Неравенства Гильберта и Бесселя для некоторых систем функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Царева, Анна Сергеевна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2008
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Царева Анна Сергеевна
НЕРАВЕНСТВА ГИЛЬБЕРТА И БЕССЕЛЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ ФУНКЦИЙ
Специальность 01 01 02 - дифференциальные уравнения
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва - 2008
1
оозгетаю
I ;
003167315
Работа выполнена на кафедре математического анализа государственного образовательного учреждения "Российский государственный педагогический университет им А.И Герцена"
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук профессор Будаев Виктор Дмитриевич
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук профессор Ломов Игорь Сергеевич доктор физико-математических наук профессор Гольдман Михаил Львович
Ведущая организация:
Московский энергетический институт (техничесий университет)
Защита состоится " ¿V " {/{/ШЛ 2008 г в 15 30 часов на заседании диссертационного совета Д 501 001.43 в Московском государственном университете им. M В Ломоносова по адресу 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, 2-й учебный корпус, аудитория 685
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ
Автореферат разослан " X [¿ШП^аР 2008 г
Ученый секретарь диссертационного совета профессор '' Захаров Е В
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Вопросы, изучаемые в данной диссертации, связаны с выяснением условий гильбертовости и бесселевости систем корневых функций обыкновенного линейного, вообще говоря, несамосопряженного дифференциального оператора второго порядка в классе Ь2 при невыполненном условии Карлемана
Актуальность этой проблемы обусловлена появлением в последнее время целого ряда новых, неклассических задач математической физики (отыскание условий устойчивости плазмы, расчет ядерных реакторов), приводящих к изучению спектральных свойств несамосопряженных операторов
В П Михайлов и Г.М Кесельман доказали базисность Рисса в ¿2 систем корневых функций обыкновенного дифференциального оператора п-го порядка с усиленно регулярными краевыми условиями. Однако при таких краевых условиях все собственные значения дифференциального оператора, начиная с некоторого, простые.
Между тем некоторые несамосопряженные задачи приводят к бесконечному множеству кратных собственных значений и бесконечному множеству присоединенных функций. В этом случае свойство базисности существенно зависит от выбора корневых функций (для одного и того же оператора с одними и теми же краевыми условиями можно построить системы корневых функций, одни из которых образуют базис в ¿2, а другие - нет)
Поэтому В А. Ильиным была предложена новая трактовка корневых функций, которые определяются как регулярное решение соответствующего уравнения безотносительно к виду краевых условий Такой подход обобщает классический и позволяет рассматривать также системы функций, не связанные какими-либо краевыми условиями Все теоремы, в том числе условия базисности, формулируются в терминах структуры спектра и в терминах соотношений между нормами корневых функций
При таком подходе существенную роль при доказательстве различных теорем играют формулы среднего значения Для опера-
тора второго порядка такая формула была впервые установлена Э.Ч Титчмаршем, а ее односторонний аналог - В В. Тихомировым, для операторов высокого порядка - Б И Моисеевым Для операторов четного порядка с негладкими коэффициентами - В Коморни-ком, И С Ломовым, В.Д Будаевым, В М Курбановым.
Впервые на основе этих формул оценки корневых функций были получены В А Ильиным В дальнейшем для операторов второго порядка - И С Ломовым, В В Тихомировым Неулучшаемые по порядку оценки для корневых функций дифференциального оператора произвольного четного порядка с гладкими коэффициентами при всех значениях спектрального параметра приводятся в работах В Д Вудаева, в исследовании В Коморника, для операторов произвольного порядка с гладкими коэффициентами - в диссертации Н Б Керимова В дальнейшем оценки, полученные Н Б Керимо-вым, были распространены В М Курбановым на случай дифференциального оператора произвольного порядка с комплекснозначными коэффициентами из класса Ь\.
С помощью оценок исследовались базисные свойства систем корневых функций Как правило, при этом требовалась достаточная гладкость коэффициентов дифференциального оператора и вводились ограничения на спектр, к примеру
„|<С (условие Карлемана)
По известной теореме Н К. Бари установление безусловной ба-зисности той или иной системы функций в гильбертовом
пространстве Н сводится к установлению бесселевости, гильбертово-сти и равномерной минимальности системы {ип ЦггпЦ-"1}^, либо к установлению бесселевости систем {ип ЦипЦ""1}^ и {уп Ц^пЦ-1}^ (где ~ система, биортогонально сопряженная, к в
Ы), полноты и минимальности одной из этих систем Поэтому изучение свойств гильбертовости и бесселевости - важнейшая задача спектральной теории - , , ,
Систему {еп}^! элементов гильбертова пространства Н будем
называть гильбертовой, если
(3«>0)(V/€H) £!(/,еп)|2>а!!/||2,
71= 1
где скалярное произведение, а || Ц - норма в Н.
Систему {еп}%>=1 элементов гильбертова пространства Н будем называть бесселевой, если
00
(3/3 > 0) (V/ € Н) ^K/,en)|2 </3||/||2.
п=1
Критерии бесселевости систем корневых функций дифференциального оператора и опирающиеся на них критерии безусловной ба-зисности тех же систем получены В Д Будаевым^ И С. Ломовым, JI В. Крицковьщ, Н Б Керимовым, В.М Курбановым Все эти критерии опираются на условие Карлемана
Однако пример С А Виноградова и В,И. Васюнина в работе Н К Никольского, Б С. Павлова, С В Хрущева показывает, что существуют системы экспонент {etlMX}^Li, образующие безусловный базис в пространстве L%(0, а), при условии
inf Im/in > 0, sup Im/j,n ~ +оо
« п
или
inflm^n < 0, supIm/Ltn = — оо.
« п
Таким образом, изучение базисных свойств систем корневых функций в случае невыполнения условия Карлемана представляется актуальным и обоснованным
Поскольку построение биортогональной системы является весьма непростой задачей даже для многих систем синусов, косинусов и экспонент, актуальнейшей проблемой представляется изучение условий гильбертовости, что позволило бы исследовать безусловную базис-ность данной системы функций без привлечения биортогональной системы
Неравенство Гильберта для систем корневых функций рассматривалось В.А. Ильиным (для оператора Лапласа), а также ГЕ Ши-киной, А А Маловым (для обыкновенных дифференциальных операторов) для подкласса функций, отличных от нуля лишь в малой окрестности некоторой точки В Д. Будаевым и№В Ассоновой были указаны допустимые границы изменения спектральных параметров систем синусов и экспонент, при которых эти системы обладают свойством гильбертовости, а заодно и бесселевости
Надо отметить, что в большинстве из перечисленных работ требуется выполнение условия Карлемана.
Объект и предмет исследования. Объектами исследования являются' системы корневых функций, а предметом исследования -свойства бесселевости и гильбертовости этих систем функций
Цель работы. Исследование необходимых и достаточных условий гильбертовости и бесселевости систем корневых функций обыкновенного, линейного, вообще говоря, несамосопряженного дифференциального оператора второго порядка
Методы исследования. В работе применялись общие методы комплексного и функционального анализа, а также метод В А Ильина для разрешения задачи безусловной базисности систем корневых функций, вообще говоря, несамосопряженных дифференциальных операторов.
Научная новизна.
