Суммирование разложений по ортоподобным системам функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

Структура работы.

Основные определения.

Обзор предшествующих результатов.

Обзор результатов по

главам.

1 Суммирование ортоподобных рядов

1.1 Суммирование методом (С, 1).

1.2 Суммирование методами (С, а)

1.3 Суммирование по переставленным системам функций

2 Суммирование обобщенных ортоподобных рядов

2.1 Суммирование методом (С, 1).

2.2 Суммирование методами (С, а)

А Примеры

В Задачи

Список обозначений

Структура работы

Работа состоит из введения, двух глав, дополнения, списка основных обозначений и списка литературы из 55 наименований.

В данной работе формулы, леммы и теоремы имеют номера из двух чисел, первое из которых — номер главы, а второе — номер формулы (леммы, теоремы) в этой главе. Определения нумеруются сквозным образом.

Основные определения

Данная работа посвящена исследованию суммируемости разложений по ортоподобным и обобщенным ортоподобным неотрицательным системам разложения. Определения ортоподобных и обобщенных ортоподобных систем разложения вводятся далее.

В работе мы будем придерживаться следующих соглашений.

Систему измеримых комплекснозначных функций определенных на множестве 1С1, будем называть ортогональной, если для любых г ф з выполняется где с,[ — любые постоянные, называется ортогональным рядом. Впервые ортогональные, а именно тригонометрические, ряды рассматривал Л. Эйлер. Он использовал их в теории движения Юпитера и Сатурна (в 1748 г.).

Ортоподобные системы. Т. П. Лукашенко в работах [30], [31] дал определение ортоподобных систем разложения, являющихся расширением класса ортогональных систем. х

Если — счетная ортогональная система, то ряд вида оо г=1

Пусть Я — гильбертово пространство над полем Е или С, а 17 — пространство со счетно-аддитивной соответственно действительной или комплексной мерой ¡1. Систему элементов С Я будем называть системой в Н с индексами из П.

Систему в Я с индексами из О будем называть орпгоподобной подобной ортогональной) системой разложения в Н, если любой элемент у £ Я представляется в виде у = I\у,еГ)Ыр{и>), а где интеграл понимается как собственный или несобственный интеграл Лебега от функции со значениями в Я, причем в последнем случае есть такое исчерпывание {Г^}^ пространства О (все измеримы, О*. С 1 для оо еМ, У Пк = О), что функция (у, еш)е" интегрируема по Лебегу на и к=1 у = I= Ит ^{у,е»)е»йц{ш). а пк

Ортоподобную систему будем называть неотрицательной (с неотрицательной мерой), если П — пространство со счетно-аддитивной неотрицательной мерой

Пусть задано исчерпывание пространства О. Введем следующее обозначение: Еп = Оп\Оп1 для п е при этом считаем, что П0 = 0.

На протяжении всей работы мы будем рассматривать измеримые комп-лекснозначные функции с(со) со значениями в Ж или С (в зависимости от того, над каким полем рассматривается гильбертово пространство Я).

Пусть задана измеримая функция с(ш) с условием $ |с(а;)|2ф(ы) < оо. п

Рядом по системе {еш(ж)}а,ео назовем выражение Л к~гЕк с{ш)еш{х)й/1{ш).

Частичной суммой предыдущего ряда (последовательностью частичных интегралов интеграла / с(си)еи;(х)д/1(о?)) назовем п

Зт(х) = J с(ш)еш{х)в,р,{ш) = ^ £ с(ш)еш(х)(1рь{из). о Л=1 тр. т\

П-т К~~1 Ек

Замечание. Как показано в [33], если ортоподобная система {еш}шеа неотрицательна, а функция с(ш) G L2(Q), то для любой последовательности измеримых множеств образующих исчерпывание пространства Q, и на элементах которого функция с(ш)еш интегрируема по Лебегу, существует один и тот же предел в Н lim {L) f c(w)e?dii(u)). fe-+oo J

Следующие определения охватывают еще более широкий класс систем разложения, включающий в себя ортогональные и ортоподобные системы.

Пусть Н — гильбертово пространство над полем Ж или С, а О — пространство со счетно-аддитивной соответственно действительной или комплексной мерой ц. Пусть {Нп}™=1 — система замкнутых расширяющихся подпространств в Н, объединение которых всюду плотно в Н (т.е. Нп с оо

С Нп+1 для и е Ж и (J Нп = Н), a {ew}w€o — такая система, каждый i элемент еш которой является последовательностью {e^j-^Lj элементов Н и еп — ортогональная проекция на Нп. Тогда систему {e^j-^gfi будем называть обобщенной системой в Н {с системой подпространств {Нп}™=1 и индексами из О).

Обобщенная система будет называться обобщенной системой разложения, подобной ортогональной (ортоподобной) в Н, если любой элемент у G Нп представляется в виде v = j п где у™ = (у, интеграл понимается как собственный или несобственный интеграл Лебега от функции со значениями в Н, причем в последнем случае есть такое исчерпывание {Л^}^ пространства Q (все Л^ измеримы, Л* С оо

С для к Е N , U Ak = Q), что функция интегрируема по fc=i

Лебегу на Л& и

У = I(У,<КМ") = ¿m I(y,<%Kdii(ш).

