Безусловная базисность систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Факультет вычислительной математики и кибернетики

РГ6 од

На правах рукописи УДК 517.927.25

БУДАЕВ Виктор Дмитриевич

БЕЗУСЛОВНАЯ БАЗИСНОСТЬ СИСТЕМ КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва — 1993

Работа выполнена на кафедре общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный консультант — академик В. А. Ильин.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, профессор В. А. Садовничий;

доктор физико-математических наук, ■ профессор В. В. Жиков;

доктор физико-математических наук, профессор М. Л. Гольдман:

Ведущая организация — Московский физико-технический институт.

Защита состоится « » /РМ^Я_1993 г.

в 15 час. 30 мин. на заседании Специализированного совета' Д.053.05.37 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат разослан «_»_1993 г.

Ученый секретарь Специализированно/) /ж *

совета профессор / //// М0ИСЕЕВ

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследования по спектральной теория обыкновенных дифференциальных операторов берут сво§ начало ещё с классических работ Ж.Лиувплля, Ш.Штурма, а такав болев поздних работ Я. Д.Такаркина[I], Дж.Биркгофа [2], В.А.Стекло-ва [з], в которых изучались вопросы асимптотики собственных значений и сходимости спектральных разложений для различных классов краевых задач.

В последние десятилетия особое внимание привлекает к себе спектральная теория весамосопряхЗнных дифференциальных операторов, что вызвано' появлением целого ряда новых, ^классических задач математической (разика (таких, как известная задача Бвдздзе-Самарского [4] о нелокальны?,и краевыми условиям для уравнения теплопроводности), приводящих к изучении спектральных свойств несамосопряяёпннх операторов.

В работах М.В.Келднша (5] и многих его последователей изучена полнота в класса систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов для широкого класса краевых задач. Достаточно хорош на сегодняшний де..ь изучена так-ге асимптотика собственных значений а корневых функций.

Посла работ М.В.Кеддыша о полноте на первый мая выдвинулась проблема базисностн систем корневых функций косамосопряженных дифференциальных операторов. ГЛ. Ке сел клану [б] и В.П.МнхаЁдову [7] удалось ввдашть хяасс краевых условий (усиленно регулярные условия, по терминологии Дз.Етркгофа), обеспечивающих базнсность Рисса з систем корневых функций операторов произвольного порядка « . Прз этон все собственные значения, начиная с некоторого, является простыми.

Наибольшие трудности возникают при изучении операторов, облздащЕх бесконечным подмножеством кратных собственных значений (впервые такая ситуация была рассмотрена в работе Н.И.Иошаша [8]). В этом случае система корневнх функций строится неоднозначно, что приводит к следующей ситуации: один и тот не оператор с одними и теш же краевыми условиями имеет различные системы корневых функций, одни из которых могут образовывать базис (и да&е базис Рисса) в . а Другие могут не образовывать базиса (являясь в то ке время полными и минимальными в ). В связи с зтша В.¿.Ильиным была предложена новая трактовка корневых функций, которые определяется ш как регулярное решение соответствующего уравнения безотносительно х виду краевых условий. Такой подход позволяет рассматривать произвольные краевые условия (как локальные, так и нелокальные), а такае системы функций, не связанных каюши-либо краевыми условиями (например, системы экспонент). При этом условия базисности формулируются в терминах структуры спектра и в терминах соотношений кевду нормами корневнх функций (причём эти соотношения фактически гадают ограничения на выбор корневых функций).

Разработав новый метод, основанный на применении формулы среднего значения Е.И.Моисеева [9]« В.А.Илыш в работах {10,11] установи! необходимые и достаточные условия базисности систем корневых функций оператора произвольного порядка на любом компакте основного интервала, а также условия равномерной на лхк бои компакте равносходимости спектральных разложений с тригонометрическим рядом.

В работе [12] Б.А.Ильиным впервые была изучена безусловная базисное» систем корневых функций оператора второго по-

рядка на замхнутом интервале. Был рассмотрен оператор

и ~ и " + ¡> (-х) и, (!)

где £ - произвольный конечный интервал

вещественной оси. Рассматривалась пара биортогоналыхо сопряжённых в ( &) систем ^ ц„} , ( } корневых функций

оператора (I) и формально сопряжённого к нему оператора Ь* соответственно. Предполагалась полнота в {&) хотя 6~л одной нз систем , | } , а такта предполагалось выполнение кардемановского условия

| 1м I 4 , (2)

где М{ - константа, а - спектральный параметр (т.е.

