Оценки сильного и слабого типов для операторов свертки, существование и эквивалентность обобщенных ортоподобных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Оценки сильного и слабого типов для операторов свертки.

Глава 2. Существование и эквивалентность обобщенных ортоподобных систем.

Пусть р Е [1, оо], q Е [1, оо], 0,7] и - пространства со счетно-аддитивными неотрицательными мерами г] ж р соответственно (см. [19], с. 288-355), Т - оператор, определенный на некотором подмножестве К С Ьр(р,Г],г])} значения которого - функции на

Т называется оператором сильного типа (р, д), если для любой ¡еК Г/€ и

TfWq < С||/||р.

Т называется оператором слабого типа (р, д), р Е [1,оо], д Е [1, сю), если для любой / Е К Т/ - ¿/-измеримая функция и для любого ск > О р{у е О,: Р7Ы1 > «} < (^Иг)'.

Постоянные в обоих неравенствах не зависят от функции /.

При д = оо по определению понятие оператора слабого типа (р, д) совпадает с понятием оператора сильного типа р,я)

Если Т - оператор сильного типа (р: д), то он также оператор слабого типа (р, д), что показывает следующее неравенство:

TfWl = / \ТЦу)\Чи(у) > I \Т/(у)\Чр(у) > уе^:\Т/(у)\>а}

Пи а<и{уеП„: \ТЦу)\>а}.

Значит ач а

Обратное утверждение неверно.

Пусть /(ж) - интегрируемая по Лебегу на каждом ограниченном интервале прямой (—оо, +оо) функция и е ^ 0, определим преобразование

1 е 1 х+е

D£f(x) = -//(*+= - / /т, е о € ж тогда фундаментальная теорема теории интегрирования Лебега утверждает, что

Нт!)е/М = /М почти всюду, т.е. что неопределенный интеграл - почти всюду дифференцируемая функция.

Если р > 1, / Е .//(Д), то также верно, что

Нт/ \DJix)-¡{х)\Чх 0.

Более того, введенная Харди и Литтлвудом около 1930 года максимальная функция (см. [3], а также [15], т. 1 с. 54-61; [20], с. 215, 218; [34], т. 2, с. 178-184, 211-214)

Mf(x) = supDe\f\(x) ефО удовлетворяет оценкам слабого типа (1,1) и сильного типа (р,р), а именно

V/ € L У а > 0 ц{х : Mf(x) > а} < а и при р > 1

V/GF (J \Mf(x)\4x)p <C\\f\\p. (1) R

Неравенство (1) неверно при р — 1. Если взять в качестве f{x) = Х[-1Д]М, получим

Mf(x) =

1+И

- неинтегрируемая функция

1, же [-1,1] 2 , х £ (-оо,-1) и(1,+оо)

Вейнером было обнаружено (см. [9]), что вышеизложенные теоремы, рассматривающие операторы - частные случаи теорем для более широкого класса операторов, возникающих в так называемой эргодической теории, кратко которую можно описать следующим образом. Основной математический вопрос в статистической механике Гиббса-Больцмана относится к существованию определенного типа средних величин по времени. Рассмотрим механическую систему. Ее мгновенное положение описывается путем выделения точки в "фазовом пространстве" S. Начальное положение х по происшествии £ секунд переходит в однозначно определенное новое положение у = ^(х) (функция (р принимает значения в 5). Предположим, что для любой точки х фазового пространства и для любых т, Ь ^((рт(х)) = ^+т(х) (для некоторых механических систем это может быть доказано). Любая числовая величина, определяемая мгновенным положением механической системы задается вещественной функцией / = /(^(ж)), определенной на 5. Обычно / очень сильно колеблется с изменением как, например, в том случае, когда мы рассматриваем силу, с какой действуют молекулы газа на стенки содержащего их сосуда, так как эта сила сильно зависит от числа молекул, отражающихся от стенок в произвольный момент времени. Важна и измерима в лабораторных условиях не т f((pt(x)), а среднее значение ^ /Обычно значение Т можно взять большое (по сравнению со скоростью изменения состояния рассматриваемой системы) с физической точки зрения, чтобы среднее значение на [О, Т] давало хорошее при

