Условия сходимости орторекурсивных разложений в гильбертовых пространствах

Политов, Антон Викторович

Условия сходимости орторекурсивных разложений в гильбертовых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Политов, Антон Викторович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Условия сходимости орторекурсивных разложений в гильбертовых пространствах»

Автореферат диссертации на тему "Условия сходимости орторекурсивных разложений в гильбертовых пространствах"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.518.3

Политов Антон Викторович

Условия сходимости орторекурсивных разложений в гильбертовых пространствах

Специальность 01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005059054

16 МАРІ 2013

Москва — 2013

005059054

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор

Лукашенко Тарас Павлович,

кандидат физико-математических наук,

доцент

Галатенко Владимир Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Лившиц Евгений Давидович ООО Эверноут ведущий программист

кандидат физико-математических наук Панкратьев Антон Евгеньевич МГУ имени М. В.Ломоносова доцент кафедры МаТИС

Ведущая организация: Московский государственный

технологический университет СТАНКИН

Защита состоится 24 мая 2013 г. в 16 час. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 в Московском государственном университете имени М. В.Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, д. 1, Главное здание, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М.В.Ломоносова.

Автореферат разослан 24 апреля 2013 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория ортогональных рядов (рядов Фурье) — одно из традиционных направлений математики, изначально появившееся при изучении различных физических явлений, таких как теплопроводность, колебания струны, распространение звука. Одним из основоположников этой теории стал Даламбер, проинтегрировавший в 1747 году уравнение звучащей струны, что послужило началом для целого ряда работ, раскрывших понятие произвольной функции. Первоначальный вопрос, стоявший перед Даламбером, заключался в следующем: если произвольно отклонить струну от ее положения равновесия, существует ли формула, точно изображающая начальное положение этой струны?

В первой половине XIX века при изучении теплопроводности Фурье предложил метод вычисления коэффициентов тригонометрического ряда, изображающего «произвольную» функцию. Этот метод довольно быстро нашёл приложения в других областях, например, в астрономии и акустике.

В дальнейшем ортогональные ряды стали рассматриваться не только по тригонометрической системе, но и по другим функциональным системам; рядами Фурье стали называть разложения по произвольному ортогональному базису в произвольном гильбертовом пространстве.

Ряды Фурье обладают многими положительными с практической точки зрения свойствами: простота вычисления коэффициентов; быстрое вычисление погрешности благодаря равенству Бесселя; отсутствие необходимости пересчета коэффициентов, если понадобилось увеличить точность приближения. По этой причине по мере развития информационных технологий расширилась сфера применения рядов Фурье — они стали применяться при обработке, передаче и хранении различных сигналов, таких, как изображения, аудиофрагменты, видео.

Однако у рядов Фурье есть и недостатки. Если система, по которой в данной задаче удобно производить разложение, неортогональна, то разложить в ряд Фурье по ней нельзя, поэтому существенно ограничивается область применения разложений в ряды Фурье. Кроме того, если при передаче или вычислении коэффициентов появилась погрешность, ее нельзя устранить, вычисляя остальные коэффициенты: ряд с неверными коэффициентами не может сходиться к разлагаемому элементу.

Ввиду изложенных недостатков возникла задача определить процесс разложения, наследующий преимущества классических ортогональных

разложений, но лишённый перечисленных недостатков. В работе рассматривается один из возможных способов решения этой задачи — орто-рекурсивные разложения (ОРР). Изучается случай абстрактного гильбертова пространства с заданной в нем системой элементов и имеющий прикладное значение случай разложения по системе подпространств — рассмотрен случай с произвольными подпространствами и некоторые частные случаи систем функций в ¿2-

Исследование сходимости ОРР является достаточно новой областью, изучавшейся в работах Т. П. Лукашенко1', В. В. Галатенко2', А. Ю. Кудрявцева3'. Понятие орторекурсивных разложений было введено Т. П. Лукашенко в 2000-2001 годах. Напомним определение ОРР.

Пусть И. — гильбертово пространство и £ = {е^}^ — система нормированных векторов из Л.

Определение 1. Пусть / — произвольный вектор, лежащий в "Н. Обозначим через Д скалярное произведение (/, е{), через — разность / ~ Деь Пусть уже найдены Д,..., Д и г 2,.. ■, г к. Положим

Д+1 = (Гк,ек+1)

и ^

Гк+\ =Гк — Л+1е*+1-

Ряд Де^ называется орторекурсивным рядом Фурье элемента / по системе £, а последовательность {Д}^ — последовательностью орторекурсивных коэффициентов Фурье элемента / по системе £.

Для орторекурсивных разложений сохраняются такие свойства обычных рядов Фурье, как равенство Бесселя

1К(/)||2 = и/||2-Е1д|2

и неравенство Бесселя

оо

£|д|2<ш2-к=1

^Лукашенко Т.П., О свойствах орторекурсивных разложений по неортогоналъным системам. // Вестн. Моск. ун-та. Матем.механ. 2001. №1. 6-10.

