Локальные разложения по системам сплайновых сдвигов

Лыткин, Сергей Михайлович

Локальные разложения по системам сплайновых сдвигов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Лыткин, Сергей Михайлович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Локальные разложения по системам сплайновых сдвигов»

Автореферат диссертации на тему "Локальные разложения по системам сплайновых сдвигов"

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.518

Лыткин Сергей Михайлович

ЛОКАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СИСТЕМАМ СПЛАЙНОВЫХ СДВИГОВ

01.01.01 — математический анализ

ООЭ4ьачго

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2009

003489476

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Тарас Павлович Лукашенко

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Владимир Юрьевич Протасов

Защита диссертации состоится 25 декабря 2009 г. в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 24 ноября 2009 г.

кандидат физико-математических наук,

Татьяна Юрьевна Куликова

Ведущая организация:

Математический институт им. В. А. Стеклова РАН

Учёный секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Локальные приближения сплайнами исследовались такими математиками, как А. И. Гребенников1, К. де Бур и Дж. Фикс2, Т. Лич и Л. Шумейкер3 и др. Например, в работе последних двух авторов строится оператор вида

<2/ = 1>С№, (!)

где Вгп — последовательность .B-сплайнов степени п (здесь и далее под степенью сплайна понимается максимальная из степеней многочленов, из которых производится "склейка" сплайна), а {с*} — набор явно заданных линейных функционалов, как правило, определяемых путём решения некоторой системы линейных уравнений. Функционалы выбираются так, что

• оператор Q применим к широким классам функций, включающим, например, непрерывные или интегрируемые функции;

• оператор Q является локальным в том смысле, что значение Qf(x) зависит только от значений / в малой окрестности точки х\

• Qf приближает гладкие функции / с порядком точности наилучшего приближения сплайнами;

• Q воспроизводит многочлены степени ^ п.

Приводятся явные формулы для вычисления коэффициентов оператора (1) как по значениям функции / или её производных в точках, так и по значениям интегралов от произведения / на некоторые вспомогательные функции. Интегральные коэффициенты для аппроксимирующего сплайна используются в работах Ю. Н. Субботина4 и Т. П. Лукашенко5. В последней статье рассмотрена конечная система на отрезке [0,1],

'А.И.Гребенников, Об одном методе построения интерполяционных кубических и бикубических сплайнов на равномерных сетках, Вести. Моск. ун-та. Сер. Выч. мат. и кибернетика, № 4, 1978,12-17.

2C.de Boor, G.Fix, Spline approximation by quasi-interpolants, J. Approx. Theory, 8:1, 1973,19-45.

3T.Lych, L. L. Schumaker, Local spline approximation methods, J. Approx. Theory, 15:4,1975, 294325.

4Ю.Н.Субботин, Экстремальные зада\и функциональной интерполяции и интерполяционные в среднем сплайны, Тр. МИАН СССР, 138,1975,118-173.

5Т. П. Лукашенко, О новых системах разложения и их свойствах, Чебьппевский сборник, 5:2, 2004, 77-78.

состоящая из сдвигов одной функции системы Фабера-Шаудера:

П(х) = 1р(2кх - г), г = 0,..., 2* ф) = (1 - |г|)Х[-1,1](®)-

Любая кусочно-линейная функция I на [0,1] с изломами в точках г = 0,..., 2к, однозначно разлагается в сумму

2к

1(х) = гДе а =

»=о

Для кусочно-линейных функций такой способ определения коэффициентов эквивалентен следующему:

2"*

со = 6-2к 11(х)(ро(х)-\)<Ь:> о

е&* = 6-2к ! 1{х)(^р2к{х) ¿X, 1-2"* (1+1)2"*

а = 3 • 2к у 1{х) ^(¡с) - Лх, 0 < г < 2к. («-1)2-*

Вычислять коэффициенты сг по последним формулам можно для любых интегрируемых по Лебегу функций. Функцию 1(х) можно рассматривать как линейный оператор вида (1), определённый на классе интегрируемых функций. Использование интегральных формул для вычисления коэффициентов позволяет применять оператор к достаточно широкому классу функций — интегрируемым функциям, а также повысить устойчивость метода к измерительным и вычислительным ошибкам.

Цель работы. Исходя из приведённого случая кусочно-линейных функций, сформулируем задачу: построить линейный оператор Тп со следующими свойствами:

1. Значение оператора Т„/ представляет собой линейную комбинацию (1) сдвигов В-сплайна степени тг с коэффициентами — линейными функционалами.

2. Оператор Тп является точным на некотором классе сплайнов степени п.

3. Оператор является локальным, т. е. поведение Т„/ в какой-либо области зависит от поведения функции / в некоторой окрестности этой области.

4. Функционалы сД/) определяются с помощью интегралов от произведения функции / на некоторые вспомогательные функции.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Построен оператор Т„ со свойствами 1—4, для п = 1, 2, 3 явно предъявлены формулы для вычисления коэффициенты с*(/).

2. Доказано, что оператор Тп приближает функции с точностью, по порядку совпадающей с наилучшим приближением сплайнами степени п.

3. В работе показывается, что при п = 1 данный метод является оптимальным с точки зрения сочетания локализации и приближения в среднеквадратичной метрике.

4. Часть результатов перенесена на случай функций двух переменных.

Методы исследования. В работе применяются некоторые методы теории функций, теории сплайн-аппроксимаций, вариационного исчисления. Из области линейной алгебры используются свойства систем линейных уравнений, квадратных матриц и их собственных значений.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер, однако, её результаты с успехом могут найти применение на практике. Использование локальных сплайнов наряду с интегральным способом вычисления коэффициентов можно приложить к таким задачам, как измерение, хранение и передача сигналов, обработка изображений и т.п.

проф. С. А. Теляковского в Математическом институте им. В. А. Стек-лова (2008, 2009), на Седьмой международной Казанской летней научной школе-конференции (2005), на 13-й Саратовской зимней школе (2006), на Воронежской зимней математической школе (2007), на конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В. А. Садовничего (2009).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах автора. Список этих работ приведён в конце автореферата

[1] ~ И-

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и списка литературы из 32 наименований. Общий объём диссертации составляет 66 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан краткий обзор работ, относящихся к теме диссертации, сформулированы используемые определения и приведены формулировки основных результатов.

Первая глава посвящена построению оператора Т„ для функций, заданных на отрезке [0,1], 1-периодических функций и функций заданных на Ж.

Пусть п и N — некоторые натуральные числа, /V > п, /г, = По этим числам строим сетки

Х = {х{ = гЩ, т = = иег.