1 т ближение для предела lim ф f f((pt(x))dt. И перед математи

Т—у со 1 о кой выдвигается задача определить существует или нет этот предел. Другой вопрос: когда этот предел равен постоянному среднему по пространству ^у / f(s)pi(ds) (fi - мера Лебега в фазовом пространстве S). Если механическая система обладает последним свойством, то ее называют эргодической. Для N операторов D^fix) = jj f f(ipt(x))dt при определенных условиях (на (р, f и т.д.) были получены теоремы о сходимости (Беркхофор), предельная теорема (Ван Нейман), максимальной теореме Харди-Литтлвуда соответствует в этой теории теорема Вейнера. Операторы Ду и De - положительно определенные, в том смысле, что Ду(/(ж)) > 0 почти всюду, если f{x) > 0 почти всюду.

Важнейший случай неположительных операторов, для которых верны подобные теоремы, относится к теории преобразований Гильберта.

Около 1900 года Гильберт ввел оператор

HJ(x) = I = I lim ( 7 + 7)s(x~i]dt =

JW 7Г ' t 7Г €—>+0 J J ' t 00 —OO £ см. [4], а также [17], с. 169-200; [31], с. 37-67).

Его аналогом на отрезке [—7г, 7г] является сопряженная функция впервые упомянутая в работе У. Юнга в 1911 г. (см. [10] с.

361-371, а также [13], с. 11-127, 133; [18]; [20], с. 151-160, 227; [21], с. 213-214).

Сам Гильберт доказал (см. [4] , а также [32]), что его пре

Существование и конечность для почти всех х Е R преобразования Гильберта для / Е -i^(-R), р Е [1,+оо) (т.е. поточечная сходимость операторов Н£ при е —>• +0) доказаны Приваловым, Лузиным и Плеснером в 1919 году (см. [7], [30]).

Хотя оператор Hf(x) существует почти всюду, он может быть неинтегрируемой функцией, что показывает простой пример:

В 1922 году Рисс показал (см. [8]), что если / Е LP(R), образование есть ограниченный оператор из L2{R) в L2(R). = X[0,1 Hf(x) - -(In \х\ - In - 1)1). 1

7Г р Е (1, +оо), то Hf(x) Е L?(R), HJ сходится к Я/ в LP, т.е. и Hf - оператор сильного типа (р,р), р Е (1, +оо).

Наконец, в 1925 году для оператора Hf Колмогоровым была доказана оценка слабого типа (1,1) (см. [5]), и это было первой оценкой слабого типа, а Зигмунд доказал (см. [11]) максимальную теорему для Hef, т.е. показал, что оператор sup \H€f(x)\ - оператор сильного типа (р,р), р Е (1,+оо) и

0<е<1 слабого типа (1,1).

Таким образом, несмотря на существенное различие операторов De и Не, для них имеют место одинаковые теоремы. Заметим, что Hf(x) = f * К(х), если в качестве К (и) взять функцию a Mf(x) = sup |/| * К^х), где К^и) = xi(u). 1

В силу этого можно было попробовать объединить обе теории (эргодическую и теорию преобразований Гильберта), хотя доказательства различались и по форме, и по сложности, опирались на различные свойства операторов De и Не.

В 1955 году М.Котляр опубликовал работу (см. [6]), где объединил теории, рассмотрев функцию К(х), определенную на n-мерном евклидовом пространстве и обладающую следующими свойствами:

К(х) = 0, |ж| > 2 J K(x)dx = О

Rn j \I((x -t) — K(x)\dx < C\t\

Rn

K(x)\ < С m

Положив I<i(x) = У<{%): TJ = f*K{; Hm = E Тц ' i=—m m

Я+ = £ Ti, Котляр исследовал операторы Hf = lim Hmf, г'=0 m—Уоо

H+f = lim H+f и sup iim/, supi/+/, доказав их существоm—m m вание для / G LP, p G [l,+oo), оценки слабого типа (1,1) и сильного типа (р>р), р G (1,+оо).

Частными случаями этих операторов являются оператор Гильберта, максимальный оператор Гильберта. Для этого в качестве К{х) берется функция

1 < kl < 2 О, в противном случае

К{х)

Тогда

Hmf{x) = / ^-dt,

2~т<|ж—i|<2m и lim - оператор Гильберта, sup\Hmf\ — sup|ii£/| m-teo m £>q максимальный оператор Гильберта.