2'Галатенко В.В. Об орторекурсивном разложении по некоторой системе функций с ошибками при вычислении коэффициентов // Матем. сб., 195:7 (2004), 21-36.

3> Кудрявцев А.Ю., О сходимости орторекурсивных разложений по неортогоналъным всплескам.

// Матем. заметки, 92:5 (2012), 707-720.

Кроме того, сходимость к разлагаемому элементу эквивалентна равенству Парсеваля

£|Л1а = 11/На-

к=1

Эти утверждения были доказаны Т. П. Лукашенко4^.

Отметим, что если система, по которой производится разложение, является ортонормированным базисом, то полученный орторекурсивный ряд совпадает с классическим рядом Фурье.

В случае неортогональных систем полнота системы, по которой производится разложение, не гарантирует сходимости орторекурсивного ряда к разлагаемому элементу. В связи с этим возникает задача исследовать условия, при которых эта сходимость имеет место.

В прикладных задачах часто возникают вычислительные погрешности, в частности, погрешности в вычислении коэффициентов. Поэтому возникает задача формализации вычислительных ошибок и исследования устойчивости ОРР к появляющимся ошибкам.

В некоторых задачах более естественно рассматривать разложения по системе подпространств. Например, при разложении по системам сжатий и сдвигов естественно рассматривать как отдельное подпространство линейные оболочки функций одной пачки.

Идея рассмотрения ОРР по системе подпространств была предложена А. Ю. Кудрявцевым и существенно развита Т. П. Лукашенко и В. А. Садовничим5'

Определим ОРР по системе подпространств следующим образом. Пусть в пространстве ТС задана система произвольных замкнутых подпространств {Т^п}^!- Обозначим через Рп ортогональный проектор на подпространство Нп. Для удобства дальнейшего изложения введем еще одно обозначение:

Р^ = Ы - Р„,

где 1(1 — единичный оператор. Для произвольного элемента / £ Н по-

Лукашенко Т.П., О свойствах орторекурсивных разложений по неортогоналъным системам. // Вести. Моск. ун-та. Матем.механ. 2001. №1. 6-10.

Лукашенко Т.П., Садовничий В. А. О рекурсивных разложениях по цепочке систем. // Доклады Российской Академии наук 425:6(2009), 741-746.

6,Лукашенко Т.П., Садовничий В.А. Орторекурсивные разложения по подпространствам. // Доклады Российской Академии наук 445:2(2012), 135-138.

ложим __

_ /1 = Рх/;

далее, если уже определены /ь /2, ■ • ■ , /п-Ъ положим

Д = Р„г„_1(/),

где

п-1 ¿=1

оо _

Определение 2. Ряд /« называется обобщенным ортпорекурсив-

п=1

ным рядом Фурье элемента / по системе подпространств •

Для разложений по системам подпространств остаются справедливыми аналоги равенства и неравенства Бесселя, эквивалентность равенства Парсеваля сходимости разложения к разлагаемому элементу. Равенство Бесселя принимает вид

1М/)и2 = ||/||2-Еил||2, к=1

неравенство Бесселя — вид

оо

£ш12<ш2, к=1

а равенство Парсеваля, также верное тогда и только тогда, когда разложение сходится к разлагаемому элементу, — вид

оо

Еш12 = 11/и2-к=1

Доказательства этих утверждений аналогичны соответствующим доказательствам для ОРР по системе векторов.

Заметим, что в случае Нп — (еп) разложение совпадает с введенным выше ОРР ПО системе элементов {еп}^.

А. Ю. Кудрявцевым были рассмотрены орторекурсивные разложения по системам сжатий и сдвигов фиксированной функции.

Определение 3. Пусть ip{x) € L2[0,1), ||у(а;)||2 = 1 и (р(х) ~ 0 вне [0,1).

Система

<ры(х) = 2к^{2кх - I), к = О,1,2,..., I = 0,1,..., 2* - 1,

называется системой двоичных сжатий и сдвигов функции <р(х).

Будем обозначать ее через S(ip). Занумеруем элементы S(ip) натуральными числами, взяв в качестве п-го элемента функцию ^¡(х), где к и I таковы, что п = 2к + I (при указанных в определении ограничениях на к и I такое представление существует и единственно для каждого натурального п).

По занумерованной таким образом системе можно рассматривать ОРР, беря в качестве еп функцию с номером п. Однако для разложений по системам сжатий и сдвигов будет удобно ввести подпространства (линейные оболочки функций (fk,i при фиксированном к)

Ш = ...,

и рассматривать проекции на них. Ввиду того что при фиксированных к функции <{>ь,1 ортогональны друг другу, разложение по этой системе подпространств будет эквивалентно обычному ОРР по системе S(<p).

