Устойчивость свойств гильбертовости и бесселевости некоторых систем функций при малых возмущениях параметров тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ГИЛЬБЕРТОВОСТЬ И БЕССЕЛЕВОСТЬ СИСТЕМ

СИНУСОВ, КОСИНУСОВ И ЭКСПОНЕНТ.

§1. Формулировка результатов.

§2. Доказательство теорем 1.1.1-1.1.10.

§3. Иллюстрация результатов и их сравнение с выводами

Пэли - Н. Винера и М. И. Кадеца.

Глава 2. ГИЛЬБЕРТОВОСТЬ И БЕССЕЛЕВОСТЬ СИСТЕМ КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ ОПЕРАТОРОВ

ВТОРОГО ПОРЯДКА.

§1. Гильбертовость и бесселевость систем собственных функций операторов второго порядка.

§2. Гильбертовость и бесселевость систем корневых функций операторов второго порядка,.

§3. Примеры.

Глава 3. АНАЛОГИ ФОРМУЛ СРЕДНЕГО ДЛЯ ФУНКЦИЙ уп

§1. Основные понятия и результаты.

§2. Доказательство теоремы 3.1.1.

§3. Доказательство теорем 3.1.2-3.1.4.

Глава 4. ГИЛЬБЕРТОВОСТЬ И БЕССЕЛЕВОСТЬ СИСТЕМ КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ ОПЕРАТОРОВ

ВЫСОКОГО ПОРЯДКА.

§1. Формулировка результатов.

§2. Вспомогательные утверждения для случая < ¿¿0.

§3. Вспомогательные утверждения для случая ¡лп > ¿¿о.

§4. Доказательство основных результатов.

При решении многих задач математической физики, например, при решении краевых задач для уравнений в частных производных методом разделения переменных, возникает необходимость в изучении свойств спектрального разложения произвольной функции из того или иного класса по системе корневых (то есть собственных и присоединённых) функций (кратко: к. ф.) некоторого дифференциального оператора (кратко: д. о.). Исследования в этом актуальном направлении современной математической науки являются предметом соответствующего её раздела, называемого спектральным анализом д. о.

Вопросы, изучаемые в данной диссертации, связаны с проблемой базисности в том или ином классе функций систем к.ф. обыкновенного д. о. Решение этой проблемы играет фундаментальную роль в построении спектральной теории несамосопряжённых д, о.

В случае формально сопряжённого д. о. и самосопряжённых краевых условий указанная проблема, в основном, решена. Согласно теореме Дж. фон Неймана [44], система собственных функций формально самосопряженного д. о. с произвольными самосопряжёнными краевыми условиями, обеспечивающими точечный спектр, образует ортонор-мированный базис в пространстве 1<2. Отметим, что в этой ситуации понятие д, о., как и понятие его собственной функции, неразрывно связано с краевыми условиями, что соответствует классической теории линейных д. о. [43].

Исследование спектральных свойств несамосопряжённых д. о. существенно сложнее. Пусть Ь — заданный на произвольном интервале О действительной прямой формальный, вообще говоря, несамосопряжённый обыкновенный дифференциальный оператор

Ьи = и^ + Р1(х)и+ Р2(х)и^-2) + . • . + Рк(х)и. (1)

Система его собственных функций, вообще говоря, не полна в пространстве Ь2 (то есть произвольную функцию из класса не всегда можно приблизить с любой степенью точности в метрике Ьг линейной комбинацией собственных функций). Поэтому систему собственных функций пополняют присоединёнными. Большой вклад в спектральную теорию по вопросу о полноте внёс М. В. Келдыш [24]. Для широкого класса несамосопряжённых задач он построил систему к.ф., которую назвал канонической, являющуюся полной в пространстве Ьг. Однако, система к. ф. несамосопряжённого д. о. не является, вообще говоря, ортогональной в Ьг, вследствие чего даже при своей полноте и минимальности в классе Ьг (минимальной в пространстве Ьг называется система, ни один элемент которой не входит в замыкание линейной оболочки других её элементов), она может не образовывать базис в этом пространстве.

Успехи на пути выяснения условий базисности для систем к. ф. несамосопряжённых д. о. в терминах краевых условий были достигнуты В. П. Михайловым [40], Г. М. Кессельманом [27], Н. Данфордом и Дж. Т. Шварцем [13], А. А. Шпаликовым [51], [52].

Так, в работах [40], [27], [13] доказана базисность Рисса к. ф. обыкновенного д. о. п— го порядка с регулярными по Биркгофу [43, с.66-67] краевыми условиями при дополнительном требовании их усиленной регулярности, а в [51] при условии обычной регулярности - базисность Рисса со скобками. В [52] был выделен класс регулярных интегральных краевых условий, включающий в себя регулярные условия в смысле Биркгофа. Была доказана базисность Рисса со скобками к. ф. обыкновенных д. о. при таких условиях, а при дополнительном предположении их усиленной регулярности - обычная базисность Рисса.

Отметим, что при усиленно регулярных краевых условиях все собственные значения д. о., начиная с некоторого, простые. Найти какие-либо другие краевые условия, обеспечивающие базисность систем к. ф. несамосопряжённых д. о., так и не удалось.

В последние десятилетия возник целый ряд задач, не охватываемых описанной теорией. К ним относятся такие задачи неклассической физики, как отыскание условий устойчивости плазмы, расчёт ядерных реакторов. Такого рода несамосопряжённые задачи приводят к бесконечному множеству кратных собственных значений и бесконечному множеств}'' присоединённых функций.

Примером такой задачи является рассмотренная Н. И. Ионки-ным [20] неклассическая задача распространения тепла в однородном стержне. Методом разделения переменных она сводится к краевой задаче —(р(х)и'У + д(х)и = Xи, а < х < 6; и(а) = 0,и'(а) = и'(6), краевые условия которой являются регулярными, но не усиленно регулярными. Все собственные значения этой задачи, начиная со второго, двукратны, а общее число присоединенных функций бесконечно. Тем не менее в работе было установлено, что специальным образом выбранная система корневых функций образует базис в (а',Ь). Так, для задачи А. А. Самарского-Н. И. Ионкина, и" + Хи = 0, 0 < х < 1, гг(0) = 0, г/(0) = г/(1),

2) система её к.ф. {sin2-7rna;, | cos27rna;}^L0 образует безусловный базис и даже базис Рисса в Ьг(0,1). (Безусловным называется базис, сохраняющий свойство базисности при любой перестановке его элементов. Базисом Рисса называется базис, который с помощью линейного ограниченного обратимого преобразования переводится в ортонорми-рованный базис.)