Ak

Обобщенную систему будем называть неотрицательной (с неотрицательной мерой), если П — пространство со счетно-аддитивной неотрицательной мерой ix.

Замечание. Как показано в [36], если обобщенная ортоподобная система {еа;}а;ео неотрицательна, а функция с(ш) £ то для любой последовательности измеримых множеств образующих исчерпывание пространства Г2, и на элементах которого функции с(со)е% интегрируемы по Лебегу, существует один и тот же предел в Н к->оо nfe который понимается как предел lim (L) f c{Lü)ewdß(u), b-*oo J lim lim(I/) I c{uj)e^dii{(jü) k-*oo n->oo J ftfe в гильбертовом пространстве Я.

Суммируемость. Если последовательность {Sk} расходится, то иногда бывает возможно каким-либо способом поставить ей в соответствие некоторое число в качестве "обобщенного предела". В таких случаях говорят, что последовательность {sk} суммируема этим методом. Если же sj~ — оо частные суммы ряда J2ak> то РЯД называют суммируемым этим методом. fc=i

Одним из важнейших методов суммирования является способ первых средних арифметических; он состоит в том, что вместо первоначальной последовательности {sk} рассматривается последовательность средних величин {ап}, si + . + sn =-, п и обычный предел этой новой последовательности lim ап ставится в со

71—>00 ответствие последовательности как ее "обобщенный предел" ([49], с. 20). Каждая сходящаяся числовая последовательность суммируема способом первых арифметических средних к первоначальному предельному значению. Методы суммирования, обладающие таким свойством, называются регулярными.

Существуют последовательности, которые не суммируемы способом первых средних арифметических, но суммируемы методами средних арифметических высших порядков. Эти методы ввел Чезаро. Мы приведем их здесь в форме, наиболее удобной для рядов.

Для каждого неотрицательного целого п и для каждого а, отличного от —1, —2, —3,., положим а + 1)(а + 2) . (а + п)

-СГ)

711 оо

Мы говорим, что ряд а,к суммируем методом Чезаро порядка а (или, к=1 коротко, (С, а)-суммируем) к в, если последовательность {о^}, п

Е Ап-как

-1 сходится к пределу s при п оо ([49], с. 125). При а = 0 мы получаем обычную сходимость, а при а = 1 — суммируемость первыми арифметическими средними. Число s принимается за "обобщенную сумму" ряда. При а ^ 0 метод суммирования (С, а) является регулярным.

Если «1 > а2, то метод (С, аi) сильнее метода (С, «г), т.е. (С,аг)-суммируемый ряд суммируем и методом (С, o;i). Все методы Чезаро не противоречат друг другу, т.е. если ряд суммируем двумя различными методами (С,а), то обе обобщенные суммы равны между собой.

Метод суммирования Абеля-Пуассона ([49], с. 20), является регулярным методом, более сильным, чем все методы Чезаро, и не противоречаоо щим этим методам. Этот метод состоит в том, что ряду Y1 аь ставится в к—1 соответствие в качестве "обобщенной суммы" предельное значение

00 lim апхп = s, ж—>1 '

0<а<1 п=1 если последнее существует.

Пусть задана измеримая функция с(ш) с условием f \c(cü)\2dß(uj) < оо, исчерпывание пространства О, и ортоподобная неотрицательная система разложения {видеопоследовательность {s™}^, где sf = / интеграл пониnfe мается в собственном или несобственном смысле (как в определении ортоподобной системы), назовем последовательностью частичных интегралов интеграла f с{ш)ё£ь<1^(ш). ü

Последовательность {s*;}^, где Sf- = f c{uj)ewdii(uS), интеграл понимается как предел lim Г с(йл)ё^йр,(иЛ в Н, назовем последовательностью частинных интегралов интеграла f с(и>)ешс1р(ой). а

Последовательность {crim)}^l3 где а^ = ¿(«^Ч-----назовем последовательностью (С, 1)-средних (средних арифметических, чезаровских

1-го порядка) для последовательности {sj^}^, где sj^ — это соответственно sfc или s™.

Последовательность суммируется методом (С, 1)-средних к s, если последовательность {ovj^ сходится к пределу s при п —У оо.

Другие определения и обозначения будут вводиться по мере необходимости. Для удобства в конце работы приведена таблица основных обозначений с указанием страниц, на которых они вводятся.

Обзор предшествующих результатов

Ортогональные системы и разложения по ним широко используются в ряде разделов математики и ее приложениях. Преимущества этих систем и разложений по сравнению с другими заключается в относительной простоте вычисления коэффициентов разложения — коэффициентов Фурье — через скалярные произведения (/, ек)

Jk — и но з

1Ы1 где / — разлагаемый элемент, а {е^} — ортогональная система; в экстремальном свойстве коэффициентов Фурье (линейная комбинация с коэффициентами Фурье приближает элемент лучше, чем любая другая, то есть f-^2ckek\\ > 11/-£Ле*||, кем кек за исключением случая с* = при всех k G К — конечному подмножеству индексов); в легкости вычисления точности приближения через тождество Бесселя кек кек для любого множества индексов К), из которого следует неравенство Бесселя

11Л12» £ 1Л12 ■ ¡Ы12. кек

Еще преимуществами ортогональных систем при дополнительном условии замкнутости (всюду плотности линейных комбинаций системы) являются равенство Парсеваля

II/II2 = £ 1/*12 • NII2, к или, в эквивалентной форме, g) = ^2fkSk\Ы12, к где черта означает комплексное сопряжение, и формула восстановления = к в метрике, определяемой скалярным произведением. Приведенные сведения широко известны и излагаются во многих учебниках и монографиях, например, [17], с.287-298; [28], с. 191-244; [43], с.188-205; [27], с.166-193; [3], с.3-37; [20], с.157-173; [13], с.269-279; [18], с.64-68, 121-131; [50] с. 132-145.