Исторически первым примером системы сжатий и сдвигов является система Хаара7). Позже в работах различных математиков (Добеши8), Мейер9) и др.), рассматривались разложения функций и по другим системам сжатий и сдвигов.

Недостаток системы Хаара, как и других ортонормирован'ных базисов, заключается в том, что, как уже говорилось выше, разложение по ним неустойчиво к малым изменениям системы и ошибкам при вычислении коэффициентов, вызванным, например, вычислительными погрешностями. Этот недостаток может быть устранен переходом к неортогональным системам сжатий и сдвигов. Если ошибки не очень большие и ОРР по такой системе сходится к разлагаемому элементу, то ОРР с такими ошибками по-прежнему будет сходиться в точности к разлагаемому элементу.

7'Нааг А., Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme. //Math. Ann. 1910. 69. 331-371.

8'Daubechies I., Orthonormal bases of compactly supported wavelets // Communs. Pure and Appl. Math. 41:7(1988). 909-996.

s>Meyer Y., Wavelets and operators.Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1992.

Интересным представляется изучение условий сходимости обычных и обобщенных орторекурсивных разложений для последующего использования ОРР в прикладных задачах.

Цель работы. Целью работы является изучение общих свойств орторекурсивных разложений, включая исследование условий, достаточных для сходимости к разлагаемому элементу, а также орторекурсивных разложений по системам сжатий и сдвигов.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основные результаты состоят в следующем.

- Получен критерий, связывающий сходимость орторекурсивных разложений и матрицу Грама системы, по которой происходит разложение, а также сформулировано в терминах матрицы Грама необходимое условие устойчивости ОРР к любому конечному числу ошибок.

- Найдены формулы, позволяющие выразить орторекурсивные коэффициенты через матрицу Грама системы, по которой производится разложение.

- Установлены достаточные условия сходимости обобщенных орторекурсивных разложений.

- Изучена сходимость ОРР по обобщенным системам сжатий и сдвигов.

Основные методы исследований включают как классические методы математического анализа и теории функций действительного переменного, так и активно развивающиеся в последние годы методы, связанные с теорией орторекурсивных разложений.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит преимущественно теоретический характер. В то же время полученные результаты могут найти применение в изучении различных систем разложения. Кроме того, полученные результаты уже оказались востребованы при обработке и анализе сигналов в тактильной механорецепторной диагностике10^ и в геномных исследованиях.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова:

10)Садовничий В.А., Буданов М.В., Галатенко A.B., Галатенко В.В., Лебедев А.Е., Лемак С.С., Лукашенко Т.П., Петров A.A., Подольский В.Е., Семейко A.A., Соколов М.Э., Яковлев И.С., Математические задачи и методы в тактильной диагностике. М.: МАКС Пресс Москва, 2008.

- на семинаре по теории ортогональных рядов под руководством проф. Т.П. Лукашенко, проф. М.К. Потапова, проф. В.А. Скворцова и проф. М. И. Дьяченко (неоднократно, 2010-2012),

- на семинаре по теории ортоподобных систем под руководством проф. Т. П. Лукашенко, доц. В. В. Галатенко и доц. Т. В. Родионова (неоднократно, 2007-2012),

- на семинаре по теории ортогональных рядов под руководством акад. РАН, проф. Б. С. Кашина и чл.-корр. РАН, проф. С. В. Коняги-на(2010).

Результаты диссертации также докладывались на российских и международных конференциях: механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова:

- на Воронежских зимних математических школах "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (2009, 2011),

- на Саратовских зимних математических школах "Современные проблемы теории функций и их приложения" (2008, 2010, 2012),

- на международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ акад. В. А. Садовничего (2009).

Публикации. Список основных работ автора по теме диссертации приведен в конце автореферата (8 публикаций). Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-2], вышедших в журналах, входящих в список ВАК.

Поддержка. Работа подготовлена в рамках исследований, проводимых совместно с научно-техническим центром «БиоКлиникум» (ГК 14.514.11.4025 от 10 августа 2012 г.).

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 31 наименование. Общий объем диссертации составляет 69 страниц.

Содержание работы

Во введении дается общий обзор исследуемой проблемы, формулируются решаемые задачи и приводятся основные результаты работы.

Глава 1 посвящена исследованиям свойств орторекурсивных разложений с заранее известной структурой системы векторов, то есть с известной матрицей Грама. В главе 1 предполагается, что гильбертово пространство сепарабельно и рассматривается над полем действительных чисел. Оно будет обозначаться через Ті. Скалярное произведение в Л будем обозначать через (•,•). Через £ = {еп}^=і обозначим произвольную счетную нормированную систему векторов в Ті.

Через дц будем обозначать скалярное произведение (е^, е^). Через С обозначим матрицу Грама системы £, то есть матрицу, состоящую из дц. Через Н обозначим треугольную матрицу, у которой элементы, лежащие не выше главной диагонали, совпадают с элементами С, а остальные элементы равны нулю (то есть С? = Н + Н~ — I, где I — единичная матрица).