надлежащим образом выбранный квадратный корень из собственных значений). Было показано, что для безусловной базисностн в 1_г (&) Кстэдой из систем (и„] , { ^ необходимо и достаточно выполнение условий

II «и II, » II ^п IIа £ М, , М

.К I •для любого хт>0} (3)

где Мг . - к-^нстаятн, а || ■ Ц ^ означает норму в

Ц («.

В работе [133 Н.Б.Керхкс'.км была изучена безусловная ба-зисность в 1_.а ( систем корневых функций оператора чет-

I (?) у ц;

вэртого порядка и - « + о м^а-

1—0

циентаыи ) & ((,)( I = О,-1, 2 ). Кроме пред-

положений, сделанных В.¿.Ильиным, дополнительно предполагались выполненными условна "сумма единиц" (3) и антиацриорные оценки

II * ^ Ииии4 ,

¡1^ ^ ИМ, , (4а)

т.е. оценки |_ г -нормы предыдущей корневой функции через

Ь.а -норму последувдей корневой функции (где М ^ , -константы). Было покапано, что для безусловной базисноств в Ь ^ ( систем { , •{ г^ необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условие (г:-) и условия

11 %%л11 I

Г 11 М X/

¿- --г

(5)

(5а)

где /<» > 0 - фиксировано и произвольно, а Л1е , константы.

Вопрос о необходимости для безусловной оазксности анти-апрпорных оценок (4), (4а) и условия "сумма единиц" после работы Н.Б.Керишша оставался открытым. Безусловная базисность систем корневых функций операторов выше четвёртого порядка также не била изучена,,

Цель работе. Основной даль® диссертационной работы явля-

ется установление критериев безусловнсй базисными (а такза критериев бесселевости а базисности Рисса) систем корневнх функций обыкновенных линейных кесамосопрягёцяых дифференциальных операторов.

Научная новизна. Без доказанные з работе теорем! а лсмлы

являются новыми.

В работе предложено разбиение системы корневых функций на 3 класса в соответствии с поведением главного члена асимптотики, осуществлённое в терминах неравенств, связываниях нормы корневых функций в различных метриках. На основе предложенного разбиения, установлены критерии бесселевости, безусловной базисности и базисности Рисса в L¿(G-) систем корневых функций операторов высокого порядка. Показана необходимость условия "сумма единиц" для бзссолевоста п необходимость ограниченности ранга собственных функций для безусловной базисности систем корневнх функций. Показано, что требование о выполнении аятпапркорноЯ оценки (4) является естественным п задаёт ограничение ледь на выбор ксрнеЕнх функций, отвечагцих данной собственной функции. Получен ряд вспомогательных результатов, в том числа односторонние аналога формул среднего значения. Показано, что все основннэ результаты работы переносятся ка сястекы корневых вектор-функций операторов с матричными коэффициентами, а такте разрывных операторов.

Приложения. Работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть использована в спектральной теории дифференциальных операторов; при изучении базисности неортогональных систем функций (в частности, систем экспонент); при изучения интегрируемости некоторых классов нелинейных эволюционных уравнений и систеи, ассоциированных представлением

Лакса; при обосновании метода Фурье решения задач математической физики; при исследовании некоторых задач теории упругости и квантовой механики, приводящих к изучению несамосо-прязЕёяных дифференциальных операторов.

Апробация работы. Основные результаты работы неоднократно докладывались на семинаре академика В.А.Ильина, чл.-корр. РАН А.В.Бицадзе и проф. Е.И.Моисеева (ВМиК МГУ), на семинаре проф. Е.И.Моисеева (Е.'.иК МГУ), на семинаре проф. В.И.Бурея-кова и проф. М.Л.Гольшана (РУДН и КИРЗА), а такае послужили основой доклада на конференции "Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений" (Алка-Ата, 1991 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в II работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объём дяссеитают. Диссертация состоит из введения, четырёх глав (разбитых на параграфы) и списка литература. Объём работы 242 страницы, включая 12 страниц списка литературы, содержащего 96 каниенований.

щ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность чеш исследования, а такае кратко излагается основные результаты диссертации.

На произвольном конечной интервале £ — (¿Ц £} вещественной оси рассматривается формальный дифференциальный оператор

. (а/«) - (2*-г)

+ Рз (*/« - (6)

с коэффиотент&ча

^ (С) , (?)

