Вестник ЛГУ, , No. 1, 1982, 18-25.

3. А.С. Дынин. Об индексе семейств псевдодифференциальных операторов на многообразиях с краем. Докл. АН СССР, 186, 1969, 506-508.

4. Г.Г.Каспаров. Обобщенный индекс эллиптических операторов. Функц. анализ, 7, No. 3, 1973, 82-83.

5. M.Г. Крейн. Интегральные уравнения на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов. Успехи Матем. Наук, 13, 1958, 1-120.

6. А.С. Мищенко. Векторные расслоения и их применения. Наука, Москва, 1984.

7. В.Е. Назайкинский, Б.Ю. Стернин, В.Е. Шаталов, Б.-В.Шульце. Спектральные краевые задачи и эллиптические уравнения на многообразиях с особенностями. Дифференц. уравнения, 34, No. 5, 1998, 695-708.

8. А.Ю. Савин. Об операторах, допускающих разбиение формулы индекса спектральных краевых задач. Доклады РАН, 368, No. 4, 1999, 456-458.

9. А.Ю. Савин, Б.Ю. Стернин. Эллиптические операторы в четных подпространствах. Матем. сб., 190, No. 8, 1999, 125-160.

10. А.Ю. Савин, Б.Ю. Стернин. О подпространствах, определяемых псевдодифференциальными проекторами и некоторых их приложениях. Доклады РАН, 371, No. 4, 2000. (в печати).

11. А. Савин, Б. Стернин, Б.-В. Шульце. Об инвариантных формулах индекса спектральных краевых задач. Дифференц. уравнения, 35, No. 5, 1999, 705-714.

12. Ю.П. Соловьев, Е.В. Троицкий. С*-алгебры и эллиптические операторы с дифференциальной топологии. Факториал, Москва, 1996.

13. Б.Ю. Стернин, В.Е. Шаталов, Б.-В. Шульце. Об общих краевых задачах для эллиптических уравнений. Матем. сборник, 189, No. 10, 1998, 145-160.

14. S. Agmon and L. Nirenberg. Properties of solutions of ordinary differential equations in Banach space. Comm. Pure Appl. Math., 16, 1963, 121-239.

15. M. Atiyah, V. Patodi, and I. Singer. Spectral asymmetry and Riemannian geometry

16. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 77, 1975, 43-69.

17. M. Atiyah, V. Patodi, and I. Singer. Spectral asymmetry and Riemannian geometry1.. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 78, 1976, 405-432.

18. M. Atiyah, V. Patodi, and I. Singer. Spectral asymmetry and Riemannian geometry

19. I. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 79, 1976, 71-99.

20. M. F. Atiyah and R. Bott. On the periodicity theorem for complex vector bundles. Acta Math., 112, 1964, 229-247.

21. M.F. Atiyah. The index theorem for manifolds with boundary. In Seminar on the Atiyah-Singer index theorem, volume 57 of Annals of Math. Studies, 1965, pages 337-351, Princeton. Princeton Univ. Press.

22. M.F. Atiyah. The logarithm of the Dedekind ^-function. Math. Annalen, 278, 1987, 335-380.

23. M.F. Atiyah and R. Bott. The index problem for manifolds with boundary. In Bombay Colloquium on Differential Analysis, 1964, pages 175-186, Oxford. Oxford University Press.

24. M.F. Atiyah, H. Donnelly, and I.M. Singer. Eta invariants, signature defects of cusps and values of ¿-functions. Annals Math., 118, 1983, 131-177.

25. M.F. Atiyah and I.M. Singer. The index of elliptic operators on compact manifolds. Bull. Amer. Math. Soc., 69, 1963, 422-433.

26. M.F. Atiyah and I.M. Singer. The index of elliptic operators I. Ann. of Math., 87, 1968, 484-530.

27. M.F. Atiyah and I.M. Singer. The index of elliptic operators IV. Ann. Math., 93, " 1971, 119-138.

28. J. Avron, R. Seiler, and B. Simon. The index of a pair of projections. J. Fund. Anal., 120, No. 1, 1994, 220-237.

29. A. Bahri and P. Gilkey. Pinc cobordism and equivariant Spinc cobordism of cyclic 2-groups. Proc. Am. Math. Soc., 99, 1987, 380-382.