Для произвольного еп Є £ рассмотрим его орторекурсивный ряд Фурье ПО системе £, который будет иметь ВИД где Спк = (е„)к. Матрицу, состоящую из чисел с^ (то есть в п-й строке стоят орторекур-сивные коэффициенты вектора еп) обозначим через С.

Глава состоит из шести параграфов.

В параграфе 1 приведены необходимые сведения о действиях с бесконечными матрицами и описаны основные отличия от операций над конечными матрицами.

Параграф 2 содержит критерий, связывающий сходимость ОРР и матрицу Грама системы, по которой производится разложение.

Полученный критерий внешне значительно отличается от известной в простейшем случая формулировки — теоремы В. В. Галатенко для случая двумерного пространства. Связь между общим и частным критериями раскрыта в параграфе 3.

В параграфе 4 приведена лемма, указывающую на глубокую связь между обращением матрицы Н и орторекурсивными разложениями в принципе — элементы обращенной матрицы являются орторекурсивными коэффициентами для некоторых векторов и систем, тесно связанных с исходной системой векторов.

В параграфе 5 приведён результат, дополняющий теоремы В. В. Галатенко об ОРР с ошибками в вычислении коэффициентов и опирающийся на результат, полученный в предыдущем параграфе.

Ошибки и устойчивость формализуются следующим образом11^.

"'Галатенко В.В.,. Об орторекурсивном разложении с ошибками в вычислении коэффициентов. // Изв. РАН. Сер. матем., 2005. 69:1, 3-16.

Определение 4. Индуктивно определим последовательность остатков разложения и последовательность коэффициентов разложения (верхний индекс указывает на то, что в вычислении коэффициентов разложения возможны ошибки). Положим

гШ) = /•

Если уже определен остаток то положим

Тп+1 = «>еп+1)(1 + е«+1) + £п+1,

где £п+1 и £п+1 — некоторые числа. Положим

<+!(/) = <(/) - 7п+1еп+1-

Определение 5. Ряд Гпеп называется орторекурсивным разложением элемента / по системе £ с ошибками Е —

Отметим, что орторекурсивное разложение по системе £ с нулевыми ошибками совпадает с обычным орторекурсивным разложением по этой системе.

Определение 6. Будем говорить, что орторекурсивное разложение по системе £ абсолютно устойчиво к любому конечному числу ошибок в вычислении коэффициентов, если для любого элемента / £ Н и любого целого неотрицательного числа N орторекурсивное разложение элемента / по системе £', полученной из системы £ удалением первых N элементов, сходится к /.

В параграфе 5 получена теорема, связывающая абсолютную устойчивость ОРР к любому конечному числу ошибок в вычислении коэффициентов и матрицу Грама системы, по которой производится разложение.

Параграф 6 содержит формулу для вычисления орторекурсивных коэффициентов через матрицу Грама системы, по которой осуществляется разложение.

Основными результатами главы являются следующие теоремы. Теорема 1.1. Пусть замыкание линейной оболочки £ совпадает с Н. Следующие утверждения эквивалентны.

1) Орторекурсивный ряд Фурье каждого элемента f £ "К по системе £ сходится к разлагаемому элементу;

2) выполнена система условий:

а) G(H~lG) = G,

б) (CH)CT = С(НСТ).

Теорема 1.3. Если система £ устойчива к любому конечному числу ошибок, то имеет место равенство

GH'l = 0.

В главе 2 сходимость исследуется для более общего случая — ОРР по системе замкнутых подпространств {Wn}£Li- Результаты этой главы получены с использованием некоторых идей, высказанных А. Ю. Кудрявцевым: рассматривается система вложенных пространств, для которой сходимость доказывается тривиально, а затем выясняется, насколько можно изменить вложенные подпространства {Т>п}^=1 так, чтобы ОРР по измененной системе по-прежнему сходилось к разлагаемому элементу для каждого разлагаемого элемента. Глава состоит из 3 параграфов. Параграф 1 содержит необходимые определения. В параграфе 2 рассмотрен важный частный случай разложений — разложения по системе вложенных подпространств.

В параграфе 3 получены достаточные условия сходимости обобщенных ОРР.

Основной результат главы (теорема 2,1) сформулирован в терминах операторных норм (D„ — проекторы на подпространства из системы вложенных подпространств, Р„ — проекторы на подпространства из системы {W„}~ і).

Теорема 2.1. Пусть выполнены следующие соотношения:

1) lim £ ||D£P„||2 < оо,

n-^oo fc=1

2) lim HDjJ-P n|| — 0 при фиксированном fc,

n—»CO

3) lim ||P^D„|| = В < 1.

n—»00

Тогда обобщенное ОРР каждого элемента f из гильбертова пространства Ті по системе {Нп} сходится к разлагаемому элементу.