Теоремы об эргодических операторах D^ получаются, если взять

К(х)

1, 1 < \х\ < 2

-1, F| < 1 > О, |ж| > 2 и тогда Я+/ = D2mf - Dif

Т.П. Лукашенко (см. [22], [23]) рассматривал операторы

Wf(x) = sup X) УА*/(я),

ЕоСЕ\еЕо

Hf(x)= Е <р\*№,

ХеЕ

Vf(x) sup

0<€о<€

7°+/) (еЫ*))/(*-*)<**,

VA /о у \Ае£ / где х е В, В С Л — (п, £)-разделенное множество (в любом интервале длины S содержится не более п точек множества

Е), (р - финитная, / (p(x)dx = 0, принадлежит классу Lip 1 R т.е. для любых ж, t £ R \(р(х) — (р(х — t)\ < С|£|) и (f\(x) =

Ар(Аж), Л > 0.

Им было доказано существование операторов для / £ LP(R). р > 1, оценки слабого типа (1,1) и сильного типа (р,р) при р £ (1,+оо). Частными случаями этих операторов при специально подобранных (р и Е являются также оператор Гильберта, максимальный оператор Гильберта, максимальная функция Харди-Литтлвуда.

Оценки сильного типа при р — оо неверны для операторов, рассмотренных Т.П. Лукашенко и М. Котляром, так как они неверны для оператора Гильберта.

В главе 1 настоящей диссертации (см. также работы [35], [36], [37] автора) сделана попытка еще больше расширить класс операторов, для которых остаются верны те же оценки слабого и сильного типа, наложив на функцию ср менее жестки-е условия, а вместо суммирования рассмотрев интегрирование по мере заданной на множестве положительных чисел

Пусть ц - действительная мера на К+ (см. [19], с. 288-355), для которой верно следующее:

Уа>0 / -|^(А)|<С, СУ (0,а) с»

ШХ)\<С, а где константы зависят от ¡1 и не зависят от а.

Теорема 1.1. Пусть ср - комплекснозначная суммируемая функция ограниченной вариации, / <р(х)йх = 0, х2 • (р(х) к абсолютно интегрируемая на Я функция, и существует интеграл / |ж| \(кр(х)\. Тогда оператор д

IV/(х) — эир 0<£<Д * /М удовлетворяет оценкам слабого типа (1,1) и сильного типа (р,р) при р 6 (1,оо), то есть для любого у > 0 и для любой комплекснозначной функции / 6 Ь(Я) еД:И7М>у}|<-||/||ь У для любой / (Е -//(.К) при р (Е (1, оо) тпР<с-тР, где постоянные С зависят только от <р, ¡1 и р.

Пример 1.1. Пусть //(А) = 1п А и четная функция

1, *е(о,1) -1, ¿6(1,2)

Тогда: где

Пусть же/=[й,Ь],е = тах(х — а, Ь — ж), тогда 1 ш, ~(Х[-е,е]*\тх)< j ^A^WH/IW, 1/1S (0,1/*] то есть Mf(x) < W\f\(x), и теорема 1 - более общая, чем теорема Харди-Литтлвуда о свойствах максимальной функции Харди-Литтлвуда (см. [3], с. 215, 218).

Теорема 1.2. Пусть (р - комплекснозначная суммируемая функция ограниченной вариации, f <p(x)dx = 0, х2 • <р(х) R абсолютно интегрируемая на R функция, и существует интеграл / Ы \d(p(x)\. Тогда оператор R А

Hf(x) = lim J ipA * f{x) dfi(A) 5 +0 *

A +00 существует для любой / £ \JLP(R) почти всюду и удовлетвор€[1,оо) ряет оценкам слабого типа (1,1) и сильного типа (р,р) при рЕ( 1,оо) xeR:Hf(x)>y}\<-\\f\\u У

Hf\\p<c-\\f\\p, где постоянные С зависят только от /л и р.