30. A. Bahri and P. Gilkey. The eta invariant, Pinc bordism, and equivariant Spinc bordism for cyclic 2-groups. Pacific Jour. Math., 128, No. 1, 1987, 1-24.

31. P. Baum and R. G. Douglas. Toeplitz operators and Poincare duality. Toeplitz centennial, Toeplitz Mem. Conf., Tel Aviv 1981, Operator Theory, Adv. Appl. 4, 137-166 (1982).

32. P. Baum, R. G. Douglas, and M. E. Taylor. Cycles and relative cycles in analytic K-homology. J. Differ. Geom., 30, No. 3, 1989, 761-804.

33. P. Baum and R.G. Douglas, /{'-homology and index theory. In R. Kadison, editor, Operator Algebras and Applications, number 38 in Proc. Symp. Pure Math, 1982, pages 117-173. American Mathematical Society.

34. B. Bojarski. The geometry of the Riemann-Hilbert problem. Number 242 in Contemporary Mathematics, 1999, pages 25-33. AMS.

35. B. Boofi-Bavnbek and K. Wojciechowski. Elliptic Boundary Problems for Dirac Operators. Birkhauser, Boston-Basel-Berlin, 1993.

36. R. Bott and L. Tu. Differential forms in algebraic topology, volume 82 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1982.

37. B. Botvinnik. Manifolds with singularities accepting a metric of positive scalar curvature, preprint math.DG/9910177, 1999.

38. B. Botvinnik and P. Gilkey. The Gromov-Lawson-Rosenberg conjecture: The twisted case. Houston J. Math., 23, No. 1, 1997, 143-160.

39. B. Botvinnik, P. Gilkey, and S. Stolz. The Gromov-Lawson-Rosenberg conjecture for groups with periodic cohomology. J. Differ. Geom., 46, No. 3, 1997, 374-405.

40. L. Boutet de Monvel. Boundary problems for pseudodifferential operators. Acta Math., 126, 1971, 11-51.

41. L. Boutet de Monvel. On the index of Toeplitz operators of several complex variables. Invent. Math., 92, No. 2, 1988, 243-254.

42. L. Boutet de Monvel and V. Guillemin. The spectral theory of Toeplitz operators, volume 99 of Ann. of Math. Studies. Princeton University Press, Princeton, 1981.

43. L. Brown, R. Douglas, and P. Fillmore. Unitary equivalence modulo the compact operators and extensions of C*-algebras, volume 345 of Lecture Notes in Math. Springer Verlag, 1973.

44. L. Brown, R. Douglas, and P. Fillmore. Extensions of C*-algebras and A'-homology. Ann. Math. II, 105, 1977, 265-324.

45. J. Briining and M. Lesch. On boundary value problems for Dirac type operators. I. Regularity and self-adjointness. math.FA/9905181, 400, 1999, 1-55.

46. A.P. Calderon. Boundary value problems for elliptic equations. Outlines of the Joint Soviet-American Symposium on Partial Differential Equations, Novosibirsk, 1963, 303-304.

47. A.P. Calderon. Lecture Notes on Pseudo-Differential Operators and Elliptic Boundary Value Problems, I. Consejo Nacional de Investigationes V Technicas. Instituto Argentino de Mathematica, Buenos AIRES, 1976.

48. J. Cheeger. On the spectral geometry of spaces with cone-like singularities. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 76, 1979, 2103-2106.

49. J. Cheeger. Spectral geometry of singular Riemannian spaces. J. Diff. Ceometry, 18, 1983, 575-657.

50. J. Cheeger. //-invariants, the adiabatic approximation and conical singularities. J. Diff. Geometry, 26, 1987, 175-221.