1) Получены точные оценки модулей значений корневых функций и их 1»2 и С-норм по интервалу (а, 6) вещественной оси
2) Установлены необходимые условия и достаточные условия гильбертовости, бесселевости систем корневых функций при невыполненном условии Карлемана
3) Доказаны критерии гильбертовости и бесселевости систем корневых функций при достаточно больших по модулю спектральных параметрах
4) При некоторых условиях установлена важная взаимосвязь между наличием свойств гильбертовости и бесселевости у системы корневых функций и ей соответствующих систем экспонент или линейных комбинаций синусов и косинусов
Теоретическая значимость. В диссертации предложен подход к исследованию свойств бесселевости и гильбертовости систем корневых функций в случае, когда мнимые части спектральных параметров достаточно велики по модулю Полученные результаты могут иметь применение при исследовании базисных свойств некоторых систем экспонент, синусов, косинусов
Практическая значимость. Работа носит теоретический характер Ее результаты могут быть использованы в спектральной теории дифференциальных операторов, при исследовании задач математической физики, квантовой механики и других, приводящих к изучению базисности корневых функций несамосопряженных дифференциальных операторов
Рекомендации по использованию. Результаты диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов для студентов и аспирантов математических и физических специальностей университетов
Достоверность научных результатов обеспечена математической строгостью изложения основных результатов диссертации в виде теорем с подробными доказательствами и адекватным использованием основных общеизвестных положений и методов комплексного и функционального анализа
Основные положения, выносимые на защиту:
1) точные оценки модулей значений корневых функций и их ¿2 и С-норм по интервалу (а; Ь) вещественной оси;
2) необходимые условия и достаточные условия гильбертовости, бесселевости систем корневых функций при невыполненном условии Карлемана,
3) критерии гильбертовости и бесселевости систем корневых функций при достаточно больших по модулю спектральных параметрах
Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно
Апробация результатов работы. Основные результаты работы неоднократно докладывались на научных семинарах проф В Д Будаева (кафедра математического анализа Российского государственного педагогического университета им А И Герцена, 2004 -
2008), на Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" (Воронеж, 2007), на семинаре акад. Е И Моисеева (факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им М В Ломоносова, 2007), на международной конференции "Системы компьютерной математики и их приложения" (Смоленск, 2006), на научных конференциях "Герценовские чтения" (Санкт-Петербург, 2006, 2007), на научном семинаре проф Ю А Ду-бинского (МЭИ, 2008)
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, список которых приведен в конце автореферата
Структура и объем. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, списка литературы из 109 наименований В работе использована тройная нумерация формул, теорем и лемм первая цифра означает номер главы, вторая - номер параграфа, третья - порядковый номер внутри параграфа Общий объем диссертации составляет 104 страницы
ч»
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность темы исследования, а также кратко излагаются основные результаты диссертации
В первой главе "Некоторые оценки корневых функций обыкновенных линейных дифференциальных операторов второго порядка" диссертационной работы получены точные оценки значений модулей корневых функций и их первых производных через нормы корневых функций, стоящих с оцениваемыми в одной цепочке
Эта глава включает четыре параграфа В первом параграфе первой главы определяются понятия собственной и присоединенной функций, спектрального параметра и собственного значения обыкновенного, линейного, вообще говоря, несамосопряженного дифференциального оператора второго порядка
Ьи = и" + д(х)и, д(х) € Ьг(0) (1)
на конечном интервале О = (а; Ь) вещественной оси. Корневые функции данного оператора понимаются по В А Ильину, то есть безот-
носительно к виду краевых условий При этом считается, что мнимые части спектральных параметров достаточно велики по модулю, в частности, это охватывает системы функций, для которых не выполнено условие Карлемана
Основным результатом второго параграфа первой главы является получение оценок модулей значений корневых функций
Теорема 1.2.3. Для и^ — корневой функции к-го порядка (к ~ 0,1,2,...), оператора (1) при > цо, где /но - достаточно большое положительное число, и > 3/тей((3) справедливы оценки
|«о(х)| < Сх \1mpfi (^ГЧе-'1^!«) ,(г10ц^(о), Ы«)| < С% + К||ме) +
+ \fx\~1 |1т^Гх |К_1||мо)] (к = 1,2,. ),
\щ{х)\ < {к = 1,2,. ),
где [I - спектральный параметр, соответствующий и^, х € С, В, — с^ {ж; дО}, константы Сх, Сг, Cz не зависят от А, ц, х, а зависят от порядка функции щ, меры интервала в и коэффициента ^ оператора
Доказательство теоремы 12 3 основывается на формулах среднего Э.Ч Титчмарша
В третьем параграфе первой главы с помощью левосторонних и правосторонних формул среднего В.В Тихомирова доказываются следующие точные по порядку оценки
Теорема 1.3.2. Для всех |/л| > ца, где /го — достаточно большое положительное число (вообще говоря, выбор которого зависит от q — коэффициента дифференциального оператора (1) и меры интервала в) и > З^евСт)-1, справедливы оценки
к Т)1
М*)| < ГТг N-.11^(0) >
к
К(*)| < ||„>_|\ыо),
i=i И
где х € G, R = dist{a;, <5G} > 0, константы С и Сч зависят лишь от меры интервала G, к - порядка корневой функции и q - коэффициента оператора (1)
Теорема 1 3.2 обобщает результат В В Тихомирова для собственных функций на случай присоединенных функций произвольного порядка
С помощью оценок, полученных в теореме 1 3 2, в четвертом параграфе первой главы в теореме 141 получены четыре неравенства. Два неравенства связывают Lp-норму (1 < р < +оо) корневой функции щ (к = 0,1,..) и ее производной первого порядка по произвольному компакту К с ¿2-нормами корневых функций, стоящих в той же цепочке, по интервалу G Две другие оценки выражают С-нормы корневой функции щ (к = 0,1, ..) и ее производной первого порядка по произвольному связному компакту К через ¿2~нормы корневых функций, стоящих в той же цепочке, но по интервалу G Полученные оценки верны и при невыполненном условии Карлема-на
Оценки теорем 123, 1 3 2 и 1 4 1 неулучшаемы по порядку, что подтверждают примеры, приведенные в конце параграфов 1 2 и 1 4 Рассмотрим содержание второй главы "Достаточные условия бесселевости и гильбертовости для некоторых систем корневых функций дифференциальных операторов второго порядка при невыполненном условии Карлемана"
В этой части диссертации получены критерии бесселевости и гильбертовости систем корневых функций дифференциального оператора (1) в случае невыполнения условия Карлемана
Первый параграф второй главы посвящен доказательству теоремы 211, указывающей достаточные условия бесселевости некоторых нормированных систем корневых функций и их первых производных по интервалу G = (а; Ь)
Теорема 2.1.1. Пусть {un¡jt}f° - произвольная система корневых функций дифференциального оператора (1) на конечном интер-
вале 0 = (а1Ь), у которой ранг собственных функций равномерно ограничен Тогда при |1т^„| > ¡¿о (п = 1,2, ..), где цо> - некоторое достаточно большое положительное число (выбор которого, вообще говоря, зависит от коэффициента <?(ж) дифференциального оператора (1), меры интервала О), из бесселевости системы экспонент в Ьъ ((Ь + а)/2, Ь)
«=0
оо,тп
£я((6+в)/2,6) п=1,А;=о
следует бесселевость нормированных систем корневых функций и их производных в Ьч{0)
\
оо ,тп
\ип,к\\ь2(0) ) п==1>к=
оо ,тп
и.
п,к
и
п,к
£-2(6) ) п=\,к~0
Доказательство теоремы 2 11 опирается на оценки, полученные в параграфах 1 2 и 1 3
Теорема 2 1.1 позволяет сводить вопрос о бесселевости нормированных систем корневых функций и их первых производных к исселедованию того же свойства у соответствующих систем экспонент. В связи с этим хотелось бы отметить, что базисные свойства систем экспонент, косинусов и синусов изучены достаточно хорошо В частности, можно перечислить работы следующих авторов Н К.Никольский, Б С Павлов, С В Хрущев, Н.Б Керимов, Е И Моисеев, Г Г Девдариани, А М Минкин, Б Т Билалов, А М Седлецкий и другие
В заключение параграфа полученные результаты демонстрируются на конкретных примерах Все примеры рассматриваются впервые
Во втором параграфе второй главы доказываются некоторые вспомогательные факты, используемые в дальнейших рассуждени-
ях Наиболее важным утверждением этого параграфа является следующая лемма.
Лемма 2.2.1. Пусть - система собственных функций
дифференциального оператора (1) на (3 = (а, Ь), а - соот-
ветствующая ей система спектральных параметров Тогда для любого номера п можно найти такую точку гп € С О
где Сп - некоторые комплексные константы, причем последовательность {|С7П|}~=1 будет ограничена сверху, т е существует такая константа С, что для Уп 6 N \Сп\ < С, значение С зависит лишь от выбора коэффициента д оператора (1)
Доказательство леммы 2 2 1 опирается на оценки В Д Будаева В третьем и четвертом параграфах второй главы с помощью оценок из первой главы диссертации получены критерии бессе-левости и гильбертовости некоторых систем собственных функций дифференциального оператора (1). Теоремы этих двух параграфов верны и при невыполненном условии Карлемана Надо отметить, что ранее работ, посвященных этому вопросу, не было Главным результатом этих параграфов являются теоремы 2.3 1 и 2 4 1, в которых выясняется тесная взаимосвязь между наличием свойств, соответственно, бесселевости и гильбертовости у нормированной системы собственных функций дифференциального оператора (1) и наличием этого же свойства у соответствующей нормированной системы линейных комбинаций синусов и косинусов
Теорема 2.3.1 (Теорема 2.4.1). Критерий бесселевости (гильбертовости). Пусть {ип}^=1 - система собственных функций дифференциального оператора (1) на интервале (7 = (а, Ь) такая, что выполняются следующие условия
1 По модулю спектральные параметры \цп\ > /¿о (п = 1,2, ..), где цо - достаточно большое, положительное число (вообще гово-
что
— Сп ¡хп • ип{гп),
ря, величина ¡ло зависит от коэффициента q оператора (1) и меры интервала в)
2. > 3(те8(С))-1 при Уп е N
00 -2
3 Ряд X] |/%| сходится (в случае гильбертовости требует-п=1
ся, чтобы его сумма была еще и достаточно мала)
Тогда для того, чтобы нормированная система собственных функций
\ ип \
1 Ыью )п=1
была бесселевой (гильбертовой) в пространстве ¿2 (С'), необходимо и достаточно, чтобы была бесселева (гильбертова) в 2/2 (<2) система
{со$(цп{х - гп)) + Сп &т{цп{х - гп)) ||со8(/и„(а; - гп)) + Спвт{цп(х - гп))\\12^а)
где последовательность точек и ей соответствующая по-
следовательность констант {Сп}^_1 определены в лемме 2 21
В конце параграфов приведены примеры, иллюстрирующие теоремы 2.3 1 и 2 4.1 В примерах 2.3.1 и 2.4 1 рассматривается одна и та же система функций и с помощью теорем 2 3 1 и 2 4 1 показывается, что она одновременно и бесселева, и гильбертова
Теоремы 2 3.3 и 2 4 2 - критерии, соответственно, бесселевости и гильбертовости нормированных систем первых производных собственных функций
В третьей главе диссертации получены необходимые условия бесселевости и гильбертовости систем собственных функций дифференциального оператора (1) при невыполненном условии Карлемана Глава состоит из двух параграфов
Отметим, что необходимое условие бесселевости системы собственных функций дифференциального оператора (1) без требования выполнения условия Карлемана было получено В М Курбано-вым
Теорема 3.1.1. Для бесселевости системы собственных функций дифференциального оператора (1), где коэффициенты Р1{х),
• >Рк(я) е ¿1(G),
{^п 11«п1Й(о}п=1,
необходимо
]Г l«n(®)I2 IKIIZJg) < const(1 + г), Vr >0,xeG,
1А«п|<Г
consi не зависит от х
В первом и втором параграфах третьей главы получены необходимые условия, соответственно, бесселевости и гильбертово-сти нормированной системы собственных функций дифференциального оператора (1) при невыполненном условии Карлемана
Теорема 3.1.2 (Теорема 3.2.1). Пусть {мп}^ - система собственных функций дифференциального оператора (1) на интервале G = (—1,1), а ~ соответствующая система спектральных
параметров, для которой выполнены следующие условия.
