Сходимость и оценки коэффициентов разложений по ортоподобным системам тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

1. Ортоподобные системы.

2. Обобщенные ортоподобные системы.ю

3. Цель работы.

4. Обзор литературы.

5. Основные результаты.

Глава 1. Ортоподобные системы в пространстве L2.

§ 1.1 Ортогонализация продолжением на более широкое множество.

§ 1.2 Существование подсистем сходимости почти всюду

§ 1.3 О перестановках рядов по обобщённым ортоподобным системам.

Глава 2. Коэффициенты и разложения //-функций по ортоподобным системам.

§ 2.1 Постановка задачи.

§ 2.2 Оценки типа Хаусдорфа - Юнга - Рисса и Харди

Литтлвуда - Пэли.

§ 2.3 Другие оценки

Глава 3. Z^-функции и отдельные классы ортоподобных систем.

§ 3.1 Оценки для дискретных систем.

§3.2 Оценки для интегрального всплескового преобразования

§ 3.3 Оценки для преобразования Габора.

Отправной точкой настоящего исследования можно считать тригонометрическую систему {етх}пе%, х Е (—7г,7г], всевозможные свойства которой обстоятельно изучались (см., например., [3], [11], [12], [45], [46]), а историю её можно начинать с работ Зйлера и Даламбера о колебании струны и Фурье о распространении тепла. Взяв за основу дальнейшего обобщения свойство ортогональности функций системы, мы перейдем в весьма богатую теорию ортогональных рядов (см., например, [1], [15], [17]).

Оттолкнувшись от равенства Парсеваля

7Г

11/112 = f - £ \U , /п = f f(*y-inX dx,fe L2[-7T, тг], nez „ 7Г придём к понятию фрейма, т. е. такой системы {etXnX}nEz, £ С, на (—7,7], что существуют числа 0 < А, В < оо, для которых выполнено 7 m\l < £| [f(x)e-iXnXdx\2 К ВЦ/Ill при всех / £ L2[—7,7] [51, с. 343]. Это понятие тут же обобщается на случай произвольного гильбертова пространства Н [51, с. 358], [6, с. 99], [34, с. 67]: семейство {v?n} элементов Н называется фреймом в Я, если найдутся такие 0 < А, В < оо, что для любого / Е Н справедливы оценки п

Для всякого фрейма существует двойственный ему фрейм с

ПОМОЩЬЮ КОТОРОГО МОЖНО ВОССТаНОВИТЬ / ПО {(/, <рп)}'- / = см., напр., [6, с. 101-104]). Фрейм называется жёстким [6, с. 99], если А = В, т. е. п

Тогда упрощается и восстановление = (0-2) П

Мл о TTAVz-nTTTrrT т>тх тто fп т> гч-чр: лтл TJ О О Т> О LT1LT t\f*on It! ГЮППГЩ П'ЭПи П П l^t-J^t АЛО!

JL CUOt'iV/lV.^iXXijfi XJ X AjZ-ЦС*» y\J> * LJ j U J^/Uivyv/ 1 V L^^J A A Ltil JL " ^ • "vvvv^' v «/wrv w.

Жёсткими фреймами являются все ортонормированные базисы (ОНБ) гильбертовых пространств, т. е. полные в них ортонормированные системы (ПОНС), но не все жёсткие фреймы являются ОНБ. Приведём простой (даже конечномерный) пример из [б, с. 100]: Н — С2 или К2, рх - (0,1), (р2 = Щ = От,-!), Л здесь равно 3/2. Фреймы и, особенно, жёсткие фреймы обладают свойствами, сходными со свойствами ортонормированных систем (ОНС), — см., например, [51, с. 358-359], [б, с. 100-105]. Преобразование Фурье

А) = f{x)e-iXxdx , Л G М, оо задаваемое системой функций {егЛж}де1к — континуальным аналогом обычной (дискретной) тригонометрической системы, обладает хорошо известными свойствами Ц/Ц2 = H^/lb (равенство Планшереля) и оо f(x) = f (Тf)(X)elXx dX (восстановление в L2(M.)). От него ведёт оо своё происхождение оконное преобразование Фурье или преобразование Габора (см. [52], [6, с. 71], [34, с. 60-61], [20], [54, с. 317]). Для д G L2(R), ||<?||2 > 0, полагаем ды^(х) = ешхд(х — К) (функции, называемые иногда когерентными состояниями), а само преобразование задаётся формулой

Гgf)(w,h)= J f(x)gUth(x)dx.

