Базисность и равномерная минимальность систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

Факультет вычислительной математики и кибернетики

п _ г _ _ На правах рукописи

I ' О 0 4

УДК 517.927.25

I 5 ДЬК 1335

КЕРИМОВ Назим Бахыш оглы

БАЗИСНОСТЬ И РАВНОМЕРНАЯ МИНИМАЛЬНОСТЬ СИСТЕМ КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

01.01.02 — дифференциальные уравнепия

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1996

Работа выполнена на кафедре общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный консультант — академик В.А.Ильин.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.А.Дезин; доктор физико-математических наук, профессор М.Л.Гольдман; доктор физико-математичеких наук, профессор В.Д.Будаев;

Ведущая организация: Московский физико-технический

институт.

Защита диссертации состоится " Л " ^_1996г.

в ЛЬ час. 30 мин. на заседании Диссертационного совета Д.053.05.37 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат разослан

6 » 1996г.

Ученый секретарь Диссертационного советаО /

доктор физико-математических наук, ( /[А^ (У(Л.

профессор Е.И.Моисеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние десятилетия возник целый ряд новых, неклассических задач математической физики, приводящих к изучению спектральных свойств несамосопряженных операторов. Примером задач такого рода может служить известная задача Бицадзе-Самарского [1] с нелокальными краевыми условиями для уравнения теплопроводности.

Исследования по спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов берут свое начало еще с классических работ Ж.Лиуввиля, Ш.Штурма, а также более поздних работ В.А.Стеклова, Е.Д.Тамаркина, Д.Биркгофа и других авторов.

При построении спектральной теории дифференциальных операторов фундаментальную роль играет вопрос о базисности систем корневых функций изучаемого дифференциального оператора в том или ином классе функций.

В случае формально самосопряженного оператора и самосопряженных краевых условий ответ на этот вопрос можно получить в терминах краевых условий [2].

Переход к несамосопряженным задачам существенно усложнил исследование спектральных свойств дифференциальных операторов. В случае несамоспоряженного дифференциального оператора система всех собственных функций, вообще говоря, не только не образует базиса, по которому можно разложить произвольную функцию из класса £2, но и не является полной в Ь^- Поэтому эта система должна быть пополнена так называемыми присоединенными функциями. В несамосопряженных задачах собственные и присоединенные функции (которые называются также корневыми функциями), вообще говоря, не ортогональны, и ни их замкнутость, ни их минимальность еще не

Туреяе! Ьу ЛмЗ-'Ш

влечет за собой их базисности.

Таким образом, переход к несамосопряженным задачам потребовал выработки новых, более тонких подходов к изучению спектральных свойств по сравнению с самоспоряженным случаем.

Большой заслугой М.В.Келдыша [3, 4] является установление факта полноты в ¿2 специально построенной системы корневых функций (названной М.В.Келдышем канонической системой) для широких классов краевых задач для несамосопряженных дифференциальных операторов (и для некоторых абстрактных несамосопряженных операторов).

На сегодняшний день вопрос о полноте систем корневых функций достаточно хорошо изучен для весьма широкого класса краевых задач.

После работ М.В.Келдыша и его последователей весьма актуальным стал вопрос о том, образует ли система корневых функций базис в Ь2.

Для обыкновенного, вообще говоря, несамосопряженного дифференциального оператора порядка п еще Биркгофом [5] было введено понятие усиленно регулярных краевых условий. Значительно позже было установлено [6-8], что система корневых функций обыкновенного дифференциального оператора порядка п с усиленно регулярными краевыми условиями образует базис Рисса в Ь%.

Однако, если оставить в стороне работы, посвященные блок-базис-ности (см., например, [9]), то кроме усиленно регулярных краевых условий так и не удалось указать какие-либо другие типы краевых условий, обеспечивающие базисность системы корневых функций. В дальнейшем выяснилось, что эти неудачи были не случайными, а вызваны существом дела. Во всех перечисленных выше работах рассматривались операторы, у которых собственные значения, начиная с некоторого, однократны, а следовательно, система корневых функций

содержит конечное число присоединенных функций.

В 1976 году Н.И.Ионкиным [10] была изучена одна неклассическая задача распространения тепла в однородном стержне. Методом разделения переменных она сводится к краевой задаче

{— (р(х)м')' + ц{х)и = Хи, а < х <Ь, и(а) = 0, и'(а) = и'(Ь),

краевые условия которой в классификации Д.Биркгофа являются регулярными, но не усиленно регулярными. Все собственные значения этой задачи, начиная со второго, двукратны, а общее число присоединенных функций бесконечно. Тем не менее, в работе было установлено, что специальным образом выбранная система корневых функций образует безусловный базис в Ь2{а,Ь).

За последнее время В.А.Ильиным разработан и успешно применяется новый перспективный метод изучения несамоспоряженных дифференциальных операторов. Им было замечено, что при наличии в системе бесконечного числа присоединенных функций свойство ба-зисности в отличие от свойства полноты 1) существенно зависит от выбора корневых функций (для одного и того же оператора с одними и теми же краевыми условиями можно построить замкнутые и минимальные в £2 системы корневых функций, одни из которых могут образовывать базис в ¿2, а другие нет); 2) не определяется только конкретным видом краевых условий, на свойства базисности влияют также значения коэффициентов дифференциального оператора, причем указанное свойство изменяется при каком угодно малом изменении значений коэффициентов в метрике тех классов, в которых заданы эти коэффициенты. Таким образом, в этой ситуации нельзя сформулировать условия базисности в терминах краевых условий.

