Свойства базисности корневых векторов операторов близких к нормальным тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Основные обозначения, используемые в работе.

Введение.

§1. Вспомогательные результаты.

1.1. Леммы об оценке норм резольвент операторов А и Ао.

1.2. Лемма о максимальной функции.

1.3. Леммы о подпространствах.

1.4. Лемма из теории целых функций.

1.5. Геометрическая лемма.

1.6. Лемма о базисности Рисса.

§2. Случай р( 1 — д) > 1. Базисность Бари и скорость сходимости

• рядов со скобками. Асимптотика собственных значений.

2.1. Построение системы концентрических окружностей.

2.2. Теорема о базисности Бари со скобками.

2.3. Оценка скорости сходимости разности рядов.

2.4. Асимптотика модулей собственных значений оператора А.

§3. Случай 1/2 < р(1 — д) ^ 1. Безусловная базисность и суммирование по Абелю.

3.1. Лемма о дискретности спектра оператора А.

3.2. Оценка норм резольвент операторов А и вблизи спектра.

3.3. Подготовка к делению угла Ла+£.

3.4. Построение системы контуров в случае р( 1 — д) = 1.

3.5. Построение системы контуров в случае р(1 — д) < 1.

3.6. Теорема о суммируемости методом Абеля.

3.7. Теорема о безусловной базисности.

1. Диссертация посвящена главным образом свойствам базисности (в обобщенном смысле) систем корневых векторов операторов, близких к нормальным операторам.

Пусть Н — комплексное сепарабельное гильбертово пространство. Мы рассматриваем действующий в Н оператор

А = А0 + Аи (0.1) где Ао — нормальный (неограниченный) замкнутый оператор с дискретным спектром <j(Ao) = расположенным в угле Jf = {А € € : |argA| < а < 7г}. При а = 7г угол Jzf совпадает со всей комплексной плоскостью и здесь нет никаких предположений. При а < 7г число а будет учитываться в формулировках. Собственные значения Xj = Aj(A0) оператора Ао занумерованы в порядке неубывания модулей с учетом кратностей. Мы предполагаем, что, по крайней мере,

0.2) при некоторых положительных аир. Если для простоты предположить, что оператор Ао обратим, то условие (0.2) эквивалентно условию «¿(Ар1) ^ СГР> так как 5числа SjfAo1) нормального компактного оператора А^1 совпадают с модулями его собственных значений. Оператор А\ будем предполагать имеющим порядок q < 1 относительно Ао (не нарушая общности, можно считать, что 0 не является собственным значением оператора Ао):

IIAxVHOcoo. (0.3)

При q > 0 здесь подразумевается, что А\ — замкнутый оператор и для областей определения операторов Ai и Ад имеет место включение Daj D Daq. Отсюда, в частности, следует, что Da = DAq ■

Степень нормального оператора Ао легко определить следующим образом. Пусть — ортонормированный базис из собственных векторов оператора Ао: А)^- = А^е^. Тогда, если / = /¿е:м то о/ = е пРичем> если 5 > 0, то область определения

Оа* состоит из тех /, для которых последний ряд сходится в Я.

Ниже будет показано, что при выполнении хотя бы одного из условий а < 7г (0.4) или р(1-я)>\ (0-5) оператор А также имеет дискретный спектр.

Задача нахождения признаков различных видов базисности системы корневых векторов оператора А является обобщением аналогичной задачи в случае оператора Ао , являющегося самосопряженным или нормальным оператором со спектром на конечном числе лучей. Последней задачей занимались В. Б. Лидский [20-22], А. С. Маркус [23], В. А. Кац-нельсон [14, 15], М. С. Агранович [1], А. С. Маркус и В. И. Мацаев [26]. Некоторые результаты этих работ будут сформулированы ниже. Но сначала мы кратко опишем основные результаты диссертации.

