Орторекурсивные разложения по переполненным системам тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.518.3

Галатенко Владимир Владимирович

Орторекурсивные разложения по переполненным системам

Специальность 01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва

2005

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Т. П. Лукашенко

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Защита состоится /парта. 2005 г. в 16 час. 15 мин. на засе-

дании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова но адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан " 2005 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

профессор С. В. Конягин

доктор физико-математических наук, профессор Н. Н. Холщевникова

Ведущая организация: Математический институт

им. В. А. Стеклова РАН

Д.501.001.85 в МГУ,

доктор физико-математическ наук, профессор

. Лукашенко

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория ортогональных рядов (рядов Фурье) является одним из классических направлений математических исследований, которое начало развиваться в первой половине XIX века. В настоящее время имеется большое количество публикаций, посвященных как общей теории ортогональных рядов, так и разложениям в ряды Фурье по конкретным системам.

В последние десятилетия в результате широкого внедрения компьютерных технологий разложения в ряды Фурье по различным ортогональным системам стали широко использоваться на практике при решении задач хранения, обработки и передачи данных различной природы. При этом обрабатываемый объект (изображение, аудиофрагмент, результаты сделанных спутником измерений и др.) моделируется некоторым элементом / пространства со скалярным произведением Я, в Н выбирается подходящая, учитывающая специфику конкретной задачи полная ортогональная система {enJ-^Lj, где К — или некоторое натуральное число (в случае конечномерных пространств Н), или бесконечность, и работа ведется hp. г гамим элементом -f ° " го»пат»„„»1, в рЯД фурЬе По системе {e„}f=1, т о есть с р £ fne^ где Jn = т ряд сходится

п=1 ' "

к элементу и в случае бесконечномерных пространств его заменяют на частную сумму, приближающую элемент с некоторой допустимой погрешностью.

Причинами, приведшими к широкому внедрению рядов Фурье в решение прикладных задач, являются такие свойства ортогональных разложений, как простота вычисления коэффициентов, наличие тождества Бесселя, обеспечивающего возможность быстрой оценки погрешности, то есть разности между элементом и частной суммой разложения, а также так называемое свойство оперативности ("on-line" свойство). Последнее свойство заключающееся в том, что если точность, с которой iV-ая частная сумма приближает разлагаемый элемент, не является приемлемой, то для получения следующего приближения — частной суммы

— достаточно вычислить еще один коэффициент, не производя пересчет уже вычисленных коэффициентов. Свойство оперативности позволяет, в частности, параллельно осуществлять разложение и передавать уже вычисленные коэффициенты.

Вместе с тем, ортогональные разложения обладают свойствами, кото-

рые с точки зрения практических приложении являются отрицательными. Во-первых, условие ортогональности является очень жестким условием на систему, значительно сужающим класс систем, по которым осуществляется разложение. Во-вторых, ортогональные разложения принципиально не позволяют корректировать погрешности, возникающие в вычислении коэффициентов: для любой числовой последовательности I к

{Сп}„= 1!

отличнои от

последовательности коэффициентов Фу-

г £ ,

рье элемента / по ортогональной с и {еп}п=1, РЗД ^Г, сАб о схо-

П=1

дится к элементу, отличному от /, либо расходится (последний случай возможен если

В связи с вышесказанным, возникает актуальная задача определить процесс разложения, наследующии положительные своиства ортогональных разложении, но не обладающий приведенными выше отрицательными с точки зрения практики свойствами. Решению этой задачи и посвящена данная работа. В работе рассматриваются орторекурсивные разложения и жадные разложения.

Понятие орторекурсивного разложения было введено Т. П. Лукашенко в 2000 году году1). В случае ортогональной системы орторекурсивное разложение дает в точности ряд Фурье разлагаемого элемента по этой системе.

Пусть 1Н,(-, •)) — пространство со скалярным произведением над

полем действительных или комплексных чисел, система нену-

левых элементов Н, / - некоторый элемент Н. Индуктивно определим последовательность остатков {гп(/)}™10 и последовательность коэффи-

Положим

циентов

Если уже определен остаток г„(/), то положим

11 Лукашенко Т. П. Об орторекурсивных разложениях по системе Фабера -Шаудера // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 10-й Саратовской зимней школы. — Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2000. С. 83.

оо

Определение 1. Формальный ряд ^ $пеп называйся орторекур

сивным разложением элемента / по системе {еп}^1

Т П Лукашенко показал что орторекурсивные разложения обладают рядом свойств, имеющих место для ортогональных разложений2) А именно, для орторекурсивных разложений справедливы тождество Бесселя, неравенство Бесселя, эквивалентность равенства Парсеваля и сходимости разложения к разлагаемому элементу

Схема орторекурсивного разложения допускает принципиально различные подходы можно изначально фиксировать систему {е„}^1, а можно на каждом шаге для данного элемента (или для данного остат-кагп(/)) выбирать из некоторого фиксированного множества очередной разлагающий элемент еп+1(/) Второй подход реализуется, в частности, в жадных разложениях Существенным отличием орторекурсивных разложений по фиксированным системам и жадных разложений является отсутствие у последних линейности Приведенные выше свойства определяются лишь схемой орторекурсивного разложения и не зависят от способа выбора разлагающих элементов, таким образом они справедливы как для орторекурсивных разложений по фиксированной системе функций, так и для жадных разложений

При решении прикладных задач в процессе реализации разложений неизбежно возникают вычислительные ошибки (погрешности) Наиболее существенными являются ошибки возникающие при вычислении коэф фициентов разложения В связи с этим возникает необходимость формализации понятия ошибок в вычислении коэффициентов орторекур-сивного разложения и изучения возможности коррекции возникающих погрешности за счет выбора разлагающей системы

Пусть [Н, ( , )) — пространство со скалярным произведением над полем действительных или комплексных чисел, система нену-

левых элементов Я, / — некоторый элемент Я Индуктивно определим последовательность остатков разложения и последователь-

на то, что в вычислении коэффициенюв разложения возможны ошибки) Положим

2 Лукашенко Т П О свойствах орторекурсивных разложений по неортогональным системам // Вестник Моск ун-та Сер I Матем Механ 2001 Л» 1 С 6 10

ность коэффициентов

индекс указывает

гео(Л = /

Если уже определен остаток то коэффициент /®+1 запишем в виде

Определение 2. Формальный ряд ^ называется орторекур-сивпым разложением элемента / по системе {е71}^=1 с ошибками

Используемая форма записи ошибок допускает естественную интерпретацию: при малых по абсолютной величине значениях еп величину £„ можно трактовать как число, характеризующее абсолютную величину ошибки в вычислении коэффициента при малых по абсолютной величине значениях £„ величину еп можно трактовать как число, характеризующее относительную величину ошибки в вычислении коэффициента ге Jn^

При практической реализации орторекурсивных разложений последовательность ошибок Е неизвестна, но в ряде случаев эта последовательность может быть оценена. Например, можно специально реализо-вывать вычислительную схему так, что ошибка при вычислении коэффициента /п не превосходит некоторую изначально выбранную величину.