Рассмотрим формально несамосопряженный обыкновенный диф-

ференциальный оператор произвольного порядка п

Ьи = и(п) +Р1(х)и(га-1:) + ... + рп(х)и, (1)

определенный на некотором интервале С7. Обычно (1) называют формальным дифференциальным выражением, и термин "дифференциальный оператор" употребляют только после присоединения к выражению (1) каких-либо краевых условий. Основанная на этом схема рассмотрения спектральных задач привязана к конкретным краевым условиям и не позволяет охватить системы корневых функций всех несамосопряженных краевых задач с точечным спектром. В связи с этим В.А.Ильин предложил новую трактовку корневых функций, которые понимаются как регулярные решения соответствующего уравнения со спектральным параметром безотносительно к виду краевых условий. Такое рассмотрение включает в себя системы корневых функций всех краевых задач, обладающих точечным спектром, систему экспонент, а также некоторые системы, полученные объединением подмножеств корневых функций двух различных краевых задач.

Как показали работы В.А.Ильина [11 - 15], условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом в несамосопряженной ситуации более естественно выражать в терминах первых членов асимптотических разложений собственных значений Ль и корневых функций по степеням 1/цк, где щ. — специальным образом выбранный корень га-й степени из Ад,, и в терминах соотношений между нормами корневых функций. Тем более, что для конкретных краевых задач давно разработаны методы отыскания асимптотических разложений собственных значений и корневых функций по степейям 1 !цк- Поэтому полученные в терминах первых членов этих разложений условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом являются вполне конструктивными.

В работах [11 - 13, 15] требуется, чтобы рассматриваемая система

обобщенных корневых функций оператора (1) удовлетворяла следующим двум условиям А: 1) для некоторого фиксированного р > 1 была замкнута и минимальна в LP(G); 2) чтобы указанные выше числа /х*. удовлетворяли неравенствам

| Im/Xfcl < const (для всех к £ N), (2)

1 < const (для всех /х > 0). (3)

Центральными результатами этих работ являются следующие две теоремы.

Теорема 1 (В.А.Ильин). Для того чтобы произвольная система {uk(x)}^' обобщенных корневых функций оператора (1), удовлетворяющая при фиксированном р > 1 двум условиям Л, обладала свойством базисности в Lp на любом компакте основного интервала G, необходимо и достаточно, чтобы для любого компакта Ко интервала G существовала постоянная С (Ко), обеспечивающая справедливость для всех номеров к неравенства

IMIMWO • IMIMO < с(к0), (4)

в котором q = р/(р — 1) и {vkix)}™ — система, биортогонально сопряженная К {tifc(x)}j°.

Теорема 2 (В.А.Ильин). Для того чтобы при фиксированном р > 1 разложения произвольной функции f(x) из класса LP(G) по произвольной системе обобщенных корневых функций оператора (1), удовлетворяющей при том же р > 1 двум условиям А, и в тригонометрический ряд равносходились равномерно на любом компакте интервала G, необходимо и достаточно, чтобы для любого компакта Ко

интервала G существовала постоянная С(К0), обеспечивающая справедливость для всех номеров к неравенства (4), в котором q = р/(р—1) (q = оо при р — 1).

Отметим, что даже для систем экспонент обе теоремы 1 и 2 являются новыми и содержат утверждения, не вытекающие из работ всех предыдущих авторов.

Доказательства теорем 1 и 2 базируются на применении формулы среднего значения Е.И.Моисеева [16].

В работе [14] на интервале G рассмотрен дифференциальный оператор второго порядка

Lu = u" +pi(x)u' +Р2(х)и (5)

при минимальных требованиях гладкости на его коэффициенты. Основной результат этой работы утверждает

Теорема 3 (В.А.Ильин). Пусть {iifc(x)}f —произвольная полная и минимальная в ¿2(C) система корневых функций оператора (5), для которой справедливо неравенство (2) и у которой длины всех цепочек корневых функций равномерно ограничены. Пусть далее, система {?->*; (я) }i°, являющаяся биортогонально сопряженной к системе состоит из корневых функций оператора L*, формально сопряженного к оператору (5). Тогда для того, чтобы система {ukix)}^0 являлась безусловным базисом в L2(G), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенство (3) и неравенство

IKIU2(G) • IKHl2(G) < const (для всех k € N).

В дальнейшем, для краткости, будем называть условие (2) карле-мановским, условие (3) — условием "сумма единил".

Цель работы. Исследуется проблема базисности в Lp, 1 < р < 00 (и, в частности, связанные с ней проблемы равномерной минимальности в Lp, 1 < р < оо; необходимость карлемановского условия и

условия "сумма единиц") систем корневых функций обыкновенных линейных нссамосопряжеяных дифференциальных операторов произвольного конечного порядка п.

Научная новизна. Все доказанные в работе теоремы и леммы являются новыми.