Важно отметить следующий момент. В то время, как система к.ф. {щ{х)} оператора Lu = и" + ai(x)u' + <22(х)и, рассматриваемого на интервале G — (0,1), с краевыми условиями (2) и коэффициентами а\{х) = 0, а2(х) = 0 при специальном выборе присоединённых функций обладает свойством базисности в Lp(0,1) при любом р > 1, система {{¿(ж)} того же оператора с теми же краевыми условиями и с коэффициентами âi(x) — е(х — 1/2), а2(х) = (е2/4)(х — 1/2)2 + в/4, где е > 0—произвольное достаточно малое число, не обладает свойством базисности ни при каком р > 1 и ни при каком выборе корневых функций. Отмеченная зависимость свойства базисности системы к. ф. от коэффициентов д. о., при которой наличие базисности меняется на её отсутствие для какого угодно малого изменения коэффициентов, была показана В. А. Ильиным в работе [15]. Им же было замечено, что при наличии в системе бесконечного числа присоединённых функций свойство базисности существенно зависит от выбора корневых функций (для одного и того же оператора с одними и теми же краевыми условиями можно построить системы к.ф., одни из которых образуют базис в L2, а другие - нет).

Таким образом, для ряда краевых задач условия базисности нельзя выразить в терминах краевых условий.

В связи с этим В. А. Ильиным в 1976-1978 годах была предложена новая трактовка понятия корневых функций.

Системой обобщённых корневых функций (кратко: о. к. ф.) оператора (1) назовём (см., например, [15,с.1518]) произвольную систему комплекснозначных не равных тождественно нулю функций {ип(ж)}, п = 1,2,., каждая из которых принадлежит классу W\(G) и для некоторого комплексного числа Ап почти всюду на G удовлетворяет дифференциальному уравнению Lun + Апип = 9п • ггп1, в котором L — оператор (1), вп = 0 либо вп = 1 (в последнем случае обязательно Ап = Anx), a всегда равно нулю.

При вп = 0 функцию ип{х) назовём обобщённой собственной функцией, а при вп = 1 — обобщённой присоединённой функцией.

Натуральное число тп назовём рангом собственной функции ип(х), п G N, если вп = 0, 9п+1 = 9п+2 = - = 0п+тп = 1, n+m„4-1 — 0.

Введём в рассмотрение специально выбранный корень степени к из комплексного числа Лп, который обозначим символом и назовём спектральным параметром. Для этого положим

1)(П+2^2А„, если к чётно, —г'Ап, если к нечётно, ImAn > 0, г'Ап, если к нечётно, ïmÀn < 0 и запишем число Лп в виде Ап = гехр(г<р) при —тт < <р < тт. Тогда выделяемый нами корень степени к равен /¿n = rl!k exp(i(p/k). Заметим, что при к = 2, то есть для уравнения второго порядка, ¡лп— это тот квадратный корень из А„, для которого ReA„, > 0.

В работах В. Д. Будаева уравнение, задающее о. к. ф., в отличие от уравнения, используемого в приведенном выше определении о. к. ф. В. А. Ильина, имеет вид: Lun + Anu?i = 6njlnun-1, где £in = цп при \jj,n\ > 1 и Дп = 1 при \jjLn| < 1. Наличие дополнительного множителя в правой части уравнения устраняет стремление к нулю норм присоединённых функций при \/лп j оо. В настоящей диссертации для определения о. к. ф. также используется последнее уравнение.

В отличие от классического понимания, при котором корневые функции должны не только являться регулярными внутри интервала G решениями соответствующего дифференциального уравнения, но и обязаны удовлетворять заданным краевым условиям, новое определение, дающее понятие о. к. ф. как регулярных решений соответствующего уравнения, предполагает полный отказ от задания краевых условий в каком бы то ни было виде. Введённая таким образом система о. к. ф. некоторого д.о. включает в себя системы к. ф. всех краевых задач этого оператора, обладающие точечным спектром, системы типа экспонент (не удовлетворяющие никаким условиям), а также некоторые системы, полученные объединением подмножеств корневых функций двух различных краевых задач. Условия базисности в L2 произвольной полной и минимальной системы о. к. ф. формулируются при этом не в терминах краевых условий, а в терминах структуры множества собственных значений и в терминах соотношений между нормами корневых функций.

В работах [18], [19] В. А. Ильиным разработан метод исследования базисности в L2 произвольной полной и минимальной системы о. к. ф. Этот метод использовался и для получения результатов данной диссертации. Он основан на применении формул среднего значения (двусторонние формулы среднего значения установлены для операторов второго порядка Э. Ч. Титчмаршем [46], И. Йо [21], для операторов высокого порядка - Б. И. Моисеевым [42], И. С. Ломовым [32], односторонние формулы среднего значения доказаны для оператора второго порядка В. В. Тихомировым [47], для оператора высокого порядка например. В. Д. Будаевым [10]), а также полученных на основе этих формул оценок о. к. ф. (таких, как антиаприорная, оценивающая норму предыдущей присоединённой функции через норму последующей [18], а также оценка нормы производной корневой функции [18], [28], [10]). При этом требуется достаточная гладкость коэффициентов д. о. и вводятся естественные ограничения на спектр:

3С)(Уп € К) \1т^п\ < С (карлемановское условие), (3) впервые рассмотрено в известной работе Т. Карлемана [23]),

ЗМ)(\/п Е 14) (У/^ > 0) X) 1 < М (условие "сумма единиц"). п

4)

Вначале критерий безусловной базисности был получен В. А. Ильиным в работе [17] для систем корневых функций операторов второго порядка.

ТЕОРЕМА. (В. А. Ильин)Пусть 1 ){иГ1}^=1— произвольная пол-нал и минимальная в ^(С) система о. к. ф. оператора (1) при к = 2, а система {^п}^!, биортогоналъно сопряжённая в 1*2 (С?) к системе состоит из корневых функций оператора Ь*, формально сопряжённого к оператору (1) при к = 2; 2)выполнено карлемановское условие (3). Тогда для безусловной базисности в Ь^Ст) каждой из систем {^п}^, необходимо и достаточно существование констант М15 М2 таких, что Е 1 < М\ для всех т > 0, и т<Нец,п<т+1 \\уп\\ < М2, где через || • || обозначена норма в

Позднее в работе [26] Н. Б. Керимовым исследовалась безусловная базисность систем о. к. ф. операторов четвертого порядка.