Системой корневых функций оператора (6) называем произвольную систему комппекснозкачянх отличных от тождественного

нуля функций (У« (*) лепящихся регулярна на б- рэ-

иенляыи уравнения

Ьс<п~(~1) у* = и„_4 , (8)

Л- Г при |/<л| > {

где — ] , катдое из чисел

> (_ { при

£?и равно либо О, лкбо I (в последнем случае требуем

А ). - 0 • Числа Д^-С-О"/»-""

называем собственными значениями, а - спектральным

параметром, причём считаем, что цп (-. J

(в частности, уи„ > О ),

В глава I устанавливаются некоторые вспомогательные свойства корневых функций. В §1 показано (ле;»иа 1.1.1 а теорема 1.1.1), что любое регулярное на & ренение уравнения

I и - (-}1*т и =г / , ^ (С), (9)

удовлетворяет одеякз

|и („и^и ' (10)

чя* т

где К^ц - произвольный сегмент интервала 6 , содержащий точку тс. , длины тСн , У(е-в))* а константа не зависит от у , р , 1 , х (а зависит лишь от коэффициентов оператора).

Как следствие оценки (10), подучены (теорена 1.2.Г) сле-духщие оценка корневых функций:

(и*. , . Ш) + | А Г' II ) , 0^1; -

<11^ (12)

+ I £ Г И ) , ;

где || • ||„ обозначает нерму в ( (I * Т *

а константы в <11), (12) зависят лишь от оператора .

Оценки (10), (II), в отличие от ранее известных оценок, позволяют судить о поведении производных решения в любой точке сегмента С по поведению самого решения в -окрестности этой точки. Кроме того, оценки (10)-(12) получены без каких-либо предположений о спектре, а константы в (II), (12) не зависят от порядка корневой функции ии .

Б §2 главы I доказана также теорема 1.2.2, согласно которой произвольная система корневых функций оператора (6), без

каких-либо предположений о спектра, мозет быть модифицирована с сохранением собственных функций таким образом, чтобы была выполнена антиаприорная оценка (4) с любой наперёд заданной константой Мц >0 , в том числе и с константой —I. Тем самым становится оправданным предположение о справедливости оценки (4), фигурирующее во всех основных результатах работы.

В §§3-5 главы I установлены односторонние аналоги формулы среднего значения В.И.Моисеева [9] . Приведём здесь одну из таких формул (формула 1,5.22 и теорема 1.5Л). Пусть Rejnh >

> О , где jua достаточно велико, и пусть выполнено карлемановское условие (2). Тогда для любого т & G и любых

a R > О таких, что fx, * + £ ШбоСх-R^xJcQ),

а < R ~ ¿о Й0 (где £0 - достаточно малая константа, зависящая лить от порядка оператора (6)), справедлива Формула

ип(*±г) = cotf*n* £ (13)

"«-л-"/«

* £ z ^(f) («)] -

+ ( 0*s и + ZL А» x"

к-*,),

где = ехр(гдгк/,^,) Д^ - константы, все отличные от 0; символ ~ означает, что суммирование ведётся по

всем :орневым функциям ), принадлежа-

щим той же цепочке корневых функций, что и м„ (*); а все вел. шны 2>*. (ж) ( I = 4,3. ) И ь (*) ( ¿Т^-*1) подставляют собой линейные комбинации значений в точке зс самой функции мп и её производашх до (5м - 1)-го порядка включительно (причём зги величины выписываются в явном виде) к удовлетворяют равномерно щ х & С, оценке

2)1 бссНг^ЧПМр ч-^.И0"«»-*«,,)

(14)

Б главе 2 изложенный выше результат Н.Б.Керимова переносится на рассматриваемый нами случай оператора (6). Б §1 главы 2 вводятся основные понятия (в частности, понятия бесселевой системы, безусловного базиса и базиса Рксса), а также показано (лемма 2.1.1), что изучение безусловной Оазисности и базисности Рисса в систем корневых функций {

сводится к изучению бесселевости в (&) систем —I,

4iwi.li

[ ... I, где / 1ЛЛ - система, биортогонально сопряжённая

1 иъи ' 1

в 2 ( О ) к системе { и» \ . При этом предполагается полнота в хотя бы одной из систем , | , а такэсе предполагается, что система {^и} состоит из корневых

функций оператора , формально сопряжённого к I- ,

В §2 сформулированы основные результаты главы 2: теоремы 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3, дахгше соответственно условия бесселево-сти, безусловной базисности и базисности Рисса систем г.орне-вых функций, и являнциеся перенесением результатов Н.Б.Кери-мова на операторы высокого порядка. Подчеркнём, что все результаты главы 2 получены в предположении справедливости условия "сумма единиц" (3). В §§3-5 проводится доказательство теорем 2.2.1-2.2.3, причём особую сложность представляет доказательство необходимости теоремы 2.°..1 в §5. Среди вспомогательных результатов, установленных в §3, выделим лемму 2.3.1 об отсутствии конечных точек сгущения у последовательности для любой бесселевой системы корневых функций, удовлетворяющей антиалриорной оценке (4).