Теорема 1.3. Пусть (р - комплекснозначная финитная функция ограниченной вариации. Тогда оператор: -£ Ё\

У/(х) = вир / + / / рх{1) - *)<** удовлетворяет оценкам слабого типа (1,1) и сильного типа (р,р) при р Е (1,оо), то есть для любого у > 0, для любой е ^(Л): С s G Д : > у}| < У где постоянная С зависит только от (р и и для любой функции / € LP(R), р 6 (1,оо)

Г/И, < С • II/IU где постоянная С зависит только от <р, ¡1 и р.

Теорема 1.4. Если <£> - комплекснозначная финитная нечетная функция ограниченной вариации, то для любой функции / G U LP(R) почти всюду существует оператор: ре[1,оо)

1-Е

Hjf(x) = lim / + Л / УАW

E -> +oo который п.в. равен Hf(x).

Пример 1.2. Пусть нечетная функция (р{Ь) = Х(о,1](0 ПРИ г > 0, /л(\) = 1пА. Тогда

I (рх{г) ¿//(Л) = I (р(М)(1\ = - при г ф о и из теорем 4 и 3 мы получаем теоремы А.Н.Колмогорова и

М.Рисса о преобразовании Гильберта: 00\

1 / —£ OÓ

-оо £ / f(x - t) dt а из теоремы 2 - аналогичные результаты о максимальном преобразовании Гильберта (см. [13], с.11-127, 133 или [20], с. 151-160 и 227).

Пример 1.3. Пусть d^^{X) = и нечетная функция

1, г е (о, 1] -1, *е[-1,0) ip{t) = оо

Тогда

J \<p(\t)dfi(\) = J <p{\t) cos Xd\ = sin о о при t ф 0, и из теорем 2 и 4 мы можем получить оценки

1 £ слабого типа (1,1) и сильного типа (р,р) для оператора —е оо\

Lf(x) = Дт / + / f(x-t) sin -dt, а из теоремы 3 аналогичные оценки для оператора

MLf(x) = sup е>0

-£ 00\ 2 / + / /(я - t) sin -dt

-<x> г }

Стоит однако заметить, что для оператора Гильберта верна не только оценка сильного типа (2,2), то есть неравенство ||#7||2 < С ■ ||/||2, а равенство ||Я/||2 = \\fh- Само же преобразование Гильберта

Я/М = \ (2)

ТТ •> I оо может рассматриваться как континуальный набор коэффициентов Фурье функции /(£), интеграл (2) - как скалярное произведение функций /(£) и что сходно с ортогональными системами.

Теория общих ортогональных систем возникла в начале XX века как обобщение теории тригонометрической системы. Тригонометрические ряды изучались еще в ХУШ-Х1Х веках Даламбером, Лагранжем, Эйлером, Дирихле и др. Систематическое изучение и применение общих ортогональных систем началось с работ Фурье. Результаты и методы теории находят разнообразное применение вне самой теории, в других разделах математики, ее приложениях (см. [12], [15], [17], [19]). Преимущества этих систем разложения заключаются в относительной простоте вычисления коэффициентов Фурье элемента / гильбертова пространства через скалярные произведения ч) fk = где {е*} - ортогональная система, {е&} С Н. Линейная комбинация Е fkek приближает элемент / лучше, чем любая друкеК гая, а именно

II/ - Е ckek\\ > ||/- Е Äet||, кек кек где К - конечное подмножество индексов. Причем равенство достигается только если = Д.

Для ортогональных систем верно тождество Бесселя, по которому легко вычисляется точность приближения / линейной комбинацией Е fkek Для любого множества индексов К: кек

II/- ЕДЫ|2 = II/II2 - Е |Л|21Ы12. кек кек

Из тождества Бесселя следует неравенство Бесселя

II/II2 > £ 1ЛР1Ы12. кек

Если ортогональная система замкнута, то верно равенство Парсеваля

2 v- I ? 1211 ц2 или

1|2 f,g) = J2fk9k\\ek и формула восстановления к

Помимо оператора Гильберта есть множество других систем со сходными с ортогональными свойствами, но без ортогональности и даже состоящие из элементов, не принадлежащих самому гильбертову пространству Н. Преобразование Фурье. Пусть Н = Ь2(К). Для / Е Н определяется у) = / ¡(х)е~2™Чх Д как предел при N —> оо в метрике пространства Ь2 функций N

М(у) = / ¡(х)е~2ж1хЧх.