Наиболее полно вопрос о безусловной базисности систем к.ф. оператора п—го порядка был изучен В. Д. Будаевым в [10].

Для выяснения механизма исследования свойства безусловной базисности систем о. к. ф. несамосопряжённых в общем случае д. о. дадим определение бесселевой и гильбертовой системы в гильбертовом пространстве.

Систему {еп}^=1 элементов гильбертова пространства Н будем называть гильбертовой, если ос

За > 0)(У/ € Н) Е |(Де„)|2 > а||/||2, п=1 где (•,•)- скалярное произведение, а || • |( - норма в Н.

Систему {е,, }^! элементов гильбертова пространства Н будем называть бесселевой, если ос

3(5 > 0)(У/ е Н) £|(/,еге)|2</3||/||2. п=1

Выписанные неравенства и будем называть неравенствами Гильберта и Бесселя соответственно, а константы а и (3 - константами Гильберта и Бесселя.

В дальнейшем Н = Ь2(0,1), а (•, •) и || • || - скалярное произведение и норма в 1^(0,1), || -Цх, || • Цоо-норма в пространствах Ьх(0,1), Ь^О, 1) соответственно.

Изучение свойств гильбертовости и бесселевости^ - важнейшая задача спектральной теории, поскольку по известным теоремам Н. К. Бари [1] и «Порча [12], установление безусловной базисно-сти той или иной системы функций {гХп}^ в Н сводится к установлению бесселевости, гильбертовости и минимальности системы либо к установлению бесселевости систем {^п/||ггп||К11 и {^п/||г'п||}^=1 (где {уп}— система, биортогонально сопряжённая к {и„} в Н), полноты и равномерной минимальности одной из этих систем.

Для получения критерия безусловной базисности систем о. к. ф. линейных д. о. высокого порядка В. Д. Будаевым в [10, с.156] был установлен критерий бесселевости, универсальность которого позволяет считать проблему бесселевости для названных систем функций решённой. Коме того, критерии бесселевости хорошо изучены в работах Н. Б. Керимова [26], И. С. Ломова [33-34], Л. В. Крицкова [30], В. М. Курбанова [31].

ТЕОРЕМА. (В. Д. Будаев) (Критерий бесселевости) Пусть {ип}^=1~ произвольная система к.ф. оператора (1) при к = 2т (т > 2), причём 1)раиг собственных функций этой системы равномерно ограничен; 2)выполнено карлемановское условие (3); 3)выполнена антиаприорная оценка

9пип-1\\ ^ 41Ы1 (5) с константой, не зависящей от (лп. Тогда для бесселевости системы {tin/|K||} е L2(G) необходимо и достаточно выполнения условия (4) "сумма единиц" и условия Н. Б. Керимова

IIи II2

Е < const • N,

Ло<RejJ,»<N IK II где до — произвольное фиксированное, || • Ц^—норма в L00(G), а константы не зависят от N.

Критерий безусловной базисности, опирающийся на приведенный критерий бесселевости, использует биортогонально сопряжённую к {un} систему {vn}, состоящую из корневых функций оператора £■*, сопряжённого к оператору L. А именно, при выполненных карлема-новском условии (3), антиаприорной оценке (5) для обеих из систем {ип}у {vn} необходимыми и достаточными условиями безусловной базисности в L2(GQ каждой из систем {ип}, {и„} являются полнота в L2(G) хотя бы одной из систем {tin}, {%}, условие (4) "сумма единиц", условие |K||l2(g) • |KI|l2(g) < const для всех п, и условия Н. Б. Керимова, выполненные для каждой из систем {ип}, {г?„}.

Проанализируем, насколько вызваны существом дела некоторые условия из сформулированных теорем, а также конструктивность этих условий для конкретных краевых задач. Существенность кар-лемановского условия доказана, по крайней мере, для д. о. второго порядка. Так, Н. Б. Керимов [25] показал, что при равномерной ограниченности всех цепочек о. к. ф. д. о. второго порядка условие (3) необходимо для базисности в 112(G) системы о. к. ф. д. о. второго порядка. Неравенство "сумма единиц", как следует из критерия безусловной базисности В. Д. Будаева, является одним из достаточных и необходимым условием безусловной базисности в L2 (G) систем о. к. ф. д. о. высокого порядка. Оно позволяет утверждать, что у спектральных параметров отсутствуют конечные точки сгущения, ранг собственных функций равномерно ограничен, а также оно позволяет занумеровать о. к. ф. в порядке неубывания чисел j/in|. Остальные неравенства, содержащиеся в теоремах о безусловной базисности, являются конструктивными условиями. Для их проверки обычно выписываются асимптотические формулы для собственных значений и корневых функций, причём, как правило, достаточно выписать только главные члены асимптотики.

Однако, поскольку построение биортогональной системы является весьма непростой задачей даже для многих систем синусов, косинусов и экспонент, актуальнейшей проблемой представляется изучение условий гильбертовости, что позволило бы исследовать безусловную базисность данной системы функций без привлечения биортогональ-ной системы.

Отметим, что гильбертовая в система является полной в

1>2((?), но не обязательно минимальной. Поэтому свойство гильбертовости системы шире свойства базисности. А. А. Маловым в [39], [38], [36] установлены необходимые и достаточные условия выполнения неравенства Гильберта по системе, подобной системе о. к. ф. обыкновенного д. о. чётного порядка в классе функций, отличных от нуля лишь в достаточно малой окрестности фиксированной точки, а также в классах функций, отличных от нуля лишь в малой окрестности фиксированной точки и чётных или нечётных относительно этой точки. Впервые неравенство Гильберта в подобных классах было изучено В. А. Ильиным в работе [16], в которой получены достаточные условия гильбертовости системы собственных функций оператора Лапласа для произвольной "радиальной" функции, отличной от нуля лишь в шаре малого радиуса. Г. Е. Шикиной в [50] была доказана достаточность аналогичных условий для выполнения неравенства Гильберта в классе функций, отличных от нуля лишь в малой окрестности фиксированной точки вещественной прямой и чётных относительно этой точки по системе о. к. ф. обыкновенного д. о. чётного порядка. А. А. Малов [36] дополнил этот результат, доказав необходимость этих условий и получив необходимые и достаточные условия гильбертовости в классе нечётных относительно фиксированной точки функций.