51. A.W. Chou. The Dirac operator on spaces with conical singularities and positive scalar curvatures. Trans. Am. Math. Soc., 289, No. 1, 1985, 1-40.

52. X. Dai and D. S. Freed, ^-invariants and determinant lines. J. Math. Phys., 35, No. 10, 1994, 5155-5194.

53. X. Dai and W. Zhang. Splitting of the family index. Comm. Math. Phys., 182, No. 2, 1996, 303-318.

54. H. Donnelly. Spectral geometry and invariants from differential topology. Bull. London Math. Soc., 7, 1975, 147-150.

55. R.G. Douglas, S. Hurder, and J. Kaminker. Toeplitz operators and the eta invariant: The case of Sl. Index theory of elliptic operators, foliations, and operator algebras. Contemp. Math. 70, 11-41 (1988).

56. R.G. Douglas, S. Hurder, and J. Kaminker. Eta-invariants and von Neumann algebras. Bull. Am. Math. Soc., New Ser., 21, No. 1, 1989, 83-87.

57. R.G. Douglas, S. Hurder, and J. Kaminker. Cyclic cocycles, renormalization and eta-invariants. Invent. Math., 103, No. 1, 1991, 101-179.

58. D. Freed. Z/k manifolds and families of Dirac operators. Invent. Math., 92, No, 2, 1988, 243-254.

59. D. Freed and R. Melrose. A mod k index theorem. Invent. Math., 107, No. 2, 1992, 283-299.

60. P. B. Gilkey and L. Smith. The twisted index problem for manifolds with boundary. J. Diff. Geometry, 18, No. 3, 1983, 393-444.

61. P.B. Gilkey. Invariante Theory, the Heat Equation and the Atiyah-Singer Index Theorem. Publish of Perish. Inc., Wilmington Delawaere, 1984.

62. P.B. Gilkey. The eta invariant for even dimensional Pinc manifolds. Advances in Mathematics, 58, 1985, 243-284.

63. P.B. Gilkey. The eta invariant and non-singular bilinear products on Rn. Can. Math. Bull., 30, 1987, 147-154.

64. P.B. Gilkey. The eta invariant of even order operators. Lecture Notes in Mathematics, 1410, 1989, 202-211.

65. P.B. Gilkey. The geometry of spherical space form groups, volume 7 of Series in Pure Mathematics. World Scientific, Singapore, 1989.

66. P.B. Gilkey. The eta invariant of Pin manifolds with cyclic fundamental groups, preprint, 1997.

67. N. Higson. An approach to Z/fc-index theory. Int. J. Math., 1, No. 2, 1990, 189-210.

68. F. Hirzebruch. Hilbert modular surfaces. Enseignement Math., 19, 1973, 183-281.

69. L. Hormander. The Analysis of Linear Partial Differential Operators. III. SpringerVerlag, Berlin Heidelberg New York Tokyo, 1985.

70. J.D.S. Jones and B.W. Westbury. Algebraic K-theory, homology spheres, and the 77-invariant. Topology, 34, No. 4, 1995, 929-957.

71. T. Kato. Perturbation Theory for Linear Operators. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1980.

72. H.B. Lawson and M.L. Michelsohn. Spin geometry. Princeton Univ. Press, Princeton, 1989.

73. K. Liu. Modular invariance and characteristic numbers. Comm. Math. Phys., 174, No. 1, 1995, 29-41.

74. K. Liu and W. Zhang. Elliptic genus and //-invariant. Int. Math. Research Notices, 8, 1994, 319-328.

75. J. Lott. r/z index theory. Commun. Anal. Geom., 2, No. 2, 1994, 279-311.

76. J. Morgan and D. Sullivan. The transversality characteristic class and linking cycles in surgery theory. Ann. of Math., II. Ser, 99, 1974, 463-544.

77. V. Nazaikinskii, B.-W. Schulze, and B. Sternin. On the Homotopy Classification of Elliptic Operators on Manifolds with Singularities. Univ. Potsdam, Institut für Mathematik, Potsdam, Oktober 1999. Preprint N 99/21.