Однако существуют системы разложения, не являющиеся ортогональными, но обладающие многими свойствами ортогональных систем.

Среди таких систем упомянем понятие о почти ортогональных системах из работ Р. Беллмана [4] и Н. Я. Виленкина [5].

Т. П. Лукашенко было дано определение более общих систем разложения — систем разложения, подобных ортогональным (или, более кратко, ортоподобных) [30], [31]. В случае неотрицательной меры /1 эти системы обладают почти всеми свойствами ортогональных систем (см. [32], [33]), в частности для таких систем выполняются равенство Парсеваля, теорема Рисса-Фишера, оценка точности приближения, известная как тождество Бесселя.

В работе [34] Т. П. Лукашенко введено еще одно обобщение понятия ортогональных систем, а именно понятие обобщенных ортоподобных систем, включающих в себя ортогональные и ортоподобные системы. Для этих систем также выполняются аналоги вышеперечисленных свойств ортогональных систем.

Естественно, возникает вопрос, какие еще результаты для ортогональных систем могут быть перенесены на ортоподобные системы? Мы рассмотрели свойства ортогональных рядов. Поскольку ортогональные, в частности тригонометрические, ряды не всегда сходятся, Фейер [48] предложил рассматривать вместо частичных сумм таких рядов их средние арифметические.

Нашей задачей будет выяснение возможности переноса классических результатов, касающихся суммируемости ортогональных рядов методами Чезаро и Абеля, на ортоподобные и обобщенные ортоподобные системы.

Состояние исследований по различным проблемам теории суммируемости ортогональных рядов рассматривалось в обзорных статьях С. Б. Стеч-кина [47], Р. С. Гутера и П. Л. Ульянова [12], И. И. Волкова и П. Л. Ульянова [6], Г. Ф. Кангро [19], в книгах Г. Алексича [1], А. Зигмунда [14], С. Качмажа и Г. Штейнгауза [23], О. А. Зизы [16].

Мы дадим обзор результатов, непосредственно связанных с тематикой данной работы. оо

Сп<Рп(х)

1Ъ~ 1 обращает на себя внимание тот любопытный факт, что при условии оо

Сп\2 < оо и=1 наиболее употребительные методы суммирования, т.е. методы Чезаро и Абеля-Пуассона, с точностью до множества меры нуль дают один и тот же результат. В самом деле, справедлива следующая оо

Теорема А. Если ортогональный ряд ]Г) спсрп(х) А-суммируем почти

71=1

ОО всюду на множестве Е С [0,1], то при выполнении условия \сп\2 < оо он

71=1 также и (С, а)-суммируем почти всюду на Е для любого а > 0.

Эквивалентность (С, 1)- и А-суммируемости почти всюду доказана Кач-мажем [21]. Впоследствии Зигмунд [15] установил эквивалентность почти всюду всех положительных (С, а)-методов и А-суммируемости, а также эквивалентность почти всюду А-суммируемости и сильной (С, а)-сумоо мируемости, а > Напомним, что ряд Сп называется сильно (С,а)~ п—1 суммируемым (а > 0) к з, если выполняется условие ТП к"-1 -з|2 ->• 0 при тех —» оо. п—1 оо

Из теоремы А следует, что при условии \сп\2 < оо методы Чезаро п=1

С, а) в применении к ортогональным рядам дают с точностью до множества меры нуль один и тот же результат. Этот факт позволяет установить эквивалентность, с точностью до множества меры нуль, (С,а)~ суммируемости, а > 0, ортогонального ряда и сходимости некоторых подпоследовательностей его частичных сумм. Прежде всего, справедлива следующая теорема, установленная А. Н. Колмогоровым [26]:

00

Теорема В. Если выполнено условие X) |сп|2 < то для всякой поп=1 следовательности индексов ип, для которой ^ а > 1, справедливо для почти всех х соотношение (х) — а„п (х) = о(1).

При выполнении условия ]Г) \сп\2 < оо из этой очень простой, но важп=1 ной теоремы непосредственно следует, что (С, а)-суммируемость ортогооо нального ряда Сп(рп{х) на множестве Е С [0,1] влечет сходимость почти

П=1 всюду на Е любой подпоследовательности {«^(ж)}, для которой ип+х > дип. Справедливо и обратное утверждение

Теорема С. Пусть заданы две постоянные гид, для которых выполнено г > д > 1, и пусть возрастающая последовательность индексов {уп} удовлетворяет неравенствам д < < г. Тогда при выполнении условия оо сп\2 < оо из сходимости почти всюду на Е С [0,1] последовательности п= 1

6Чг(ж)} следует (С, а)-суммируемость, а > 0, почти всюду на Е ортогооо нального ряда ^ Спфп(х). п=1

С помощью теоремы А из теорем В и С выводится следующая теорема, на которой основана значительная часть теории суммирования ортогональных рядов:

00

Теорема О. Для того чтобы ортогональный ряд ^ сп(рп(х) с коэффип=1

00 циентами, удовлетворяющими условию ^ |с„|2 < оо, был почти всюду на п=1 множестве Е С [0,1] (С, а)-суммируем, а > 0, необходимо и достаточно существование сходящейся почти всюду на Е последовательности {^„(ж)}, для которой 1 < д < < г.