Таким образом, вопрос об установлении критерия гильбертовости в Ъ2(С) систем о. к. ф. обыкновенных д. о. открыт и является, по сравнению с изучением бесселевости, более сложной задачей, весьма далёкой от своего полного решения. Будаевым В. Д. в работах [9], [3], [7] предложен следующий подход к изучению гильбертовости, а заодно и бесселевости: предполагая, что некоторая система функций является гильбертовой и бесселевой с константами а и /3 соответственно, рассмотреть вопрос о том, будет ли "возмущённая" система, (то есть система, у которой некоторые параметры несколько изменены), гильбертовой и бесселевой, а также изучить допустимые "границы возмущения" и значение констант в неравенствах Гильберта и Бесселя для "возмущённой" системы.

Отметим, что впервые подобный подход был представлен Пэли и Винером [45] для изучения базисности конкретной системы п = — оо, +оо, в 1(2(—7г, 7г). Точная оценка "возмущения" 6 для этой системы была получена М. И. Кадецем [22].

В настоящей диссертации данный подход реализован для изучения гильбертовости, во-первых, некоторых систем синусов, косинусов и экспонент, и, во-вторых, систем о. к. ф. д. о. чётного порядка. Попутно этим же методом изучается бесселевость названных систем. Указываются допустимые границы возмущения изменяемых параметров, при которых свойства гильбертовости и бесселевости сохраняются, а также взаимозависимость констант гильбертовости и бесселевости соответственно исходной и "возмущённой" систем.

Перейдём к изложению полученных результатов.

В качестве исходных систем в первой главе настоящей работы рассматриваются системы синусов, косинусов и экспонент, а также обобщённые системы синусов (косинусов) и экспонент: {со8упх}™=1, {е1^}^ {Апвш(^х + 7п + р)}, где п = 1,+оо, 2 = 0, кп, кп £ N и {0}, /¿п, 7„ £ С. В предположении гильбертовости и бесселевости (с данными константами) исходной системы указывается равномерная оценка для возмущения спектрального параметра, обеспечивающая гильбертовость и бесселевость "возмущённой" системы с указанными в явном виде константами. Приведём соответствующие теоремы для обобщённых систем экспонент и синусов, содержащие в себе полученные результаты и для всех остальных перечисленных выше систем.

Теорема 1.1.3. Пусть система {Ап^х] е1'1пХ+~'Г1}, где ¡1гп уп 6 С, п — 1,+оо, ] — 0, кп, кп 6 N и {0}, гильбертова и бесселева в пространстве Ь2(0,1) с константами а и (3 соответственно. Пусть |<5П| < А, |вп| < с, 0 < с < 1, где 5п, еп £ С. Тогда при А2е2А < Ц (х^)2 система {Ап^(1 + еп)х3 ег^п+5п^х+1п} гильбертова с константой а* = |(1 — е)2а — (1 + е)2(АеА)2в в пространстве

Ь2(0,1).

Теорема 1.1.4. Пусть система {Ап^х3 еЧ1пХ+у"}, где (лп, уп £ С, п = 1,+оо, ] = 0,кп, кп 6 N и {0}, бесселева в пространстве Ьг(0,1) с константой (3. Пусть |£п| < А, \гп\ < £, 0 < е < 1, где ёт еп € С. Тогда система {Ап^( 1 + бесселева с константой ¡3* = 2/3(1-К)2 (1 + (Аел)2) в пространстве Ь2(0,1).

Теорема 1.1.9. Пусть система {Ап^х3 8т{(лпх + 4-гильбертова и бесселева в пространстве Ьг(0,1) с константами а и /3 соответственно, а система {Ап^х3 со8(/ип£-Ь 7п4-|,?)} бесселева с константой /3i, где Anj, ¡лп, 7„ £ С, п = 1,+оо, j = 0, kn, кп G G N U {0}. Пусть |<5П| < А, \гп\ < г, О < е < 1, гп Е С, п = 1, +со, а Д2е2А < з^.Д ^ (f^f)2 • Тогда система {Ап^(1 + еп)х^ sin((/in + +7n + fi)} гильбертова в пространстве £¡2(0,1) с константой а* = а/3(1 - £)2 - Д2е2Л(/? + А)(1 +

Теорема 1.1.10. Пусть система {Anjx-i sm(finx + jn 4- +fi)} бесселева в пространстве Ьг(0,1) с константой (3, а система {An.jxi cos(/inx + jn + f j)} бесселева с константой /?i, где Aijj /in? 7n € C,n = 17+00, j = 0,fc„, kn G NU{0}. Яусгаъ |£n| < Д, кгг| < с, 0 < £ < 1, £>n, en G С, n = l,+oo. Тогда система {An>j( 1 + £n);rJ sin((/in + <5п)ж + jn + |j)} бесселева в пространстве L2(0,1) с константой (3* = 3(1 + ef (¡3 + А2е2А(/3 + /У).

Отметим, что перечисленные утверждения можно уточнить, если дополнительно потребовать, чтобы |1гш5п| < Д]. При этом везде в формулировках величина е2А заменится на выражение e2Al.

Приведенные теоремы непосредственно обобщают соответствующие результаты В. Д. Будаева, сформулированные в теоремах 1, 2 работы [3], полученные для обобщённых систем синусов и экспонент в случае Ап.3, jn Е R (тогда Ах = 0).

Таким образом, основной вывод первой главы состоит в том, что малое возмущение некоторых параметров у систем синусов, косинусов и экспонент, а также обобщённых систем синусов, косинусов и экспонент сохраняет их гильбертовость и бесселевость. Полученный результат, помимо теоретического, имеет и практический смысл, поскольку в ряде работ (см., например, [41], [2-4], [14], [29]) изучена базисность Рисса, а, следовательно, гильбертовость и бесселевость некоторых конкретных систем синусов, косинусов и экспонент. Соответствующие примеры приводятся в третьем параграфе первой главы и сопровождаются сравнением с результатами Пэли - Н. Винера [45] и М. И. Кадеца [22].