Для преобразования Габора справедливы (при всех / Е i/2(ffi)) формулы сохранения энергии (нормы) оо оо J f\(^f)(^'h)fdhdu, (0.3) OQ —ОО и восстановления в L2

ОО ОО = щщ/ f(raf)(b>,h)gu,hdh<L,, (0.4) 2 оо —оо где внешний интеграл понимается как lim Г .

Л—>-+оо^

Посмотрев на систему функций {<7w,a}w,/j€IR как на совокупность, полученную из одной функции д действием некоторого семейiti) "У* ства унитарных операторов, и заменив умножение на е сжатием/растяжением вдоль действительной оси, придём к другой интересной конструкции. Назовём функцию ф Е Ь2(М) всплеском (иногда базовым всплеском), если она удовлетворяет условию допустимости оо оо о < с, s 2^МШ-ЧХ = < оо, (0.5) о о и обозначим

Фа,ь{Х) = -U(-у/а \ а J

Семейство {фа,ь}ьеш.,а>о задаёт интегральное всплесковое преобразование (ИБП) или непрерывное вейвлет-преобразование (см. [55], [б, с. 58], [34, с. 63], [20], [54, с. 325]) в виде скалярного произведения изучаемой функции / на функции этого семейства:

WV)(a,b)= / !(х)фа,ь{х) dx, т. е. аналогично случаям ОНС, фреймов, обычного и оконного преобразований Фурье. Для ИВП также имеют место сохранение энергии — аналог формул (0.1), (0.3), равенства Парсеваля и Планшереля, оо оо

• ш1 = к! / . (0-6)

0 -оо и Ь2-восстановление — аналог формул (0.2) и (0.4) оо оо = £-/f mf)(a,b)^bdb^ (0.7) 0 -оо оо где внешний интеграл понимается как lim Г.

Упомянем и двумерное ИБП (см. [6, с. 71], [47, с. 325]). Пусть а > 0, 6 G R , # е Г — [0, 27г), — поворот в плоскости на угол 0, т. е. f cos 6 — sin в А Гв I sin0 cos# / 2

0 < Сф = (2тг)2 [[ < оо.1) (0.8)

J J \к\2

Далее, пусть функция G L2(IR2) удовлетворяет условию

Соответствующая система функций а~1ф(аГ1г6{х-Ь)) задаёт преобразование

W4f)(a,9,b)= m^ffldx, которое при всех / £ Ь2(Ш.2) обладает свойствами

00

11/11 ! = £/ / (0.9)

О т ш?

Здесь преобразование Фурье, конечно, двумерное. и оо

О Т к2

Проведя дискретизацию семейства {ф fr€R,a>(b Т- ОГраНИЧИВШИСЬ значениями a — a™, m е Z, йо > 1, и & = nb^a™, m,n eZ, i>o > О, получим дискретные вейвлет-системы — n&o)}m,?iez (в частности {2~гп^ф(2~гпх — п)}ТО;П€2;, каковой вид имеет, например, система Хаара). Эти семейства при подходящем выборе ф оказываются ортонормированными базисами (базисами всплесков) или фреймами (фреймами всплесков или фреймлетпами).