1) jlm/i„| >1,5 п = 1,2,. .
2) \р>п\ > Цо > 0, где fiQ достаточно велико и, вообще говоря,
зависит от коэффициента q оператора (1) 00
3) ряд |/%|"2 сходится (в случае гильбертовости его сумма
п~ 1
должна быть достаточно мала) 00
4) ряд e~2'Im^n' сходится (в случае гильбертовости его сум-
п-1
ма должна быть достаточно мала)
Г -11 00
Если нормированная система < ип jju„|| > бесселева (гиль-
I ) п—1
бертова) в L2(—1,1), то и
является бесселевой (гильбертовой) в пространстве ¿2(0,1).
В конце параграфа приведены примеры, иллюстрирующие теоремы 3 1 2 и 3 2.1
-г sgn(Im/Lin)jin®
В примере 311 рассматривается система собственных функций
щая системе спектральных параметров {рп = гп}^=к, где К - достаточно большое натуральное число. Легко проверить, что для данной системы функций будет выполнено необходимое условие бессе-левости теоремы 3.1 1 Однако, если для той же системы собственных функций использовать теорему 3.1.2, то можно убедиться, что данная система не бесселева Это подтверждает, что теорема 3 12 охватывает классы систем собственных функций, не рассматриваемые ранее
Доказательство теорем 3 1 2 и 3.2 1 основывается на оценках, полученных в первой главе данной диссертации
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Виктору Дмитриевичу Будаеву за постановку проблемы и постоянное внимание к работе
дифференциального оператора
соответствую-
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1 Царева, А С Некоторые оценки корневых функций оператора второго порядка при невыполненном условии Карлемана / АС. Царева // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования Герценовские чтения материалы науч конф СПб., 17-22 апр. 2006 г - СПб Изд-во БАН, 2006 С 213-219
2 Царева, А С Некоторые оценки корневых функций дифференциального оператора четного порядка /АС Царева // Системы компьютерной математики и их приложения материалы междунар конф. Смоленск, 15-17 мая 2006 г Смоленск Изд-во СмолГУ, 2006 Вып.7 С 140-144
3 Царева, А.С Некоторые оценки норм корневых функций дифференциального оператора второго порядка /АС Царева // Исследования по краевым задачам комплексного анализа и дифференциальным уравнениям межвуз сб науч тр Смоленск- Изд-во Смол-ГУ, 2006 Вып 7 С 106-116
4 Царева, A.C. Бесселевость систем собственных функций дифференциального оператора второго порядка / АС. Царева // Исследования по краевым задачам комплексного анализа и дифференциальным уравнениям, межвуз. сб науч тр - Смоленск Изд-во Смол-ГУ, 2006. Вып 7 С 117-123
5. Царева, А.С Некоторые свойства корневых функций дифференциального оператора второго порядка при невыполненном условии Карлемана /АС Царева // Некоторые актуальные проблемы , современной математики и матемаического образования. Герценовские чтения, материалы науч конф СПб , 16-21 апр 2007 г - СПб Изд-во БАН, 2007 С 133-140
6 Царева, А С Гильбертовость некоторых систем собственных функций дифференциального оператора второго порядка /АС Царева // Современные методы теории краевых задач материалы Воронежской весенней матем школы "Понтрягинские чтения - XVIII" Воронеж. Изд-во ВГУ, 2007 С 172-173
7 Царева, А С. Достаточное условие гильбертовости некоторых систем собственных функций дифференциального оператора второго порядка /АС Царева // Вестник СамГТУ Серия "физико-математические науки" 2007 №2(15) С 158-161
8. Царева, А С Некоторые свойства корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка при невыполненном условии Карлемана /АС Царева // Дифференц уравнения 2008 Т 44 № 3 С 350-358.
Введение
1 Оценки корневых функций обыкновенных линейных дифференциальных операторов второго порядка
1.1 Основные понятия
1.2 Оценка модуля корневой функции.
1.3 Оценка модуля корневой функции и ее производной первого порядка через Ьг-нормы корневых функций цепочки
1.4 Оценки С- и Lp-норм корневых функций и их производных первого порядка.
2 Достаточные условия бесселевости и гильбертовости некоторых систем корневых функций дифференциальных операторов второго порядка в пространстве L
2.1 Достаточное условие бесселевости систем корневых функций, выражаемое через систему экспонент.
2.2 Некоторые вспомогательные факты.
2.3 Критерий бесселевости систем собственных функций, выражаемый через линейную комбинацию тригонометрических функций.
2.4 Критерий гильбертовости систем собственных функций, выражаемый через линейную комбинацию тригонометрических функций
3 Необходимые условия бесселевости и гильбертовости некоторых систем собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка при невыполненном условии Карле
3.1 Необходимое условие бесселевости систем собственных функций в пространстве Ь2.
3.2 Необходимое условие гильбертовости систем собственных функций в пространстве Ь2.
Настоящая диссертация посвящена исследованию спектральных свойств обыкновенных несамосопряженных дифференциальных операторов.
Изучаются вопросы, связанные с базисными свойствами (бесселевости, гиль-бертовости) систем корневых функций обыкновенного, линейного, вообще говоря, несамосопряженного дифференциального оператора второго порядка при невыполненном условии, Карл емана.
Исследования по спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов берут свое начало еще с классических работ Ж. Лиувилля, Ш. Штурма, а также более поздних работ В.А. Стеклова [76, 98], Л.Д. Тамаркина [100, 77], Д. Биркгофа [88] и других авторов, в которых изучались вопросы асимптотики собственных значений и сходимости спектральных разложений для различных классов краевых задач.
Длительное время основным объектом исследования были спектральные свойства самосопряженных дифференциальных операторов. На данный момент проблема базисности систем корневых функций в случае самосопряженных дифференциальных операторов и самосопряженных краевых условий в основном решена. Согласно теореме Дж. фон Неймана [95], система собственных функций формально самосопряженного дифференциального оператора с произвольными самосопряженными краевыми условиями, обеспечивающими точечный спектр, образует ортонормированный базис в пространстве L2. Отметим, что в этой ситуации понятие дифференциального оператора, как и понятие его собственной функции, неразрывно связано с краевыми условиями, что соответствует классической теории линейных дифференциальных операторов [65].
Однако полвека тому назад возник целый ряд новых, неклассических задач математической физики (таких, как задачи об устойчивости турбулентной плазмы, расчета ядерных реакторов и т.д.), приводящих к изучению спектральных свойств несамосопряженных дифференциальных операторов. Примером задач такого рода может служить известная задача Бицадзе-Самарского (см., например, [5]) с нелокальными краевыми условиями для уравнения теплопроводности.
Переход к несамосопряженным задачам усложнил исследование спектральных свойств дифференциальных операторов. Было замечено, что система собственных функций несамосопряженного оператора, вообще говоря, не только не образует базис, по которому можно разложить произвольную функцию из класса L2, но и не является полной в L2 (то есть произвольную функцию из класса Ь2 не всегда можно приблизить с любой степенью точности в метрике L2 линейной комбинацией собственных функций). Поэтому эта система должна быть пополнена так называемыми присоединенными функциями. При этом система собственных и присоединенных функций (которую называют также системой корневых функций) строится неоднозначно и не является, вообще говоря, ортогональной в L2. Отсутствие свойства ортогональности приводит к тому, что даже полная и минимальная в пространстве L2 система корневых функций может не образовывать базиса в этом пространстве. Таким образом, переход к несамосопряженным задачам потребовал выработки новых, более тонких подходов к изучению спектральных свойств по сравнению с самосопряженным случаем.