Отметим, что требование одновременной бесселевости систем {sin ¿¿„ж}^ и {cos (цп G С) в теоремах 1.1.5 - 1.1.10 является естественным. Любая из этих систем может рассматриваться как система обобщённых собственных функций оператора Lu = и". Согласно критерию бесселевости для систем о. к. ф. д. о. второго порядка, установленному В. А. Ильиным [17], бесселевость каждой из систем {sin и {cos finx}^^ при условии (3) эквивалентна оценке (4). Эти требования выполняются или не выполняются для двух систем одновременно. Таким образом, системы {sin ^„х}^ и cos finx}^=1 (¡in G С) либо одновременно являются бесселевыми, либо одновременно такими не являются.

Подчеркнём, что полученная в перечисленных теоремах оценка носит равномерный характер. Значит, не требуется ни квадратичной близости рассматриваемых систем, ни каких-либо ограничений на асимптотику спектрального параметра.

Доказательства теорем первой главы, как и доказательства теорем второй и четвёртой глав, основываются на определении доказываемого свойства (гильбертовости или бесселевости) и используют некоторые сведения из комплексного анализа, функционального анализа, а также простейшие неравенства I щ ± а2 ± . ± «п|2 > -ki|2 - |а2|2 ~ ••• - Ы\ (6) п аг ± а2 ± . ± ай|2 < п (|ai|2 + |а2|2 + . + |а.й|2) , (7) справедливые для любых натуральных п и любых комплексных СЦ, i = 1, п.

Рассмотренные в первой главе системы функций являются простейшими системами о. к. ф. д. о. чётного порядка, что должно позволить перейти к изучению гильбертовости и бесселевости систем к. ф. таких операторов, чему и посвящена остальная часть диссертации. А именно, во второй и четвёртой главах изучаемые свойства систем о. к. ф. обыкновенных д. о. чётного порядка исследуются методом "возмущения".

При этом требуется выполнение карлемановского условия (3), условия "сумма единиц" (4), и для с. к. ф. д. о. высокого порядка - антиаприорной оценки (5). Перечисленные условия, использующиеся в теоремах В. А. Ильина, В. Д. Будаева о безусловной базисности, проанализированы выше. Так, условие (3) для систем о. к. ф. д. о. второго порядка и условие (4) для систем о. к. ф. д. о. любого чётного порядка являются естественными, так как необходимы для безусловной базисности. Оправданность требования антиаприорной оценки для изучения свойства бесселевости доказывается работой В. Д. Будаева [8]. В ней говорится о возможности преобразования произвольной системы к. ф. обыкновенного д. о., ранг которой равномерно ограничен, в новую систему к. ф., удовлетворяющую антиаприорной оценке с любой наперёд заданной константой, причём такое преобразование сохраняет свойство системы быть бесселевой. Поэтому при исследовании вопроса о бесселевости можно считать, что изначально у нас имеется система к. ф. "возмущённого" д. о., удовлетворяющая антиаприорной оценке с константой 1.

Рассмотрим вторую главу.

Пусть на G — (0,1) заданы два формальных дифференциальных оператора, "возмущённый", у которого q{x) G Li(0,1), и простейший:

Lu(x) = и"(х) + q(x)u(x), (8)

Lu(x) = û"{x). (9)

Пусть {/,— произвольная система комплексных спектральных параметров, а {ищр} (n G N, р = 0,1, .,/„)— отвечающая ей система корневых функций оператора (8), причём ип$— собственная функция, отвечающая ¡лп G С, а uTl.p, р > 1— присоединённая функция порядка р, отвечающая ¡лп и ип$. То есть индекс п означает номер цепочки корневых функций, а индекс р— порядок корневой функции внутри цепочки. Введённая таким образом двойная нумерация корневых функций, применяемая также и в четвёртой главе диссертации, использована, например, в [8, с.34]. По системе {ищр} строится новая система {йщр} (n G N, р = 0,/„), состоящая из корневых функций оператора (9), причём йпр— собственная функция, отвечающая тому же fin, что и функция iin.o, а йп:р (р > 1)— присоединённая функция порядка р., отвечающая ¡in и йпд. Требуется выполнение условий <р(0) = и?ч,(0), й'пр{0) = г^ (0), при которых система {йпр} однозначно определяется исходной системой ипф.

Теорема 2.2.1 говорит о том, что при выполненных условиях (3), (4) и при достаточно малом значении ||ç(îc)||l1(o.i) из гильбертовости системы {йщр/\\йщр\\} в L2(0,1) с константой <5, следует гильберто-вость системы в L2(0,1) с константой а. При этом выписываются конкретные выражения для "возмущения" H^^OIIl^o.i) и константы а. Они оказываются зависящими от констант из условий

3), (4), а также констант из оценок ип <<?1|К!Р|| (n G N, р = 0, G N U {0}), (10)

К,р-*|| < Мищр\\ (n G N, р = 0,1т к = Т^р). (11) первая из которых справедлива при выполненных требованиях (3) и

4) (см., например, [5]), а вторая - при выполненном требовании (3) (см. теорему 1.1.3 из [25]).

Теорема 2.2.2 устанавливает подобный результат для свойства бес-селевости, не требуя при этом ограничения на Ц^яОЦь^ол)- Теоремы 2.2.1 и 2.2.2 дополняются аналогичными теоремами, в которых функции ип и vn "поменялись местами".

Независимо от теорем 2.2.1 и 2.2.2 устанавливаются результаты, аналогичные перечисленным, но справедливые для частных случаев. Так, при q(x) Е L2(0,1) теоремы 2.1.1 и 2.1.2 справедливы для систем к.ф., состоящих только из собственных функций.

Значение для константы С\ в теоремах 2.2.1 и 2.2.2 выписывается на основании результатов работы В. Д. Будаева [5]. Изучением оценок для о. к. ф. обыкновенного д. о. второго порядка, подобных (10), занимались также И. С. Ломов [35], В. В. Тихомиров [47], венгерский математик И. Ио [21]. В работах [35], [47] явный вид констант из рассматриваемых оценок не выписывался. В работе [21] такой вид получен, но исследования В. Д. Будаева по этому вопросу дают более точные результаты.

Отметим, что вопрос о точности оценок на [|gj|, ||д|[ь1(о,1) и ° точности констант Гильберта и Бесселя в данной работе не исследуется.

