Неравенство типа Гильберта по системе корневых функций обыкновенного дифференциального оператора четного порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

рг; од

московским государственный университет

им. м.в. ломоносова

факультет вычислительной математики и кибернетики

] 1 СЕН 1305 На правах рукописи

УДК 517.927.25

МАЛОЕ Арсений Анатольевич

НЕРАВЕНСТВО ТИПА ГИЛЬБЕРТА ПО СИСТЕМЕ КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ЧЕТНОГО ПОРЯДКА.

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1995 г.

Работа выполнена на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова. -

Научный руководитель Доктор физико-математических наук, академик В.А. Ильин

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Гольдаан М.Л. доктор физико-математических наук, профессор Дубинский Ю.А.

Ведущая организация - Математический институт им. В.А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится "¿2" С&и1995 г. в {Н_ часов 30 минут на заседании Диссертационного совета К.053.05.87 в Московском Государственном Университете им. М.В. Ломоносова но адресу: 119899, г. Москва, Воробьевы Горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ.

шг

Автореферат разослан

Ученый секретарь совета, доцент

В.М. Говоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность теш.

При изучении несамосопряженных линейных операторов в гильбертовом сепарабельном пространстве Н выяснилось, что корневые функции этих операторов могут образовывать базис в Н, вообще говоря не являющийся ортогональным . Среди этих базисов был выделен класс базисов, эквивалентных ортогональным, или базисов Рисса. Под базисом Рисса согласно введенной Н.К. Бари терминологии понимается базис пространства Н, который можно получить из ортонормированного базиса при помощи ограниченного обратимого линейного оператора, имеющего ограниченный обратный оператор. Класс Оазисов, эквивалентных ортонормированным, оказался весьма широк и эти базисы играют важную роль в спектральной теории несамосопряженных дифференциальных операторов.

Пусть { ек- ) - ортонормированный базис пространства Н, а { и^ } базис Рисса, образованный из С ек } при помощи линейного оператора А, для которого существуют такие положительные числа аир, что для произвольного элемента х из пространства Н р||х||$||Ах||$а||х||. Последнее неравенство означает ограниченность оператора А и существование ограниченного обратного оператора. Хорошо известно, что для любого элемента Г из пространства Н выполнено равенство Парсеваля

к>

Е |(1.ек)|2 = р||2 к = 1

- г -

Для базиса Рисса ( и^ } равенство Парсеваля будет заменено на два неравенства:

00

Е |(Г.и )|г $ а||Х||2 , (I)

к = 1

00

Е|(Г.^)|2 > РРН2 • (2)

к = 1

Неравенство (I) называется неравенством типа Бесселя, а неравенство (2) - неравенством типа Гильберта. Таким образом, изучение условий выполнения неравенства типа Гильберта тесно связано с изучением базисности Рисса систем корневых функций дифференциальных операторов. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса системы корневых функций дифференциального оператора второго порядка были установлены В.А. Ильиным. Критерий базисности Рисса для корневых функций обыкновенного дифференциального оператора произвольного четного порядка установлен в работах В.Д. Будаева. Поскольку этот критерий связан со свойствами биортогонально сопряженной системы, то появилась необходимость получить необходимые условия базисности Рисса без обращения к биортогонально сопряженной системе. Некоторые такие условия, связанные с .неравенством (I), получены В.Д. Будаевым. Однако до сих пор не были получены необходимые условия базисности Рисса, связанные с неравенством (2).

Дадим более широкую трактовку неравенства (2). Пусть й -конечный интервал вещественной прямой, В - некоторое подмножество гильбертова пространства Ь2(С). Будем говорить, что по системе функций { ^(х) > выполнено неравенство типа Гильберта в классе В,

если существует такое положительное число р, что для произвольной функции 1 из множества В справедливо неравенство (2). Отметим, что при В = Ьг(0 достаточные условия выполнения неравенства типа Гильберта (2) по системе { ^(х) } одновременно являются достаточными условиями полноты { ^(Х) } в Ь2(0. Необходимые условия выполнения неравенства типа Гильберта по системе { ^(х) > в любом классе В одновременно являются необходимыми условиями базисности Рисса исследуемой системы в пространстве Ъ2(й).