В работе получены следующие основные результаты:

— установлены оценки норм корневых функций оператора (1); установлена конечность ранга собственных функций оператора (1); рассмотрен вопрос об отсутствии конечных точек сгущения последовательности собственных значений оператора (1); исследовано распределение собственных значений оператора (1) при условии равномерной минимальности в ¿р(С) (1 < р < ос) систем корневых функций и, в частности, доказана необходимость условия " сумма единиц"; доказала равномерная ограниченность ранга собственных функций при условии равномерной минимальности в ЬР(С) (1 < р < оо) систем корневых функций оператора (1);

— доказана необходимость карлемановского условия для базисно-сти в ЬР(С) (1 < р < оо) систем корневых функций дифференциального оператора второго порядка; установлен критерий базисности в £2 (С) систем корневых функций дифференциального оператора второго порядка; доказано, что среди систем корневых функций, связанных с дифференциальными операторами второго порядка, отсутствуют базисы условные в Ь2(С)\ установлены необходимые и достаточные условия слабой сходимости в ЬР{С) (1 < р < оо) биортогональ-ных разложений по системе корневых функций дифференциального оператора второго порядка.

Приложения. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в спектральной теории дифференциальных операторов; при изучении базисности неортогональных систем функций (в частности, систем экспонент); при обосновании ме-

тода Фурье решения задач математической физики; при исследовании некоторых задач теории упругости и квантовой механики, приводящих к изучению несамосопряженных дифференциальных операторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре академика В.А.Йльина, проф.

A.А.Дезина, проф. Е.И.Моисеева (ВМиК МГУ), на семинаре проф.

B.Д.Будаева (Смоленский государственный педагогический институт), а также послужили основой доклада на I Республиканской конференции по механике и математике (Баку, 1995).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав (разбитых на параграфы) и списка литературы. Объем работы 168 страниц, включая 14 страниц списка литературы, содержащего 109 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, а также кратко излагаются основные результаты диссертации.

На произвольном конечном интервале (3 = (а; Ь) вещественной оси рассматривается формальный дифференциальный оператор (1) с ком-плекснозначными коэффициентами Р]{х) 6 (С) {з — 1, п).

Обозначим через -Оп(С) класс функций, абсолютно непрерывных вместе со своими производными до (п — 1)-го порядка включительно на замкнутом интервале С(Д>(С) = 1а (С?)).

Регулярным на б решением уравнения

Ьи+ А« = /, (б)

где А € С и / 6 Ь\(С), будем называть произвольную комплексно-значную функцию и(х) £ £)„(С), удовлетворяющую почти всюду в С уравнению (6).

Под собственной функцией оператора (1), отвечающей собственному значению А, будем понимать любое отличное от тождественного нуля регулярное на Сг решение уравнения Ьуо + Хуо = 0.

Аналогично, под присоединенной функцией этого оператора порядка т (т > 1), отвечающей тому же собственному значению А и собственной функции уо(х), будем понимать любое регулярное на С решение уравнения Ьут + Аут = ут-г-

Каждую собственную функцию будем считать присоединенной функцией порядка 0.

Рассмотрим произвольную систему {«^(з:)}^, состоящую из собственных и присоединенных функций (СПФ) оператора (1). Потребуем, чтобы вместе с каждой присоединенной функцией порядка т > 1 эта система содержала также соответствующие ей собственную функцию и все присоединенные функции порядка меньше т. Это означает, что каждый элемент системы {«^(х)}^ не равен то-

ждественно нулю, принадлежит £>П(С) и почти всюду в С удовлетворяет либо уравнению Ьик+Х^и^ = 0 (в этом случае ид,(х) — собственная функция оператора Ь), либо уравнению Ьи/, + Хьик — ии(к)^ где I'(к) однозначно определяется номером к и у{кл) ф и{к2) при к\ ф к2 (в этом случае А^ = Х,у^), ик(х) — присоединенная функция порядка т > 1, и^^х) — присоединенная функция порядка т — 1).

Наряду с собственным значением А к будем использовать спектральный параметр который мы, следуя В.А.Ильину, определим равенством

' [(-1)п/2(-А<,)]1/п,

. (¿А*)1/п,

если п четно,

если п нечетно и 1т Хк > 0, если п нечетно и 1т А*, < 0,

где [гехр(гу?)]1^'г = г1/"ехр(гуз/п) при —7г/2 < у < Зя"/2.

В главе 1 получены оценки норм корневых функций, доказана теорема о конечности ранга собственных функций и рассмотрен вопрос об отсутствии конечных точек сгущения последовательности собственных значений.

Пусть 1 < р < оо, 1 < г < оо, я = 0,п — 1, / Е ¿о = 8ир{(5 : 0 < 6 < шее (2, 16 • 2" • еп2п+1 5ир НЗП^г^) < !}•

0<Ь-ti<i

В §1.1 показано (лемма 1.1.2 и теорема 1.1.1), что любое регулярное на С решение и(х) уравнения (6) удовлетворяет оценке

где —произвольный сегмент длины шш{1, ¿о, содержащий

точку х и содержащийся в О, а константа не зависит от А, р, р, г, й, х и зависит лишь от коэффициентов оператора.

Как следствие оценки (7) в §1.2 получены (теорема 1.2.1) следующие оценки корневых функций:

а) если ик(х) — собственная функция

!«<*>(*)! <соп81 • (1 + /0'+*{1М1мс,)+ + (ИчхГп+*-*||/||ьг{0<1)},

(7)

(8)

\и[«\х)\ < сопз1. (1 + ЫГ+*|М|М01(1ь1); (9)

б) если ы/ь(х) — присоединенная функция

П4Я)|1оо <СОП81.(1 + ЫГ+Н|К||р+ + (1 +

(Ю)

где || • ||р обозначает норму в ЬР(С), С?|М1| —- то же, что и выше, константы не зависят от Цк, р, г и я (константы в оценках (9) и (11) также не зависят он), а зависят лишь от коэффициентов оператора.