Необходимо также формализовать понятие абсолютной устойчивости орторекурсивных разложений к определенному множеству ошибок, возникающих при вычислении коэффициентов разложения.

Определение 3. Пусть £ — некоторое непустое множество последовательностей числовых нар. Орторекурсивное разложение по системе ненулевых элементов {еп}^_1 абсолютно устойчиво к ошибкам из множества если для любого элемента / £ Н и любой последовательности Е = {(еп>е„)}~=1 £ £ орторекурсивное разложение элемента / по системе с ошибками сходится к

Жадные разложения впервые встречаются (в неявном виде) в работе Б.С. и СБ. Стечкиных3). В статистике и теории передачи сигналов жадные разложения по конкретным системам изучались с 1980-х годов. При

"Стечкин Б.С., Стечкин С Б. Среднее квадратическое и среднее арифметическое // Докл. АН СССР. 1961. 137, № 2. С. 287- 290.

этом в теорию передачи сигнала жадные разложения вошли под названием Matching Pursuit, а в статистику — под названием Projection Pursuit Активное изучение общей теории жадных разложений было начато в 1990-е годы математиками университета Южной Каролины, США Жадные разложения — нелинейная процедура разложения В случае ортогональной системы классическое жадное разложение дает ряд Фурье разлагаемого элемента по этой системе, переставленный в порядке убывания модулей коэффициентов

Наиболее общим жадным алгоритмом, осуществляющим разложения в гильбертовых пространствах, является в настоящее время обобщенный приближенный слабый жадный алгоритм Соответствующее определение было впервые приведено в совместной работе автора и Е Д Лившица4' Пусть ^Н, (•, ■ гильбертово пространство над полем действительных или комплексных чисел, множество D элементов Н — нормированный словарь (ю есть для любого элемента d Е D справедливо равенство HI = 1 и замыкание линейной оболочки D совпадает с Н) Пусть также / — некоторый элемент Н, - последовательность чисел из

отрезка [0,1], {qn}™~\ ~ последовательность действительных неотрицательных чисел, {(еп, последовательность числовых пар Определим индуктивно последовательноегь остатков {т"п(/)}^1о> последовательность коэффициентов |/п| и последовательность разлагающих элементов {e„(/)}^Lj Положим

Ы/) - /

Далее, если уже определен остаток rn(f), найдем элемент еп+\(/) D, удовлетворяющий условию

(Если элементов удовлетворяющих этому условию несколько, в качестве en+i(/) выберем любой из них Если элементов удовлетворяющих этому условию, не существует, будем говорить, что осуществить разложение не удалось Отметим что последний случай возможен только если tn+\ = 1 и Положим

4)Галатенко В В , Лившиц Е Д Об устойчивости жадных разложений к ошибкам в вычислении коэффициентов // Современные проблемы теории функций и их приложения Тезисы докладов 12-й Саратовской зимней школы Саратов Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2004 С 51 52

rn+i(f) = rn(f) - fn+ie„+i(f)

Определение 4 Описанный выше процесс будем называть обоб щепным приближенным слабым жадным алгоритмом (gAWGA generalized Approximate Weak Greedy .Algorithm-) Если разложение удалось осуществить, формальный ряд fnen(f) будем называть обобщенным приближенным слабым жадным разложением (или gAWGA разложением) элемента / по словарю D с ослабляющими последовательностями {tn}^i> и последовательностью ошибок {(^m

Если qn = £„ == 0 для всех натуральных п, то gAWGA совпадает с введенным Р Грибонвалем и М Нилсеном приближенным слабым жад ным алгоритмом (AWGA Approximate Weak Greedy Algorithm^) Если для всех натуральных п выполняются равенства qn — ^,n = 0, £п = 0, то gAWGA совпадает с предложенным В Н Темляковым слабым жадным алгоритмом (WGA —Weak Greedy Algorithm6)) Если qn — = еп = 0 и tn = 1 для всех натуральных п то gAWGA совпадает с рассмотренным чисто жадным алгоритмом (PGA Pure Greedy Algorithm7))

Интересным представляется изучение тех свойств орторекурсивных разложений и жадных разложений, которые не имеют места для ортогональных разложений Важным свойством такого рода является возможность коррекции вычислительных ошибок, неизбежно возникающих при практической реализации разложений

Целью работы является изучение абсолютной устойчивости орю рекурсивных разложений и жадных разложений к погрешностям, возникающим в вычислении коэффициентов а также изучение свойств орто рекурсивных разлоений и жадных разложений по конкретным функциональным системам

Методы исследований включают как классические методы математического анализа и теории функций действительного переменного, так и активно развивающиеся в последние годы методы теории жадных разложений

Научная новизна Все результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем

5) Gnbonval R Nielsen M Approximate Weak Greedy Algorithms // Adv Comput Math 2001 14 №4 P 361 378

"Temlyakov VN Weak greedy algorithms, // Adv Comput Math 2000 12 №2 3 P 213 227

7) Jones L К On a conjerture of Hubcr concerning the convergence of PP regression // Ann Statist 1987 15 P 880 882

- получены условия на систему элементов, достаточные для того, чтобы орторекурсивное разложение по этой системе было абсолютно устойчиво к некоторому широкому классу ошибок в вычислении коэффициентов:

- исследована устойчивость полученных условий к малым изменениям системы;

- приведен пример функциональных систем специального вида, удовлетворяющих полученным условиям, исследована сходимость разложений по этим системам (сходимость почти всюду, равномерная сходимость, сходимость в метриках

- получены условия на параметры обобщенного приближенного слабого жадного разложения, гарантирующие сходимость разложения к разлагаемому элементу;

для счетных словарей предложен метод разложения, близкий к обобщенным приближенным слабым жадным разложениям, в котором выбор разлагающих элементов осуществляется конструктивно;

- рассмотрены жадные разложения по системе, обеспечивающей легкий конструктивный выбор разлагающих элементов, изучена сходимость разложений по этой системе (поточечная, равномерная, в метриках а также исследована возможность других способов выбора коэффициентов разложения по этой системе.