Все теоремы второй главы остаются справедливыми, если q(x) = — Q + Qi{x)j где Q = const, a q\(x) удовлетворяет условиям соответствующих теорем. При этом значения спектрального параметра ¡лп следует заменить на ¡лп = ^¡Q + ¡i2n.

Заканчивают вторую главу иллюстрации теорем 2.2.1, 2.2.2. Основной вывод второй главы состоит в том, что свойства гильбертовости и бесселевости системы о. к. ф. д. о. (8) устойчивы по отношению к малым возмущениям коэффициента q(x) в метрике класса Li(0,1) (в частном случае - в метрике класса Ь2(0,1)) при надлежащем выборе системы к.ф. невозмущённого оператора (9). Полученный результат позволяет высказать предположение, что при малом возмущении коэффициента q(x) в метрике класса Li(0,1) свойство безусловной ба-зисности систем о. к. ф. д. о. Lu(x) = и"(х) + q(x)u(x) сохраняется. Подчеркнём, что речь идёт о сохранении свойства базисности систем обобщённых к. ф. д. о, второго порядка. В классической терминологии это означает, что к. ф. "возмущённого" д. о. (8) и строящиеся по ним специальным однозначным образом к. ф. простейшего д. о. (9) не обязаны удовлетворять одним и тем же краевым условиям. В этом принципиальное отличие между результатами второй главы настоящей диссертации и работы [9] В. А. Ильина, о которой говорилось выше.

Третья и четвёртая главы настоящей диссертации обобщают результаты второй главы на случай произвольного чётного, большего двух порядка дифференциального оператора.

Пусть {^(ж)}^— система корневых функций оператора (1) при к = 2т (га > 2), отвечающих спектральным параметрам ¡лп. По системе {i¿n(a;)}^:1 строится {йп(х)}^=1 — система корневых функций оператора

Lu = и^2т\ (12) отвечающих соответственно спектральным параметрам /лп. Для однозначности построения системы {йп(ж)}?^г1 требуется выполнение следующих условий.

Договоримся обозначать действительную часть комплексного числа ^ через z, а мнимую - через z.

При fin < цо, где fiQ— достаточно большое положительное действительное число (его выбор оговорен в тексте четвёртой главы),

0) = üW(0), к = 0,2т — 1, п = 1,2,. . При fln > (Ло и fjLn ■ф 7rZ, Z G Z, n G N,

При /in > /i0 и ¡in = irl, l G Z, n G N, сначала обеспечиваем однозначность построения функции йп на отрезке [0,7], где 7— произвольное иррациональное число из интервала (0,1), для чего требуем выполнения условий í42fc)(0) = üi2fc)(0)? unk\l) = u>nk\l)ï fe — 0,m - 1, a затем обеспечиваем однозначность построения функции t¿n на отрезке [7,1], для чего требуем выполнения условий и^ (7) = й^(7), = 42fe)(l), fe = 0,m — 1.

Третья глава диссертации посвящена получению односторонних аналогов формул среднего значения для функций vn = un—ün (n G N), являющихся фундаментом получения основных результатов четвёртой главы. Установленные формулы выражают значение функции vn в точке х + г (либо х — г), где х G G, а г > 0 достаточно мало, через значения в точке х функций vn, ип и их производных до порядка 2 т — 1 включительно, через значение в точке х функции если она принадлежит той же цепочке, что и vn, а также через некоторые интегральные слагаемые.

Процесс вывода названных формул базируется на проведённом В. Д. Будаевым [10,с.37-55] доказательстве односторонних аналогов асимптотической формулы среднего значения Е. И. Моисеева [42] для корневых функций д. о. чётного порядка.

Отметим, что в отличие от известных формул, для формул из настоящей работы оценки всех входящих в них величин выписаны в явном виде (теоремы 3.1.2-3.1.4). Полученные оценки справедливы и для доказанных В. Д. Будаевым односторонних формул среднего.

В теоремах 4.1.1 и 4.1.3, являющихся основными результатами четвёртой главы, в предположении справедливости карлемановско-го условия (3), условия "сумма единиц" (4), антиаприорной оценки (5) (как для функций {ип}, так и для функций {йп}), устанавливается связь между соответственно свойствами гильбертовости и бесселе-вости систем к. ф. "возмущённого" д. о. (1) порядка 2т и простейшего д. о.(12). Исходя из предположения о гильбертовости (бесселевости) специальным образом построенной нормированной системы корневых функций {йп/\\йп\\}^простейшего оператора (12), устанавливается гильбертовость (бесселевость) нормированной системы корневых функций К/|К||}^=1 "возмущённого" оператора (1) при к = 2т. При этом определяется, как велико может быть "возмущение" коэффициентов дифференциального оператора, выраженное величиной к = тах{к, j|«o|iii р}-, где к = maxdlfts^doo, ЦйрЦос} для всех s = 0,2т —3, к = 0,2т —3, р = 1,2т — 2, l=k + l+S ks(x) = 2z\-l)kCIPf~ll(x) р = о,2т-2, k=s р — таа^ЦргЦоо, ||p2m||i}) i = 2,2т — 1, а также значение константы гильбертовости (бесселевости) для второй системы.

В теоремах 4.1.1 и 4.1.3 фигурирует константа В из оценки

Vn € N)(Vp € M^)(Vs = 0,2m — 1) ||t£> \\ж < Б|Дп|3+1/2|КР||,

13) вытекающей из приведенной в [10,с.13] оценки

Vn G N) (Vp G Т~ггц) (Vs = 0,2т — 1) (Vp = Т^о) (

II41IU < const' P>h+1/P(\\un,p\\ + IА п| \\@пип,р-1 Hp) и антиаприорной.

Считается, что оценка (13) выполнена как для функций ип, так и для функций йп (п — 1,2,.).

Кроме того, в теоремах 4.1.1, 4.1.3 используются константы Fo, Ei, из оценки (Vn G N)(Vp = 0,mn) A (mn < rang)

15) где упф— регулярное на G решение уравнения Lvn/p + Xvn/p = /, заданного на G, Л 6 С, а / = /1 + /2, причём /1 G Lh(G), /2 G Lp2(G),

1 < р1 < оо (г = 0,1,2), (ро, р1,р2— фиксированы), д = 0,2т —1, константы В0, Е\, Е2 не зависят от Л, ц. р, а зависят от коэффициентов оператора, гапд— некоторая константа.