Основной идеей главы 3 является разбиение система корневых функций на 3 класса, что позволило существенно уточнить условия бесселевости, безусловной базисности и базисности Рисса, установленные в главе 2. Зафиксируем произвольную константу С > О и достаточно малые константы <Г > О . рассмотрим сегмент К ~ [ а- Отнесём к классу И^ все функции ил , такие, что

н и* ¡¡^ ^ с 11 > ;15>

к классу Цх отнесём функции, не вошедшие в класс ,

но такие,

И"-1 иск) > (К)

наконец, 2/3 = { и„ } \ ( к у Ц1), т.е. класс Уг состоит из тех функций ип , для которых

II ^ £ 1|иЛЛ (И)

Описанное разбиение осуществляет в терминах неравенств естественную классификацию корневых функций в соответствии с поведением главного члена асимптотики. Для реальных краевых задач к классу У1 следует отнести все те корневые функции, у которых главный член асимптотики осциллирует, к классу -функции, у которых главный член асимптотики содержит как ос-циллярувдне, так и экспоненциальные слагаемые, а к классу - у которых главный член асимптотики содержит только экспоненциально растущие либо экспоненциально убывающие слагаемые.

В §1 главы 3 описано указанное разбиение, установлены некоторые простейшие свойства классов , И ^ и сформулирована следулцая теорема, уточняющая условия бесселевости.

Теорема 3.1.1. Пусть { У„ } - произвольная система корневых функций оператора (6), причём I) ранг собственных функций равномерно ограничен, 2) выполнено карлемановское условие (2), 3) выполнена антиаприорная оценка (4). Тогда для бесселевости

системы I . — I в необходимо и достаточно суще-

Н"пИа

ствовалне констант

М„ . М

г , /м9 , таких, что

I £ для всех г^О, (18)

«„ е ^ (/

//О £ ¡И» II,

где > О фиксировано и произвольно.

В §2 главы 3 показана необходимость условия "сумма единиц" для бесселевости классов > Ул • В §3 установлены

некоторые свойства функций из класса . В частности, по-

казало (лемма 3.3.3), что для таких функций односторонние аналоги формул среднего принимают более простой вид, нежели в главе I (в этих формулах удаётся устранить осциллирующие слагаемые). Показано такке (лемма 3.3.4), что функции класса Иъ при достаточно больших , удовлетворяют оценке снизу

(I ^Л II ип II, <2°)

с константой, зависящей лишь от коэффициентов оператора.

В §4 доказывается теорема 3.1.1. В §5 установлен следуэ-щий критерий бесселевости.

Теорема 3.5.К критерий бесселевости). Пусть выполнены условия теоремы 3.3.1. Тогда для бесселевости системы

/ I в ^ ( (* ) необходимо ж достаточно выполнение

Чкн^

условия "сумма единиц" (3) и условия Н.Б.Керимова (5).

В §6 главы 3 установлена следувдая теорема об ограничен-

яости ранга собственных функций (т.е. о равномерной ограниченности длин цепочек корневых функций).

Теорема 3.6.1. Пусть { и„ } - произвольная система корневых функций оператора (6), образующая безусловный базис в

(6) . Пусть выполнены карлемаковское условие (2) и анти-

адрпоряоя оценка (4). Тогда ранг собственных функций этой сп-стеш равномерно ограничен.

Следствием теорем 3.5.1 и 3.6.1 является следующие критерии безусловной базисности и базисноста Рисса, являющиеся центральными результатами диссертации.

Теорема 3.6.2 (критерий безусловной базисностп). Пусть

{и„)ъ {^н}- пара биортогонально сопряжённых в (£)

систем, состоящих из корневых функций операторов {_ и 1- * соответственно. Пусть выполнено карлемаковское условие (2) и антиаприорные оценки (4), (4а). Тогда для безусловной базисноста в (Сг) каэдой из систем { ци ^ , { ^ необходимо и достаточно, чтобы

1) хотя бы одна из систем {ип\ , била паяна в (£} ,

2) выполнялось условие "суша единиц" (3),

3) выполнялось условие (к),

4) выполнялись условия Н.Б.Керимова (5), (5а).