Теоремы С и Б при а — 1 доказаны Качмажем [21], [22], а для всех а > О расширены Зигмундом [15].

В работе [38] Д. Е. Меньшовым показано, что в любой ортонормирован-ной системе на [0,1] содержится бесконечная система сходимости с т/с < т/~+1 при всех к ^ 1. Далее он установил [39] (см. также [42], с. 143-172), что в любой ортонормированной системе на [0,1] найдется последовательность чисел т^ с т^ < тъ+х (к = 1,2,.) такая, что при всех {с^} £ к частные суммы

ТПк п—1 почти всюду на [О, 1] сходятся при к -> оо. Этот последний результат был также получен Марцинкевичем [37]. Отметим, что в этом случае справедливо неравенство 1 тк 0 оо в 2 sup У^Cnfn(t) dt

П—1 71=1 где D — постоянная, зависящая лишь от системы {<рп}.

Пусть Т = Цоп^И — метод Теплица для суммирования последовательностей. Предположим еще, что lim max Iап fei = 0. га-» оо 1^к<со '

Тогда метод Т будем называть Т'-методом. Известно, что всякий метод Чезаро (С, а) с а > 0 удовлетворяет этому последнему условию.

Для таких методов Д. Е. Меньшовым (см. [39], [42], с. 143-172 и [40]) была установлена такая теорема:

Теорема Е. Если задана последовательность Т методов Тт (га = 1, 2,.), то в любой ортонормированной системе функций {(/?„}, определенных на [0,1], можно изменить порядок функций ipn таким образом, чтобы для полученной системы {tpVn\ из условия {Сп} € 1ч следовала бы суммируемость ряда

00 п=1 почти всюду на [0,1] каждым методом Тт (т= 1,2,.).

Отсюда вытекает: в любой ортонормированной системе {<рп} можно изменить порядок функций так, что для полученной системы (р„п из условия оо и} £ к следует суммируемость п.в. ряда Cn<pVn(t) всеми методами

71=1

Чезаро положительного порядка.

К этому же кругу вопросов относится и следующий результат Д. Е. Меньшова ([41], [42], с. 341-350, [38]):

Если дана ортонормированная система функций на 0ТРезке

0,1] и возрастающая последовательность натуральных чисел рт (т = 1, 2,.) с условием limsup(pm+i -рт) = +оо, ш—»оо то в системе {<£>„} можно изменить порядок функций (рп таким образом, чтобы сумма

Рт

П=1 п.в. на [О, 1] сходилась к конечному значению при тоо, когда {с^} € к-Отметим, что главной целью Д. Е. Меньшова при рассмотрении им перестановок ортонормированных систем была старая задача о возможности переставить произвольную ортонормированную систему функций таким образом, чтобы получить систему сходимости. Эта задача, несмотря на усилия многих математиков, до сих пор остается открытой (задача Колмогорова-Меньшова). Как отмечено в [24], эквивалентной формулировкой задачи Колмогорова-Меньшова является вопрос о существовании такой постоянной С, что для любой конечной ортонормированной системы функций {срп}п=1 найдется такая перестановка и = {щ}п=\ набора чисел {1,2,. , Щ, что для любых коэффициентов {сп}п=\

Упомянем также здесь и о результате Гарсиа [8], который показал, что в любом ортогональном ряду ]Г) сп(рп{{) с {с^} е ¿2 можно так поменять га=1 порядок членов, что переставленный ряд сходится почти всюду. Здесь перестановка {г/} зависит от коэффициентов {с„}, тогда как в теореме Е перестановка не зависела от коэффициентов {сп}, а определялась только системой и методами Т'.

Обзор результатов по главам

Первая глава состоит из трех параграфов.

Первый параграф главы посвящен исследованию суммируемости разложений по неотрицательным ортоподобным системам разложения методом средних арифметических (методом Чезаро (С, 1)).

Пусть Я — гильбертово пространство над полем К или С, а О — пространство со счетно-аддитивной соответственно действительной или комплексной мерой //. На протяжении всей работы мы будем рассматривать измеримые комплекснозначные функции с(ш) со значениями в К или С (в зависимости от того, над каким полем рассматривается гильбертово пространство Н).