-В-сплайн на сетке Т определим как

п+1

7г!

1 п+1

3=0 где

СР _ д! хп _ Ь", если X ^ 0, 4 РКЯ-РУ-' + \0, если а; <0.

Через Вгп обозначим В-сплайн степени п на сетке X, получающийся из сплайна Вп сдвигом и сжатием по формуле

{Вп(Мх — г), если п нечётно,

( Л (2)

Вп Шх - г + |), если п чётно.

Пусть I — [0,1], либо I = М, либо I = К/[0,1] — период. Пространство сплайнов степени п дефекта 1 с узлами {ж;} на промежутке I будем обозначать как 5„(7) или просто 5„. Наряду со сплайнами на мелкой сетке X — будем рассматривать сплайны на крупной (целой или полуцелой) сетке У =

Определение. Функция f принадлежит множеству если

а) на каждом интервале (^¿¡н-1)» к = 0,... ,п, функция / является многочленом степени не выше п;

б) /(£) = 0 при Ь ф [£,-,

в) / б сп~%^+1].

Иными словами, Т^1 является пространством сплайнов на отрезке продолженных нулём вне этого отрезка. Ясно, что Вп £ Т'%'п+1. Пусть Ф„ € Т>1'1, з = 0,..., п, I = 1,..., п - 3 + 1. Если г 6 2, то Ф^ определяется по формуле (2), в которой символ В следует заменить на Ф. Положим

ТпНх) = ав1п(а0, п = 1,2,..., Ъ = М [ <й. (3)

Пределы суммирования и интегрирования в (3) расставляются следующим образом:

1. Если функция / € -£а[0,1], то

ЛМ-к

Т2к+1/(х) = <*£*(*)> П = 2Л + 1, А: = 0, 1,..., 1=-к

Т2к1(х) = ^ п = 2к,к = 1,2,...,

¿=1 -к

где ^

J о

2. Если функция / е 1а[0,1] является 1-периодической, то

N-1 х

Тп1(х) = £ *В1п{х), п= 1, 2,..., сг = ЛГ / /(г)Ф^) <Й. ¿=о Л

При этом В-слайны В1п также считаются 1-периодическими. Это достигается отождествлением первых и последних п функций. При п = 1 склеиваются функции В\ и Bf, при п = 2 — с и В\ с и

т. д.

3. Если функция / € £'Г(К)> то

Г„/(х) = £ , n = 1, 2,..., Ci = N í fmiit) dt. ¿ez ,/R

Во всех трёх случаях оператор (3) будем обозначать Тп. Функция Ф„ выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство Tnf = / для всех / € <S„.

Теорема I. Существует единственная функция Ф„ е при каэю-&>а; j = 0,...,п, / = 1,...,п — j + 1, такая что suppФ„ = [tj,tj+¡] и Tnf — f для всех f 6 5„.

В этой теореме подразумевается, что для разных коэффициентов (3) можно по-разному выбирать параметры j и I функции Ф„. Далее везде зависимость функции Ф„ от j и I подразумевается, но опускается, чтобы не загромождать запись.

Поскольку длина носителя Ф^ не превосходит (n+ í)h то интегрирование в (3) фактически ведётся по малой окрестности точки x¿. Тот или иной выбор пространства Vfr1, которому принадлежит функция Ф„, обеспечивает разную степень локализации излагаемого метода. Эту степень определяет параметр I: самая сильная степень локализации достигается при I = 1 (| supp = h), самая слабая — при I = п + 1 (| supp = (n + l)h). Чем сильнее локализация, тем ниже точность аппроксимации, тогда как ослабление локализации в конечном итоге позволяет получить более выгодные оценки погрешности приближения.

Вторая глава посвящена оценкам погрешности приближения функций оператором Т„.

Если функция / е U — некоторому нормированному пространству, a Sn является подпространством U, то величина E(f) = inf ||/ — sj¡y

называется наилучшим приближением функции / подпространством Sn в пространстве U. Поскольку Sn конечномерно, то существует функция sn € Sn¡ называемая элементом наилучшего приближения, такая что

Пусть Тп — линейный оператор из U в Sn. Для / 6 <Sn верно равенство Tnf = f. Из предыдущих рассуждений получаем оценку через

наилучшее приближение для разности /—Т„/: если выполняется условие \\TnfWu < С\\Ди ДЛЯ всех / <Е и, то

Н/-ТЛ ^ ||/-5П||^+||гя(/-ая)||и ^ (1+с)у-зп\\и = (1+с)ад.

Отсюда видно, что для оценок точности приближения оператором Тп достаточно провести соответствующие оценки сильного типа.

В последующих оценках предполагается, что Ф„ в теореме 1 выбрана с j = 0, п для всех коэффициентов, для которых это возможно. При 1 < оо обозначим ||Ф„(|Р = (|Ф„||х^0,(п+1],

11/11р = (I \mrdxf, 1^р<оо, 11/11« - енвир |/(х)|. В следующих двух теоремах предполагается, что / = М или I =

Н/[0,1].

Теорема II. Пусть / € Ьр(1), 1 ^ р < оо. Тогда Ш\\Р < С„,р||/||р, + ± =

С„,Р={п + 1)*||Ф„||,.

Для 1 ^ в ^ п обозначим Ц[а, Ь] = {/ : абсолютно непрерывна на [а,Ь] и Е Ьр[а, Ь]}, И3 — оператор взятия з-й производной.

Теорема Ш. Пусть / 6 Ь3р(1), + £ =

п = 1,2, 3. Тогда

||-08Т„/||Р<С(п,5,р)||Фп||9||/М||р, г<?е С(п, — некоторая величина, зависящая только от п, в, р.

Для случая п = 1, / е Ь\{1) или Ь2(1) справедливы более точные оценки:

Теорема IV. Если / € Ьг{1), то Ц^/^ ^ ¡\\fl\x. Теорема V. Пусть f € Ь2{1). Тогда

тль < -4И/1|2-

В третьей главе описываются свойства оператора Т\ в Функция Ф1; о которой идёт речь в теореме I, является оптимальной в смысле нормы оператора Т\ в Ьч- При любом другом выборе функции Фх с сохранением локализации и свойства = / для всех / £ ¿>1 получим, что ЦГ1Ц2 ^ -щ, если вирр = [-1,1], ||71||2 ^ 2, если зиррФ! = [-1,0] либо 8иррФ1 = [0,1].