-ы

Для континуального набора коэффициентов Фурье функции /(у) = (/, е2жгху) верно равенство теорема Планшереля, см. [19], с. 503-507) и формула восстановления

М - / Ку)е2тхЧу. я

Всплески Габора.

Семейство всплесков-функций Габора сохАх) = е2™Ххш(х - к) порождено одной функцией со(х), х £ Я, А и к параметры. Коэффициенты разложения функции / ЖхАЛ = (/^Ал) = / 1(х)шх,н{х¥хя

Д. Габор установил аналог равенства Парсеваля-Планшереля и формулу восстановления (см. [1]).

Теорема (Д. Габор). Пусть и £ Ь1(В) ПЬ2(Щ и К = / \и(х)\2йх. я

Тогда V/ Е Ь2 К я я я и

М = 4/ / ЫхАЛ^АФ^к,

Кяя где последний двойной интеграл понимается как предел в Ь2 при А —оо интегралов от того же выражения по множествам Ях {А £ Я,|А| < А}. Всплески Морле.

Семейство всплесков-функций Морле

ФаАХ) = у/\ас\ а 20 порождено одной функцией ф{х)1 х £ Д, а и (3 - параметры, а £ Д\{0}, (5 £ R. Коэффициенты разложения функции /

ЪаАЛ = (/Ж,/?) = / f(x)^a^(x)dx. R

А. Гроссманом и Дж. Морле доказан аналог равенства Парсеваля-Планшереля и формула восстановления (см. [2]). Теорема (А. Гроссман, Дж. Морле). Пусть ф £ Ll(R)f]L2(R) и 0 < К = / Щ*Ф-с1у < +оо, где ф(у) - преобразование Фурье

R т функции ф. Тогда V/ £ L2

R R R И

R R а где последний двойной интеграл понимается как предел в L2 при б —> +0 интегралов от того же выражения по множествам

R х {а £ R, \а\ > б}.

Преобразование Фурье, всплески Габора, всплески Морле допускают обобщения на топологические группы (см. [24],

25], [33]) с сохранением равенства Парсеваля-Планшереля и формулы восстановления.

Т.П. Лукашенко было дано определение ортоподобных, а затем и обобщенных ортоподобных систем, которые не являются ортогональными, но сохраняют при определенных условиях свойства ортогональных систем и содержат как частный случай ортогональные системы, все вышеперечисленные примеры (оператор Гильберта, преобразование Фурье, всплески Габора и всплески Морле) и многие другие примеры (более

Определение 2.1. Пусть Н ~ гильбертово пространство над полем И или С, а У - пространство со счетно-аддитивной мерой ¡л. Систему {еу}уеу в Н будем называть ортоподобной системой разложения в Н, если любой элемент / Е Н представляется в виде где fy = (/, еу), интеграл понимается как собственный или несобственный интеграл Лебега от функции со значениями в Н, причем в последнем случае есть такое исчерпывание {Yk}f^i пространства Y (все Y& измеримы, Yk С Yk+i для к G N и оо

U Yk = Y), быть может, зависящее от / и называемое подхо-к—1 дящими для /, что функция fyey интегрируема по Лебегу на

Определение 2.2. Пусть Н - гильбертово пространство подробно см. [26], [27], [28], [29]). у

Пи над полем И или С, а У - пространство со счетно-аддитивной мерой ¡1. Пусть {Нк}^=1 - система замкнутых расширяющихся подпространств в Я, объединение которых всюду плот

ОО но в Я (т.е. Нк С Нк+1 для к £ N и и Нк = Я). Систему к=1 еу}уеУ будем называть обобщенной системой в Я (с системой подпространств {Нк}^=1 и индексами из У), если каждый элемент еу есть последовательность {ек}<^=1 элементов Я, и ек - ортогональная проекция ек+1 на Нк.