Вначале доказаны две вспомогательные леммы, в которых получены любопытные оценки в абстрактном гильбертовом пространстве Н, а именно

Щ) N оо оо

Лемма 1.1. Пусть задана функция с(ш) € L2(Q). Если последовательность индексов {7n}£Li удовлетворяет неравенству 1 < q < где q — постоянная, то для произвольной ортоподобной неотрицательной системы разложения {e^j^en имеет место оценка

Лемма 1.2. Пусть задана функция с(ш) € Ь2(0). Для произвольной неотрицательной ортоподобной системы имеет место оценка

На основании этих оценок в пространстве Н = Ь2{Х), где X — пространство со счетно-аддитивной неотрицательной мерой I/, доказываются необходимое и достаточное условия суммируемости последовательности частичных интегралов методом средних арифметических:

Теорема 1.3. (необходимое условие). Пусть заданы ортоподобная неотрицательная система {еш(ж)}а;еп Е Н — Ь2(Х), где X — пространство с неотрицательной мерой V, функция с(ш) £ 1/2(П) и исчерпывание пространства Г2. Если последовательность частичных интегралов вп(ж) = = J с(ш)еь}[х)(1р,{и) суммируется методом (С, 1) почти всюду на X, то всякая последовательность {з7и(ж)} с условием ^ д > 1, где д — постоянная, будет сходиться почти всюду на X.

Теорема 1.4. (достаточное условие). Пусть заданы ортоподобная неотрицательная система € Я = Ь2(Х), где X — пространство с неотрицательной мерой и, функция с(ш) € Ь2(0) и исчерпывание {Г^}^ пространства О. Для того, чтобы последовательность частичных интегралов 8„(ж) — / с(ш)еш(х)с1р,(си) суммировалась методом (С, 1) почти всюду йп на X, достаточно чтобы существовала последовательность индексов {7П}, удовлетворяющая условиям 1 < д ^ З^1 ^ р < оо, где р и q — постоянные, и чтобы последовательность {^„(ж)} сходилась почти всюду на X.

Второй параграф первой главы посвящен исследованию суммируемости разложений по неотрицательным ортоподобным системам разложения методами Чезаро произвольного положительного порядка, а также взаимоотношению между положительными методами Чезаро и методом Абеля-Пуассона. и

Центральным результатом параграфа является теорема об эквивалентности всех положительных методов Чезаро и их эквивалентности методу Абеля-Пуассона для суммирования разложений по оротоподобным неотрицательным системам почти всюду. Для доказательства этого факта сначала мы устанавливаем два предельных соотношения о связи между средними Чезаро одного порядка.

Теорема 1.8. Пусть заданы ортоподобная неотрицательная система {еш(х)}ш£и £ Н = Ь2(Х), где X — пространство с неотрицательной мерой V, функция с(ш) £ 1?{р) и исчерпывание пространства П. Если последовательность частичных интегралов вп(ж) = / с{(л>)еш{х)в,^{ш) суммируется на множестве Е С X к функции f{x) методом Чезаро (С, (3) с (3 > то почти всюду на Е выполняются равенства

Этот результат используется при дальнейших доказательствах. А именно, затем мы последовательно доказываем утверждения об эквивалентности метода средних арифметических и метода Абеля-Пуассона — теорема 1.9, теорему, устанавливающую соотношение между методом Абеля-Пуассона и произвольным методом Чезаро положительного порядка (метод Абеля-Пуассона сильнее) — теорема 1.10, теорему об эквивалентности всех методов Чезаро между собой — теорема 1.11.

Теорема 1.9. Пусть заданы ортоподобная неотрицательная система {еи(х)}шеп € Я = Ь2(Х), где X — пространство с неотрицательной мерой V, Е С X — измеримое подмножество и исчерпывание {Г^}^ пространства П. При условии с(ои) £ Ь2{0) метод суммирования (С, 1) и метод Абеля-Пуассона равносильны на множестве Е для суммирования почти всюду.

Теорема 1.10. Пусть заданы ортоподобная неотрицательная система {еи>(х)}ш£а € Я = Ь2(Х), где X — пространство с неотрицательной мерой у, Е С X — измеримое подмножество, исчерпывание {Пя}^ пространства О и функция с(ш) € Ь2(£1). Если последовательность частичных интегралов бп (х) — / с(ш)еш(х)<1р,(ш) суммируется методом Абеля-Пуассона на множестве Е, то она почти всюду на Е суммируется методом (С, а) для любого а > 0. и

Теорема 1.11. Пусть заданы ортоподобная неотрицательная система {еш(х)}Сй£п £ Я = L2(X), где X — пространство с неотрицательной мерой и, исчерпывание пространства Q и функция с(ш) £ L2(Q). Для суммируемости почти всюду последовательности частичных интегралов sn(x) = f с(ш)еи (x)dfi(oj) все методы суммирования Чезаро (С, а) с а > О о» равносильны между собой.

На основании теорем 1.9—1.11 мы делаем вывод об эквивалентности всех положительных методов Чезаро и их эквивалентности методу Абеля-Пуассона.

Третий параграф главы первой посвящен суммируемости разложений по переставленным ортоподобным системам.

А именно, каким образом нужно поменять порядок функций в неотрицательной ортоподобной системе, чтобы разложение по переставленной системе суммировалось бы методами Чезаро (произвольного положительного порядка) ?