Теорема 3.6.3 (ктятеттй базисноста Рксса). Пусть и

пара биортогонально сопряжённых в (6) систем,

состоящих из корневых функций операторов ¡_ и Ь * соответственно. Пусть выполнено кардемановское условие (2). Тогда

для базисности Рисса в (&) каждой из систем , |

необходимо и достаточно, чтобы

1) хотя бы одна из систем была полна в ( &),

2) выполнялось условие "сумма единиц" (3),

3) обе системы были почти нормированы,

4) существовали константы , Мц » такие, что

Г »«.С

21 (21а)

где /<о>0 фиксировано и произвольно.

В §7 главы 3 рассмотрены некоторые примеры, иллюстрирующие результаты глав 2,3.

В главе 4 основные результаты глав 1-3 переносятся на системы корневых вектор-функций операторов с матричными коэффициентами, а также разрывных операторов.

Изучение базисности систем корневых вектор-функций операторов с матричными коэффициентами становится актуальным в связи с работами В.¿.Ильина, К.В.Матьнова и Е.И.Моисеева (см., в частности, [14,15]), в которых, установлена тесная связь между интегрируемостью некоторых клйссов нелинейных эволюционных систем, ассоциированных представлением Лакса, и базисностыо систем корневых вектор-функций операторов с матричными коэффициентами.

В §1 главы 4 доказывается теорема 4.1.1, являющаяся векторным аналогом теоремы 1.2.1 и давдая сценку нормы производных корневых вектор-функций в $ - компонентном пространстве л (б) через нормы в ^ (О) ^ ) этой ев и предыдущей корневой вектор-функции.

В §2 получены векторные аналоги односторонних формул среднего значения.

В §3 устанавливаются оценки корневых вектор-функций (теорема 4.3.1), связываидие норш по различным сегментам. В частности, получен векторный аналог антиаприорной оценки, полученной впервые В.А.Илышш в работе [ю]-

В §4 показано, что все основные результаты относительно бесселевости, установленные в главах 2,3, полностью переносятся на векторный случай. Сформулирована и доказана теорема 4.4.1 (векторный аналог теоремы 3.5.1), дащая критерий бесселевости в пространство 4 (6) систем корневых вектор-

функций. В §5 получены критерии безусловной базисности (теорема 4.5.1 - аналог теоремы 3.6.2) и базпсностп Рисса. (теорема 4.5.2 - аналог теоремы 3.6,3).

Хорошо известно, что для краевых: задач с нелокальными краевыми условии,® сопряжённая задача является, вообще говоря, задачей с разрывным оператором, В связи с этим, в §6 гла-г вы 4 рассматривается оператор порядка 1 ж ( т "з- 2 ) с матричными коэффициентами, у которого как корневые функции, таг; и коэффициенты оператора могут иметь разрывы первого рода в любом конечном числе точек интервала & . При этом в точках разрыва не требуется выполнения каких-либо условий сопряжения. Показано, что критерии бесселевости, безусловной базисности п базисности Рисса остается справедливыми в этой случае без ка,-кпс-либо изменений. В §7 приведены примера, пллюстрирушаие результаты главы 4.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту академику Владимиру Александровичу Ильину за постановку пройлеш и постоянное внимание к работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тамаркпп Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. Петроград. Ï9I7. 308 с.

2. Еяркгоф Да. (Biittkoff S.D.), ßounc/aiy v^tuc <\t\A expamion р"toi ter»* of oïdlnaty Pineax JiffeteniiQ t eju<»4:oM// Tram. Amet.AMk. -Soc. i 9os. V. 3. ЫЧ. P. 3*3-395.

3. Стеклов Б.A. Об асимптотическом выражении некоторых функций, определяет,ж линейным дифференциальны!.! уравнением второго порядка и их применении к задаче разложения произвольной функции в ряд по этот функциям. Харьков. Издательство ХГУ. 1956. С. I-I33.

4. Еицадзе A.B., Самарский A.A. 0 некоторых простейиих обобщениях линейных эллиптических краевых задач//ДАН СССР. 1969. Т. 185. й 4. С. 739-740.

5. Кеддш U.B. О собственных значениях п собственных функциях некоторых классов нессюсопрягёнвнх уравнений// ДАН СССР. 1951. Т.77. Si I. С. II-I4.