Приложения. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в теории представления функций. Кроме того, полученные результаты могут быть использованы при создании алгоритмов обработки и передачи данных различной природы.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на механико-математическом факультете МГУ: на семинаре по теории ортогональных рядов под руководством чл.-корр. РАН, проф. П. Л. Ульянова, проф. М.К. Потапова и проф. М.И. Дьяченко, на семинаре по теории функций действительного переменного под руководством проф. Т. П. Лукашенко, проф. В. А. Скворцова и м.н.с. А. П. Солодова, на семинаре по теории ортоподобных систем под руководством проф. Т. П. Лукашенко и асс. Т. В. Родионова, на семинаре по теории ортогональных рядов под

руководством чл.-корр. РАН, проф. Б. С. Кашина и проф. С. В. Коня-гина; в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН на семинаре по теории приближений под руководством проф. С. А. Теляковского; на конференциях молодых ученых механико-математического факультета МГУ (2001, 2002, 2003); на Воронежских зимних математических школах "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (2001, 2003); на Саратовских зимних математических школах "Современные проблемы теории функций и их приложения" (2002, 2004); на международных школах-семинарах по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Ростов-на-Дону: 2002, 2004): на Научной конференции "Ломоносовские чтения" (Москва, 2004). Цикл работ В. В. Галатенко "О разложениях по системе сигнумов" награжден медалью и премией РАН как лучшая студенческая работа 2002 года в области математики. По теме диссертации автором весной 2004 года был прочитан специальный курс на механико-математическом факультете МГУ.

Публикации. Список основных работ автора по теме диссертации приведен в конце автореферата (12 публикаций).

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 40 наименований. Общий объем диссертации составляет 93 страницы.

Краткое содержание диссертации

Во введении дан краткий обзор исследуемой проблемы, приведены определения изучаемых объектов — орторекурсивных разложений и жадных разложений, сформулированы основные результаты работы.

Глава 1 посвящена общим вопросам устойчивости орторекурсивных разложений по переполненным системам к ошибкам в вычислении коэффициентов. Основными результатами главы являются теоремы 1.1 и 1.2.

Обозначим через £о множество последовательностей удовлетворяющих следующему условию: существует такое целое неотрицательное число N, что для всех номеров п, п ^ N + 1, справедливы

равенства обозначим множество последователь-

ностей {(еп, 1>. таких, что Пгп вир к.,, < 1 и последовательность

Теорема 1.1. Пусть орторекурсивное разложение по нормирован-

прина.1гтгт»аЖоо'р пространству I2.

ной системе \еп)Г1=1 абсолютно устойчиво к ошибкам из множества

£0. Тогда орторекурсивное разложение по этой системе абсолютно устойчиво к ошибкам из множества £\ .р.

Теорема 1.2. Пусть нормированные системы {е^}^ и {ё

00 2

дратично близки, то есть ^ \\еп — ёп\\ < оо. Пусть также орто-

п= 1

рекурсивное разложение по системе {еп}^_1 абсолютно устойчиво к ошибкам из множества Тогда орторекурсивное разложение по системе также абсолютно устойчиво к ошибкам из множества

В главе 1 также приведены примеры, показывающие, что полученные теоремы не могут быть усилены.

В главе 2 исследуется орторекурсивное разложение по некоторому классу функциональных систем. В качестве пространства со скалярным произведением берется где I — произвольный невырожден-

ный промежуток действительной прямой, а ц — классическая мера Лебега. Фиксируется система Е = {Дп}^=1 ограниченных невырожденных лежащих в / промежутков, покрывающая I в смысле Витали, удовлетворяющая также следующему условию: если к < т, то либо Д^ П Дт = 0, либо Д^ I) Ат. Кроме того, фиксируется определенная на / функция д, такая, что д и \/д существенно ограничены. Функциональная система {е")гГ=] строится следующим образом: еп(х) полагается равным произведению д(х)хп{х)- гДе Хп{х) ~ характеристическая функция промежутка

Отмечается, что разложение применимо не только к функциям из Ь2{1,Л,ц), но и ко всем функциям из Ьр1ос{1, Л, ц), 1 ^ р ^ оо. Основные результаты главы содержатся в теоремах 2.2-2.5, устанавливающих при достаточно слабых предположениях на ошибки в вычислении коэффициентов факт сходимости орторекурсивного разложения к разлагаемому элементу. Допустимыми являются, в частности, ошибки при вычислении коэффициентов, относительная величина которых не превосходит д (д — произвольное фиксированное число из интервала (0,1)). Под сходимостью здесь понимается сходимость почти всюду, для функций из — сходимость в метриках для непрерывных функций в случае непрерывной функции д — равномерная сходимость на компактах. При этом для сходимости в метрике Ь1 и для равномерной сходимости на компактах на систему промежутков Е накладываются дополнительные ограничения и отмечается, что без них соответствующие утверждения, вообще говоря, неверны.

В теоремах 2.2-2.5 ошибки в вычислении коэффициентов задаются посредством своих относительных величин. В случае ограниченного промежутка I отмечается, что аналогичные результаты имеют место и для класса ошибок, заданных парами (£п,£п)- При этом от последовательности {^п}^! требуется лишь сходимость этой последовательности к нулю.

В главе 3 исследуется вопрос сходимости обобщенных приближенных слабых жадных разложений. Основным результатом главы является теорема 3.1, содержащая условия на параметры разложения, достаточные для его сходимости к разлагаемому элементу.

Теорема 3.1. Пусть для некоторых чисел 6 € (0, 1) и С > 0 выполняется следующие условия:

|е„ + £|<1-5 и |1ш£пК С(11е£п + 1) (71=1,2,3,...).

°° ¿„(1-|е„|2)1/2 00 |с |2

Пусть также ряд ^ ——'— расходится, а ряды ^ л и

п=1 71 п=1

00 / 2\

X] Яп [ 1 — \£п\ ) сходятся. Тогда для любого гильбертова пространст

ва Н, любого словаря П С Н и любого элемента / е Н дА]УСА разложение / по Б с ослабляющими последовательностями ;

Ы~=1 и ошибками {(ец. ^п)}^] сходится к /.

В главе 3 также рассматривается следующая модификация gAWGA разложений. Фиксируется исчерпывание словаря О (Оп С Эп+ \

оо

при всех натуральных пи У Оп = Д), ив жадном шаге йАШСА

п=1

разложения, то есть в шаге, на котором выбирается очередной разлага-югций элемент еп, супремум по всему словарю В заменяется на супремум по подсловарю £>п. Для счетных систем эта модификация дает разложение, которое легко может быть реализовано на практике: для словаря 2? = можно брать, например, исчерпывание Бп = {еп}п=ъ где

{Мп}^ — последовательность натуральных чисел, монотонно стремящаяся к бесконечности. Отмечается, что для рассматриваемой модификации gAWGA-разложений имеет место теорема, полностью аналогичная теореме 3.1.

Глава 4 посвящена исследованию разложений по системе сигнумов (системе релейных функций) - функциональной системе, состоящей из измеримых функций, абсолютная величина (или норма) которых тождественно равна единице.