Изучение условий выполнения неравенства типа Гильберта по системам корневых функций началось с изучения неравенства (2) в классе так называемых "радиальных" функций (то есть функций, зависящих только от расстояния до фиксированной точки многомерной области), отличных от тождественного нуля лишь в шаре достаточно малого радиуса, причем в качестве инструмента использовались формулы среднего значения для корневой функции соответствующего дифференциального оператора. Необходимые и достаточные условия выполнения неравенства типа Гильберта в описанном классе по системе обобщенных собственных функций были получены в работах В.А. Ильина и автора. Достаточные условия выполнения неравенства (2) по системе корневых функций обыкновенного дифференциального оператора четного порядка для произвольной функции из Ь2(С), почти всюду равной нулю вне достаточно малой окрестности фиксированной внутренней точки интервала С и четной относительно этой точки, были получены Г.Е. Шикиной.

Необходимые условия выполнения неравенства типа Гильберта по системе корневых функций обыкновенного дифференциального оператора

- л -

без предположений о базисности Рисса ранее не изучались, ~как не изучались и достаточные условия выполнения неравенства (2) в классе функций, отличных от нуля лишь в достаточно малой окрестности фиксированной внутренней точки интервала С и являющихся в этой окрестности произвольными суммируемыми с квадратом модуля функциями (без требования четности).

Цель работы.

Установление необходимых и достаточных

условий выполнения неравенства типа Гильберта (2) по системе обобщенных корневых функций обыкновенного дифференциального оператора четного порядка в различных классах функций, в том числе при отказе от требования четности, а также связанных с ними необходимых условий базисности Рисса в 12(С) исследуемой системы.

Научная новизна.

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Получено простое представление для произвольной корневой функции дифференциального оператора четного порядка.

2. Установлен критерий справедливости неравенства типа Гильберта по системе корневых функций обыкновенного дифференциального операторав классе произвольных интегрируемых вместе с квадратом модуля функций, отличных от нуля лишь в достаточно малой окрестности фиксированной точки и связанные с этим критерием необходимые условия выполнения неравенства типа Гильберта и базисности Рисса системы обобщенных корневых функций в

- Б -

пространстве L2(G).

3. Получены критерии справедливости неравенства типа Гильберта в классах принадлежащих пространству LZ(G) функций, отличных от нуля лишь в достаточно малой окрестности фиксированной точки и четных или нечетных относительно этой точки.

Общая методика исследования.

В качестве основного инструмента исследования используется полученное автором простое представление для произвольной корневой функции дифференциального оператора четного порядка.

Практическая ценность.

Полученные в работе критерии справедливости неравенства типа Гильберта по системе обобщенных корневых функций в различных классах функций позволяют исследовать локальную полноту систем корневых функций широкого класса несамосопрякенных краевых задач и дают инструмент опровержения гипотез о базисности Рисса этих систем. Возможность применения результатов диссертационной работы к самым различным краевым задачам связана с отсутствием прямой привязки условий доказанных в работе теорем к каким-либо краевым условиям.

Апробация работы, публикации.

Результаты работы докладывались на семинаре кафедры общей математики факультета ВМиК МГУ под руководством академика В.А. Ильина, профессоров A.A. Дезина и Е.И. Моисеева, в МИРАНЕ на

- б -

семинаре под руководством академика С.М. Никольского. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-3].

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из вступления и пяти глав. Объем работы - 65 машинописных страниц, библиография включает 16 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во вступлении дается общее представление о рассматриваемой проблеме, приводится краткий обзор близких по теме работ и перечисляются основные результаты.

В §1 главы I введено понятие системы обобщенных корневых функций обыкновенного дифференциального оператора четного порядка.

Рассмотрим конечный интервал й вещественной прямой. Пусть Б2т(0 - пространство комплекснозначных функций, абсолютно непрерывных на любом замкнутом подинтервале интервала С вместе со всеми своими производными до порядка 2ш-1 включительно. Рассмотрим на Бгт(0 формальный дифференциальный оператор ьи=(-1 Ги'^'+Б (Х)и<2т_1>+.. .+Р, (х)и,

1 2т

где (х) р^х) € Ь^С) при

Введем в рассмотрение произвольную систему комплекснозначных функций { и>.(х) }, удовлетворяющую следующим четырем условиям А: I) Каждая из функций ^(х) принадлежит классу В2т(0 и для некоторого комплексного числа ¡^ удовлетворяет почти всюду на С уравнению

- г -

где 0к=О или I, причем 61=0,ц=к(1к_1, если 9]с=1.