Оценки (8) - (11) получены без каких-либо предположений о спектре, а константы в (9) и (11) не зависят от порядка присоединенной функции ик{х).

Отметим, что оценки, аналогичные (8) - (11) при г = р, были получены также В.Д.Будаевым [17] для дифференциальных операторов с гладкими коэффициентами (Р](х) £ (С), ] = 1,п).

Следуя В.А.Ильину, оценку Ьр —нормы корневой функции м„(Чс)(-7:) через Ьр — норму функции Пк(х) будем называть антиаприорной оценкой.

Часть результатов диссертации получены при выполнении одной из следующих антиаприорных оценок:

Антиаприорная оценка 1. Существуют положительная непрерывная функция £ > 0 и положительная постоянная е такие, что для любой присоединенной функции и^{х) справедливо неравенство

1Ы*о11<^1(Ы)тГ£1К11р' (12)

где тпк — порядок присоединенной функции '«¿.(ж).

Антиаприорная оценка 2. Существует положительная функция I > 0, такая, что для любой присоединенной функции иь(х) справедливо неравенство

1К^||р<^2(|^|)||^||р. (13)

Антиаприорная оценка 3. Существуют положительные посто-

янные К и е такие, что для любой присоединенной функция и^(х)

справедливо неравенство

1К(*)Пр < Кт'~е{1 + ЫГ-ЧКНр, (14)

Антиаприорные оценки впервые были установлены В.А.Ильиным [11] для обыкновенных дифференциальных операторов порядка п с гладкими коэффициентами, затем им же были перенесены на случай эллиптических операторов [18]. В дальнейшем установлению антиаприорных оценок было посвящено много работ. Эти оценки использовались многими авторами при исследовании вопросов сходимости спектральных разложений.

Как известно (см. теорему 1.2.2 в [17]), произвольная система корневых функций оператора (1), без каких-либо предположений о его спектре, может быть модифицирована с сохранением собственных функций таким образом, чтобы была выполнена оценка антиаприорного типа

П^счИр^^О + ЫГ-МКНР. (15)

с константой М, не зависящей от (Хк- Более того, можно добиться выполнения оценки (15) с любой наперед заданной положительной константой, в том числе и с константой М = 1. Поскольку оценка (15) является частным случаем антиаприорных оценок (12) - (14), тем самым становится оправданным предположение о справедливости антиаприорных оценок (12) - (14), фигурирующее в некоторых результатах диссертации.

§1.3 - 1.4 носят вспомогательный характер. В §1.3 вводятся основные понятия (в частности, понятия базиса, безусловного базиса, равномерной минимальности), и исследуются некоторые свойства равномерно минимальных семейств.

Пусть X — банахово пространство, Т — некоторое не более чем счетное множество, X = {х^ : к 6 Т} — семейство векторов пространства X. X называется равномерно минимальным семейством,

если

d(*)=mf{dist(xfc||:rfc|r\ V(Xj : j£T\{k})) : к E T} > 0,

где V(*) — замыкание линейной оболочки множества (■), || ■ || — норма в пространстве X. Отметим, что каждый базис пространства X является равномерно минимальным семейством.

$ 1.4 посвящен установлению необходимых условий слабой сходимости последовательностей и рядов в банаховых пространствах.

Всюду в дальнейшем предполагается, что р — фиксированное число, 1/р + l/q — 1 и, если специально не оговорено, 1 < р < оо.

В §1.5 доказывается следующая теорема о конечности ранга собственных функций.

Теорема 1.5.1. Пусть {^(ж)}^ — произвольная равномерно минимальная в Lp(G) система, состоящая из СПФ оператора (1), и выполнена антиапрнорная оценка (12). Тогда ранги собственных функций конечны.

В заключительном, шестом параграфе первой главы устанавливаются условия (в частности, характер поведения коэффициентов биор-тогональных разложений, равномерная минимальность, базисность), обеспечивающие отсутствие конечных точек сгущения последовательности собственных значений. В этом параграфе доказаны следующие утверждения.

Теорема 1.6.1. Пусть {ufc(x)}i° — произвольная система, состоящая из СПФ оператора (1), и выполнена антиапрнорная опенка (13). Если для произвольной функции f(x) £ Lq{G)

lim (/jUfc)|K||^ =0,

к—> оо

то последовательность не имеет конечных точек сгущения.

Следствие 1.6.1. Пусть {"¿(я)}!0 — произвольная система, состоящая из СПФ оператора (1), и выполнена антиаприорная оценка (13). Если {«^(а;)}^ образует базис пространства Ьр(С) (1 < р < оо), то последовательность {рк}^1 не имеет конечных точек сгущения.

Теорема 1.6.2. Пусть — произвольная равномерно мини-

мальная в Хр(С) система, состоящая из СПФ оператора (1), и ранги собственных функций конечны. Тогда последовательность {цк}Т не имеет конечных точек сгущения.

Следствие 1.6.2. Пусть {ик{х)}^ —произвольная равномерно минимальная в ХР(С) система, состоящая из СПФ оператора (1), и удовлетворяется антиаприорная оценка (12). Тогда последовательность {рк}Т не имеет конечных точек сгущения.

Теорема 1.6.3. Пусть {^(х)}]*3 — произвольная оптимальная в £,,((?) (1 < р < оо) система, состоящая из СПФ оператора (1), и пусть выполнены следующие условия:

2) ранги собственных функции конечны,

3) система биортогонально сопряженная к {ик(х)}^°, состоит из СПФ сопряженного оператора Ь*,

4) выполняются антиаприорная оценка (13) и соответствующая опенка для системы {«¿(х)}^.