Пусть X — произвольное множество, (N, || ■ ||) - нормированное пространство над полем R или С. Для ненулевых элементов z £ TV положим sgn(z) = щ. Доопределим sgn в нуле произвольным элементом единичной сферы N. Пусть задана определенная на X и принимающая значения в N функция f(x) и последовательность действительных неотрицательных чисел {с,,}^. Индуктивно определим последовательность остатков {r„(a?)и последовательность разлагающих функций {е„(х)}-=1. Положим

Ыз) = fix)-

Если уже определен остаток гп(х), то положим

e„+i(x) = sgn (r„(a;)), rn+1(x) = r„(x) - cn+1en+1(x).

00

Определение 5. Формальный ряд ^ c^e^x) называется разложе-

k= i

нием функции f(x) по системе сигнумов.

В случае, когда последовательность коэффициентов {сп}^ не зависит от разлагаемой функции, рассмотренное разложение называется разложением по системе сигнумов с фиксированными коэффициентами. Изучению этого разложения посвящен раздел 4.5. Примерами разложений по системе сигнумов, в которых последовательность коэффициентов зависит от разлагаемой функции, являются орторекурсив-ные разложения по системе сигнумов, изучаемые в разделах 4.2 и 4.3, и //-разложения по системе сигнумов, рассматриваемые в разделе 4.4.

В разделе 4.1 приводится определение разложений по системе сигнумов и изучаются общие вопросы сходимости разложений по этой системе. Основной теоремой раздела является теорема 4.1, устанавливающая условия на коэффициенты разложения, достаточные для поточечной сходимости разложения к разлагаемой функции.

Теорема 4.1. Пусть последовательность коэ($)фициептов {с,,}^ удовлетворяет следующим двум условиям:

ОС

1) X) cfc ^ SUP IkraMIi для всех целых неотрицательных п;

к=п+1 х£Х

2) сп 0 при п оо.

Тогда данное разложение функции / по системе сигнумов сходится к/ в каждой точке lEl. Более того, для любого числа а > 0 сходимость

на множестве Еа = {х 6 X : ||/(ж)|| < равномерна (б частности, если функция / ограничена, то сходимость равномерна на всем множестве X).

Также в разделе 4.1 получены условия на коэффициенты разложения, достаточные для равномерной сходимости и сходимости в метриках Ьр (1 ^ р ^ оо) разложения к разлагаемой функции.

В разделе 4.2 исследуется чисто жадное разложение по системе сигнумов. В качестве пространства со скалярным произведением берется £2([0,1], А, р.)., где р, ~ классическая мера Лебега, или, более общо, Ь2(Х, А, (I), где (X. А, р.) — произвольное вероятностное пространство. Показывается, что разложение всегда реализуемо, и в качестве очередной разлагающей функции еп+-[(х\/) можно брать э^п (гп(з;)). Очередной коэффициент разложения вычисляется по формуле /п+1 = / ¡¡Т"тг(ж)|| йх — ||г„ || 1. Отмечается, что проводимое по при-X

веденным формулам разложение осуществимо не только для функций из Ь2, но и для всех функций /, таких, что ||/|| € Ь1{Х,А,р). Основными теоремами раздела 4.2 являются теоремы 4.5-4.8, устанавливающие для различных классов функций равномерную сходимость, поточечную сходимость, сходимость в метриках Ьр (1 ^ р ^ оо) разложения к разлагаемой функции.

Теорема 4.5. Пусть / — определенная на множестве X и принимающая значения в нормированном пространстве N функция, такая, что )|/(а;)|| измерима, существенно ограничена и, кроме того, для любого элемента х € X и любого положительного числа е мера множества € X : |||/(г)|| — ||/(2/)|| < положительна. Тогда орто-рекурсивное разложение функции / по системе сигнумов сходится к f равномерно на X.

Теорема 4.6. Пусть / — определенная на множестве X и принимающая значения в нормированном пространстве N функция, такая, что ||/(ж)|| измерима, существенно неограничена и / ||/(х)||с{д(х) < оо.

х

Тогда орторскурсивное разложение функции / по системе сигнумов сходится к / в каждой т.очке х £ X. Более того, для любого числа а > 0 сходимость на множестве Еа = {х Е X : ||/(ж)|| < а} равномерна.

Теорема 4.7. Пусть / — определенная на множестве X и принимающая значения в нормированном пространстве N функция, такая,

что ||/(х) || измерима и существенно ограничена. Тогда орторекурсив-ное разложение функции / по системе сигнумов сходится к f равномерно на множестве полной меры (т.е. имеет место сходимость ор-торекурсивного разложения по системе сигнумов в метрике Ь°°).

Теорема 4.8. Пусть 1 ^ р < оо, / — определенная на множестве X и принимающая значения в нормированном пространстве N функция, такая, что ||/(я)|| измерима и ^ ||/(ж)||р^(а;) < оо. Тогда остатки гп

х

разложения функции / по системе сигнумов удовлетворяют условию / ||'/"п(^)\\Р(1ц(х) —> 0 при п —>• оо (т.е. имеет место сходимость орто-х

рекурсивного разложения по системе сигнумов в метрике I/).

Раздел 4.3 содержит оценки скорости сходимости чисто жадных разложений по системе сигнумов для класса существенно ограниченных функций. Получены оценки погрешности в метриках Ьр (1 ^ р < оо), не улучшаемые по порядку на рассматриваемом классе. Соответствующий результат содержится в теореме 4.13.

Теорема 4.13. Пусть ||/(ж)|| — измеримая существенно ограничение Л

ная функция, /¿ед^а;; /) — чисто жадное разложение функции / по fc=1

системе сигнумов. Пусть также 1 ^ р < оо. Тогда для любого натурального числа п справедлива оценка

X

/(я) -

ь= 1

V 4

йц(х) —

е88вир||/(а:)|| хех_

п + 1

В разделах 4.4 и 4.5 изучаются другие способы разложения по системе сигнумов: сохраняется формула для выбора разлагающих элементов, но изменяются формулы для вычисления коэффициентов. В разделе 4.4 в качестве коэффициента разложения /п+1 берется ||/(х)||р (1 ^ р < оо). Исследуются вопросы сходимости определенного таким образом разложения: поточечной сходимости, равномерной сходимости, сходимости в метриках В разделе 4.5 коэффициенты фиксируют-

ся заранее и в процессе разложения строится лишь последовательность разлагающих функций (так определенное разложение может быть применено к функциям, определенным на произвольном множестве и принимающим значения в произвольном нормированном пространстве). Для классов ограниченных и неограниченных функций получены условия на

последовательность коэффициентов разложения, обеспечивающие поточечную сходимость разложения к разлагаемой функции. Исследуется также вопрос равномерной сходимости.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю профессору Т. П. Лукашенко за постановку задач, постоянное внимание к работе и многочисленные полезные консультации.

Работы автора по теме диссертации

1. Галатенко В. В. Об орторекурсивном разложении по системе сигнумов // Современные исследования в математике и механике. Труды XXIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ. — М.: Изд-во ЦПИ при мех-мат ф-те МГУ, 2001. С. 92-94.