В главе 3 на основе результатов главы 2 доказывается теорема о сходимости ОРР по системе двоичных сжатий и сдвигов.

Теорема . Пусть функция <р(х) е Ь2[ 0,1) такова, что f <p(x)dx /Ои

оо

J2 шЦф, 2~к) < оо, где <5) — интегральный модуль непрерывности к=1

в L2[0,1). Тогда для каждого элемента из L^Q, 1) ОРР этого элемента по S(ip) сходится к разлагаемому элементу в метрике Lч-

Кроме того, рассмотрен ряд частных случаев, обобщающих эту теорему, каждый из которых может иметь практическое применение, например, в обработке сигналов (пункты 3.1, 3.2, 3.3) или изображений (параграф 4).

Результаты главы 3 сформулированы в терминах функций, порождающих системы сжатий и сдвигов, и их модулей непрерывности.

Автор искренне благодарит научных руководителей профессора Тараса Павловича Лукашенко и доцента Владимира Владимировича Гала-тенко за постановку задач, многочисленные обсуждения диссертации и конструктивные замечания, а также В. В. Богомазова и Д. Е. Александрова за помощь в редактировании текста диссертации.

Работы автора по теме диссертации

1. Политов A.B., Орторекурсивные разложения в гильбертовых пространствах. //Вестник МГУ.Сер.1.Матем.,мех. 2010. №3. 3-7.

2. Политов A.B., Критерий сходимости орторекурсивных разложений в евклидовых пространствах. //Математические заметки, 93:4(2013), 637-640.

3. Политов A.B., Орторекурсивные разложения в гильбертовых пространствах. Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 14-й Саратовской зимней школы, — Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 2008. 146-147.

4. Политов A.B., Орторекурсивные разложения по системе сжатий и сдвигов нескольких функций. Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. Воронежской зимней математической школы - Воронеж, ВГУ, 2009. 144-145.

5. Политов A.B., Орторекурсивные разложения по системе сжатий и сдвигов нескольких функций. Современные проблемы математики,

механики и их приложений. Материалы международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В. А. Садовни-чего. — Москва: Издательство «Университетская книга», 2009. 89-90.

6. Политов A.B., Критерий сходимости орторекурсивных разложений в гильбертовых пространствах. Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 15-й Саратовской зимней школы. — Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 2010. 141-142.

7. Политов A.B., Критерий сходимости орторекурсивных разложений в гильбертовых пространствах. Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. Воронежской зимней математической школы — Воронеж, ВГУ, 2011. 268-269.

8. Политов A.B., Достаточные условия сходимости орторекурсивных разложений на квадрате. Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 16-й Саратовской зимней школы. — Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 2012. 135.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ ' Тираж ¡00 экз. Заказ №

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Политов, Антон Викторович, Москва

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. М.В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

04201356460 На пРавах РУКОПИСИ

УДК 51*518.3

Политов Антон Викторович

Условия сходимости орторекурсивных разложений в гильбертовых пространствах

Специальность 01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный

анализ

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители — доктор физико-математических наук, профессор Лукашенко Т. П. кандидат физико-математических наук,

доцент Галатенко В. В.

Москва 2013

Содержание

Введение.........................................................4

Орторекурсивные разложения в гильбертовом пространстве .... 6 Орторекурсивные разложения по системам подпространств .... 9

Цель работы............................... 14

Структура и основные результаты работы .............. 15

1 ОРР в матричном виде......................................19

1.1 Общие сведения об операциях над бесконечными матрицами . 19

1.1.1 Определение бесконечных матриц и основных операций

над ними ....................................................19

1.1.2 Обращение бесконечных матриц..........................22

1.2 Критерий сходимости ОРР........................................25

1.3 Связь между формулировками в двумерном случае............34

1.4 Связь между матрицей Грама системы векторов и орторекур-сивными разложениями по подсистемам этой системы..........40

1.5 Необходимое условие устойчивости к ошибкам в терминах матрицы Грама..........................................................41

1.6 Формула для вычисления орторекурсивных коэффициентов с помощью матрицы Грама..........................................42

2 Достаточные условия сходимости обобщенных ОРР.........46

2.1 Основные определения....................... 46

2.2 Система вложенных подпространств............... 47

2.3 Достаточные условия сходимости................. 48

3 Сходимость ОРР по системам сжатий и сдвигов............54

3.1 Приближения КуСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ функциями В 1/2..........54

3.2 Доказательство теоремы о сходимости ОРР по системе двоичных сжатий и сдвигов..............................................56

3.3 Обобщенные системы сжатий и сдвигов..........................59

3.3.1 Системы сжатий и сдвигов с недвоичными сжатиями . 59

3.3.2 Системы сжатий и сдвигов нескольких функций .... 61

3.3.3 Системы сжатий и сдвигов произвольного семейства функций......................................................62