Ниже мы напомним понятия суммируемости методом Абеля, безусловной базисности со скобками и базисности Бари со скобками. Эти свойства систем векторов в гильбертовом пространстве являются последовательно усиливающими друг друга. Мы рассматриваем полную минимальную систему корневых векторов оператора А и устанавливаем достаточные условия для различных видов базисности со скобками. При достаточной близости оператора А к нормальному получены также теорема о скорости сходимости рядов Фурье со скобками по корневым векторам оператора А и теорема об асимптотике спектра оператора А.

В работе приводятся приложения этих результатов к эллиптическим операторам на замкнутом многообразии.

2. Приведем теперь определения базисности со скобками Бари, Рис-са и Абеля.

Пусть {/¿}1° — некоторая минимальная система векторов в Я, т. е. ни один из векторов /г- не содержится в замыкании линейной оболочки остальных векторов Д,., /¿х, /г+1,. . Обозначим через 9Л/ линейную оболочку векторов /т,+1,., /га|+1 , где — некоторая возрастающая последовательность целых неотрицательных чисел, гт^ = 0.

Система векторов {/¿} называется полной в пространстве Я, если замыкание линейной оболочки этих векторов совпадает с Я. Последовательность подпространств -{9Л/}1° называется полной, если замыкание линейной оболочки всех подпространств совпадает с Я. Это равносильно полноте системы векторов {/;}. Последовательность называется базисом из подпространств, если любой вектор / из Я однозначно представим в виде ос = X] 91, г=1 где для любого I вектор лежит в Ш/. Последовательным усилением свойства базисности из подпространств являются свойства базисности Рисса из подпространств и базисности Бари из подпространств.

Пусть {е^}^ — ортонормированный базис в Я, а % — линейная оболочка векторов ет,+1,., ет1+1.

Если существует такой ограниченный оператор в в Я, имеющий ограниченный обратный, что ЗЛ* = при всех то говорят, что — базис Рисса из подпространств или безусловный базис из подпространств в Я. Система называется тогда безусловным базисом со скобками в Я. В этом случае, в частности, для любого вектора /из Я сю

Е Е (°-6) где Су = (/,£,), — биортогональная к системе система векторов в Я, и порядок слагаемых в сумме по I можно произвольно менять- Это теорема Гельфанда (см. теорему 5.1, глава 6 из [9]). Существование системы {<;,•} следует из минимальности системы {/¿}.

Положим т( + 1

Это проектор на подпространство 9Л;. Пусть (¿1 — ортопроектор на .

Предположим, что система полна и сходится ряд оо

Р,-^||2<оо. (0.8) 1

Доказывается (это результат А. С. Маркуса), что тогда это безусловный базис со скобками (см., например, [9, гл. VI, теорема 5.2]). Принято называть его в этом случае базисом Бари со скобками в Н. Система {ЯЛ/} называется тогда базисом Бари из подпространств. Введем проекторы Рисса для операторов А и А0 . Пусть 1° — последовательность простых замкнутых контуров на комплексной плоскости с выбранным на каждом контуре положительным направлением обхода. Обозначим через П/ ограниченную область с границей Пусть эти области попарно не пересекаются и их объединение содержит все собственные значения оператора А. Проектором Рисса оператора А, отвечающим контуру , называется оператор

Л = (0.9) где Дд(А) = (А — XI)"1 — резольвента оператора А в точке Л. Аналогично определяются проекторы Рисса для оператора А0 .

Как легко видеть, проекторы Рисса для операторов А и А0 совпадают соответственно с проекторами Р/ и (¿1 для систем собственных и присоединенных (для А) векторов операторов А и Ао (поэтому мы обозначили проекторы Рисса теми же буквами Р[ и ф/). Подпространства ШТ/, в этом случае натягиваются на собственные и присоединенные векторы операторов А и Ао, отвечающие некоторым группам собственных значений этих операторов, причем в одну группу попадают близкие собственные значения.