2. Галатенко В. В. Об орторекурсивном разложении по некоторой системе функций // Известия РАН. Сер. матем. 2002. 66, №1. С. 59-70.

3. Галатенко В. В. О скорости сходимости орторекурсивных разложений по некоторой системе функций // Труды XXIV Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. - М.: Изд-во ЦПИ при мех-мат ф-те МГУ, 2002. С. 47 49.

4. Галатенко В. В. О . Ьр-разложениях по системе сигнумов // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. — Ростов-на-Дону, 2002. С. 111-113.

5. Галатенко В. В. О разложении по некоторой системе функций с фиксированными коэффициентами // Вестник Моск. ун-та. Сер. I. Матем. Механ. 2003. №1. С. 13-16.

6. Галатенко В. В. О скорости сходимости Хр -разложений по системе сигнумов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции. — Воронеж: Воронежский государственный университет, 2003. С. 67-68.

7. Галатенко В. В. Об устойчивости орторекурсивных разложений к ошибкам в вычислении коэффициентов // Современные проблемы

теории функций и их приложения Тезисы докладов 12-й Саратов ской зимней школы — Саратов Изд во ГосУНЦ "Колледж", 2004 С 51 52

8 Галатенко В В , Лившиц Е Д Об устойчивости жадных разложений к ошибкам в вычислении коэффициентов // Современные проблемы теории функций и их приложения Тезисы докладов 12-й Саратов ской зимней школы — Саратов Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2004 С 52-53

Теорема 1 установлена Галатенко В В , теорема 2 установлена Лив шицем Е Д

9 Галатенко В В Об оргорекурсивном разложении по некоторой сие теме функций с ошибками при вычислении коэффициентов // Мат сборник 2004 195, № 7 С 22 36

10 Галатенко В В Об орторекурсивном разложении с ошибками в вычислении коэффициентов // Известия РАН Сер матем 2005 69 №1 С 3 16

11 Галатенко В В Об одной модификации жадных разложений // Современные методы теории функций и смежные проблемы материалы Воронежской зимней математической школы Воронеж ВГУ, 2005 С 65-66

12 Galatenko V V, Livshitz E D On the convergence of Approximate Weak Greedy Algorithms // East J Approx 2003 9, № 1 P 43-49 Теорема З установлена Галатенко В В теорема 4 установлена Лившицем Е Д

г

Подписано в печать 2.02.2005 Объем 1.25 усл.п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 16 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119992 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. 102

ûf Ci - С/. С-/.

407

Введение

Орторекурсивные разложения.

Жадные разложения.

Цель работы.

Структура и основные результаты работы.

1 Устойчивость орторекурсивных разложений к вычислительным погрешностям

1.1 Абсолютная устойчивость к любому конечному числу ошибок

1.2 Абсолютная устойчивость к более широкому классу ошибок

1.3 Абсолютная устойчивость к малым изменениям системы

2 Орторекурсивные разложения по некоторой функциональной системе

2.1 Определение системы.

2.2 Свойства разложений.

3 Устойчивость жадных разложений к вычислительным погрешностям

3.1 Обзор предшествующих результатов.

3.2 Сходимость gAWGA-разложений.

3.3 Практическая реализация жадных разложений.

4 Разложения по системе сигнумов

4.1 Общие свойства разложений по системе сигнумов.

4.2 Орторекурсивное разложение по системе сигнумов.

4.3 Оценки скорости сходимости.

4.4 .^-разложение по системе сигнумов.

4.5 Разложение по системе сигнумов с фиксированными коэффициентами

Теория ортогональных рядов (рядов Фурье) является одним из классических направлений математических исследований, которое начало развиваться в первой половине XIX века. По всей видимости, первыми работами, в которых изучались ортогональные разложения, являются труды Д'Аламбера и Эйлера о колебании струны и работы Фурье о распространении тепла. В настоящее время имеется большое количество публикаций, посвященных как общей теории ортогональных рядов (см., например, [1], [7], [8]), так и разложениям в ряды Фурье по конкретным системам (см., например, [3], [4], [б]).

В последние десятилетия в результате широкого внедрения компьютерных технологий разложения в ряды Фурье по различным ортогональным системам стали широко использоваться на практике при решении задач хранения, обработки и передачи данных различной природы. При этом обрабатываемый объект (изображение, аудиофрагмент, результаты сделанных спутником измерений и др.) моделируется некоторым элементом / пространства со скалярным произведением Н, в Н выбирается подходящая, учитывающая специфику конкретной задачи полная ортогональная г 1К система {enjn=1, где К — или некоторое натуральное число (в случае конечномерных пространств Н), или бесконечность, и работа ведется не с

I К самим элементом /, а с его разложением в ряд Фурье по системе {еп}п1, jf то есть с рядом ^ /пеп, где /п = е"п) • Этот ряд сходится к элементу /, и п=1 ' в случае бесконечномерных пространств его заменяют на частную сумму, приближающую элемент с некоторой допустимой погрешностью.

Причинами, приведшими к широкому внедрению рядов Фурье в решение прикладных задач, являются такие свойства ортогональных разложений, как простота вычисления коэффициентов, наличие тождества Бесселя, обеспечивающего возможность быстрой оценки погрешности, то есть разности между элементом и частной суммой разложения, а также так называемое свойство оперативности ("on-line" свойство). Последнее свойство заключающееся в том, что если точность, с которой iV-ая частная сумма приближает разлагаемый элемент, не является приемлемой, то для получения следующего приближения — (N + 1)-й частной суммы — достаточно вычислить еще один коэффициент, не производя пересчет уже вычисленных коэффициентов. Свойство оперативности позволяет, в частности, параллельно осуществлять разложение и передавать уже вычисленные коэффициенты.

Вместе с тем, ортогональные разложения обладают свойствами, которые с точки зрения практических приложений являются отрицательными. Во-первых, условие ортогональности является очень жестким условием на систему, значительно сужающим класс систем, по которым осуществляется разложение. Во-вторых, ортогональные разложения принципиально не позволяют корректировать погрешности, возникающие в вычислении коэффициентов: для любой числовой последовательности {сп}^=1, отличной от последовательности \fn\ коэффициентов Фурье элемента / по ор

I- J п=1 тогональной системе {e„}^L1, ряд ^ спеп либо расходится, либо сходится п= 1 к элементу, отличному от /.

В связи с вышесказанным, возникает актуальная задача определить процесс разложения, наследующий положительные свойства ортогональных разложений, но не обладающий приведенными выше отрицательными с точки зрения практики свойствами. Решению этой задачи и посвящена данная работа. В работе рассматриваются орторекурсивные разложения и жадные разложения.

Орторекурсивные разложения

Орторекурсивные разложения были предложены Т. П. Лукашенко в работах [13], [14]. Эта процедура разложения дает в случае ортогональной системы в точности ряд Фурье разлагаемого элемента по этой системе. Напомним определение и некоторые свойства ортрекурсивных разложений по счетным системам.