3.4 Системы сжатий и сдвигов на квадрате..........................63

Заключение.....................................................65

Список литературы.............................................66

Введение

Теория ортогональных рядов (рядов Фурье) — одно из традиционных направлений математики, изначально появившееся при изучении различных физических явлений: теплопроводности, колебаний струны, распространения звука. Одним из основоположников этой теории стал Даламбер, проинтегрировавший в 1747 году уравнение звучащей струны, что послужило началом для целого ряда работ, раскрывших понятие произвольной функции. Первоначальный вопрос, стоявший перед Даламбером, был таким: если произвольно отклонить струну от ее положения равновесия, существует ли формула, точно изображающая начальное положение этой струны?

Фурье дал утвердительный ответ на этот вопрос, предложив метод вычисления коэффициентов тригонометрического ряда, изображающего «произвольную функцию». Он использовал свои методы для создания теории теплопроводности, но они достаточно быстро стали мощным инструментом исследований в астрономии, акустике, теории приливов и других прикладных науках. Более подробная информация о задаче Фурье и смежных вопросах содержится, например, в [1].

Несмотря на то, что работы Фурье не отличались полной строгостью (достичь ее удалось только во времена Гильберта), они коренным образом изменили представления своего времени — тогда большинство, включая Эйлера, считало, что каждому аналитическому выражению соответствует кривая, последовательные части которой зависят друг от друга. Однако Фурье доказал, что такое понимание ошибочно, так как физик, чертящий кривую, всегда может изменить ее направление, и любую начерченную кривую возможно задать одной формулой.

В дальнейшем стали рассматривать ортогональные ряды не только по тригонометрической системе, но и по другим системам; рядами Фурье стали называть разложения по произвольному ортогональному базису в произвольном гильбертовом пространстве. История вопроса и некоторые результаты исследований изложены в работах [2]-[7].

Ряды Фурье обладают многими полезными для приложений свойствами: простое вычисление коэффициентов; быстрое вычисление погрешности благодаря равенству Бесселя; отсутствие необходимости пересчета коэффициентов. если понадобилось увеличить точность приближения. По этой причине по мере развития информационных технологий расширилась сфера применения рядов Фурье — они стали применяться при обработке, передаче и хранении различных сигналов, таких, как изображения, аудиофрагменты, видео. При этом нужный сигнал моделируется некоторым элементом пространства со скалярным произведением; пространство и базис в нем выбираются, исходя из особенностей конкретной задачи.

Ввиду изложенных недостатков возникает задача определить процесс разложения, наследующий преимущества классических ортогональных разложений, но лишённый перечисленных недостатков. В работе рассматривается один из возможных способов решения этой задачи — орторекурсивные

разложения (ОРР). Изучается случай абстрактного гильбертова пространства с заданной в нем системой элементов и имеющий прикладное значение случай разложения по системе подпространств — рассмотрен случай с произвольными подпространствами и некоторые частные случаи систем функций в Ь2.

Орторекурсивные разложения в гильбертовом пространстве

Исследование сходимости ОРР является достаточно новой областью, изучавшейся в работах Т. П. Лукашенко, В. В. Галатенко, А. Ю. Кудрявцева ([8] - [13]). Понятие орторекурсивных разложений было введено Т. П. Лукашенко в 2000-2001 годах (см. [12]). Напомним определение ОРР.

Пусть % — гильбертово пространство и £ — {еп}^=1 — система нормированных векторов из Л.

Определение 1. Пусть / — произвольный вектор, лежащий в У.. Индуктивно определим последовательность коэффициентов {/к}ь=1 и последовательность остатков {г/с}^. Положим

ГО = /,

1к+1 = {гк, ек+1), Гк+1 = Г к - /к+1вк+1-

Ряд 1пеп называется орторекурсивным рядом Фурье элемента / по системе £. а последовательность {Д}^ — последовательностью орторекурсивных коэффициентов Фурье элемента / по системе £.

Для введенных разложений сохраняются такие свойства обычных рядов

Фурье, как равенство Бесселя

1К(/)||2 = ||Л12-Ей2

к=1

и неравенство Бесселя

£|Л12<НЛ12.

к=1

Кроме того, сходимость к разлагаемому элементу эквивалентна равенству Парсеваля

оо

£|Л12 = НЛ12.

к=1

Доказательства этих утверждений приведены в [13].

Для неортогональных систем полнота системы, по которой производится разложение, не гарантирует сходимости орторекурсивного ряда к разлагаемому элементу. Для случая пространства К2 известен следующий критерий сходимости В. В. Галатенко [14].

Теорема А. Орторекурсивное разложение произвольного элемента из Ж2 сходится к разлагаемому элементу тогда и только тогда, когда справедливо условие

оо

П 9п.гь+1 = О, п=1

где

9гз = (ег; ез)~

Приведенный критерий был получен при изучении устойчивости орторе-

курсивных разложений с ошибками.