Промежуточным между полнотой и базисностью из подпространств является свойство суммируемости по Абелю, введенное В. Б. Лидским [20-22]. Положим для t > 0 и некоторого ß > 0

Piß(t) = ~f e-xßtRA(X)d\, (0.10) где V* = |A|/3e*/?argA при |argA| < тг. Если для любого вектора / Е Н ряд сходится при всех t > 0 и его сумма f(t) стремится к / при t —> -1-0, то принято говорить, что система корневых векторов оператора А является базисом для суммирования методом Абеля порядка ß со скобками, и писать А (г • Далее будет употребляться не совсем точный, но общепринятый термин «базис Абеля порядка ß со скобками». Ясно, что необходимым условием базисности Абеля порядка ß является ßa < тг/2, где а таково, что все собственные значения оператора А за исключением, быть может, их конечного числа содержатся в угле {А : | arg А| < а < 7г}.

Более подробные сведения об этих понятиях можно найти в [9, гл. VI] и в [5, п. 6.2].

3. Приведем теперь теоремы о различных видах базисности со скобками корневых векторов оператора А в случае, когда А0 — самосопряженный оператор.

Эти теоремы в значительной степени являются развитием результатов классической работы М. В. Келдыша [16] (см. также [17]) при дополнительных предположениях о подчинении оператора А\ оператору Aq и асимптотике спектра последнего.

Теорема 0.1. Пусть выполнены условия (0.2), (0.3). Тогда при

Р( !-<?)>! (0.11) корневые векторы оператора А образуют базис Бари со скобками в Я.

Эта теорема доказана А. С. Маркусом (см. [23, Теорема 1]). Теорема 0.2. Пусть выполнены условия (0.2), (0.3). Тогда при р( 1 - д) = 1 (0.12) и дополнительном условии

А~я/2 А^21| < оо (0.13) при д < 0, корневые векторы оператора А образуют безусловный базис со скобками в Н.

Теорема 0.3. Пусть выполнены условия (0.2), (0.3). Тогда при р(1-Я)<\ (0.14) корневые векторы оператора А образуют базис Абеля порядка (5 со скобками в Н при ¡3 > р~1 — (1 — <?).

Теоремы 0.2 и 0.3 для случая д ^ 0 доказаны В. Э. Кацнельсоном (см. теорему 4.1 из [14] или теорему 3.1 из [15] для случая безусловной базис-ности и теорему 2.1 из [14] для случая базисности Абеля). При доказательстве теоремы 0.3 использован прием образования «искусственной лакуны» в спектре оператора Ао, принадлежащий В. И. Мацаеву [28]. В работе [26] А. С. Маркус и В. И. Мацаев дали новое (конструктивное) доказательство теоремы 0.2 с использованием этого приема. Для случая < 0 теоремы 0.2, 0.3 доказаны М. С. Аграновичем [1] (см. также [2, 5]). Метод Абеля рассматривался также в работах [18, 24].

Заметим, что в некоторых указанных работах приведенные теоремы доказаны при несколько более слабых условиях на подчиненность операторов и рост собственных чисел оператора Ао.

Приведенные результаты доказаны также для случая, когда Aq является нормальным оператором со спектром на конечном числе лучей (кроме приведенных работ, см. [8] и [12]).

Отметим, также работы [3] и [4], в которых приведены оценки скорости сходимости рядов Y! Pi f и Y,(pi~Qi)f с учетом «гладкости» / в случае р( 1 — q) > 1.

Кроме приведенных выше теорем, в теории слабых возмущений самосопряженных операторов имеется еще глубокая теорема о сохранении асимптотики спектра при переходе от оператора А0 к оператору А, принадлежащая A.C. Маркусу и В. И, Мацаеву [27] (см. также [25]), доказываемая с помощью метода «искусственной лакуны».