Рассмотрим сначала более простой периодический случай. Сформулируем задачу: найти такую функцию что оператор

<=0 к

является точным на подпространстве ¿>1 и имеет при этом минимально возможную норму ||7хЦз-

Сформулированная выше задача эквивалентна задаче

АпшхСОД?) ют, J ■ф{х)В1{х) <1х = 1, -1

1 о

J хф(х) йх — J хф(х) ¿х = 0. (4) 0 -1

В теореме I приведятся три возможных способа задания функции ф (функция Фх):

(а) ф(х) = 6х + 4 при х е (—1,0], ф{х) = 0 при х € (0,1),

(б) ф(х) = 0 при х е (-1,0), ф{х) -4-6х при х е [0,1),

(в) ф(х) = 2- 3\х\ = 351(а:) - 1 при х £ (-1,1).

Оказывается, что при таких определениях функции ф норма оператора Т[ минимальна.

Теорема VI. Пусть ф € Ь2(—1,1),

фг{х) = ф^х - г), г = 0,. •., N - 1,

ф(х) = 0 при х € (0,1) либо ф{х) = 0 при х Е (—1,0). На этом классе минимум б задаче (4) достигается на функциях (а) и (б) и равен 4.

Теорема VII. Среди функций

ф € ¿2(-1,1), ф{{х) = ф(Ых - г), < = 0,..., ЛГ - 1, функция (в) доставляет задаче (4) минимум, равный |.

В непериодическом случае значения 4 и | являются оптимальными с точностью до O(h), т. е. являются асимптотически оптимальными.

В четвёртой главе строится оператор Т для случая функций двух переменных со свойствами, аналогичными свойствам оператора Т\.

Будем считать, что функции заданы на треугольнике Ai = ОА\Ач-Разобьём стороны треугольника Aj на п равных частей, через точки деления проведём прямые, параллельные двум другим сторонам. Пусть Т — совокупность треугольников, на которые разбивается треугольник Ai, (xij, i/ij), i — 0,..., n, j — 0,..., n—i (нумерация по i ведется снизу вверх, по j — слева направо), — вершины треугольников А е Т. Количество этих вершин равно (п+ 1)(п + 2)/2.

Пусть Sn = {fe С{Д:) : f(x,y) = а(Д) + Ь{А)х + с(А)у при (х,у) е А, А G Т} — пространство кусочно-плоскостных функций на треугольнике Ai. Размерность линейного пространства Sn равна (п + 1)(п+2)/2.

А3 а2

/\Д2 /Дз V / А\ (о \

л / \Д4 / Ч /Ai х \ Дб/ s\/

As Ав

Треугольник Ai достроим до шестиугольника Л1Л2Л3Л4Л5Л6, как показано на рисунке. Рассмотрим функцию двух переменных Ф(х,у), являющуюся линейной на каждом треугольнике Д^, к = 1,..., 6, такую, что Ф(0,0) = 1 и Ф(£, у) = 0 на границе шестиугольника AiA2A3A4A5A6 и вне его. Иными словами, график функции Ф представляет собой пирамиду, в основании которой лежит шестиугольник Л1Л2Л3Л4Л5Л6.

Система функций

У) = Цп{х - Ху), n(y - yij)), i = 0,..., n, j = 0,..., п - г,

рассматриваемая на треугольнике Ai, является базисом пространства Sn. Поэтому любую функцию / е <S„ можно единственным образом представить в виде f(x, у) = Tf(x, у), где

п n—i

Tf(x, y) = J2J2 у), (х, у) е Аь (5)

¿=0 j=0

Пусть (х^, у^), i = 0,..., n, j = 0,..., n — г, — вершина некоторых треугольников А е Т. Объединение треугольников А 6 Т с общей вер-

шиной (х^, уц) обозначим через Н^. Для внутренних точек Щ представляет собой шестиугольник, подобный А1А2АзА4А^А^ для граничных точек, не являющихся угловыми, Нц — половина шестиугольника, содержащаяся в треугольнике Дх, для угловых точек — единственный треугольник А € Т с вершиной в этой точке.

Теорема VIII. Для всех / б 5П и (х,у) е А\ выполняется равенство Т/ = /, если коэффициенты оператора (5) вычисляются по формулам

Су = цг7 II f{x,y){12Фij(x,y)-3)dxdy,i = 0,...1n, j = 0,...,п-и

\Щ JJнii

Для оценки погрешности можно использовать, например, такую оценку сильного типа:

Теорема IX. Если / € 1/р(Д1), 1 < р < оо, то

г Ч

где

/49+2 _ 1 1 ч 1

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Т. П. Лукашенко за постановку задач и постоянное внимание к работе. Автор также благодарен доценту В. В. Галатенко за полезные замечания.

Работы автора по теме диссертации

[1] Лыткин С. М. Разложение по системе сдвигов 5-сплайна. Матем. заметки. Т. 86, № 6, 2009. С. 859-869.

[2] Лукашенко Т. П., Лыткин С. М. Разложение по системе сдвигов пирамидальных функций. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1 Матем. Мех. 2009. № 4. С. 22—28. (В этой работе Т. П. Лукашенко принадлежит общая постановка задачи и идея использования сдвигов пирамидальных функций с шестиугольным основанием, С. М. Лыткину — конкретное решение задачи и получение результатов.)

[3] Лыткин С. М. Разложение по системе всплесков в пространстве сплайнов второго порядка. Теория функций, ее приложения и смежные

вопросы. Материалы Седьмой международной Казанской летней научной школы-конференции, Казань, Казанское математическое общество, 2005. С. 99-100.

[4] Лыткин С. М. Разложение по системе всплесков В-сплайна первого порядка. Современые проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 13-й Саратовской зимней школы, Саратов, "Научная книга", 2006. С. 111-112.

[5] Лыткин С. М. Разложение по системе всплесков кубического 5-сплайна. Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы Воронежской зимней математической школы, Воронеж, ВГУ, 2007. С. 142-143.

[6] Лыткин С. М. Разложение по системе сдвигов пирамидальных функций. Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конференции Воронежской зимней математической школы, Воронеж, ВГУ, 2009. С. 111-112.

[7] Лыткин С. М. О свойствах системы сдвигов Б-сплайн а первого порядка в пространствах Ьр. Современные проблемы математики, механики и их приложений. Материалы международной конференции, посвя-щённой 70-летию ректора МГУ академика В. А. Садовничего, Москва, изд-во "Университетская книга", 2009. С. 83—84.

Подписано в печать , // 03 Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. -1,0 Тираж МО экз. Заказ 53

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имениМ. В. Ломоносова

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Лыткин, Сергей Михайлович

Введение.