Пусть ^Н, (•,•)) — пространство со скалярным произведением над полем действительных или комплексных чисел, {еп}^=1 — система ненулевых элементов Н, f — некоторый элемент Н. Индуктивно определим последовательность остатков {rn(/)}^L0 и последовательность коэффициентов

Положим

Г0(Л = /, fl = /S

2 = го(/),ех) ei,ei) М/),е2) ri(/)=r0(/)-/ieb r2(/)=n(/)-/2e2 е2,е2) и т.д. Если уже определен остаток гп(/), то положим r„(/),en+i) п+1 en+i,en+i) n+l(/) = rn(/) ~ /n+l^n+l

00

Определение 1. Формальный ряд ^ fn^n называется орторекурсивп=1 ным разложением элемента f по системе {еп}^=1.

Сформулируем основные свойства орторекурсивных разложений. Теорема А [14]. Пусть {вп}^ — система ненулевых элементов Н,

ОО ^ — некоторый элемент Н, ^ fnen — орторекурсивное разложение f по п=1 системе {en}^Lr Справедливы следующие утверждения: (а) для любого натурального числа N выполняется равенство N

-£/„е„

71=1 N

П=1 аналог тождества Бесселя); (Ь) имеет место неравенство

ОО /»

71—1 аналог неравенства Бесселя);

ОО с) равенство ^

П=1 fn еп||2 = ||/1|2 имеет место тогда и только тооо гда, когда справедливо равенство f = fnen (эквивалентность ра

П=1 венства Парсеваля и сходимости орторекурсивного разложения к разлагаемому элементу).

Как отмечается, например, в работах [15], [30], схема орторекурсив-ного разложения допускает принципиально различные подходы: можно изначально фиксировать систему {еп}^=1, а можно на каждом шаге для данного элемента / (или для данного остатка гп(/)) выбирать из некоторого фиксированного множества очередной разлагающий элемент en+i (/). Второй подход реализуется, в частности, в жадных разложениях. Существенным отличием орторекурсивных разложений по фиксированным системам и жадных разложений является отсутствие у последних линейности. Приведенные выше свойства определяются лишь схемой орторекур-сивного разложения и не зависят от способа выбора разлагающих элементов, таким образом, они справедливы как для орторекурсивных разложений по фиксированной системе функций, так и для жадных разложений.

Далее, если не оговорено противное, под орторекурсивным разложением будет пониматься орторекурсивное разложение по фиксированной системе элементов.

При решении прикладных задач в качестве пространства со скалярным произведением обычно выступает L2 (X, Л, fi), где (X, А, //) — некоторое измеримое пространство (часто это отрезок числовой прямой или прямоугольник на плоскости с классической мерой Лебега). При вычислении скалярных произведений в этом пространстве (то есть при вычислении соответствующих интегралов), а значит, и при вычислении коэффициентов орторекурсивного разложения неизбежны вычислительные ошибки (погрешности). В ряде случаев за счет выбора параметров вычислительной схемы можно добиться того, чтобы величины ошибок не превосходили некоторых наперед заданных значений, контролируя тем самым возникающие погрешности. Однако полностью устранить вычислительные неточности нельзя. В связи с этим возникает необходимость формализации понятия ошибок в вычислении коэффициентов орторекурсивного разложения и изучения возможности коррекции возникающих погрешностей за счет выбора разлагающей системы.

Приведем определение орторекурсивных разложений с ошибками в вычислении коэффициентов.

Пусть (Н, (•, •)) — пространство со скалярным произведением над полем действительных или комплексных чисел, {еп}^ — система ненулевых элементов Н, f — некоторый элемент Н. Индуктивно определим последовательность остатков разложения {г® (/)}^L0 и последовательность коэффициентов разложения верхний индекс указывает на то, что в вычислении коэффициентов разложения возможны ошибки). Положим reo(f) = /.

Если уже определен остаток г® (/), то коэффициент /®+1 запишем в виде

Те (r^(/),en+1) где en+i и £n+i — некоторые числа. Положим

Сы(Я = <(/) " Й+хвп+ь оо ^

Определение 2. Формальный ряд ^ /®еп будем называть ортореп=1 курсивным разложением элемента f по системе {е^^^ с ошибками я = {(*„, WKL г

Отметим, что орторекурсивное разложение по системе {еп}^=1 с нулевыми ошибками £0,о (^о,о = {(^m £n))w> где еп = £п = 0 при п = 1, 2, 3, .) совпадает с обычным орторекурсивным разложением по этой системе.

Используемая форма записи ошибок допускает естественную интерпретацию: при малых по абсолютной величине значениях еп величину £п можно трактовать как число, характеризующее абсолютную ошибку в вычислении коэффициента при малых по абсолютной величине значениях £п величину еп можно трактовать как число, характеризующее относительную ошибку в вычислении коэффициента

Впервые определение, аналогичное определению 2, было предложено Р. Грибонвалем и М. Нилсеном в работе [22], посвященной изучению устойчивости жадных разложений к вычислительным ошибкам. Ошибки в этой работе задавались посредством их относительных величин.

При практической реализации орторекурсивных разложений последовательность ошибок Е неизвестна, но в ряде случаев эта последовательность может быть оценена. Например, можно специально реализовывать вычислительную схему так, что ошибка при вычислении коэффициента fn не превосходит некоторую изначально выбранную величину.

Различным парам (еп, £п) может соответствовать одна и та же ошибка в вычислении коэффициента при этом любая ошибка в вычислении коэффициента может быть задана посредством лишь £п, с еп = 0. Однако используемая форма записи ошибок удобна как при теоретической работе с орторекурсивными разложениями (формулировка и доказательство теорем при используемой форме записи ошибок становятся более понятными), так и при прикладной работе (в некоторых случаях проще могут быть установлены оценки на относительные ошибки, в некоторых — на абсолютные).

Формализуем также понятие абсолютной устойчивости орторекурсив-ных разложений к определенному множеству ошибок, возникающих при вычислении коэффициентов разложения.

Определение 3. Пусть £ — некоторое непустое множество последовательностей числовых пар. Будем говорить, что орторекурсивное разложение по системе ненулевых элементов {enj-^lj абсолютно устойчиво к ошибкам из множества £, если для любого элемента f Н и любой последовательности Е = {(£n> £ £ орторекурсивное разложение элемента / по системе {еп}^=1 с ошибками Е сходится к /.

Основными классами ошибок, изучаемыми в данной работе, являются классы £0 и £i-tp. £q — это множество последовательностей числовых пар {(£„, £n)}^Li) удовлетворяющих следующему условию: существует такое целое неотрицательное число N, что для всех номеров n, п ^ N + 1, справедливы равенства еп = £п = 0. — это множество последовательностей числовых пар {(еП5 таких, что lim sup |er„| < 1 и ПОСЛега—►ОО довательность принадлежит пространству I2.