Вывод оценки (15) аналогичен выводу оценки (14) [10,с.22-29].

Важным вспомогательным результатом для доказательства теорем 4.1.1,4.1.3 является удобная для использования оценка Ц^пЦос^ ф+у-щ-, где к = 0,1,2,Щ; сл = (¿Р , установленная в лемме 4.3.1.

Справедливы аналоги теорем 4.1.1 и 4.1.3, имеющие соответственно номера 4.1.2 и 4.1.4, в которых функции ип и йп "поменялись местами". Вопрос о точности оценок на к и о точности констант Гильберта и Бесселя в данной работе не исследуется.

Таким образом, свойства гильбертовости и бесселевости системы к.ф. д. о. (1) чётного порядка сохраняются при малом возмущении его коэффициентов, выраженном величиной к.

В связи с отсутствием конкретных значений для констант из оценок (13) и (15) (их вывод представляется очень громоздким), результаты четвёртой главы носят теоретический характер. Они показывают возможность исследования по изучаемому вопросу для каждого конкретного д. о. Кроме того, они позволяют высказать предположение о сохранении свойства безусловной базисности при малом изменении величины к.

Интересно заметить, что так же, как и в настоящей диссертации, свойства систем к. ф. д. о. высокого порядка изучаются с помощью сравнения их со свойствами систем к. ф. простейшего по своему формальному заданию д. о. того же порядка, например, в работе А. М. Го-милко, Г. В. Радзиевского [11]. Но там рассматривается конкретная краевая задача и корневые функции обоих операторов удовлетворяют одним и тем же краевым условиям. А в статье А. А. Малова [37] показано, что в достаточно малой окрестности произвольной внутренней точки интервала О произвольную корневую функцию д. о. любого чётного порядка можно в определённом смысле асимптотически приблизить специальным образом построенной корневой функцией некоторого д. о. второго порядка. Однако о сохранении при этом свойств гильбертовости и бесселевости ничего не говорится.

Сопоставление основных выводов первой, второй и четвёртой глав диссертации позволяет сформулировать центральный её результат: свойства гильбертовости и бесселевости в пространстве Ь2(0,1) рассмотренных систем функций устойчивы по отношению к малым возмущениям некоторых их параметров.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, разбитых на пара

1. Бари Н. К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве // Уч. зап. МГУ. 1951. Т.4. Вып.1. С.69-107.

2. Барменков А. Н. Об аппроксимативных свойствах некоторых систем функций: Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Москва. МГУ. 1983.

3. Билалов Б. Т. Базисные свойства систем собственных функций некоторых несамосопряжённых дифференциальных операторов // Дифференц. уравнения. 1994. Т.ЗО, N1. С.20-25.

4. Билалов Б. Т. Базисные свойства систем собственных функций некоторых дифференциальных операторов и их обобщения: Дисс. . докт. физ.-мат. наук. Москва. МГУ. 1990.

5. Будаев В. Д. О точных значениях констант в некоторых оценках корневых функций операторов второго порядка: Тез. докл. Меж-дунар. науч.-методич. конф. Смоленск: Смоленский гос. пед. ин-т., 1998. С.32-33.

6. Будаев В. Д. О неравенствах Гильберта и Бесселя для некоторых систем синусов, косинусов и экспонент // Дифференц. уравнения. 1997. Т.ЗЗ, №1. С.19-24.

7. Будаев В. Д. О неравенствах Гильберта и Бесселя для некоторых возмущённых систем функций: Межвузовский сб. науч. тр./ Смоленск: Смоленский гос. пед. ин-т., 1997. С.100-107.

8. Будаев В. Д. Некоторые свойства корневых функций дифференциальных операторов, связанные с безусловной базисностью //Дифференц. уравнения. 1996. Т.32, N1. С.9-14.

9. Будаев В. Д. О неравенствах Гильберта и Бесселя для систем собственных функций дифференциального оператора второго порядка //Деп. в ВИНИТИ 13.03.96. N 800-В96.

10. Будаев В. Д. Безусловная базисность систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов// Дисс. . докт. физ.-мат. наук. Москва. МГУ. 1993.

11. Гомилко А. М., Радзиевский Г. В. Равносходимость рядов по собственным функциям обыкновенных функционально-дифференциальных операторов//ДАН СССР. 1991. Т.316, N2. С.265-275.

12. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М., 1965.

13. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т.З. М., 1974.

14. Девдариани Г. Г. Базисность некоторых специальных систем собственных функций несамосопряжённых дифференциальных операторов: Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Москва. МГУ. 1985.

15. Ильин В. А. О связи между видом краевых условий и свойствами базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом разложений по корневым функциям несамосопряженного дифференциального оператора //Дифференц. уравнения. 1994. Т.30, N9. С. 15161529.

16. Ильин В. А. Неравенство типа Гильберта по системе собственных функций оператора Лапласа для радиальной функции, отличной от нуля в шаре достаточно малого радиуса //ДАН СССР. 1986. Т.291, N6. С.1292-1296.

17. Ильин В. А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций дифференциального оператора второго порядка //ДАН СССР. 1983. Т.273, N5. С.1048-1053.

18. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных раз-ложений.1 //Дифференц. уравнения. 1980. Т.16, N5. С.771-794.

19. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных раз-ложений.П //Дифференц. уравнения.- 1980.- Т.16, N6. С.980-1009.

20. Ионкин Н. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием //Дифференц. уравнения. 1977. Т.13, N2. С.294-304.

21. Йо И. (I. Joo.) Upper estimates for the eigenfunctions of the Schrodinger operator//Acta Sei. Math., 44 (1982), 87-93.

22. Кадец M. И. Точное значение постоянной Палея-Винера //Докл. АН СССР. 1964. Т.155, N6. С.1253-1254.

23. Карлеман Т. (Carleman Т.) //Ber. Sach. sesch. Acad, der Wiss, zu Leipzig. Math. Phis. Klasse. 1936. Bd.88.

24. Келдыш M. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных операторов //Успехи математич. наук. 1971. Т.26, N4. С.15-41.

25. Керимов Н. Б. Базисность и равномерная минимальность систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов// Дисс. . докт. физ.-мат. наук. Москва. МГУ. 1996.

26. Керимов Н. Б. О безусловной базисности системы собственных и присоединенных функций дифференциального оператора четвертого порядка //ДАН СССР. 1986. Т.286, N4. С.803-808.