Определение 2.3. Пусть Я - гильбертово пространство над полем И или С, а У - пространство со счетно-аддитивной мерой Обобщенную систему {еу}уеу будем называть обобщенной ортоподобной системой в Я (с системой подпространств {Нк}^=1 и индексами из У), если любой элемент / £ Нк представляется в виде = / Руе^(у), у где = интеграл понимается как собственный или несобственный интеграл Лебега от функции со значениями в Я, точно также, как в определении 2.1.

Определение 2.4. Обобщенную ортоподобную систему {еу}уеУ в Я (с системой подпространств {Нк}^=1 и индексами из У) будем называть обобщенной ортоподобной неотрицательной системой, если мера ¡1 не-отрицательна.

Определение 2.5. Обобщенную ортоподобную систему {еу}у& в Я (с системой подпространств {Нк}^=1 и индексами из У) будем называть £2-измеримой обобщенной ортоподоб-ной системой, если для любой функции с(у) 6 Ь2(У) со значениями в Л или С, в зависимости от того над каким полем рассматривается Я, функция с(у)еу измерима как функция на У со значениями в Я.

Пример 2.1. Всплески Габора и всплески Морле - орто-подобные системы, если в первом случае в качестве У взять Я2 с мерой сШ/г, Я = Ь2(Я), во втором - У = (Я\{0}) хй с мерой Н = Ь2{Я).

Пример 2.2. Преобразование Фурье и преобразование Гильберта - обобщенные ортоподобные системы.

Пусть Я = Ь2(Я), У = Я с обычной мерой Лебега ¡1 и элементы еку(х) = ехр(27т{ух)х[-к,к](х)> т0 в качестве обобщенной ортоподобной системы получится система функций {ехр(2тух)}уеу, определяющая преобразование Фурье.

Пусть Я = Ь2(Я!), У = Я с обычной мерой Лебега /г и элементы еку(х) = = Т (-г ехр(2ттгу Х[-к,к](1)) (ж)■

Тогда в качестве обобщенной ортоподобной системы выступит система функций ^(у-х)> определяющая преобразование Гильберта.

Для обобщенной ортоподобной неотрицательной системы в Н (когда мера fi неотрицательна) верна следующая теорема (см. [28]):

Теорема (Т.П. Лукашенко). Если {еу}уеу ~ обобщенная ортоподобная неотрицательная система в Н, то для любого элемента / Е Н существует единственная с точностью до эквивалентности (совпадения почти всюду) функция fy на Y, такая что последовательность функций fy = (/, еку) сходится к ней в следующем смысле: lim f \ fy — \2dfi(y) = 0 и выполк—>ооу няется аналог равенства Парсеваля-Планшереля: V/, д Е Н if,g) = (L)ffyg^dfj,(y), где интеграл понимается как собственный интеграл Лебега.

В главе 2 настоящей диссертации (см. также [38], [39]) рассмотрена "обратная задача" - вопрос существования обобщенной ортоподобной системы при наличии оператора, сохраняющего скалярное произведение и доказана следующая теорема:

Теорема 2.1. Пусть А - оператор из сепарабельного гильбертова пространства Н в пространство комплекснозначных или действительнозначных функций, заданных на множестве Y и такой, что V/, д Е Л" A(f)A(g) - измеримая интегрируемая функция, и f,g) = lA(f)Ä(g)d^y).

Тогда в Н существует обобщенная ортоподобная система {e^jj/gy с системой подпространств {Нк} и индексами из У "соответствующая" оператору А, т.е. такая, что для любого ея = fy = Hm (£,)£.

В главе 2 также дано определение эквивалентных обобщенных систем, доказан критерий эквивалентности для обобщенных и обобщенных ортоподобных систем, свойство эквивалентных обобщенных ортоподобных систем, дано второе определение эквивалентных обобщенных систем, которое будет равносильное исходному, если мы ограничимся случаем когда Н сепарабельно, а Y - пространство со счетно-конечной мерой.