В данном параграфе мы рассматриваем только неотрицательные меры р на R, инвариантные относительно сдвига. Для таких мер и произвольных ортоподобных систем с индексами из пространства О, со счетно аддитивной мерой /и устанавливается одна вспомогательная теорема, представляющая самостоятельный интерес, а именно

Теорема 1.14. Пусть заданы ортоподобная система разложения eu)(x)}ujea С Н = L2(X) с неотрицательной счетно аддитивной мерой р, на пространстве Q С R, инвариантной относительно сдвига, причем fj,(Q) = +оо, и возрастающая последовательность натуральных чисел рт, т — 1,2,., удовлетворяющих условию lim sup (pm — pm-i) = +oo. Torrn-» oo да для любого исчерпывания {Qk}kL\ пространства Ü (все Qk измеримы, с»

Qk с Qk+i для к е N, (J Qk = ¿У, удовлетворяющего условиям к=1 inf [¿(Ek) = d > О и sup ц(Ек) = D < +оо, * к где Ек = ъ = 0, существует такое биективное с точностью до л-меры 0 сохраняющее меру отображение <р : Q —>■ Q, что для полученной новой системы {е^(^) частичные интегралы

Рт существуют, измеримы и стремятся к определенному конечному пределу при m оо почти всюду на X, где функция с(ш) G L2(Q). При этом (р не зависит от функции с(ш), а зависит от исходной системы функций и чисел Ртп, га = 1,2,.

На основании этой теоремы и теоремы 1.4 из §1.1 доказывается основной результат параграфа.

Теорема 1.16. Пусть задана ортоподобная система разложения {еш(ж)}ш€о С Я = 1>2{Х) с неотрицательной счетно аддитивной мерой ¡1 на пространстве П С 1, инвариантной относительно сдвига, причем /¿(П) = = +оо, и — исчерпывание пространства £2. Тогда существуют такое биективное с точностью до ц-меры 0 сохраняющее меру отображение (р : О —О, что для полученной новой системы {е^^ и для любой функции с(ш) £ Ь2(С1) последовательность частичных интегралов суммируется почти всюду на X методами Чезаро любого положительного порядка.

Вторая глава состоит из двух параграфов.

Первый параграф второй главы посвящен исследованию суммируемости разложений по неотрицательным обобщенным ортоподобным системам разложения методом первых средних арифметических (методом Чезаро (С, 1)).

Вначале доказаны две вспомогательные леммы, в которых получены оценки такого же типа, как и в первом параграфе первой главы, в абстрактном гильбертовом пространстве Я, а именно

Лемма 2.1. Пусть задана функция с{ш) е Ь2(0,). Если последовательность индексов удовлетворяет неравенству 1 < д < где q — постоянная, то для произвольной обобщенной ортоподобной неотрицательной системы имеет место оценка

Лемма 2.2. Пусть задана функция с(и) 6 Ь2(0). Для любой обобщенной ортоподобной неотрицательной системы разложения выполняется следующая оценка

Полученные оценки мы используем для доказательства необходимого и достаточного условий суммируемости последовательности частичных интегралов по обобщенной ортоподобной системе в пространстве Н = Ь2{Х) методом средних арифметических.

Теорема 2.3. (необходимое условие). Пусть заданы обобщенная ортоподобная неотрицательная система в Н = 1?(Х), где X — пространство с неотрицательной мерой и, функция с(о;) € Ь2(0,) и исчерпывание пространства 12. Если последовательность частичных интегралов зп(х) = / с(и>)еи(х)(1р,(со) суммируется методом (С, 1) почти всюду

Пп на X, то всякая последовательность {з7п(ж)} с условием ^ д > 1, где д — постоянная, будет сходиться почти всюду на X.

Теорема 2.4. (достаточное условие). Пусть заданы обобщенная ортоподобная неотрицательная система в Н = Ь2(Х), где X — пространство с неотрицательной мерой г/, функция с(ы) € Ь2(С1) и исчерпывание {Пп}^ пространства О. Для того, чтобы последовательность частичных интегралов яп(х) — / с(ш)еш(х)с111{ш) суммировалась методом п»

С, 1) почти всюду на X, достаточно чтобы существовала последовательность индексов {уп}, удовлетворяющая условиям 1 < д ^ —1— ^ р < оо, где р ид — постоянные, и чтобы последовательность (57га(ж)} сходилась почти всюду на X.

Используя теперь теорему 2.4 и аналог теоремы Меньшова-Радемахера (см. [35]), получаем следующее достаточное условие суммируемости последовательности частичных интегралов по обобщенной ортоподобной неотрицательной системе методом (С, 1)-средних почти всюду.

Теорема 2.6. Пусть заданы обобщенная ортоподобная неотрицательная система {еы вЯ = Ь2(Х), где X —■ пространство с неотрицательной мерой V, и исчерпывание пространства О. Тогда из сходимости ряда при выполнении условия с{ш) € Ь2(0,) следует суммируемость последовательности частичных интегралов методом (С, 1)-средних почти всюду на X.

Исследуя вопрос о сходимости последовательности средних арифметических, мы сталкиваемся с двойным предельным переходом. Один переход возникает из определения обобщенной ортоподобной системы, второй предельный переход, собственно, из определения последовательности чезаровских средних первого порядка.

Естественно, возникает вопрос о законности перестановки порядка предельных переходов, ответом на который служит следующая

Теорема 2.8. Пусть заданы обобщенная ортоподобная неотрицательная система {еР(ж)}<„€п в Н = L2(X), где X — пространство с неотрицательной мерой v, функция с(ш) € L2(Q,) и исчерпывание пространства Ü.