Различные ОНС (тригонометрическая, Уолша, Хаара, Радемахера, мультипликативные), базисы и фреймы всплесков, базисы экспонент, преобразования Фурье и Габора, интегральные всплесковые преобразования, находят широкое применение в решении многих вопросов теории функций, геометрии, статистики, математической физики, обработки и анализа сигналов, изображений и временных рядов различного происхождения (гео- и астрофизического, медицинского, метеорологического и т. п.), в частности томографии, см. об этом, напр., [2], [4], [6], [7], [33], [34], [35], [47], [48] и указанную в них литературу.

1. Еременко И. О. Аналог системы Хаара в пространствах с мерой // Междунар. школа-конфер. по геом. и анализу, поев. 90-летию со дня рожд. Н. В. Ефимова. Тезисы докладов. — Ростов-на-Дону: КСС, 2000. с. 108-110.

2. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. т. 1. — М.: Мир, 1965.

3. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. т. 2. — М.: Мир, 1965.

4. Ильин В. А. Ещё об одном обобщении неравенства Бесселя и теоремы Рисса Фишера для рядов Фурье по равномерно ограниченным ОНС // Труды МИРАН. - 1997. - т. 219. - с. 211-219.

5. Карагулян Г. А. О выборе подсистем сходимости с логарифмической плотностью из произвольной ОНС // Матем. сборник. 1988. -т. 136, № 1. - с. 41-55.

6. Кичмиж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. — М.: ГИФМЛ, 1958.

7. Кашин Б. С. О выборе подсистемы сходимости из данной ОНС // Успехи матем. наук. -1985. т. 40, № 2. - с. 181-182.

8. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. (2-е изд.) — М.: АФЦ, 1999.

9. Кириллов С. А. О теореме Марцинкевича Зигмунда j j Матем. заметки. - 1998. - т. 63, № 3. - с. 386-390.

10. Лукашенко Т. П. Всплески на топологических группах // Доклады РАН. 1993. - т. 332, № 1. - с. 15-17.

11. Лукашенко Т. П. Всплески на топологических группах // Известия РАН. Сер. матем. 1994. - т. 58, № 3. - с. 88-102.

12. Лукашенко Т. 77. О системах разложения, подобных ортогональным // Международная конфер. по теории приближ. функций, поев, памяти проф. П. П. Коровкина. (Калуга, 26-29 июня 1996г.) Тезисы докладов, т. 2. Тверь: ТГУ, 1996. - с. 135-136.

13. Лукашенко Т. П. Системы разложения, подобные ортогональным // Фундам. и прикл. матем. 1997. - т. 3, № 2. - с. 487-517.

14. Павликов А. Н. Чезаровские средние для систем разложения, подобных ортогональным с неотрицательной мерой // Фундам. и при-кл. матем. 2001. - т. 7, ДО I. - с. 105-119.

15. Павликов А. Я. О чезаровских средних для обобщённых ортоподобных систем разложения // "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Тез. докл. Воронежской зимней матем. школы (27 янв. 4 февр. 2001 г.) - Воронеж: ВГУ, 2001. - с. 208-209.

16. Семёнова Т. Ю. О существовании и эквивалентности обобщённых ортоподобных систем // Вестник Моск. ун-та. Сер.1. Матем. Ме-хан. 2001. - № 3. - с.10-15.

17. Семёнова Т. Ю. Оценки сильного и слабого типов для операторов типа свёртки. Существование и эквивалентность обобщённых ортоподобных систем : Дисс. . канд. физ матем. наук. — М., 2001.

18. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. — М.: Мир, 1974.

19. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. — М.: ГИТТЛ, 1948.

20. Ульянов П. Л. Расходящиеся ряды по системе Хаара и базисам // Доклады АН СССР. 1961. - т. 138, № 3. - с. 556-559.

21. Ульянов П. Л. Расходящиеся ряды Фурье // Успехи матем. наук. -1961. т. 16, № 3. - с. 64-142.

22. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ, т. 2. — М.: Мир, 1975.

23. Эдварде Э. Ряды Фурье в современном изложении, т. 1. — М.: Мир, 1985.