78. R.S. Palais. Seminar on the Atiyah-Singer index theorem. Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1965.

79. S. Rempel and B.-W.Schulze. Index Theory of Elliptic Boundary Problems. Akademie-Verlag, Berlin, 1982.

80. A. Savin, B.-W. Schulze, and B. Sternin. On the invariant index formulas for spectral boundary value problems. In Workshop in Partial Differential Equations, 1998, pages 33-34, Potsdam. Univ. Potsdam.

81. A. Savin, B.-W. Schulze, and B. Sternin. On the homotopy classification of boundary value problems. In Workshop in Partial Differential Equations, 1999, pages 38-39, Potsdam. Univ. Potsdam.

82. A. Savin, B.-W. Schulze, and B. Sternin. The eta-invariant of elliptic operators with parity conditions. In Operator algebras and index theory on manifolds with singularities, 2000, pages 22-23, Potsdam. Univ. Potsdam.

83. A. Savin, B.-W. Schulze, and B. Sternin. Elliptic Operators in Subspaces a,nd Eta Invariant. Univ. Potsdam, Institut für Mathematik, Potsdam, Juni 1999. Preprint N 99/14, math.DG/9907047.

84. A. Savin, B.-W. Schulze, and B. Sternin. The Homotopy Classification and the Index of Boundary Value Problems for General Elliptic Operators. Univ. Potsdam, Institut für Mathematik, Potsdam, Oktober 1999. Preprint N 99/20.

85. A. Savin and B. Sternin. Boundary value problems for general elliptic operators and eta-invariant. In Workshop in Partial Bifferential Equations, 1999, pages 3637, Potsdam. Univ. Potsdam.

86. A.Yu. Savin and B.Yu. Sternin. Elliptic Operators in Odd Subspaces. Univ. Potsdam, Institut für Mathematik, Potsdam, Juni 1999. Preprint N 99/11, math.DG/9907039.

87. B.-W. Schulze. An Algebra of Boundary Value Problems Not Requiring Shapiro-Lopatinskij Conditions. Univ. Potsdam, Institut für Mathematik, Potsdam, 1999. Preprint N 99/24.

88. B.-W. Schulze, B. Sternin, and V. Shatalov. On the index of differential operators on manifolds with conical singularities. Annals of Global Analysis and Geometry, 16, No. 2, 1998, 141-172.

89. R.T. Seeley. Complex powers of an elliptic operator. Proc. Sympos. Pure Math., 10, 1967, 288-307.

90. R.T. Seeley. Topics in pseudodifferential operators. In L. Nirenberg, editor, Pseudo-Bifferential Operators, 1969, pages 167-305, Roma. C.I.M.E. Conference on pseudodifferential operators, Stresa 1968, Cremonese.

91. S. Stolz. Exotic structures on 4-manifolds detected by spectral invariants. Invent. Math., 94, 1988, 147-162.

92. D. Sullivan. On the Hauptvermutung for manifolds. Bull. Am. Math. Soc., 73, 1967, 598-600.

93. Sh. Weinberger. Homotopy invariance of ^-invariants. Proc. Natl. Acad. Sei. USA, 85, No. 15, 1988, 5362-5363.

94. E. Witten. Global anomalies in string theory. In A.R. White W.A. Bardeen, editor, Proc. of the Symposium on Anomalies, Geometry, Topology of Chicago, 1985, pages 61-99, Singapore. World Scientific.

95. E. Witten. Global gravitational anomalies. Commun. Math. Phys., 100, 1985, 197-229.

96. J.T. Wloka, B. Rowley, and B. Lawruk. Boundary value problems for elliptic systems. Cambridge: Cambridge Univ. Press., 1995.

97. K. Wojciechowski. A note on the space of pseudodifferential projections with the same principal symbol. J. Operator Theory, 15, No. 2, 1986, 207-216.

98. W. Zhang. On the mod k index theorem of Freed and Melrose. J. Differ. Geom., 43, No. 1, 1996, 198-206.