2) |1ш k=I,2.....

3) II^H^, k=I ,2,... .

Здесь и далее под || || будем понимать норму в пространстве Lz(G).

4) Существует такое натуральное число М, что для всех натуральных п

Е 1 «SM.

п-1$|Цк|<г.

В §2 главы I получено простое представление для обобщенной корневой функции обыкновенного дифференциального оператора четного порядка на строго внутреннем компакте К интервала G. Теорема I.

Пусть система ii^ix)} удовлетворяет четырем условиям А. Предположим, что для некоторого Т>1 и некоторого натурального п пТ<||^|^(п+1 )Т. Тогда для любых х и у из произвольного строго внутреннего компакта К интервала G можно записать следующее представление для i\(x):

и' (у)

ulc(x)=uk(y)cos(nT(x-y)) + —-sin(nT(x-y))+ Jrk(£)sin(nT(x-£) )d£+

у

+Rk(x,y), (3)

«OTL»

гда llrklib 11\Нс<кхК,=°(1/пТ), M =0(1), все оценки

со II ОХ "с<кхк>

равномерны относительно х.у.п и Т.

■ Глава 2 посвящена установлению критерия справедливости неравенства типа Гильберта по рассматриваемой системе функций в классе произвольных интегрируемых вместе с квадратом модуля функций, отличных от нуля лишь в достаточно малой окрестности фиксированной точки интервала G. Теорема 2.

Пусть у - некоторая внутренняя точка интервала G. Для того, чтобы для разложения произвольной комплекснозначной функции f(x) из пространства L2(G), почти всюду равной нулю вне достаточно малой окрестности точки у, по системе функций iu^tx)}, удовлетворяющей четырем условиям А, было справедливо на G неравенство типа Гильберта (2), необходимо и достаточно

выполнение следующего условия Б:

Существует такое положительное число Т, что для всех п=0,1,2,... существуют числа |Х1п и ц2п из множества {р^} такие, что п|<(п+1 )Т, 1=1,2, а для соответствующих им корневых

функций ut п и u2 п выполнено

где 7>0, cW(uiri,u2n) - определитель Вронского соответствующих функций.

В главе 3 установлены связанные с результатами главы 2 необходимые условия выполнения неравенства типа Гильберта и базисности Рисса системы обобщенных корневых функций в пространстве L2 (G).

Теорема 3.

Пусть система функций Си,,(х)> удовлетворяет четырем условиям А. Тогда необходимым условием выполнения неравенства типа Гильберта (2) и базисности Рисса в LZ(G) будет выполнение условия Б теоремы 2 в каждой внутренней точке интервала G. При этом константы Т и 7, а также выбор чисел из множества {р^} в условии Б, вообще говоря, будут зависеть от рассматриваемой точки.

(

Теорема 4.

Для того, чтобы для разложения произвольной комплекснозначной функции f(x) из пространства I|G) по системе функций {^(х)}, удовлетвряющей четырем условиям А, было справедливо неравенство типа Гильберта (2), необходимо существование положительного числа Т и натурального числа М4 таких, что для всех номеров п

Е 1 ^ (п-1 )Т<|цк | <пТ

Следствие из теоремы 4.

Пусть система {^(х)} удовлетворяет 1-му и 2-му условиям А.

Для того, чтобы {^(х)} был базисом Рисса в L2(G), необходимо,

чтобы существовали положительные константы Сг и Т и натуральные

числа М и М такие, что 12

IIUJ < сг, k=1,2,...;

(5)

м, £ Е 1 м2, 11=1,2..........(6)

(n-1)Г^|Цк|<пТ Теорема 5.

Для того, чтобы для разложения произвольной комплекснозначной функции f(x) из пространства I|G) по системе функций {^(х)}, удовлетврящей четырем условиям А, было справедливо неравенство типа Гильберта (2), необходимо, чтобы для любого строго внутреннего компакта К интервала G существовали такие положительные числа Т и а, чтобы для s=0,1,...,2m-1, n=0,1,2,... была справедлива оценка

Z |u^s>(x)|z> a(1+nzs), (7)

nT$|nk|<(n+1 )Т

равномерная для всех точек х компакта К.