Глава 1. Разложение по системе сдвигов В-сплайна.

Глава 2. Оценка погрешности приближения.

Глава 3. Свойства оператора Ti в L2.

Глава 4. Разложение по системе сдвигов пирамидальных функций . Литература.

Введение диссертация по математике, на тему "Локальные разложения по системам сплайновых сдвигов"

Тема диссертации находится на стыке двух областей математики, активно развивавшихся во второй половине XX века. С одной стороны, основной базой работы служит аппарат сплайн-функций, в особенности Б-сплайнов. Главным объектом исследования является линейный оператор, представляющий собой линейную комбинацию сдвигов одного фиксированного сплайна. Этот порождающий сплайн, как правило, является .В-сплайном с компактным носителем, система сдвигов которого является базисом некоторого пространства сплайнов. Последнее обстоятельство роднит тему диссертации с другой областью, весьма популярной в последние десятилетия, — теорией всплесков (иначе называемых вэйвле-тами), в которой, как правило, рассматриваются обладающие свойством базисности системы сдвигов и сжатий одной фиксированной функции. Всплески имеют весьма значительный практический интерес, например, в обработке сигналов и изображений. Теория всплесков достаточно полно изложена таких монографиях, как [1]—[4]. Поскольку диссертация не напрямую связана со всплескам, детально вдаваться в эту область не будем, а приведём лишь одно определение, взятое из [2, с. 96].

Определение 1. Система элементов гильбертова пространства fk называется фреймом, если существуют такие полоо/сителъные числа А и В, что для всех элементов / гильбертова пространства выполняются неравенства к

Наибольшее из возможных чисел А и наименьшее из возможных чисел В называются соответственно нижней и верхней границей фрейма.

Теории сплайнов посвящен ряд монографий, как отечественных, так и зарубежных (см., например, [5]—[9]). Перечислим некоторые определения и теоремы, касающиеся сплайнов, которые потребуются в дальнейшем, следуя в основном книге [5].

Через I будем обозначать конечный промежуток [а, 6] или всю действительную ось М. Пусть задано разбиение X промежутка I

X: а = хо < xi < . < xn = Ь, если I = [а, Ъ],

X: . . . < х-1 < хо < х\ < . < ждг < хм+1 < ., если I = R.

Для целого к ^ 0 через Ск(1) обозначим множество к раз непрерывно дифференцируемых на I функций, а через С1(/) — множество кусочно-непрерывных функций с точками разрыва первого рода в точках сетки.

Определение 2. ([5, с. 15]) Функц ия Sn i/(x*) называется сплайном степени п ^ 0 дефекта v [и — целое число, O^^^n+l) с узлами на сетке X, если а) на каждом отрезке [xi,xi+i] функция Sn>L,(x) является многочленом степени не выше п, т. е. п

Sn,v(x) = X] ~~ для х е ^t+l]'

3=о г = 0,. .,N — 1 для I = [a,b], i Е Z для I = б) Sn^(x) е Cn~v{I).

Множество сплайнов, удовлетворяющих определению, обозначим через Sn^(X). Это множество является линейным пространством; в случае конечного промежутка I его размерность равна Nv + n— и + 1 ([6, с. 12]). Простейшим примером сплайна является функция Хевисайда в(х) = 11' если^°.

1 0, если х < О, с которой естественным образом связана усечённая степенная функция хп, если х ^ О, xl = хпв(х) =

О, если х < 0.

Важным классом сплайнов являются 5-сплайны. Пусть сначала сетка X является конечной. Расширим её, добавив дополнительные точки

Х-п < . . . < X-i < а; Ъ < гсдг+i < . < xn+П

Возьмём функцию ipn(x,t) = (—1)п+1(х — t)+ и построим для неё разделённые разности (определение см., например, [10, с. 43]) (п + 1)-го порядка по значениям аргумента t = Х{,., Xi+n+i. В результате получаются функции переменной х.

Определение 3. ([5, с. 18]) В-сплайном степени п на сетке Xi,., Жг+п+ь г = —Щ . ,N - 1, назовём функцию ,

BhiX) = (xi+n+l - Xi)(pn[x; Xi,., Жг+n+l]. (1) i+n+l

Обозначим гуп+1]г-(£) = П ~~ хз)- Определение Б-сплайна (1) можj=i но переписать в виде г+п+1 / \п

ВЦх) = (xi+n+1 - Xi) УЗ 7 i = -n,.,N- 1. (2)

Лемма 1. ([5, с. 20—21]) Сплайны Вгп(х), ъ = —п,., N—1 обладают следующими свойствами: а) Г > о, для X е (Xi, Xi+n+i), 0, для х ^ (xi, Xi+n+i); б) функции Вгп(х) являются сплайнами степени п дефекта 1 с конечными носителями минимальной длины.

Многие примеры сплайн-функций являются экстремалями тех или иных экстремальных задач. Пункт б) означает, что при фиксированных узлах среди всех ненулевых сплайнов заданной степени дефекта 1, о которых в дальнейшем и будет идти речь, наименьший носитель имеют именно Б-сплайны. Можно было бы в качестве определения Б-сплайна взять его свойство минимальности длины носителя, и исходя из него получить аналитические представления (1) и (2). Именно, справедлива

Теорема 1. ([5, с. 22]) Всякий сплайн S(x) ф 0, принадлежащий Snti{X), с конечным носителем минимальной длины с точностью до постоянного множителя совпадает с В-сплайном.

Буква В в названии Б-сплайна означает "базисный": всякий сплайн дефекта 1 разлагается по соответствующей системе £?-сплайнов, как видно из следующей теоремы.

Теорема 2. ([5, с. 21]) Функции Вгп{х), i = —п,., N — 1, линейно независимы и образуют базис в пространстве сплайнов Snji(X).