27. Кесселъман Г. М. О безусловной сходимости разложений по собственным функциям некоторых дифференциальных операторов //Изв. вузов СССР. Математика. 1964. N2. С.82-93.

28. Komornik V. Upper estimates for the eigenfunction of higher order of a linear differential operator//Acta Sei. Math., 45 (1983), 261-271.

29. Крицков JI. В. К вопросу о базисности системы функций (exp(fant) sin(nt)}// Докл. РАН. 1996. Т.346, N3. С.297-298.

30. Крицков Л. В. Некоторые спектральные свойства сингулярных обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка: Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Москва. МГУ. 1990.

31. Курбанов В. М. О неравенстве Хаусдорфа-Юнга для систем корневых вектор-функций дифференциальных операторов n-го порядка // Дифференц. уравнения. 1997. Т.ЗЗ, N3. С.358-367.

32. Ломов И, С, Формула среднего значения Е. И. Моисеева для дифференциальных операторов чётного порядка с негладкими коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1999. Т.35, N8. С.1046-1057.

33. Ломов И. С. Неравенство Бесселя, теорема Рисса и безусловная базисность для корневых векторов обыкновенных дифференциальных операторов // Вестник МГУ. Сер. Матем. 1992. N5. С.33-43.

34. Ломов И. С. Свойство базисности корневых функций нагруженных дифференциальных операторов второго порядка на интервале / / Дифференц. уравнения. 1991. Т.27, N1. С.80-93.

35. Ломов И. С. Некоторые свойства собственных и присоединённых функций оператора Штурма-Лиувилля // Дифференц. уравнения. 1982. Т.18, N10. С.1684-1693.

36. Малое А. А. Неравенство типа Гильберта по системе корневых функций обыкновенного дифференциального оператора чётного порядка//Дифференц. уравнения. 1995. Т.31, N1. С.44-53.

37. Малое А. А. Некоторые свойства корневых функций обыкновенного дифференциального оператора чётного порядка//Дифференц. уравнения. 1994. Т.ЗО, N12. С.2064-2070.

38. Малое А. А. Достаточные условия выполнения неравенства типа Гильберта по системе корневых функций обыкновенного дифференциального оператора второго порядка //Дифференц. уравнения. 1994. Т.ЗО, N2. С.197-203.

39. Малое А. А. Необходимые условия выполнения неравенства типа Гильберта по системе корневых функций обыкновенного дифференциального оператора второго порядка//Дифференц. уравнения. 1994. Т.ЗО, N1. С.48-59.

40. Михайлов В. П. О базисах Рисса в Ь2(0; 1) //ДАН СССР. 1962. Т.144, N5. С.981-984.

41. Моисеев Е. И. О базисности систем синусов и косинусов //ДАН СССР. 1984. Т.275, N4. С.794-798.

42. Моисеев Е. И. Асимптотическая формула среднего значения для регулярного решения обыкновенного дифференциального уравнения //Дифференц. уравнения. 1980. Т.16, N5. С.827-844.

43. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М., Наука, 1969. 528с.

44. Дж. фон Нейман (J.Neumann) Allgemine Eigenwerttheorie Hermitescher Functionaloperatoren //Math. Ann. 1925. Bd. 102. S.49-131.

45. Пэли, Винер H. (Paley R. E. А. C., Wiener N.) Fourier Transforms in the Complex Domain. N.Y.,1934.

46. Титчмарш Э. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т.1. Москва. "Иностр. лит-ра". 1960. 278с.

47. Тихомиров В. В. Точные оценки собственных функций произвольного несамосопряжённого оператора Шрёдингера // Дифференциальные уравнения. 1983. Т.19, N8. С.1378-1385.

48. Фихтенголъц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2. М., 1970.

49. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. М., 1969.

50. Шикина Г. Е. Неравенство типа Гильберта по системе собственных и присоединённых функций дифференциального оператора чётного порядка //Дифференц. уравнения. 1993. Т.29, N1. С.145-155.

51. Шкаликов А. А. О базисности собственных функций обыкновенного дифференциального оператора// Успехи матем. наук. 1979. Т.34. N5. С.235-236.

52. Шкаликов А. А. О базисности собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов с интегральными краевыми условиями// Вестник МГУ. Сер. Матем. 1982. N6. С.12-21.

53. Ассонова Н. В. Гильбертовость системы корневых функций операторов порядка 2т//Дифференц. уравнения. (В печати).

54. Ассонова Н. В., Будаев В. Д. О гильбертовости и бесселевости систем собственных функций операторов второго порядка //Дифференц. уравнения. 2000. Т.36, N2. С Л 47-151.

55. Ассонова Н. В. Односторонние аналоги формул среднего с оценками всех входящих в них величин//Деп. в ВИНИТИ 18.11.99. N 3420-В99.

56. Ассонова Н. В. Изучение гильбертовости и бесселевости систем корневых функций дифференциальных операторов высокого порядка методом возмущения //Цеп. в ВИНИТИ 18.11.99. N 3421-В99.

57. Ассонова Н. В. Гильбертовость и бесселевость систем корневых функций операторов второго порядка: Тез. докл. Межд. симпозиум. Ряды Фурье и их приложения. Ростов-на-Дону: Рост. гос. эконом, акад., 1999. С.8-9.

58. Ассонова Н. В.Гильбертовость системы корневых функций операторов второго порядка: Тез. докл. Межд. научно-методич. конф. Избранные вопросы математики и её преподавания. Смоленск: Смоленский гос. пед. ун-т, 1998. С.30-31.

59. Ассонова Н. В. Гильбертовость системы собственных и присоединённых порядка один функций операторов второго порядка: Тез. докл. VI междунар. конф. женщин-математиков. Чебоксары: Чувашский гос. ун-т, 1998. С.8.

60. Ассонова Н. В. О гильбертовости и бесселевости систем собственных функций операторов второго порядка: Тез. докл. Межд. семинар. Избранные вопросы высшей математики и информатики. -Смоленск: Смоленский гос. пед. ин-т., 1997. С.23-24.

61. Ассонова Н. В. Гильбертовость и бесселевость некоторых систем функций// Полианалитические функции: граничные свойства и краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. Смоленск: Смоленский гос. пед. ин-т., 1997. С.93-99.