Если при любом / 6 ЬР(С) последовательность {(/, 1>к)ик(х)}^° слабо сходится к нулю в то последовательность не име-

ет конечных точек сгушения.

Отметим, что в теореме 1.6.1 и следствии 1.6.1 антианриорная оценка (13) может быть заменена на условие конечности ранга собственных функций, а в теореме 1.6.2 и следствии 1.6.2 условие равномерной минимальности в ЬР(С) системы {^(х)}^ может быть заменено на условие базисности в £р(<7) (1 < р < оо) системы {ик(х)}^°.

В главе 2 исследовано распределение собственных значений оператора (1) и доказана равномерная ограниченность ранга собственных функций.

В §§2.1, 2.2 получено представление регулярного на С решения уравнения и^ + р^и = что в дальнейшем является основным аппаратом исследования.

Пусть шх, Ш2,...,№п — все различные корни п-й степени из (—1),

I/ = 0,2п — 1 и

с s и7Г ^ ^ (" + 1)7Г1 Sv = \P ■ — < argр< --— },

Tl п

Тид = Ти,2 = S„ (если п четно),

rp г VK +

lv,i = \Р '■ — < argр < -—-——} (если п нечетно),

(2о + 1)тг (1/+1)тг

lv,2 — {Р ---< argр < -- (если п нечетно).

2 п п

Доказывается (теорема 2.2.1), что если F(x) 6 L\{G) и ре T„td, то

для любого регулярного на G решения уравнения и^ + //"' и = F

справедливо представление

гт2

= £ МрщУ схр(/JWjX)--f 2 F(f)Kit(*: P) <it,

jri np 1 JTl

\Kit(x,t,p)\ <

\P\' (i.feR^jii^eU

где я = 0,п — 1, Т\ и г2 — произвольные точки отрезка С, Т\ < х < т2, В5 (] — 1,п) — некоторые постоянные, зависящие от тх и г2, р) — ядро, для которого справедливо неравенство

~п + 1" 2

Здесь квадратные скобки означают целую часть числа. Отметим, что функция I, р) выписывается в явном виде.

§2.3 посвящен исследованию распределения собственных значений оператора (1). Основными результатами этого параграфа являются следующие утверждения.

Теорема 2.3.1. Пусть {«^(а;)}^3 — произвольная равномерно минимальная в Ьр(С) система, состоящая из СПФ оператора (1). Тогда существует положительная постоянная А такая, что для произвольного А € С количество собственных функций, соответствующих тем собственным значениям А к, для которых

|А* - А| < Д(1 + |Л|{"-1)/п),

не превосходит п.

Теорема 2.3.2. Пусть {«¿¡(о:)}^ — произвольная равномерно минимальная в Ьр{С) система, состоящая из СПФ оператора (1). Тогда существует положительная постоянная 6 такая, что для произвольного /х 6 С количество собственных функций, соответствующих тем спектральным параметрам р.к, для которых

\Цк ~ < <5,

не превосходит п при четных п и не превосходит 2п при нечетных п.

Теорема 2.3.2 допускает уточнение. В действительности, при нечетных п для произвольного /х £ С

1) количество собственных функций, соответствующих тем спектральным параметрам р.к, для которых

\Цк - /х| < <5 и 1тА/ь > О,

не превосходит п,

2) количество собственных функций, соответствующих тем спектральным параметрам рк> Яля которых

- < 6 И 1тА/ь < О,

не превосходит п.

Из теоремы 2.3.2 и последующего уточнения, в частности, следует, что если {и/ь^)}!0 — произвольная равномерно минимальная в Ьр (С) система, состоящая только из собственных функций оператора (1), то существует положительная постоянная 6 такая, что для произвольного /I £ С справедливы неравенства

У^ 1 < п (если п четно),

У] 1 < 2п (если п нечетно), 53 ^ — п> 53 ^ — п' (если п нечетно).

1га Ак >0 1т А»<0

Впервые результаты такого типа установлены В.А.Ильиным, И. И о [19] для произвольного самосопряженного неотрицательного расширения оператора Штурма-Лиувилля с коэфициентами (я) = О, Рг(я) £ Ьр(б) (р > 1). Ими доказано, что если {иь(х)}?° — полная ортонормированная в /^(С) система собственных функций указанного расширения, а — соответствующая система собственных значений, то имеет место неравенство

У] 1 < С (для любого вещественного £), ¿<-\АГ<<+1

где С — некоторая постоянная (предполагается, что л/Хк >0). В дальнейшем этот результат обобщен В.Коморником [20, 21] на случай бесселевой в ¿2 (С) системы собственных функций дифференциального оператора произвольного порядка с коэффициентами р\ (х) = О, Р]{х) £ Ь\(С?) (з = 2, п): для произвольного р. £ С имеет место

53 1 < М(1 + | йе^) (если п = 2),

1 < М( 1 + |/х|) (если п > 2),

Аналогичный теореме 2.3.2 результат для дифференциального оператора порядка п < 4 при условии pi(x) = 0, х G G получен в [22].

Отметим, что результаты этого параграфа свойственны лишь обыкновенным дифференциальным операторам. Хорошо известно [23], что можно указать такое несамосопряженное расширение оператора Лапласа в прямоугольнике D, что каждое из чисел наперед заданного счетного множества вещественных чисел является собственным значением бесконечной кратности, причем каждому собственному значению соответствует бесконечно много собственных и бесконечно много присоединенных функций. И при этом множество всех корневых функций образует безусловный базис в L^D).