Определение 2.6. Оператор А, действующий из Н в пространство функций, заданных на множестве У, назовем оператором, соответствующим обобщенной системе {еу}уеу с системой подпространств {Нк}<^=1 и индексами из У, если

АН) = (¿2) Нт (/, ву), т.е. существует такая функция А(/) к—^оо у не обязательно даже измеримая), заданная на У, что

Определение 2.7. Обобщенные системы {7у}уеу (с системой подпространств Л*) и {еу}г/еу (с системой подпространств 0т) в Н будем называть эквивалентными, если существуют и равны соответствующие им операторы, т.е. если для любого элемента / из Н

Теорема 2.2. (критерий эквивалентности обобщенных систем). Пусть {7у}у<еу с системой подпространств {Л*}^ и {£у}у<Еу с системой подпространств - две обобщенные системы в Н. Соответствующий системе {Еу}уеу оператор А существует и такой, что V/, д Е Н А^)А(д) - измеримая интегрируемая функция, и с||/||. У

Пусть также для любого натурального к существует подпоследовательность натурального ряда {тг}^1 (быть может, зависящая от к), такая что тг^к^е™*) —> 7* при г -Л сю для почти всех у £ У, где 7Г^(/) - проекция элемента / пространства Н на подпространство К.

Тогда существует соответствующий {7у}у^у оператор А, совпадающий с А, то есть обобщенные системы {^у}у<=у и {£у}уеУ эквивалентны.

Следствие 2.1.(критерий эквивалентности обобщенных ортоподобных систем). Пусть У - пространство со счетно-аддитивной неотрицательной мерой ¡1, Н - гильбертово пространство, {7у}у^у с системой подпространств и {£у}уеУ с системой подпространств - две обобщенные ортоподобные системы в Н. И пусть для любого натурального к существует подпоследовательность натурального ряда {т^! (быть может, зависящая от к), такая что при г —> оо для почти всех у £ У. Тогда обобщенные ортоподобные системы {7у}у£у и {еу}уеу эквивалентны.

Следствие 2.2. Пусть У - пространство со счетно-аддити вной неотрицательной мерой ц, Н - гильбертово пространство, {^у}уеУ с системой подпространств {Л*}^ - обобщенная система в Я, {£у}уеу с системой подпространств - обобщенная ортоподобная Х2-измеримая система в Н. И пусть для любого натурального к существует подпоследовательность натурального ряда {тг}^1 (быть может, зависящая от к), такая что при г —>• оо для почти всех у Е У. Тогда {72/}2;еУ является обобщенной ¿^-измеримой ортоподобной системой в Н, эквивалентной {е2/}уеу.

Теорема 2.3.(свойство эквивалентных обобщенных ортоподобных систем). Пусть У - пространство со счетно-аддитивной неотрицательной сг-конечной мерой Н - се-парабельное гильбертово пространство, {7у}уеу с системой подпространств и {£у}Уоу с системой подпространств

1 - две обобщенные ортоподобные эквивалентные системы в Н (соответствующие им операторы А и А совпадают). Тогда для любого натурального к при т —У оо для почти всех у £ У.

Определение 2.8. Пусть У - пространство со счетно-аддитивной неотрицательной сг-конечной мерой ц, Н - сепа-рабельное гильбертово пространство. Две обобщенные ортоподобные системы в Н {7у}уеу с системой подпространств и {£у]уеу с системой подпространств {0т}^=1 будем называть эквивалентными, если для любого натурального к

Аь(£у) 11 при т —> оо для почти всех у Е V.

Заметим, что в случае, если пространство Н сепарабельно, а У - пространство со счетно-аддитивной неотрицательной сг-конечной мерой, то теорема 2.1. доказывает не только существование обобщенной ортоподобной системы, соответствующей оператору А, но и ее единственность с точностью до эквивалентности согласно определению 2.8.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Т.П. Лукашенко за постановку задач, постоянное внимание к работе и поддержку, многочисленные советы.

1. Gabor D. Theory of communication //J. 1.st. Elec. Eng. (London). 1946. V. 93. №3. P. 429-457.

2. Grossman A., Morlet J. Decomposition of Hardy function into square inter-grable wavelets of constant shape // SIAM J. Math. Anal. 1984. V. 15. P. 723-736.

3. Hardy G.H., Littlewood J.E. A maximal theorem with function-theoretical application // Acta Math. 1930. V.54. P.81-116.

4. Hilbert D. Grundzuge einer alligemeinen Theorie der linearen Integralgleich ungen. Lpz. Berlin, 1912.5. ) Колмогоров A.H. Sur les functions harmoniques conjugees et les series de Fourier // Fund. Math. 1925. V. 7. P. 23-28.