Как следует из теоремы 1, требование минимальности длины носителя определяет 5-сплайн с точностью до множителя. .В-сплайны, опре-делёные формулами (1) и (2), иногда называют нормализованными В-сплайнами. Если сплайн Вг домножить на числовой множитель ———,

24-fn+l г то получится 5-сплайн, интеграл от которого равен единице ([5, с. 20]):

П + 1 f В1п{х)(1х = 1. i+n+1

Определение 3 годится и для случая бесконечной сетки X. В этом случае индекс г пробегает все целые значения. В этом случае справедливы лемма 1 и теорема 1, так как их утверждения носят локальный характер и по сути не зависят от конечности сетки. Верна также и теорема 2: всякий сплайн s на бескоенчной сетке X единственным образом представляется в виде суммы s = ^ Вгп. г£ Z

Основным объектом рассмотрений первых трёх глав диссертации является линейный оператор

Tnf{x) = YJCi{f)Bin{x)) (3) г где п ^ 1, a Ci(f) — некоторые линейные функционалы. Конкретный вид этих функционалов, а также варианты областей определения функций / и Tnf и пределов суммирования в (3) будут определены позднее. Отметим лишь, что в тех случаях, когда рассматриваются функции на отрезке или функции с некоторым периодом, индекс г пробегает конечное число значний; если же функции определены на всей числовой оси, то i € Z. В последнем случае проблем со сходимостью ряда в (3) не возникает, так как ввиду ограниченности носителя jB-сплайна в каждой точке лишь конечное число слагаемых этого ряда отлично от нуля.

Изложим предысторию вопроса. Термин "сплайн" впервые был введен Шёнбергом в работах [11, 12] в 1946 г. Им же было введено понятие Л-сплайна. Построение операторов, аналогичных (3), представляющих собой линейные комбинации ^-сплайнов уже проводилось. Так, в статье [13] рассматривается приближение кубическими сплайнами:

N-2

S(x) = -Y^f(xi)si(x), (4) d г=3 где точки Xi = Ж1+(г—l)h, г = 1,., N, образуют равномерное разбиение отрезка [х\,хм\ с шагом h, S{ — 5-сплайн третьей степени, построенный по сетке Х{-2, Жг-ъ xh xi+1) xi+2, г = 3,., TV — 2, с условием S{(xi) = 1. Коэффициенты Ci(f) = §/(жг) в данном случае вычисляются по значениям функции / в узлах сетки. Сплайн (4) не является интерполирующим, но тем не менее обладает хорошими аппроксимативными свойствами.

Теорема 3. ([13, с. 13]) Пусть / G СА[х3,£/v-2]- Тогда выполняются следующие соотношения:

W(i) - S^(x)\\c = 0{h% /i = min{4 - к, 2}, к = 0, 1, 2, 3.

К недостаткам приближения сплайном (4) можно отнести дискретный способ вычисления коэффициентов, для определения которых используются значения функции в точке. Такой способ требует определённую степень гладкости от приближаемой функции и теряет всякий смысл, если речь идёт о функциях из Ьр. Приближение интерполяционными в среднем сплайнами, при котором аппроксимирующий сплайн определяется по средним значениям функции в окрестностях узлов сетки, описывается в [14].

Определение 4. ([14, с. 151]) Пусть 0 < hi < h < оо. Функция Sn(x) называется интерполяционным в среднем сплайном для функции f, если а) Sn(x) — локально абсолютно непрерывна на R вместе со своими производными до (п — 1)-порядка; б) S[n\x) = mh + ^^h ^х^ (m+l)h+1+{~irh, теЪ, где Z™ — константы; hi/2 в) i / (Sn{mh + t) - f(mh + £)) eft = 0, m E Z.

1 -h!/2

В статье [14] приводятся условия существования и единственности интерполяционного в среднем сплайна, а также оценки точности приближения. Определение ojj.(f,6) при к £ N см. в [15, с. 287].

Теорема 4. ([14, с. 153]) Если функция j(x) непрерывна наЖ вместе со своей 1-й производной и u)n-i+i(f^l\ S) —» 0, когда 5 0, то при 0

1 = О, 1,., I, и константа Cn>i зависит только от п иг.

Интегральный модуль непрерывности определим как ы(/, h)p = sup ( f \f(x +1) - f(x)\pdx) '. \t\^h\Jm J

Теорема 5. Если функция f{x), iGl, имеет локально абсолютно непрерывную (I — 1 )-ю производную, О 0; при h —» 0, то при 1 ^ р ^ q ^ оо f®(x) - Sb\x)\\Lqw < Chl-^u(f(l\h)p, i = 0, 1,., I — 1, где С ~ константа, зависящая только от г, I, п.

Интерполяционный в среднем сплайн определяется неявным образом: в определении 4 не указывается явного способа, чтобы представить сплайн в виде (3). Обратимся к методам, в которых для вычисления коэффициентов приближающих сплайнов применяются явные интегральные формулы.

В работах [16, 17] исследуется оператор вида

5) i где {А^} — последовательность явно заданных линейных функционалов, как правило, определяемых путём решения некоторой системы линейных уравнений. В [16] оператор Q/, называемый квазиинтерполянтом, применяется к функциям / G Сп[а, Ь] и обладает следующими свойствами:

• Q является локальным (значение Qf(x) зависит только от значений / в малой окрестности точки ж);

• Q воспроизводит полиномы степени ^ п;

• Qf~f = где \Х\ = max|:r£+1 - xt\. i

Сплайн Qf допускает представление (6) j r^Tl где Tj — специальным образом выбранные точки носителя Б-сплайна BJn)

Фз(х) — (х3+1 - Х) ■ • • (Xj+n - Х)-Пусть для / е С[а, Ь] u>(f,S) = sup I f(X + h)-f(x)\.

O^h^S x, x+h€[a,b]

Теорема 6. ([16, с. 30]) Если f e Cn[a,b], mo ll/w (Q/)(r)|joo ^ KMf{n\ г ^ n.

Обозначим через Vj множество многочленов степени < j. В [17] рассматриваются более общие функционалы A которые содержат коэффициенты из (6) как частный случай. Функционалы выбираются так, что

• оператор Q применим к широким классам функций, включающих, например, непрерывные или интегрируемые функции;

• оператор Q является локальным в том смысле, что значение Qf(x) зависит только от значений / в малой окрестности точки х;

• Qf приближает гладкие функции / с порядком точности наилучшего приближения сплайнами.

От оператора Q по-прежнему требуется точность на классе многочленов Vn+i: Qp = р для всех р Е Vn+\. Также в [17] приводится вариант оператора Q, при котором коэффиценты вычисляются интегральным способом.

Пусть 1 ^ I ^ n+l и {pij}lj=i — ортогональные многочлены (pij Е Vj) по отношению к весовым функциям W{, определённым на [—1,1], г = —п, .,7V— 1. Предположим, что [а:;, Д] С [х;, ^i+n+i], i = —п,., N — 1. Оператор (5) определим как

N-1 I г=—п j=1 где ^

W = J Wi(y)Pij(у) f(f% 2 % + ^ ^ dy, й'у} — набор чисел, получающийся решением некоторой системы уравнений и обеспечивающий равенство Qp — р для всех р EVi.