Приводится пример, показывающий, что оценку 7 нельзя в общем случае записать для G. Следствие из теоремы 5.

Пусть система функций {^(х)} удовлетворяет на G 1-му и 2-му условиям А. Тогда необходимым условием базисности Рисса (и^.(х)} в Lz(G) является существование положительных чисел Т, at и аг таких, что для s=0,1,...,2ш-1, п=0,1,2,... выполняется равномерная для произвольного строго внутреннего компакта К интервала G оценка

а.О+п23) Е |<в,(х)|2< а2(1+пга), (8)

пТ< | |ак | < (п+1 )Т

Глава 4 дает эквивалентный результатам главы 2 критерий справедливости неравенства типа Гильберта критерий в случае, когда обобщенные корневые функции принимают только действительные значения. В этой главе доказано, что условия теоремы 5 являются достаточными в том случае, если {^(х)} представляет собой систему действительнозначных функций. Теорема б.

Пусть система функций {^(х)} удовлетворяет четырем условиям А и каждая из функций ^(х) представляет собой действительнозначную функцию. Тогда для того, чтобы для разложения произвольной комплекснозначной функции Их) из пространства Ь2(0, почти всюду равной нулю вне достаточно малой окрестности точки у, по системе {^(х)} бнло справедливо неравенство типа Гильберта (2), необходимо и достаточно, чтобы существовали целое число э ) и положительные числа Т и а такие, что для любого п=0,1,2,... выполнена равномерная в некоторой окрестности точки у оценка (7). •

Приводится пример, показывающий, что если 1\(х) комплекснозначные функции, то утверждение теоремы 6 в общем случае неверно.

В главе 5 получены критерии справедливости неравенства типа Гильберта в классах принадлежащих пространству Ь2(С) функций,

отличных от нуля лишь в достаточно малой окрестности фиксированной точки и четных или нечетных относительно этой точки. Теорема 7.

Для того, чтобы для разложения произвольной комплекснозначной функции 1(х) из пространства L|G), почти всюду равной нулю вне достаточно малой окрестности некоторой фиксированной внутренней точки у интервала G и четной относительно у, по системе функций {^(х)}, удовлетвряющей четырем условиям А, было справедливо неравенство типа Гильберта (2) с некоторой положительной постоянной р, необходимо и достаточно, чтобы существовали положительные числа Т и а такие, что для п=0,1,2,... справедливо неравенство

Е lu^y^a. (9)

nT<l|ak | < (п+1 )Т

Достаточность условия (9) была доказана в Г.Е.Шикиной при условии, что коэффициенты р.(х) дифференциального оператора L (см. первое условие А) принадлежат соответственно классам C2m"l+1(G) и р4(х)=0. Наше первое условие А содержит более слабые предположения относительно коэффициентов.

Теорема 8.

Для того, чтобы для разложения произвольной комплекснозначной функции i(x) из пространства LjG), почти всюду равной нулю вне

достаточно малой окрестности некоторой фиксированной внутренней точки у интервала в и нечетной относительно у, по системе функций {^(х)}, удовлетвряющей четырем условиям А, было справедливо неравенство типа Гильберта (2) с некоторой положительной постоянной р, необходимо и достаточно, чтобы существовали положительные числа Т и а такие, что для п=0,1,2,... справедливо неравенство

Е К(у)|2^ а(1+п2). (10)

пТ^](Хк|<(п+1 )Т

Указанные 8 теорем являются основными результатами диссертации.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Малов A.A., "Необходимые условия выполнения неравенства типа Гильберта по системе корневых функций обыкновенного дифференциального оператора второго порядка", "Дифференциальные уравнения", 1994, т.30, N I, с.48-59.

2. Малов A.A., "Достаточные условия выполнения неравенства типа Гильберта по системе корневых функций обыкновенного дифференциального оператора второго порядка", "Дифференциальные уравнения", 1994, т.30, N 2, с.198-203.

3. Малов A.A., "Некоторые свойства корневых функций обыкновенного дифференциального оператора четного порядка", "Дифференциальны уравнения" , 1994, т.30, N 12.