Ошибки и устойчивость понимаются в следующем смысле.

Определение 2. Индуктивно определим последовательность остатков разложения и последовательность коэффициентов разложения (верхний индекс указывает на то, что в вычислении коэффициентов разложения возможны ошибки). Положим

гео(Л = /•

Если уже определен остаток г®, то положим

Тп+1 = «> еп+1)(1 + £п+1) + и+1;

где £п+\ и — некоторые числа. Положим

<+!(/) = <(/) — /п+1еп+1-

Определение 3. Ряд 1пеп называется орторекурсивным разло-

жением элемента / по системе Е с ошибками Е — {(еп,

Отметим, что орторекурсивное разложение по системе Е с нулевыми ошибками совпадает с обычным орторекурсивным разложением по этой системе.

Определение 4. Будем говорить, что орторекурсивное разложение по системе Е абсолютно устойчиво к любому конечному числу ошибок в вычислении коэффициентов, если для любого элемента / £ ^ и любого целого неотрицательного числа N орторекурсивное разложение элемента / по системе Е'. полученной из системы Е удалением первых N элементов, сходится к/.

Кроме того, будем обозначать через E\-j2 такие ошибки, что

limsup \еп\ < е к-

п—^оо

Справедливы следующие теоремы (см. [14]).

Теорема В. Пусть нормированные системы {en}n=i и {е'п\п= i квадратично близки, то есть сходится ряд

ОС 71=1

и орторекурсивное разложение по системе |еп}*=1 абсолютно устойчиво к любому конечному числу ошибок в вычислении коэффициентов. Тогда орторекурсивное разложение по системе {е/„}^=1 также абсолютно устойчиво к любому конечному числу ошибок в вычислении коэффициентов.

Теорема С. Пусть £ — некоторая нормированная система, такая, что орторекурсивное разложение по ней абсолютно устойчиво к любому конечному числу ошибок в вычислении коэффициентов. Тогда орторекурсивное разложение произвольного элемента / 6 по системе Е с ошибками из сходится к разлагаемому элементу.

Орторекурсивные разложения по системам подпространств

Идея рассмотрения ОРР по системе подпространств была предложена А. Ю. Кудрявцевым и развита в работах Т. П. Лукашенко, В. А. Садовниче-го, A.B. Словеснова [15],[16],[17].

Пусть в пространстве % задана система произвольных замкнутых подпространств Обозначим через Рп ортогональный проектор на под-

пространство %п. Для удобства дальнейшего изложения введем еще одно обозначение:

Р^ = Ы - Рп;

где 1(1 — единичный оператор. Для произвольного элемента / Е % положим

Л = Рх/;

далее, если уже определены /ь /2, • • • ; /п-Ъ положим

/„ = Р„ГП_1(/),

где

гг-1

Гтг-1(/) = I 7к-к=\

о©

Определение 5. Ряд ^ /п называется обобщенным орторекурсивным

п= 1

рядом Фурье элемента / по системе подпространств

Для разложений по системам подпространств остаются справедливыми аналоги равенства и неравенства Бесселя, эквивалентность равенства Пар-севаля сходимости разложения к разлагаемому элементу [16]. Равенство Бесселя принимает вид

1ы/)||2ч1/112-Еш

к=1

неравенство Бесселя — вид

ОО

£ш2<

М.Ж1 ^ \и |'2

к=1

ос

£ii/*ii2 = ii/ii2-

k=i

Доказательства этих утверждений аналогичны соответствующим доказательствам для ОРР по системе векторов (см. [16]).

Заметим, что в случае 7in = (еп) разложение совпадает с введенным выше разложением по системе элементов {en}n=i-

А. Ю. Кудрявцевым рассматривались орторекурсивные разложения по системам сжатий и сдвигов фиксированной функции.

Определение 6. Пусть (/?(х) G Z/2[0- 1), ||(/?(ж)||2 = 1 И (р(х) = 0 вне [ОД).

Система

(ры{х) = 2У2<р{2кх - I), к = 0,1, 2,..., I = 0,1,..., 2fc - 1,

называется системой сжатий и сдвигов функции tp(x).

Будем обозначать ее через S(ip). Занумеруем элементы S(ip) натуральными числами, взяв в качестве n-го элемента функцию (pk.i(x), где к и I таковы, что п = 2к + I (при указанных в определении ограничениях на к и I такое представление существует и единственно для каждого натурального п).

По занумерованной таким образом системе можно рассматривать ОРР в L/9 [0,1), беря в качестве еп функцию с номером п. Однако для разложений по системам сжатий и сдвигов будет удобно ввести подпространства (линейные

оболочки функций <¿>¡¿,1 при фиксированном к)

74 = (<Рк.о{х), <Рк,1{х), ..., (рк.2"-1{х))

и рассматривать проекции на них. Ввиду того, что при фиксированных к функции (рк,1 ортогональны друг другу, разложение по этой системе подпространств будет эквивалентно обычному ОРР по системе <9(<£>).