Большой вклад в спектральную теорию несамосопряженных обыкновенных дифференциальных операторов внес М.В. Келдыш, исследовавший в работах [30, 31] полноту в L2 систем корневых функций для некоторых классов краевых задач. Благодаря целому ряду работ, вызванных к жизни работами М.В. Келдыша, вопрос о полноте систем корневых функций на сегодняшний день достаточно хорошо изучен для весьма широкого класса краевых условий: см., в частности, работы В.Б. Лидского [47, 48], М.А. Наймарка [66, 67], В.Я. Визитея и А.С. Маркуса [14], А.С.Маркуса [59], А.М.Крола [40, 92], И.Стоуна [99], А.А. Шкаликова [86, 87], G.M. Пономарева [73], Н.М.Круковского [41, 42] и т.д.
После работ М.В. Келдыша и его последователей о полноте на первый план выдвинулась проблема базисности систем корневых функций в пространстве L2. Г.М'.Кесельману [35] и В.П. Михайлову [61] удалось выделить класс краевых условий (усиленно регулярные краевые условия, по терминологии Биркгофа), обеспечивавших базисность Рисса системы корневых функций в L2 (термин "базис
Рисса" введен Н.К.Бари [3], см. также И.Ц. Гохбёрг и М.Г.Крейн [15]). Аналогичные результаты были получены так же в третьем томе известной монографии Н. Данфорда и Дж. Шварца [16].
Однако попытки расширить класс краевых условий, обеспечивающих базис-ность систем корневых функций, оказались безуспешными. В дальнейшем выяснилось, что эти неудачи были не случайными, а вызваны существом дела. Во всех перечисленных выше работах рассматривались операторы, у которых собственные значения, начиная с некоторого, однократны, а следовательно, собственные функции однозначно определяются краевыми условиями.
В работе Н.И. Ионкина [27] была рассмотрена одна неклассическая задача о распространении тепла в однородном стержне (частный случай задачи Бицадзе-Самарского). Методом разделения переменных она сводится к краевой задаче р(х)и')' + q(x)u = Хи, а < х < Ь] и(а) = 0, и'(а)=и'(Ъ), краевые условия которой являются регулярными, но не усиленно регулярными. Все собственные значения этой задачи, начиная со второго, двукратны, а общее число присоединенных функций бесконечно. Тем не менее оказалось, что корневые функции этой задачи (при надлежащем их выборе) образуют базис Ь2{а\Ь). Так, для задачи А.А. Самарского - Н.И. Ионкина и" + Хи = 0, 0 < х < 1, и(0) = 0, «,(0)=«,(1)1 (2) система ее корневых функций {sin(27rna;), | cos(27rna;)}^:0 образует безусловный базис и даже базис Рисса в 1^(0; 1).
Важно отметить следующий момент. В то время как система корневых функций {itjt(a;)} оператора
Lu — и" + ai(x)v! + а2{х)и, рассматриваемого на интервале G = (0; 1), с краевыми условиями (2) и коэффициентами ai(rr) = 0, а2{х) = 0 при специальном выборе присоединенных функций обладает свойством базисности в Lp(0; 1) при любом р > 1, система {м(я)} оператора с теми же краевыми условиями и с коэффициентами ai(rc) = е(х — 1/2), а2(х) = (е2/4) (х — 1/2)2 + е/4, где е > 0 - произвольное сколь угодно малое число, не обладает свойством базисности ни при каком р > 1 и ни при каком выборе корневых функций. Отмеченная зависимость свойства базисности системы корневых функций от коэффициентов дифференциального оператора, при которой наличие базисности меняется на ее отсутствие для сколь угодно малого изменения коэффициентов, но при сохраненных краевых условиях, была показана В.А. Ильиным в работе [25]. Им же было замечено, что при наличии в системе бесконечного числа присоединенных функций свойство базисности существенно зависит от выбора корневых функций (для одного и того же оператора с одними и теми же краевыми условиями можно построить системы корневых функций, одни из которых образуют базис в L2, а другие - нет).
Таким образом, для несамосопряженных краевых задач условия базисности, вообще говоря, нельзя выразить в терминах краевых условий и гладкости коэффициентов.
Рассмотрим формально несамосопряженный обыкновенный дифференциальный оператор произвольного порядка к
Lu = «<*> + Pl(x)u<-h-l) + р2(х)и^ + . + рк(х)и, (1) определенный на некотором интервале G. Обычно (1) называют формальным дифференциальным выражением, и термин "дифференциальный оператор" употребляют только после присоединения к выражению (1) каких-либо конкретных краевых условий. Основанная на этом схема рассмотрения спектральных задач привязана к конкретным краевым условиям и не позволяет охватить системы корневых функций всех несамосопряженных краевых задач с точечным спектром. В связи с этим В.А. Ильин в 1976-1978 годах предложил новую трактовку корневых функций, которые понимаются как регулярные решения соответствующего уравнения безотносительно к виду краевых условий.
Такая трактовка позволяет рассматривать произвольные краевые условия (как локальные, так и нелокальные), системы функций, не связанных какими-либо краевыми условиями (в частности, системы экспонент), а также некоторые системы, полученные объединением подмножеств корневых функций двух различных краевых задач. Условия базисности в L2 произвольной полной и минимальной системы корневых функций формулируются при этом не в терминах краевых условий, а в терминах структуры множества собственных значений и в терминах соотношения между нормами корневых функций. При этом свойство базисности существенно зависит от выбора корневых функций.
Как показали работы В.А. Ильина [20, 21, 22, 23], условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом в несамосопряженной ситуации более естественно выражать в терминах структуры спектра (то есть множества собственных значений) и в терминах соотношений между нормами корневых функций. Для краевых задач такие условия легко проверяются по первым членам асимптотики. Тем более, что для конкретных краевых задач давно разработаны методы отыскания асимптотических разложений собственных значений и корневых функций (см., в частности: Д. Биркгоф [88], Я.Д. Тамаркин [77,100], Р. Лангер [93, 94], М.В. Келдыш [30, 31], А.П. Хромов [83], М.В. Федорюк [81, 82], А.Г. Костюченко [36], А.Г. Костюченко и Б. Левитан [37] и т.д. (см. также библиографию в монографиях, М.А. Наймарка [65], Э.Ч. Титчмарша [78], Л. Чезари [84]). Поэтому полученные в терминах первых членов этих разложений условия базисности и равносходимости, с тригонометрическим рядом являются вполне конструктивными.
В работах [20, 21] В.А. Ильиным разработан метод исследования базисности в Ii2, произвольной полной и минимальной системы корневых функций, понимаемых в указанном выше смысле. Этот метод использовался и для получения результатов данной диссертации.
Метод основан на применении формул среднего значения. Для операторов второго порядка впервые двусторонняя формула была установлена Э.Ч. Титчмаршем [78], а ее односторонний аналог - В.В. Тихомировым [79], для операторов высокого порядка - Е.И. Моисеевым [62]. Для операторов четного порядка с негладкими коэффициентами - И.С. Ломовым [54]. Односторонний же аналог этой формулы был установлен в первоначальном варианте В. Коморником [91], а затем в различных модификациях - В.Д. Будаевым [7, 10], И.О. Ломовым [53],' В.М. Курбановым [43, 44].
На основе этих формул были получены оценки корневых функций В.А. Ильиным [20], в дальнейшем для операторов второго порядка в случае выполнения условия Карлемана И.С. Ломовым [49, 50, 51], для всех значений спектрального параметра - В.В.Тихомировым [79, 80]. Неулучшаемые по порядку оценки для корневых функций дифференциального оператора произвольного четного порядка с гладкими коэффициентами (pi(x) е w[n~l\G),l = 2,п, pi(x) = 0) при всех значениях спектрального параметра приводятся в работах В.Д. Будаева [6, 9, 10], в исследовании В. Коморника [91]. Для операторов произвольного порядка с гладкими коэффициентами - в диссертации Н.Б. Керимова [34]. В дальнейшем оценки, полученные Н.Б. Керимовым, были распространены В.М. Курбановым [44] на случай дифференциального оператора произвольного порядка с комплекснознач-ными коэффициентами pi(x) е Li(G),l = 1 , п. При этом значения спектрального параметра произвольны.
Далее с помощью этих оценок исследуются базисные свойства систем корневых функций. Как правило, при этом требуется достаточная гладкость коэффициентов дифференциального оператора и вводятся ограничения на спектр.
Будем утверждать, что для системы спектральных параметров, указанных выше, W^Li выполнено условие Карлемана, если
3C)(Vn е N) |Im//n|<C. (3)
Впервые условие Карлемана было рассмотрено в известной работе [89].
Говорят, что система спектральных параметров i удовлетворяет условию сумма единиц", если
ЗМ) (Vn е iV) > 0) ^ 1 <М. (4) li<Renn<fi+l
Вначале критерий безусловной базисности на замкнутом интервале систем корневых функций в Li2 был получен В.А. Ильиным в работе [22].
Теорема (В.А. Ильин). Пусть
1) ({iin}^Li ~ произвольная полная и минимальная в L2{G) система корневых функций оператора второго порядка, а система биортогонально сопряженная в L2{G) к системе состоит из корневых функций оператора L*, формально сопряженного к оператору (1) при к = 2;
2) выполнено карлемановское условие (3).