В §2.4 доказана следующая теорема о равномерной ограниченности ранга собственных функций.

Теорема 2.4.1. Пусть {tifc(x)}J° — произвольная равномерно минимальная в LP(G) система, состоящая из СПФ оператора (1), и выполнена антиаприорная оценка (14). Тогда ранг собственных функций равномерно ограничен.

Ранее равномерная ограниченность ранга собственных функций доказана Л.В.Крицковым [24] для систем корневых функций обыкновенного дифференциального оператора второго порядка, при условии, что эта система образует почти нормированный базис пространства LP(G), 1 < р < оо.

В.Д.Будаевым (см. теорему 3.6.1 в [17]) установлено, что равномерная ограниченность ранга собственных функций необходима для безусловной базисности в Z^G) системы корневых функций дифференциального оператора четного порядка с гладкими коэффициентами (при условии выполнения карлемановского условия и антианриор-

ной оценки (14) при е — 1/2).

В §2.5 доказывается одно вспомогательное утверждение о покрытиях.

§2.6 посвящен условию "сумма единиц". Основным результатом этого параграфа является следующая теорема.

Теорема 2.6.1. Пусть {ufc(x)}^3 —произвольная равномерно минимальная в LP(G) система, состоящая из СПФ оператора (1) и ранг собственных функций равномерно ограничен. Тогда существует положительная постоянная С\ такая, что для любого fi > 0 справедливо неравенство

J2 1<C*(1+ sup |Im/ifc|).

Из этой теоремы, в частности, следует, что если дополнительно выполнено еще и карлемановское условие, то для любого р > 0 справедливо неравенство

£ 1 < с\ (16)

где С* — некоторая положительная постоянная.

В работе [25] установлено, что неравенство (16) является необходимым условием безусловной базисности в L2{G) системы корневых функций дифференциального оператора второго порядка (при условии выполнения карлемановского условия и равномерной ограниченности ранга собственных функций).

В дальнейшем В.Д.Будаевым (см. теорему 3.5.1 в [17], также [26]) установлено, что неравенство (16) является необходимым условием бесселевости в L2(G) системы нормированных корневых функций {ufc(x)||ufc||2 г}1° дифференциального оператора четного порядка с гладкими коэффициентами. Аналогичный результат получен И.С.Ломовым [27, 28] для почти нормированных систем корневых

функций дифференциального оператора произвольного порядка. Результаты обоих авторов получены при условии выполнения карлема-новского условия и равномерной ограниченности ранга собственных функций.

В третьей главе диссертации исследуются необходимые и достаточные условия базисности в Хр(С?) (1 < р < оо) системы корневых функций оператора

Ьи = и" + д(ж)и (17)

при условии, что в (17) д(х) £ -£ч(С?). В конце этой главы также установлены необходимые и достаточные условия слабой сходимости в ЬР[С1) (1 < р < оо) биортогональных разложений по системе корневых функций оператора (17).

Отметим, что все результаты этой главы естественным образом обобщаются на случай оператора Ьи = и" + р\(х)и' + р2(х)и, где М*)е А(С),Р2(х) еЬх(С).

В §3.1 вводятся основные понятия, а также получено представление (следствие 3.1.1) корневых функций оператора (17).

§3.2 посвящен доказательству некоторых вспомогательных утверждений, необходимых в дальнейшем.

В §3.3 доказана необходимость карлемановского условия для базисности в ЬР(С) (1 < р < оо) системы корневых функций оператора (17), что является одним из центральных результатов диссертации.

Символом Ь* обозначим оператор, формально сопряженный к оператору (17), а именно Ь*ь = + д(ж)и.

Теорема 3.3.1. Пусть {и^(х)}^ю — произвольная минимальная в ЬР(С) (1 < р < оо) система, состоящая из СПФ оператора (17). Пусть выполняются следующие два условия:

1) ранг собственных функций равномерно ограничен,

2) система биортогонально сопряженная к {ик(х)}^°, со-

стоит из СПФ оператора Ь*.

Если {'^(х)}^ образует базис пространства Ьр(р), то существует постоянная Со такая, что для всех номеров к справедливо неравенство

|1т/хь( < С0.

Ранее С.К.Ворониной [29] получен аналогичный результат при р = 2 для оператора 1и = и" + д(х)и, х е (0; 1), где д(х) е ¿2(0; 1), T¿(гí) = 0 (г = 1,2) — краевые условия, где

Т{(и) = <щи(0) + аа«'( 0) + айи(1) + а,-4«'(1),

причем Гц (и), Т-2.{и) линейно независимы и каждой собственной функции соответствует не более одной присоединенной функции.

Отметим, что в теореме 3.3.1 свойство базисности в Ьр(С) системы может быть заменено на условие

ниР1Ы1Р- 1Ы1ч < оо, к

где 1 /р 1/д = 1. После такой замены теорема 3.3.1 будет справедливой и в случае р = 1.

Теорема 3.3.1 и результаты предыдущих глав позволяют обосновать в §3.4 следующие утверждения.

Теорема 3.4.1 (критерий базисности в Пусть {^(х)}^ — произвольная полная в Ь2 (С) и минимальная система, состоящая из СПФ оператора (17), и пусть выполнены следующие условия:

1) ранг собственных функций равномерно ограничен,

2) система биортогонально сопряженная к (и*!(х)}^3, состоит из СПФ оператора Ь* и полна в ¿2(С).