В заключение нашего краткого обзора литературы отметим работы Г. В. Розенблюма [31-33], в которых рассмотрены ПДО (псев до дифференциальные операторы), близкие к нормальным операторам. Г. В. Ро-зенблюм получил асимптотику спектра таких операторов в углах на комплексной плоскости с вершиной в начале координат ([31, 33]; по этому поводу см. также Колен де Вердье [39]) и некоторые условия близости ПДО к нормальному оператору ([32, 33]; см. также работу С. Ю. Садова [34]). Функции от некоторых нормальных ПДО рассмотрены у Гийемина-Стернберга [40]. JI. Ф. Фридлендер рассмотрел в [37] аналитические возмущения аналитических самосопряженных ПДО и в [36] возмущения самосопряженных операторов в метриках С^ и Lp.

4. Перейдем к структуре и более подробному описанию результатов диссертации. Она состоит из введения, четырех параграфов и списка литературы из 43 названий. Нумерация утверждений и замечаний своя и притом сквозная внутри каждого параграфа; то же относится к нумерации формул.

1. Агранович М. С. О суммируемости рядов по корневым векторам несамосопряженных эллиптических операторов. Функц. анализ и его прил., 1976, 10, вып. 3, с. 1-12.

2. Агранович М. С. Спектральные свойства задач дифракции. Дополнение к книге Войтович Н. Н., Каценеленбаум Б. 3., Сивов А. Н. Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции. М.; Наука, 1977, с. 289-416.

3. Агранович М, С. О рядах по корневым векторам операторов, очень близких к самосопряженным. Функц. анализ и его прил., 1977, 11, вып. 4, с. 65-67.

4. Агранович М. С. О сходимости рядов по корневым векторам операторов, очень близких к самосопряженным. Труды ММО, 1980, 41, с. 163-180.

5. Агранович М. С. Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях. Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Соврем, проблемы ма-тем. Фундам. направл., 1990, т. 63, с, 5-129.

6. Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида. УМН, 1964, 19, вып. 3, с. 53-161.

7. Векуа И. Н. О метагармонических функциях. Труды матем. инст. АН Грузинской ССР, 1943, XII, с. 105-174.

8. Визитей В. Н., Маркус А. С. О сходимости кратных разложений по системе собственных и присоединенных векторов операторного пучка. Матем. сб., 1965, 66, №2, с. 287-320.

9. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965.

10. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: ГИФМЛ, 1962.

11. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Спектральная теория. М.: ИЛ, 1966.

12. Джабар-Заде Р. М. О разложении по собственным и присоединенным элементам оператора, полиномиально зависящего от Л. Уч. зап. Азерб. унив., сер. физ.-матем. н., 1964, N23, с. 75-81.

13. Джанлатян Л. С. О свойствах базисности системы корневых векторов оператора, близкого к нормальному. Функц. анализ и его прил., 1994, 28, вып. 3, с. 69-73.

14. Кацнельсон В. А. О сходимости и суммируемости рядов по корневым векторам некоторых классов не само сопряженных операторов. Кандид, диссертация, Харьков, 1967.

15. Кацнельсон В. А. Об условиях базисности системы корневых векторов некоторых классов операторов. Функц. анализ и его прил., 1967, 1, вып. 2, с. 39-51.

16. Келдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов не самосопряженных уравнений. ДАН СССР, 1951, 77, N«1, с. 11-14.

17. Келдыш М. В. О полноте собственных функций некоторых классов не само сопряженных линейных операторов. УМН, 1971, 26, вып. 4, с. 15-41.

18. Костюченко А. Г., Радзиевский Г. Н. О суммируемости методом Абеля п-кратных разложений, Сиб, матем. ж., 1974, 15, №4, с. 855-870.

19. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956.

20. Лидский В. Б. О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных операторов. ДАН СССР, 1960, 132, №2, с. 275-278.

21. Лидский В. Б. О разложении в ряд Фурье по главным функциям не самосопряженного эллиптического оператора. Матем. сб., 1962, 57, №2, с. 137-150.