Тогда для безусловной базисности в L>2(G) каждой из систем {«п}^, {^п}^ необходимо и достаточно существование констант М\, М2 таких, что
1 < Мг т<Кецп<т+1 для всех т > 0, и ||un|| • ||г>п|| < М2, где через ||-|| обозначена норма в L,2(G).
Перечисленные результаты оказались новыми даже для систем экспонент.
В дальнейшем критерии безусловной базисности систем корневых функций дифференциального оператора изучались также В.Д. Будаевым [10], И.С. Ломовым [52, 53], Л.В. Крицковым [38], Н.Б. Керимовым [34], В.М. Курбановым [44].
Для исследования свойства безусловной базисности систем функций гильбертова пространства используются понятия бесселевой и гильбертовой системы. Приведем соответствующие определения.
Систему {вп}^ элементов гильбертова пространства Н будем называть бесселевой, если оо
3/3 >0) Шен)^2\и,еп)\2<ру\\2,
71=1 где (•, •) - скалярное произведение, а ||-|) - норма в Н.
Систему {е„}^11 элементов гильбертова пространства Н будем называть гильбертовой, если оо
За > 0) (V/eH)^|(/,en)|2>a||/||2.
71 = 1
Выписанные неравенства и будем называть неравенствами Бесселя и Гильберта, соответственно, а константы а, /3 - константами Гильберта и Бесселя.
В дальнейшем Н = Х^О; 1), а (•, •) и ||-|| - скалярное произведение и норма в £г(0; 1), ll'll^, Ц-Цоо - норма в пространствах Za(0; 1), Loo(0; 1) соответственно.
Изучение свойств бесселевости и гильбертовости - важнейшая задача спектральной теории, поскольку по известным теоремам Н.К. Бари [3] и Лорча [15] установление безусловной базисности той или иной системы функций {«п}^ в Н сводится к установлению бесселевости, гильбертовости и равномерной минимальности системы {ujunir1}^, либо к установлению бесселевости системы {«n ||un|j—и {vn H^nll-1}^ (гДе - система биортогонально сопряженная к {ип} в Н), полноты и минимальности одной из этих систем.
Для получения критерия безусловной базисности систем корневых функций линейных дифференциальных операторов четного порядка с гладкими коэффициентами В.Д. Будаевым в [10, с. 156] был установлен критерий бесселевости. Кроме того, критерии бесселевости систем корневых функций дифференциальных операторов хорошо изучены в работах И.С. Ломова [53, 52, 55], Л.В. Крицкова [39], Н.Б.Керимова [33]. В.М. Курбанов [44] распространил данный критерий на операторы произвольного порядка с негладкими коэффициентами.
Теорема (В.Д. Будаев) (Критерий бесселевости). Пусть - произвольная система корневых функций оператора (1) при к = 2т (т > 2), причем
1) ранг собственных функций этой системы равномерно ограничен;
2) выполнено карлемановское условие (3);
3)выполнена антиаприорная оценка ll^n-ill < АЫ (5) с константой, не зависящей от /лп.
Тогда для бесселевости системы ||ип||~г} в G) необходимо и достаточно выполнение условия (4) "сумма единиц" и условия Н.В. Керимова
J2 Ыа < const. tv, цо<Кenn<N ilWnll где /jLq - произвольное фиксированное, Ц-Ц^ - норма в L^G), а константы не зависят от N.
Критерий безусловной базисности, опирающийся на приведенный критерий бесселевости, использует биортогонально сопряженную к {ип} систему {г»п}, состоящую из корневых функций оператора L*, сопряженного к оператору L. А именно, при выполненных карлемановском условии (3), антиаприорной оценке (5) для обеих из систем {«„}, {t>„} необходимыми и достаточными условиями безусловной базисности в ^(G) каждой из этих систем являются полнота в Z»2(G) хотя бы одной из них, условие (4) "сумма единиц", условие ||wJ|L2(G) ||u7i|Il2(g) < const для всех п и условия Н.Б. Керимова, выполненные для каждой из систем.
Проанализируем, насколько вызваны существом дела некоторые условия из сформулированных теорем, а также конструктивность этих условий для конкретных краевых задач.
Неравенство "сумма единиц", как следует из критерия безусловной базисности В.Д. Будаева, является одним из достаточных и необходимых условий безусловной базисности в L2(G) систем корневых функций дифференциального оператора высокого порядка. Оно позволяет утверждать, что у спектральных параметров отсутствуют конечные точки сгущения, ранг собственных функций равномерно ограничен, а также оно позволяет занумеровать корневые функции в порядке неубывания Остальные неравенства, содержащиеся в теоремах о безусловной базисности, кроме неравенства Карлемана, являются конструктивными условиями. Для их проверки обычно выписываются асимптотические формулы для собственных значений и корневых функций, причем, как правило, достаточно выписать только главные члены асимптотики.
Возникает вопрос. Насколько "естественно" введение условия Карлемана?
В докторской диссертации Н.Б. Керимова [34] была доказана следующая теорема:
Теорема (Н.Б. Керимов).
Пусть {wn}^.! — произвольная минимальная в LP(G) (1 < р < со) система, состоящая из корневых функций оператора
Lu = и" + q{x)u (q(x) € Lx(G)), (6) где G - конечный интервал вещественной оси. Пусть выполнены следующие два условия:
1) ранг собственных функций равномерно ограничен;
2) система биортогонально сопряженная к {wn}^Li; состоит из корневых функций оператора L*, формально сопряженного к оператору L.
Если образует базис пространства LP(G), то существует постоянная Со такая, что для всех номеров п справедливо неравенство
1пфп| < С0.
Однако, в силу условия 2) теорема (Н.Б. Керимова) охватывает далеко не все возможные системы корневых функций. Так, например, в работе "Безусловные базисы из экспонент и воспроизводящих ядер" [69, 70, 71, 72], состоящей из четырех частей, содержится описание семейств частот > Для которых экспоненты е,ДпХ}^°1 образуют безусловный базис в пространстве Ь2(0;а) при условии inflm//n > —оо или suplm//n < +00. п
В этой же работе В.И. Васюниным и С.А. Виноградовым построены безусловные базисы из экспонент {e^^j^Lj, удовлетворяющие условиям: inflm/i„ > 0, suplm//n = +00 п п или inflm^n < 0, supIm/Лц = —сю. п п
A.M. Минкин [60] освободился от ограничений inf Imfin > —00, рассмотрев тем самым общий случай. Этот критерий безусловной базисности системы экспонент в случае ее полноты состоит в том, что а) порции спектра в верхней и нижней полуплоскостях удовлетворяют условию Карлесона [90]: inffl k^tn б) спектр отделим;
Ate - Иг,
Дк Мэт
0; в) для квадрата модуля порождающей функции выполнено условие Макенха-упта на некоторой прямой R — гу, у > 0.
Однако, если пункты а) и б) легко подвергаются геометрической интерпретации, то применение последнего условия (пункт в) для построения конкретных примеров вызывает определенные затруднения. Во-первых, систему спектральных параметров {/in}^Li не удается показать в явном виде. Во-вторых, в данных работах не указываются и способы построения биортогональной системы к системе экспонент {et/1"x}^l1.
Таким образом, изучение базисных свойств систем корневых функций в случае невыполнения условия Карлемана становится обоснованным и актуальным.
Поскольку построение биортогональной системы является весьма непростой задачей даже для многих систем синусов, косинусов и экспонент, актуальнейшей проблемой представляется изучение условий гильбертовости, что позволило бы исследовать безусловную базисность данной системы функций без привлечения биортогональной системы.
Отметим, что гильбертовая в L2(G) система является полной в L2(G), но не обязательно минимальной. Поэтому свойство гильбертовости системы шире свойства безусловной базисности. Впервые неравенство Гильберта было изучено В.А. Ильиным в работе [24], в которой получены достаточные условия гильбертовости системы собственных функций оператора Лапласа для произвольной "радиальной" функции, отличной от нуля лишь в шаре малого радиуса. В дальнейшем этот вопрос изучался в работах Г.Е. Шикиной [85], А.А. Малова [56, 57, 58].
Будаевым В.Д. в работах [11, 12, 13] предложен следующий подход к изучению гильбертовости, а заодно и бесселевости: предполагая, что некоторая система функций является гильбертовой и бесселевой с константами а и /3 соответственно, рассмотреть вопрос о том, будет ли "возмущенная" система (то есть система, у которой некоторые параметры несколько изменены) гильбертовой и бесселевой. В дальнейшем данный подход был разработан Н.В. Ассоновой [2]. Отметим, что впервые подобный подход был представлен Пэли и Винером [96] для изучения базисности конкретной системы |el(n+<5«)a:|) п — —оо, +оо, в Ь2{—7г; тг). Точная оценка "возмущения" 5 для этой системы была получена М.И. Кадецом [28].
Надо отметить, что большинство из перечисленных работ используют условие Карлемана, что, как было показано (см. работу [69]), не совсем "естественно".
Перейдем к изложению основных результатов диссертации.
Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Каждая из глав разбита на параграфы.