5. Kotlyar M. A unified theory of Hilbert transforms and ergodic theorems // Revista Mathematica Cuayana. 1955. vol 1 №2 p. 104-167.

6. Плеснер A.H. Zur Theorie der Konjugierten trigonometrischen Reihen // Mitt. Math Seminar Universität Giessen. 10 (1923). P. 1-36.

7. Riesz M. Sur les functions Conjugees // Math. Z. 1927. V. 27. P. 218-244.

8. Wiener N. The ergodic theorem // Duke Math. Journal. 1939. №5.

9. Young W.K. Konvergens bedingunden für die verwandte Reihe einer Fourier-schen Reihe // Münchener Sitzungsberichte, 1911, 41.

10. Zygmund A. Sur la sommation des series conjuguees aux series de Fourier // B.A.P. 1924. P. 251-258.

11. Бари H.K. Тригонометрические ряды. M.: Физматгиз, 1961.

12. Гарнет Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984.

13. Данфорд Н., Шварц Д. Линейные операторы. Том 1. М: ИЛ, 1962.

14. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1, 2. М.: Мир, 1965.

15. Камынин Л.И. Курс математического анализа. Том 2. М.: Изд. МГУ, 1995.

16. Кашин B.C., Саакян A.A. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1984.

17. Колмогоров А.Н. Избранные труда. Математика и механика. М.: Наука, 1985. Работа 8, с. 40-45.

18. Колмогоров А.Н., Фомин С.Н. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.

19. Кусис П. Введение в теорию пространств Нр. М.: Мир, 1984.

20. Лузин H.H. Интеграл и тригонометрический ряд. М., 1915; изд. 2-е. М., 1951.

21. Лукашенко Т.П. О свойствах максимальных операторов свертки. Доклады АН СССР. 1990. т. 315, N 4, с. 787-789.

22. Лукашенко Т.П. О максимальных операторах свертки. Mathematica Моп-tisnigri. 1993. V. 1. с. 51-72.

23. Лукашенко Т.П. Всплески на топологических группах // Доклады РАН. 1993. Т. 332. №1. С. 15-17.

24. Лукашенко Т.П. Всплески на топологических группах // Известия РАН. Сер. матем. 1994. Т. 58. №3. С. 88-102.

25. Лукашенко Т.П. Системы разложения, подобные ортогональным // Фундаментальная и прикладная математика. 1997. Т. 3. №2. С. 487-517.

26. Лукашенко Т.П. Ортоподобные неотрицательные системы разложения // Вест. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 1997. №5. С. 27-31.

27. Лукашенко Т.П. Обобщенные системы разложения, подобные ортогональным // Вестник Московского университета. Сер.1, Математика и механика. 1998. №4. с. 6-10.

28. Лукашенко Т.П. О коэффициентах систем разложения, подобных ортогональным // Математический сборник. 1997. Том 188. №12. с. 57-72.

29. Привалов И.И. Интеграл СаисЬу. Саратов, 1919.

30. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функции. М.: Мир, 1973.

31. Харди Г.Г., Литлвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948.

32. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Т. 1, 2. М.: Наука, 1975.

33. Эдварде Р. Ряды Фурье в современном изложении. М.: Мир, 1975.

34. Семенова Т.Ю. О некоторых максимальных операторах, связанных с операцией свертки // Фундаментальная и прикладная математика. 2000. Т. 6. №2. С. 565-581.

35. Семенова Т.Ю. О некоторых максимальных операторах, связанных с операцией свертки // Тезисы докладов международной конференции "Ломоносов". Москва. 1997. С. 103-104.

36. Семенова Т.Ю. О некоторых максимальных операторах, связанных с операцией свертки // Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы. Воронеж, ВГУ. 1997. С. 152.

37. Семенова Т.Ю. О существовании и эквивалентности обобщенных ортопо-добных систем // Вест. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 2001. №3. С. 10-15.

38. Семенова Т.Ю. Определение и критерий эквивалентности обобщенных ор-топодобных систем. Тезисы докладов 10-й Саратовской зимней математической школы. Саратов, из-во Сарат. ун-та. 2000. С. 127.