Исторически первым примером системы сжатий и сдвигов является система Хаара [18], введенная им в 1910 г. Позже в работах различных математиков (Добеши [19], Мейер [20] и др.) рассматривались разложения функций и по другим системам сжатий и сдвигов.

Недостаток системы Хаара, как и других ортонормированных базисов, заключается в том, что, как уже говорилось выше, разложение по ним неустойчиво к малым изменениям системы и ошибкам при вычислении коэффициентов, вызванным, например, вычислительными погрешностями. Этот недостаток может быть устранен переходом к неортогональным системам сжатий и сдвигов.

Если ошибки не очень большие (например, из класса £а-,/2) и ОРР по такой системе сходится к разлагаемому элементу, то ОРР с такими ошибками по-прежнему будет сходиться в точности к разлагаемому элементу.

Для систем сжатий и сдвигов фиксированной функции известна теорема Освальда-Филиппова (1995), которая в случае пространства 1/2[0,1) может быть сформулирована следующим образом (см., например, [21]).

Теорема О. Пусть функция (р(х) Е 1-2[0.1) такова, что [ >^{х)(1х ф 0.

Тогда является системой представления в 1/2[0,1), т. е. для каждой

функции f(x) G Ту2[0. 1) существуют коэффициенты Ck.l, такие, что

00 2к — 1 к=О 1=0

где равенство понимается в смысле L^fO. 1).

Отметим, что эта теорема и ее доказательство, приведённые в [21], не дают практического способа нахождения коэффициентов разложения по системе сжатий и сдвигов. Как будет показано в работе, орторекурсивные разложения предоставляют такой способ при достаточно слабых ограничениях на порождающую функцию. Эффективный критерий, позволяющий установить для произвольной функции, будет ли орторекурсивное разложение каждого элемента по системе ее сжатий и сдвигов сходиться к разлагаемому элементу, в настоящее время неизвестен, но А. Ю. Кудрявцевым было анонсировано следующее утверждение.

Теорема Е. Существуют элемент из Li и порождающая функция с ненулевым средним такие, что орторекурсивное разложение этого элемента по системе сжатий и сдвигов этой функции не сходится к разлагаемому элементу

Кроме того; для систем двоичных сжатий и сдвигов справедлива теорема, также анонсированная А. Ю. Кудрявцевым ([11], доказательство этой теоремы опубликовано не было).

Теорема F. Пусть функция <р(х) G Ьо[0.1) такова, что J ip(x)dx / 0 и

ос

^ шК^. 2~k) < оо, где Ш2((р,6) — интегральный модуль непрерывности в k=1

L2[0,1). Тогда для любого элемента из Lo[0,1) ОРР этого элемента по S(ip) сходится к разлагаемому элементу.

Эта теорема будет доказана в главе 3. Цель работы

В работе рассматриваются орторекурсивные разложения в абстрактном гильбертовом пространстве и обобщенные орторекурсивные разложения. Целью работы является изучение условий сходимости ОРР в общем случае и применительно к конкретным системам, представляющим прикладной интерес, а также исследование зависимости свойств ОРР от заданной в терминах матрицы Грама структуры системы.

В соответствии с поставленной целью решаются следующие задачи.

- Устанавливается критерий, связывающий сходимость орторекурсив-ных разложений и матрицу Грама системы, по которой происходит разложение (задача, поставленная в 2007 году Б. С. Кашиным).

- Выясняется, как связаны критерий сходимости, полученный для общего случая, и известный ранее критерий В. В. Галатенко для двумерного пространства (задача, поставленная в 2010 году Б. С. Кашиным).

- Исследуется связь матрицы, обратной к нижнетреугольной половине матрицы Грама, и ОРР.

- Исследуется связь между устойчивостью ОРР к ошибкам и матрицей Грама системы.

- Находятся формулы, связывающие орторекурсивные коэффициенты и матрицу Грама системы, по которой осуществляется разложение.

- Устанавливается условия сходимости обобщенных орторекурсивных разложений.

- Изучаются системы сжатий и сдвигов на предмет сходимости ОРР по ним.

Структура и основные результаты работы

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы из 31 наименования. В данной работе формулы, леммы и теоремы имеют номера из двух чисел, первое из которых — номер главы, а второе — номер формулы (леммы, теоремы) в этой главе. Определения нумеруются сквозным образом. Результаты других авторов нумеруются сквозным образом латинскими буквами.

Глава 1 посвящена исследованиям свойств орторекурсивных разложений с заранее известной структурой системы £, то есть с известной матрицей Грама. В главе 1 предполагается, что гильбертово пространство сепарабель-но и рассматривается над полем действител