Исследуется проблема бесселевости и гильбертовости систем корневых функций обыкновенных, линейных, вообще говоря, несамосопряженных дифференциальных операторов второго порядка:
Lu = и" + q(x)u, д(х) в Li(G) (6) на конечном интервале G = (а; Ъ) вещественной оси. Корневые функции данного оператора понимаются по В.А. Ильину, то есть безотносительно к виду краевых условий. При этом считается, что мнимые части спектральных параметров достаточно велики по модулю, то есть не выполено условие Карлемана.
В первой главе диссертационной работы вводятся основные понятия, получены точные оценки значений корневых функций и их первых производных через нормы корневых функций, стоящих с данной в одной цепочке.
Приведем основные теоремы первой главы.
Теорема 1.2.3. Для Uk — корневой функции k-го порядка (к = 0,1,2,.), оператора (6) при |/i| > Hq, где /io - достаточно большое положительное число, и |Im/x| > 3/mes(G) справедливы оценки: где fi - спектральный параметр, соответствующий и^; х € G; R - расстояние от точки х до границы интервала G, то есть R = dist {ж; dG}, константы cij с3 не зависят от а, ц, х, а зависят от порядка функции щ, меры интервала G и коэффициента оператора q(x).
Доказательство теоремы 1.2.1 основывается на формулах среднего Э.Ч. Титч-марша [78].
В параграфе 1.3 с помощью левосторонних и правосторонних формул среднего В.В. Тихомирова [79] доказываются следующие точные по порядку оценки:
Теорема 1.3.2. Для всех > /л0, где цо — достаточно большое положительное число, вообще говоря, выбор которого зависит от q(x) — коэффициента дифференциального оператора (6) и меры интервала G, и |1т/л| > 3(mesG)-1 справедливы оценки
MaOl < С2
Im/j|p k = 1,2,.),
M®)| < C3 \lmfx\p |Ы|МС) (k = 1, 2,.),
К В! к где х 6 G, Ft = dist{a;, <5G} > О, константы С и C2 зависят лишь от меры интервала G, k - порядка корневой функции и q - коэффициента оператора (6).
Теорема 1.3.2. обобщает результат В.В. Тихомирова [80] для собственных функций на случай присоединенных функций произвольного порядка.
Оценки теорем 1.2.3 и 1.3.2 неулучшаемы по порядку, что подтверждают примеры, приведенные в конце параграфов 1.2 и 1.4.
Во второй главе диссертации получены достаточные условия бесселевости и гильбертовости систем корневых функций дифференциального оператора (6) в случае невыполнения условия Карлемана.
Параграф 2.1 посвящен доказательству теоремы 2.1.1, указывающей достаточные условия бесселевости некоторых нормированных систем корневых функций и их первых производных по интервалу G = (a; b).
Теорема 2.1.1. Пусть {«„^jf5 - произвольная система корневых функций дифференциального оператора (6) па конечном интервале G = (а\Ь), у которой ранг собственных функций равномерно ограничен. При |Im /лп| > (Xq (п = Г, 2,.), где Hq - некоторое достаточно большое положительное число (выбор которого, вообще говоря, зависит от коэффициента q(x) дифференциального оператора (6), меры интервала G) из бесселевости системы экспонент в Ь2 ((Ь + а)/2; 6)7 e|imPn|х^(Ьху |im/in|« s=0 к e|lm/x„|® x)s jlm s=0 ,
2((Ь+а)/2;Ь) следует, бесселевость нормированных систем корневых функций и их производных в L2(G)
Un,k\\b2(G) j ' Ulu".*llLa(G)
Доказательство теоремы 2.1.1 опирается на оценки, полученные в параграфах 1.2 и 1.3.
Теорема 2.1.1 позволяет сводить вопрос о бесселевости нормированных систем корневых функций и их первых производных к исследованию того же свойства у соответствующих систем экспонент. В связи с этим хотелось бы отметить, что базисные свойства систем экспонент, косинусов и синусов изучены достаточно хорошо. В частности, можно перечислить следующие работы: Н.К. Никольский, B.C.
Павлов, С.В. Хрущев [69, 70, 71], Н.Б. Керимов [32, 33], Е.И. Моисеев [63, 64], Г.Г. Девдариани [18, 19], A.M. Минкин [60], Б.Т. Билалов [4], A.M. Седлецкий [74, 75] и другие.
В заключение параграфа полученные результаты применяются к конкретным примерам. Все примеры рассматриваются впервые.
Теоремы, доказываемые во втором параграфе второй главы, носят вспомогательный характер и в дальнейшем используются в третьем и четвертом параграфах второй главы, где с помощью оценок из первой главы диссертации получены критерии, соответственно, бесселевости и гильбертовости некоторых систем собственных функций дифференциального оператора (6). Результаты теорем этих двух параграфов верны и при невыполненном условии Карлемана. Надо отметить, что ранее работ, посвященных этому вопросу, не было. Главным результатом этих параграфов являются теоремы 2.3.1 и 2.4.1, в которых выясняется тесная взаимосвязь между наличием свойств, соответственно, бесселевости и гильбертовости у нормированной системы собственных функций дифференциального оператора (6) и наличием этого же свойства у соответствующей нормированной системы линейных комбинаций синусов и косинусов. В конце параграфа приведены примеры, иллюстрирующие теоремы 2.3.1 и 2.4.1.
В третьей главе диссертации получены необходимые условия бесселевости и гильбертовости систем собственных функций дифференциального оператора (6) при невыполненном условии Карлемана. Глава состоит из двух параграфов.
Отметим, что необходимое условие бесселевости системы собственных функций дифференциального оператора (1) было получено В.М. Курбановым в работе [45,
Теорема 3.1.1. Для бесселевости системы собственных функций дифференциального оператора (1), где коэффициенты Pi(x), Pzix), ■••,Vk{x) £ -^i{G),
46]: необходимо
J2 К (я) I2 \K\\l22{g) < const (1 -f- т), Vt > 0 ,x(=G,
1й»|<т const не зависит от х.
В параграфе 3.1 получено необходимое условие бесселевости нормированной системы собственных функций дифференциального оператора (6) при требовании невыполнения условия Карлемана:
Теорема 3.1.2. Пусть - система собственных функций дифференциального оператора (1.1.1) на интервале G = (—1,1), a ~ соответствующая система спектральных параметров, для которой выполнены следующие условия:
1) |1тдп| > 1,5 п = 1,2,.;
Мп| > /^о > 0, где цо достаточно велико и, вообще говоря, зависит от коэффициента q оператора (1.1.1); оо
3) ряд \р.п\~2 сходится; п=1 оо
4) ряд e"2lIm/i"' сходится.
71= 1
Если нормированная система {ип ||ип||1};г1 бесселева в Ь2{—1; 1), то и является бесселевой в пространстве ^(0; 1).
В конце параграфа приведены примеры, иллюстрирующие теорему 3.1.2.
В примере 3.1.1 рассматривается система собственных функций дифференциального оператора (6) {ип(х) ||мп||1} > соответствующая системе спектральных параметров {цп = , где К - достаточно большое натуральное число. Если к рассматриваемой системе применить теорему 3.1.1, то можно убедиться, что для нее будет выполнено необходимое условие бесселевости. Однако, если для той же системы собственных функций использовать теорему 3.1.2, то можно убедиться, что данная система не бесселева. Это подтверждает, что теорема 3.1.2 охватывает классы систем собственных функций, не рассматриваемые теоремой 3.1.1.
В параграфе 3.2 получены необходимые условия гильбертовости нормированных систем собственных функций дифференциального оператора (6) при невыполненном условии Карлемана.
Теорема 3.2.1. Пусть {«„j^ - система собственных функций дифференциального оператора (1.1.1) на интервале G = (—1,1), а ~ соответствующая система спектральных параметров, для которой выполнены следующие условия:
1) |Im^„| >1,5 n = 1,2,.;
2) l^nl > Mo > О, где fxo достаточно велико и, вообще говоря, зависит от коэффициента q оператора (1.1.1); оо
3) ряд |МпГ2 сходится, и его сумма достаточно мала; п=1 оо
4) ряд e2lImMnl сходится, и его сумма достаточно мала.
П=1
Если система [ип ||ип||1}п1 гильбертова в 1;1), то и нормированная система e-i-sgn(Im/j„)/ini jjg—i-sgn(Irxa/^7T.jJ ^ °° ^ |gi sgn(Im^n)At„a: || ei-sgn(Im/in);i„x jj^ является гильбертовой в пространстве 0; 1).
Доказательство теорем 3.1.2 и 3.2.1 основывается на оценках, полученных в первой главе данной диссертации. В конце параграфа приведены примеры, иллюстрирующие теорему 3.2.1.
В перспективе возможно рассмотрение в рамках данного подхода, задач, в которых изучаются системы корневых функций и их первых производных обыкновенных дифференциальных операторов высокого порядка.
Результаты диссертации излагаются в работах автора, которые приведены в конце списка литературы [101]—[109].
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Виктору Дмитриевичу Будаеву за постановку проблемы и постоянное внимание к работе.
1. Ассонова, Н.В. О гильбертовости и бесселевости систем собственных функций операторов второго порядка /Н.В. Ассонова, В.Д. Будаев // Дифферент уравнения. 2000. Т. 36. №2. С.147-151.