24. Эдварде Э. Ряды Фурье в современном изложении, т. 2. — М.: Мир, 1985.

25. Antoine J.-P. The continuous wavelet transform in image processing // CWI Quarterly. 1998. - v. 11, № 4. - p. 323-345.

26. Averkamp R., Houdre C. Some distribution properties of the CWT of random process // IEEE Trans, on Information Theory. 1998. - v. 44, № 3. - p. 1111-1124.

27. Bullen P. S. Properties of the coefficients of orthonormal sequences // Canadian J. Math. 1961. - v. 13, № 2. - p. 305-315.

28. Daubechies I., Grossmann A., Meyer Y. Painless nonorthogonal expansions // J. of Math. Physics. 1986. - v. 27, № 5. - p. 1271-1283.

29. Duffin R. J., Schaeffer A. C. A class of nonharmonic Fourier series // Trans, of Amer. Math. Soc. 1952. - v. 72, № 2. - p. 341-366.

30. Gabor D. Theory of communication // J. Inst. Elec. Eng. (London) -1946. v. 93, № 3. - p. 429-457.

31. Garsia A. M. Existence of almost everywhere convergent rearrangements for Fourier series of L2-functions // Annals of Math. 1964. - v. 79, № 3. - p. 623-629.

32. Gasquet C., Witomski P. Analyse de Fourier et applications. — Paris: Masson, 1990.

33. Grossmann A., Morlet J. Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant shape j j SI AM J. on Math. Anal. -1984. v. 15, № 4. - p. 723-736.

34. Hardy G. H., Littlewood J. E. Some new properties of Fourier constants // Math. Ann. 1926. - B. 97. - S. 159-209.

35. Hausdorff F. Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes tiber Fourierreihen // Math. Zeit. 1923. - B. 16. - S. 163-169.

36. Hewitt E., Stromberg K. Real and Abstract Analysis. — Berlin etc.: Springer-Verlag, 1975.

37. Kaczmarz S. Notes on orthogonal series. I // Studia Math. 1934. -v. 5. - p. 24-28.

38. Родионов Т. В. О сходимости почти всюду рядов по ортоподобным системам j) Материалы междунар. конфер. студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов", вып. 2. — М.: МГУ,1998. с. 98-100.

39. Родионов Т. В. Коэффициенты разложений функций из пространств I/ по ортоподобным системам // Воронежская зимняя ма-тематич. школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы"(27 янв. 4 февр. 1999 г.) Тезисы докл. — Воронеж: ВГУ,1999. с. 170.

40. Родионов Т. В. Аналоги оценок Харди Литтлвуда - Пэли // Школа-конфер. "Теория функций, её прилож. и смеж. вопросы", поев. 130-летию со дня рожд. Д. Ф. Егорова (Казань, 13 - 18 сент. 1999 г.) — Казань: Каз. матем. об-во, 1999. -с. 189-190.

41. Родионов Т. В. Ортогонализация ортоподобных систем продолжением на более широкое множество // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. 2000. - № 1. - с. 9-12.

42. Лукашенко Т. П., Родионов Т. В. О сходимости рядов по обобщённым ортоподобным системам // Фундам. и прикл. матем.2000. т. 6, вып. 3. - с. 813-829.

43. Родионов Т. В. Существование почти всюду сходящихся перестановок разложений по системам, подобным ортогональным // Фундам. и прикл. матем. 2000. - т. 6, вып. 4. - с. 1263-1268.

44. Родионов Т. В. Обобщение теоремы Харди Литтлвуда - Пэли // "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Тезисы докл. Воронежской зимней математич. школы (27 янв. - 4 февр. 2001 г.) - Воронеж: ВГУ, 2001. - с. 225-226.

45. Родионов Т. В. Аналоги теорем Хаусдорфа Юнга и Харди - Литтлвуда // Известия РАН. Сер. матем. - 2001. - т. 65, № 3. - с. 175-192.