Тогда необходимым и достаточным условием базиспости в Ь2 (С?) системы является существование постоянной С\, обеспечи-

вающей для всех к & N справедливость неравенства

1ЫИЫ|2<С1.

Теорема 3.4.2. Пусть выполняются все условия теоремы 3.4.1. Если система образует базис пространства Ь2(С), то она также

образует безусловный базис этого пространства.

Теорема 3.4.2 показывает, что среди систем функций, связанных с дифференциальными операторами второго порядка, нельзя построить примеры условных базисов в Ь2(С1), аналогичные примерам, имеющимся в работах К.И.Бабенко [30], М.Ш.Альтмана [31] и И.В.Гапош-кина [32, 33].

Отметим, что аналогичный теореме 3.4.2 результат для почти нормированных базисов пространства Ь2(С) из СПФ дифференциального оператора второго порядка получен в [34].

В §3.5 вводится функция (¿), и устанавливаются некоторые ее свойства. Эта функция играет основную роль при исследовании в §3.6 необходимых и достаточных условий слабой сходимости в ЬР{С!) (1 < р < оо) биортогональных разложений по системе корневых функций оператора (17). В §3.6 доказаны следующие утверждения:

Теорема 3.6.1. Пусть {и^я)} — произвольная минимальная в ЬР{С) (1 < Р < оо) система, состоящая из СПФ оператора (17). Пусть выполнены следующие условия:

1) рант собственных функций равномерно ограничен,

2) система {«^(х)}^, биортогонально сопряженная к состоит из СПФ оператора Ь*,

3) последовательность является монотонно возрастающей.

Если при любом / 6 ряд

Х)(/,»1ьИ (18)

¿=1

слабо сходитсяв пространстве ЬР(С1), то существуют постоянные С1 и С* такие, что при всех к Е N и /х > 0 справедливы неравенства

1Ы1р-1Ы1,<С„ £ 1<с*.

М<|/*|ь|<М+1

Теорема 3.6.2 (критерий слабой сходимости в ^(С) биорто-гональных разложений). Пусть {«^(х)}^ —произвольная минимальная в Ь2{С) система, состоящее из СПФ оператора (17), и выполнены условия 1) - 3) теоремы 3.6.1. Тогда необходимым и достаточным условием слабой сходимости в £г(С) ряда (18) при любом / Е Ь-^С) является существование постоянных С\ и С*, обеспечивающих для всех к £ N и /х > 0 справедливость неравенств

1МЬ • 1Ы12 < Сь £ 1 < с*.

Д<|/п|<М+1

Отметим, что в этой теореме, в отличие от теоремы 3.4.1, отсутствует условие полноты в £г(С;) системы {гх£(х)}|°.

В заключении автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту академику Владимиру Александровичу Ильину за постановку проблемы и постоянное внимание к работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // Докл. АН СССР. - 1969. - Т. 185, N. 4.

- С. 739-740.

2. Дж. фон Нейман (J.Neumann). Allgemine Eigenwerttheorie Hermitescher Func-tionaloperatoren // Math. Ann. - 1925. - Bd. 102. - S. 49-131.

3. Келдыш M.B. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамоспоряженных уравнений // Докл. АН СССР. - 1951. - Т. 77, N. 1. - С. 11-14.

4. Келдыш М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов // Успехи мат. наук. - 1971. - Т. 26, N. 4(160). - С. 15-41.

5. Биркгоф Д. (Birkhoff G.D.). Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. - 1908. - V. 9, N. 4 - C. 373-395.

6. Михайлов В.П. О базисах Рисса в L2(0; 1) // Докл. АН СССР. - 1962. - Т. 144, N. 5. - С. 981-984.

7. Кеселъман Г.М. О безусловной сходимости разложений по собственным функциям некоторых дифференциальных операторов // Изв. вузов. Математика.

- 1964. - N. 2(39). - С. 82-93.

8. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы, часть 3. Спектральные операторы М., Мир, 1974. - 661 е..

9. Шкаликов A.A. О базисности собственных функций обыкновенного дифференциального оператора с интегральными краевыми условиями // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. - 1982. - N. 6. - С. 12-21.

10. Ионкин H.H. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференц. уравнения. - 1977. - Т. 13, N. 2. - С. 294-304.

11. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. I // Дифференц. уравнения. - 1980. - Т. 16, N. 5. - С. 771-794.

12. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. II // Дифференц. уравнения. - 1980. - Т. 16, N. 6. - С. 980-1009.

13. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности в Lp и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений и разложений по системам экспонент // Докл. АН СССР. - 1983. - Т. 273, N. 4. - С. 784-793.

14. Ильин В.А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций дифференциального оператора второго порядка // Докл. АН СССР. - 1983. - Т. 273, N. 5. - С. 1048-1053.

15. Ильин В.А. О необходимом условии равносходимости с тригонометрическим рядом спектрального разложения произвольной суммируемой функции // Дифференц. уравнения. - 1985. - Т. 21, N. 5. - С. 371-379.

16. Моисеев Е.И. Асимптотическая формула среднего значения для регулярного решения дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. - 1980. -Т. 16, N. 5. - С. 827-844.

17. Будаев В.Д. Безусловная базисность систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов Дисс. докт. физ.-мат. наук. Москва. 1993.