2. Ассонова, Н.В. Устойчивость свойств гильбертовости и бесселевости некоторых систем функций при малых возмущениях параметров: дис. . канд. физ.-мат. наук / Н.В. Ассонова. Смоленск, 1999.
3. Бари, Н.К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве / Н.К. Бари // Уч. зап. МГУ. 1951. Т. 4. Вып. 1. С. 69-107.
4. Билалов, Б.Т. Базисные свойства систем собственных функций некоторых дифференциальных операторов и их обобщение: дис. . д-ра. физ.-мат. наук / Б.Т. Билалов. М., 1995.
5. Бицадзе, А.В. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач / А.В. Бицадзе, А.А. Самарский // Докл. АН СССР. 1969. Т. 185. №4. С. 739-740.
6. Будаев, В.Д. Оценка модуля производной регулярного решения обыкновенного линейного дифференциального уравнения / В.Д. Будаев // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. №2. С. 198-204.
7. Будаев, В.Д. Критерий безусловной базисности систем собственных и присоединенных функций обыкновенных дифференциальных операторов / В.Д. Будаев //Докл. АН СССР. 1990. Т. 314. №1. С. 25-28.
8. Будаев, В.Д. Некоторые свойства корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов высокого порядка / В.Д. Будаев // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. №8. С. 1454-1456.
9. Будаев, В.Д. О необходимых условиях безусловной базисности систем корневых функций несамосопряженных дифференциальных операторов / В.Д. Будаев // Доклады РАН. 1993. Т. 329. №4. С. 396-399.
10. Будаев, В.Д. Безусловная базисность систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов: дис. . д-ра. физ-мат. наук / В.Д. Будаев. М., 1993.
11. Будаев, В.Д. О неравенствах Гильберта и Бесселя для систем собственных функций дифференциального оператора второго порядка / В.Д. Будаев // Деп. в ВИНИТИ 13.03.96. №800-В96.
12. Будаев, В.Д. О неравенствах Гильберта и Бесселя для некоторых возмущенных систем функций / В.Д. Будаев // Межвузовский сб. науч. тр. -Смоленск: Изд-во СГПИ, 1997. С. 100-107.
13. Будаев, В.Д. О неравенствах Гильберта и Бесселя для некоторых систем синусов, косинусов, экспонент / В.Д. Будаев // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. №1. С. 19-24.
14. Визитей, В.Н. О сходимости кратных разложений по системе собственных и присоединенных векторов операторного пучка / В.Н.Визитей, А.С. Маркус// Матем. сборник. 1965. Т. 66. №2(108). С. 287-320.
15. Гохберг, И.Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн. М.: Наука, 1965. 448 с.
16. Данфорд, Н. Линейные операторы. Часть 3. Спектральные операторы / НДанфорд, Дж. Шварц. М: Мир, 1974. 664 с.
17. Двайт, Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г.Б. Двайт. М.: Наука, 1977. 224 с.
18. Девдариани, Г.Г. О базисности одной тригонометрической системы функций/ Г.Г. Девдариани // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. №1. С. 168-170.
19. Девдариани, Г.Г. О базисности одной тригонометрической системы функций/ Г.Г. Девдариани // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. №1. С. 170-171.
20. Ильин, В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. I / В.А.Ильин // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. №5. С.771-794.
21. Ильин, В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. II /B.А.Ильин // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. №6. С.980-1009.
22. Ильин, В.А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций дифференциального оператора второго порядка / В.А. Ильин // Докл. АН СССР. 1983. Т. 273. №5. С.1048-1053.
23. Ильин, В.А. О необходимом условии равносходимости с тригонометрическим рядом спектрального разложения произвольной суммируемой функции/ В.А. Ильин // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21. №5. С.371-379.
24. Ильин, В.А. Неравенство типа Гильберта по системе собственных функций оператора Лапласа для радиальной функции, отличной от нуля в шаре достаточно малого радиуса / В.А. Ильин // Докл. АН СССР. 1986. Т. 291. №6.C.1292-1296.
25. Ильин, В.А. О системах, состоящих из подмножеств корневых функций двух различных краевых задач / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Тр. мат. ин-та. им. В.А. Стеклова. 1992. Т. 201. С. 219-230.
26. Ионкин, Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием / Н.И. Ионкин // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. №2. С. 294-304.
27. Кадец, М.И. Точное значение постоянной Палея-Винера / М.И. Кадец // Докл АН СССР. 1964. Т. 155. №6. С. 1253-1254.
28. Качмаж, С. Теория ортогональных рядов / С.Качмаж, Г. Штейнгауз. М.: Физматгиз, 1958.
29. Келдыш, М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений / М.В. Келдыш // Докл. АН СССР. 1951. Т. 77. №1. С. 11-14.
30. Келдыш, М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов / М.В. Келдыш // Успехи матем. наук. 1971. Т. 26. Вып. 4 (160). С. 15-41.
31. Керимов, Н.В. Некоторые вопросы спектральной теории несамосопряженных дифференциальных операторов: дис. . канд. физ.-мат. наук / Н.В. Керимов. М., 1986.
32. Керимов, Н.В. О безусловной базисности системы собственных и присоединенных функций дифференциального оператора четвертого порядка / Н.Б.Керимов // Докл. АН СССР. 1986. Т. 286. №4. С. 803-808.
33. Керимов, Н.Б. Базисность и равномерная минимальность систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов: дис. . д-ра. физмат. наук / Н.Б. Керимов. М., 1996.
34. Кесельман, Г.М. О безусловной сходимости разложений по собственным функциям некоторых дифференциальных операторов /Г.М. Кесельман // Изв. вузов СССР. Математика. 1964. №2. С. 82-93.
35. Костюченко, А.Г. Распределение собственных значений для сингулярных дифференциальных операторов / А.Г. Костюченко // Докл. АН СССР. 1960. Т. 168. т. С. 21-24.
36. Костюченко, А.Г. Об асимптотическом поведении собственных значений операторной задачи Штурма-Лиувилля / А.Г. Костюченко, Б.М. Левитан // Функц. анализ и его приложения. 1967. Т. 1. №1. С. 86-96.
37. Крицков, Л.В. К вопросу о базисности системы функций {exp(iant) sin(nt)}/ Л.В. Крицков // Докл РАН. 1996. Т. 346. №3. С. 297-298.
38. Крицков, Л.В. Некоторые спектральные свойства сингулярных обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка: дис. . канд. физ.-мат. наук / Л.В. Крицков. М., 1990.
39. Кролл, A.M. О несамосопряженных обыкновенных дифференциальных операторах второго порядка / A.M. Кролл // Докл. АН СССР. 1965. Т. 165. №6. С. 1235-1236.
40. Круковский, Н.М. Теоремы об m-кратной полноте систем обобщенных из W1!2 собственных и присоединенных функций некоторых краевых задач для эллиптических уравнений и систем / Н.М. Круковский // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12. №10. С. 1842-1851.
41. Курбанов, В.М. О базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений дифференциального оператора 2п-го порядка/ В.М. Курбанов // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. №7. С. 1279-1280.
42. Курбанов, В.М. Распределение собственных значений и сходимость биорто-гональных разложений по корневым функциям обыкновенных дифференциальных операторов: дис. . д-ра. физ-мат. наук / В.М. Курбанов. М., 1999.
43. Курбанов, В.М. О распределении собственных значений и критерий бесселе-вости корневых функций дифференциального оператора. I / В.М.Курбанов// Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. №4. С. 464-478.
44. Курбанов, В.М. О распределении собственных значений и критерий бесселевости корневых функций дифференциального оператора. II / В.М.Курбанов// Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. №5. С. 623-631.
45. Лидский, В.Б. О полноте системы собственных и присоединенных функций несамосопряженного дифференциального оператора / В.Б. Лидский // Докл. АН СССР. 1956. Т. 110. т. С. 172-175.
46. Лидский, В.Б. Несамосопряженный оператор типа Штурма-Лиувилля с дискретным спектром / В.Б. Лидский // Труды Моск. матем. общества. 1960. №9. С. 45-79.
47. Ломов, И.С. Оценки собственных и присоединенных функций оператора Штурма-Лиувилля / И.С. Ломов // Докл. АН СССР. 1979. Т. 248. №6. С. 13031306.
48. Ломов, И.С. Некоторые свойства собственных и присоединенных функций оператора Штурма-Лиувилля / И.С. Ломов // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. №10. С. 1684-1693.
49. Ломов, И.С. Оценки собственных и присоединенных функций обыкновенных дифференциальных операторов / И.С. Ломов // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21. №5. С. 903-906.
50. Ломов, И.С. Свойство базисности корневых функций нагруженных дифференциальных операторов второго порядка на интервале /И.С. Ломов // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. №1. С. 80-93.
51. Ломов, И.С. Неравенство Бесселя, теорема Рисса и безусловная базисность для корневых векторов обыкновенных дифференциальных операторов / И.С. Ломов // Вестник МГУ. Сер. "Математика". 1992. №5. С. 33-43.
52. Ломов, И.С. Формула среднего значения Е.И. Моисеева для дифференциальных операторов четного порядка с негладкими коэффициентами / И.С.Ломов // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. №8. С. 1046-1057.