Жадные разложения

Впервые, вероятно, жадные разложения встречаются (в неявном виде) в работе Б.С. и С.Б. Стечкиных [18]. В статистике и теории передачи сигналов жадные разложения по конкретным системам изучались с 1980-х годов (см. [21], [23], [25]). При этом в теорию передачи сигнала жадные разложения вошли под названием Matching Pursuit, а в статистику — под названием Projection Pursuit. Активное изучение общей теории жадных разложений было начато в 1990-е годы математиками университета Южной Каролины, США (см. [27]). Именно ими был введен термин "жадный" (greedy) для описания таких разложений. Как уже отмечалось выше, жадные разложения — нелинейная процедура разложения. В случае ортогональной системы классическое жадное разложение дает ряд Фурье разлагаемого элемента по этой системе, переставленный в порядке убывания модулей коэффициентов.

Общая теория жадных разложений начала развиваться с изучения чисто жадных (Pure Greedy) разложений. Напомним соответствующее определение. Пусть (#, (•, •)) — гильбертово пространство над полем R или С, / — элемент Н, D — подмножество ненулевых элементов Н с всюду плотной в Н линейной оболочкой (так называемый "словарь" — dictionary). Индуктивно определим последовательность остатков {^n(/)}^Lo чи~ еловую последовательность коэффициентов |/п| и последовательность разлагающих элементов {en(/)}^Li С D. Положим ro(f) = f.

Возьмем в качестве (/) произвольный элемент D, удовлетворяющий условию l(ro(/)iei(/))l l(ro(/),e)| llei(/)ll S INI ' положим = ^'ff". п(Л = г0(Л-ШЛ.

Возьмем в качестве ег(/) произвольный элемент D, удовлетворяющий условию п(/),е2(/))| |(ri (/), е)[

1ЫЯ11 Л ||е|| '

ПОЛОЖИМ h - (е2,е2) ' Г2(/) = ri(/) ~ и т.д. Если уже определен остаток rn(f), то возьмем в качестве еп+1(/) произвольный элемент D, удовлетворяющий условию

1Ы/),вп+1(/))1 = Ifrn(/), <01 l|en+i(/)|| eeD \\е\\ положим fn+1 = T"n+i(/) = rn{f) - fn+1en+i(f). еп+1, en+ij

Определение 4. Описанный выше процесс называется чисто жадным алгоритмом (Pure Greedy Algorithm — PGA). Если разложение осуществить удалось, то построенный в результате его применения формаль

ОО л ный ряд fnen будем называть PGA-разложением элемента / G Н по п=1 системе D.

Отметим, что описанный процесс не всегда осуществим: супремум, возникающий при выборе очередного разлагающего элемента, может и не ре-ализовываться. Кроме того, термин "алгоритм", традиционно употребляющийся в названии процесса, не совсем корректен, так как даже в случае, когда супремум реализуется, выбор очередного разлагающего элемента не является конструктивным. Эти соображения, а также стремление исследовать устойчивость разложения к погрешностям в вычислении коэффициентов и в выборе разлагающих элементов, привели к необходимости обобщения модели чисто жадного разложения. Наиболее общей моделью такого рода в настоящее время является обобщенный приближенный слабый жадный алгоритм. Приведем соответствующее определение, полагая, для сокращения записи, что система D нормирована.

Пусть ^Н, (•, • — гильбертово пространство над полем действительных или комплексных чисел, множество D элементов Н — нормированный словарь (то есть для любого элемента d Е D справедливо равенство ||с?|| = 1 и замыкание линейной оболочки D совпадает с Н). Пусть также / — некоторый элемент Н, {£n}^Li — последовательность чисел из отрезка [0,1], {qn}n=i ~ последовательность действительных неотрицательных чисел, {(£n> £п)КГ=1 — послеДовательность числовых пар. Определим индуктивно последовательность остатков {гп(/)}^=0, последовательность коэффициентов {/„} и последовательность разлагающих элементов {е„(/)}^=1. Положим

П>(/) = /.

Далее, если уже определен остаток гп(/), найдем элемент en+i (/) G D, удовлетворяющий условию

IM/), en+i(/))| ^ tn+1 sup |(rn(/), e)| - qn+l. e€D

Если элементов, удовлетворяющих этому условию, несколько, в качестве en+i(/) выберем любой из них. Если элементов, удовлетворяющих этому условию, не существует, будем говорить, что осуществить разложение не удалось. Отметим, что последний случай возможен только если tn+i = 1 и qn+1 = 0.) Положим fn+1 = (Г rn+i(f) = rn(f) - fn+1en+1{f).

Определение 5. Описанный выше процесс будем называть обобщенным приближенным слабым жадным алгоритмом (gAWGA — generilized Approximate Weak Greedy Algorithm). Если разложение удалось осущеоо Л ствить, формальный ряд fn^nif) будем называть обобщенным приблип=1 женным слабым жадным разложением (или gAWGA-разложением) элемента / по словарю D с ослабляющими последовательностями {дп}^=1 и последовательностью ошибок {(en?

Последовательность ошибок {(еп, допускает ту же интерпретацию, что и в случае орторекурсивных разложений с ошибками в вычислении коэффициентов. Смысл введения ослабляющих последовательностей {*„}~=1 и {<3Vi}^Li заключается в стремлении максимально ослабить требования, налагаемые при выборе очередного разлагающего элемента. Отметим, что несмотря на такое ослабление выбор разлагающих элементов в gAWGA неконструктивен, так что термин "алгоритм" в названии процесса, как и в случае PGA, не совсем корректен.

Если qn = = 0 для всех натуральных п, то gAWGA совпадает с введенным Р. Грибонвалем и М. Нилсеном приближенным слабым жадным алгоритмом (AWGA — Approximate Weak Greedy Algorithm, см. [22]). Если для всех натуральных п выполняются равенства qn — = 0, еп = 0, то gAWGA совпадает с предложенным В. Н. Темляковым слабым жадным алгоритмом (WGA —Weak Greedy Algorithm, см. [27]). Если qn = £n = еп = О и tn = 1 для всех натуральных п, то gAWGA совпадает с рассмотренным выше чисто жадным алгоритмом.

Цель работы

В работе рассматриваются орторекурсивные разложения по переполненным системам, а также жадные разложения. Целью работы является изучение абсолютной устойчивости этих разложений к погрешностям, возникающим в вычислении коэффициентов, а также изучение свойств орторекурсивных разложений и жадных разложений по конкретным функциональным системам.