18. Ильин В.А. О точных по порядку соотношениях между £2 нормами собственных и присоединенных функций эллиптического оператора второго порядка // Дифференц. уравнения. - 1982. - Т. 18, N. 1. - С. 30-37.

19. Ильин В.А., Йо И. Равномерная оценка собственных функций и оценка сверху числа собственных значений оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом из класса Lp // Дифференц. уравнения. - 1979. - Т. 15, N. 7. - С. 1164-1174.

20. Коморник В. (Komomik V.). Upper estimate for the eigenvalues of an orthonormal system consisting of eigenfunctions of a linear operator // Studia Sei. Math. Hung.

- 1982. - V. 17, N. 1-4. - P. 403-408.

21. Коморник В. (Komomik V.). On the distribution of the eigenvalues of an orthonormal system consisting of eigenfunctions of higher order of a linear differential operator // Acta Math. Hung. - 1983. - V. 42, N. 1-2. - P. 171-175.

22. Крицков Л. В. Распределение собственных значений для равномерно минимальных систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов // Дифференц. уравнения. - 1996. - Т. 32, N. 1. - С. 62-70.

23. Барновска М., Ильин В.А. Базис Рисса спектральной задачи с бесконечно-кратными собственными значениями // Math. slov. (CSSR). - 1985. - Т. 35, N. 2. - С. 161-167.

24. Крицкоп Л.В. О необходимых условиях базисности в LP(G) систем корневых функций одномерного оператора Шредингера // Докл. АН СССР. - 1990. - Т. 311, N. 6. - С. 1306-1309.

25. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывпых операторов // Дифференц. уравнения. - 1986. - Т. 22, N. 12. - С. 2059-2071.

26. Будаев В.Д. Необходимое условие базисности Рисса систем корневых функций обыкновенного несамосопряженного дифференциального оператора // Дифференц. уравнения. - 1993. - Т. 29, N. 1. - С. 20-30.

27. Лоиов И. С. Неравенство Бесселя, теорема Рисса и безусловная базисность для корневых векторов обыкновенных дифференциальных операторов // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. - 1992. - N. 5. - С. 42-52.

28. Ломов И. С. О базисности систем нерегулярных корневых векторов дифференциальных операторов высокого порядка // Дифференц. уравнения. - 1993.

- Т. 29, N. 1. - С. 74-86.

29. Воронина С.К. Необходимое условие базисности в ¿2(0; 1) системы собственных и присоединенных функций обыкновенного дифференциального оператора // Дифференц. уравнения. - 1978. - Т. 14, N. 3. - С. 407-417.

30. Бабенко К.И. О сопряженных функциях // Докл. АН СССР. - 1948. - Т. 62, N. 2. - С. 157-160.

31. Альтман М.Ш. О базисах в пространстве Гильберта // Докл. АН СССР. -1949. - Т. 69, N. 4. - С. 483-485.

32. Гапошкин И. В. Одно обобщение теоремы М.Рисса о сопряженных функциях // Матем. сборник. - 1958. - Т. 46(88), N. 3. - С. 359-372.

33. Гапошкин И. В. О безусловных базисах в пространствах Lp (р> 1) // Успехи мат. наук. - 1958. - Т. 13, N. 4. - С. 179-184.

34. Крицков Л.В. О необходимых условиях базисности в LP(G) систем корневых функций одномерного оператора Шредингера // Докл АН СССР. - 1990. - Т. 311, N. 6. - С. 1306-1309.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Керимов Н.Б. Некоторые свойства собственных и присоединенных функций обыкновенных дифференциальных операторов // Докл. АН СССР. - 1986. -Т. 291, N. 5. - С. 1054-1055.

2. Керимов Н.Б. Необходимые условия базисности в ¿2(С) системы собственных и присоединенных функций дифференциального оператора второго порядка // Докл. АН СССР. - 1988. - Т. 299, N. 4. - С. 809-811.

3. Керимов Н.Б. К вопросу о необходимых условиях базисности // Дифференц. уравнения. - 1990. - Т. 26, N. 6. - С. 1121-1129.

4. Керимов Н.Б. О необходимых и достаточных условиях базисности систем корневых функций дифференциального оператора. Тезисы конференции (75 лет Б ГУ). Баку, 1994.

5. Керимов Н.Б. О равномерной минимальности и базисности систем корневых функций дифференциального оператора // Сборник трудов I республиканской конференции по механике и математике. Часть II. Математика. Баку. 1995. -С. 118-121.

6. Керимов Н.Б. О необходимых и достаточных условиях базисности систем корневых функций дифференциального оператора // Дифференц. уравнения.

- 1996. - Т. 32, N. 1. - С. 37-43.

7. Керимов Н.Б. О базисности систем собственных и присоединенных функций дифференциального оператора второго порядка // Докл. РАН. - 1996. - Т. 349, N. 5. - С. 596-597.

8. Керимов Н.Б. О базисности и равномерной минимальности систем корневых функций дифференциальных операторов. I // Дифференц. уравнения. - 1996.

- Т. 32, N. 3. - С. 317-322.

9. Керимов Н.Б. О базисности и равномерной минимальности систем корневых функций дифференциальных операторов. II // Дифференц. уравнения. - 1996.

- Т. 32, N. 4. - С. 470-476.

10. Керимов Н.Б. О базисности и равномерной минимальности корневых функций дифференциальных операторов. III // Дифференц. уравнения. - 1996. -Т. 32, N. 5. - С. 591-598.