Если последовательность частичных интегралов sn(x) = f с^е^ (x)dp(uj) nn суммируется методом (С, 1) к функции а(х) по норме пространства Н, то в Н выполняется равенство lim lim crT'l(x) = lim lim cr™{x). oo m->oo m—^oo n->oo

Второй параграф второй главы посвящен исследованию суммируемости разложений по обобщенным неотрицательным ортоподобным системам разложения методами Чезаро произвольного положительного порядка, а также взаимоотношению между положительными методами Чезаро и методом Абеля-Пуассона.

Пользуясь тем замечательным фактом, что обобщенные неотрицательные ортоподобные системы обладают большинством свойств ортоподобных систем, мы можем доказать аналоги главных теорем второго параграфа первой главы.

Как и в первой главе, центральным результатом параграфа является теорема об эквивалентности всех положительных методов Чезаро и их эквивалентности методу Абеля-Пуассона для суммирования разложений по обобщенным оротоподобным неотрицательным системам почти всюду. Для доказательства этого факта сначала мы устанавливаем два предельных соотношения о связи между средними Чезаро одного порядка.

Теорема 2.10. Пусть заданы обобщенная ортоподобная неотрицательная система в Н = L2(X), где X — пространство с неотрицательной мерой р, функция c(üj) G L2(Q) и исчерпывание пространства Q. Если последовательность частичных интегралов sn(x) = = / с{ш)ъш(x)dfi(uj) суммируется почти всюду на X к функции f(x) методом (С, ß) с ß>\, то почти всюду на X выполняются равенства

1 п n-too п fe=l и

Um^l/W-^W^O. n—>оо П k—1

Используя эти соотношения мы поочередно устанавливаем следующие факты:

- теорему, устанавливающую соотношение между методом Абеля-Пуассона и произвольным методом Чезаро положительного порядка (метод Абеля-Пуассона сильнее) — теорема 2.11;

- теорему об эквивалентности всех методов Чезаро (С, а) для а > О между собой — теорема 2.12.

Теорема 2.11. Пусть заданы обобщенная ортоподобная неотрицательная система {еш(ж)}а,ео в Н = Ь2(Х), где X — пространство с неотрицательной мерой V, функция с(и) £ Ь2(0) и исчерпывание {Од}^ пространства Г2. Если последовательность частичных интегралов 5„(ж) = = / {х)(111{ш) суммируется почти всюду на X методом Абеля-Пуассона к функции /(х), то она почти всюду на X суммируется методом (С, а) с а > 0.

Теорема 2.12. Пусть заданы обобщенная ортоподобная неотрицательная система {еш(ж)}с<;еп в Я = Ь2{Х), где X — пространство с неотрицательной мерой у, исчерпывание {Оп}^ пространства О и функция с(ш) £ Ь2(0,). Для суммируемости последовательности частичных интегралов вп(х) = / с(ш)еш(х)ё/и(о1) почти всюду на X все методы суммирования

Чезаро (С, а) с а > 0 равносильны между собой и равносильны методу Абеля-Пуассона.

Дополнение посвящено вопросам, не связанным с суммированием, но позволяющим глубже понять природу ортоподобных систем, и представляющим определенный интерес.

В первом параграфе приведены конкретные примеры ортоподобных систем. В частности приведены примеры ортоподобных систем, не являющихся ортогональными или проекциями ортогональных.

Всплески Габора. Порожденное одной функцией т{х) семейство функций где параметры и переменная х из Е, называют системой всплесков Габора. Если функция т Е Ь2(Ш) и ||г£/||ь2(Е) = 1, то для любой функции тх^х) = ехр{2тХх}т(х — /?), е ¿2(М) wx,p)wx^(x)d\df3

JRJ\> А при А -» оо. Таким образом, система всплесков Габора образует ортопо-добную неотрицательную систему разложения.

Всплески Морлв. Порожденное одной функцией ф{х) семейство функций , где параметр а £ Ж\{0}, параметр (3 £ Ж и переменная х из К, называют системой всплесков Морле. Если функция ф € Ь2(Ш) и

J ж тА где ф(Х) — преобразование Фурье функции ф(Х), то для любой функции f(x) е L\Е) f С doc я» = / /

JrJR a где последний интеграл понимается как предел в i/2(R) [ фаАФР^

J]a\>s JR а при е +0. Таким образом, система всплесков Морле образует ортоподоб-ную неотрицательную систему разложения.

Во втором параграфе рассматриваются задачи о числе элементов ор-топодобной системы и о возможности построения ортоподобной системы, состоящей из неотрицательных функций.

В первой задаче находится максимальное число элементов в неотрицательной ортоподобной системе в Кп без ограничения на длины (нормы) векторов системы, во второй — с ограничениями на длины элементов системы.

В третьей задаче построен пример полной ортоподобной системы в Ь2(0,1), состоящей из неотрицательных функций. При этом мера /2 на пространстве Q оказывается знакопеременной. Для неотрицательной меры fi доказана невозможность построения полной ортоподобной системы в

Ь\0,1).

Основные результаты данной диссертации опубликованы в работах автора [51] — [55].

Введение 22

Они докладывались на семинаре по ортоподобным системам под руководством проф. Т. П. Лукашенко, семинаре по теории ортогональных рядов под руководством чл.-корр. РАН, проф. П. Л. Ульянова, проф. М. К. Потапова и проф. М. И. Дьяченко, семинаре по теории функций под руководством проф. Т. П. Лукашенко и проф. В. А. Скворцова, семинаре по теории функций под руководством проф. И. Л. Блошанского, на международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ" (Тула, 1998), на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (2001), на XXIII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова (2001).

1. Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М: ИЛ, 1963.

2. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. Москва: Высшая школа, 1999.

3. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. Том 1. Харьков: Вища школа, 1977.

4. Bellman R. Almost orthogonal series. // Bull. Amer. Math. Soc. 1944. V. 50. P. 517-519.

5. Виленкин H. Я. О некоторых почти ортогональных системах функций. Ц Прикл. мат. мех. 1952. Т. 16. С. 233-244.

6. Волков И. И., Ульянов П. JI. О некоторых новых результатах по общей теории суммирования рядов и последовательностей. // Обзорная статья в книге 29].

7. Gabor D. Theory of communication. //J. Inst. Elec. Eng. (London). 1946. Y. 93. №3. P. 429-457.

8. Garsia A. M. Existence of almost everywhere convergent rearrangements for Fourier Series of L2-functions. // Annals of Math. V. 79. P. 623-629.

9. Gasquet C., Witomski P. Analyse de Fourier et applications. Paris: Masson, 1990.

10. Gordon R. A. An iterated limits theorem applied to the Henstok integral. //Real Analysis Exchange. 1995/96. V. 21(2). P. 774-781.

11. Grossmann A., Morlet J. Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant shape, j/ SIAM J. Math. Anal. 1984. V. 15. P. 723-736.

12. Гутер Р. С., Ульянов П. JI. О новых результатах в теории ортогональных рядов. // Обзорная статья в книге 23].

13. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962.

14. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М: Мир, 1965.

15. Zygmund A. Sur l'application de la première moyenne arithmétique dans la théorie des séries orthogonales f / Fundam. math. 1927. Y. 10. P. 356-362.

16. Зиза О. A. Суммирование ортогональных рядов. M: УРСС, 1999.

17. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. X. Математический анализ. Том 2. М.: Изд-во МГУ, 1987.

18. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

19. Кангро Г. Ф. Теория суммирования последовательностей и рядов. // Матем. анализ. Итоги науки и техники. Т. 12. Москва, 1974. С. 5-70.

20. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

21. Kaczmarz S. Uber die Konvergenz der Reihen von Orthogonalfunktionen. // Math. Zeit. 1925. V. 23. P. 263-270.

22. Kaczmarz S. Ûber die Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen. j j Math. Ann. 1925. V. 96. P. 148-151.

23. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: ГИФМЛ, 1958.

24. Кашин Б. С. О некоторых свойствах матриц ограниченных операторов из пространства Щ elf. // Изв. АН Арм.ССР. 1980. Т. 15. №5. С. 379394.

25. Кашин Б. С., Саакян Б. С. Ортогональные ряды. М.: АФЦ, 1999.

26. Колмогоров A. H. Une contribution à l'étude de la convergence des séries de Fourier, j] Fundam. math. 1924. V. 5. P. 96-97.

27. Menchoff D. Sur la convergence et la sommation des séries de fonctions orthogonales par méthodes de Cesàro. J ] Матем. сборник. 1940. T. 8. №1. С. 121-136.

28. Меньшов Д. Е. О частных суммах рядов по ортогональным функциям. // Ученые записки МГУ. Математика. 1948. Т. 2. Вып. 135. С. 3-9.

29. Меньшов Д. Е. Избранные труды. Математика. М.: Факториал, 1997.

30. Никольский G. М. Курс математического анализа. Том 2. М.: Наука, 1991.

31. Родионов Т. В. Существование подсистем сходимости для ортоподоб-ных систем, j j 7 международная конференция "Математика. Экономика. Экология. Образование". Симпозиум "Ряды Фурье и их приложения". Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. 1999. С. 341.

32. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973.

33. Стечкин С. Б. Методы суммирования С. Н. Бернштейна и В. Рогозин-ского. // Обзорная статья в книге 49].

34. Fejer L. Untersuchen über Fouriesche Reihen. Math. Ann. 1904. V. 58. P. 501-569.

35. Харди Г. Расходящиеся ряды. M: ИЛ, 1951.

36. Эдварде Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1969.

37. Павликов А. Н. О чезаровских средних для систем разложения подобных ортогональным с неотрицательной мерой. ]/ Теория приближений и гармонический анализ. Тезисы конференции. Тула. 1998. С. 201-203.

38. Павликов А. Н. Чезаровские средние для систем разложения подобных ортогональным с неотрицательной мерой. // Фундаментальная и прикладная математика. 2001. Т. 7. №1. С. 105-119.ЛИТЕРАТУРА 86

39. Павликов А. Н. О чезаровских средних для обобщенных ортоподобных систем разложения. // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докладов. Воронеж, ВГУ. 2001. С. 208-209.

40. Павликов А. Н. О подпоследовательностях по ортоподобным системам разложения. // Современные исследования в математике и механике. Труды XXIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ. 2001. С. 270-277.

41. Павликов А. Н. Свойства чезаровских средних для обобщенных ортоподобных неотрицательных систем разложения. // Вестник Московского ун-та. Серия Матем., Мех. 2002. М>2. С. 16-21.