В соответствии с поставленной целью были сформулированы следующие задачи:

- получить условия на систему элементов, достаточные для того, чтобы орторекурсивное разложение по этой системе было абсолютно устойчиво к некоторому широкому классу ошибок в вычислении коэффициентов;

- исследовать устойчивость полученных условий к малым изменениям системы;

- привести пример функциональной системы, удовлетворяющей полученным условиям, исследовать сходимость разложений по этой системе (сходимость почти всюду, равномерную сходимость, сходимость в метриках Lp);

- получить условия на параметры обобщенного приближенного слабого жадного разложения, гарантирующие сходимость разложения к разлагаемому элементу;

- для счетных словарей получить метод разложения, близкий к обобщенным приближенным слабым жадным разложениям, в котором выбор разлагающих элементов осуществляется конструктивно;

- рассмотреть жадные разложения по системе, обеспечивающей легкий конструктивный выбор разлагающих элементов, изучить сходимость разложений по этой системе (поточечную, равномерную, в метриках Lp), а также исследовать возможность других способов выбора коэффициентов разложения по этой системе.

Структура и основные результаты работы

Работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы, включающего 40 наименований. Теоремы, леммы, утверждения имеют номера из двух чисел, первое из которых — номер главы, а второе — номер теоремы (леммы, утверждения) в этой главе. Определения нумеруются сквозным образом. Результаты других авторов нумеруются сквозным образом латинскими буквами.

Во введении дан краткий обзор исследуемой проблемы, приведены определения изучаемых объектов — орторекурсивных разложений и жадных разложений, сформулированы основные результаты работы.

1. Алексии Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов — М.: ИЛ, 1963.

2. Бари Н. К. Об устойчивости свойства полноты системы функций // Докл. АН СССР. 1942. 37. С. 99-103.

3. Голубов Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша. Теория и применения— М.: Наука, 1987.

4. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам — Ижевск: РХД, 2001.

5. Дьяченко М.И., Ульянов П. Л. Мера и интеграл — М.: Факториал,1998.

6. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. тт. 1, 2. — М.: Мир, 1965.

7. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов — М.: ГИФМЛ, 1958.

8. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды (2-е изд.) — М.: АФЦ,1999.

9. Кудрявцев А. Ю. Орторекурсивные разложения по системам сжатий и сдвигов / / Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы. — Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2002. С. 106-108.

10. Кудрявцев А. Ю. Орторекурсивные разложения по системам неортогональных всплесков II Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конференции. — Воронеж: Воронежский государственный университет, 2003. С. 137-138.

11. Кусис П. Введение в теорию пространств Нр — М.: Мир, 1984.

12. Лившиц Е. Д., Темляков В.Н. О сходимости слабого гриди-алгоритма // Труды математического института им. В.А. Стеклова. 2001. 232. С. 236-247.

13. Лукашенко Т. П. Об орторекурсивних разложениях по системе Фабера-Шаудера // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 10-й Саратовской зимней школы. — Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2000. С. 83.

14. Лукашенко Т. П. О свойствах орторекурсивних разложений по неортогональным системам // Вестник Моск. ун-та. Сер. I. Матем. Ме-хан. 2001. №1. С. 6-10.

15. Лукашенко Т.П. О новых системах разложения и их свойствах // Чебышевский сборник. 2004. 5, вып. 2. С. 66-82.

16. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной — СПб.: Лань, 1999.

17. Сакс С. Теория интеграла — М.: ИЛ, 1949.

18. Стечкин B.C., Стечкин С.Б. Среднее квадратическое и среднее арифметическое // Докл. АН СССР. 1961. 137, №2. С. 287-290.

19. Стечкин С. Б. Избранные труды. Математика — М.: Наука, Физмат-лит, 1998.

20. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. Изд. 7-е. — М.: Наука, 1969.

21. Friedman J.H., Stueuzle W. Projection pursuit regression //J. Amer. Statist. Assoc. 1981. 76. P. 817-823.

22. Gribonval R., Nielsen M. Approximate Weak Greedy Algorithms // Adv. Comput. Math. 2001. 14, №4. P. 361-378.

23. Jones L.K. On a conjecture of Huber concerning the convergence of PP-regression // Ann. Statist. 1987. 15. P. 880-882.

24. Jones L. A simple lemma on greedy approximation in Hilbert space and convergence rates for projection pursuit regression and network training // Ann. Statist. 1992. 20. P. 608-613.

25. Mallat S., Zhang Z. Matching pursuit with time-frequency dictionaries // IEEE Trans. Signal Process. 1993. 41, №12. P. 3397-3415.

26. Rejto L., Walter G. G. Remarks on ptojection pursuit regression and density estimation // Stochastic Analyses and Application. 1992. 10. P. 213-222.

27. Temlyakov V.N. Weak greedy algorithms // Adv. Comput. Math. 2000. 12, №2,3. P. 213-227.

28. Temlyakov V. N. A criterion for convergence of Weak Greedy Algorithms // Internet: http://www.math.sc.edu/ imip/OO.html 00:21.Научные работы автора по теме диссертации

29. Галатенко В. В. Об орторекурсивном разложении по системе сигнумов II Современные исследования в математике и механике. Труды XXIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ. — М.: Изд-во ЦПИ при мех-мат ф-те МГУ, 2001. С. 9294.

30. Галатенко В. В. Об орторекурсивном разложении по некоторой системе функций II Известия РАН. Сер. матем. 2002. 66, №1. С. 59-70.

31. Галатенко В. В. О скорости сходимости орторекурсивных разложений по некоторой системе функций // Труды XXIV Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. — М.: Изд-во ЦПИ при мех-мат ф-те МГУ, 2002. С. 47-49.

32. Галатенко В. В. О LP-разложениях по системе сигнумов / / Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. — Ростов-на-Дону, 2002. С. 111-113.

33. Галатенко В. В. О разложении по некоторой системе функций с фиксированными коэффициентами // Вестник Моск. ун-та. Сер. I. Матем. Механ. 2003. № 1. С. 13-16.

34. Галатенко В. В. О скорости сходимости Lp-разложений по системе сигнумов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции. — Воронеж: Воронежский государственный университет, 2003. С. 67-68.

35. Галатенко В. В. Об устойчивости орторекурсивных разложений к ошибкам в вычислении коэффициентов // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 12-й Саратовской зимней школы. — Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2004. С. 51-52.

36. Галатенко В. В. Об орторекурсивном разложении по некоторой системе функций с ошибками при вычислении коэффициентов // Мат. сборник. 2004. 195, №7. С. 22-36.

37. Галатенко В. В. Об орторекурсивном разложении с ошибками в вычислении коэффициентов // Известия РАН. Сер. матем. 2005. 69, JVe 1. С. 3-16.

38. Галатенко В. В. Об одной модификации жадных разложений // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронежской зимней математической школы. — Воронеж: ВГУ, 2005. С. 65-66.

39. Galatenko V. V., Livshitz Е. D. On the convergence of Approximate Weak Greedy Algorithms // East J. Approx. 2003. 9, № 1. P. 43-49. Теорема 3 установлена Галатенко В. В., теорема 4 установлена Лившицем Е. Д.