Пусть s — некоторое целое число, удовлетворяющее неравенству 1 ^ s ^ п. Введём величины

Dr(f-Qf)(t), O^rcs, DrQf(t), s^r^n, где DT — оператор взятия r-й производной. Обозначим Ls [a, 6] = {/ : /(в1) абсолютно непрерывна на [а, Ъ] и /(-> Lp[a, 6]}.

Er,s(t)

Теорема 7. ([17, с. 312]) Пусть l^s^Z^n+lwl^g^oo. Если f е Cs-1[a, b], то для 0 ^ г ^ п

Если f е Lsp[a, Ь], 1 ^ р ^ то для 0 ^ г ^ п где величина К зависит от n,l, s,r, N, сетки X, весовых функций Wi и ортогональных многочленов pij.

В статье [19] рассмотрена конечная система на отрезке [0,1], состоящая из сдвигов одной функции системы Фабера-Шаудера:

Pi(x) = v(2kx- г), г = 0,., 2*, ip(x) = (1 - M)X[-i,i](aO

Любая кусочно-линейная функция I на [0,1] с изломами в точках р, г = 0, ., 2к, однозначно разлагается в сумму

Кх) = '%2ci(Pi(x)i гДе °i = г=0

Для кусочно-линейных функций такой способ определения коэффициентов эквивалентен следующему: co = 6-2fc J 1{х) (Vo(a;)-£) dx, о 1 c2fc = 6 • 2k J l(x) (<p2*(x) - i) dx, l—2~k (i+l)2~k a = 3 ■ 2k J l(x) (y>i(x) -^dx,0<i< 2k. (i-1)2~"

Вычислять коэффициенты с* по последним формулам можно для любых интегрируемых по Лебегу функций. Функцию 1(х) можно рассматривать как линейный оператор вида (3), определённый на классе интегрируемых функций. Использование интегральных формул для вычисления коэффициентов позволяет применять оператор к достаточно широкому классу функций — интегрируемым функциям, а также повысить устойчивость метода к измерительным и вычислительным ошибкам.

1. Оператор Тп представляет собой линейную комбинацию (5) сдвигов 5-сплайна степени п с коэффициентами с*(/) — линейными функционалами.

2. Оператор Тп является точным на некотором классе сплайнов степени п.

3. Оператор является локальным, т. е. поведение Tnf в какой-либо области зависит от поведения функции / в окрестности этой области.

4. Функционалы q(/) определяются с помощью интегралов от произведения функции / на некоторые вспомогательные функции.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Построен оператор Тп со свойствами 1—4, для п = 1, 2, 3 приведены явные формулы для вычисления коэффициенты q(/).

3. В работе показывается, что данный метод является оптимальным с точки зрения сочетания локализации и приближения в среднеквадратичной метрике.

4. Часть результатов перенесена на случай функций двух переменных.

Апробация результатов. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре "Ортоподобные системы" под руководством проф. Т. П. Лукашенко, доц. Т. В. Родионова, доц. В. В. Галатенко (2004—2008), на семинаре по теории тригонометрических рядов под руководством академика П. JI. Ульянова (2005), на семинаре по теории функций под руководством член-корр. РАН Б. С. Кашина и проф. С. В. Конягина (2008), на семинаре по теории приближений под руководством проф. С. А. Теляковского в Математическом интституте им. В. А. Стек-лова (2008, 2009), на Седьмой международной Казанской летней научной школе-конференции (2005), на 13-й Саратовской зимней школе (2006), на Воронежской зимней математической школе (2007), на конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В. А. Садовничего (2009).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах автора (одна из них в соавторстве). Список этих работ приведён в конце диссертации ([26]—[32]).

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В дальнейшем будут рассматриваться только сплайны дефекта 1 с равномерно расположенными узлами.

Первая глава посвящена построению оператора Тп для функций, заданных на отрезке [0,1], 1-периодических функций и функций заданных на М.

Зафиксируем натуральные числа п — степень сплайнов — и N > п. Пусть h — jf — шаг сетки

X = {Xi = ih}, % б Z.

Пусть

1, если п чётно, 0, если п нечётно;

St если ъ = з, если i ф j;

7п п

12. 1.

Будем считать, что функции определены на помежутке I = [0,1] либо на I = Ж. Если рассматриваются периодические функции, то предполагается, что основной период равен 1. Соответствующее пространство SnдРО будем обозначать как Sn(I) либо просто как Sn. Отныне jB-сплайны (1) считаются построенными по указанной равномерной сетке (7).

Наравне с сеткой X будем рассматривать "несжатую" целую или полуцелую сетку г п +11 т

Определение. Функция f принадлежит множеству

ТЦ, j = 0,.,n, l = l,.,n-j + l, если а) на каждом интервале (£*-, t^+i), к = 0,., п, функция f является многочленом степени не выше п; б) f(t) = 0 при t ф [tj, tj+i\; в)

Иными словами, Vfc1 является пространством сплайнов на отрезке [tj,tj+i], продолженных нулём вне этого отрезка.

Если функция Гп е Vпри некоторых j = 0,., п, I — 1,., п — j + 1, то обозначим frn(./V:E — г), если п нечётно,

Гп(ж) ~ |pn i j ; если п чёТно. ^

С помощью (8) осуществляется переход от сплайнов на крупной сетке Т к сплайнам на мелкой сетке X: сплайн Гп построен на сетке tj,., tj+i, тогда как сплайн Г^ — на сетке Xj+i-ln,. ., Xj+i+i-Jn.

Пусть Вп{х) — Б-сплайн, построенный на сетке tj = j — j = О,., п + 1. Для такого 5-сплайна справедлива явная формула п+1 ад = ^

I V • . ~

3=0 которую несложно получить из (2). Для п = 0, 1, 2, 3 имеем (рис. 1)

SbMH1' ^"l^f- BlW = /1-W' если |*| <1,

1 п, если |ж| > 10, если |а:| > 1; - х2, если |ж| < 2 в2{х) = S - М) , если | < \х\ < §, , если > §; — х2 + ^\х\3, если \х\ ^ 1, В3(х) = { 1(2 - |ж|)3, если 1 < \х\ < 2, 0, если |ж| > 2.

Ясно, что функция Вп 6 Vn'n+1 и сконструированые по ней по формуле (8) функции Вгп являются В-сплайнами на сетке {Xj}.

Рис. 1.