53. Ломов, И.С. Обобщенное неравенство Бесселя для обыкновенных дифференциальных операторов с негладкими коэффициентами / И.С. Ломов // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. №12. С. 1621-1630.
54. Малов, А.А. Неравенство типа Гильберта по системе корневых функций обыкновенного дифференциального оператора четного порядка / А.А. Малов // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. №1. С. 44-53.
55. Малов, А.А. Необходимые условия выполнения неравенства типа Гильберта по системе корневых функций обыкновенного дифференциального оператора второго порядка / А. А. Малов // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. №1. С. 48-68.
56. Малов, А.А. Достаточные условия выполнения неравенства типа Гильберта по системе корневых функций обыкновенного дифференциального оператора второго порядка / А.А. Малов // Дифференц. уравнения. 1994. Т.ЗО. №2. С. 197-203.
57. Маркус, А.С. О кратной полноте и сходимости кратных разложений по системе собственных и присоединенных векторов операторного пучка / А.С.Маркус // Докл. АН СССР. 1965. Т. 163. №5. С. 1061-1064.
58. Минкин, A.M. Отражение показателей и безусловные базисы из экспонент / A.M. Минкин // Алгебра и анализ. 1991. Т. 3. Вып. 5.
59. Михайлов, В.П. О базисах Рисса в L2(0;1) / В.П. Михайлов // Докл. АН СССР. 1962. Т. 144. т. С. 981-984.
60. Моисеев, Е.И. Асимптотическая формула среднего значения для регулярного решения дифференциального уравнения / Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. №5. С. 827-844.
61. Моисеев, Е.И. О базисности систем синусов и косинусов / Е.И. Моисеев // Докл. АН СССР. 1984. Т. 275. №4. С. 794-798.
62. Моисеев, Е.И. О базисности одной системы синусов / Е.И. Моисеев // Дифферент уравнения. 1987. Т. 23 Ш. С. 177-179.
63. Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк. М.: Наука, 1969. 528 с.
64. Наймарк, М.А. О разложении по собственным функциям несамосопряженных сингулярных дифференциальных операторов второго порядка / М.А.Наймарк // Докл. АН СССР. 1953. Т. 89. №2. С. 213-216.
65. Наймарк, М.А. О некоторых признаках полноты систем собственных и присоединенных векторов в гильбертовом пространстве / М.А. Наймарк // Докл. АН СССР. 1954. Т. 98. №5. С. 727-730.
66. Никольский, Н.К. Лекции об операторе сдвига / Н.К. Никольский. М.: Наука, 1980.
67. Никольский, Н.К. Безусловные базисы из экспонент и воспроизводящих ядер/ Н.К. Никольский, Б:С. Павлов, С.В. Хрущев // 1980. Т.1. Предпринты ЛОМИ. Р-8-80. Ленинград.
68. Никольский, Н.К. Безусловные базисы из экспонент и воспроизводящих ядер/ Н.К. Никольский, B.C. Павлов, С.В. Хрущев // 1980. Т.2. Предпринты ЛОМИ. Р-9-80. Ленинград.
69. Никольский, Н.К. Безусловные базисы из экспонент и воспроизводящих ядер/ Н.К. Никольский, Б.С. Павлов, С.В. Хрущев // 1980. Т.З. Предпринты ЛОМИ. Р-10-80. Ленинград.
70. Никольский, Н.К. Безусловные базисы из экспонент и воспроизводящих ядер/ Н.К. Никольский, Б.С. Павлов, С.В. Хрущев // 1980. Т.4. Предпринты ЛОМИ. Р-11-80. Ленинград.
71. Пономарев С.М. Обобщение теоремы М.В. Келдыша о полноте систем собственных и присоединенных функций первой краевой задачи для несамосопряженного эллиптического оператора // Дифференц. уравнения. 1974. Т.10. №12. С. 2294-2296.
72. Седлецкий, A.M. Аналитические преобразования Фурье и экспоненциальные аппроксимации / A.M. Седлецкий // Современная математика. Фундаментальные направления. 2003. Т. 5. Ч. 1. С. 3-152.
73. Седлецкий, A.M. Аналитические преобразования Фурье и экспоненциальные аппроксимации / A.M. Седлецкий // Современная математика. Фундаментальные направления. 2003. Том 5. Ч. 2. С. 3-162.
74. Тамаркин, Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды / Я.Д. Тамаркин. Пг., 1917. 308 с.
75. Титчмарш, Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка / Э.Ч. Титчмарш. М.: Изд-во иностр. лит-ры. 1960. 278 с.
76. Тихомиров, В.В. Точные оценки регулярного решения одномерного уравнения Шредингера со спектральным параметром / В.В. Тихомиров // Докл. АН СССР. 1983. Т. 273. №4. С. 807-810.
77. Тихомиров, В.В. Точные оценки собственных функций произвольного несамосопряженного оператора Шредингера / В.В. Тихомиров // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. №8. С. 1378-1385.
78. Федорюк, М.В. Асимптотика решений обыкновенного линейного дифференциального уравнения n-го порядка / М.В. Федорюк // Докл. АН СССР. 1965. Т. 165. №4. С. 777-779.
79. Федорюк, М.В. Асимптотика решений обыкновенного линейного дифференциального уравнения п-го порядка / М.В. Федорюк // Дифференц. уравнения. 1966. Т. 2. №4. С. 492-507.
80. Хромов, А.П. Разложение по собственным функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов с нерегулярными краевыми условиями/ А.П. Хромов // Мат. сборник. 1966. Т. 70. №3. С. 310-329.
81. Чезари, Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / Л. Чезари. М.: Мир, 1964.
82. Шикина, Г.Е. Неравенство типа Гильберта по системе собственных и присоединенных функций дифференциального оператора четного порядка / Г.Е.Шикина // Дифференц. уравнения. 1993. Т.29. №1. С. 145-155.
83. Шкаликов, А.А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях / А.А. Шкаликов // Труды сем. им. И.Г. Петровского. 1983. Вып. 9. С. 190-229.
84. Шкаликов, А.А. О базисности собственных функций обыкновенного дифференциального оператора с интегральными краевыми условиями / А.А. Шкаликов // Вестник МГУ. Сер. матем. 1982. №6. С. 12-21.
85. Биркгоф, Д. (Birkhoff G.D.) Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1908. V.9. №4. P. 373-393.
86. Карлеман, Т. (Carleman Т.)// Ber. Sach. sesch. Acad, der Wiss, zu Leipzig. Math. Phis. Klasse. 1936. Bd. 88.
87. Карлесон, Л. (Carleson L.) An interpolation problem for bounded analytic functions. Amer. J. Math., 1958, v.80, №4, 921-930.
88. Коморник, В. (Komornik V.) Upper estimate for the eigenfunctions of higher order of linear differential operator. // Acta scient. Math. 1983. Vol 45., №1 4 p. 261-271.
89. Кролл, A.M. (Krall A.M.) The development of general differential and general differential boundary systems // Rochg. Mountain. J. Math., 1975. V. 5. №4. P. 493-542.
90. Лангер, P. (Langer R.) The asymptotic solution of certain linear ordinary differential equations of the second order // Tras. Amer. Math. Soc. 1934. V. 36. P. 90-106.
91. Лангер, P. (Langer R.) The asymptotic solution of certain linear differential equations of the second order, with special reference to a turning point // Tras. Amer. Math. Soc. 1949. V. 67. P. 461-490.
92. Дж. фон Нейман (J. Neumann) Allgemine Eigenwerttheorie Hermitescher Functionaloperatoren // Math. Ann. 1925. Bd. 102. S. 49-131.
93. Пэли, P., Винер, H. (Paley R.E.A.C., Wiener N.) Fourier Transforms in the Complex Domain. N.Y., 1934.
94. Редхеффер, P. (Redheffer R.) Elementary remarks on completeness // Duke Math. J. 1937. - 3. - P. 747-755.
95. Стеклов, В.A. (Steklov V.A.) Solution generale du problem de developpment d'une fonction arbitraire en series suivant les fonctions fondamentales de Sturm-Liouville // RAL. 5 serie. 1910, v. 19. P. 490-496.
96. Стоун, M. (Stoun M.H.) A comparison of the series of Fourier and Birkhoff // Trans. Amer. Math. Soc. 28. 1926. P. 695-761.
97. Тамаркин, Я.Д. (Tamarkin Y.D.) Sur quelque points de la theorie des equations differentielles Iineaires ordinaires et sur la generalisation de la serie de Fourier // Rend, di Palermo. 34. 1912. P. 345-382.
98. Царева, А.С. Достаточное условие гильбертовости некоторых систем собственных функций дифференциального оператора второго порядка / А.С.Царева // Вестник СамГТУ. Серия "физико-математические науки". 2007. №2(15). С. 158-161.
99. Царева, А.С. Свойства бесселевости и гильбертовости корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка при невыполненном условии Карлемана / А.С. Царева // Докл РАН. 2008. Т. 420. №2. С. 176-178.
100. Царева, А.С. Некоторые свойства корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка при невыполненном условии Карлемана / А.С. Царева // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 3. С. 350-358.