6. Косзльман Г. 1.1. О безусловной сходплостн разложений .. по собственник функцсям некоторых дифференциальных операто-роз/AbB. вузов СССР. Математика. 3964. й 2. С. 82-93.

7. Цнхайлоэ В.П. О базисах Рисса э L2(0,i) /ДАН СССР. 1962. Т. 144. » 5, С. S8I-S84.

8. йонкгл Н.И. Рсзепиз одной краевой задачи теории те- . шгопроводности с нонжассачесявм краевым уатовнем/Дпфференц. уравнения. 1977. Т. 13. Л 2. С. 294-304.

9. Моисеев Е.И. Асимптотическая формула среднего значения для регулярного реаеншх дифференциального уравнепия//Дпфференц. уравнения. 1980. Т. 16. П 5. С. 827-844.

10. Ильин Б.Л. Необходимые ж достаточные условия базис-ности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений Л//Дифферещ. уравнения. 1980. Т. 16. В 5.

С. 771-794.

11. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базис-ности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений.2/Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. $ 6.

С. 980-1009.

12. Ильин В.А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединённых функций дифференциального оператора второго порядка//ЦАН СССР. 1983. Т. 273. й 5. С. 1048-1053.

13. Керимов Н.Б. О безусловной базисности систеш собственных и присоединённых функций дифференциального оператора четвёртого порядка/ДАН СССР. 1986. Т. 286. й4. С. 803-608.

14. Ильин В.А., Мальков К.В., Моисеев Е.И. Базисность систем корневых функций несамосопряяённых операторов и интегрируемость ассоциированных представлением Дакса нелинейных эволюционных уравнений .1/Диффереш. уравнения. 1989. Т. 25. ' И II. С. 1956-1971.

15. Ильин В.А., Мальков К.В. Интегрируемость одного класса нелинейных эволюционных систем высокого порядка, допуекгоо-цих несамосопряжённое представление нулевой кривизны/Диффе-ренц. уравнения. 1990. Т. 26. № 12. С. 2085-2088.

Работы автора по теме диссертации.

16. Будаев В.Д. Оценка модуля производной регулярного решения обыкновенного линейного дифференциального уравнения// Диффереяц. уравнения. 1987. Т. 23. Л 2. С. 198-204.

17. Будаев В.Д. Критерий безусловной базисности систем собственных и присоединённых функций обыкновенных дифференциальных операторов//ДАН СССР. 1990. Т. 314. № I. С. 25-28.

18. Будаев В.Д. О неравенстве Бесселя для систем корневых функций дифференциальных операгоров//ЦАЯ СССР. 1991. Т. 318. № I. С. 16-20.

19. Будаев В.Д. Критерии бесселевости и базисности Рисса систем корневых функций разрывных дифференциальных операторов// Тезисы конференции "Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений". Алма-Ата. 1991.

20. Будаев В.Д. Критерии бесселевости и базисности Рисса систем корневых функций дифференциальных операторов.1//Диффе-ренц. уравнения. 1991. Т. 27. № 12. С. 2033-2044'.

21. Будаев В.Д. Критерии бессааевости и базисности Рисса систем корневых функций дифференциальных операторов. 2//Диффе-ренц. уравнения. 1992. Т. 28. Л I. С. 23-33.

22. Будаев В.Д. Необходимее условие базисности Рисса систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов// ДАН СССР. 1991. Т. 321. « 5. С. 873-375.

23. Будаев В.Д. Безусловная баэисность систем корневых вектор-функций дифференциальных операторов с матричными коэф-4кциента\га//ДАБ СССР. 1992. Т. 323. II 6. С. 999-1003.

24. Будаев В.Д. О необходимых условиях безусловной базисности систем корневых функций несамосопряжённых дифференциальных операторов//ДАН. 1993. Т. 329. № 4. С. 7-10.

25. Будаев В.Д. Некоторые свойства корневых вектор-функций оператора высокого порядка//Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29. « I. С. 36-^)

26. Будаев Б.Д. Необходимое условие базисности Рисса си-

стем корнеЕшс функций обыкновенного несамосопряжённого дифференциального оператора//Ди<|ференц. уравнения. 1993. Т. 29. В I. С. Zo-ic

«

Формат бумаги 60X84V« Тир.iCO Зак.¿Е80 Псч. листов г Смоленская городская типография Индекс 214000, ул. Маршала Жукииа. 13