Пусть Фп е VI'1, j — 0,. ,п, I = 1,.,п — j + 1. Теперь строго определим оператор (3):

Tnf(x) = ]Г аВгп(х), П = 1,2,., a = N f fmiit) dt. (10) г J

Пределы суммирования и интегрирования в (10) расставляются следующим образом:

1. Если функция / G Li [0,1], то

N+k

T2k+if{x) = ^ (кВ<п(х), п = 2к + 1, к = 0, 1,., г=—к N+k

T2kf(x) = аВЦх), n = 2fc, /с = 1, 2,., i=l—k где a = N f f№Ut) dt. Jo

При этом не все сплайны Вгп "целиком" помещаются в отрезок [0,1], первые и последние п штук приходится обрезать.

Рис. 2.

2. Если функция / G Li[0,1] является 1-периодической, то

N-1 „1

Tnf(x) = V qB;^), n = 1, 2,., d = N f№ln(t) dt. г=0 ^

При этом В-слайны B^ также считаются 1-периодическими. Это достигается отождествлением первых и последних п функций. При п = 1 склеиваются функции В® и , при п = 2 — с и с и т

Д.

3. Если функция / G ^0С(М), то

Tnf{x) = J2^K(x),ri= 1,2,., q = / /(г)Ф^) d£. iez

Во всех трёх случаях оператор (3) будем обозначать Тп. Функция Фп выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство Tnf = / для всех / Е Sn.

Теорема I. Существует единственная функция Фп Е Vпри каждых j = 0,. .,п, I = 1,. ,n—j +1, такая %moTnf = / для всех f Е Sn.

В этой теореме подразумевается, что для разных коэффициентов (10) можно по-разному выбирать параметры j и I функции Фп. Далее везде зависимость функции Фп от j и I подразумевается, но опускается, чтобы не загромождать запись.

Поскольку длина носителя Ф^ не превосходит (n + 1 )h то интегрирование в (10) фактически ведётся по малой окрестности точки Х{. Тот или иной выбор пространства V^1, которому принадлежит функция Фп, обеспечивает разную степень локализации излагаемого метода. Эту степень определяет параметр 1\ самая сильная степень локализации достигается при I = 1 (|виррФ^| — /г), самая слабая — при I — п + 1 (| supp = (n+l)h). Чем сильнее локализация, тем ниже точность аппроксимации, тогда как ослабление локализации в конечном итоге позволяет получить более выгодные оценки погрешности приближения.

Вторая глава посвящена оценкам погрешности приближения функций оператором Тп.

Тот факт, что оператор Тп воспроизводит сплайны степени п позволяет сразу провести оценки через наилучшие приближения.

Если функция / G U — некоторому нормированному пространству, a Sn является подпространством U, то величина E(f) = inf ||/ — s\\u s€Sn называется наилучшим приближением функции / подпространством Sn в пространстве U. Поскольку Sn конечномерно, то существует функция sn £ <Sn, называемая элементом наилучшего приближения, такая что Е(Л=\\/-зп\\и.

Пусть Тп — линейный оператор из U в Sn. Для / € Sn верно равенство Tnf = /. Из предыдущих рассуждений получаем оценку через наилучшее приближение для разности f—Tnf: если выполняется условие \\Tnf\\u < C\\f\\u для всех / € U, то f-Tnf\\u < \\Г-8п\\и + \\Тп(!-зп)\\и (i+C)\\f-sn\\u = (1 + C)E(f).

В последующих оценках предполагается, что Фп в теореме I выбрана с j = О, I = п для всех коэффициентов, для которых это возможно.

При 1 < р ^ оо обозначим ||ФП||Р = ЦФ^Нь^о,^], f\\v=([\f(x)\4xy\l^p<oo, ll/Цоо = ess sup \f(x)\. i/ T жб/

В следующих двух теоремах считается, функция / либо периодическая, либо задана на R.

Теорема II. Пусть / <Е LP(I), 1 ^ р ^ оо; ^ + ^ = 1. Тогда

1МР ^ Cn>p\\f\\p, где Сп>р = in + 1)*||ФП||9.

Теорема III. Пусть / € LSV(I), ^ + ^ = l^s^n, n = 1, 2, 3. Тогда sTnf\\p ^ с(п1в,р)||Фл||9||/(я)||р.

Для случая n = 1, / £ Li(J) или 1/2 (-0 справедливы более точные оценки:

Теорема IV. Ясли / е L](/), то ЦТ1/Ц1 ^ |||/||i

Теорема V. Пусть f е L2(I). Тогда

1171/112 ^ А||/||2.

В третьей главе описываются свойства оператора Т\ в Ь2.

Указанные в теореме I способы выбора функции Ф1 являются оптимальным в смысле нормы оператора Ti в При любом другом выборе функции Ф1 с сохранением локализации и свойства Т\/ = / для всех f € Si получим, что ||Ti||2 ^ если БиррФх = [-1,1], ||Ti||2 ^ 2, если supp Ф1 = [-1,0] либо supp Фх = [0,1].

Рассмотрим сначала более простой периодический случай. Сформулируем задачу: найти такую функцию ip Е Ь2(—1,1), что оператор г=0 является точным на подпространстве S\ и имеет при этом минимально возможную норму ||Ti||2.

Сформулированная выше задача эквивалентна задаче

AmaxPiTi) -»■ min, J if;(x)Bi(x) dx = 1,

1 и

J хф(х) dx = J хф(х) dx = 0. (11)

В теореме I приводятся три возможных способа задания функции ф (функция <3?i): а) ф(х) = 6х + 4 при х е (-1, 0], ф(х) = 0 при х 6 (0,1), б) ф(х) = 0 при ж е (-1,0), ф(х) = 4 - бж при х G [0,1), в) ф{х) = 2- 3\х\ = ЗВг(х) - 1 при х € (-1,1).

Оказывается, что при таких определениях функции ф норма оператора Ti минимальна.

Теорема VI. Пусть ф 6 1/2(—1,1), ф{(х) = ^(iVa; - г), г = 0,., N - 1, supp^ = [—1,0] либо supp ф = [0,1]. На этом классе минимум в задаче (11) достигается на функциях (а) и (б) и равен 4.

Теорема VII. Среди функций ф е Ь2{-1,1), ф{(х) = ф{Ых - г), г = 0,., N - 1, функция (в) доставляет задаче (11) минимум, равный

В непериодическом случае значение | является оптимальным с точностью до O(h), т. е. является асимптотически оптимальным.

Будем считать, что функции заданы на треугольнике Ai = ОЛ1А2. Разобьём стороны треугольника Ai на п равных частей, через точки деления проведём прямые, параллельные двум другим сторонам. Пусть Т — совокупность треугольников, на которые разбивается треугольник Ai, (.хгз, yij), г = 0,., п, j = 0,., п—г (нумерация по г ведется снизу вверх, по j — слева направо), — вершины треугольников А £ Т. Количество этих вершин равно (п + 1)(п + 2)/2.