22. Лидский В. Б. О суммируемости рядов по главным векторам не самосопряженных операторов. Труды ММО, 1962, 11, с, 3-35.

23. Маркус А. С. О разложении по корневым векторам слабо возмущенного самосопряженного оператора. ДАН СССР, 1962, 142, №3,с. 538-541.

24. Маркус А. С. О некоторых признаках полноты системы векторов линейного оператора и суммируемости рядов по этой системе. ДАН СССР, 1964, 155, №4, с. 753-756.

25. Маркус А. С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. Кишинев: Штиинца, 1986.

26. Маркус А. С., Мацаев В. И. О сходимости разложений по собственным векторам оператора, близкого к самосопряженному. В кн. Матем. исследования, вып. 61. Линейные операторы и операторные уравнения. Кишинев: Штиинца, 1981, с. 104-129.

27. Маркус А. С., Мацаев В. И. Теоремы сравнения спектров линейных операторов и спектральные асимптотики. Труды ММО, 1982, 45, с. 133-181.

28. Мацаев В. И. Несколько теорем о полноте корневых подпространств вполне непрерывных операторов. ДАН СССР, 1964, 155, №2, с. 273-276.

29. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики, т. I и т. II, М.: ИЛ., 1958 и 1960.

30. Рамм А. Г. О разложении по собственным функциям дискретного спектра в задачах дифракции. Радиотехника и электроника, 1973, 18, №3, с. 496-501.

31. Роэенблюм Г. В. Спектральная асимптотика нормальных операторов. Функц. анализ и его прил., 1982, 31, вып. 2, с, 57-65.

32. Розенблюм Г. В. Об операторе, почти коммутирующем со своим сопряженным. В кн. Теория операторов и теория функций, вып. 1, Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1983, с. 111-115.

33. Розенблюм Г. В. Угловая асимптотика спектра операторов, близких к нормальным. В книге Проблемы матем. анализа, вып. 10. Линейные и нелинейные краевые задачи. Спектральная теория. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1986, с. 180-195.

34. Садов С. Ю. Об операторах, почти коммутирующих в смысле порядка. Функц. анализ и его прил., 1992, 26, вып. 1, с. 83-85.

35. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973.

36. Фридлендер Л. Ф. О сходимости рядов по корневым функциям операторов, близких к самосопряженным, в пространствах С и Lp. Функц. анализ и его прил., 1977, 11, вып. 4, с. 94-95.

37. Фридлендер Л. Ф. О некоторых спектральных свойствах очень слабых не само сопряженных возмущений самосопряженных операторов. Труды ММО, 1980, 41, с. 181-216.

38. Agmon S. On eigenfunctions and on the eigenvalues of general elliptic boundary value problems. Comm. Pure Appl. Math., 1962, 15, 119-147.

39. Colin de Verdière Y. Sur le spectre des opérateurs elliptiques à bicar-actéristiques toutes périodiques. Comm. Math. Helv., 1979, 54, 508-522.

40. Guillemin V., Sternberg Sh. On the spectra of commuting pseude-differential operators; recent work of Kac-Spencer, Weinstein and others. In "Partial Differ. Eq. and Geometry". Proc. Park City Conf., 1977. New York-Basel, 1979, 149-165.

41. Hôrmander L. The spectral function of an elliptic operator. Acta Math., 1968, 121, 193-218. (Пер. на рус. яз.: Хёрмандер Л. Спектральная функция эллиптического оператора. Математика, 1969, 13, №6, с. 114-137.)

42. Джанлатян Л. С. Базисность Бари корневых векторов оператора, близкого к нормальному. Депонирована в ВИНИТИ, №3429-В97 от 21.11.97 (Реферат опубл. в Библиографическом указателе ВИНИТИ «Депонированные научные работы», 1998, №1, б/о 21).