Пусть Sn = {/ е C(Ai) : f(x, у) = а(А) + Ъ(А)х + с{А)у при (х, у) £ А, А 6 Т} — пространство кусочно-плоскостных функций на треугольнике Ai. Размерность линейного пространства Sn равна (n+l)(n + 2)/2.

Треугольник Ai достроим до шестиугольника A1A2A3A4A5AQ, как показано на рис. 3. Рассмотрим функцию двух переменных Ф(х,у), являющуюся линейной на каждом треугольнике A*;, k = 1,., 6, такую, что Ф(0,0) = 1 и Ф(х, у) = 0 на границе шестиугольника A1A2A3A4A5AQ и вне его. Иными словами, функция Ф представляет собой пирамиду, в основании которой лежит шестиугольник AiAzA^A^A^Aq. iV

Аз А2 д2 /Аз \ / Д1\ /о \

X4/ \ J Ах X \ Дб / а5\ /

As А6

Рис. 3.

Система функций

Фу-(ж,у) = Ф(п(ж - Xij),n(y - yij)), г =0,. ., n, j = 0,. . ,п - г, рассматриваемая на треугольнике Ai, является базисом пространства Sn. Поэтому любую функцию / G <5П можно единственным образом представить в виде f(x,y) = Tf(x,y), где п тс—г

Т/(х,у) - (я:, у) G Ai. (12) г=0 j'=0

Пусть (xij, у^), г = 0,., п, j = 0,. ,п — i, — вершина некоторых треугольников A G Т. Объединение треугольников A G Т с общей вершиной (х^, у^) обозначим через Н\j. Для внутренних точек Н^ представляет собой шестиугольник, подобный AiA^A-^A^A^Aq-, для граничных точек, не являющихся угловыми, Н\j — половина шестиугольника, содержащаяся в треугольнике Ai, для угловых точек — единственный треугольник A G Т с вершиной в этой точке.

Теорема VIII. Для всех f G Sn и (х,у) G Ai выполняется равенство Tf = f, если коэффициенты оператора (12) вычисляются по формулам

Cij = JJ^ f {х, у) {12Ф^(х, у)-3)dxdy,i == 0,. ., п, j = 0,. ., n-i.

Для оценки погрешности можно использовать, например, такую оценку сильного типа:

Теорема IX. Если f 6 Lp(Ai), 1 ^ p ^ oo, mo

Tf\\p < Cq\\f\\P: - + " = !, p q где

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Лыткин, Сергей Михайлович, Москва

1. С. Малла. Вэйвлеты в обработке сигналов. М.: "Мир", 2005.

2. И. Добеши. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001.

3. Ч. Чуй. Введение в вэйвлеты. М.: "Мир", 2001.

4. И. Я. Новиков, В. Ю. Протасов, М. А. Скопина. Теория всплесков. М.: "Физматлит", 2005.

5. Ю. С. Завьялов, Б. С. Квасов, В. JI. Мирошниченко. Методы сплайн-функций. М.: "Наука", 1984.

6. Н. П. Корнейчук. Сплайны в теории приближения. М.: "Наука", 1984.7} С. Б. Стечкин, Ю. Н Субботин. Сплайны в вычислительной математике. М.: "Наука", 1976.

7. L. L. Schumaker. Spline Functions. Basic Theory. Cambridge University Press, N.Y., 2007.

8. К. де Бур. Практическое руководство по сплайнам. М.: "Радио и связь", 1985.

9. Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. Численные методы. М.: Наука, 1987.

10. I. J. Schoenberg. Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions, Part A: On the problem of smoothing of graduation, a first class of analytic approximation formulae. Quart. Appl. Math. 4, 45-99.

11. I. J. Schoenberg. Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions, Part B: On the problem ofoscillatory interpolation, a second class of analytic approximation formulae. Quart. Appl. Math. 4, 112-141.

12. А. И. Гребенников. Об одном методе построения интерполяционных кубических и бикубических сплайнов на равномерных сетках. Вестн. Моск. ун-та. Сер. Выч. мат. и кибернетика. № 4, 1978, 12-17.

13. Ю. Н. Субботин. Экстремальные задачи функциональной интерполяции и интерполяционные в среднем сплайны. Тр. МИАН СССР. 138, 1975, 118-173.

14. Дж. Альберг, Э. Нильсон, Дж. Уолш. Теория сплайнов и ее приложения. М.: "Мир", 1972.

15. С. de Boor, G. Fix. Spline approximation by quasi-interpolants. J. Approx. Theory. 8:1, 1973, 19-45.

16. T. Lych, L. L. Schumaker. Local spline approximation methods. J. Approx. Theory. 15:4, 1975, 294-325.

17. Б.С.Кашин, А. А. Саакян. Ортогональные ряды. M.: "Наука", 1984.

18. Т. П. Лукашенко. О новых системах разложения и их свойствах. Че-бышевский сборник. 5:2, 2004, 77-78.

19. В.А.Зорич. Математический анализ. Часть I. М.: "ФАЗИС", 1997.

20. М.И.Дьяченко, П.Л.Ульянов. Мера и интеграл. М.: "Факториал", 1998.

21. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: "Наука", 1989.

22. И. В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре, М.: "Наука", 1978.

23. Р.Хорн, Ч.Джонсон. Матричный анализ. М.: "Мир", 1989.

24. Э. М. Галеев, В. М. Тихомиров. Оптимизация: теория, примеры, задачи. М.: Эдиториал УРСС, 2000.

25. Лыткин С. М. Разложение по системе сдвигов Б-сплайна. Матем. заметки. Т. 86. № 6, 2009. 859-869.

26. Лукашенко Т. П., Лыткин С. М. Разложение по системе сдвигов пирамидальных функций. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Мех. № 4, 2009. 22-28.

27. Лыткин С. М. Разложение по системе всплесков Б-сплайна первого порядка. Современые проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 13-й Саратовской зимней школы. Саратов, "Научная книга", 2006. 111-112.

28. Лыткин С. М. Разложение по системе всплесков кубического В-сплайна. Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы Воронежской зимней математической школы. Воронеж, ВГУ, 2007. 142-143.

29. Лыткин С. М. Разложение по системе сдвигов пирамидальных функций. Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конференции Воронежской зимней математической школы. Воронеж, ВГУ, 2009. 111-112.